Matematik-morgener Af Ole Skovsmose og Mikael Skånstrøm

Matematik-morgener Af Ole Skovsmose og Mikael Skånstrøm Line er midt i en drøm om sin nye danseserie, da vækkeuret ringer. Hun får med besvær viklet sig ud af den varme dyne og famler efter det stadigt højere bippende ur. Lyset trænger gennem træpersiennerne, rammer det digitale ur, der viser, at klokken nu er 6:16. Hun trykker den røde kontakt ned og sætter uret tilbage på kommoden. Hun kommer til at sætte uret på hovedet og registrerer, at nu står der pludselig 9:19. Når man altså lige ser bort fra det med det blinkende kolon, tænker hun og smutter tilbage i sengen. Det er tirsdag, og Line kommer i tanker om den seddel, hun har fået af sin matematiklærer:»matematik-morgener«stod der. Fra det øjeblik, hun vågner, og frem til det første modul slutter klokken 9:30, skal hun iføre sig de imaginære matematikbriller og se sin verden gennem dem. Fra nu af, og til hun møder klokken 8:00, skal hun registrere og notere det, hun laver, med henblik på at bearbejde oplysningerne matematisk og formidle dem på et stykke A3-papir. Godt tilpas under dynen kigger hun sig omkring. Lyset falder i brede striber på den lyse væg for enden af hendes seng. Er de mon parallelle, tænker hun. Og uret - hvor mange klokkeslæt kan egentlig læses på hovedet? Eller hvor mange er det samme bagfra - det hedder et palindrom, har hun lært for nylig. Hun bladrer lidt i det tegneseriehæfte, hun har liggende ved siden af sengen. Det er Steen og Stoffer i en engelsk udgave: There's Treasure Everywhere. Line kan godt lide engelsk, og hun har været i London flere gange. Hun lytter til husets lyde. Det lyder ikke, som om nogen af de andre er stået op. Så er badeværelset ledigt! Hun går på toilettet, børster tænder og lukker op for det varme vand i brusekabinen. Da hun et kvarter senere låser døren op, står hendes far og tripper utålmodigt udenfor. - Husk nu at vi skal spare på vandet, formaner han. - Hvor meget vand brugte jeg mon? tænker Line, mens hun tørrer sit hår med den larmende hårtørrer - 50 liter, 100 liter, mere? Line tager sit kladdehæfte og skriver»h2o - toilet, vask, bad«. Så tilføjer hun»klokken og tiden«. Hun ser på uret, der stadig står på hovedet. Det, hun nu ser, giver ingen mening - hun vender det: klokken er 6:40. På den midterste hylde i skabet ligger en stak trøjer i mange forskellige farver. Hun vælger den blå med mønstret, der ligner et månelandskab. Den passer til de slidte cowboybukser. Hun når lige at tænke, at der må være mange muligheder for at sammensætte påklædningen - rigtig mange. Men det kommer jo også lidt an på farverne og på, hvad der er på mode lige nu. Nede i køkkenet hælder hun guldkornene

op i den dybe tallerken. Hun hælder letmælk ud over dem, og mens hun spiser, sidder hun og vender og drejer pakken. Her kan hun læse, hvor meget energi, der er i guldkorn. Hun skriver»kulhydrat, protein og fedt«i sit hæfte. Hun skriver også»alt mit tøj«. Hvor meget fylder sådan en pakke, og hvor meget karton skal der mon bruges, tænker hun. Og hvorfor er den ikke cylinderformet som en dåse? Line når frem til busstoppestedet samtidig med bussen præcis 714 skridt efter, hun forlod hoveddøren. Det 715. skridt tager hun op i bussen, hvor hun viser sit månedskort. På det bageste sæde fisker hun sit hæfte frem og skriver»714«og»månedskort og rabatkort og billetter«. Hun ankommer til skolen 10 minutter i 8, og propper en 2-krone i automaten, der kvitterer med en kop brændende varm kakao, som hun