Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver projektet, og til bedømmelsen af besvarelserne til både lærere og censorer. Årets projektoplægget indeholder på samme måde som i 2014 et antal mindre opgaver med et fælles tema, i år Transport. I opgave 2 er der flere åbne delspørgsmål, hvor eleven skal antage, argumentere eller vurdere, og hvor eleven selv har indflydelse på, hvilke matematiske emner, der skal inddrages. En talgenerator fastsætter nogle af de værdier, eleverne skal benytte i beregningerne, så der arbejdes med forskellige tal. Tallene fremkommer ved indtastning af elevens fødselsdag, og for at tydeliggøre, at man ikke selv kan vælge værdier, bliver eleverne i første spørgsmål bedt om at angive fødselsdatoen. I vejledningsfasen er det vigtigt, at det er eleven, der laver opgaverne! Man kan hjælpe ved at besvare elevens spørgsmål eller stille modspørgsmål, men man skal aldrig foreslå eleven en bestemt metode eller beskrive en løsning. Ikke alle elever kan lave alle opgaver, og det forventes heller ikke Ved bedømmelsen af projekterne skal man kigge på i hvor høj grad, eleverne opfylder de faglige mål for faget. Disse faglige mål er beskrevet ved de 8 kernekompetencer i matematik, som kort er beskrevet sidst i dette dokument. Det er naturligvis ikke alle kompetencer, der er lige nemme at vise i et projekt, nogle af dem kommer måske først til udtryk ved den mundtlige del af prøven. Men man skal så vidt muligt vurdere hvorvidt eleverne kommer omkring de forskellige kompetencer og give en helhedsbedømmelse. Det er derfor ikke hensigtsmæssigt på forhånd at angive, hvor mange point hver delopgave skal give, eller hvordan de åbne spørgsmål skal vægtes i forhold til de lukkede. I nogle opgaver er det mest hensigtsmæssigt at bruge et matematikprogram til at tegne eller konstruere en løsning, mens andre opgaver løses ved beregninger. Det væsentlige er at eleverne viser at de har mange forskellige metoder at vælge i mellem, og at de benytter en metode, der egner sig til at løse en konkret opgave. Hvis eleven igen og igen anvender samme metode fx at tegne og aflæse i Geogebra viser vedkommende ikke så mange kompetencer, som hvis vedkommende også kan opstille funktionsforskrifter og ligninger og løse disse. Omvendt er det heller ikke tilfredsstillende, hvis eleven slet ikke kan tegne eller skitsere løsninger, men udfører den samme type beregninger i alle opgaver. Projektoplægget er udformet, så eleven naturligt vil få brug for en bred vifte af metoder. Nederst i dette dokument er vedhæftet et eksempel på et bedømmelsesskema, der kan bruges som inspiration. Et godt projektoplæg er bl.a. karakteriseret ved, at eleverne kan benytte forskellige tilgange til løsningen, og at de i nogle spørgsmål selv må vurdere hvilke oplysninger, der er nødvendige. Der er således ikke kun ét rigtigt svar på alle spørgsmål. I dette års projekt Transport er der flere opgaver, der kan løses på forskellige måder, og hvor resultaterne afhænger at den valgte metode og de valgte forudsætninger. Som eksempler vil vi se på nogle delspørgsmål i opgave 2 og 3. Først vil vi dog give se på, hvordan forskellige løsningsmetoder viser forskellige kompetencer: Opgave 1 b)+c) Her kan eleven enten bestemme ligning for linje og cirkel ved beregning, eller ved indtastning af punkter i fx Geogebra og dernæst lade programmet bestemme ligningen. Hvor den førstnævnte metode primært viser problembehandlingskompetencen og symbol- og formalismekompetencen, vil sidstnævnte metode udelukkende vise hjælpemiddelkompetencen. Her kræves en uddybende matematisk forklaring for at eleven også viser andre kompetencer. 1
