OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER STATISTIK

Transkript

1 OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet er der desuden fokus på, at eleverne skal tolke og analysere data, så de kan lære at forholde sig kritisk til data og observationer og til diagrammer og tabeller. Der arbejdes både med enkeltdata og grupperede data. Det primære fokus i kapitlet er beskrivende statistik (deskriptiv statistik), hvor eleverne skal lære, hvordan statistik dels kan bruges til at skabe overblik over og beskrive mange data, og dels kan bruges til at sammenligne datasæt. Eleverne skal undervejs i arbejdet med opgaver og undersøgelser også forholde sig kritisk til resultater og til anvendelsen af forskellige diagramtyper. I den første del af kapitlet er der fokus på ikke-grupperede datasæt. Kapitlet indledes med, at eleverne arbejder med at repetere en række deskriptorer, som de kender fra arbejdet med statistik på mellemtrinnet. Det er deskriptorer som fx hyppighed, frekvens, median m.m. Herefter udvides deskriptorerne til også at omhandle summeret hyppighed og summeret frekvens samt kvartilsæt, som er hensigtsmæssige at bruge, når man skal beskrive og sammenligne datasæt. Dernæst arbejdes der med grupperede datasæt og intervaller. I datasæt, hvor man måler talstørrelser, hvor der kan være mange forskellige resultater, kan det være hensigtsmæssigt, at samle data i intervaller. Eleverne har i MULTI 4, MULTI 5 og MULTI 6 arbejdet en del med statistik og statistiske deskriptorer - primært med udgangspunkt i opgaver og undersøgelser med enkeltdata. De har ligeledes brugt statistik i forbindelse med egne mindre undersøgelser. Derudover er eleverne i MULTI 6 blevet præsenteret for og har arbejdet med grupperede data og intervaller, men har kun arbejdet meget lidt med grafiske illustrationer af grupperede data. Eleverne har desuden arbejdet med statistiske deskriptorer i digitale værktøjer, hovedsageligt regneark. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med følgende statistiske deskriptorer: mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde, hyppighed, frekvens, typetal, middeltal (gennemsnit), median, procentdiagram og cirkeldiagram. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: at aflæse, forstå og forklare indholdet i tabeller og diagrammer at bruge statistiske deskriptorer til at beskrive og sammenligne data og forklare, hvad data fra en undersøgelse viser at bruge digitale værktøjer til at finde statistiske deskriptorer og tegne diagrammer at lave egne statistiske undersøgelser at ordne data fra undersøgelser i grupper. I den sidste del af kapitlet er der fokus på grafiske illustrationer af henholdsvis enkeltdata og grupperede data. Eleverne skal undervejs i kapitlet lave egne undersøgelser ud fra data, de selv indsamler. Hensigten er, at de får erfaring med at arbejde med forskellige måder at indsamle, bearbejde og fremlægge data på. Mange opgaver og undersøgelser i kapitlet indeholder en relativ stor mængde data, som eleverne skal arbejde med. Eleverne bør opfordres til at løse opgaver og undersøgelser med digitale værktøjer, fx regneark, så de bliver sikre i at bruge det i arbejdet med statistik. Med et regnearksprogram kan man finde de fleste deskriptorer og tegne grafiske illustrationer ofte både hurtigere og mere præcist, end hvis man gør det manuelt.

2 ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan vælge relevante deskriptorer til beskrivelse og analyse af datasæt kan indsamle, bearbejde og præsentere data i relevante diagrammer og tabeller kan analysere statistiske tabeller og diagrammer kan sammenligne datasæt ud fra statistiske deskriptorer kan anvende digitale værktøjer til behandling af statistiske data. PRINTARK U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik MATERIALER Mobiltelefon Stopur DIGITALE VÆRKTØJER Regneark Internet GeoGebra FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Summeret hyppighed H(x) Summeret frekvens F(x) Kvartilsæt Trappediagram Intervaller Intervalmidtpunkt Sumkurve

3 FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING Eleverne kan evt. løse opgaverne 1-3 parvis. Opgave 3 vil være hensigtsmæssig at løse med et digitalt værktøj, da der skal udarbejdes en del tabeller og pindediagrammer. Lad efterfølgende eleverne tale om, hvordan de har brugt det digitale værktøj. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne bliver på dette opslag introduceret til kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver og undersøgelsen arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. Der gives i introteksten en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om, og hvad eleverne skal arbejde med gennem kapitlet. Herefter præsenteres eleverne for kapitlets fem elevmål samt fagord og begreber. Statistiske deskriptorer anvendes i teksten i opgave 1 i forhåndsviden, og det er ikke sikkert, at alle elever er klar over betydningen, så det kan være en god idé at tage en klassesamtale om, hvad det betyder. Deskriptiv statistik kaldes også beskrivende statistik. Det er den del af statistikken, der handler om at ordne og beskrive store mængder af data, så det er muligt at skabe overblik over og sammenligne datasæt af forskellige størrelser. Statistiske deskriptorer er tal, der på forskellig vis fortæller noget om de pågældende datasæt, fx størsteværdi, mindsteværdi, middeltal og median. Inden eleverne arbejder med deres forhåndsviden, kan de i mindre grupper tale om, hvilke statistiske deskriptorer de kender og forklare for hinanden, hvad de betyder. MATERIALER Mobiltelefon Computer Stopur PRINTARK U4 Tastetider OPGAVE 1 A Herunder ses en hyppigheds- og frekvenstabel over temperaturerne: x h(x) f(x) ,14 % ,28 % ,7 % ,28 % ,14 % ,28 % ,14 % B Mindsteværdi: 13 Størsteværdi: 21 Variationsbredde: 8 Typetal: 16 C Gennemsnitstemperaturen: 16,57 grader. D Elevernes egne forklaringer på deskriptorernes betydning. Eleverne kan bruge den indledende klassesamtale om deskriptorer til at besvare punkt D. OPGAVE 2 A Ali: 26,4 point. Pierre: 21,6 point. B Elevens egen forklaring. Gennemsnittet fortæller, hvor mange point henholdsvis Ali og Pierre har fået, hvis de hver i sær lægger alle deres point sammen og dividerer det med antallet af kast. C Elevens egen forklaring. Gennemsnittet fortæller ikke noget om fx mindsteværdi, størsteværdi, typetal og variationsbredde. Dvs. at der kan være store udsving i, hvor mange point Ali og Pierre har fået i de ti kast (stor variationsbredde). Gennemsnittet fortæller heller ikke noget om, hvor mange kast de to drenge har haft. OPGAVE 3 A Herunder ses hyppigheds- og frekvenstabeller for hver af drengene:

