Lektion 8s Geometri Opgaver

Transkript

1 Matematik på Åbent VU Lektion 8s Geometri Indholdsfortegnelse Sammensatte figurer Kunstruktionsopgaver Trigonometri Lavet af Niels Jørgen ndreasen, VU Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVU Lektion 8s Side 1

2 Otte-kantede og runde borde egge borde har plads til 8 personer Matematik på Åbent VU 1: ordkompagniet De viste borde er (bortset fra det runde) regulære polygoner (mangekanter). I en polygon med n sider er vinkelsummen: (n 2) 180 a: Find vinkelsummen i hver polygon. b: Find størrelsen af den enkelte vinkel i hver af polygonerne. c: Find diameteren af det runde bord. d: I hvilket målestoksforhold er bordene tegnet til højre. e: Tegn selv på mm-papir (nogle af) bordene i målestoksforholdet 1:10. f: eregn først højden i den ligesidede trekant. Find derefter arealet af det trekantede bord. Der findes nogle (lidt spøjse) areal-formler for regulære tre-, seks- og otte-kanter: Trekant: Sekskant: Ottekant: s (1 2 s 2) 2 s hvor s er sidelængden i alle formlerne. g: Kontroller først arealet af trekanten med den øverste formel. Find derefter arealerne af de seks- og otte-kantede borde. h: Sammenlign bordarealet pr. person ved de forskellige borde. lle bordpladerne er 26 mm tykke og lavet af træ med en massefylde på 0,85 g pr. cm 3. i: eregn vægten af (nogle af) bordpladerne. ordkompagniet Moderne borde til moderne mennesker Model Hexagona Sidelængde 60 cm Tre- og seks-kantede borde Model ircula Omkreds 480 cm egge borde har plads til 6 personer Model Triangula Sidelængde 120 cm Model Octagona Sidelængde 60 cm Lektion 8s Side 2

3 Matematik på Åbent VU 2: ffaldskompagniet Firmaet sælger de viste affaldsbeholdere. Model har form som en keglestub. Model har form som en pyramidestub. a: Vurder om disse udsagn er rigtige: - Model rummer ca. ¼ kubikmeter. - Model rummer ca. ⅔ kubikmeter. b: Find de præcise rumfang af begge affaldsbeholdere målt i liter. Firmaet laver også en "Model " Modellen har form som en keglestub, men er noget større end Model. Diameter foroven er 82 cm, diameter forneden er 68 cm og højden er 112 cm. c: Find rumfanget af Model. Giv svaret i både m 3 og liter. Firmaet laver også en "Model D" Modellen har form som en pyramidestub, hvor både top og bund er kvadrater. Sidelængden foroven er 110 cm. Sidelængden forneden er 85 cm. Højden er 105 cm. ffaldsspande fra ffaldskompagniet Model Diameter top: 65 cm Diameter bund: 55 cm Højde: Model 90 cm Mål top: 120 cm x 80 cm Mål bund: 90 cm x 60 cm Højde: d: Find rumfanget af Model D. Giv svaret i både m 3 og liter. 90 cm 3: -skålen a: Vis at en -skål med en radius på 6,2 cm kan rumme ca. 0,5 liter. b: Vis at en -skål med en radius på 12,4 cm kan rumme ca. 4 liter. c: Find diameteren i en -skål der kan rumme 1 liter. d: Find radius i en -skål der kan rumme 2 liter. e: Forestil dig en kæmpe--skål der kan rumme ½ kubikmeter. Hvad er radius i skålen? -skålen - et velformet produkt Vores berømte -skåle fås i mange størrelser fra 0,5 liter op til 4 liter. lle skålene er halvkugleformede og udført i de absolut bedste materialer. f: Undersøg om disse udsagn er rigtige (brug tallene for 0,5-liter-skålen og 4-liter-skålen): - når man fordobler radius, så fire-dobler man overfladearealet. - når man fordobler radius, så otte-dobler man rumfanget. Lektion 8s Side 3

