matematik grundbog trin G preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

33 matematik grundbog trin G preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog G ISBN: 978-87-92488-28-2 2. udgave som E-bog 2011 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette på www.bernitt-matematik.dk eller ved at kontakte: bernitt-matematik.dk mail@bernitt-matematik.dk Fjordvej 6 4300 Holbæk 2 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk

Forord Bogen er inddelt i 11 kapitler, der indledes med en kort præsentation af indholdet. Kapitlerne kan anvendes uafhængigt af hinanden. Det anbefales dog at man har kendskab til regnemetoderne i kapitel 1 2 før man går i gang med de øvrige kapitler. Bogen er opbygget med henblik på at opnå den størst mulige sikkerhed i anvendelse af regnemetoder. Opgavemængden er derfor gjort så stor som mulig og anvisning af regnemetoder gives ved kortfattede tekster og gennemregnede opgaveeksempler. Dette bør suppleres med anvendelse af metoderne på dagligdags situationer ved anvendelse af autentiske materialer indsamlet af kursister og lærer. Opgaverne i denne bog er udvalgt med henblik på så sikkert og ukompliceret som muligt at indlære de pågældende regnemetoder. For nogle kursister og i nogle undervisningsmæssige sammenhænge vil opgavemængden være for stor, således at et vist udvalg vil være rimeligt. Bagerst er facitliste til samtlige opgaver. Bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for fejl i facitlisten og modtager med tak forslag til rettelser. Som hjælpemidler til arbejdet med denne bog anbefales: En lommeregner med minimum følgende funktioner: kvadratrod, kubikrod og x y En opslagsbog med regneanvisning som f.eks.: Slå det dog op!, 2003 by bernitt-matematik.dk Denne opslagsbog indeholder i et simpelt sprog forklaringer og regneanvisninger på mere end 1500 opslagsord, blandt meget andet også alle de regnemetoder, der indlæres i denne bog. Bogen afsluttes med oversigter om måleenheder og en formel og tabelsamling vedr. areal, rumfang, rentesregning, trigometriske funktioner m.v. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 3

4 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk

Indhold 1. TALBEHANDLING 7 Hele tal 8 Tallenes opbygning 8 Afrunding 10 Regning med hele tal 11 Negative tal 13 Regning med negative tal Fortegnsreglerne 14 Decimaltal 15 Decimaltals opbygning 15 Afrunding af decimaltal 18 Overslagsregning 19 Regning med decimaltal 20 Gange og dele ved hjælp af kommaflytning 25 Sammensætning af regnearterne 28 Sammenlægning og fratrækning 28 Gange og dele 29 Sammenlægning, fratrækning, gange og dele 30 Parenteser 31 Potenstal 32 Kvadratrod og kubikrod 33 Benævnte tal 35 Kroner og øre 35 Meter, gram og liter 36 Tidsmåling 39 2. BRØKTAL OG PROCENTTAL 41 Brøktal 42 Brøktals opbygning 42 Ægte og uægte brøktal samt blandede tal 43 Forlænge og forkorte 44 Sammenlægning og fratrækning af brøktal 46 Gange med brøktal 48 Dele med brøktal 49 Regning med blandede tal 50 Procenttal og promilletal 51 Delings- og blandingsregning 53 Udtage del med brøktal og decimaltal 54 Finde brøkdelen af helheden 55 Finde helheden når brøkdelen kendes 56 Delingsregning med procenttal 58 Udtage en procentdel 58 Bestemme procentdelen 59 Bestemme helheden 60 3. FORBRUG, LØN, SKAT, RENTE OG VALUTA 63 Forbrug 64 25-øre afrunding 64 Prisberegning 65 Beregning af kg-pris 66 Løn 67 Skat 69 Direkte skatter 69 Indirekte skatter 71 Rentesregning 73 Værdipapirer 75 Valuta 77 4. FORMLER OG REDUKTION 81 Formler 82 Reduktion 85 Udtryk med én slags bogstaver 85 Udtryk med flere slags bogstaver 87 Parenteser 89 5. LIGNINGER OG ULIGHEDER 95 Gætte-metoden 96 Forenklingsmetoden 97 Ensbetydende ligninger 97 Ensbetydende forenklinger 99 Perenteser i ligninger 102 Brøker i ligninger 104 Ligninger uden løsning og med alle tal som løsning 106 Uligheder 108 Ligninger som løsningsmetode i regning 111 6. FUNKTIONER 115 Funktioners grafiske billede 116 Anvendelse 116 Tegning af funktioners grafer 122 128 7. LÆNGDE, AREAL OG RUMFANG 129 Figurers længdemål 130 Afsatndsmåling 130 Opmåling af trekanter 132 Opmåling af firkanter 133 Cirkler 134 Figurers areal 136 Rektangler og kvadrater 136 Trekanter, parallellogrammer, trapezer og cirkler 138 Sammensatte figurer 140 Genstandes overfladeareal 142 Omsætning af arealmål 144 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 5