4 Tom 20 m: Alex 20 m: x h(x) f(x) x h(x) f(x) 0 1 6,66 % ,33 % ,33 % 2 1 6,66 % % ,66 % ,33 % 6 1 6,66 % ,66 % ,66 % % % Tom 25 m: Alex 25 m: x h(x) f(x) x h(x) f(x) 0 1 6,66 % % ,33 % 2 1 6,66 % ,33 % ,33 % % ,33 % % ,66 % ,66 % % B Herunder ses pindediagrammer, der viser pointfordelingen for Tom. Tilsvarende pindediagrammer laves for Alex. Tom 20 m Tom 25 m kamp af denne art?, Hvorfor?, Hvorfor ikke? Kunne man forestille sig, at Alex en anden dag (eller i næste kamp) ville vinde over Tom? Kan denne pointfordeling for de to kampe godt forekomme, hvis det i virkeligheden er Alex, der er den bedste til at kaste? Hvorfor kan vi ikke udtale os med sikkerhed om, hvem der er bedst til at kaste ud fra denne statistik? Hvad ville I gøre, hvis I skulle være mere sikre på, hvem der er bedst til at kaste? UNDERSØGELSE: HURTIGST PÅ TASTERNE DEL 1 A Lad eleverne foretage taste-delen parvis eller i mindre grupper. Efterfølgende kan eleverne notere deres tider på arket U4 Tastetider, der fx er hængt op i klassen, så alle kan skrive deres tider i samme ark. Når alle data er samlet ind, kan arket med alle data kopieres og udleveres til de enkelte grupper. Alternativt kan der oprettes et fælles regneark, som alle elever kan notere deres resultater i. På den måde spares der noget tid. C D Hyppighed h(x) Point (x) Point (x) Typetallet er 10 for Tom og kun 8 for Alex. Alex har i gennemsnit 5,6 point fra 25 m. Tom har i gennemsnit 6,3 point fra 25 m. Denne opgave giver anledning til en samtale i klassen om tolkning af statistiske resultater. Man skal bemærke, at statistikken udelukkende giver redskaber til at beskrive pointfordelingen mellem de to drenge. Statistikken forholder sig ikke til spørgsmålet om, hvem der kaster bedst det er mennesker, der gør det. Hvis man ser på de resultater, der stammer fra punkt C, må man konkludere, at Tom er den, der har klaret netop disse to spil bedst. Det rigtige svar på det mere generelle spørgsmål Hvem er bedst til at kaste? er imidlertid, at det kan man slet ikke sige noget om på baggrund af et så spinkelt datamateriale. Prøv at spille spørgsmål til klassen, som fx: Kan man være sikker på, at Tom vil vinde enhver Hyppighed h(x) DEL 2 A De statistiske deskriptorer kan fx være mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde, gennemsnit og typetal. B Det kan fx være spørgsmål som: Er det hurtigst at taste på telefonen eller på computeren? Er det pigerne eller drengene, der er hurtigst på computeren? Har det nogen betydning for tastetiden om eleverne har tastet på egen eller lånt telefon? Er der nok data til at kunne konkludere fx hvem der er hurtigst af drengene og pigerne? Det er samme spørgsmål, der beskrives og problematiseres i opgave 3 punkt D. C - D Elevbeskrivelse. Eleverne kan fx lave en skærmvideo, hvor de forklarer deres besvarelse af de tre spørgsmål og præsenterer de valgte deskriptorer. Undersøgelsen kan differentieres ved at arbejde med et mindre datamateriale, fx kun tastetiderne på computer eller telefon. Der kan stilles færre krav til antallet af deskriptorer, der skal bruges i beskrivelsen, samt et færre antal spørgsmål til datasættet.

