Mål og handleplaner for udskoling for faget Matematik - matematiklærerens redskab
Indholdsfortegnelse Forord...3 Opbygningen af mål og handleplaner...3 Målene...3 Handleplanerne...3 Idekatalog / materialer...3 Generelt for hele skoleforløbet...4 Tværfaglighed...4 Evaluering...4 Bekymringsbørn...4 IT...4 Faglig læsning...5 Overlevering...5 Materialebanken...5 7. Klasse...5 Handleplan...9 Forældreinformation...10 Idekatalog...11 8. Klasse...12 Mål...13 Handleplan...15 Forældreinformation...18 Idekatalog...19 9. Klasse...20 Handleplan...23 Forældreinformation...25 Idekatalog...26 Her kan du også hente hjælp, råd og vejledning mm...27 2
Forord Der er en generel fokus på faglighed i folkeskolen. Både internationale undersøgelser og rapporter fra ministeriel side sætter fokus på et fagligt løft i matematik. Arbejdet med mål og handleplaner er iværksat som et led i kommunens planer for at højne fagligheden i matematik på kommunens skoler samt for at danne grundlag for at evaluere denne. Udvalget har haft som målsætning at skabe en rød tråd for elevernes matematikundervisning i hele deres skoleforløb samt at udvikle mål og handleplaner, der skal blive et nyttigt og brugt redskab for lærerne i deres planlægning af undervisningen. Mål og Handleplaner i matematik skal herudover være med til at skabe sammenhæng mellem årsplaner, elevplaner og evaluering. Mål og handleplaner eksisterer i en elektronisk udgave med mulighed for at hente de beskrevne mål og indsætte i årsplaner og elevplaner. Mål og Handleplaner i matematik er udviklet i et samarbejde mellem kommunens matematikkonsulent samt et udvalg af lærere udpeget af kommunens skoleledere. Mål og Handleplaner for 0.-3.klasse er udviklet i skoleåret 2007-08 Mål og Handleplaner for 4.-6. klasse er udviklet i skoleåret 2008-09 Mål og Handleplaner for 7.-9. klasse er udviklet i skoleåret 2009-10 Opbygningen af mål og handleplaner Mål og handleplanerne for henholdsvis indskoling, mellemtrin og udskoling er hver især bygget op af 3 dele: Mål, handleplan og idekatalog/materialer. Målene Målbeskrivelserne for hvert klassetrin indledes med nogle generelle betragtninger af børns udvikling og læring af matematik i forhold til pågældende alder. Disse betragtninger er formuleret med udgangspunkt i nyere forskning i udviklingspsykologi, matematikdidaktik og børns læring. Målbeskrivelserne i Mål og handleplaner er en uddybning af de fra ministerielt givne fælles mål for faget matematik. Målene beskriver, hvad man med rimelighed kan forvente, at eleverne har opnået inden sommerferien på det pågældende klassetrin. Læreren har stadig et overordnet ansvar for at formulere undervisningsmål for egen undervisning og læringsmål i samarbejde med den enkelte elev/forældre. Handleplanerne Handleplanerne giver retningslinjer til, hvordan målene kan opfyldes samt peger på hensigtsmæssige læringsstrategier, arbejdsformer, organiseringsformer, forældresamarbejde og evaluering i forbindelse med matematikundervisningen. Idekatalog / materialer Denne del indeholder konkrete forslag til aktiviteter samt materialer, der understøtter målene og handleplanerne. Det kommunale matematikudvalg har herudover til hensigt at udvikle en del 4 dækkende hele skoleforløbet med anbefalinger for tiltag i matematik på kommunalt plan. 3
Generelt for hele skoleforløbet Tværfaglighed Målene i mål og handleplaner er specifikt faglige mål, hvorfor en tværfaglig tilgang til matematikfaget (herunder projekt tema og emnearbejder) ikke er medtaget i dette skrift. At se matematikken i spil med andre fag er dog en vigtig faktor for syn på fagets anvendelighed og mangfoldighed. Eleverne bør derfor også hyppigt opleve at arbejde med matematikken tværfagligt i deres skoletid. Det skal dog sikres, at der er reelle formulerede matematikfaglige mål med forløbet. Evaluering Den bedste evaluering er mange forskellige evalueringer. Lærerens løbende evaluering af undervisningen må derfor tage udgangspunkt i undervisnings- og læringsmål med brug af flere forskellige evalueringsværktøjer til følge som fx begrebsevalueringer, færdighedsevalueringer, porteføljer, interviews, samtaler m.m. Evalueringsformerne skal fremgå af såvel årsplan som elevplanerne samt anvendes i forbindelse med forældresamarbejdet. Standardiserede evalueringer kan anvendes i forbindelse med visitation til specialundervisning og/eller i overleveringstilfælde. Eksempler på evalueringsværktøjer er samlet i en kuffert hos konsulenten og kan lånes/fremvises efter aftale (se punktet materialebank). Der arbejdes på at udvikle et evaluerings-værktøj baseret på kommunens mål og handleplaner på Interaktivt White Board (IWB) og tilhørende Active-Votes (elektroniske stemmeklodser). Det er tanken at dette på sigt skal udgøre en del af den samlede løbende evaluering. Bekymringsbørn Bekymringsbørn kan være børn, man som lærer er bekymret