brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt
brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette på www.bernitt-matematik.dk eller ved at kontakte: bernitt-matematik.dk mail@bernitt-matematik.dk Fjordvej 6 4300 Holbæk 2 statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk
Forord 2+ er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne F D og kan bruges i forlængelse af materialer, der er lavet til AVU-trin 2 eller 10-klasses materialer. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den foreløbige vejledning om undervisning på VUC, der udkom i juni 2009. I forhold til de faglige krav, der viser sig at blive stillet i den skriftlige prøve efter trin D kan der være fag-indhold, der mangler og der kan være fag-indhold, der viser sig ikke er være relevant. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. Hæftet handler om at tegne og sammenligne boksplot. Inden man går i gang med siderne om boksplot, bør man gennemgå side 5-6, hvor fagudtryk og regnemetoder, der skal anvendes i hæftet er forklaret. Siderne er opdelt således, at først forklares og vises med eksempler og derefter er der opgaver. Opgaverne giver træning i forståelse af eksemplerne. Tidsforbruget til arbejdet med opgaverne i dette hæfte skal gerne stå mål med den tid, der bør anvendes på at lære om boksplot i forhold til alle de øvrige statistiske begreber. Opgavemængden er derfor begrænset, idet det forudsættes indøvet, hvorledes man kommer frem til data til tegning af boksplot og idet det også forudsættes, at der arbejdes videre med tegning af boksplot ud fra autentisk, aktuelt og for kursisterne specifikt interessant materiale. I øvrigt henvises til: brikkerne... statistik 2 Fra side 10 er facitliste. Der kan man se forslag til løsninger. statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk 3
Statistiske fagudtryk Deskriptorer deskriptorer er nøgletal, der kan bruges til at beskrive et større talmateriale. Mindsteværdi: Størsteværdi: Variation: Middelværdi: Typetal: Hyppighed: Frekvens: det mindste tal i talmaterialet det største tal i talmaterialet forskellen mellem størsteværdi og mindsteværdi summen af tallene divideret med antallet af tal. det tal, der optræder flest gange i materialet. antallet af gange en værdi optræder. hyppigheden som del antallet af værdier i materialet. Frekvensen kan angives som procenttal, decimaltal eller brøk Summeret hyppighed: antallet af gange, der optræder værdier, der er mindre end eller lig med en grænseværdi. Summeret frekvens: den summerede hyppighed som del af antallet af værdier. kan angives som procenttal, decimaltal eller brøk Intervaller: 0 < x 10 eller ]0 ; 10] : fra 0 til og med 10. 0 x 10 eller [0 ; 10] : fra og med 0 til og med 10. 0 < x < 10 eller ]0 ; 10[ : fra 0 til 10. Pindediagram og trappediagram Pindediagram bruges til at vise ikke-grupperede fordelingers hyppigheds- eller frekvensfordeling. Trappediagram bruges til at vise summeret hyppighed eller summeret frekvens. 25 Frekvens % 100 Summeret frekvens % 20 80 15 60 10 40 5 20 0 0 Kvartil-sæt 4 statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk
Søjlediagram og sumkurve Søjlediagram bruges til at vise intervalhyppigheder og - frekvenser. Sumkurve bruges til at vise summerede intervalhyppigheder og -frekvenser. Sumkurver kan bruges til at finde kvartilsæt. 40 Frekvens 80 Summeret Frekvens Højde Højde 10 20 150 160 170 180 190 200 150 160 170 180 190 200 Kvartil-sæt Fraktiler og kvartilsæt Fraktiler er deskriptorer, der kan aflæses i et trappediagram, der viser den summerede frekvensfordeling. En fraktil angiver den værdi som den pågældende del af værdierne er mindre ned eller lig med. F.eks. er 25%-fraktilen, den værdi som 25% af tallene er mindre end eller lig med. 25%-fraktilen kaldes også for 1. kvartilen, 50%-fraktilen kaldes medianen og 75%-fraktilen for den 3. kvartil: 1. kvartil (nedre kvartil): den værdi som 25% af tallene er mindre end eller lig med. 2. kvartil (median): den værdi som 50% af tallene er mindre end eller lig med. 3. kvartil (øvre kvartil): den værdi 75% af tallene er mindre end eller lig med. Tal for 1. kvartil, median og 3. kvartil kaldes for kvartilsættet for undersøgelsen. Kvartilsættet kan skrives som tre tal i en rund parentes: (171, 182, 192) viser nedre kvartil på 171, median på 182 og øvre kvartil på 192. Fraktiler og dermed også kvartiller kan aflæses i et trappediagram eller på en sumkurve, som vist ovenfor. Hvis trappediagrammet eller sumkurven kun skal bruges til at finde kvartilsæt, kan man nøjes med at tegne en skitse, hvor man kun er nøjagtig i områderne omkring 25%, 50% og 75%. statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk 5
