Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen

Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr. 2 2005

Publikationen indgår i Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie som nr. 2-2005 Copyright: Undervisningsministeriet Serieredaktion: Werner Hedegaard Grafisk tilrettelægger: Schwander Kommunikation Tegninger: Ole Schwander Omslag: Schwander Kommunikation 2. reviderede udgave, april 2005 ISBN (WWW) 87-603-2472-4 Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie (Online) 399-7394 Internetadresse: pub.uvm.dk/2005/formelsamling Udgivet af Undervisningsministeriet, Uddannelsesstyrelsen, Kontor for eksamen og tilsyn, Sektionen for folkeskolens afsluttende prøver Published in Denmark 2005 Publikationen er udelukkende udgivet i elektronisk form

Forord Til eleven Denne formel- og tabelsamling kan du bruge i dit daglige arbejde med faget matematik i 7.-0. klasse. en må du medbringe til afgangsprøven og til 0.-klasseprøven i matematik. en må ikke benyttes til færdighedsdelen til afgangsprøven. Nogle af formlerne har du måske arbejdet med i en anden udformning, end de er vist her. Du må bruge dine egne optegnelser og anvende den form, du er mest fortrolig med. Til læreren Hensigten med at udarbejde en særlig formel- og tabelsamling til brug ved folkeskolens prøver i matematik er at afgrænse det fagsprog og de matematiske begreber, der uden yderligere forklaring kan indgå i de afsluttende prøver. Hæftet giver eksempler på fx diagramtyper og faglige udtryksformer, der kan forventes at indgå i de skriftlige opgaver. I færdighedsdelen til folkeskolens afgangsprøve vil mere specielle formler fra formel- og tabelsamlingen, som fx Herons formel, blive givet i forbindelse med den konkrete opgave. I problemdelen forventes det, at eleverne benytter formel- og tabelsamlingen. Formler, der ikke findes i formel- og tabelsamlingen, vil blive givet i forbindelse med den konkrete opgave i problemdelen til FSA og til FS0. en er ikke en matematisk opslagsbog eller et matematikleksikon i sædvanlig forstand. Fx er der i forbindelse med a ikke angivet nogen definitionsmængde for a. Det er således udeladt, at a skal være et ikke-negativt tal. Det internationale enhedssystem, SI-systemet (Système International d unités), som siden 976 har været standard for størrelser og enheder i fx undervisningsmaterialer og offentlige publikationer, angiver, at rumenheden liter kan benævnes som et l eller et L. Da l nemt kan forveksles med tallet kan man med fordel anvende L. I tabellen over enheder er liter angivet med begge skrivemåder. 4

Disse og tilsvarende overvejelser og forklaringer bør være en naturlig del af undervisningen i matematik. en må medbringes til problemdelen af den skriftlige afgangsprøve i matematik og den skriftlige prøve i matematik i 0. klasse. Ligeledes må den anvendes ved den mundtlige del af prøverne. Hæftet må ikke anvendes i færdighedsdelen. 5

Indhold 4 Forord 7 Tal og algebra 0 Økonomi 3 Geometri Begreber 5 Geometri Areal 7 Geometri Rumfang og overflade 9 Geometri Flytninger 2 Geometri Tegning 23 Funktioner 26 Statistik 28 Sandsynlighed 29 Masse og måleenheder 30 Måleenheder 33 Væksttabeller 6

Tal og algebra Tal Hele tal 4 3 2 0 2 3 4 5 6 Brøker rationale tal Irrationale tal 2 7 0 5 3 2 5 π Primtal 2, 3,5,7,,3,7,9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97, 0, 03,... kaldes for primtal. Et primtal er et naturligt tal, som netop to tal går op i nemlig og tallet selv. Sammensatte tal Et naturligt tal, der ikke er et primtal, kan på netop én måde skrives som et gangestykke af primtal: 2 = 3 7 2 er et sammensat tal 827 = 3 2 7 29 827 er et sammensat tal 7

Uligheder intervaller Eksempler på intervaller 2 0 3 [ 2;3] eller 2 x 3 [a;b] eller a x b lukket interval fra a til b 2 0 3 ] 2;3[ eller 2 < x < 3 ]a;b[ eller a < x < b åbent interval fra a til b 2 0 3 ] 2;3] eller 2 < x 3 ]a;b] eller a < x b halvåbent interval fra a til b Brøker a : b = a b 4 : 3 = 4 3 a + b = a + b c c c 2 7 + 3 = 7 5 7 a b = a b c c c 5 2 4 2 = 2 a b = c a b c 3 4 = 3 4 = 2 5 5 5 a b c = d a c b d 4 2 = 4 2 = 5 3 5 3 8 5 a b : a c = b c = a : c b 6 : 2 = 6 = 6 : 2 = 3 7 7 2 7 7 8

Kvadratrødder a b = a b 9 0 = 9 0 = 3 0 a b = a b 3 00 3 = = 00 3 0 Tal skrevet som potens n faktorer a n = a a a... a 5, 0 6 = 5, mio. = 5 00 000 a n = a n 2 4 = 2 2 2 2 = 6 a 0 = 0 3 = 0 3 = 000 = 0,00 0 0 = a n a p = a n+p a n : a p = a n p (a n ) p = a n p 3 2 3 4 = 3 2+4 = 3 6 4 5 4 3 = 4 5 3 = 4 2 (2 5 ) 2 = 2 5 2 = 2 0 2 x 2 = 2 x x (2 x) 2 = (2x) (2x) = 4x 2 Parentesregler a + (b c + d) = a + b c + d a ( b + c d) = a + b c + d a (b c + d) = a b a c + a d (a + b) (c d) = a c a d + b c b d (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 9