d+e) Det samme gælder for disse spørgsmål. I d) kan eleven opdele figuren i mindre områder, hvis arealer bestemmes på forskellige måde. Sker det grafisk, skal metoden følges op med en sproglig redegørelse, som forklarer den anvendte matematik, for at eleven viser andet end hjælpemiddelkompetencen. I e) opdeles figuren i trekanter, og længder og vinkler bestemmes vha. sinus- og cosinusrelationen som eleven kender fra undervisningen (problembehandling m.m.) eller de bestemmes vha. en trekantsberegner (hjælpemiddel). Opgave 2 a)+b) er begge opgaver, hvor der lægges op til at benytte it-værktøjet Geogebra. Forskriften i a) kan fx findes ved regression, hvor eleven argumenterer for hvilken funktionstype, der er valgt. I b) kan man tilnærme kurven mellem to punkter med en ret linje, hvis længde aflæses i programmet, men man kan også finde den formel, der angiver kurvelængden ved et integral. e) Her forventes det, at eleven argumenterer for begyndelsespunktet og de øvrige antagelser, der er nødvendige for at bestemme en parabelformet kurve, som kan beskrive skiftesporet. Nogle elever vil ikke være i stand til at finde en kurve, der opfylder at tangenthældningen i startpunktet er den samme for begge kurver. Eleverne kan i stedet benytte et hjælpemiddel som fx kommandoen FitPoly i Geogebra til at finde en parabel ud fra 3 valgte punkter. Dette er naturligvis ikke en fuldstændig løsning, men alt afhængig af den tilhørende argumentation, kan eleven godt vise beherskelse af forskellige matematiske områder. I f) er der mulighed for at inddrage forskellige dele af modelleringscyklus: præmatematisering (hvad ved man om den geometriske form af et tog, og hvad er det relevant at medtage?), matematisering (hvilke matematiske former og evt. funktioner kan benyttes og hvordan beregnes rumfanget?), validering (er modellen og resultatet rimelig(t)?) Opgave 3 g) Her må eleven antage noget om skibets form i længderetningen. Fx at det har samme bredde i hele lastrummets længde, eller at den beregnede bredde kan benyttes som en gennemsnitsbredde for lastrummet eller Ovenstående eksempler skulle gerne give en fornemmelse af, på hvilke niveauer projektet kan besvares, og dermed hvordan besvarelsen skal vurderes. Der skal lægges vægt på, at eleven behersker mange metoder og kan anvende dem i de rette situationer. Den mundtlige prøve. Ved den mundtlige prøve skal elevens ejerskab til rapporten efterprøves. Det betyder at en elev, der har lavet en helt korrekt besvarelse, ikke nødvendigvis har lavet en besvarelse, der skal give en topkarakter. Måske har eleven fået lidt for meget hjælp og ved derfor ikke, hvad løsningen går ud på, eller det er ikke alle de matematiske kompetencer, der kommer i spil, idet eleven anvender de samme metoder igen og igen fx aflæsninger i Geogebra. Elevens egen præsentation af projektet skal være så kort, at der er god tid til at stille uddybende spørgsmål om konkrete formuleringer og beregninger. Man skal ikke bare fokusere på de fejl, der er i besvarelsen, men kan også spørge ind til korrekte beregninger, hvor man gerne vil høre nærmere om fx opstilling af ligninger eller sammenhæng mellem figurer og beregninger. Denne del af prøven må højst tage halvdelen af tiden. I den anden del af den mundtlige prøve har eleven trukket et spørgsmål, der tager udgangspunkt i en af projektrapporterne fra undervisningen. Eleven behøver ikke at redegøre for dette projekt, men for nogle elever er det en fordel, at de får mulighed for at sige nogle få konkrete ord om projektets indhold. I denne del af prøven har eleven i særlig grad mulighed for at vise ræsonnementskompetencen. 2
Hermed menes ikke nødvendigvis reproduktion af et bevis, men eleven kan også komme med matematiske argumenter i relation til en metode eller et generelt eksempel i modsætning til et konkret eksempel, hvor der kun tales om de specifikke tal og resultater, der indgår i eksemplet. Ofte vil det gøre det nemmere for eleven, hvis der kan forklares ud fra en figur på tavlen eller måske et bilag til det mundtlige spørgsmål. En del elever foretrækker at besvare det udtrukne spørgsmål før præsentationen af eksamensprojektet, og dette er helt op til den enkelte. Karakterfastsættelsen Den samlede karakter gives ud fra en helhedsbedømmelse, og her kan man ikke på forhånd sige at projektet tæller f.eks. 50 %. Dette må vurderes i hvert enkelt tilfælde ud fra opfyldelsen af de faglige mål. På de sidste sider i dette brev findes den beskrivelse af karaktererne 12, 7 og 02, der blev udarbejdet ved indførelsen af 