for i forhold til indlærings, adfærds- eller trivselsproblemer. Udtryk og årsagerne kan jo være mange og ofte griber de ind i hinanden og være vanskelige at adskille fx kan særligt dygtige børn opleves med adfærdsmønstre, som faglige udfordringer i undervisningen måske kunne have forhindret. Som lærer er der er hel del ressource-personer at trække på. Man kan i første omgang altid søge sparring, støtte og vejledning hos lærerteamet omkring barnet, andre matematikkollegaer, bruge sit fagudvalg og sin specialkoordinator/specialcenteret på skolen. Er dette ikke tilstrækkeligt er der supervisorer fx matematikkonsulent, AKT-konsulenter, psykologer m.m. at trække på. Skolerne har en særlig procedure for bekymringsbørn. I disse indgår skriftlighed i forhold hvilke initiativer, der har været afprøvet. Det vil derfor være en fordel undervejs, at nedskrive disse i tilfælde af fx en indstilling. Forældrene bør inddrages tidligt og vejledes i, hvordan de kan hjælpe deres barn hjemme. Der findes flere informationer herom i forældrefoldere, der kan printes ud fra Matematikrummet på Fællesnettet. IT IT skal generelt indgå i undervisningen, hvor det er relevant og bør vælges som et naturligt hjælpemiddel på linje med konkrete materialer, lommeregner og andre hjælpemidler, når det er smart. Til en varieret matematikundervisning findes der en del af IT-baserede redskaber og hjælpemidler på skolerne. I klasserne er der installeret Interaktive White Boards (IWB), som er en enestående mulighed for at variere matematikundervisningen. Storskærmen kan bruges til at gennemgå fælles opgaver på, eleverne kan arbejde med værkstedsaktiviteter, spille, træne, arbejde kreativt og dynamisk med matematikken. Programmets bibliotek rummer masser af hjælpemidler og elevarbejder som mønstre, billeder, fotos og diagrammer kan nemt fremvises for hele klassen. Muligheden for netadgang åbner blandt andet muligheder for at få virkeligheden inviteret indenfor i klasserummet. 4
Skolernes elevcomputere rummer mange gode matematikspil, trænings- og dynamiske programmer, som kan være med til at motivere eleverne til at arbejde med de matematikfaglige områder. Brug af computere må ikke blive et mål i sig selv, men et redskab, der vælges, når den rummer fordele ved at løse opgaver enten hurtigere, lettere, flottere, mere illustrativt eller ligefrem være med til at løse opgaver, som ellers praktisk ville være umuligt. Med lidt fantasi kan IT også bruges på anderledes måder og ad den vej forhåbentlig pirre elevernes nysgerrighed og lyst til på længere sigt at udforske computerprogrammer. Det er arbejdsgruppens håb, at idekatalogerne i dette skrift kan inspirere lærerne til også at bruge IT på nye og fantasifulde måder i den daglige undervisning. Faglig læsning Der har i de senere år været megen fokus på begrebet faglig læsning. Med indførelsen af Fælles mål 2009, blev faglig læsning en del af CFK et matematiske arbejdsmåder. I slutmålene står endvidere: undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner. Med begrebet faglig læsning sættes almindeligvis fokus på at læse for at lære. I matematik er der to hovedformål, der kan kalde på faglig læsning: 1) At lære matematik 2) At kunne læse matematikholdige tekster fra dagligdagen for at skaffe oplysninger til at løse praktiske problemer vha. af matematik og for at kunne deltage i den demokratiske debat, der ofte rummer matematikrelaterede argumenter. I mål og handleplanerne er der taget højde for dette indsatsområde. I handleplanen er beskrevet hvordan, der fx arbejdes med matematikkens sprog, kommunikation, notatteknik, læsestrategier og med henvisninger til konkrete eksempler på undervisningsaktiviteter samt materialehenvisninger i idekataloget. Alle mål i matematik berører dog et aspekt af faglig læsning, som af læreren må tænkes ind i hele skoleforløbet. Overlevering I alle overleveringstilfælde bør nuværende og kommende lærer deltage i et overleveringsmøde. Evalueringer indsamlet løbende bør være udgangspunktet i samtalen om eleverne og bør overdrages den nye lærer. Materialebanken Lærere og børnehaveklasseledere kan låne forskellige kufferter med matematik materialer som fx børnehaveklasse-kufferterne, spil og læringsstile-kufferter, geometrikufferten m.m. Der er udviklet 5 kufferter særligt henvendt til forældre med børn i indskolingen eller med børn, der har matematikvanskeligheder. Sidstnævnte kan lånes på Legeteket under Frederiksværk Bibliotek. Oversigter over alle kufferterne, informationsfoldere m.m. kan findes på det fælles intranet. God fornøjelse med det nye redskab på udvalgets vegne Nina Winther 7. Klasse 5
