Statistik - supplerende eksempler

Transkript

1 - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a

2 Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekvens Tabellen viser højde-fordelingen for en gruppe piger. Find et cirka-tal for gennemsnits-højden (middelværdien). Lav en tabel, der viser frekvens og summeret frekvens. Man kan ikke finde en præcis middelværdi, men man kan finde et cirka-tal med interval-midtpunkts-metoden. Man lader som om, at alle de piger, der har en højde i et bestemt interval, har højden lige midt i intervallet. Fx lader man som om, at alle de 10 piger, der er i intervallet [160 ; 170[, er 16 cm høje. Man gør det samme for de andre højde-intervaller, og så bliver den samlede højde: = 4.20 cm Da der i alt er 2 piger, bliver gennemsnitshøjden: = 168,2 cm. 2 Frekvenserne findes ved almindelig procentregning Frekvensen for [140 ; 10[ er = 4% Frekvensen for [10 ; 160[ er = 16%. 2 - Osv. Den første summerede frekvens er den samme som den almindelige frekvens De andre summerede frekvenser findes ved at lægge sammen: - Den summerede frekvens for intervallet [10 ; 160[ er fundet som 4% + 16% = 20%. - Den summerede frekvens for intervallet [160 ; 170[ er fundet som 4% + 16% + 40% = 60% eller blot som 20% + 40% = 60%. - Osv. Den summerede frekvens for intervallet [160 ; 170[ er altså den del af pigerne, som har en højde op til og med dette interval. Når man skal lave tabeller med frekvenser og summerede frekvenser, er det en stor fordel at bruge regneark. Højde i cm Hyppighed [140 ; 10[ 1 [10 ; 160[ 4 [160 ; 170[ 10 [170 ; 180[ 7 [180 ; 190[ 2 [190 ; 200[ 1 Ialt 2 Højde i cm Frekvens Sum. frekv. [140 ; 10[ 4% 4% [10 ; 160[ 16% 20% [160 ; 170[ 40% 60% [170 ; 180[ 28% 88% [180 ; 190[ 8% 96% [190 ; 200[ 4% 100% Ialt 100% Side 82b

3 Indekstal Indekstal er en slags procenttal, der bruges til at beskrive, hvordan en talstørrelse (fx en pris) forandrer sig over tid. Indekstal beregnes således: Indekstal = Periodens tal 100 Basisperiodens tal Yrsa Olsen bor i en lejlighed. Hun arbejder i en anden by, og hun tager hver dag bussen på arbejde. Tabellen viser hendes timeløn og husleje samt prisen på et månedskort til bussen. Sammenlign løn- og prisudviklingen ved at lave en indekstabel. Brug 2000 som basisår. Lav også et diagram ud fra indekstallene. Man laver en tabel præcis magen til tabellen ovenfor, men i stedet for krone-beløbene skriver man indekstal. Alle tre indekstal for 2000 sættes til 100, da dette år er basisår. De øvrige indekstal beregnes som vist herunder: Timeløn 200: Timeløn 2010: = 117, = 137, 88 Læg mærke til at man altid dividerer med timelønnen fra 2000 (basisåret). I alt får man den viste tabel, og det viste diagram: Indekstallene og diagrammet viser, at huslejen er steget langsommere end lønnen. Til gengæld er prisen på buskortet vokset noget hurtigere end lønnen. Indekstal er gode, hvis man skal sammenligne udviklingen af meget forskellige talstørrelser. Det er en stor fordel at bruge regneark, hvis man skal beregne mange indekstal og lave diagrammer ud fra tallene. År Timeløn Husleje Buskort År Timeløn 100,0 117,0 137, Husleje 100,0 109,4 121,8 Buskort 100,0 129,0 12, Buskort Løn Husleje Side 82c

4 Indekstal er en slags procental. Men når indekstallet for Yrsa Olsens løn fra 200 til 2010 stiger fra 117,0 til 137,, så siger man, at stigningen er på 137, - 117,0 = 20, procentpoint. Stigningen er ikke på 20,% af lønnen i 200 men på 20,% af lønnen i 2000 (basisåret). Derfor siger man procentpoint i stedet for procent. (fortsat) Indekstabellen viser udviklingen i prisen på et månedskort til en busrute. Find stigningen fra 200 til 2010 i både procentpoint og procent. År Buskort 100,0 129,0 12, Stigningen i procentpoint er forskellen i indekstal: 12, - 129,0 = 23, procentpoint. 23, 100 Stigningen i procent findes ved almindelig procentregning: = 18,2% 129,0 Stigningen i procentpoint er altså her mindre end stigningen i procent. Tænk selv over hvorfor. Hvis man beregner stigningen i procent fra 200 til 2010 ud fra de rigtige priser fra eksemplet på forrige side, så får man: = 18,2%. Altså præcis samme resultat. 60 Det vil altid være tilfældet. Tabellen viser udviklingen i prisen på en busbillet som indekstal. Billetten kostede 23 kr. i 200. Hvad var prisen de to andre år? År Busbillet 100,0 127,8 161,1 Prisen i 200 må være 127,8% af prisen i Derfor kan man finde prisen i 2000 således: ,8 = 18 kr. Prisen i 2010 kan findes som 161,1% af prisen i Man får: Men prisen i 2010 kan også findes ud fra prisen i 200. Man får: Prisi 200 Indekstal fra 2010 Pris i 2010 = = Indekstal fra ,1 127,8 = 29 kr ,1 100 = 29 kr. Metoden kan sættes på formel på denne måde: Nyt tal = Gammelt tal Nyt indekstal Gammelt indekstal Side 82d