7-trinsskalaen. Kommentarer til projektoplæg, vejledningsperiode og prøven Matematik B er det fag, hvor eleverne opnår langt det dårligste gennemsnit ved den afsluttende prøve alle de gymnasiale fag. Sidste år var 196 elever til eksamen, og de fik et gennemsnit på 3,9. Det er derfor grund til at være særlig opmærksom på B-niveauet på htx, og jeg vil gerne bede om jeres kommentarer til både projektoplæggets udformning, faglige niveau og omfang, hvordan vejledningen forløber i projektperioden, og om der er særlige forhold under prøven, vi skal være særlig opmærksomme på i UVM og i opgavekommissionen. Send alle indlæg til fagkonsulenten Marit.Schou@stukuvm.dk inden d. 30/6 2015. TAK J 3
Kompetencer i matematik Tankegangskompetence: at være bevidst om, hvilke slags spørgsmål, der er karakteristiske for matematik og selv at kunne stille sådanne spørgsmål at have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes Problembehandlingskompetencen. at kunne opstille et problem matematisk og at kunne løse det. Modelleringskompetencen analysere virkeligheden matematisere (herunder begrænse) det område man vil modellere (problemløsning) validere analysere modellen og undersøge indenfor hvilke rammer den gælder Ræsonnementskompetencen følge og bedømme et matematisk ræsonnement (en kæde af argumenter) forstå hvad et bevis er, dvs. afdække hovedpunkter i forhold til detaljer og teknikaliteter. at kunne udtænke og gennemføre matematiske ræsonnementer. Repræsentationskompetencen at kunne betjene sig af forskellige repræsentationer af samme matematiske begreb. at kunne forbinde repræsentationerne og oversætte i mellem dem. at kunne afgøre hvilke styrker og svagheder en repræsentation har. Symbol- og formalismekompetence at kunne afkode symbol- og formelsprog at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og alm. sprog at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk. Kommunikationskompetencen at kunne forstå og fortolke andres matematikholdige udsagn udtrykke sig i et præcist matematisk sprog formidling af et matematisk emne dvs. kunne få budskabet ud! Hjælpemiddelkompetencen forståelse af redskabernes muligheder og begrænsninger betjening af hjælpemidler og refleksion af resultatet 4
Forslag til bedømmelsesskema Navn: Klasse Problembehandling/ Hjælpemiddel Ræsonnement/ Tankegang Modellering Kommunikation/ Repræsentation/ Symbol- & formalisme Samlet bedømmelse Spørgsmål Forklaring Kompetencerne er bundtet, så de kompetencer, der minder om hinanden, er slået sammen. Så bliver skemaet nemmere at arbejde med, når man læser et projekt igennem. I søjlen til venstre står de kompetencer, man vurdere. I søjlen i midten noteres bedømmelsen og måske eksempler på delspørgsmål, hvor eleven har vist kompetencen meget tydeligt. I søjlen til højre kan man skrive sin vurdering. Benyt fx bogstavudgaven af 7-trinsskalaen (A, B, C, D, E, F og Fx), så man ikke fristes til bare at tage et gennemsnit til sidst, men faktisk giver en helhedsbedømmelse. Problembehandling/hjælpemiddel: I hvor høj grad er eleven i stand til at anvende den matematiske teori til at løse opgaver med, og hvor god er vedkommende til at inddrage (it-) hjælpemidler? Er begge dele vist, eller bliver løsningerne fundet ved konstruktion i et program? Ræsonnement/tankegangskompetencen: I hvor høj grad forklarer og argumenterer eleven for sin løsningsmetode? I de åbne opgaver, hvor eleven selv skal antage mål, geometriske former etc. er eleven da i stand til at foretage fornuftige valg, der kan besvares med matematik? Modellering: Denne kompetence kommer især til udtryk i opgave 2f), hvor eleven selv skal argumentere for togvognens geometri og for hvilke dele af virkeligheden, det er relevant at medtage. Kommunikation/repræsentation/symbol & formalismekompetencen: Hvor god er eleven til at forklare, anskueliggøre, visualisere sine løsninger? Veksles der mellem forskellige repræsentationer, så man fx kan se at en beregnet løsning passer med en konstrueret? benyttes sproget korrekt? Samlet bedømmelse: her opsummeres kort det indtryk den samlede besvarelse giver. Er den selvstændig? sikker? inddrages flere metoder, matematiske områder? Spørgsmål: Hvilke opgaver ønsker man uddybet ved en eventuel mundtlig prøve? Det behøver IKKE være fejl eller ufuldstændige svar, men kan også være afklaring af en upræcished eller måske om eleven kender en anden måde at gøre noget på. Måske en forklaring på en figur. 5