Når eleverne møder i 7. klasse kan man forvente, at de kender til forskellige måder at skrive tal på fx hele, negative, decimaltal, brøker samt kender til særlige tal som kvadrattal, pi, kvadratrod. Eleverne har en begyndende forståelse for algebraiske udtryk og har erfaringer med simple funktioner og udtryk med variable. Eleverne kender til de grundlæggende egenskaber for figurer, kan konstruere og flytte dem i et koordinatsystem. De har erfaringer med statistiske undersøgelser og chance, kan beskrive og tolke på resultaterne i tal, diagrammer og ord. Der kan forventes en vis forståelse i omregninger mellem forskellige enheder. Der arbejdes videre på den viden og kunnen, som eleverne har opnået i og udenfor skolesammenhæng. Der lægges vægt på, at eleverne kan anvende og foretage stadig flere selvstændige valg med hensyn til metoder, faglige redskaber og hjælpemidler. De faglige områder udvides med begreber indenfor fx økonomi, afstandsberegninger (Pythagoras), massefylde samt mere abstrakte algebraiske udtryk. Hvad vejer mest? 6
Mål I løbet af skoleåret tilstræbes det at eleven: Tal og talbehandling Kender og kan undersøge om et tal er et primtal eller et sammensat tal Kan fortsætte talfølger og forandringer Kende til simple kvadratrødder Kan skrive tal skrevet som potenser også den videnskabelige skrivemåde af store tal Kan forstå en tekst og omsætte til matematisk problemløsning Kender regnearternes hierarki og kan regne fx -2*3+4:2-3 - herunder kender til lommeregner/computerens begrænsninger Er sikker i omskrivning af simple endelige brøker som 1/2, 1/4, 1/5, 1/10, 3/4, 3/5... Kan regne (+/-) med brøker, hele og blandede tal Forstår procent som "ud af 100", selvom det ikke handler om 100 i alt Kan regne % delen af et tal - også i problemløsningssituationer Kender til begreber anvendt i privatøkonomi fx simpel rente, saldo, moms, fortjeneste, opsparing og lån Kender til kursbegrebet og kan lave simple omregninger Kan gøre overslag og vurdere et resultats rigtighed Funktioner og variable Kan indtegne, aflæse og beskrive grafer efter funktionsforskrifter fx y= 1/2 x + 4 Kender til forskellige hverdagssituationer beskrevet ved funktioner fx sammenhængen mellem antal måneder og opsparede lommepenge Kender sammenhæng mellem tabel, funktionsudtryk og graf Kender til brug af variable i mindre formler (kunne sætte tal ind) Kan opstille mindre formler fx arealet af et kvadrat som a 2 eller i regneark =C3*C3 Kan løse enkle ligninger med en ubekendt fx ved inspektion (gæt og afprøv) Figurer Kan gætte og måle vinkler samt beregne enkle vinkler fx vinkelsummen i en trekant Kan genkende, beskrive og navngive diverse plane figurer og linjer fx vinkelhalveringslinje, median, midtnormal, symmetriakse, korde, sekant og tangent Kan spejle, dreje og forskyde en figur Kan lave ræsonnementer med baggrund i geometriske undersøgelser på computer fx Er diagonalerne i en rombe altid vinkelrette? Kan beregne hypotenusen i en retvinklet trekant Kender navn og egenskaber for rumlige figurer fx kegler, kugler og pyramider Tegning og konstruktion Kan konstruere og beskrive mønstre Kan tegne arbejds-, isometriske og simple perspektivtegninger Kan lave skitser og efterfølgende konstruere trekanter og firkanter ud fra givne oplysninger Kan beregne længder og lave plantegninger i et målestoksforhold Kan undersøge om figurer er ligedannede eller kongruente Kan tegne og foretage beregninger i koordinatsystemet Kan beregne længder ud fra ligedannede figurer 7
Statistik og sandsynlighed Kan vælge passende metoder til dataindsamling fx spørgeskemaer, eksperimenter Kan sortere og systematisere datamateriale fx ved intervaldeling Kan beskrive og sammenligne observationssæt med deskriptorer fx største-, mindsteværdi, median, typetal og middeltal Kan fremstille og beskrive simple diagrammer fx pindediagram og kurver også med it Kender begreberne udfaldsrum, hændelse - herunder umulig og sikker hændelse Kan udføre tilfældighedseksperimenter fx ved brug af online simuleringsprogrammer Kan beregne en statistisk sandsynlighed ved hjælp af forsøg på både jævne og ujævne sandsynlighedsfelter Kan beregne og lave optællinger af simple kombinatoriske muligheder Kan foretage simple beregninger af kombinatoriske sandsynligheder fx sandsynligheden for krone-krone ved kast med to mønter Måling Kan beregne længder med simple Pythagoras-beregninger Kan beregne afstande mellem tidspunkter og tidsintervaller Kan finde omkreds og areal af de fleste geometriske figurer Kan finde rumfang af rumlige figurer som fx kegle og pyramide Kan beregne en gennemsnitsfart Forstår begrebet massefylde, som når noget fylder lige meget kan det veje forskelligt Kan omskrive mellem de fleste enheder for længde, vægt, areal, rumfang, fart og massefylde Kan vælge passende måleredskaber og hjælpemidler samt kende til disses styrker og begrænsninger fx usikkerhed og præcision Kan gøre overslag og vurdere et resultats rigtighed Kan afrunde til et naturligt antal decimaler og vælge passende måleenhed 8
