Kom i gang-opgaver til differentialregning

Transkript

1 Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul

2

3 Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke beskæftiger sig effektivt med de grundmetoder som besvarelsen er sammensat af Ved løsning af hjemmeopgaver i et nyt emne kan det virke uoverkommeligt at finde frem til de relevante grundmetoder, selv om disse har været gennemgået i timerne I dette hæfte er grundmetoderne derfor skrevet i rammer som der henvises til i opgaverne I modsætning til hvad der ofte er tilfældet, beskriver dette hæfte grundmetoderne på sådan en måde at også en begynder i emnet vil opfatte det som metoder

4

5 Opgave Diff 1 Begge billeder viser grafen for funktionen På hver af billederne er også tegnet en af grafens tangenter Der er en smart metode til at udregne tangenters hældningskoefficienter: Man skal bruge noget som kaldes funktionens differentialkvotient I mange formelsamlinger og lærebøger står at funktionen har differentialkvotienten Dette kan også skrives sådan ( ) = eller sådan Hvis f ( ) =, så er f ( ) = Ramme 1 Udregning af hældningskoefficienten r for tangenten på billedet til venstre Da 1) har differentialkvotienten og ) røringspunktet for tangenten har -koordinaten 0, 5 så kan man finde hældningskoefficienten for tangenten ved at indsætte 0, 5 for i Tangenten har altså hældningskoefficienten r = 1 Brug metoden fra ramme 1 til at finde hældningskoefficienten s for tangenten på billedet til højre Find differentialkvotienten for 1 i en formelsamling eller en lærebog Brug den til for funktionen 1 at finde hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet med -koordinat,5 Opgaven fortsætter på næste side! Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

6 Vi ser igen på grafen for Find hældningskoefficienten for den tangent hvis røringspunkt har -koordinaten, og for den tangent hvis røringspunkt har -koordinaten, En af grafens tangenter har hældningskoefficienten 11 Find -koordinaten til røringspunktet for denne tangent Opgave Diff Ramme Differentialkvotient for n ( ) =, ( ) = 5, ( ) = 5 Osv 8 Brug metoden fra ramme til at finde differentialkvotienten af Nu lader vi p være et bestemt tal, men du får ikke at vide hvad det er for et tal Skriv et p udtryk med og p som er differentialkvotienten af Ramme Differentialkvotient for "konstant gange funktion" ( ) = ( ) 7 7, ( ) = ( ) = ( ( 1) ) = ( 1) ( ), Osv De mellemregninger som er skrevet med småt, skrives normalt ikke Brug metoderne fra rammerne og til at finde differentialkvotienten for hver af funktionerne og Ramme Differentialkvotient for "konstant plus funktion" ( + ) = ( ) 1, ( + ) = ( ) 1, ( ) = ( ) 7 = ( 7 + ( ) ) ( + ) = ( ) 7 = ( + + ( 7) ), Osv De mellemregninger som er skrevet med småt, skrives normalt ikke, Brug metoderne fra rammerne, og til at finde differentialkvotienten for hver af funktionerne + og 1 Ramme 5 Differentialkvotient for "funktion plus funktion" ( ) = ( ) ( ), ( + ) = ( ) + () 1 1, Osv Brug metoden fra ramme 5 til at bestemme differentialkvotienten for hver af funktionerne + og 1 5 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side af 15 5/8-0 Karsten Juul

7 Opgave Diff Ramme 6 Differentialkvotient for " " ( ) = 1 Brug metoderne fra rammerne og 6 til at finde differentialkvotienten for funktionen Ramme 7 ( 5,) = 0, ( ) = 0, Osv Differentialkvotient for "konstant" Brug metoderne fra rammerne 5,, 6 og 7 til at finde differentialkvotienten for funktionen + Man får ikke differentialkvotienten af hvis man differentierer på begge sider af gange- prikken Begrund dette ved at udregne både ( ) og ()( ) Slå op i en formelsamling eller en lærebog og find differentialkvotienten for f ( ) g( ) Brug denne formel til at finde differentialkvotienten for Når resultatet reduceres, skulle det gerne give det samme som du fik før Kontrollér dette Find differentialkvotienten for funktionen 0,,6 +, 5 Opgave Diff Slå op i en formelsamling eller en lærebog og find differentialkvotienten for 1 Da 1 = 6 Brug dette og metoden fra ramme til at finde differen- b a b 6 a =, er c c 6 tialkvotienten for Slå op i en formelsamling eller en lærebog og find differentialkvotienten for f ( ) g( ) Brug denne formel til at finde differentialkvotienten for 6 Når resultatet reduceres, skulle det gerne give det samme som du fik før Kontrollér dette Hvilken brøk skal man gange 1 med hvis resultatet skal være lig 1? Brug dette og metoden fra ramme til at finde differentialkvotienten for 1 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side af 15 5/8-0 Karsten Juul

