Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgavesættet består af opgaverne 1-7 med i alt 15 spørgsmål og valgfrie opgaver 8A-8D med i alt 4 spørgsmål. De 19 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.
Side 1 af 6 sider Opgave 1 I trekant ABC er følgende størrelser kendte: B 80, BC 7 og AB 8 a) Bestem AC og vinkel A. Vinkelhalveringslinjen for vinkel B skærer siden AC i punktet D. b) Bestem BD. Opgave Det oplyses, at for et bestemt fiskeprodukt er holdbarheden H(x) (målt i døgn) som funktion af temperaturen x (målt i C) givet ved Hx ( ) 11,5 0,914 x a) Bestem halveringskonstanten for holdbarheden af fiskeproduktet. Hvilken oplysning giver dette tal om holdbarheden af fiskeproduktet? b) Bestem den temperatur, som fiskeproduktet skal opbevares ved, for at holdbarheden er 10 døgn.
Side af 6 sider Opgave En romaskine kan indstilles, så man efter en periode på 5 minutter kan få oplyst den effekt, som roeren har ydet samt den tilbagelagte strækning. Tabellen viser resultatet af en sådan måling, hvor 8 personer har deltaget. Effekt målt i watt 4 6 80 10 114 14 166 185 Tilbagelagt strækning målt i m 766 859 940 100 1074 111 1191 1 a Sammenhængen kan beskrives ved en funktion af formen f ( x) b x, hvor x betegner effekten, målt i watt, og hvor f( x ) betegner den tilsvarende tilbagelagte strækning, målt i m. a) Bestem ved at benytte tabellens data konstanterne a og b. b) Benyt den fundne forskrift til at bestemme den effekt, der skal til for at opnå en tilbagelagt strækning på 900 m. c) Med hvor mange procent øges den tilbagelagte strækning, hvis effekten øges med 0%? Opgave 4 En funktion f er givet ved 1 f ( x) x x 5x 1, x R a) Bestem monotoniforhold for f. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 0, f (0)). 4
Side af 6 sider Opgave 5 To vektorer a og ber bestemt ved t a og b 1 4t hvor t er et tal. a) Bestem for t = vinklen mellem a og b. b) Bestem den værdi af t, for hvilken a og b er ortogonale. Opgave 6 a) Bestem 9 ( 8 9) x x dx Funktionerne f og g er bestemt ved f x x x x ( ) 8 9, 9 g( x) 1x 6, x Graferne for de to funktioner afgrænser sammen med x-aksen en punktmængde M, der er skraveret på figuren. b) Bestem arealet af M. 5
Side 4 af 6 sider Opgave 7 Rumfanget V af en kegle med højde h og grundfladeradius r er givet ved formlen V h r π En kegle med grundfladeradius r og højde h er indskrevet i en kugle med radius, som vist på figur 1. Afstanden mellem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade betegnes x, hvor 0 < x <. Figur viser et plant snit gennem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade. a) Bestem for x = 1 grundfladeradius r, og bestem keglens rumfang. Det oplyses, at keglens rumfang V(x) som funktion af x er bestemt ved V x x x x, 0 < x < π ( ) (8 4 ) b) Bestem den værdi af x, for hvilken keglens rumfang er størst muligt. 6
Side 5 af 6 sider Suliassanit ukunannga: 8A, 8B, 8C aamma 8D taamaallaat marluk naliligassatut tunniunneqassapput. Suliat marlunnik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissutinut siullernut marlunnut akissutit nalilerneqassapput. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver Opgave 8A: Rentes- og annuitetsregning. Jane lånte 0000 kr. i banken den 1/1 007. Tilbagebetalingen af lånet startede den 1/ 007, idet Jane skulle betale en månedlig ydelse i alt 10 gange. Bankens rente var 0,5% pr. måned. a) Bestem den månedlige ydelse. b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at den 4. ydelse var betalt. Opgave 8B: Beskrivende statistik. En persons Body Mass Index (BMI) er et mål for sammenhængen mellem personens vægt og højde. For 00 udvalgte personer fordelte BMI sig således: BMI ]14;18] ]18;] ];6] ]6;0] ]0;4] Antal personer 8 4 66 40 4 a) Bestem middelværdien. Tegn sumkurven, og bestem medianen. Personer med et BMI mellem 5,0 og 0,0 betegnes som overvægtige. b) Bestem hvor mange procent af de udvalgte 00 personer, der betegnes som overvægtige. 7
Side 6 af 6 sider Opgave 8C: Lineær programmering. En virksomhed producerer to typer stearinlys: type A og type B. Produktionen pr. dag er underlagt følgende betingelser: 0, x 0,1y 80 x y 500 x 0 y 0 hvor x angiver antal lys af type A, og y angiver antal lys af type B. a) Tegn polygonområdet ud fra de givne betingelser. Fortjenesten på ét lys af type A er 1 kr., og fortjenesten på ét lys af type B er 9 kr. b) Bestem det antal lys af type A og det antal lys af type B, der skal produceres pr. dag, så den samlede fortjeneste er størst mulig. Opgave 8D: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler. I et koordinatsystem er en parabel og en linje givet ved ligningerne 1 y x x og y x 1 5 Parablen og linjen skærer hinanden i to punkter, som benævnes A og B, hvor A er punktet med den mindste førstekoordinat. a) Bestem koordinatsættet til hvert af punkterne A og B. Parablens toppunkt benævnes T. b) Bestem arealet af trekant ABT. 8