Handleplan Eleverne har med sig fra mellemtrinnet forskellige handlemåder og strategier til løsning af matematiske problemstillinger. I udskolingen arbejder eleverne videre med eksperimenter, undersøgelser og udvikling af strategier såvel individuelt som sammen med andre. Undervisningen bygger, ligesom på mellemtrinnet, på elevernes erfaringer i tæt relation til deres hverdag. Elevernes matematiske kompetencer udvikles generelt, og der rettes en særlig opmærksomhed på forståelse af tekster samt den mundtlige og skriftlige kommunikation af matematiske løsninger. Der arbejdes med hvordan man kan se, at et tal går op. forskellige talfølger, der løses med afprøvning af forskellige hypoteser og ræsonnementer. Talfølgerne kan have et konkret udgangspunkt fx rumfanget af en kube, hvor siden vokser. kvadratrod som det omvendte af kvadrattal og længde af en side i et kvadrat. potenstal præsenteres som en smart, kort måde at skrive store tal på. Arbejdet med indtastning af meget store tal, samt potenser på lommeregneren inddrages, således at eleverne bliver trygge ved forskellige lommeregneres potenstaster fx y x eller ^, samt hvordan lommeregneren viser store tal. matematiksproget ved anvendelsen af forskellige ord i tekster i forhold til genkendelsen af de 4 regnearter fx forhold, forskel, sum, i alt, produkt, difference faglig læsning, hvordan griber man en opgave an (se idekatalog). skriftlighed og kommunikation i forbindelse med problemløsning herunder brug af matematiske skriveprogrammer som fx MathCad. nogle lommeregneres og computers begrænsninger i forhold til beregninger, hvor regnehierarkiet skal anvendes. forskellige repræsentationer fx cirkel, kvadratdiagram og stabeldiagrammer (se undervisningsministeriets formelsamling) til støtte af omskrivninger af brøker til decimaltal og procent. konkrete materialer som fx brøkruder, brøkstænger, brøkcirkler m.m. i forbindelse med veksling og regning med brøker. forståelsen af % -begrebet fx er 10 % altid det samme? ( 10 % af 1 mio. eller af 1 øre ) forståelse af kurs som forskellige valutaers værdi af 100 stk. og anvende dette i praktiske og virkelighedsnære situationer. overslag som en god vane i forhold til vurdering af resultater fx kan det passe at? eksperimenter med hældningstal og skæring med y-akse og funktionsforskrifter i et graftegningsprogram fx Geometer, grafvrider variable i formler. Hvad sker der fx hvis en værdi fordobles forståelsen af ligningsløsning, ved fx at dele større ligninger op i mindre dele fx 3(x+4) 7 = 20 Hvilket tal tænker jeg på, når man trækker 7 fra giver det 20 sproglige aktiviteter, hvor beskrivelser af navne og kendetegn for forskellige linjer og figurer indgår. hjælpemidler som tegnetrekant, passer, vinkelmåler, lineal samt geometriprogrammer i forbindelse med konstruktioner. praktiske aktiviteter i forhold til arbejdet med målestoksforhold. undersøgelser om figurer er ligedannede eller ej sammenligne ensliggende vinkler og beregne forholdet mellem ensliggende sider. planlægning, udførelse og præsentation af egne statistiske undersøgelser. diskussioner i forhold til statistisk sandsynlighed om de store tals lov. pythagoras læresætning på mange måder fx visuelt, navngivning af sider og vinkler og anvendelse med praktiske beregninger af hypotenusen fx længden af en skrå tagside. 9
hverdagssituationer, hvori tidsforskelle skal beregnes fx køreplaner. Der arbejdes begyndende med forståelsen af tidsomskrivninger fx 1,5 time er det samme som 1 time og 30 minutter. der arbejdes med omtrentlige arealberegninger ved opdeling i flere kendte figurer fx trekanter. ræsonnementer i forhold til metoder til beregning af rumfanget af kegler og pyramider. Dette med praktiske målingseksempler med udgangspunkt i viden om rumfang af fx kasser og cylindere. praktisk med begrebet massefylde med eksperimenter fx lægge en sølvpapirkugle, æble, kork og sten med samme størrelse i vand. omskrivninger med særlig vægt på forståelsen af omskrivninger mellem arealenheder fx 200 m 2 = 2.000.000 cm 2. Usædvanlige mål som knob, sømil, tommer bør også indgå. lommeregnerens begrænsninger i forbindelse med afrunding i panelet. Fx kan den skrive 10 + 20 % = 10,20 samt fx 2 og 2 i stedet for decimaltal. Forældreinformation På forældremødet orienteres om de særlige udfordringer eleverne vil møde i udskolingen. Folderen 7, otte, 9 det er snart forbi med gode tips og ideer til forældre uddeles (se Matematikrummet på Fællesnettet). Der kan henvises til mål og handleplaner for udskolingen på kommunens hjemmeside www.halsnaes.dk. I udskolingen får eleverne brug for en tidssvarende formelsamling, en fornuftig lommeregner og forskellige tegneredskaber til matematikundervisningen. Der kan orienteres om it muligheder, eleverne kan bruge hjemme: MathCad, Geometer og diverse programmer, som elever i Halsnæs Kommune har elevlicens til. Det er værd at være opmærksom på, at mange forældre får