Tegning af boksplot Et boksplot er en figur, der illustrerer mindste-værdi, kvartilsættet og størsteværdi. største-værdi 3. kvartil median 1. kvartil mindste værdi Ideén med et boksplot er, at gøre det tydeligt, hvor de midterste 50% er placeret, vist med selve boksen. Derudover viser den lodrette streg i boksen medianen og de vandrette streger ud fra boksen viser hele datasættes udstrækning fra mindste-værdi til største-værdi. Hvis mindste-værdi eller største-værdi ikke er kendt erstattes de vandrette streger af stiblede linier uden ende-streg: ----------- Boksplottet kan tegnes lodret eller vandret. I dette hæfte tegnes bloksplot vandret, fordi det passer med, at man kan bruge 1. aksen fra sumkurver eller søjlediagrammer som tallinie til boksplottet. Boksplot bruges til at illustrerer værdier. Det skal ikke bruges til aflæsning. Man kan derfor efter behag tegne på kvadraret eller blankt papir. Der bør dog indtegnes et passende antal hælpelinier mellem tallinien og boksplottet, som vist herover. Eksempel: Ved måling af nogle personers højde fandt man: Mindsteværdi: 152 cm Størsteværdi: 182 cm Kvartil-sæt: ( 157, 164, 169) Tegn et boksplot der illustrerer dette. Løsning: Højde i cm 150 158 166 174 182 6 statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk
1. En undersøgelse af priserne på en liter sødmælk gav følgende resultat: 35 butikkers priser på 1 liter økologisk sødmælk Laveste pris: 7,50 kr. Højeste pris: 11,95 kr. Kvartil-sæt: (8,15 kr., 8,95 kr., 9,95 kr.) Tegn et boksplot, der illustrerer undersøgelsen. 2. En undersøgelse af transport afstandene for en gruppe VUC-kursister gav følgende resultat: 88 VUC-kursisters afstand fra hjem til VUC i km ]0 ; 5] ]5 ; 10] ]10 ; 15] ]15 ; 20] ]20 ; 25] ]25 ; 30] ]30 ; 50] over 50 12 22 18 12 8 9 5 2 Udregn summerede frekvenser, tegn skitse af sumkurve og finde kvartilsættet. Tegn boksplot, idet der anvendes stiblede linier for de værdier, der ikke er oplyst. 3. I en avis kunne man læse følgende: 1.024 interview med tilfældigt udvalgte personer vedrørende det antal timer de tilbragte foran fjernsynet pr. uge, viste meget store variationer. Som man kunne vente, var der nogle der aldrig så fjernsyn, mens den længste tid undersøgelsen registrerede var 40 timer. Halvdelen så fjernsyn i op til 12 timer, og de 25% mest forbrugende så mere end 20 timer. Tegn et boksplot, idet der anvendes stiblede linier for de værdier, der ikke er oplyst. 4. En række personer blev spurgt om hvor langt de havde til arbejde. Svarene fremgår af tallene herunder: Afstand mellem hjem og arbejde 6 km 12 km 3 km 35 km 10 km 4 km 6 km 40 km 32 km 0 km 5 km 3 km 16 km 11 km 38 km 1 km 10 km 5 km 11 km 4 km Tegn et boksplot, der illustrerer undersøgelsen statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk 7
Sammenligning af boksplot Har man boksplot for to undersøgelser kan boksplottene bruges til hurtigt at se svarene på spørgsmål som: - generel forskel i størrelse - generel forskel i spredning - forskelle i kvartil-sæt - forskelle i placering og spredning af de midterste 50% i undersøgelsen Eksempel: Figuren viser to boksplot over fordelingen af benzinpriser på udvalgte tankstationer i Stor Strøms Amt, dels for onsdag den 5. juli 2006, dels for weekenden den 8. 9. juli 2006 Sammenlign de to boksplot Løsning: Priserne er generelt højere om onsdagen. Spredningen er meget større i week-enden. De midterste 50% har meget større spredning i week-enden. 1. Lønninger for ansatte i nogle IT-virksomheder og nogle produktionsvirksomheder kan ses af nedenstående: månedsløn i kr. alle ansatte IT-virksomheder Produktions-virksomheder 15.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 Aflæs kvartilsættene. Sammenlign de to boksplot. 8 statistik 2+ - 2008 bernitt-matematik.dk