Matematik B Højere handelseksamen hh121-mat/b-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-13.00
Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 11C med i alt 13 spørgsmål. De 18 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægt. Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 3 timer er alle hjælpemidler tilladt. Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler: dankorttransaktioner handel ecco
Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider Delprøven uden hjælpemidler Kl. 9.00 10.00 Opgave 1 4 2 Funktionen f er givet ved forskriften f ( ) = 3 + 2 3 11. a) Bestem f '( ). Opgave 2 Efterspørgslen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion, i kg. og d () er prisen pr. kg. Ved en mængde på 10 kg. er den tilsvarende pris 110 kr. pr. kg. Ved en mængde på 20 kg. er den tilsvarende pris 60 kr. pr. kg. 10 20 d () 110 60 a) Bestem prisen pr. kg ved en mængde på 30 kg og bestem en forskrift for d. d ( ) = a + b, hvor er mængden 110 110 60 60 pris pris 10 20 30 40 mængde mængde Opgave 3 8 a) Undersøg, om = 4 er løsning til ligningen + 5 = + 3. Opgave 4 Prisen på en bestemt pose kaffe er observeret gennem 12 måneder. Prisen kan i en model beskrives ved funktionen p med forskriften p( ) = 35 1, 03 hvor p () er prisen (i kr.) måneder efter 1. januar 2011. a) Forklar betydningen af tallene 35 og 1, 03 i forskriften for p. 45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 pris i kr. pris i kr. måneder efter 1. januar 2011 måneder efter 1. januar 2011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Side 2 af 8 sider Side 2 af 8 sider Opgave 5 10 9 8 7 y (0,9) y = 0,5 + 9 (4,7) 6 5 4 3 2 y = 0,75 + 10 (8,4) y = 4 + 36 1 (9,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 En funktion i to variable er givet ved forskriften polygonområde. Figuren er gengivet i bilag 1. f (, y) = 4 + 2y. I figuren herover er indtegnet et a) Bestem funktionens størsteværdi inden for polygonområdet. Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Side 3 af 8 sider Side 3 af 8 sider Delprøven med hjælpemidler Kl. 9.00 13.00 Opgave 6 Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden: a) Isolér F i ligningen F O Q = 2 R P ved hjælp af et CAS-værktøj. b) Ligningen 5 1,25 = 20 er løst nedenfor. Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag 2 kan benyttes. 5 1,25 = 20 Ligningen er skrevet op. 1,25 = 4 Der er divideret med 5 på begge sider af lighedstegnet. ln( 1,25 ) = ln(4) ln( 1,25) = ln(4) ln(4) = ln(1,25) = 6,213
Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider Opgave 7 En internetbaseret børnetøjsforretning har lavet en undersøgelse, hvor de på 90 forskellige dage har registreret antal af dankorttransaktioner den pågældende dag. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen dankorttransaktioner. Dankorttransaktioner 13 12 11 14 : 12 13 a) Lav en grafisk præsentation, som beskriver fordelingen af antal dankorttransaktioner. Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. typetal median kvartilsæt gennemsnit varians standardafvigelse konfidensinterval b) Bestem 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af antal dankorttransaktioner. c) Skriv, ud fra dine svar til spørgsmål a) og b), en kort sammenfatning til indehaveren af børnetøjsforretningen, hvor du præsenterer undersøgelsens resultater og betydningen af disse.