sværere og sværere ved at hjælpe med matematikken hjemme. Det kan være en god ide, at tale om alternativer fx it-muligheder, lektiegrupper/lektiecafeer, inddragelse af ældre elever Det kan ikke nævnes for tit, at forældrenes positive interesse og omtale af faget hjemme har stor betydning for elevernes læringsproces og aktive deltagelse. Skole-hjemsamtalen Der fokuseres på elevens læringsmål. Der dokumenteres i forhold til den løbende evaluering. Vær særligt opmærksom på, hvordan eleven går til opgaver/problemløsningssituationer og om de mere basale færdigheder er på plads. Det kan være en god ide at præsentere udpluk af elevarbejder med til samtalen fx portefølje. Der kan henvises til tilbud til elever med særlig interesse for faget fx talentcamps. Eventuelt kan forældrefolderen med tips og ideer til højdespringere udleveres. 10
Idekatalog Brug Eratosthenes si til at finde primtal. Tal om hvorfor sien virker. Se fx www.gratisskole.dk. Tegn kvadrater med arealet 1, 4, 9, 16, 25, 36. Brug hovedregning (og kvadratrod) til at beregne sidelængden. Elever kan også tegne nøjagtige længder ud fra konstruktion af kvadrater fx hvordan vil du tegne længden 2? Arbejde konkret med brøkregning fx ¼ som en kvart liter, et kvart æble, en kvart plade chokolade Lav ordfyldningsdiktater i forbindelse med regnehistorier, hvor forskellige ord for fx minus skal indsættes - eller skriv egne regnehistorier, hvor der stilles krav om brug af forskellige ord for de 4 regnearter. Anvend fx problemløsningsark til arbejdet med faglige tekster fx kopiark 6 i Michael Wahls Matematik for mig. Brug fx programmer fra nettet fx My-Banker. Lad fx eleverne indsætte 100.000 kr. på en smart børneopsparing, hvad har du når du bliver 18 år Find den billigste pris på nettet på fx en bestemt mobiltelefon i forskellige lande. Leg Tankelæser : Tænk på et tal. Gang det med 2, læg 2 til, del med 2. Læg 9 til. Hvis du får fx 13 ved jeg, at du tænkte på 3. Hvordan kan jeg vide det? Brug hjælpemidler som fx teodolit, sekstant, meterhjul m.m. i forbindelse med landmåling udendørs. Tegn skitser i et geometriprogram af de målte vinkler/længder i et målestoksforhold og beregn fx højden af en bygning. 20 spørgsmål til professoren. Tænk fx på en tangent. En anden skal på mindre end 20 stillede spørgsmål, der kan svares ja/nej på, gætte linjens navn. Brug eventuelt de visuelle it-programmer som kommunens skoler er i besiddelse af fx til at visualisere brøker, ligninger og funktioner, som ellers kan opleves som abstrakt. Lav egne kort ud fra fx Google Earth af nærområdet. Brug diverse indretningsprogrammer til at designe værelser, møbler m.m. i målestoksforhold. Lav statistiske undersøgelser i klassen med stemmeklodser på IWB-tavlerne. Arbejd med flere af de forskellige online simuleringsprogrammer der findes på nettet. Søg fx på online simuleringsprogrammer pt. findes nogle gode programmer på www.emu.dk. Til enkle simuleringer kan regneark bruges med funktionen SLUMP. I arbejdet med jævn og ujævn sandsynlighed kan inddrages eksperimenter med hhv. kast med mønter/ almindelige terninger og tændstikæsker/sko. På nettet findes en del spil, hvor inddragelsen af kombinatorik indgår fx valg i forhold til at sammensætte sin egen racerbil, bryllups tøj m.m. pt. findes gode links på www.emu.dk. Der er oplagte muligheder for samarbejde med fysik i forhold til arbejdet med rumfang/massefylde. Arbejd med notatteknik og informationssøgning. Lad eleverne selv finde nyttige oplysninger i opslagsværker fx i formelsamlingen, på nettet (fx www.formel.dk) m.m. I Matematikrummet på Fællesnettet findes mange ideer, undervisningsforløb på IWBtavler, links m.m. Husk kommunens materialebank Se oversigten i Matematikrummet på Fællesnettet. 11
8. Klasse Når eleverne møder i 8. klasse kan man forvente, at de er fortrolige med talbehandling af forskellige typer tal fx negative tal, decimaltal, brøker. De behersker regnearternes hierarki, kan regne med procent, og kender til enkle begreber anvendt i privatøkonomiske situationer. Eleverne har en begyndende forståelse for algebraiske udtryk og har erfaringer med simple funktioner og udtryk med variable. Eleverne kender til de grundlæggende egenskaber for figurer, kan konstruere og flytte dem i et koordinatsystem. De har erfaringer med statistiske undersøgelser og sandsynligheder, og kan beskrive resultater i tal, diagrammer og ord. Der kan forventes en vis forståelse af omregninger mellem forskellige enheder. Der arbejdes videre på den viden og kunnen, som eleverne har opnået i og udenfor skolesammenhæng. Der arbejdes med større krav til brug af symbolsprog samt elevernes refleksion og formulering af resultater. De faglige områder udvides især med begreber indenfor fx trigonometri, regning med potens og kvadratrod, rentes rente, ligninger og formler. 12