Økonomi Procent 5 5% = 5 ud af 00 = 00 = 0,05 0 kr. 06 kr. 325 kr. 0% 8% 00% 8% af 325 kr. er 0,08 325 kr. = 06 kr. 0 kr. 60 kr. 300 kr. 0% 20% 00% Hvor mange procent er 60 kr. af 300 kr.? 60 kr. : 300 kr. = 0,20 = 20 = 20% 00 0 kr. 200 kr. 250 kr. 0% 00% 25% Hvor mange procent er 250 kr. større end 200 kr.? (250 kr. 200 kr.) : 200 kr. = 0,25 = 25% 0 kr. 200 kr. 250 kr. 0% 80% 00% Hvor mange procent er 200 kr. mindre end 250 kr.? (250 kr. 200 kr.) : 250 kr. = 0,20 = 20% 0 kr. 640 kr. 800 kr. 0% 00% 25% 25% af et beløb er 800 kr. Beløbet er 800 kr. :,25 = 640 kr. 0

Rente Renten R af K kroner til p% p.a. i d dage er eller R = K p d 00 D R = K : 00 p : D d R: rente K: beløb, kapital p: procent pr. år d: antal rentedage D: antal dage i et renteår Vækst Startværdi Værdi efter n perioder K p% pr. periode K n K n = K( + x) n K: startværdi p: vækst i procent pr. periode x = p : 00, væksten i procent angivet som decimaltal n: antal vækstperioder K n : værdi efter n perioder Væksttabel enhed er efter 5 perioder på,50% pr. periode vokset til,0773 ( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 0,25% x 2,50% n\x 0,25% 0,50% 0,75%,00%,25%,50%,75% 2,00% 2,25% 2,50%,0025,0050,0075,000,025,050,075,0200,0225,0250 2,0050,000,05,020,0252,0302,0353,0404,0455,0506 3,0075,05,0227,0303,0380,0457,0534,062,0690,0769 4,000,0202,0303,0406,0509,064,079,0824,093,038 5,026,0253,038,050,064,0773,0906,04,77,34 6,05,0304,0459,065,0774,0934,097,262,428,597 7,076,0355,0537,072,0909,098,29,487,685,887 8,0202,0407,066,0829,045,265,489,77,948,284 9,0227,0459,0696,0937,83,434,690,95,227,2489 0,0253,05,0776,046,323,605,894,290,2492,280,0278,0564,0857,57,464,779,203,2434,2773,32 2,0304,067,0938,268,608,956,234,2682,3060,3449 3,0330,0670,020,38,753,236,2530,2936,3354,3785

Fremmed valuta 350 til kurs 744 koster 350 7,44 kr. = 3,50 744 kr. = 2 604,00 kr. Kurs: Prisen for 00 af den fremmede valuta i danske kroner. For 500 DKK kan man købe 500 : 0,74 46,55 til kurs 074. Kursen kan også angives som prisen for af den fremmede valuta i danske kroner. 2

Geometri Begreber m m er midtnormal til AB. A M B Linjen m er vinkelret på linjestykket AB, og linjen m går gennem midtpunktet M af AB. 30 o 30 o Den linje, der halverer en vinkel, kaldes vinkelhalveringslinjen. Midtnormalerne i en trekant skærer hinanden i centrum for den omskrevne cirkel. Vinkelhalveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i centrum for den indskrevne cirkel. 3

k O: centrum for cirklen p: cirkelperiferien d O r t d: cirklens diameter r: cirklens radius (r = d) 2 t: vinkelret på radius er en tangent til cirklen p k: korde til cirklen den længste korde er d.. Cirkeludsnit Cirkelafsnit Trekant M h: højde v: vinkelhalveringslinje m: midtnormal x o x o v m h Vinkelsummen i en trekant er 80 O. Retvinklet trekant b C a Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 A c B c 2 = a 2 + b 2 b 2 = c 2 a 2 a 2 = c 2 b 2 4

Geometri Areal Trekant C C b h a = g b a h A c B A c = g B h: højde g: grundlinje A: areal A = 2 h g s er den halve omkreds: s = Herons formel: A = a + b + c 2 s (s a) (s b) (s c) Rektangel b l : længde b : bredde A : areal O: omkreds A = l b O = 2 (l + b) l 5

Trapez h b a h: højde a og b: parallelle sider A: areal A = 2 h (a + b) Parallelogram h h: højde g: grundlinje A: areal g A = h g Cirkel O r: radius d: diameter A: areal O: omkreds d r A = π r 2 O = 2 π r eller O = π d 6

Kasse Geometri Rumfang og overflade flade / side h: højde l: længde l h b kant hjørne b: bredde V: rumfang O: overflade V = l b h O = 2 (l h + h b + b l) Prismer h: højde h h G: areal af grundfladen V: rumfang G G V = h G Cylinder h: højde r: radius h V: rumfang O: den krumme overflade r V = π r 2 h O = 2 π r h 7

Kegler h h h: højde G: areal af grundfladen V: rumfang r r V = 3 h G Pyramide h h h: højde G: areal af grundfladen V: rumfang G G V = 3 h G Kugle d r r: radius d: diameter V: rumfang O: overflade 4 V = π r 3 3 O = 4 π r 2 8

Geometri Flytninger Drejning, spejling og parallelforskydning kaldes for flytninger. En flytning danner en figur, der er kongruent med den flyttede figur. Spejling A C s er spejlingsakse ABC er spejlet i linjen s. A B s B C Parallelforskydning C C A B A B C 2 A 2 B 2 ABC parallelforskydes i A B C og parallelforskydes videre i A 2 B 2 C 2 9

Drejning B C C A = A B ABC drejes om A i A B C C B C A O A B ABC drejes om O i A B C 20

Geometri Tegning Målestoksforhold gade ej H jen ejen Traneholmen Tranehol Adelgade Ringvejen Vibeengen Vibee Sportsvej Ahornvej Rypevej N ddevej ÿstergade R rmosevej R Lang gade StorkevÊnget Stor Stadion Hanevej Hanekammen Hanesporet Falck Gr nnegade Cir kelvej Strandvejen B 409 Hyldevej B gevej A Egevej Allegade Fredens Alle Classensgade Baggersvej Enghavevej Målestoksforholdet: : 50000 Afstanden mellem A og B er på kortet 4 cm Afstanden er i virkeligheden: 50000 4 cm = 200000 cm = 2000 m b inken Isometrisk tegning 2