8 Opgave Diff 5 Ramme 8 Udtrykket "differentialkvotienten i " og symbolet f () Hvis f ( ) =, så er Om funktionen ) f ( ) = 6 f ( gælder 1) "Differentialkvotienten i " er "det tal som for " ) f () er "det tal som ) f () er "Differentialkvotienten i " 6 bliver når indsættes 6 bliver når indsættes for " ) f () er "hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet med -koordinat " Brug oplysningerne i ramme 8 til at løse følgende opgaver: a) For funktionen f ( ) = + skal du finde differentialkvotienten i b) For funktionen f ( ) = 5 skal du finde f () c) For funktionen f ( ) = 11 skal du finde hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet med -koordinat d) For funktionen f ( ) = skal du finde f () Find desuden et tal k som ikke er, så f ( k) = f () Opgave Diff 6 Brug metoder fra de foregående opgavers rammer til at løse følgende opgaver: a) En funktion f er givet ved f ( ) = + 15 Bestem f () b) Bestem f () når f ( ) = c) Bestem f ( 1) når f ( ) = + d) En funktion f er bestemt ved f ( ) = Bestem f () Bestem f () Hvilket tal skal indsættes for hvis f () skal blive? Kom i gang-opgaver til differentialregning Side af 15 5/8-0 Karsten Juul

9 Opgave Diff 7 Tallene i rammen er tilfældige og har ikke noget at gøre med figuren Ramme 9 Givet: punkt på linjen og dennes hældningskoefficient Find: ligning for linjen Hvis en linje har hældningskoefficienten og går gennem punktet P (, 5), så er ligningen y 5 = ( ) en ligning for linjen 1 Hvis en linje har hældningskoefficienten og går gennem punktet P (, 1), 1 så er ligningen y 1) = ( ) en ligning for linjen Osv ( Den krumme kurve på billedet er grafen for en funktion Den rette linje er en af tangenterne til denne graf Brug metoden fra ramme 9 til at finde en ligning for denne tangent Brug den ligning du har fundet, til at finde ud af hvor tangenten skærer y-aksen Kontrollér at dit svar passer med figuren På tangenten er der et punkt som har y-koordinaten 0 Brug den ligning du har fundet, til at finde dette punkts -koordinat Kontrollér at dit svar passer med figuren Reglen i ramme 9 er forklaret ved hjælp af to eksempler og et "osv" Hvis man i et af disse eksempler 1) erstatter tallene med bogstaver og ) skriver hvilke tal der må skrives på disse bogstavers pladser så får man en abstrakt formulering af reglen Skriv en abstrakt formulering af reglen Grafen skærer y-aksen i punktet A (0, 0,5) Grafens tangent i dette punkt har hældningskoefficienten 0, 9 Skriv en ligning for denne tangent Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 5 af 15 5/8-0 Karsten Juul