holder med det yderste af fingrene helt oppe på kanten. Kan hun mon nå at drikke den inden klokken 8? Man må jo ikke have kakao med ind i klassen. Hun sætter sig ved et af de små blanke caféborde og skriver i sit hæfte:»bustid«og»kakao- priser, rumfang, temperatur«. Line møder matematiklæreren på vej ind i klassen. Han kigger på hendes krus. Jeg skal bruge det til min matematikmorgen, siger hun og smiler. Inde i klassen sidder de fleste elever med notater om noget af det, de har brugt tid på om morgenen. De fleste handler naturligt nok om badeværelset og vejen til skolen. Så nu er det bare om at få noget»matematik ud af det«. Men helt så enkelt er det jo alligevel ikke. Situationen denne morgen er et godt eksempel på det spændingsfelt, der er mellem færdigheder og anvendelse - hvor anvendelse er motivation for færdigheder, som er forudsætning for anvendelse, som er motivation for færdigheder som er forudsætning... I grupper sammenligner eleverne nu deres notater. De beholder matematikbrillerne på og kommer med ideer til hinanden. Notaterne omformuleres til spørgsmål, og Line skriver de matematiske områder, hun umiddelbart synes passer til, i en parentes bagefter. De finder frem til følgende spørgsmål: parallelle linier (geometri) hvor mange klokkeslæt kan læses palindromt? hvor mange klokkeslæt kan læses på hovedet? (mønster, symmetri) Lines plakat - Der er matematik overalt.

hvor meget vand bruger et toilet - en tandbørstning - et bad? (rumfang, liter) hvor mange tøj kombinationer kan Line lave? (kombinationer, sandsynlighed) hvor mange meter er 714 skridt? (meter) kan man leve sundt af guldkorn? (procenter) kan man spare emballage ved at pakke guldkorn i en dåse? (rumfang og overflade) hvor meget sparer Line ved at have et månedskort (kroner) hvor hurtigt kører bussen? (hastighed, målestok) hvad tjener man på kakao? (priser, kroner) hvornår kan kakaoen drikkes? (temperatur) kan kruset have en anden facon? (rumfang) En sådan morgen med matematikbriller på kan man vel godt forestille sig? Men hvad kunne meningen være med et sådant forløb? Det ser ud til, at Line blev optaget af forløbet, og man kan også forestille sig, at Lines gruppe blev optaget af at formulere spørgsmålene i fællesskab. Forløbet kan have mening for eleverne, i hvert fald som en slags motivation. Men har forløbet nu også mening, matematisk set? Der er matematik overalt! Denne iagttagelse er gjort i mange sammenhænge. Påstanden kan henvise til en iagttagelse af det informationssamfund, som konstrueres om ørerne på os. Man kan ikke forestille sig nogen computer i funktion, uden at der er matematik i anvendelse. Man kan ikke sende en e-mail, uden at meddelelsen bliver kodet, sendt og afkodet. Sådanne transformationer er baseret på matematik. Man kan ikke sende en SMS-besked, uden at der er geometri på spil. Man kan dårligt forestille sig en økonomisk beslutning, hverken i et firma eller på nationalt plan, uden at der ligger matematiske kalkulationer bag. Enhver form for kvalitetskontrol hviler på et matematisk grundlag. Overvejelser over hvor troværdig en udtalelse fra en stikprøve eller en række stikprøver kan være, bygger på matematik. Management-beslutninger er som regel baseret på matematiske modeller. Sikkerheden af økonomiske transaktioner i elektronisk form bygger på moderne kryptografi, der er en matematisk disciplin. Og stadig gælder det, at vi ikke kan få øje på en ingeniørmæssig konstruktion, uden at der er matematik bag. Vi er måske ikke vant til at