Genstandes rumfang 145 Prismer 145 Cylinder, kugle, kegle og pyramide 148 Omsætning af rumfangsmål 149 8. GEOMETRI 151 Linier, vinkler og cirkler 152 Linier 153 Vinkler 154 Cirkler 156 Trekanter og firkanter 157 Konstruktion ud fra skitse 157 Konstruktion ud fra instruktion 162 Beregning af vinkler 164 Beregning af sider 166 Konstruktion i koordinatsystem 168 Flytninger 171 Parallelforskydning 171 Drejning 173 Spejling 175 Symmetriske figurer 177 Multiplikation af figurer 178 Målestoksforhold 180 9. STATISTIK 183 Deskriptorer 184 Diagramtegning 187 Fordelingsdiagrammer 187 Kurvetegning 192 Gruppering 194 10. SANDSYNLIGHEDSREGNING 199 Statistik og sandsynlighed 200 Beregning af sandsynlighed 202 11. KOMBINATORIK 207 Kombination af to hændelser 208 Kombination af flere hændelser 210 Omsætninger 213 Symboler 214 Formler 215 Facitliste 216 6 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk

1. TALBEHANDLING Dette kapitel handler om tallenes opbygning, regning med tal, negative tal, decimaltal, potenstal, kvadratrod, kubikrod og tal med benævnelse. Meget regning finder i dag sted med lommeregner - og det er helt fint. Men det er stadig vigtigt at man kan regne uden lommeregner. Dels skal man bruge det når man ikke har en lommeregner ved hånden og dels skal det bruges når man skal kontrollere lommeregnerens svar. Det skal derfor anbefales at opgaverne i dette kapitel løses uden brug af lommeregner. Hvis tiden ikke tillader det, anbefales det at springe nogle af opgaverne over. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 7

grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 9

2. BRØKTAL OG PROCENTTAL Brøktal bruges ligesom decimaltal til at beskrive en del af en hel. Tidligere da man i højere grad brugte hovedregning og skulle huske tal i hovedet var brøktal mere brugt end i dag. Men det er stadig vigtigt at kende til brøktal og regning med dem. Dels er det baggrunden for mange udtryk i vores sprog - tænk f.eks. på udtryk som "tre fjerdedel" og "to tredje dele" og dels så er der en del praktiske regneopgaver, der bedst beskrives med brøktal. Procenttal er brøktal, der specielt bruges til at fortælle om opdeling af helheder i dele. I dette kapitel er der både rene talopgaver og opgaver med længere tekstforklaring. Tekst-opgaverne er med for at man kan prøve at anvende regnemetoderne i praktiske situationer. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 41

3. FORBRUG, LØN, SKAT, RENTE OG VALUTA I dette kapitel anvendes de regnemetoder, der er gennemgået i kapitel 1 og 2. Tallene i opgaverne i denne udgave er indsamlet i 1982, men der er sket meget siden da!! Hvis du vil kende de rigtige tal fx om skatte-beregning kan du i forbindelse med løsning af opgaverne indsamler dags-aktuelle oplysninger. Det kan man let gøre på Internettet. Når man regner på tal, der ikke blot er opfundet til brug i en regnebog, kommer man ofte ud for selv at skulle afgøre, hvad der vil være en rimelig afrunding af facit. I facitlisten er følgende afrundinger brugt: Krone- og andre beløb er afrundet til 2 decimaler. Procenttal til enten helt tal eller med 1 decimal. Ørige tal er afrundet så facit er i overenstemmelse med opgavens tal. Er opgavens tal feks. afrundet til nærmeste hele tusind, er facit også afrundet til nærmeste hele tusind. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 63

25-øre afrunding 25-øre. 68,00 kr. 25-øre. 64 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk

4. FORMLER OG REDUKTION Formler er en måde at beskrive, hvordan man skal regne noget ud. Ofte er formler en kortere måde at beskrive det på, end ved at skrive det med almindelige ord. Hvis man f.eks. med en formel vil vise hvordan man skal regne ud, hvor meget man får udbetalt af sin løn, kan det gøres sådan: Løn: L Udbetalt løn: U Fradrag: F Trækprocent: n L 9 U = L - (L - ( 100 +F)) n Bogstaverne i formlen er altså forkortelser af nogle ord, og de fungerer som pladsholdere, der kan erstattes af tal. Kender man feks. de tal, der skal stå på L, F og n s pladser, kan U beregnes. Fordelen ved formler er at det ofte er en kortere og mere præcis måde at give besked om en udregning på - og så er formler det sprog som edb-maskiner anvender. Hvis man skal kunne bruge edb-maskiner til at udføre mange udregninger i stedet for at gentage den samme slags udregning på sin lommeregner skal man kende til formler. Reduktion af formler betyder at forenkle formler - det vil sige skrive dem på den kortest mulige måde. Hvis man kender til reduktion kan man feks. forenkle formlen herover til: U = L - n(0,91l - F) At løse opgaver i reduktion gør at man bliver bedre til at bruge formler. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 81