5 Hvor mange procent af eleverne har fået 7 eller derover i karakter?, Hvor mange procent af eleverne har fået 2 eller derunder i karakter?. Eleverne skal i opgave 4 punkt C selv formulere spørgsmål til datasættet. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne skal på dette opslag arbejde med summeret hyppighed H(x) og summeret frekvens F(x), der kan bruges til at beskrive og sammenligne datasæt. I opgaverne på opslaget skal eleverne dels selv udarbejde tabeller over h(x), H(x), f(x) og F(x), og dels forholde sig kritisk og spørgende til, hvad deskriptorerne fortæller om datasættene. Der arbejdes kun med enkeltdata på dette opslag. Start evt. med at repetere, hvad hyppighed og frekvens betyder, og hvordan man beregner frekvens. I den sammenhæng kan det nævnes, at frekvens kan angives som enten decimaltal, brøk eller procent. Eleverne har arbejdet med det i forhåndsviden, men da de to begreber danner udgangspunkt for forståelsen af hele opslagets indhold, kan en kort repetition være relevant. FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING TEORI: SUMMERET HYPPIGHED H(x) OG SUMMERET FREKVENS F(x) Eleverne har ikke tidligere arbejdet med summeret hyppighed og frekvens, hvorfor det kan være en god idé at gennemgå teoriboksens indhold fælles i klassen eller i mindre grupper. Udgangspunktet for samtalen kan være eksemplet med karakterfordelingen ved en matematikprøve i 7. klasse, der er vist i teoriboksen. Det kan for mange elever være svært at gennemskue, hvad de forskellige deskriptorer betyder, og hvordan de kan tolkes. Derfor er der i teoriboksen givet eksempler på, hvad summeret hyppighed og frekvens kan give svar på. I gennemgangen af teoriboksens indhold kan der fx stilles flere spørgsmål, som eleverne skal besvare ud fra datasættet. Det kan fx være: Hvor mange elever har fået karakteren 4 eller derover?, Hvor mange elever har fået under 7 i karakter?, OPGAVE 4 A Datasættets størrelse står i det nederste felt i søjlen med de summerede hyppigheder H(x). B Hvis frekvenserne er regnet rigtigt ud, skal det nederste felt i søjlen med de summerede frekvenser F(x) indeholde tallet 100 %. Dette er en såkaldt svag kontrol. Hvis frekvenserne er regnet rigtigt ud, og de summerede frekvenser er regnet rigtigt ud, vil F(størsteværdien) være 100 %. Hvis dette tal ikke er 100 %, er der noget galt. Hvis værdierne for F(x) beregnes ved at summere værdierne for f(x), vil man desuden kunne komme ud for, at afrundinger på værdierne for f(x) undervejs kan resultere i, at man ender med et tal mellem 99,98 % og 100,02 %. Men selvom tallet er 100 %, kan der godt være fejl, som i givet fald ophæver hinanden. C Eleverne skriver spørgsmål, som kan besvares ved hjælp af h(x), H(x), f(x) og F(x). OPGAVE 5 A Elevernes egne vurderinger. B Elevernes egne beskrivelser af datasættene ved hjælp af deskriptorer. C Hyppigheds- og frekvenstabeller: 7. A: x h(x) H(x) f(x) F(x) % 8 % % 20 % % 40 % % 72 % % 88 % % 100 % 7. B: x h(x) H(x) f(x) F(x) ,55 % 5,55 % ,11 % 16,66 % ,77 % 44,43 % ,33 % 77,76 % ,55 % 83,33 % ,66 % 100 % D Det sædvanlige redskab til at besvare spørgsmålet er klassens karaktergennemsnit. Da gennemsnittet for 7. A er 6,96

6 E og gennemsnittet for 7. B er 6,17, vil man nok sige, at 7. A har klaret prøven bedst. Eleverne formulerer egne spørgsmål. 7. A: Da antallet af elever i de to klasser er meget forskellige, er det ikke muligt direkte at sammenligne de to datasæt ud fra hyppighed og summeret hyppighed. Det er derfor nødvendigt at se på den procentvise fordeling af karakterer (frekvens og summeret frekvens) i de to klasser. I begge tilfælde er der korrigeret for det forskellige antal observationer. OPGAVE 6 A Hyppigheds- og frekvenstabeller: 7. A: x h(x) H(x) f(x) F(x) ,4 % 7,4 % ,11 % 18,51 % ,51 % 37,02 % ,33 % 70,35 % ,52 % 88,89 % ,11 % 100 % 7. B: x h(x) H(x) f(x) F(x) ,09 % 9,09 % ,09 % 18,18 % ,27 % 45,45 % ,81 % 77,26 % ,54 % 81,82 % ,18 % 100 % D 7. B: Hvis summen af forskelle lægges til grund, er det 7. A, der har den mindste forskelssum og derfor er tættest på den anbefalede fordeling. Det er ikke muligt at ændre hyppighedstabellen, så man præcist rammer Undervisningsministeriets fordeling. Ved at eksperimentere med hyppighederne i regnearket kan man bringe forskelssummen ned på 8 procentpoint. B Gennemsnit for 7. A: 6,48. Gennemsnit for 7. B: 6,14. C Traditionelt vil man mene, at den klasse, der har det højeste karaktergennemsnit, har klaret prøvet bedst. Det er i dette tilfælde 7. A. Den indledende tekst til opgaven indeholder mange informationer, OPGAVE 7 og det kan være hensigtsmæssigt at eleverne skematiserer A Nej, og det var heller ikke at forvente. karaktererne på landsplan, så det bliver mere overskueligt at arbejde B Færre får 4 og 10 og flere for 02, 7 og 12. med, fx: C Her er mulighed for en klassediskussion. Hvordan måler man, hvor tæt to fordelinger er på hinanden? Lad eleverne komme med nogle forslag. Et bud ligger i disse to regneark. Her er der for hver karakter større end 02 udregnet Karakter 3 og Fordeling i % Medregnes ikke 10 % den numeriske differens mellem den faktiske og den 4 25 % 7 30 % anbefalede fordeling. Derefter er disse forskelle lagt sammen som et muligt mål for tætheden mellem de to for % % delinger. Men andre bud er formentlig mulige. Bemærk, at da vi skal se bort fra karakterer under 02, er OPGAVE 8 dette en anden fordeling en den tilsvarende i opgave 6. A B Elevernes egne løsninger.

