Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011
Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen er opdelt i to underafsnit: a) Præsentation Her præsenteres projektets baggrund og forskellige problemstillinger, som du kommer til at arbejde med. b) Opgaver Her stilles de opgaver, der skal løses. Al billedmateriale er opgavekommissionens ejendom. Omfanget af opgavebesvarelsen Omfanget af din opgavebesvarelse skal svare til, at du har haft 1 timer af uddannelsestiden til at løse opgaven. Rapporten bør højst være på 0 sider. Herudover kan du vælge at have et afsnit med bilag, hvor du fx kan dokumentere (gentagne) beregninger. Selve beregningsmetoden skal belyses grundigt med et gennemregnet eksempel i et af rapportens hovedafsnit. Vejledningen i prøveperioden Du må modtage vejledning i forbindelse med løsning af opgaven. Du skal naturligvis selv finde en løsningsmetode, men det må gerne ske i en diskussion med en lærer eller andre. Når du modtager vejledning, er det vigtigt, at det er dig, der styrer diskussionen og stopper den, når du er parat til at arbejde videre på egen hånd. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer m.m., således at din tankegang og fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Du skal aflevere en selvstændig og individuel besvarelse. Du skal udarbejde din besvarelse med it-hjælpemidler og aflevere besvarelsen som papirkopi i to eksemplarer. Bilagsmateriale kan du evt. aflevere på cd. Bedømmelsen af besvarelsen Ved bedømmelsen vurderes i hvilket omfang du kan: opstille matematiske modeller, regne på dem og vurdere dine resultater anvende matematiske teorier og metoder fra undervisningen gøre rede for din tankegang inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken (fx funktioner, geometri, trigonometri, vektorer osv.) anvende it-værktøjer til beregninger og dokumentation formulere dig præcist i et matematisk sprog og bruge korrekt matematisk notation fremstille og strukturere overskuelig dokumentation og demonstrere overblik Den mundtlige prøve Ved den mundtlige del af prøven i matematik B skal du præsentere dit projekt. Her skal de væsentligste problemstillinger trækkes frem, og du skal beskrive, hvordan du har behandlet dem. Din lærer kan stille supplerende og uddybende spørgsmål. Prøven varer i alt 30 minutter, og præsentationen af projektet med efterfølgende spørgsmål må højst tage /3 af tiden. Udover den del, der handler om projektbesvarelsen, får du også tildelt et spørgsmål ved lodtrækning. Dette spørgsmål handler om et af de emner, der er arbejdet med i undervisningen, og spørgsmålet knytter sig til en af de projektopgaver, du har lavet. Du får én karakter i matematik, der er givet på baggrund af din projektbesvarelse og den mundtlige præstation - herunder din besvarelse af det udtrukne spørgsmål.
Side af 10 sider Præsentation Gennem de senere år er der kommet flere og flere indendørs gokartbaner. De er meget populære ved forskellige festlige lejligheder som firmafester, studenterfester, polterabends, men er også for dem, der bare gerne vil more sig med at prøve en tur i en gokart. Gokartene, der kører på banerne, er specielt bygget til indendørs brug. Der ligger gokarthaller mange steder i landet, en af hallerne ligger i Odense. I de følgende opgaver skal der regnes på forskellige forhold, som gør sig gældende ved gokartkørsel. På billedet ses fire forventningsfulde gokartkørere inden starten går.
Side 3 af 10 sider Opgave 1 Rattet i en gokart er lavet af aluminium, som er belagt med plast. Udformningen af rattet kan ses på nedenstående billede. En fabrikant af rat til gokarts ønsker at fremstille et rat af en lidt anden udformning. Rattet fremstilles af en aluminiumplade, som bearbejdes (udstanses) i den form, der ses på figur 1. Målene på aluminiumpladen er i millimeter. Figur 1 Rattet kan deles op i flere geometriske figurer, som vist på figur 1. Den røde er et cirkelafsnit, den gule er et rektangel og den blå er en del af en ligesidet trekant, hvor den krumme kant følger en del af en cirkel. a) Bestem arealet af hver af de tre farvede geometriske figurer. b) Bestem arealet af hele det udstansede stykke aluminiumplade. c) Indlæg det udstansede pladestykke, fra figur 1, i et koordinatsystem og bestem ligningen for den cirkel som udgør den ydre periferi.