10 Opgave Diff 8 Den krumme kurve på billedet er grafen for funktionen 0, + Ramme 10 Givet: grafpunkts -koordinat Find: punktets y-koordinat Da 1) punktet P ligger på grafen for funktionen 0, + og ) -koordinaten for P er 0, 5 så kan man finde y-koordinaten for P ved at udregne det tal som 0, + bliver når 0, 5 indsættes for Altså er k = 0, 0,5 + 0,5 = 0, 5 Ramme 11 Givet: røringspunkts -koordinat Find: tangents hældningskoefficient Da 1) den viste linje er tangent til grafen for funktionen 0, + og ) røringspunktets -koordinat er 0, 5 så kan man finde linjens hældningskoefficient ved at 1) differentiere: ( 0, + ) = 0, + 1 og ) udregne det tal som 0, + 1 bliver når 0, 5 indsættes for Altså er a = 0, 0,5 + 1 = 0, 8 Et af punkterne på grafen har -koordinaten Dette punkt kalder vi Q Brug metoden fra ramme 10 til at finde y-koordinaten for Q Grafen har en tangent hvis røringspunkt er Q Denne linje kalder vi m Brug metoden fra ramme 11 til at finde hældningskoefficienten for m Brug metoden fra ramme 9 til at bestemme en ligning for linjen m Brug metoderne fra rammerne 9, 10 og 11 til at bestemme en ligning for den tangent hvis røringspunkt har -koordinaten 5 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 6 af 15 5/8-0 Karsten Juul

11 Opgave Diff 9 Den krumme kurve på billedet er grafen for funktionen + 0, 5 På grafens venstre gren ligger et punkt P som har y-koordinaten, 5 ( P er ikke vist) Ramme 1 Givet: grafpunkts y-koordinat Find: punktets -koordinat Da 1) P ligger på grafen for funktionen + 0, 5 og ) P har y-koordinaten, 5 så kan man finde -koordinaten for P ved at finde de tal der, når de indsættes for, får + 0, 5 til at blive, 5 Løsningerne til ligningen + 0,5 =, 5 er og Altså har P -koordinaten En af tangenterne til grafen har hældningskoefficienten, 5 Den rører grafen i et punkt som vi kalder Q (Hverken Q eller tangenten i Q er vist på billedet) Ramme 1 Givet: tangents hældningskoefficient Find: røringspunktets -koordinat Da 1) Q ligger på grafen for funktionen + 0, 5 og ) tangenten iq har hældningskoefficienten, 5 så kan man finde -koordinaten for Q ved at 1) differentiere: ( + 0,5) = ) finde de tal der, når de indsættes for, får til at blive, 5 Løsningen til ligningen =, 5 er, 5 Altså har Q -koordinaten, 5 Opgaven fortsætter på næste side! Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 7 af 15 5/8-0 Karsten Juul

12 Brug metoderne fra rammerne 1 og 1 til at finde de to tal som på billedet er kaldt s og t På grafens venstre gren ligger et punkt R som har y-koordinaten 0, 75 Brug metoderne i rammerne 1 og 11 til at finde hældningskoefficienten for grafens tangent i punktet R En linje med hældningskoefficient 6 er tangent til grafen i et punkt som vi kalder U Brug metoderne fra rammerne 1 og 10 til at finde koordinatsættet for U Opgave Diff 10 Ramme 1 Udtrykket "funktionsværdien i " og symbolet f () Hvis vi kalder funktionen for f ( ), så gælder 1) "Funktionsværdien i " er "det tal som bliver når indsættes for " ) f () er "det tal som bliver når indsættes for " ) f () er "funktionsværdien i " ) f () er "y-koordinaten til det punkt på grafen som har -koordinaten " I det følgende står *** for et eller andet regneudtryk med Vi kalder dette regneudtryk for g () Brug oplysningerne i ramme 1 til at skrive følgende sætninger i en ny udgave hvor det understregede er oversat til matematisk symbolsprog Hvis et punkt P ligger på grafen for *** og P har -koordinaten, så er y-koordinaten for P lig det tal som *** bliver når indsættes for Hvis røringspunktet for en tangent til grafen for *** har -koordinaten 1, så er røringspunktets y-koordinat det tal som *** bliver når 1indsættes for, da røringspunktet ligger på grafen Et punkt Q har -koordinaten 8 og ligger på grafen for en funktion h () Skriv med symboler koordinatsættet for Q Brug reglerne fra nogle af rammerne til for funktionen f ( ) = 7 at bestemme en, f () ligning for tangenten til grafen i punktet ( ) Brug computer til i samme koordinatsystem at få tegnet både grafen for f og linjen med den ligning du har fundet Kontrollér at linjen ser ud til at være tangent til grafen i det punkt hvis førstekoordinat er Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 8 af 15 5/8-0 Karsten Juul

