Matematik A Højere teknisk eksamen htx112-mat/a-30082011 Tirsdag den 30. august 2011 kl. 9.00-14.00
Side 1 af 7 sider Matematik A 2011 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet. (Det er tilladt at skrive med blyant.) Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse. Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn. Opgavesættet indeholder et løsark, bilag 1, der anvendes til besvarelse af opgave 5 og afleveres sammen med besvarelsen. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: - en forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation - dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt med forklarende tekst. - benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
Side 2 af 7 sider Opgave 1 Kontor- og lagerbygningen vist på billedet nedenfor ligger i Sydvestjylland. Foto: Opgavekommisionen På figur 1 er tilbygningen indlagt i et tredimensionalt koordinatsystem. Tilbygningen er et regulært prisme, hvis ene endeflade er ABCDEF. Punkterne A, B, D, E og H har koordinaterne A(6; 4; 0), B(6; 4; 4,5), D(6; 4; 5,25), E(6; 1; 6) og H(0; 1; 6). Punkterne B, C og I ligger i hovedbygningens tagflade. Punkterne E, D og C ligger på samme rette linje. z E H D B C I G y Figur 1 x F A a) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem punkterne E og D. b) Bestem en parameterfremstilling for planen, der indeholder E, D, og H.
Side 3 af 7 sider Hovedbygningens tagflade, der grænser op mod tilbygningen, ligger i planen med ligningen y 3 z + 10 = 0 c) Bestem en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem tilbygningens og hovedbygningens tagflader. d) Bestem koordinaterne til punkt C. Opgave 2 På figur 2 ses en trekant, hvor vinkel B = 98, siden c = 6 og siden b = 8. A 6 8 Figur 2 B 98 a C a) Bestem længden af siden a. b) Bestem arealet af trekanten.
Side 4 af 7 sider Opgave 3 De seneste mange år er råvildtbestanden i Danmark steget. Det betyder naturligvis, at udbyttet af råvildt også er steget. I tabel 1 nedenfor vises udbyttet af rådyr, i perioden 1989 til 1995. Foto: Opgavekommisionen t Udbytte (1000 stk.) Tabel 1 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 0 1 2 3 4 5 6 54 59 67 73 78 87 103 Kilde: Nyt fra Danmarks statistik nr. 67 Februar 2001 a) Redegør for, at der i perioden 1989-1995 kan være tale om en eksponentiel udvikling i udbyttet af råvildt som funktion af tiden t. b) Bestem forskriften for den eksponentielle model, der beskriver tabellens data. c) Brug forskriften for modellen til at bestemme udbyttet af råvildt i år 1997. I år 1997 var udbyttet af råvildt 110000. d) Bestem hvor mange procent din model afviger fra det faktiske. 103181.indd 6 11/07/11 12.24
Side 5 af 7 sider Opgave 4 Vis at 1 y( = cos( 1 sin( π t 0; 2 er en løsning til differentialligningen cos ( sin( y ( = cos ( y( + 1 t 0; 2 2 3 π Opgave 5 Der er givet følgende oplysninger om en funktion f: { x R x 6 6} Dm ( f ) = x f ( 11) = 0, f ( 7) = 0 og f ( 3) = 0 f ( 0) = 2 f ( x) > 0 i intervallerne ] 11 ; 7[, ] 3; 6[ og ] 6; [ f ( 9) = 0, f (0) = 0 og f (9) = 0 f er voksende i intervallerne ] ; 9], ] 6; 6[ og ] 9; [ a) Opskriv koordinaterne for grafens skæringer med koordinatakserne. b) Skitser grafen for en funktion, der passer med de givne oplysninger. Skitsen tegnes på bilag 1. Oplysningerne, der er givet, skal tydeligt fremgå af skitsen på bilag 1.
Side 6 af 7 sider Opgave 6 En modelbil, som vist på billedet, følger en bane, der kan beskrives ved kurven for en vektorfunktion r (. Foto: Opgavekommisionen Forskriften for r ( er sin( + 2 ( = 3sin(0,5t ) + 1 r, t [ 0; 4π ] Tiden måles i sekunder og afstande i meter. a) Tegn kurven for r (. b) Bestem en forskrift for farten, f ( = v(, hvor v ( er hastighedsvektoren. Længden af kurven for en vektorfunktion er givet ved formlen b L = v( dt a, hvor t [ a; b]. c) Bestem hvor langt bilen har kørt i det givne interval. d) Bestem bilens mindste fart i intervallet [ π; 2π ] t.
Side 7 af 7 sider Opgave 7 En tank indeholder forurenet vand. Tanken skal skylles, og dette foregår ved, at man under omrøring leder let forurenet vand ind i tanken og fjerner lige så meget af det blandede vand. På den måde bliver det vand, der fjernes, mindre og mindre forurenet. Skylningen stoppes, når koncentrationen af forureningen er nede på 0,03 gram pr. liter. Forureningskoncentrationen, k, målt i gram pr. liter, opfylder følgende differentialligning k ( + t + 1 1 5 k( = ) 500 sin( 1 250 hvor tiden t er målt i minutter. a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen. b) Find den løsning, der opfylder betingelsen k ( 0) = 0, 7 gram pr. liter. Skylningen stoppes når koncentrationen er nede på 0,030 gram pr. liter c) Bestem hvor lang tid en skylning varer under de givne forudsætninger.
Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
Bilag 1 Elevnavn og nr.: Klasse: Skolenavn: Opgave 5 y x Dette løsark afleveres sammen med besvarelsen.