Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Transkript

1 Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå areal, der er afgrænset af selve funktionen () i intervallet, x-aksen, y-aksen samt en lodret linie i = vil danne en cylinder ved en drejning på 360 omkring x-aksen. Formlen for beregning af et omdrejningslegemes volumen omkring x-aksen va. integralregning: = () = = = ( ) ( 0) = = Dermed skulle formlen for r af en cylinder være bevist = Peter Valberg side 1

2 Rumfang af en cylinder-rør På illustrationen til øjre er indtegnet to lineære funktioner indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionerne () og () kan begge skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå areal, der er afgrænset af funktionerne () og () i intervallet, y-aksen samt en lodret linie i = vil danne et såkaldt cylinderrør ved en drejning på 360 omkring x-aksen. Formlen for beregning af et sådant omdrejningslegemes volumen omkring x-aksen va. integralregning: = () () = () () = () () = = = ( ) ( 0) ( ) ( 0) = ( ) ( ) = ( ) Dermed skulle formlen for r af et cylinderrør være bevist. = ( ) Peter Valberg side 2

3 Rumfang af en kegle På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = Det markerede grå areal, der er afgrænset af selve funktionen () i intervallet, x-aksen samt en lodret linie i = vil danne en kegle ved en drejning på 360 omkring x-aksen. Hældningskoefficienten for () kan beregnes som: Formlen for liniestykket bliver således: = = 0 0 = () = + = +0 Formlen for beregning af et omdrejningslegemes volumen omkring x-aksen va. integralregning: = () = = = 3 = = 3 = 1 3 Fortsættes næste side... Peter Valberg side 3

4 Fortsat fra forrige side... Dermed skulle formlen for r af en kegle være bevist. = 1 3 (Altså en tredjedel af en cylinder med samme radius og øjde). Rumfang af en keglestub På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: =+ Det markerede grå areal, der afgrænses af funktionen (), x-aksen, y-aksen samt en lodret linie i = vil danne en keglestub, når det drejes 360 omkring x-aksen. Hældningskoefficienten for () kan beregnes som: = = 0 = ( ) () skærer y-aksen i punktet (0 R), derved bliver ligningen for (): () = ( ) + = ( ) Formlen for beregning af et omdrejningslegemes volumen omkring x-aksen va. integralregning: Fortsættes næste side... = () Peter Valberg side 4

5 Fortsat fra forrige side... = ( ) = + = + ( ) = + ( ) = ( ) 2 2 ( ) 3 2( ) 2 ( ) = ( ) ( ) 0 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) + = 1 3 ( ) + = 3 ( ( ) +3 ) = 3 ( ) = 1 3 ( + + ) Dermed skulle formlen for r af en keglestub være bevist (se næste side). Peter Valberg side 5

6 Rumfanget af en keglestub Rumfanget af en keglestub kan beregnes med følgende formel: = 1 3 ( + + ) Rumfang af en kugle Illustrationen til øjre viser en cirkel indtegnet i et koordinatsystem med centrum i origo (0 0). Ligning for en cirkel kan skrives som: ( )+( )= vor ( ) er cirklens centrum. I dette tilfælde giver det følgende: ( 0)+( 0)= + = Flyttes lidt rundt på ligningen fås: =± Hvor øverste alvdel af cirklen i første og anden kvadrant ar ligningen: = Nederste alvdel i tredje og fjerde kvadrant ar ligningen: = Den øvre alvdel af cirklen, der afgrænses af funktionen = og x-aksen, vil danne en kugle, når den drejes 360 omkring x-aksen. Fortsættes næste side... Peter Valberg side 6

7 Fortsat fra forrige side... Formlen for beregning af et omdrejningslegemes volumen omkring x-aksen: = () = = ( ) vor r er cirklens radius og dermed en konstant Rumfanget (volumen) af den kugle, der fremkommer ved drejning af førnævnte alvcirkel 360 omkring x-aksen, kan altså beregnes med dette integral: = ( ) = 3 = 3 ( ) ( ) 3 = ( ) = = = 4 3 = 4 3 Dermed skulle formlen for r af en kugle være bevist. = 4 3 Peter Valberg side 7