13 Opgave Diff 11 Ramme 15 Givet: Grafen for f (ovenfor til venstre) Find: f () Vi skal finde differentialkvotienten f () Denne er lig hældningskoefficienten for tangenten i punktet med -koordinat 1) Denne tangent tegnes på øjemål så den passer bedst muligt med grafen omkring punktet med -koordinat (Se figuren ovenfor til højre) ) Derefter bestemmes tangentens hældningskoefficient: Koordinaterne til to punkter på tangenten aflæses: A (0, ) og B (5, 1,5) 1,5 Tangentens hældningskoefficient er = 0, Altså er f ( ) = 0, 5 En funktion g er givet ved grafen nedenfor Brug metoden fra ramme 15 til at finde g (0) Find det tal der skal indsættes for hvis g () skal blive 0 Brug en af oplysningerne i ramme 1 til at finde tallet g (0) Brug punkt ) i ramme 8 til at finde ud af hvilke tal man kan indsættes for hvis der skal gælde at g ( ) < 0? Definitionsmængden for g er intervallet ] 1,5 ;,5 [ Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 9 af 15 5/8-0 Karsten Juul

14 Opgave Diff 1 Billedet viser grafen for en funktion g () hvis definitionsmængde er ] ; ;5[ Brug punkt ) i ramme 1 til at finde tallet g (1), og til at finde ud af hvilke tal der kan indsættes for når der skal gælde at g ( ) < 0 Brug punkt ) i ramme 8 til at finde tallet g (0), og til at finde ud af hvilke tal der kan indsættes for når der skal gælde at g ( ) < 0 Funktionen g () er differentialkvotienten for en anden funktion som vi kalder h () Find ud af hvilke tal der kan indsættes for når der skal gælde at h ( ) > 0 Tegn grafen for en eller anden funktion f () som opfylder alle følgende betingelser: 1) f ( ) = 1 ) For ethvert tal mindre end gælder at når det indsættes for er f ( ) > 1 ) For ethvert tal større end gælder at når det indsættes for er f ( ) < 1 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 10 af 15 5/8-0 Karsten Juul

15 Opgave Diff 1 Ramme 16 Givet: f () Gør rede for: f () er voksende eller aftagende i et interval Når en funktions differentialkvotient er positiv i et interval, så er funktionen voksende i intervallet, og når funktionens differentialkvotient er negativ i et interval, så er funktionen aftagende i intervallet Her er to eksempler: Da 1) har differentialkvotienten, og ) ] ;1[ er et interval, og ) bliver et negativt tal uanset hvilket tal fra ] ;1[ der indsættes for, kan sluttes at Da ) er aftagende i ] ; 1[ 1 1) + har differentialkvotienten +, og ) R er et interval, og ) + bliver et positivt tal uanset hvilket tal fra R der indsættes for, kan sluttes at 1 ) + er voksende i R Brug nogle af metoderne fra rammerne -7 til at finde differentialkvotienten for funktionen Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at er voksende i ] 1; [ Brug nogle af metoderne fra rammerne -7 til at finde differentialkvotienten for funktionen 1 Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at 1 er aftagende i R Når f () er funktionen 5 +, skal du bruge nogle af metoderne fra rammerne -7 til at finde finde f () Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at f () er voksende i R Vi vil nu undersøge en funktion som vi kalder g () Billedet nedenfor viser grafen for g () Da billedet ikke viser grafen for g (), kan metoden fra ramme 15 ikke bruges til at finde en differentialkvotient for g () Find differentialkvotienten g (,5 ) Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at g () er aftagende i intervallet ] 1; 7[ Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 11 af 15 5/8-0 Karsten Juul

16 Opgave Diff 1 Som bekendt er betingelsen for at en funktion er voksende, at uanset hvilke to punkter man vælger på grafen, så gælder at (*) det af punkterne der har den største -koordinat, har også den største y-koordinat På grafen for f er vist to punkter Vi ser at for disse to punkter gælder (*) Og vi ser at hvis vi vælger to andre punkter på grafen, så vil (*) også gælde for dem Altså er f () en voksende funktion selv om f () ikke er et positivt tal for enhver værdi af Brug punkt ) i ramme 8 til at finde det tal man skal indsætte for for at f () bliver 0 På grafen for g er vist to punkter Disse to punkter har samme y-koordinat, så g () er ikke en voksende funktion Da g () er 0 for alle tal i et interval, er g () ikke voksende Brug punkt ) i ramme 8 til at finde ud af hvilke tal man kan indsætte for når g () skal blive 0 Brug reglen i ramme 18 til at gøre rede for at funktionen intervallet ] ; 5] 1 f ( ) = 5 er aftagende i Brug reglen i ramme 17 til at gøre rede for at funktionen intervallet R 1 f ( ) = + er voksende i Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