Mål I løbet af skoleåret tilstræbes det at eleven: Tal og talbehandling Kan opløse tal i primfaktorer Kan beskrive forandringers udvikling ved brug af matematisk symbolsprog Kunne lave beregninger med kvadratrødder - herunder anvende lommeregner Kende til simple kubikrødder Kan deltage i udvikling af regneregler for fx tal skrevet som potenser Kan forstå en tekst og omsætte til matematisk problemløsning Kender betydningen af brug af forskellige typer parenteser fx -(a+3), 5(-a+2), 4+(6-(-7)) Beherske omskrivning af endelige brøker fx 1/8 og enkelte uendelige som fx 1/3, 2/3 Kan regne med brøker, hele og blandede tal Kan regne med procentvis stigning og fald samt beregne heldelen (100 %) Kender til eksempler på misbrug af procent fx "spar momsen og få 25 % i rabat" Kender til begrebet promille Kender til rentes rente, og kan lave simple modeller bl.a. i et regneark Kan udføre valutaberegninger - begge veje Funktioner og variable Kan anvende forskellige funktioner også ikke lineære fx y = 1/t Kan opstille simple funktionsudtryk med situationer fra hverdagen Kan "flekse" mellem tabel, funktionsudtryk og graf Kan anvende de fleste formler fx fra formelsamlingen, men også mere "ukendte" formler Kan løse sværere ligninger fx indeholdende reduktion og parenteser Kan bestemme løsninger til ligninger grafisk fx hvornår noget kan betale sig Kan beskrive fx geometri algebraisk (se handleplan) Figurer Kender til regler for vinkler (se handleplan) Kan ved eksperimenter finde regler og sammenhænge for linjer i figurer (se handleplan) Kan beskrive figurer og klassificere hierarkisk (se handleplan) Kender til tesselering (se handleplan og idekatalog) Kan udføre spejlinger også med skrå spejlingsakser Kan anvende tasterne cos og sin på lommeregneren i forbindelse med formler Kan udføre undersøgelser og beregninger i et geometriprogram Kan beregne en ubekendt side i en retvinklet trekant Kender navne for rumlige figurer fx kugler, pyramide- og keglestub 13
Tegning og konstruktion Kan anvende og vurdere længder på forskellige typer tegninger (skitser, arbejdstegninger, isometriske og perspektiviske) Kan lave skitser og konstruere geometriske figurer ud fra fx figurnavne, sidelængder og vinkler med tegneredskaber og geometriprogram Har erfaringer i forhold til målestoksforhold (især areal) Kan anvende forholdsregning blandt andet ved ligedannede figurer Kan tegne og foretage beregninger i k-systemet fx afstandsberegninger Kan arbejde undersøgende med cos og sin med lommeregneren (se handleplan og idekatalog) Kan argumentere for geometriske påstande (se handleplan) Statistik og sandsynlighed Kan kritisk vurdere statiske undersøgelser Kan tilrettelægge og udføre egne undersøgelser med bevidste valg til præsentation af resultater Kender til opdeling og opskrivning af åbne, halvåbne og lukkede intervaller Kan anvende statistiske begreber til beskrivelser fx ved hjælp af deskriptorer som median, typetal, middeltal Kan konstruere (også med it) og beskrive forskellige diagrammer fx cirkeldiagrammer, arealdiagrammer, boksplot m.fl. (se idekatalog) Kan anvende forskellige optællingsmetoder til kombinatorik fx tælletræer Kan planlægge, udføre og beregne statistisk sandsynlighed ud fra praktiske simuleringer på både jævne og ujævne sandsynlighedsfelter (se handleplan) Kan foretage simple beregninger af kombinatorisk sandsynlighed fx sandsynligheden for summen 7 ved kast med to terninger Måling Kender til undersøgelser med simpel trigonometri (beregninger af sider og vinkler i retvinklede trekanter) i praktiske sammenhænge også med it fx Geometer Behersker beregninger mellem klokkeslæt og tidsintervaller Kan beregne omkreds og areal af plane figurer Kan beregne rumfang af rumlige figurer som fx kugle, pyramidestub og keglestub Kan beregne overfladeareal af simple rumlige figurer Kan lave beregninger af strækning/tid/fart og massefylde/vægt/rumfang Kan omskrive mellem de fleste enheder for længde, vægt, areal, rumfang, fart og massefylde. Kan vælge passende måleredskaber og hjælpemidler samt kende til disses styrker og begrænsninger fx usikkerhed og præcision Kan gøre overslag og vurdere et resultats rigtighed Kan afrunde til et naturligt antal decimaler og vælge passende måleenhed (se handleplan og idekatalog) 14
Handleplan Der arbejdes i 8.klasse især med elevernes anvendelse og forståelse af matematisk problemløsning og modellering. Undervisningen bygger på emner fra elevernes dagligliv, men også på omgivende samfundsliv og naturforhold fx boligforhold, løn, skat, energi... I arbejdet med matematiske begreber præsenteres en alsidig vifte af forskellige repræsentationer. Samtale omkring vurderinger af metoder, løsninger m.m. inddrages i arbejdet. Der rettes en særlig opmærksomhed på præcis sprogbrug, såvel skriftligt som mundtligt, samt bevidst udvælgelse og brug af hjælpemidler. Arbejdsformerne varierer i forhold til individuelt, par og gruppearbejde og projektlignende forløb inddrages. 15