Perspektivisk tegning Med forsvindingspunkt: horisontlinje forsvindingspunkt vandret frontlinje Med 2 forsvindingspunkter: forsvindingspunkt horisontlinje under figuren forsvindingspunkt forsvindingspunkt horisontlinje over figuren forsvindingspunkt A B midtpunkt af AB 22

Funktioner Graf: y Ligning: y = x 3 x 2 x + 2 2 Tabel: x 2 0 2 3 y 4 2 2 (,) (0,) (3,) 2 2 4 - (, ) -2 (2, 2) -3-4 ( 2, 4) x Lineær funktion Ligningen for en linje: Graf: y Ligning: y = x + 2 2 y = ax + b a er et udtryk for linjens hældning og kaldes stigningstallet eller hældningskoefficienten (0,2) } = a 2 Tabel: x 0 4 y 2 2 0 (0,b): skæringspunkt med y-aksen b (,0): skæringspunkt med x-aksen a x Ligefrem proportionalitet Eksempel: y y = ax 2 y = 2x x 23

Omvendt proportionalitet y = a : x eller y a = x x 0 Eksempel: y y = 2 x x Vækstfunktion Vækstkurve: y K n = K( + x) n K: startværdi p: vækstprocent pr. periode p x = = p : 00 00 n: antal vækstperioder 6 5 4 3 2 2 2 4 x Eksempel K = 00 000 K 5 = 00 000 (+0,05) 5 p: 5 5 x = = 5% = 0,05 00 n: antal vækstperioder 24

y Grafisk ligningsløsning 3 I 2 y = x 2 I: II: y = x 2 y = x + 2 2 2 3 y = x + 2 2 2 x II Løsning: x = 3 y = y I: y = 2x + 8 8 II: y = 6 x 6 Løsninger: (x,y) = (,6) og (x,y) = (3,2) 4 y = 2x + 8 2 y = 6 x II 3 5 I x 25

Statistik Nogle forskellige diagramtyper Diagrammer til angivelse af hyppigheder, frekvenser og procent Pindediagram Søjlediagram hyppighed 5 0 5 0 4 år 5 år 6 år Gennemsnit: (7 4 år + 0 5 år + 8 6 år) : 25 = 5,04 år Gennemsnit: Summen af alle observationer divideret med antallet af observationer Diagrammer for procent-fordeling Cirkeldiagram Procentdiagram Opsparing 8% 00% 65 o 97 o 98 o Privat forbrug 55% Fælles forbrug 27% 0% 27% af 360 O = 97,2 O 97 O 26

Observationer Alle mål i millimeter A: Måle længder og ordne 26, 55, 70, 7, 79, 88, 88, 90, 00, 02, 6, 25, 38, 38, 38, 47, 48, 89, 206, 207, 225, 24, 24, 250 B: Beskrive C: Tabellægge observationer Fordelingstabel Interval ]0; 50] ]50;00] ]00;50] ]50;200] ]200;250] Hyppighed 8 8 6 Frekvens 4,2% 33,3% 33,3% 4,2% 25,0% Summeret hyppighed 9 7 8 24 Summeret frekvens 4,2% 37,5% 70,8% 75,0% 00,0% typetal: 38 størsteværdi: 250 mindsteværdi: 26 variationsbredde: 250 26 = 224 D: Tegne diagram 00% E: Tegne diagram 80% 0 50 00 50 200 250 længde Typeintervaller 60% 40% 20% 0,0 0 50 00 50 200 250 Kvartilsæt 88. kvartil 32 Median 93 3. kvartil F: Beskrive. kvartil : 25% af klodserne er ifølge modellen højst 88 mm lange Median : 50% af klodserne er ifølge modellen højst 32 mm lange 3. kvartil : 75% af klodserne er ifølge modellen højst 93 mm lange. G: Udarbejde fordelingstabel Interval ]0;50] ]50;00] ]00;50] ]50;200] ]200;250] Midt mellem a og b 25 75 25 75 225 Hyppighed 8 8 6 Samlet længde 25 8 75 8 25 75 6 225 H: Beskrive Samlet længde er 25 mm + 8 75 mm + 8 25 mm + 75 mm + 6 225 mm = 350 mm som fordeles mellem 24 klodser: 350 mm : 24 = 3,25 mm Middeltallet er 3 mm. 27

Sandsynlighed Udfaldsrummet for de 250 kast er: Endeflade Strygeflade Bagsiden Billedsiden Strygeflade 2 Endeflade 2 Fordelingstabel for 250 kast med en tændstikæske Billedsiden Bagsiden Endeflade Strygeflade og 2 og 2 h(x) Hyppigheden 98 03 9 40 f(x) Frekvensen 98 250 03 250 9 250 40 250 0,392 0,42 0,036 0,60 39,2% 4,2% 3,6% 6,0% 98 Den statistiske sandsynlighed er 250 = 0,392 = 39,2% for at billedsiden kommer opad. Sandsynligheden for snurretoppens 8 mulige udfald 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 betragtes som lige store. 5 6 7 Sandsynlighederne er jævnt fordelt, så for udfaldet 2 bliver sandsynligheden P(2) = = 0,25 = 2,5% 8 4 3 2 8 9 Sandsynligheden for hændelsen, at snurretoppen lander på et lige tal, er antal gunstige 4 P(lige tal) = = = 0,50 = 50% antal mulige 8 Antallet af tal 2, 4, 6 og 8 kaldes her for hændelsens gunstige udfald. Antallet af kanter på snurretoppen kaldes her for de mulige udfald. 28