7 MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag bliver eleverne introduceret til kvartilsæt, som består af deskriptorerne: nedre kvartil, median og øvre kvartil. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne på forskellig vis med at finde og forklare betydningen af kvartilsættes deskriptorer. Når man finder kvartilsættet med et digitalt værktøj, fx regneark, så er det ofte den sidste måde kvartilsættet bliver fundet på. Derfor kan det være en god idé, inden eleverne løser opgaverne 9-13, at lade dem undersøge, hvordan de kan finde kvartilsæt med et eller flere digitale værktøjer, fx regneark eller GeoGebra. De kan bruge eksemplet fra teoriboksen som udgangspunkt for deres undersøgelse. Efterfølgende kan der tages en fælles samtale i klassen om, hvordan de forskellige digitale værktøjer beregner kvartilsættet. På skærmdumpet herunder er vist, hvordan man i Excel kan finde 1. kvartil for efterårets kampe. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med at finde medianen, men begreberne nedre og øvre kvartil samt kvartilsæt er nye. Eleverne skal erfare, det kan være hensigtsmæssigt i arbejdet med flere ordnede datasæt, at have nogle udvalgte deskriptorer at sammenligne. FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING TEORI: KVARTILSÆT Lad eleverne parvis læse og tale om indholdet i teoriboksen. Hvis der er ting, de ikke forstår, så skriver de spørgsmål ned. Når eleverne har gennemlæst og diskuteret indholdet i teoriboksen, så kan de efterfølgende diskutere deres spørgsmål med et andet makkerpar eller spørgsmålet kan diskuteres fælles i klassen. Det kan være relevant at tale med eleverne om, hvordan man finder medianen i et datasæt med enkeltdata, da der kan være forskel på, hvordan den findes. Medianen findes ved at opstille alle observationer i datasættet efter størrelse. Hvis der er et ulige antal observationer, så er den midterste observation medianen - dvs. i efterårets kampe er medianen 2. Hvis der er et lige antal observationer, som i forårets kampe, så kan medianen findes på lidt forskellige måder. Oftest så vælges den første af de to midterste observationer, dvs. i forårets kampe er medianen 1. Men medianen kan også findes ved at tage gennemsnittet af de to midterste observationer, så vil medianen for forårets kampe være ((1 + 2) : 2) 1,5. Eleverne bør til de enkelte opgaver overveje, om de kan bruge et digitalt værktøj til at løse dem. Læreren bør være opmærksom på, at der kan være lidt variationer i de enkelte svar - afhængig af, hvordan kvartilsættet er beregnet. Eleverne kan evt. blive bedt om at skrive, hvordan de har beregnet kvartilsættet. OPGAVE 9 A Elevspørgsmål, fx Hvor mange mål har Tobias højst scoret i de første 25 % af efterårets kampe?. B Elevspørgsmål, fx Hvor mange mål har Tobias mindst scoret efter 50 % af efterårets kampe var spillet?. C Elevspørgsmål, fx Hvor mange mål har Tobias mindst scoret i de sidste 75 % af efterårets kampe?. OPGAVE 10 A Kvartilsættet er (1, 2, 3). Svaret er angivet ud fra, at kvartilsættet er fundet ved at tage den første af de to midterste observationer. Hvis opgaver er løst med et digitalt værktøj, så skal man være opmærksom på, at kvartilsættet ser anderledes ud, da det - som tidligere beskrevet - er fundet ved at tage et gennemsnit af de to midterste værdier (1; 1,5; 2,8). Det kan give anledning til en snak om, hvorvidt det giver mening at angive kvartilerne med decimaltal. Kan der fx scores 1,5 eller 2,8 mål?

8 Svarene i opgave kan variere fra beregninger, der er foretaget i et digitalt værktøj. Se forklaring til opgave 10. OPGAVE 11 A Statistik over drengenes svar: x h(x) f(x) F(x) ,3 % 4,3 % ,3 % 8,6 % ,7 % 17,3 % ,3 % 21,6 % 31 (1. kvartil) 1 4,3 % 25,9 % ,3 % 30,2 % ,3 % 34,2 % ,9 % 47,4 % 41 (2. kvartil/median) 2 8,7 % 56,1 % ,3 % 60,4 % ,3 % 64,7 % 49 (3. kvartil) 3 12,9 % 77,6 % ,3 % 81,9 % ,3 % 86,2 % ,9 % 100 % Statistik over pigernes svar: x h(x) f(x) F(x) % 4 % % 8 % % 12 % % 16 % % 20 % % 24 % 37 (1. kvartil) 1 4 % 28 % % 32 % % 40 % % 44 % 41 (2. kvartil/median) 2 8 % 52 % % 56 % % 60 % % 64 % % 68 % % 72 % 49 (3. kvartil) 1 4 % 76 % % 88 % % 96 % % 100 % B Om drengene eller pigerne er bedst til at vurdere gangens længde, kan vurderes på flere måder. Et bud kan være at se på, om drengenes eller pigernes gennemsnit er nærmest på det virkelige mål (45 m). Ud fra den betragtning er pigerne bedst med et gennemsnit på 41,6 m mod drengens 35,6 m. Hvis man derimod lægger medianen til grund er de to lige gode medianen er i begge tilfælde 41 m. Der er altså baggrund for en diskussion. Kan man fx overhovedet sige noget fornuftigt om hvem, der er bedst ud fra det foreliggende materiale? Hvorfor/Hvorfor ikke? OPGAVE 12 A Tabel: x h(x) H(x) f(x) F(x) % 15 % % 20 % 3 (1. kvartil) % 45 % 4 (2. kvartil/median) % 55 % 5 (3. kvartil) % 75 % % 100 % B Kvartilsættet er (3, 4, 5). OPGAVE 13 A B De ønskede tabeller er: x h(x) H(x) f(x) F(x) % 4 % % 12 % % 24 % % 32 % % 42 % % 60 % % 66 % % 68 % % 76 % % 82 % % 82 % % 88 % % 94 % % 98 % % 98 % % 100 % C Det ønskede grafiske billede af frekvenserne er et pindediagram: 20% 15% 10% 5% 0% x D Typetal: 30 Gennemsnit: 30,74 træk 1. kvartil: 28 Median: kvartil: 33 E Kvartilsættet er (27, 29, 33). Elevernes egne vurderinger af Amines partier ud fra kvartilsættet.