Der arbejdes med aktiviteter i forbindelse med primfaktorer, hvor eleverne bruger sproget og visuelt kan opleve opløsning af tal i faktorer (se idekatalog). praktiske eksperimenter indeholdende ræsonnementer i forhold til tal- og mønsterrækker (se idekatalog). udvælgelse af forskellige metoders egnethed til dataindsamling fx hvordan stilles fornuftige spørgsmål i spørgeskemaer, talmaterialets omfang, præsentation med tabeller og diagrammer samt diskussioner i forhold til manipulation med tal. kubiktal, visuelt i forhold til hovedregning fx = 2 (se idekatalog). udvikling af potensregneregler ved at eksperimentere med flere regnestykker af samme type kan der findes en sammenhæng en regel, der gælder? faglig læsning i forhold til de særlige matematiske opgaveformuleringer. Hvad betyder fx aflæs, angiv, bestem, vis (se ordoversigten i Matematikrummet). udvikling af parentesregler ved at eksperimentere med flere regnestykker af samme type med kendt facit både negative/positive parenteser samt at gange ind i parenteser. realistiske cases i forhold arbejdet med rentes rente, løn, skat og valuta. at indsætte variable i mange forskelligartede funktionsudtryk også andre variable end x og y. tegne og undersøge forskellige funktioner på computeren. at formulere egne formler fx arealet af et rektangel med siderne a og a + b som a(a +b). a a + b eksperimenter i forhold til udvikling af regneregler til beregning af ukendte vinkler fx nabovinkler, topvinkler, center- og periferivinkler. fremstilling af tesselering/flisemønstre (ens figurer, der kan udfylde en flade uden huller ) fx med geometriprogrammer samt sproglige beskrivelser af konstruktionen af mønstrene. eksperimenter og ræsonnementer i forhold til linjer og figurer fx antal diagonaler i polygoner, skæringer mellem højder, medianer, midtnormaler i trekanter også i et geometriprogram. sprogligt at beskrive figurers fællestræk ved hjælp af matematiske begreber som fx parallel, vinkelret, ens vinkler, sider 16
arbejde med beregninger i forhold til den retvinklede trekant ved anvendelse af viden om ligedannede figurer, Pythagoras, trigonometriske formler. den sproglige dimension i forhold til tilegnelsen af navne på rumlige figurer. diskussioner i forhold til anvendelse af forskellige typer tegninger. Tal fx om fordele/ulemper i forhold til situationen fx målbarhed, virkelighedsnært at eleverne visuelt oplever, hvor stor en betydning, det har for antallet af arealenheder, når der omskrives i et målestoksforhold (se idekatalog). den begyndende forståelse af cos og sin især brug af lommeregnertasterne (se idekatalog). geometriske ræsonnementer fx at arealet af et parallelogram er h * g ses ved geometriske opdelinger og omrokeringer. kritik i forhold til statistisk materiale fx kilde, tab af data på bekostning af overskuelighed, talmaterialets omfang, anvendelse af diagrammer flere af de forskellige online simuleringsprogrammer der findes på nettet. Søg fx på online simuleringsprogrammer pt. findes nogle gode programmer på www.emu.dk. Til enkle simuleringssituationer kan regneark bruges med funktionen SLUMP. både/og og enten/eller situationer, chancetræer og evt. fakultetsbegrebet i forhold til sandsynlighedsberegninger. omskrivning af tid fra/til decimaltal og praktiske aflæsninger af tidsintervaller fx i køreplaner. opdelinger af vilkårlige plane og omtrentlige figurer i kendte figurer i forbindelse med arealberegninger fx en sø. omskrivning af formler fx hvis en vægt skal findes, når rumfang og massefylde kendes. omskrivninger generelt - især med km/t og m/s, der falder mange elever svært, men også usædvanlige mål som fx tommer, sømil, knob diskussioner angående antal decimaler. Både i forhold til afrunding undervejs i mellemregninger og angivelse af relevante decimaler i et facit. Fx skal man være opmærksom på afrunding ved regning med meget store tal, kronebeløb m.m. Der tales om, hvor præcist et svar, der forventes i forskellige situationer. Fx er det relevant at vide om en elefant vejer cirka 2,54510389 ton eller er det ok at vide, at den ca. vejer 2 ½ ton. diskussioner angående passende valg af enheder fx en elefants vægt opgivet i gram eller hvor langt der er til bageren i mm. notatteknik og informationssøgning. Lad eleverne selv finde nyttige oplysninger og skrive notater, opgaveeksempler m.m. ind i fx deres personlige formelsamling. 17