5 Median, kvartil, boksplot Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse. Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene. Eksempler på opgaver På en arbejdsplads er der syv ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 98, 108, 119, 124, 129, 16 og 17. På en arbejdsplads er der seks ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 102, 117, 128, 132, 134 og 13. Når der er et ulige antal lønninger, er medianen det midterste tal. Når der er et lige antal lønninger, er medianen midt imellem de to midterste tal Median-lønnen bliver derfor 124 kr./time Tallet midt imellem 128 og 132 er 130. Median-lønnen bliver derfor 130 kr./time Tallet kan evt. beregnes: = I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst lønnede halvdel af de ansatte. Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 2%. Man taler om 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil. 1. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen. 3. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen. 2. kvartil er det samme som medianen. Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på 11 biler: 98, 80, 79, 82, 92, 8, 81, 78, 87, 10 og 78. Hvad er median-hastigheden for bilerne? Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil? Tallene skrives først op efter størrelse: Medianen findes som det midterste tal: 82 km/time Hvis man skal finde medianen for mange tal kan, man fx sortere dem efter størrelse i et regneark. Man kan også få regnearket til at finde medianen, men det er vigtigt selv at forstå, hvad medianen er. Side 82e

6 1. kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er under medianen. 3. kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er over medianen Man får, at 1. kvartil er 79 km/time, og 3. kvartil er 92 km/time På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er: 20, 192, 188, 198, 210, 179, 207 og 201. Hvad er median-højden for spillerne? Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil? Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist: = = 199, = 206 Man får: 1. kvartil er 190 cm. Medianen er 199, cm. 3. kvartil er 206 cm Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot. Tabellen viser resultatet af en undersøgelse af prisen på en liter letmælk i en række butikker. Lav et boksplot ud fra tallene. Mindsteværdværdi Største- 1. kvartil Median 3. kvartil 3,9 kr.,7 kr. 7,20 kr. 8, 2 kr. 9,9 kr. Man laver et boksplot som vist. Mindste-værdi 1. kvartil median 3. kvartil Største-værdi Man markerer først medianen og de to kvartiler og tegner en boks. Derefter markerer man mindste-værdi og største-værdi, og tegner to linje-stykker. Alle boksplottets fire vandrette dele svarer til 2% af mælkepriserne Side 82f

7 Man bliver ofte bedt om at sige noget om, hvad et boksplot viser: Boksplottet viser højdefordelingen i cm for en gruppe mænd. Aflæs mindste-værdi, største-værdi, median og kvartiler. Fortæl lidt om, hvad disse tal viser om mændenes højde Mindste-værdien er 18 cm. Største-værdien er 211 cm. Median-højden er 181 cm. 1. kvartil er 17 cm, og 3. kvartil er 187 cm. Tallene viser (fx), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på = 12 cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på = 3 cm. Man kan let blive snydt af, hvordan et boksplot ser ud. Man skal huske, at hver del svarer til 2%. I eksempler ovenfor er der fx lige så mange mænd med højder i intervallet 18 cm 17 cm, som der er mænd med højder i intervallet 17 cm 181 cm. Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet. Eksempler på opgaver På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 130, 140, 10, 160 og 170. Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 100, 140, 10, 160 og 170. Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 130, 140, 10, 160 og 200. Hvad er middelværdien? Median-lønnen er 10 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse. Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får: = = = 70 = 10 kr. 720 = 144 kr. 780 = 16 kr. Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om. Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede, påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien. Side 82g

8 Sumkurver (fortsat) Tabellen viser frekvens-fordelingen og de summerede frekvenser for højden på en gruppe piger. Lav et histogram og en sumkurve ud fra tallene. Histogrammet og sumkurven er tegnet i et koordinatsystem herunder: Højde i cm Frekvens Sum. frekv. [140 ; 10[ 4% 4% [10 ; 160[ 16% 20% [160 ; 170[ 40% 60% [170 ; 180[ 28% 88% [180 ; 190[ 8% 96% [190 ; 200[ 4% 100% Ialt 100% Koordinat-systemet viser både et histogram og en sumkurve, men man kan sagtens lave de to diagrammer hver for sig. Når man laver sumkurven, starter man med at afsætte punktet (Første intervals start-punkt ; 0). Altså (140 ; 0). Derefter afsætter man punkter af typen (Interval-endepunkt ; summeret frekvens). Altså (10 ; 4), (160 ; 20) osv. Til sidst laver man lige streger fra punkt til punkt. Sumkurven viser, hvor mange af pigerne, der er op til en bestemt højde. Fx kan man se, at ca. 74% er op til 17 cm men det er naturligvis upræcist, fordi man ikke kender højden på hver enkelt pige. Man kan på samme måde aflæse et cirka-tal for medianen. Man kan se, at 0% af pigerne er op til ca cm. Prøv om du selv på samme måde kan finde cirka-tal for 1. kvartil og 3. kvartil. Bemærk at sumkurven er stejl, der hvor histogram-søjlerne er høje. Side 82h