Matematik B-niveau på htx Den mundtlige prøve Karakteren 12 Fremlæggelsen er velstruktureret og eksaminanden behersker fagets terminologi og kan skifte sikkert mellem det matematiske symbolsprog og det daglige talte sprog. Eksaminanden demonstrerer stor fortrolighed med matematisk tankegang og ræsonnement herunder enkel matematisk bevisførelse. Eksaminanden udviser et stort overblik på alle felter samt evne til at generalisere og anvende stoffet i andre sammenhænge. Ved fremlæggelsen forekommer ingen eller kun få uvæsentlige fejl og mangler. Karakteren 7 Fremstillingen er godt struktureret, og fagets terminologi benyttes. Der veksles på tilfredsstillende måde mellem det matematiske symbolsprog og det daglige talte sprog. Eksaminanden demonstrerer en vis fortrolighed med matematisk tankegang og ræsonnement, dog med udeladelse af visse argumenter. Eksaminanden har et godt overblik og kendskab til væsentlige områder af stoffet og kan i nogen grad generalisere. En del af fremlæggelsen er eksempler på konkrete anvendelser. Ved fremlæggelsen forekommer adskillige fejl og mangler. Karakteren 02 Fremstillingen er ustruktureret. Eksaminanden behersker kun mangelfuldt fagets terminologi og skifter usikkert mellem det matematiske symbolsprog og det daglige talte sprog, samt mellem forskellige repræsentationsformer. Eksaminanden demonstrerer en ringe fortrolighed med matematisk tankegang og ræsonnement. Fremlæggelsen er usikker og består primært af eksempler på konkrete anvendelser. Eksaminanden har et beskedent overblik men behersker simpel symbolmanipulation.
Projektprøven Karakteren 12 I besvarelsen er matematiske teorier og metoder herunder relevante IT-værktøjer benyttet korrekt og hensigtsmæssigt. Ud fra enkle matematiske ræsonnementer argumenteres sagligt for de anvendte løsningsmetoder. Løsningen er veldokumenteret med en sikker brug af figurer og symbolsprog. Eksaminanden er i stand til at opstille og behandle simple matematiske modeller og vurdere såvel model som løsning. Der demonstreres fagligt overblik og eleven er i stand til at inddrage en meget stor del af stoffet i besvarelsen. Kommunikationsværdien er meget høj, idet der på en naturlig måde skiftes mellem det matematiske symbolsprog og almindeligt skriftsprog. Eksaminanden behersker fagets terminologi og kan skifte mellem forskellige repræsentationsformer. I besvarelsen forekommer ingen eller kun få uvæsentlige fejl og mangler. Karakteren 7 I besvarelsen er matematiske teorier og metoder herunder relevante IT-værktøjer benyttet godt og hensigtsmæssigt. Ud fra simple matematiske ræsonnementer argumenteres der i et vist omfang for de anvendte løsningsmetoder. Løsningen er dokumenteret med en god brug af figurer og symbolsprog, og der inddrages en god del af stoffet i besvarelsen. Eksaminanden er delvist i stand til at opstille og behandle simple matematiske modeller og vurdere løsningerne. Kommunikationsværdien er god, idet eksaminanden kan skifte mellem det matematiske symbolsprog og almindeligt skriftsprog. I besvarelsen forekommer adskillige fejl og mangler. Karakteren 02 I besvarelsen er matematiske teorier og metoder herunder relevante IT-værktøjer benyttet på et meget elementært niveau. Matematiske ræsonnementer anvendes usikkert og usammenhængende.
Dokumentationen er mangelfuld med ringe brug af figurer og symbolsprog. Der demonstreres et beskedent fagligt overblik og kun elementære dele af stoffet inddrages. Eksaminanden er i ringe grad i stand til at opstille og behandle simple matematisk modeller, men kan løse elementære opgavetyper. Anvendelsen af fagets terminologi er usikker. Kommunikationsværdien er beskeden, idet eksaminanden kun i mindre udstrækning kan skifte mellem det matematiske symbolsprog og almindeligt skriftsprog.