17 Ramme 17 Givet: f () Gør rede for: at f () er voksende i et interval Hvis f () er et positivt tal eller 0 for enhver værdi af i et interval I, og f () er ikke 0 for alle tal i et interval der er en del af I, så gælder at f () er voksende i intervallet I Ramme 18 Givet: f () Gør rede for: at f () er aftagende i et interval Hvis f () er et negativt tal eller 0 for enhver værdi af i et interval I, og f () er ikke 0 for alle tal i et interval der er en del af I, så gælder at f () er aftagende i intervallet I Opgave Diff 15 Ramme 19 Givet: f () Gør rede for: Fortegn for f () Funktionen har differentialkvotienten 1 + 9, og ligningen = 0 har løsningerne 1 og Da differentialkvotienten kun kan skifte fortegn ved en værdi af hvor den er 0 eller ikke defineret, må den have samme fortegn for alle -værdier i intervallet ] 1; [, så da ligger i ] 1; [ og er som er negativ, må være negativ for enhver -værdi i ] 1; [ I ramme 19 undersøges funktionen Brug denne undersøgelse sammen med metoden fra ramme 18 at gøre rede for at funktionen er aftagende i intervallet [ 1; ] Som nævnt i ramme 19 har funktionen differentialkvotienten Brug metoden fra ramme 19 til at gøre rede for at differentialkvotienten bliver et positivt tal uanset hvilket tal fra intervallet ] ; [ der indsættes for Brug metoden fra ramme 17 til at gøre rede for at funktionen intervallet [ ; [ er voksende i Brug metoden fra rammerne 19 og 17 til at gøre rede for at funktionen voksende i intervallet ] ; 1] er Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

18 Ramme 0 Monotoniforhold Når der står at man skal finde monotoniforholdene for en funktion, så betyder det at man skal finde ud af hvor funktionen vokser, og hvor funktionen aftager Man kan bruge metoderne i rammerne til at finde monotoniforholdene (og til at begrunde at de er som man påstår) Facit kan skrives sådan: + er voksende i ] ; ], aftagende i [ ; 0] og voksende i [ 0; [ 1 Hvis en funktion er kaldt f (), kan facit skrives sådan: f er aftagende i ] ; 0[ og aftagende i ] 0; [ Opgave Diff 16 1 Lad f () betegne funktionen 8 Brug metoderne fra rammerne -7 til at finde differentialkvotienten f () Find løsningerne til ligningen f ( ) = 0 Brug metoden fra ramme 19 til at finde de værdier af hvor f () er positiv, og de værdier af hvor f () er negativ Læs ramme 0, og brug metoden fra rammerne 17 og 18 til at finde monotoniforholdene for f () Opgave Diff 17 Læs ramme 0, og bestem monotoniforholdene for funktionen f ( ) 1 = Brug computer til at få tegnet grafen for f () Kontrollér at de monotoniforhold du har angivet, er i overensstemmelse med grafen Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

19 Opgave Diff 18 En funktion f er givet ved f ( ) = 1 Bestem monotoniforholdene for f Bestem en ligning for den linje l som er tangent til grafen for f i punktet (, () ) Grafen for f har en anden tangent m der er parallel med l f Bestem koordinatsættet til røringspunktet for tangenten m Brug computer til i samme koordinatsystem at få tegnet både grafen for f, linjen med den ligning du har fundet, og punktet med det koordinatsæt du har fundet Kontrollér at de monotoniforhold du har fundet, er i overensstemmelse med figuren, at linjen ser ud til at være tangent til grafen i det punkt hvis førstekoordinat er, og at det fundne punkt ligger korrekt, herunder at det ser ud til at hvis man tegnede tangenten i punktet, ville den være parallel med l Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 15 af 15 5/8-0 Karsten Juul