Side 5 af 8 sider Side 5 af 8 sider Opgave 8 Et tekstilfirma producerer og afsætter varen Carpet. De variable omkostninger C (i kr.) og omsætningen R (i kr.) kan beskrives ved funktionerne C( ) = 0,02 3 2 + 90 R( ) = 55, 0 < < 90 2, 0 < < 90 hvor er afsætningen i antal meter Carpet pr. dag. Dækningsbidraget DB kan bestemmes ved dækningsbidrag = omsætning - variable omkostninger a) Gør rede for, at dækningsbidraget DB kan beskrives ved funktionen 3 2 DB( ) = 0,02 + 2 35, 0 < < 90 og bestem den afsætning, der giver det største dækningsbidrag. 6000 6000 5000 5000 dækningsbidrag 4000 4000 3000 3000 R C 2000 2000 1000 1000 DB afsætning 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Side 6 af 8 sider Side 6 af 8 sider Opgave 9 Tabellen nedenfor viser et udsnit af antallet af ansatte indenfor handel i Danmark fra 1990 til 2009. Samtlige data er gengivet i filen handel. Årstal Antal ansatte i 1000 1990 0 263 1991 1 265 1992 2 257 : : : 2009 19 426 Kilde: http://ww3.dst.dk/pwebnordic/ a) Lav et y plot af data. Udviklingen i antal ansatte indenfor handel (i 1000) kan tilnærmelsesvis beskrives ved en eksponentiel model k( ) = b a hvor angiver antal år efter 1990. b) Estimér modellens parametre a og b, og brug modellen til at estimere antallet af ansatte indenfor handel i år 2013.
Side 7 af 8 sider Side 7 af 8 sider Opgave 10 Virksomheden ECCO, der er en verdensomspændende skoproducent, inddeler bl.a. deres kollektion i følgende kategorier: CASUAL, FORMAL og OUTDOOR. ECCO har samlet data omkring antallet af nye skomodeller inden for hver kategori i to sæsoner. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen ecco. Sæson Efterår/vinter 2006 Efterår/vinter 2006 Kategori CASUAL CASUAL : : a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra filen ecco. CASUAL FORMAL OUTDOOR Total Efterår/vinter 2006 Efterår/vinter 2008 Total 1601 b) Bestem de forventede værdier, når det antages, at der er uafhængighed mellem Sæson og Kategori. c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at kategorierne ECCO udvikler sko i, er uafhængige af sæsonen?
Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Opgave 11A En funktion f er bestemt ved 2 2,5 f ( ) = 4, > 0 Funktionen kan beskrives ved følgende analysepunkter: nulpunkter fortegnsvariation monotoniforhold ekstrema a) Beskriv funktionen f ved hjælp af 2 af ovenstående analysepunkter. b) Tegn grafen for funktionen f og markér på grafen de fundne resultater bestemt i spørgsmål a). Opgave 11B Peter optager et lån på 840000 kr. Lånet betales tilbage med 120 ydelser til en rente på 0,5% pr. termin. a) Gør rede for, at ydelsen er 9325, 72 kr. pr. termin. Efter 80 betalte ydelser tilbydes Peter et lån med en lavere rente. Han betaler derfor restgælden på lånet ved at optage et nyt lån, der løber over 40 ydelser til en rente på 0,3% pr. termin. b) Gør rede for, at restgælden efter de 80 ydelser er 337332, 36 kr. og bestem ydelsen på det nye lån. Opgave 11C En virksomhed har, i forbindelse med en produktion, udtaget simpelt tilfældigt 195 enheder til kontrol. Af disse er der fejl på 10 enheder. a) Bestem den estimerede andel af enheder med fejl. Virksomheden har tidligere oplevet fejl på 3% af de producerede enheder. b) Undersøg ved et 95%-konfidensinterval om andelen af enheder med fejl er ændret.
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Bilag 1 til opgave 5. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 10 10 9 8 7 9 8 7 y (0,9) (0,9) 0,5 y = 0,5 + 9 (4,7) (4,7) 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 0,75 10 y = 0,75 + 10 (8,4) (8,4) 4 36 y = 4 + 36 (9,0) (9,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Skole: Eksamensnr. Bilag 2 til opgave 6. Hold: Navn: 5 1,25 = 20 Ligningen er skrevet op. 1,25 = 4 Der er divideret med 5 på begge sider af lighedstegnet. ln( 1,25 ) = ln(4) ln( 1,25) = ln(4) ln(4) = ln(1,25) = 6,213