se matematik bag alle sådanne fænomener. Men tager man matematik-briller på, så har man muligheder for at få øje på matematik overalt. Er det interessant at kunne få øje på matematik overalt? Fra et teoretisk perspektiv er det ganske interessant, for det er en måde at se og forstå vores hverdag på. Dermed kan man fremhæve, at matematik er en afgørende ressource for handlinger og beslutninger, der er med til at forme vores hverdag. Matematik er ikke blot et beskrivelsesværktøj, det er også en ressource. Og uanset, om man kalder samfundet et informationssamfund, et risikosamfund, som den tyske sociolog Ulrich Beck har fremhævet, eller et hyperkomplekst samfund, som understreget af Lars Qvortrup, så optræder matematik som en ressource for den samfundsmæssige udvikling. Der er mange 1 teknologiske konstruktioner, der ikke kan realiseres uden matematik. En identifikation af matematikken bag en eller anden sammenhæng kan man kalde en matematisk arkæologi. Gennem en sådan kan man opsøge den matematik, der ligger bag fænomener i hverdagen. I sit plenum-foredrag ved International Congress on Mathematics Education i Adelaide i Australien i 1984 beskrev Ubiratan D'Ambrosio, hvorledes megen matematik er indlejret i traditionelle håndværk. Bl.a. omtalte han, hvilke matematiske kundskaber der er indbygget i konstruktionen af både, der sejler på Amazonfloden. D'Ambrosios pointe er, at der er matematik overalt, også i klassiske håndværk, og at alle kulturer benytter sig af matematiske kompetencer, der dog i mange tilfælde fungerer implicit. Marcia Ascher har undersøgt kommunikationsteknikker hos inkaerne. Det vigtige instrument er quipuen, der ligner et overdimensioneret og lettere forkludret garnnøgle. Knuderne på quipuens mange snore udtrykker meddelelser, og når quipuen transporteres (dvs. løbes) fra sted til sted, kan man forhandle, handle, meddele sig, give ordrer. Man kan kommunikere. Vi benytter os af mobiltelefoner, hvor inkaerne benyttede sig af mobil-knuder. Og både mobiltelefoner og quipuer er matematikbaserede teknologier. Både når man ser på moderne teknologi, traditionelle kulturer og hverdagsaktiviteter, kan man lede efter den matematik, der ligger bag disse aktiviteter, eller som er en del af dem. Den matematiske arkæologi kan introduceres ved, at vi begynder at se virkeligheden med matematikbriller på. Sådanne er benyttet af Line og hendes klassekammerater, men også af Ubiratan D'Ambrosio og Marcia Ascher og mange, mange andre matematikinteresserede.

Matematisk arkæologi er en væsentlig aktivitet, også i skolen. Naturligvis kan man se det som en forsøg på at motivere eleverne, men vi ser det også som en betydningsfuld del af enhver matematikuddannelse. Dette gælder både folkeskole, gymnasium og universitet. Den tirsdag morgen, som vi netop har beskrevet, var Line involveret i matematisk arkæologi. I hvert fald i et vist omfang. Lad os se lidt mere på nogle af de spørgsmål, som Lines gruppe producerede. Et spørgsmål som»hvor mange klokkeslæt kan læses på hovedet?«har at gøre med mønstre og symmetrier. Dette kan lede til en helt klassisk analyse af mønstre, og en meget omfattende og dyb matematisk indsigt er knyttet til disse emner. Bl.a. kan man vise (ud fra den matematiske gruppeteori), at der er 17 forskellige symmetri-principper, som et tapet kan konstrueres ud fra. Og interessant nok er alle disse 17 principper repræsenteret i muslimske dekorationer. På en eller anden måde var denne indsigt kendt; men dybden af en kulturs indsigt i eksempelvis mønster-reproduktion træder først tydeligt frem gennem en matematisk arkæologi. Et spørgsmål som»hvor meget vand bruger et toilet - en tandbørstning - et bad?