9 Lad evt. eleverne besvare opgave 14 og 15 med digitale værktøjer, så de bliver bekendt med, hvordan man kan arbejde med grupperede data i fx regneark. De elever, der løser opgaverne i et digitalt værktøj, kan fx lave en skærmvideo, der viser, hvordan de har løst opgaven. På den måde kan eleverne dele deres viden og erfaringer med hinanden. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne skal på dette opslag arbejde med grupperede data og intervaller. Gennem arbejdet med de enkelte opgaver skal de erfare, at det kan være hensigtsmæssigt at gruppere data i intervaller, hvis der er få data, der er ens. Vær opmærksom på, at der evt. kan være lidt forskel i facit til de enkelte opgaver afhængigt af, om de er løst med eller uden et digitalt værktøj. OPGAVE 14 A Den gennemsnitlige hastighed er 74,33 km/t. B Herunder ses en tabel over de målte hastigheder: Eleverne har fra mellemtrinnet et vist kendskab til at arbejde med data i intervaller og kender begreberne intervalhyppighed og typeinterval. Der vil derfor være en del nye begreber, som de skal lære at kende i forbindelse med arbejdet med grupperede data. FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING TEORI: GRUPPEREDE DATA OG INTERVALLER Teoriboksen indeholder en del nye fagord og begreber, og det kan derfor være hensigtsmæssigt at gennemgå indholdet fælles i klassen. Eleverne har som tidligere nævnt arbejdet med data i intervaller, men de har ikke arbejdet med notationsformen i forbindelse med lukkede, halvåbne og åbne intervaller. Tal evt. med eleverne om, at der ikke er nogen bestemt regel for, hvor store intervallerne skal være. Det vigtigste er, at intervallerne er med til at gøre datasættet mere overskueligt. Ligeledes er det nyt for eleverne at beregne middeltallet/gennemsnittet ud fra grupperede data. Efter gennemgangen af teoriboksens indhold kan eleverne fx parvis løse opgave 14 og 15, da de derved får arbejdet med forskellige forhold vedr. grupperede data og intervaller. Der kan efterfølgende laves en fælles opsamling i klassen, inden de arbejder videre med opgave 16 og 17. Hastighedsinterval h([a; b[) H([a; b[) f([a; b[) F([a; b[) [a; b[ [60; 65[ ,66 % 16,66 % [65; 70[ ,33 % 40 % [70; 75[ ,66 % 56,66 % [75; 80[ ,66 % 73,33 % [80; 85[ % 83,33 % [85; 90[ % 93,33 % [90; 95[ ,66 % 100 % C Intervalhyppighederne for intervallerne og ændres fra 5 hhv. 7 til 6 hhv. 6. D Middeltallet bliver lidt lavere (74,17 km/t i stedet for 74,33 km/t). OPGAVE 15 A Der kan fx stilles følgende spørgsmål: Hvor mange kørte med en hastighed mindre end 70 km/t? Hvor mange procent kørte mindre end 15 km/t for stærkt? Hvor mange procent kørte mere end 10 km/t for stærkt? B Svar på ovenstående spørgsmål: 12 56,66 % 60 %

10 OPGAVE 16 reporterens påstand. Man skal dog være opmærksom på, at hvis man skal sige noget mere præcist om påstanden, så skal man også kende aldersfordelingen af løberne fra nr. 26 og nedefter. A B Herunder ses en tabel over intervalhyppighed og frekvens: Interval Intervalhyppighed h Intervalfrekvens f 02:00:00-02:04: % 02:05:00-02:09: % 02:10:00-02:14: % 02:15:00-02:19: % 02:20:00-02:24: % C D Gennemsnitstiden er 2 timer, 13 minutter og 3 sekunder. 21 løbere. 13 løbere. 02:00:00-02:09:59 4 minutter og 33 sekunder. Det er de langsomste tider. De ligger på 02:18:08 eller derover. OPGAVE 17 A Herunder ses en tabel over løbernes alder: x h(x) f(x) F(x) % 4 % % 12 % % 16 % % 20 % 28 (1. kvartil) 2 8 % 28 % % 48 % 30 (2. kvartil/median) 1 4 % 52 % 32 (3. kvartil) 6 24 % 76 % % 88 % % 96 % % 100 % B Kvartilsættet er (28, 30, 32). C 28 år eller derunder. 32 år eller derover. Det er rigtigt, at Eliud Kiptanui er blandt de 25 % yngste af de 25 løbere, men han er ikke blandt de 25 % bedste.. D 29,88 år. E 48 %. F I top-10 er der kun to løbere, som er over 30 år (vinderen og nr. 10). I top-25 er der i alt 8 løbere over 30 år. Det giver ikke noget overbevisende argument for

11 MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejde med grafiske illustrationer af enkeltdata. De skal ligeledes lave deres egen undersøgelse over, hvad de bruger deres fritid til i klassen. Eleverne kender diagramtyperne pindediagram og cirkeldiagram. MATERIALER Et digitalt værktøj FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING TEORI: GRAFISKE ILLUSTRATIONER AF ENKELTDATA I teoriboksen er præsenteret diagramtyperne pindediagram, cirkeldiagram og trappediagram, hvor sidstnævnte er nyt for eleverne. Lad eleverne komme med eksempler på, hvornår det kan være hensigtsmæssigt at bruge de forskellige diagramtyper. Det vil være en fordel, hvis eleverne sidder ved en computer, når de læser teoriboksen, så har de mulighed for, med udgangspunkt i det viste datasæt, at undersøge, hvordan de kan tegne de forskellige diagrammer med et digitalt værktøj, fx regneark. OPGAVE 18 A 1. kvartil: 20 Median: kvartil: 25 Opgave 19 og 20 kan med fordel løses med et digitalt værktøj. OPGAVE 19 A Herunder er et pindediagram tegnet, som viser f(x): f(x) Familiestørrelse B C Herunder er et trappediagram tegnet, som viser F(x) og kvartilsættet: Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med at tegne pinde- og cirkeldiagrammer med et digitalt værktøj, men trappediagrammet er nyt for dem. Øverst i næste kolonne er vist et skærmdump fra et regneark, der viser, hvordan man kan lave et trappediagram.

12 D Kvartilsættet er: 1. kvartil: 4 Median: 5 3. kvartil: 8 7. klasse og deres fritidsinteresser på baggrund af undersøgelsen. Det er klart, at en enkelt klasse ikke kan være et repræsentativt udvalg af 7.-klasser i Danmark. Undersøgelsen kan derfor ikke sige noget generelt om elever på 7. klassetrin og deres fritidsinteresser. STATISTIK OPGAVE 20 A Der er mange forskellige svar og illustrationer, som er korrekte. Herunder er givet et eksempel på, hvordan fordelingen mellem drenge og piger og mellem aldersgrupperne kan vises indenfor håndbold, gymnastik og bordtennis. Procent Piger Drenge 7-9 år år år Håndbold Gymanstik Bordtennis UNDERSØGELSE: FRITIDEN I 7. KLASSE Eleverne skal undersøge, hvad de bruger deres fritid til i klassen. De skal selv indsamle og efterfølgende analysere og bearbejde data. Formålet er, at eleverne får mulighed for at bruge de begreber og metoder, som de har arbejdet med på de foregående sider. I forbindelse med den indledende brainstorm i klassen kan klassen blive enige om, hvilke data de ønsker at undersøge. Det kan være en god idé efterfølgende enten at lave et stort skema på tavlen eller oprette et fælles regneark, hvor alle elever i klassen kan skrive deres data ind. Fordelen ved et fælles regneark er bl.a., at den enkelte gruppe sparer tid ved ikke at skulle indtaste alle klassens data selv. Da hver gruppe desuden selv bestemmer, hvad den ønsker at undersøge, er det heller ikke alle data i skemaet, der er relevante for alle grupper. De enkelte grupper kan så selv selektere i data og trække de oplysninger, som er relevante for dem direkte ud fra det fælles regneark. Grupperne kan fx lave en lille skærmvideo, der viser deres resultater af undersøgelsen - eller de kan præsentere data med et andet præsentationsværktøj. Som afslutning på undersøgelsen kan der fx spørges ind til, om der kan konkluderes noget om en tilfældigt valgt