5. LIGNINGER OG ULIGHEDER Formler er lavet så det er nemmest at regne én bestemt ting ud, nemlig den ting der står til venstre for lighedstegnet. Se feks. formlen herunder: Pris for en tur med taxa: P Antal hele km der er kørt: a P = 8,50a + 25 Denne formel er lavet så det er nemt at regne prisen ud, hvis man kender det antal km der er kørt. Men hvad hvis man ved hvad prisen blev og vil finde ud af antallet af km man har kørt - feks. for en pris på 235 kr.? Det vil se sådan ud: 235 = 8,50a + 25 Man kalder dette for en ligning og det at finde det tal, der passer på a-ets plads kaldes for at løse ligningen. Dette kapitel indøver nogle forskellige metoder til at løse ligninger. De fleste af ligningerne i opgaverne "handler ikke om noget" men er øvelsesopgaver der er gode til at indøve de forskellige metoder. Når man skal angive løsningen til en ligning afrunder man som man i øvrigt afrunder (feks. kr-beløb til 2 decimaler). I opgaver, der ikke "handler om noget" må man selv om hvordan man afrunder. Facit på facitarkene er skrevet som brøktal for at undgå afrunding. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 95

6. FUNKTIONER Formler, der beskriver sammenhængen mellem to størrelser, kaldes for funktionsforskrifter. En funktionsforskrift er feks. en formel der viser sammenhængen mellem prisen på en taxatur P og det antal km a turen er på: P = 8,50a + 25 Der findes et uendeligt antal løsninger til en funktionsforskrift: For hvert km-tal findes en pris. Man kan vise de forskellige løsninger med en tegning i et såkaldt koordinatsystem. Dette kapitel handler dels om at anvende sådanne billeder og dels om at lave dem selv. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 115

7. LÆNGDE, AREAL OG RUMFANG Dette kapitel handler om opmåling af figurers længdemål, samt beregning af deres omkreds og areal og genstandes rumfang. De fleste beregninger finder sted ved at bruge formler, der gennemgås inden opgaverne. De formler der gennemgås er samlet på et ark på side 217. Til brug i dette kapitel skal man bruge en lineal med mm og cm og en vinkelmåler. I nogle af opgaverne skal man måle på tegningerne i opgaverne. Når du sammenligner dine svar med facitarkets vil der sikkert være en forskel. Det skyldes at figurerne ikke får helt den samme størrelse som originalen når man printer på papir eller fotokopierer. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 129

8. GEOMETRI Geometri handler blandt andet om at tegne figurer, der har størrelse, facon og indbyrdes placering med nogle oplyste mål. Geometrisk tegnearbejde udføres med lineal, passer og vinkelmåler eller med computer. I dette kapitel vil du komme til at arbejde med lineal, passer og vinkelmåler. Instruktionerne til tegningerne kan enten være en tegnet skitse med mål skrevet ved skitsen, eller i form af en skrevet instruktion. Hvor instruktionen er uden skitse kan det anbefales at lave en skitse inden man udfører tegningen. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 151

9. STATISTIK Formålet med statistik er at vise et stort talmateriale på en let og overskuelig måde. Ved hjælp af dette kan man klargøre nogle væsentlige træk ved materialet. Man gør det enten ved at udregne nogle nøgletal, som feks. gennemsnit. Man kan også vise talmaterialet ved at tegne diagrammer. I dette kapitel skal du lære begge metoder at kende: du skal udregne nøgletal og du skal tegne diagrammer. Du skal arbejde med talmaterialer, der vedrører hvorledes noget fordeler sig - feks. hvorledes en families udgifter fordeler sig på mad, nolig, transport m.v. Du skal også arbejde med talmaterialer, der vedrører en udvikling - feks. løn- og prisudviklingen gennem en periode. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 183

10. SANDSYNLIGHEDSREGNING Sandsynlighedsregning er at regne, hvor stor chance der er for at noget bestemt sker. Hvor statistik er en beskrivelse af noget der har fundet sted er sandsynlighedsregning altså et forsøg på at forudsige, hvad der vil ske. Sandsynlighedsregning kan feks. have som resultat at der er 50% chance for at få plat ved kast med en mønt. Hvor stor sandsynligheden er for at noget bestemt sker, kan findes enten ved at eksperimentere - feks. kaste en mønt et stort antal gange eller ved at lave en beregning. Du kommer til at prøve begge metoder. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 199