«kan føre til et arbejde med rumfang. Man kan udarbejde overslag og vurderinger. Hvordan kunne man lave et overslag over vandforbruget ved et brusebad? Man kan naturligvis spørge Lines far, hvor lang tid han måtte vente uden for badeværelset, mens Line var i bad. Denne tidsvurdering kunne dog være tilføjet en gang lettere irriteret subjektivitet. Man kunne imidlertid forestille sig, at Line tager brusebad igen, men denne gang med et stopur ved hånden. Samtidig må man finde ud af, hvor meget vand der løber ud pr. tidsenhed. Man kunne slet og ret fylde en balje med bruseren og se, hvor lang tid det tager, og derpå vurdere hvor mange baljer Line fylder i løbet af en brusebad. Man kan så begynde at diskutere muligheder for at spare på vandet. Og det at»spare«behøver ikke at være defineret ud fra et familie-økonomisk perspektiv. Det kunne være ud fra et generelt energi-spare hensyn. Kunne man udarbejde et forslag til en spar-på-vandet-når-du-bader kampagne? Og hvad kunne denne kampagne resultere i af besparelser på landsplan? Sådanne spørgsmål kan føre til overvejelser over, hvad det vil sige at lave et estimat. Man kan vurdere sikkerhed og usikkerhed knyttet til matematiske beregninger. Sådanne overvejelser er relevante hver gang, man forsøger at drage konklusioner baseret på matematiske overvejelser. Spørgsmålet»Hvor mange tøj kombinationer kan Line lave?«fører naturligvis til kombinatorik. Man kan tænke på kombinatorik som en form for avanceret optælling: På hvor mange måder...? Kombinatorik handler om optælling, hvor det, der skal tælles, ikke optræder på en lang række foran en. Anskuet på en sådan måde bliver kombinatorik en helt generel aktivitet, og kombinatoriske overvejelser står bag en række fænomener i hverdagen. (Ud fra Lines perspektiv handler kombinatorik nok ikke blot om at tælle, men først og fremmest om farver og mode.) Line tog bussen:»hvor meget sparer Line ved at have et månedskort?«dette er naturligvis et helt dagligdags spørgsmål. Men samtidig er det et spørgsmål, der har med budgettering at gøre. Man kan se på sagen fra kundens synsvinkel; men man kan også følge busselskabets perspektiv. Man kan se på buspriser i forhold til spørgsmålet om offentlig transport versus privatbilisme (selv om det nok i Lines tilfælde handler om offentlig transport i forhold til brug af egen cykel). Vi finder, at aktiviteter, der kan lede ind på en matematisk arkæologi, er vigtige i enhver matematikundervisning. Der er ikke tale om, at en sådan arkæologi fører eleverne frem til mindre og simple dele af matematikken. En matematisk arkæologi fører ofte frem til komplicerede og meget avancerede matematiske spørgsmål. Dette gælder, hvad enten man ser på avancerede teknologiske konstruktioner, økonomi og management eller produktion af dørmåtter. Tilbage i klassen har Line skrevet formlen for både rumfang og overflade af en keglestub på computerens regneark. I bunden på kakaokruset står tallet 20. Ved at hælde vand fra kruset i et målebæger har hun fået bekræftet, at der kan være 20 cl i plastikbægeret. Ved hjælp af formlen for overfladen finder hun ud af, at forbruget af plastik er cm 2 gange en tykkelse, hun ikke lige kender. Men hvis nu alle de former af krus, hun vil sammenligne med, har samme tykkelse, er det vel nok at sammenligne arealerne, konkluderer hun.