13 MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne skal på dette opslag arbejde med grafiske illustrationer af grupperede data. De skal ligeledes lave deres egen undersøgelse over brugen af Facebook. MATERIALER Internet Evt. digitale værktøjer FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING Lad evt. eleverne udarbejde et nyt histogram, hvor intervallerne ikke er lige lange. Det kan fx være, at det første interval ændres til [60; 70[. Dermed bliver rektanglet dobbelt så langt som de øvrige rektangler i histogrammet. Intervalhyppigheden h er nu 12, og intervallængden er 10, dermed bliver højden på histogrammet: 12 : 10 = 1,2. Herunder er vist et eksempel på, hvordan histogrammet over samme datasæt ser ud, hvis intervallerne er som angivet under aksen. TEORI: GRAFISKE ILLUSTRATIONER AF GRUPPEREDE DATA Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for diagramtyperne histogram og sumkurve, som begge er nye diagramtyper for eleverne. Histogrammet bruges til at vise, hvordan tallene i et datasæt med grupperede data fordeler sig. I et histogram er der på x-aksen markeret intervalgrænserne, og på y- aksen er der ikke angivet nogle akseværdier. Intervallerne kan - som vist i teoriboksen - enten være lige lange eller de kan have forskellige længder. Et histogram aflæses ved at se på arealet af hver søjle. Det er altså arealet af det enkelte rektangel, der viser frekvensen eller hyppigheden. Hvis intervallerne er lige store - dvs. rektanglerne er lige brede, så vil deres højde også vise frekvensen. I teoriboksen er beskrevet, hvordan man beregner størrelsen af de rektangler, som histogrammet består af. Det kan dog være en fordel at lave histogrammet med et digitalt værktøj. Øverst til højre er data fra teoriboksen afbildet, hvor alle intervaller er lige lange. En sumkurve beskriver den summerede hyppighed eller den summerede frekvens for et datasæt, der er grupperet. I sumkurven for den summerede frekvens kan man tilføje linjer ved værdierne 25, 50 og 75 på y-aksen, der bestemmer de tilnærmede værdier for det grupperede datasæts kvartilsæt jf. sumkurven nederst side 84. Bemærk, at selve kvartilsættet aflæses på x-aksen. UNDERSØGELSE: FACEBOOK Eleverne skal i undersøgelsens første del arbejde med forskellige data og diagrammer, der beskriver forhold vedr. brugen af Facebook. I DEL 2 skal eleverne lave deres egen undersøgelse over brugen af Facebook, og i den sidste del skal de analysere og bearbejde deres indsamlede datamateriale. DEL 1 A Individuelle elevbeskrivelser. Af diagrammet kan man aflæse, hvordan brugen af sociale medier er fordelt i procent på køn og alder i år 2011.

14 Det første interval viser fordelingen for mænd og kvinder i alderen år. Herefter følger seks aldersintervaller, som dækker over de samme personer. Eleverne bør her bemærke, at intervallerne ikke er lige store. Eksempelvis er det første interval, (16-24, dvs. intervallet [16; 25[), 9 år, det næste 10 år og det sidste 25 år. C Individuelle elevundersøgelser. Ud fra tallene i tabellen, som er 2 år nyere end tallene i søjlediagrammet og cirkeldiagrammet, kan eleverne beregne, at der i 2013 var 17,16 % af mændene over 65 år og 14,74 % af kvinderne over 65 år, der brugte Facebook. Samlet set brugte 15,84 % af personer over 65 år Facebook i Der er altså tale om en stigning for både mænd og kvinder. STATISTIK B Af diagrammet fremgår det, at brugen af sociale medier er faldende med alderen, og at en større procentdel af kvinderne bruger sociale medier end mændene. Af cirkeldiagrammet kan man aflæse den summerede frekvensfordeling: D Individuelle elevredegørelser. Eleverne skal her være opmærksomme på, at informationerne i søjlediagrammet dækker over mere end Facebookbrug, da der er tale om sociale medier generelt. Derfor bør sammenligningen primært bygge på beregninger fra cirkeldiagrammet og tabellen. DEL 2 A C Elevernes egne undersøgelser. [13; 16[ [16; 18[ [18; 25[ [25; 35[ [35; 45[ [45; 55[ [55; 65[ 65+ DEL 3 A D Elevernes egne analyser og præsentationer. 99 % 94 % 86 % 72 % 54 % 34 % 15 % 8 % At værdien i sidste interval (65+) ikke er 100 % skyldes formentlig afrundinger ved beregningen af intervalfrekvensen for de enkelte intervaller. På denne baggrund kan sumkurven tegnes. Det er ikke muligt at tegne den sidste del af kurven, da vi ikke ved, hvor den ender.