Masse og måleenheder Vægt Masse = massefylde rumfang massefylde = masse rumfang Et lod vejer 05 g og har et rumfang på 5 cm 3. Massefylden er: 05 g : 5 cm 3 = 7,0 g/cm 3 7,0 g/cm 3 = 7,0 g cm 3 Et lod vejer 70 kg og har et rumfang på 7 dm 3. Massefylden er: 70 kg : 7dm 3 = 0 kg/dm 3 Et lod vejer 50 tons og har et rumfang på 0 m 3. Massefylden er: 50 tons : 0 m 3 = 5 tons/m 3 Et lod vejer 3,0 kg og har et rumfang på 0, m 3. Massefylden er: 3,0 kg : 0, m 3 = 30 kg/m 3 kg I SI-systemet benævnes massefylde som kg/m 3 =. m 3 kg kg Dvs. 3,0 g/cm 3 = 3 = 3000 dm 3 m 3 29

Måleenheder SI-systemet er det internationale system for, hvordan man angiver enheder. I skemaet over enheder er der med blåt tilføjet angivelser for enheden liter skrevet med et stort L, som det kan skrives i SI-systemet. Længde km hm dam m dm cm mm 000 m 00 m 0 m m 0, m 0,0 m 0,00 m 0 3 m 0 2 m 0 m 0 0 m 0 m 0 2 m 0 3 m Areal km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 000000 m 2 0000 m 2 00 m 2 m 2 0,0 m 2 0,000 m 2 0,00000 m 2 0 6 m 2 0 4 m 2 0 2 m 2 0 0 m 2 0 2 m 2 0 4 m 2 0 6 m 2 ha 30

Rumfang km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 000000000 000000 m 3 000 m 3 m 3 0,00 m 3 0,00000m 3 0,00000000 m 3 m 3 0 9 m 3 0 6 m 3 0 3 m 3 0 0 m 3 0 3 m 3 0 6 m 3 0 9 m 3 kl = kl l = L ml = ml m 3 dm 3 cm 3 kl = kl hl = hl dal = dal l = L dl = dl cl = cl ml = ml 000 l = 000L 00 hl = 00hL 0 l = 0L l = L 0,l = 0,L 0,0 l = 0,0L 0,00 l = 0,00 L 0 dl = 0 dl 00 cl = 00cL 000 ml = 000mL Sjældent anvendte måleenheder Vægt t kg hg dag g dg cg mg 000000 g = 000 kg 000 g 00 g 0 g g 0, g 0,0 g 0,00 g 000 mg 00 mg 0 mg Sjældent anvendte måleenheder 3

Præfiks Titalspotens T, tera 0 2 G, giga 0 9 M, mega 0 6 k, kilo 0 3 h, hekto 0 2 da, deka 0 d, deci 0 c, centi 0 2 m, milli 0 3 µ, mikro 0 6 n, nano 0 9 p, pico 0 2 32

( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 0,25% x 2,50% n\x 0,25% 0,50% 0,75%,00%,25%,50%,75% 2,00% 2,25% 2,50%,0025,0050,0075,000,025,050,075,0200,0225,0250 2,0050,000,05,020,0252,0302,0353,0404,0455,0506 3,0075,05,0227,0303,0380,0457,0534,062,0690,0769 4,000,0202,0303,0406,0509,064,079,0824,093,038 5,026,0253,038,050,064,0773,0906,04,77,34 6,05,0304,0459,065,0774,0934,097,262,428,597 7,076,0355,0537,072,0909,098,29,487,685,887 8,0202,0407,066,0829,045,265,489,77,948,284 9,0227,0459,0696,0937,83,434,690,95,227,2489 0,0253,05,0776,046,323,605,894,290,2492,280,0278,0564,0857,57,464,779,203,2434,2773,32 2,0304,067,0938,268,608,956,234,2682,3060,3449 3,0330,0670,020,38,753,236,2530,2936,3354,3785 4,0356,0723,03,495,900,238,2749,395,3655,430 5,0382,0777,86,60,2048,2502,2972,3459,3962,4483 6,0408,083,270,726,299,2690,399,3728,4276,4845 7,0434,0885,354,843,235,2880,3430,4002,4597,526 8,0460,0939,440,96,2506,3073,3665,4282,4926,5597 9,0486,0994,525,208,2662,3270,3904,4568,5262,5987 20,052,049,62,2202,2820,3469,448,4859,5605,6386 2,0538,04,699,2324,298,367,4395,557,5956,6796 22,0565,60,787,2447,343,3876,4647,5460,635,726 23,059,26,875,2572,3307,4084,4904,5769,6682,7646 24,068,272,964,2697,3474,4295,564,6084,7058,8087 25,0644,328,2054,2824,3642,4509,5430,6406,744,8539 26,067,385,244,2953,382,4727,5700,6734,7834,9003 27,0697,442,2235,3082,3985,4948,5975,7069,8235,9478 28,0724,499,2327,323,460,572,6254,740,8645,9965 29,075,556,2420,3345,4337,5400,6539,7758,9065 2,0464 30,0778,64,253,3478,456,563,6828,84,9494 2,0976 3,0805,672,2607,363,4698,5865,722,8476,9933 2,500 32,0832,730,270,3749,488,603,7422,8845 2,038 2,2038 33,0859,789,2796,3887,5067,6345,7727,9222 2,0840 2,2589 34,0886,848,2892,4026,5256,6590,8037,9607 2,308 2,353 35,093,907,2989,466,5446,6839,8353,9999 2,788 2,3732 36,094,967,3086,4308,5639,709,8674 2,0399 2,2278 2,4325 37,0968,2027,385,445,5835,7348,900 2,0807 2,2779 2,4933 38,0995,2087,3283,4595,6033,7608,9333 2,223 2,3292 2,5557 39,023,247,3383,474,6233,7872,9672 2,647 2,386 2,696 40,050,2208,3483,4889,6436,840 2,006 2,2080 2,4352 2,685 4,078,2269,3585,5038,6642,842 2,0366 2,2522 2,4900 2,7522 42,06,2330,3686,588,6850,8688 2,0723 2,2972 2,5460 2,820 43,33,2392,3789,5340,7060,8969 2,085 2,3432 2,6033 2,895 44,6,2454,3893,5493,7274,9253 2,454 2,390 2,669 2,9638 45,89,256,3997,5648,7489,9542 2,830 2,4379 2,728 3,0379 46,27,2579,402,5805,7708,9835 2,222 2,4866 2,7830 3,39 47,245,2642,4207,5963,7929 2,033 2,2600 2,5363 2,8456 3,97 48,273,2705,434,622,854 2,0435 2,2996 2,587 2,9096 3,275 49,30,2768,442,6283,8380 2,074 2,3398 2,6388 2,975 3,3533 50,330,2832,4530,6446,860 2,052 2,3808 2,696 3,0420 3,437 33

( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 2,75% x 5,00% n\x 2,75% 3,00% 3,25% 3,50% 3,75% 4,00% 4,25% 4,50% 4,75% 5,00%,0275,0300,0325,0350,0375,0400,0425,0450,0475,0500 2,0558,0609,066,072,0764,086,0868,0920,0973,025 3,0848,0927,007,087,68,249,330,42,494,576 4,46,255,365,475,587,699,8,925,2040,255 5,453,593,734,877,202,267,233,2462,262,2763 6,768,94,25,2293,2472,2653,2837,3023,32,340 7,209,2299,2509,2723,2939,359,3382,3609,3838,407 8,2424,2668,296,368,3425,3686,395,422,4495,4775 9,2765,3048,3336,3629,3928,4233,4544,486,584,553 0,37,3439,3769,406,4450,4802,562,5530,5905,6289,3477,3842,426,4600,4992,5395,5807,6229,666,703 2,3848,4258,4678,5,5555,600,6478,6959,7452,7959 3,4229,4685,556,5640,638,665,779,7722,828,8856 4,4620,526,5648,687,6743,737,7909,859,949,9799 5,5022,5580,657,6753,737,8009,8670,9353 2,0059 2,0789 6,5435,6047,6682,7340,8022,8730,9463 2,0224 2,02 2,829 7,5860,6528,7224,7947,8698,9479 2,029 2,34 2,200 2,2920 8,6296,7024,7784,8575,9399 2,0258 2,53 2,2085 2,3055 2,4066 9,6744,7535,8362,9225 2,027 2,068 2,2052 2,3079 2,45 2,5270 20,7204,806,8958,9898 2,0882 2,9 2,2989 2,47 2,5298 2,6533 2,7677,8603,9575 2,0594 2,665 2,2788 2,3966 2,5202 2,6499 2,7860 22,864,96 2,02 2,35 2,2477 2,3699 2,4985 2,6337 2,7758 2,9253 23,8663,9736 2,0868 2,206 2,3320 2,4647 2,6047 2,7522 2,9077 3,075 24,976 2,0328 2,546 2,2833 2,494 2,5633 2,753 2,8760 3,0458 3,225 25,9704 2,0938 2,2246 2,3632 2,502 2,6658 2,8308 3,0054 3,904 3,3864 26 2,0245 2,566 2,2969 2,4460 2,6043 2,7725 2,95 3,407 3,3420 3,5557 27 2,0802 2,223 2,375 2,536 2,7020 2,8834 3,0765 3,2820 3,5007 3,7335 28 2,374 2,2879 2,4486 2,6202 2,8033 2,9987 3,2072 3,4297 3,6670 3,920 29 2,962 2,3566 2,5282 2,79 2,9084 3,87 3,3435 3,5840 3,842 4,6 30 2,2566 2,4273 2,604 2,8068 3,075 3,2434 3,4856 3,7453 4,0237 4,329 3 2,387 2,500 2,6952 2,9050 3,306 3,373 3,6338 3,939 4,248 4,5380 32 2,3824 2,575 2,7828 3,0067 3,2480 3,508 3,7882 4,0900 4,450 4,7649 33 2,4479 2,6523 2,8732 3,9 3,3698 3,6484 3,9492 4,2740 4,6247 5,0032 34 2,553 2,739 2,9666 3,2209 3,4962 3,7943 4,7 4,4664 4,8444 5,2533 35 2,5844 2,839 3,0630 3,3336 3,6273 3,946 4,2920 4,6673 5,0745 5,560 36 2,6555 2,8983 3,626 3,4503 3,7633 4,039 4,4744 4,8774 5,355 5,798 37 2,7285 2,9852 3,2654 3,570 3,9045 4,268 4,6646 5,0969 5,5680 6,084 38 2,8036 3,0748 3,375 3,6960 4,0509 4,4388 4,8628 5,3262 5,8325 6,3855 39 2,8807 3,670 3,48 3,8254 4,2028 4,664 5,0695 5,5659 6,095 6,7048 40 2,9599 3,2620 3,5942 3,9593 4,3604 4,800 5,2850 5,864 6,3997 7,0400 4 3,043 3,3599 3,70 4,0978 4,5239 4,993 5,5096 6,078 6,7037 7,3920 42 3,249 3,4607 3,836 4,243 4,6935 5,928 5,7437 6,356 7,022 7,766 43 3,208 3,5645 3,956 4,3897 4,8695 5,4005 5,9878 6,6374 7,3557 8,497 44 3,299 3,675 4,0847 4,5433 5,0522 5,665 6,2423 6,936 7,705 8,5572 45 3,3899 3,786 4,275 4,7024 5,246 5,842 6,5076 7,2482 8,07 8,9850 46 3,483 3,8950 4,3545 4,8669 5,4382 6,0748 6,7842 7,5744 8,4545 9,4343 47 3,5789 4,09 4,496 5,0373 5,642 6,378 7,0725 7,953 8,8560 9,9060 48 3,6773 4,323 4,6422 5,236 5,8537 6,5705 7,373 8,275 9,2767 0,403 49 3,7784 4,2562 4,793 5,396 6,0732 6,8333 7,6865 8,6437 9,773 0,923 50 3,8823 4,3839 4,9488 5,5849 6,3009 7,067 8,03 9,0326 0,789,4674 34

( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 5,25% x 7,50% n\x 5,25% 5,50% 5,75% 6,00% 6,25% 6,50% 6,75% 7,00% 7,25% 7,50%,0525,0550,0575,0600,0625,0650,0675,0700,0725,0750 2,078,30,83,236,289,342,396,449,503,556 3,659,742,826,90,995,2079,265,2250,2336,2423 4,227,2388,2506,2625,2744,2865,2986,308,323,3355 5,295,3070,3225,3382,354,370,3862,4026,490,4356 6,3594,3788,3986,485,4387,459,4798,5007,529,5433 7,4307,4547,4790,5036,5286,5540,5797,6058,6322,6590 8,5058,5347,5640,5938,6242,6550,6863,782,7506,7835 9,5849,69,6540,6895,7257,7626,8002,8385,8775,972 0,668,708,749,7908,8335,877,927,9672 2,036 2,060,7557,802,8496,8983,948,9992 2,054 2,049 2,596 2,256 2,8478,902,9560 2,022 2,0699 2,29 2,899 2,2522 2,362 2,388 3,9449 2,0058 2,0684 2,329 2,993 2,2675 2,3377 2,4098 2,484 2,5604 4 2,0470 2,6 2,874 2,2609 2,3367 2,449 2,4955 2,5785 2,6642 2,7524 5 2,544 2,2325 2,332 2,3966 2,4828 2,578 2,6639 2,7590 2,8573 2,9589 6 2,2675 2,3553 2,4462 2,5404 2,6379 2,7390 2,8437 2,9522 3,0645 3,808 7 2,3866 2,4848 2,5868 2,6928 2,8028 2,970 3,0357 3,588 3,2867 3,494 8 2,59 2,625 2,7356 2,8543 2,9780 3,067 3,2406 3,3799 3,5249 3,6758 9 2,6437 2,7656 2,8929 3,0256 3,64 3,3086 3,4593 3,665 3,7805 3,955 20 2,7825 2,978 3,0592 3,207 3,369 3,5236 3,6928 3,8697 4,0546 4,2479 2 2,9286 3,0782 3,235 3,3996 3,5720 3,7527 3,942 4,406 4,3485 4,5664 22 3,0824 3,2475 3,42 3,6035 3,7952 3,9966 4,2082 4,4304 4,6638 4,9089 23 3,2442 3,4262 3,678 3,897 4,0324 4,2564 4,4922 4,7405 5,009 5,277 24 3,445 3,646 3,8259 4,0489 4,2844 4,533 4,7954 5,0724 5,3646 5,6729 25 3,5938 3,834 4,0458 4,299 4,5522 4,8277 5,9 5,4274 5,7535 6,0983 26 3,7825 4,023 4,2785 4,5494 4,8367 5,45 5,4647 5,8074 6,706 6,5557 27 3,980 4,2444 4,5245 4,8223 5,390 5,4757 5,8335 6,239 6,680 7,0474 28 4,900 4,4778 4,7847 5,7 5,4602 5,836 6,2273 6,6488 7,0978 7,5759 29 4,400 4,724 5,0598 5,484 5,805 6,207 6,6477 7,43 7,624 8,44 30 4,646 4,9840 5,3507 5,7435 6,64 6,644 7,0964 7,623 8,643 8,7550 3 4,8852 5,258 5,6584 6,088 6,5493 7,0443 7,5754 8,45 8,7562 9,46 32 5,47 5,5473 5,9837 6,4534 6,9587 7,5022 8,0867 8,753 9,390 0,74 33 5,46 5,8524 6,3278 6,8406 7,3936 7,9898 8,6326 9,3253 0,079 0,8763 34 5,6958 6,742 6,696 7,250 7,8557 8,5092 9,253 9,978 0,802,6920 35 5,9948 6,538 7,0764 7,686 8,3467 9,0623 9,8373 0,6766,5853 2,5689 36 6,3095 6,872 7,4833 8,473 8,8683 9,653 0,503,4239 2,4252 3,55 37 6,6408 7,250 7,936 8,636 9,4226 0,2786,202 2,2236 3,3260 4,5249 38 6,9894 7,6488 8,3686 9,543 0,05 0,9467,9668 3,0793 4,292 5,643 39 7,3563 8,0695 8,8498 9,7035 0,6372,6583 2,7746 3,9948 5,3283 6,7853 40 7,7426 8,533 9,3587 0,2857,302 2,46 3,6369 4,9745 6,4396 8,0442 4 8,490 8,985 9,8968 0,9029 2,0084 3,223 4,5574 6,0227 7,635 9,3976 42 8,5769 9,4755 0,4659,5570 2,7590 4,0826 5,5400 7,443 8,9098 20,8524 43 9,027 9,9967,0677 2,2505 3,5564 4,9980 6,5890 8,3444 20,2807 22,463 44 9,50 0,5465,704 2,9855 4,4037 5,9729 7,7087 9,6285 2,75 24,0975 45 9,9999,266 2,3770 3,7646 5,3039 7,0 8,9040 2,0025 23,328 25,9048 46 0,5249,7385 3,0887 4,5905 6,2604 8,68 20,80 22,4726 25,093 27,8477 47,0774 2,384 3,843 5,4659 7,2767 9,2944 2,5422 24,0457 26,8332 29,9363 48,6590 3,0653 4,6372 6,3939 8,3565 20,5485 22,9963 25,7289 28,7787 32,85 49 2,27 3,7838 5,4788 7,3775 9,5037 2,8842 24,5486 27,5299 30,865 34,595 50 2,953 4,5420 6,3689 8,4202 20,7227 23,3067 26,2056 29,4570 33,028 37,897 35

( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 7,75% x 0,00% n\x 7,75% 8,00% 8,25% 8,50% 8,75% 9,00% 9,25% 9,50% 9,75% 0,00%,0775,0800,0825,0850,0875,0900,0925,0950,0975,000 2,60,664,78,772,827,88,936,990,2045,200 3,250,2597,2685,2773,286,2950,3040,329,329,330 4,3479,3605,373,3859,3987,46,4246,4377,4508,464 5,4524,4693,4864,5037,52,5386,5563,5742,5923,605 6,5650,5869,6090,635,6542,677,7003,7238,7475,776 7,6862,738,748,770,7989,8280,8576,8876,979,9487 8,869,8509,8855,9206,9563,9926 2,0294 2,0669 2,049 2,436 9,9577,9990 2,040 2,0839 2,275 2,79 2,27 2,2632 2,302 2,3579 0 2,095 2,589 2,2094 2,260 2,336 2,3674 2,4222 2,4782 2,5354 2,5937 2,2730 2,336 2,397 2,4532 2,56 2,5804 2,6463 2,737 2,7826 2,853 2 2,449 2,582 2,5890 2,667 2,7362 2,827 2,89 2,975 3,0539 3,384 3 2,6389 2,796 2,8026 2,8879 2,9756 3,0658 3,585 3,2537 3,357 3,4523 4 2,8434 2,9372 3,0338 3,334 3,2360 3,347 3,4506 3,5629 3,6784 3,7975 5 3,0638 3,722 3,284 3,3997 3,592 3,6425 3,7698 3,903 4,037 4,772 6 3,302 3,4259 3,555 3,6887 3,827 3,9703 4,85 4,279 4,4307 4,5950 7 3,557 3,7000 3,8483 4,0023 4,620 4,3276 4,4995 4,6778 4,8627 5,0545 8 3,8328 3,9960 4,658 4,3425 4,526 4,77 4,957 5,222 5,3368 5,5599 9 4,298 4,357 4,5095 4,76 4,9222 5,47 5,3704 5,6088 5,857 6,59 20 4,4499 4,660 4,886 5,20 5,3529 5,6044 5,8672 6,46 6,4282 6,7275 2 4,7947 5,0338 5,2843 5,5466 5,822 6,088 6,4099 6,725 7,0550 7,4002 22 5,663 5,4365 5,7202 6,080 6,3306 6,6586 7,0028 7,3639 7,7428 8,403 23 5,5667 5,875 6,922 6,5296 6,8845 7,2579 7,6506 8,0635 8,4978 8,9543 24 5,998 6,342 6,7030 7,0846 7,4869 7,9 8,3582 8,8296 9,3263 9,8497 25 6,4630 6,8485 7,2560 7,6868 8,420 8,623 9,34 9,6684 0,2356 0,8347 26 6,9638 7,3964 7,8546 8,340 8,8544 9,3992 9,9760 0,5869,2336,982 27 7,5035 7,988 8,5026 9,0490 9,6292 0,245 0,8988,5926 2,3288 3,00 28 8,085 8,627 9,204 9,882 0,478,67,9069 2,6939 3,5309 4,420 29 8,77 9,373 9,9634 0,6528,3880 2,722 3,0083 3,8998 4,8502 5,863 30 9,3868 0,0627 0,7854,5583 2,3845 3,2677 4,26 5,2203 6,298 7,4494 3 0,43 0,8677,6752 2,5407 3,468 4,468 5,5262 6,6662 7,887 9,943 32 0,8982,737 2,6384 3,6067 4,6466 5,7633 6,9624 8,2495 9,63 2,38 33,7428 2,6760 3,68 4,7632 5,9282 7,820 8,534 9,9832 2,545 23,2252 34 2,6528 3,690 4,8098 6,08 7,329 8,7284 20,2455 2,886 23,6458 25,5477 35 3,6334 4,7853 6,036 7,3796 8,8375 20,440 22,82 23,9604 25,953 28,024 36 4,6900 5,9682 7,3542 8,8569 20,4858 22,252 24,642 26,2366 28,485 30,927 37 5,8285 7,2456 8,7859 20,4597 22,2783 24,2538 26,3994 28,729 3,2585 34,0039 38 7,0552 8,6253 20,3358 22,988 24,2277 26,4367 28,843 3,4584 34,3062 37,4043 39 8,3770 20,53 22,035 24,0857 26,3476 28,860 3,509 34,4469 37,650 4,448 40 9,802 2,7245 23,8296 26,330 28,6530 3,4094 34,4237 37,794 4,3220 45,2593 4 2,3358 23,4625 25,7955 28,3543 3,602 34,2363 37,6079 4,3027 45,3509 49,7852 42 22,9893 25,3395 27,9236 30,7644 33,8867 37,375 4,0866 45,2265 49,7726 54,7637 43 24,770 27,3666 30,2273 33,3794 36,858 40,676 44,8872 49,5230 54,6254 60,240 44 26,6907 29,5560 32,72 36,267 40,0763 44,3370 49,0392 54,2277 59,954 66,264 45 28,7592 3,9204 35,4206 39,295 43,5830 48,3273 53,5754 59,3793 65,7967 72,8905 46 30,988 34,474 38,3428 42,6352 47,3965 52,6767 58,53 65,0204 72,28 80,795 47 33,3897 37,2320 4,506 46,2592 5,5437 57,476 63,9452 7,973 79,2525 88,975 48 35,9774 40,206 44,9303 50,92 56,0538 62,5852 69,860 77,96 86,9796 97,072 49 38,7656 43,4274 48,637 54,4574 60,9585 68,279 76,3222 85,3674 95,460 06,790 50 4,7699 46,906 52,6496 59,0863 66,2923 74,3575 83,3820 93,4773 04,7675 7,3909 36

