Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Transkript

1 Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når den er 180. Vinklens spids kaldes vinklens toppunkt Definition af trekant En trekant er i geometrisk forstand en polygon med tre vinkler (hjørner) og tre sider. Navngivning af sider og vinkler I trekanter navngiver vi vinklerne med store bogstaver fx A, B og C, mens de sider, der ligger over for vinklerne, navngives med de tilsvarende små bogstaver fx a, b og c. I retvinklede trekanter er der tradition for at kalde den rette vinkel for C. Bemærk at A, B og C også kan betyde selve det punkt, som er vinklens toppunkt. Om der menes et punkt eller en vinkel fremgår normalt af sammenhængen. Hvis det skal understreges, at der er tale om en vinkel kan vi skrive eller vinklen BAC Typer Trekanter kan inddeles i: Spidsvinklede alle tre vinkler er mindre end 90 Retvinklede den ene vinkel er ret, dvs. lig 90 Stumpvinklede. den ene vinkel er stump, dvs. større end 90 Spidsvinklet trekant Retvinklet trekant Stumpvinklet trekant Claus Møller Bæk, Side 1

2 Den retvinklede trekant En trekant kaldes retvinklet, når én af vinklerne er 90. Den rette vinkel markeres som vist på figuren. I en retvinklet trekant kaldes de to korte sider, der støder op til den rette vinkel for kateter, mens den længste side overfor den rette vinkel kaldes for hypotenusen. Ligebenede trekanter Kendetegnende for en ligebenet trekant er, at to af dens tre sider er lige lange, og to af dens vinkler er lige store. Ligesidede trekanter En ligesidet trekant er en trekant hvor alle siderne er lige lange. På grund af symmetri er vinklerne også lige store, nemlig 60 grader I en ligesidet trekant falder medianer, midtnormaler, højder og vinkelhalveringslinjer sammen. Vinkelsum For trekanter gælder at summen af de tre vinkler altid er 180. Vinkelsum = 180 = A + B + C Kongruente trekanter To trekanter siges at være kongruente hvis sider og vinkler er parvis lige store. Hvis man kan få den ene trekant til at ligge oven i den anden ved at flytte, dreje eller spejle den er trekanterne kongruente. 1. To trekanter er kongruente, hvis alle tre sider er parvis lige store. 2. To trekanter er kongruente, hvis en vinkel og de hosliggende sider er parvis lige store. 3. To trekanter er kongruente, hvis to vinkler og den mellemliggende side er parvis lige store. 4. To trekanter er kongruente, hvis to vinkler og en ikke-mellemliggende side er parvis lige store. Claus Møller Bæk, Side 2

3 5. Det er ikke nok blot at kende tre stykker i trekanten. Hvis man kun kender de tre vinkler kan man ikke sige om trekanterne er kongruente, men de er ligedannede. 6. Hvis man kun kender den ene vinkel og to sider kan man komme i vanskeligheder, for så kan der være to muligheder for konstruktion af en trekant. Ligedannede trekanter To trekanter kaldes ligedannede, hvis de har samme form, dvs. hvis deres vinkler er parvis lige store. Den ene trekant fås i så fald af den anden ved en forstørrelse eller formindskelse med et tal, der kaldes målestoksforholdet. På figuren ses to ensvinklede trekanter, og her er A = D, B = E og C = F. Hvis d = k*a er e = k*b og f = k*c Eksempel: Trekant ABC er ligedannet med EBD. Stor trekant Lille trekant Målestoksforhold, k Linjestykke AB = 9 EB = 3 3 Linjestykke CB = 4,5 DB = 1,5 3 Linjestykke AC =? ED = 2 3 Linjestykke AC må da være: AC = ED * 3 AC = 2 * 3 AC = 6 Claus Møller Bæk, Side 3

4 Vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje er det linjestykke, der deler en vinkel i to lige store vinkler. På figuren er vinkelhalveringslinjen til vinklen A indtegnet. Vinkelhalveringslinjerne i en trekant vil altid skære hinanden i det samme punkt. Dette punkt er samtidig centrum for den indskrevne cirkel. Indskrevne cirkel En indskreven cirkel er en cirkel i en trekant, hvor alle trekantens sider tangerer cirkelperiferien. Centrum for cirklen er der, hvor trekantens tre vinkelhalveringslinjer skærer hinanden. Median En median er det linjestykke, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt. På figuren er medianen til vinkel A indtegnet. Midtnormal Den linje der står vinkelret på linjestykket AB og går gennem linjestykkets midtpunkt kaldes midtnormalen. Til højre er tegnet en trekant og midtnormalerne på alle tre sider. Du kan se at midtnormalerne i en trekant altid vil skære hinanden i det samme punkt. Dette punkt er samtidig centrum for den omskrevne cirkel. Omskrevne cirkel En trekants omskrevne cirkel er den cirkel, der går igennem alle tre hjørnepunkter på trekanten Claus Møller Bæk, Side 4

5 Trekantens areal vha. højde og grundlinje En højde er det linjestykke, der udgår fra en vinkels toppunkt og står vinkelret på den modstående side. En højde kan, som figuren viser, ligge uden for selve trekanten. Arealet af en trekant kan findes ud fra formlen hvor h er højden og g er grundlinjen. Bemærk, at vi benytter bogstavet T for arealet af en trekant, da bogstavet A kan forveksles med et hjørne i trekanten. Trekantens areal vha. indskreven cirkel Vi kan opstille en arealformel, idet trekantens areal, T, er summen af arealerne af, og : Trekantens areal vha. Herons formel Først regnes trekantens halve omkreds, s: Herefter regnes trekantens areal, T: Trekantens areal vha. sinus Arealet kan skrives på 3 måder afhængig af hvilke vinkler og sider man kender: Claus Møller Bæk, Side 5