15 Intervalfrekvenser, histogram: MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag arbejder eleverne med opgaver, hvor de skal bruge de begreber og metoder, som de har arbejdet med i kapitlet. Summeret intervalfrekvens, sumkurve: Det kan være en god idé, at lade eleverne arbejde sammen parvis, så de har mulighed for tale om deres resultater, og hvordan de har løst opgaverne. Eleverne kan med fordel opfordres til at anvende digitale værktøjer i arbejdet med opgaverne. FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING OPGAVE 21 A Herunder er en tabel udarbejdet, hvor frekvensen af intervallerne og den summerede frekvens fremgår: Interval x h(x) f(x) F(x) ,2 % 11,2 % ,18 % 23,38 % ,59 % 35,97 % ,11 % 48,08 % ,31 % 62,39 % ,19 % 75,58 % ,27 % 87,85 % ,9 % 95,75 % ,5 % 99,25 % ,73 % 99,98 % ,018 % 99,998 % ,002 % 100 % I alt B Eleverne vælger selv, hvilke grafiske billeder de vil tegne, og om de vil anvende digitale værktøjer eller tegne i hånden. Herunder er givet nogle eksempler: C 12,16 % af danskerne var over 70 år den 1. juni D Et grafisk billede, hvor man kan sammenligne antal mænd og kvinder kunne være dette: Antal mænd og kvinder fordelt på alder 0-9 år år år år år år år år år år år 110+ år Mænd Kvinder

16 E Individuelle elevbeskrivelser. Eleverne kan eksempelvis beskrive, at det af søjlediagrammet fremgår, at der er flest mænd og kvinder i alderen år. Generelt er der flere mænd end kvinder i hvert interval frem til 59 år, hvorefter der er flere kvinder end mænd. OPGAVE 22 Bemærk, at der i første udgave af MULTI 7 er en fejl i tabellen. Det samlede antal 16-årige drenge er 164 og ikke 154. A B C Individuelle statistiske elevbeskrivelser og illustrationer. Individuelle elevbeskrivelser. Individuelle tabeller og præsentationer. OPGAVE 23 A Individuelle elevbeskrivelser. Begge pindediagrammer indeholder samme oplysninger. Forskellen består i, at y-aksen er inddelt i mindre intervaller i det nederste pindediagram. Dette bevirker, at det bliver lettere at aflæse overskuddet. B C Begge pindediagrammer indeholder samme oplysninger, men det nederste diagram, med mindre intervaller på y-aksen, får overskuddet til at fremstå større. Derfor ville det være en fordel at vise dette til skolebestyrelsen. OPGAVE 24 A B C D Der er 21 elever i klassen. Individuelle elevbeskrivelser. På Hamsas søjlediagram er det muligt at aflæse, hvor mange elever (hyppigheden) der har henholdsvis 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 8 søskende. Dette er ikke muligt i Alis cirkeldiagram. Derimod kan eleverne argumentere for, at det med Alis cirkeldiagram er nemmere at sammenligne med andre klasser, hvor der eventuelt er et andet antal elever. Individuelle elevvurderinger. Individuelle elevbegrundelser.

17 Efterfølgende skal hver gruppes 10 opgaver løses af de øvrige elever i klassen. Det kan fx organiseres ved, at hele klassen arbejder samtidig med en gruppes opgaver. Hvis klassen fx er inddelt i fem grupper med fire til seks elever i hver, så kan eleverne fra den gruppe, der har stillet opgaverne, tage tid i de enkelte grupper. Når alle grupper har indsamlet deres data, så skal de ved hjælp af statistiske deskriptorer og grafiske illustrationer beskrive deres datasæt. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne på den første side arbejde med temaet: Hvor hurtig er din klasse til at regne?, og på den anden side skal de arbejde med evaluering af kapitlet. Det er vigtigt gennem arbejdet med undersøgelsen, at eleverne kan begrunde, hvorfor de har foretaget de enkelte valg. MATERIALER Stopur Digitalt værktøj EVALUERING Eleverne skal på denne side evaluere de mål, fagord og begreber, de har arbejdet med gennem kapitlet. PRINTARK U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik E5 Tal om statistik FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING DEL 1 A E Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, der har lært om. DEL 2 A B Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. TEMA: HVOR HURTIG ER DIN KLASSE TIL AT REGNE? DEL 1 Eleverne skal i dette tema undersøge, hvor hurtige de er til at regne. De enkelte grupper formulerer selv 10 forskellige opgaver, som de øvrige elever i klassen skal regne på tid. Grupperne formulerer ligeledes selv de regler, der gælder for løsning af opgaverne. I DEL 1, punkt B er der givet et eksempel på, hvordan reglerne kunne være, men det kan også være, at alt omregnes til tid, dvs. at fejl i løsning af opgaverne giver et antal strafsekunder, overskridelse af en aftalt tidsgrænse giver strafsekunder, hurtig løsning giver et antal bonussekunder, der trækkes fra den brugte tid osv. Eleverne kan bruge printarket U5 Hvor hurtigt regner du? - eller de kan lave deres eget skema med udgangspunkt i opstillede regler. DEL 3 A To forskellige elevvalgte intervalinddelinger. Anbefal gerne, at mindst én af inddelingerne indeholder intervaller, der ikke er lige lange. B Elevvalgte grafiske billeder af datasættet hørende til de to valgte inddelinger. C Elevernes egne vurderinger. D Typeintervallet. E Frekvensfordelingen. F Det ordnede datasæt er: 7, 7, 7, 8, 8, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 19, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 25, 28, 28, 29, 30, 32 Da der i alt er 33 observationer, består den øverste fjerdedel af 8 observationer. G Sumkurven hørende til en af de intervalinddelinger, eleven har valgt. H Kvartilsættet vil variere lidt alt efter den valgte intervalinddeling. Hvis vi betegner kvartilsættet med (a, b, c) er den information, der ligger i kvartilsættet følgende: Nedre kvartil fortæller, at 25 % af eleverne har en transporttid på a min. eller mindre.

18 Medianen fortæller, at 50 % af eleverne har en transporttid på b min. eller mindre. Øvre kvartil fortæller at 75 % af eleverne har en transporttid på c min. eller mindre. DEL 4 A D Individuelle elevforklaringer. Aktiviteten er for to til tre personer, og til aktiviteten skal benyttes arket Tal om statistik (E5). Alle kort klippes ud, og lægges med bagsiden opad. Datasættet øverst på arket E5.1 lægges på bordet, så alle i gruppen kan se det. Derefter udføres aktiviteten ud fra de regler, der er beskrevet i punkt C og D.