Hun skriver formlerne for overfladeareal og rumfang af en cylinder og en kugle ind i regnearket og pusler med tallene, så rumfangene bliver lige omkring de 20 cl. Så samler hun resultaterne af sin undersøgelse et ledigt sted på arket og kopierer ud. Det vil hun sætte op på sin A3. Hun tænker på at skrive en konklusion om, at ganske vist bruger det kugleformede krus mindst emballage; men af hensyn til pakningen og stabiliteten af kruset på et bord er keglestubben nok en meget smart løsning. Så er der det med klokkeslættene. Hun skriver 6:16 med digitale bogstaver på et ternet stykke papir. Så vender hun det om, 9:19. Hvis man nu ser bort fra de to klokkeslætsprikker, så optræder der både tre og firecifrede tal på det vækkeur, hun har. Line skriver 000, 001, 002, 003. Nej, 3-tallet duer ikke på hovedet. Det gør 4 og 7 heller ikke. 0, 1, 2, 5 og 8 forbliver de samme på hovedet, mens 6 og 9 bytter. Det sidste ciffer kan kun være 0, 1 eller 2. Det virker lidt uoverskueligt for hende. Men man kan også undersøge klokkeslættene for palindromer. Hun skriver 000,101, 202, 303... 1111, 2112, 2222. Dem er der vel ikke så mange af... Læreren kommer og sætter sig ved deres bord og tager Lines side med notater og kigger på dem: - Fortæl mig, hvad du tænker på at lave? Line viser ham regnearket og kommenterer sine resultater. Det med tallene på vækkeuret har hun lagt lidt til side, og så tænker hun på at lave energifordelingen på morgenmaden, beregne noget med sit vandforbrug, når hun har målt det til i morgen. Og så det med skolevejen, siger hun og ser spørgende på læreren, der blot svarer: - 714! - 714 - det var vist skridtene hjemmefra og til bussen? - Prøv at opløse det i primfaktorer, og gør så det samme med tallet 715 bagefter, foreslår han smilende og går videre til den næste gruppe. - Det er vist bare en af hans fikse ideer, tænker Line. - Hvor meget vand bruger du om morgenen?, spørger Mia, der sidder ved det samme bord. Jeg har fået mit til 78 liter, men jeg var der altså også længe! Line trækker på skuldrene. Det må jeg undersøge, når jeg kommer hjem. Hvordan gjorde du? Matematikken optræder sjældent eksplicit i vores hverdag. Der er derfor mange ting, man må erkende, når man prøver at forstå matematik. En ting er at få øje på, hvad matematikken foretager sig, og hvad man kan foretage sig med matematik. I vor tid er matematikken en essentiel ressource. En matematisk arkæologi er en teknik, der kan gøre os opmærksom på, hvor og hvordan denne ressource fungerer, både i hverdagen og i teknologien. Der er talt meget om, at undervisning, og også matematikundervisning, kan bidrage til en demokratisk medleven. Bag denne generelle vending ligger en forestilling om, at det er vigtigt at få øje på matematikken som ressource (både på godt og ondt). Men hvordan starter man på en sådan arkæologi? Jo, en morgen kan man prøve at tage matematikbriller på. Så må man se, hvad der viser sig, eksempelvis fra klokken 6:16 til man sidder i klassen. Men skal man gennemføre en egentlig matematisk arkæologi, så får man brug for mere end matematikbriller. Der må eksempelvis arbejdes videre med sådanne spørgsmål, som Lines gruppe formulerede. En matematisk arkæologi kan føre os dybt ind i matematikken. Det særlige ved en matematisk arkæologi er, at der er There's Treasure Everywhere. Bill Watterson, 1996, Warner Books, London.

gode muligheder for at gøre interessante fund overalt. Dette har Line måske nok anet i forvejen. Den første stribe i There's Treasure Everywhere viser Steen, der i gang med et grave et hul i jorden. Stoffer ser forundret til: - Hvorfor graver du et hul? - Jeg leder efter begravede skatte, lyder svaret. - Hvad har du fundet? Og Steen kan fortælle, at han både har fundet snavsede sten og en mærkelig rod. - I første forsøg? spørger Stoffer. Og Steen kan med triumf i stemmen konstatere: - Der er skatte overalt! Referencer Marcia Ascher: Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas, Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 1991. Ulrich Beck: Risikosamfundet: På vej mod en ny modernitet, Hans Reitzels forlag, København, 1997. Lars Qvortrup: Det hyperkomplekse samfund, Gyldendal, København, 1998. Ole Skovsmose:»Matematikken er hverken god eller dårlig - og da slet ikke neutral«, Matematik (4), 5-9, 2001. Bill Watterson: There's Treasure Everywhere, Warner Books, London.