( + x) n n er antallet af perioder x er vækst i procent 0,5% x 5,0% n\x 0,50%,00%,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%,050,00,50,200,250,300,350,400,450,500 2,220,232,2432,2544,2656,2769,2882,2996,30,3225 3,3492,3676,3862,4049,4238,4429,462,485,50,5209 4,4909,58,5456,5735,608,6305,6595,6890,788,7490 5,6474,685,7234,7623,8020,8424,8836,9254,9680 2,04 6,8204,8704,925,9738 2,0273 2,0820 2,378 2,950 2,2534 2,33 7 2,06 2,0762 2,425 2,207 2,2807 2,3526 2,4264 2,5023 2,580 2,6600 8 2,2228 2,3045 2,3889 2,4760 2,5658 2,6584 2,7540 2,8526 2,9542 3,0590 9 2,4562 2,5580 2,6636 2,773 2,8865 3,0040 3,258 3,259 3,3826 3,579 0 2,74 2,8394 2,9699 3,058 3,2473 3,3946 3,5478 3,7072 3,873 4,0456 2,999 3,58 3,35 3,4785 3,6532 3,8359 4,0267 4,2262 4,4347 4,6524 2 3,340 3,4985 3,6923 3,8960 4,099 4,3345 4,5704 4,879 5,0777 5,3503 3 3,669 3,8833 4,69 4,3635 4,6236 4,8980 5,874 5,4924 5,840 6,528 4 4,0464 4,304 4,5904 4,887 5,206 5,5348 5,8877 6,263 6,6570 7,0757 5 4,473 4,7846 5,83 5,4736 5,858 6,2543 6,6825 7,379 7,6222 8,37 6 4,9408 5,309 5,7069 6,304 6,5833 7,0673 7,5846 8,372 8,7275 9,3576 7 5,4596 5,895 6,3632 6,8660 7,4062 7,986 8,6085 9,2765 9,9929 0,763 8 6,0328 6,5436 7,0949 7,6900 8,339 9,0243 9,7707 0,5752,449 2,3755 9 6,6663 7,2633 7,908 8,628 9,3734 0,974,0897 2,0557 3,00 4,238 20 7,3662 8,0623 8,8206 9,6463 0,545,523 2,5869 3,7435 5,0006 6,3665 2 8,397 8,9492 9,8350 0,8038,8632 3,02 4,286 5,6676 7,757 8,825 22 8,9944 9,9336 0,9660 2,003 3,346 4,738 6,247 7,860 9,6662 2,6447 23 9,9388,0263 2,227 3,5523 5,044 6,6266 8,4037 20,366 22,578 24,895 24 0,9823 2,2392 3,6332 5,786 6,892 8,788 20,8882 23,222 25,7829 28,6252 25 2,355 3,5855 5,200 7,000 9,0026 2,2305 23,708 26,469 29,524 32,990 26 3,4097 5,0799 6,949 9,040 2,3779 23,9905 26,9087 30,666 33,8020 37,8568 27 4,877 6,7386 8,8982 2,3249 24,0502 27,093 30,544 34,3899 38,7033 43,5353 28 6,3736 8,5799 2,075 23,8839 27,0564 30,6335 34,6644 39,2045 44,353 50,0656 29 8,0928 20,6237 23,4948 26,7499 30,4385 34,658 39,344 44,693 50,740 57,5755 30 9,9926 22,8923 26,967 29,9599 34,2433 39,59 44,6556 50,9502 58,0985 66,28 3 22,098 25,404 29,2093 33,555 38,5237 44,200 50,684 58,0832 66,5227 76,435 32 24,44 28,2056 32,5683 37,587 43,3392 49,947 57,5264 66,248 76,685 87,565 33 26,9746 3,3082 36,337 42,095 48,7566 56,4402 65,2925 75,4849 87,230 00,6998 34 29,8069 34,752 40,4898 47,425 54,852 63,7774 74,070 86,0528 99,8588 5,8048 35 32,9367 38,5749 45,46 52,7996 6,7075 72,0685 84,5 98,002 4,3384 33,755 36 36,3950 42,88 50,3379 59,356 69,420 8,4374 95,4665,8342 30,974 53,59 37 40,265 47,528 56,268 66,238 78,0986 92,0243 08,3545 27,490 49,9005 76,246 38 44,4392 52,7562 62,584 74,797 87,8609 03,9874 22,9823 45,3397 7,6360 202,5433 39 49,054 58,5593 69,7782 83,082 98,8436 7,5058 39,5850 65,6873 96,5233 232,9248 40 54,264 65,0009 77,8027 93,050,990 32,786 58,4289 88,8835 225,09 267,8635 4 59,9589 72,50 86,7500 04,27 25,0989 50,0432 79,868 25,3272 257,6469 308,043 42 66,2545 80,0876 96,7263 6,723 40,7362 69,5488 204,092 245,4730 295,0057 354,2495 43 73,23 88,8972 07,8498 30,7299 58,3283 9,590 23,6445 279,8392 337,786 407,3870 44 80,8985 98,6759 20,2525 46,475 78,93 26,4968 262,965 39,067 386,7599 468,4950 45 89,3928 09,5302 34,086 63,9876 200,3842 244,644 298,403 363,679 442,840 538,7693 46 98,7790 2,5786 49,5009 83,666 225,4322 276,4448 338,6957 44,594 507,059 69,5847 47 09,508 34,9522 66,6935 205,706 253,63 32,3826 384,496 472,6373 580,5744 72,5224 48 20,67 49,7970 85,8633 230,3908 285,327 352,9923 436,362 538,8065 664,7577 89,4007 49 33,2759 66,2746 207,2376 258,0377 320,9768 398,883 495,289 64,2395 76,475 942,308 50 47,2699 84,5648 23,0699 289,0022 36,0989 450,7359 562,0735 700,2330 87,539 083,6574 37