Side 4 af 10 sider En gokart følger en kurve gennem svinget, der er vist i den gråtonede firkant på figur. Figur Indlægges kurven i et koordinatsystem, som vist på figur 3, følger banen tilnærmelsesvis grafen for funktionen f med forskriften f 3 x 0,0167x 0,3165x x 0 ;17 Alle målene på banen er i meter. Figur 3
Side 5 af 10 sider Længden, L, af grafen for funktionen f på intervallet a; b kan her beregnes som L b a 1 f ' x dx d) Bestem længden af banekurven for f. Når gokarten kører gennem kurven drejer den først til venstre og dernæst til højre. I P 6,3; f (6,3) begynder gokarten at dreje til højre. punktet e) Bestem y-koordinaten til punktet P. f) Bestem hældningskoefficienten for banekurvens tangent i punktet P. g) Bestem vinklen mellem x-aksen og tangenten i punktet P. I punktet P mister føreren herredømmet over gokarten og fortsætter lige ud af tangenten. h) Bestem en ligning for tangenten til kurven i punktet P. Når gokarten fortsætter lige ud, vil den på et tidspunkt ramme banden. Banden kan i det givne koordinatsystem, på figur 3, beskrives ved følgende ligning. y 0,3 i) Hvor langt kører gokarten fra stedet, hvor føreren mister herredømmet, indtil den rammer ind i banden?
Side 6 af 10 sider Ved et forsøg med en start på langsiden er der monteret måleudstyr på gokarten, som måler hastigheden med bestemte tidsintervaller. Målingen gav følgende data. Tid (s) 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Hastighed (m/s) Tabel 1 0,00 3,5 5,8 7,50 8,79 9,83 10,66 11,35 11,94 1,46 j) Indtegn målepunkterne i et koordinatsystem. Den tilbagelagte strækning kan findes som arealet under grafen for den funktion, der beskriver hastigheden. k) Ved hjælp af data fra tabellen skal du bestemme en tilnærmet værdi for den strækning, gokarten tilbagelægger de første 4,5 sekunder.
Side 7 af 10 sider I en kurve påvirkes en gokart af kræfterne Ft og F r, hvor Ft er tyngdekraften på gokarten incl. fører, og Fr er reaktionskraften fra underlaget. Kraften FC kaldes centripetalkraften. Kræfterne kan ses på figur 4. For de tre kræfter gælder følgende: F t F r F C Tyngdekraften Ft kan beregnes på følgende måde: F t m g m hvor g er tyngdeaccelerationen. Tyngdeaccelerationen måles i og kan sættes til: s 0 g 9,8 Massen af gokarten og føreren måles i kg og kan sættes til: m 180 l) Bestem koordinaterne til tyngdekraften Ft og størrelsen af tyngdekraften. 5 Figur 4 m) Bestem koordinaterne til kræfterne Fr og FC og størrelserne af kræfterne.
Side 8 af 10 sider Når en gokart ikke er ude at køre, parkeres den i pitområdet. Pitområdet ses som det sorte område på figur 5. Figur 5 Pitområdet lægges ind i et koordinatsystem, som det ses på figur 6. Figur 6
Side 9 af 10 sider Når pitområdet lægges ind i koordinatsystemet, som ses på figur 6, afgrænses området af bander, som tilnærmelsesvis følger kurver, der er givet ved nedenstående funktioner og ligninger. Banderne vist med blåt på figur 6 er beskrevet ved følgende g x,6 x 4,8 3 x,; 4,8 1 g x 6 x 4,8; 0 5, 3 g x 0,0448x,864x 60,80x 43, x 0; 5 3 x, y 0; 3 Banderne vist med rødt på figur 6 er beskrevet ved følgende g x 0,8 x 4,8 3 x 4; 4,8 4 g x 8 x 4,8; 0 5 3, 3 g x 0,0384x,480x 53,1x 373, 8 x 0; 5 6 x 4,0 y 0; 3 Afgrænsningerne vist med sort på figur 6 er beskrevet ved følgende g x 0 x,; 4,0 7 x 5 y 4,; 6,8 n) Bestem arealet af det afgrænsede pitområde.
Side 10 af 10 sider Opgave Ejeren af gokarthallen ønsker at kunne parkere flere gokarts i pitområdet. Derfor er han nødt til at få udvidet området. Din opgave er at designe et større pitområde og beskrive området matematisk. I din besvarelse kan du fx inddrage følgende matematiske elementer: analytisk geometri, funktioner, trigonometri, differential- og integralregning. I dine overvejelser om pitområdets design kan du evt. inddrage størrelsen af en gokart. En gokarts udvendige mål kan sættes til L: 190 mm, B: 1300 mm.
Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001