11. KOMBINATORIK Når to eller flere ting foregår efter hinanden, bliver der en mængde forskellige kombinationsmuligheder. Kaster man feks. en terning to gange efter hinanden er der 36 forskellige kombinationsmuligheder for hvad terningen viser. Kombinatorik beskæftiger sig med at bestemme antallet af sådanne kombinationsmuligheder. Da det at bestemme antallet af forskellige muligheder er væsentligt i sandsynlighedsregning er kombinatorik bla. en hjælpediciplin inden for sandsynlighedsregning. I dette kapitel gennemgås nogle simple metoder til at bestemme antallet af forskellige kombinationsmuligheder. grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 207

OMSÆTNINGER Meter, liter og gram Kilo Hekto Deca Enheden Deci Centi Milli (Tusind) (Hundrede) (Ti) (Ener) (Tiendedel) (Hundrededel) (Tusindedel) 1 km = 1.000 m 1 kg = 1.000 g 1 hl = 100 l Meter Gram Liter 1 m = 10dm 1 l = 10 dl 1 m = 100 cm 1 l = 100 cl 1 m = 1.000 mm 1 g = 1.000 mg 1 l = 1.000 ml Gang med 10 for hver plads - flyt kommaet én plads til højre Km ----- ---- m dm cm mm Kg ----- ---- g ---- ---- mg ---- hl ---- l dl cl ml Del med 10 for hver plads - flyt kommaet én plads mod venstre Kvadratmeter Gang med 100 for hver plads - flyt kommaet to pladser mod højre Km 2 ---- ---- m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Del med 100 for hver plads - flyt kommaet to pladser mod venstre Kubikmeter Gang med 1000 for hver plads - flyt kommaet tre pladser mod højre Km 3 ---- ---- m 3 dm 3 cm 3 mm 3 liter Del med 1000 for hver plads - flyt kommaet tre pladser mod venstre grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 213

SYMBOLER Symbol Navn Eksempel., ; ciffer adskiller decimal adskiller adskiller tal 2.000 1,50 1,1 ; 1,2 + - : Plus Minus Negativt Multiplikation Division 4 + 5 = 9 5 3 = 2-4 5 4 = 20 20 : 5 = 4 / Division ½ km/time = < > lig med ikke lig med ca. lig med mindre end større end mindre end eller lig med større end eller lig med 5 = 5 5 6 5,667 6 5 < 10 10 > 5 5 10 5 5 ], [ [, ] ], ] [, [ { } Åbent interval Lukket interval Halvåbent interval Halvåbent interval Talmængde ]0,2 [ fra 0 til 2 [ 0,2 ] fra og med 0 til og med 2 ] 0,2 ] fra 0 til og med 2 [ 0,2 [ fra og med 0 til 2 {1, 2, 3} tallene 1, 2 og 3 ( ) ( ) Runde parenteser (-1) afgrænser et negativt tal. (2 + 3) afgrænser et regneudtryk f(x) Funktionsværdi f(2) funktionsværdien af tallet 2 <=> Medfører 2x = 4 <=> x = 2 Størrelsen af AB = 4 cm Vinkel A = 30 214 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk

FORMLER Længder Retvinklet trekant kateter: a og b hypotenuse: c c b Afstands formel Afstand mellem A og B: AB A B b Cirkel Radius: r r a 2 + b 2 = c 2 a 2 AB = a 2 + b a Omkreds = 2л r Arealer Parallelogram Grundlinie: g Højde: h g h Areal = g h Trapez De parallelle sider: a og b Højde: h a h b Areal =½h(a + b) Trekant Grundlinie: g Højde: h g h Areal = ½hg Cirkel Radius: r r Cylinders krumme overflade Grundfladens radius: r Sidelinie: s r s Kegles krumme overflade Grundfladens radius: r Sidelinie: s r s Areal =л r 2 Areal = 2л r h Areal = л r s Rumfang Kasse Længde: l Bredde: b Højde: h l h Prisme Grundfladens areal: A Højde: h h Pyramide Grundfladens areal: A Højde: h h b Rumfang = l b h A Rumfang = A h A Rumfang = ⅓h A Kugle Radius: r Sidelinie: h Cylinder Radius i grundfladen: r Højde: h Kegle Radius i grundfladen: r Højde: h r r h r h Rumfang = 4 3 л r 3 Rumfang = h л r 2 Rumfang = ⅓h л r 2 grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 215