Forældreinformation På forældremødet orienteres om planerne for elevernes matematikundervisning i 8.klasse. Undervisning foregår som udgangspunkt i skolen. Det allerede lærte kan dog med stor fordel trænes hjemme. Det er værd at være opmærksom på, at mange forældre har sværere og sværere ved at hjælpe med matematikken hjemme. Forældre kan dog altid bidrage med opbakning, træningen og fx hjælpe med undersøgelser af ting og forhold, der skal bruges i skolen efterfølgende fx aflæse el-, gas- og vandforbrug. Det er også en god ide, at gøre sit barn opmærksom på tilfælde i hverdagen, hvor matematik indgår fx i tabeller og grafer på TV, aviser, internet, lønberegninger, ved bygning af carport Det kan også være en god ide, at tale om it-muligheder (MathCad, Geometer og diverse programmer, som elever i Halsnæs Kommune har elevlicens til), lektiegrupper/lektiecafeer, inddragelse af ældre elever m.m. i forbindelse med lektielæsningen. Det kan ikke nævnes for tit, at forældrenes positive interesse og omtale af faget hjemme har stor betydning for elevernes læringsproces og aktive deltagelse. Skole-hjemsamtalen Der fokuseres på elevens læringsmål både fagligt, socialt og med hensyn til arbejdsvaner. Der dokumenteres i forhold til den løbende evaluering. Vær særligt opmærksom på, hvordan eleven går til problemløsningssituationer, og om matematiske færdigheder er på plads. Det kan være en god ide at præsentere udpluk af elevarbejder med til samtalen fx portefølje. Der kan henvises til tilbud til elever med særlig interesse for faget fx talentcamps. Eventuelt kan forældrefolderen med tips og ideer til højdespringere udleveres. 18
Idekatalog Brug fx kort med primtal skrevet på hvert kort. Lad eleverne frembringe tilfældige tal med terninger. Skriv tallet på en anden måde udelukkende ved hjælp af primtalskortene og gangetegn. Arbejd fx med udviklinger i forhold til vinkelsummen i polygoner, papirformater A0, A1, A2, fibonnacci tal. Anvende beregning med kvadratrødder fx find diagonalen på tv skærm (måles i tommer). Opmærksomhed på kvadratrødder i forhold til eksakte værdier og lommeregneren er det fx nødvendigt med et eksakt svar som 2 eller er det i tilfældet bedre at kende talstørrelsen af tallet og opgive et facit som 1,41. Introducer begrebet kubikrod ved at bygge kuber i forskellig størrelse, angiv rumfanget og beregn kantlængden. Promilleberegninger fx i forhold til jernbanestigninger, statistiske beregninger (oplysninger forekommer ofte pr. 1000). I geografi anvendes en del promilleangivelser. Et samarbejde på tværs kunne være relevant i denne sammenhæng. Plot fx funktioner i Geometer. Lave sproglige aktiviteter fx gæt en figur ud fra en matematisk beskrivelse. Søg fx på tesselering på computeren, print mønstre og fremlæg dem for andre. Der findes også mindre gratisprogrammer på nettet, hvor der kan fremstilles pusle-brikker og tesselering. Mønsterbrikker kan også bruges som konkret materiale i denne sammenhæng. Der findes mange muligheder for at arbejde med trigonometri, tegninger og beregninger i de fleste geometriprogrammer fx Geometer. Beskrive fx emballages form i forhold til de matematiske rumlige figurers navne og sortere i klasser. Samarbejd fx sammen med sløjdlæreren i forbindelse med forskellige tegninger og brug dem i praksis. Giv eleverne 2 ens fx rektangler det ene på kvadratcentimeterpapir og det andet på millimeterpapir. Hvor mange kvadratmillimeter er der i forhold til kvadratcentimeter? Der findes mange gode praktiske ideer på nettet til bl.a. arbejdet med målestoksforhold og figurer søg fx på Matematik i skoven. Tegn fx grafer ud fra indtastninger med cos og sin på lommeregneren, se de mange visuelle oplevelser af funktionerne på www.emu.dk. Der findes også mange internetsider, hvor oplysninger til trekanter tastes ind og computeren udregninger resten af sidemål og vinkler. Boksplot-diagrammet kan laves i hånden (se formelsamlingen) eller i et it-program fx Geogebra eller Excel. På www.emu.dk (søg på boksplot) kan ses eksempler på diagrammet, og der kan downloades et tilføjelsesprogram til Excel, så det kan laves i regneark. Lav fx nogle diskussions-kort med fiktive opgavesvar, hvor enheder, antal decimaler er angivet upassende (se handleplan). Lad eleverne argumentere for, hvilke valg de ville have foretaget i stedet for. Arbejd med notatteknik og informationssøgning. Lad eleverne selv finde nyttige oplysninger og skrive notater, opgaveeksempler m.m. ind i fx deres formelsamling. I Matematikrummet på Fællesnettet findes mange ideer, undervisningsforløb på IWBtavler, links m.m. Husk kommunens materialebank Se oversigten i Matematikrummet. 19
9. Klasse Når eleverne møder i 9. klasse kan man forvente, at de har erfaringer med størstedelen af de faglige områder i matematik i grundskolen. Arbejdet i 9.klasse går primært ud på, at eleverne anvender det de har lært i mange forskellige og nye sammenhænge, således at de opnår fortrolighed og sikkerhed. Der arbejdes hen imod elevernes bevidste udvælgelse af metode, hjælpemidler, kommunikation mundtlig såvel som skriftligt, argumentation og kritisk vurdering af løsninger. De faglige områder udvides kun i begrænset omfang fx i forhold til arbejdet med uligheder, funktioner og formler i tæt sammenhæng med matematisk modellering. 20