4 Matematik på Åbent VU 4: Kuffertkompagniet a: Find rumfanget af hver af de tre forskellige kufferter (regn i liter). b: Find også overfladearealet af hver af de tre forskellige kufferter (regn i dm 2 ). c: Vis ud fra resultaterne ovenfor at disse udsagn er rigtige: - når man forøger længdemålene med 25%, så vokser overfladearealet med over 50%. - når man forøger længdemålene med 25%, så bliver rumfanget næsten fordoblet. d: Vis med et par eksempler, som du selv finder på, at udsagnene også gælder for andre figurer. Mini 64 cm x 40 cm x 16 cm 198 kr. e: Vis med eksempler at disse udsagn er rigtige: Midi 80 cm x 50 cm x 20 cm 248 kr. Maxi 100 cm x 62,5 cm x 25 cm 298 kr. Køb alle tre på en gang for kun 698 kr. Kuffertkompagniet Den, der bærer godt, rejser godt - hvis man vil fordoble rumfanget, skal man forøge alle længdemål med 26% - hvis man vil fordoble overfladearealet, skal man forøge alle længdemål med godt 41 %. f: Prøv (det er svært!!) at give en forklaring på, hvorfor de forskellige udsagn er rigtige?. 5: Dåsekompagniet a: Kontroller, at en "Lille" dåse kan rumme ca. 1 dl. b: Hvor høj er en "Mellem" dåse? c: Hvad er radius i en "Stor" dåse? De mål, der er vist til højre, er indvendige mål. Dåserne er lavet af metal med en tykkelse på ca. ½ mm og en massefylde på 2,8 g pr. cm 3 d: Find rumfang og vægt af det metal der bruges til en "Lille" dåse. e: Hvor mange dåser ("Lille") kan man fremstille af: - en kubikmeter metal? - et ton metal? De dejligste dåser fra Dåsekompagniet Lille Radius 24,1 mm Højde 54,8 mm Rumfang Mellem 1 dl Radius 30,4 mm Højde cm Rumfang Stor Radius 2 dl mm Højde 87,0 mm Rumfang 4 dl Lektion 8s Side 4

5 50 cm 160 cm Matematik på Åbent VU 6: Drikkeglas lle glassene har form som keglestubbe. Målene er indvendige mål. a: Er det rigtigt at "Sodavand" rummer 25 cl? b: Hvor mange cl rummer "Øl"? c: Hvor høj er "Det store"? d: Lav et selv forslag til mål på et mindre glas der kan rumme ca. 15 cl. e: Lav et selv forslag til mål på et stort glas (meget stort ) der kan rumme ca. 75 cl. Drikkeglas til enhver drik Sodavand - rummer 25 cl Radius foroven 3,5 cm Radius forneden 2,5 cm Højde 8,8 cm Øl - rummer cl Radius foroven 3,8 cm Radius forneden 2,7 cm Højde 9,8 cm Det store - rummer 50 cl Radius foroven 4,4 cm Radius forneden 3,2 cm Højde cm 7: Oles olietanke a: Find rumfanget af hver af de viste olietanke ("Ægget" er sammensat af to halvkugler og et cylinder-formet rør). lle målene er indvendige mål. lle tankene er lavet af materiale med en tykkelse på 6 cm. b: Find det udvendige rumfang af hver af tankene? c: Til hvilken tank er der brugt mindst materiale sammenlignet med, hvor meget tanken kan rumme? d: Tegn på mm-papir tværsnit af de tre tanke i målestoksforholdet 1:20 (husk "skallen"). Firmaet laver også en "Kæmpkugle", der kan rumme liter. Den er lavet af samme slags materiale som de viste tanke. e: Find den indvendige radius af "Kæmpekuglen" i cm. f: Hvor stor er den udvendige diameter i dm? g: Kæmpekuglen rummer ca. dobbelt så meget som "Kuglen". Er materialeforbruget også dobbelt så stort? 150 cm Ægget 120 cm Oles Olietanke Vi har også en tank der passer til dig. Kuglen 130 cm Røret Lektion 8s Side 5

6 Matematik på Åbent VU Konstruktionsopgaver 8 I en retvinklet trekant kender vi de to kateter a og b de er henholdsvis 30 cm og 4,6 dm find hypotenusen c 9 Find i en retvinklet trekant b, når a 10 m og c er 2540 cm 10 Hvor stor er den ubekendte katete i trekanten til højre? 8 dm 1,5 m 11 Konstruer trekanten, hvor: = 7 cm = 50 mm = Konstruer en trekant DEF - vi ved at DF = 0,9 dm D = 60 F = Konstruer en firkant D, hvor: D = 85 mm = 50 D = 42 = 2,5 cm Linjen D er parallel med linjen 14 Konstruer et parallelogram D, hvor: D = 6,5 cm D = 3,5 cm D = Konstruer figuren her til højre - firkanten er et kvadrat med siden 5 cm 16 Konstruer en ligesidet trekant med sidelængden 85 mm Lektion 8s Side 6

7 Matematik på Åbent VU Trigonometri 17: Herunder er skitseret to retvinklede trekanter. eregn størrelsen på de sider og vinkler, som ikke er angivet. c = 6 cm a c = 6,8 cm 50º a 30º b 18: Til højre er skitseret en retvinklet trekant a: eregn sin( ) b: Find (antal grader) c: Find (antal grader) d: Find længden af siden b c = 13 cm b b a = 5 cm 19: Til højre er skitseret en retvinklet trekant a: eregn tan( ) b: Find (antal grader) c a = 8 cm c: Find (antal grader) d: Find længden af siden c b = 15 cm Lektion 8s Side 7

8 Matematik på Åbent VU 20: eregn de ukendte vinkler og sider i de fem retvinklede trekanter. O n 45º M b c = 100 mm E 52º d F m N o = 7,2 cm a 58º f = 25,0 m e b = 63 mm c = 98 mm D c a = 9,8 cm 21: Tegningerne viser et stykke af to trapper. Trappen til venstre stiger 25º, og trinene er 32 cm brede. På trappen til højre er trinene 25 cm brede og 18 cm høje. a: Hvor høje er trinene på trappen til venstre? b: Hvor mange graden stiger trappen til højre? c: En trappe skal have en trinbredde på 26 cm og en stigning på 30º. Find trinhøjden. d: En trappe skal have en stigning på 45º. Giv et forslag til trinbredde og trinhøjde. e: Mål trinene på en trappe på din skole og beregn, hvor mange graden trappen siger. a 25º 32 cm b =15,1 cm 25 cm 18 cm Lektion 8s Side 8

9 240 cm Matematik på Åbent VU 22: Tegningen viser en stige, der står op ad en mur. Stiger skal helst stå med en hældning på 75º. a: En stige er 5 m lang. Hvor højt kan stigen nå op på muren, med en hældning på 75º? b: Hvor højt kan stigen på 5 m nå op, hvis den hælder 60º? c: Hvor lang skal en stige være, hvis den skal kunne nå 4 m op og have en hældning på 75º? d: En stige er 420 cm lang, og den når 4 m op ad muren. Hvad er hældning? e: En stige når 3,5 m op ad muren, og bunden af stigen står 95 cm fra muren. Hvad er hældningen? f: En -stige (en Wiener-stige) har de viste mål. enenes længde er 2,25 m og afstanden mellem benene er 140 cm. Find benenes hældning og stigens højde. 140 cm 2,25 m 23: Tegningen viser gavlen på et hus. a: Find husets højde b: Hvor meget lavere ville huset være, hvis tagets hældning var 25º? c: Hvor meget højere ville huset være, hvis tagets hældning var 45º? 860 cm 525 cm 35º Lektion 8s Side 9

10 110º 146,3º Matematik på Åbent VU 24: Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter. a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter. b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m 2. Du kan fx gøre det således: - beregn så mange vinkler som muligt - beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter - beregn arealerne af de retvinklede trekanter 7,50 dm - læg arealerne sammen 70º 65º 125 cm 3,60 m 5,00 m 67,4º 6,50 m 25: Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede. Taget på huset til venstre har en hældning på 25º. Taget på huset til højre har en hældning på 45º. Sammenlign arealet af tagene på de to huse. 25º 45º Lektion 8s Side 10

11 Matematik på Åbent VU 26: Tegningen viser en cyklist på vej op ad en bakke. akken er indtegnet som en retvinklet trekant. Man kan angive en bakkes stigning på to måder: Som et antal grader og som et antal procent. ntal grader er størrelsen af. ntal procent er den lodrette stigning som procent af den kørte strækning. ltså a som procent af c. a: Mål længden af a, b og c på tegningen b: Find stigningen på tegningen målt i procent. c: Find stigningen på tegningen målt i grader. Du må gerne måle vinklen på tegningen men prøv også at beregne tallet. d: Vurder om det er realistisk at cykle op ad en sådan stigning. e: Omregn en stigning på 10% til grader. f: Omregn en stigning på 8º til procent. c b a Lektion 8s Side 11