19 C Trappediagram med kvartilsættet indtegnet: MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejde med færdighedsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING TRÆN 1 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 A Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 12. B Variationsbredden er 12 3 = 9. C Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 4, 10, 10, 11, 12, 12. D Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 4, 7, 7, 9, 9, 11, 12. OPGAVE 2 A Herunder ses en tabel over den summerede hyppighed: Karameller x h(x) H(x) D Se trappediagrammet under punkt C. Kvartilsættet er (18, 20, 21). E Nikolaj skulle have samlet 22 karameller (eller derover) for at være i den bedste fjerdedel. OPGAVE 3 A Størsteværdi: 11 Mindsteværdi: 5 Middeltal: 7,77 Typetal: 7, 8 og 9. Variationsbredde: 6. B Hyppigheden af 5 er 2, dvs. der er to elever, som har sovet 5 timer. C Pindediagram over sovetiderne: B Gennemsnittet er 20 (20,05 for at være mere nøjagtig), så Nikolajs antal er under gennemsnittet. D Sovetiden 8 timer har en frekvens på 22,73 %.

20 OPGAVE 4 A Herunder ses en tabel over data inddelt i passende intervaller: ]70; ] ]65; 70] ]60; 65] ]55; 60] ]50; 55] ]45; 50] ]40; 45] Interval C Man vil ændre middeltal, hvis man tilføjer et tal mellem mindsteværdi og størsteværdi, som er forskelligt fra middeltallet. D Flere løsninger, fx 23, 23, 23, 24, 25, 40, 48, 75, 99 og 100. E Tallet plus 23 skal give det dobbelte af middeltallet, altså 96. Det andet tal skal derfor være 73. OPGAVE 2 Intervalhyppighed A C Flere løsninger, der afhænger af den valgte intervalinddeling. OPGAVE 3 Man kan selvfølgelig diskutere (og det bør man også gøre), hvad passende intervaller er. Resultaterne afhænger naturligvis af inddelingen. Her er valgt intervaller af længden 5. Se tabellen herover. De to vægte, der så at sige falder uden for normalen er samlet i intervaller ]70; ]. B Typeintervallet er ]60; 65]. C Et histogram over intervalfrekvenserne er igen afhængigt af den valgte intervalinddeling. A Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 9. OPGAVE 4 A Elevernes egne beskrivelser. B Flere diagramtyper er mulige. Her er løbetiderne angivet som funktion af antal år efter De slettede rekorder er ikke medtaget. OPGAVE 5 A Intervallængden er 5 år. I de sidste tre spørgsmål må man forvente nogen aflæsningsusikkerhed med deraf følgende unøjagtighed. B Det drejer sig om de sidste 7 søjler i diagrammet, aflæst til hhv. ca. 6,5 %, 9,9 %, 15,9 %, 19,5 %, 11,9 %, 3,9 % og 0,5 %. I alt ca. 68,2 %. C De første 3 søjler: 1,1 %, 1,4 % og 1,9 %. D 19,6 % af = C I tiåret OPGAVE 5 TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGAVE 1 A Der er flere muligheder, fx et datasæt med 29 tal, nemlig 23, 100 og 27 gange tallet 47. Under punkt D er angivet endnu en mulighed. B At tilføje tallet 48 (= datasættets middeltal) vil naturligvis ændre datasættets størrelse (og det er jo også en deskriptor), men ikke ændre på mindsteværdi, størsteværdi eller middeltal. A B C Elevernes beskrivelse af udviklingen i mænds højde. I 1987: 172,5 cm. I 2000: 174 cm. Ca. 7-8 cm.

21 D Elevernes egne beskrivelser af forskelle på de to diagramtyper (cirkeldiagram og pindediagram). OPGAVE 2 A Allan har scoret 5 mål. Af tabellen herunder ses, at for at komme i den øverste fjerdedel skal man have scoret 6 mål eller derover (3. kvartil). Altså ligger Allan ikke i den øverste fjerdedel. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På dette opslag skal eleverne arbejde med problemløsningsopgaver på to niveauer. Opgaverne handler om kapitlets emne. FACITLISTE OG UDDYBENDE VEJLEDNING TRÆN 1 PROBLEMLØSNING Mål x h(x) f(x) F(x) % 10 % % 20 % 3 (1. kvartil) 2 20 % 40 % 4 (2. kvartil/median) 2 20 % 60 % % 70 % 6 (3. kvartil) 1 10 % 80 % % 90 % % 100 % OPGAVE 1 A B Under forudsætning af, at ingen af eleverne har to eller flere fritidsinteresser, dækker de fem interesser 88 % af eleverne. Det vil sige, at 12 % af eleverne svarende til 3 elever ingen fritidsinteresser har. Hyppigheds- og frekvenstabel: OPGAVE 3 A Elevernes egne beskrivelser af udviklingen i kvinders højde. x h(x) f(x) Fodbold 8 32 % Spejder 4 16 % Floorball 2 8 % Håndbold 5 20 % Karate 3 12 % Ingen 3 12 % C Pindediagram: OPGAVE 4 A Herunder ses en tabel: x h(x) H(x) f(x) F(x) ,7 % 10,7 % 0, ,6 % 14,3 % 0, ,7 % 25 % 0, ,1 % 32,1 % 0, ,7 % 42,8 % 0, ,86 % 60,66 % 0, ,1 % 67,76 % 1, ,1 % 74,86 % 1, ,1 % 81,96 % 1, ,6 % 85,56 % 1, ,6 % 89,16 % 2, ,6 % 92,76 % 2, ,6 % 96,36 % 2,5 99,96 % ,6 % (100 %) B 1. kvartil: 0,25 Median: 0,5 3. kvartil: 1,2

22 C D E F Eleven tegner et grafisk billede af enten H(x) eller F(x). Det kan være et trappediagram, men man kan også vælge at gruppere observationerne og tegne en sumkurve. Aflæsning af kvartilsættet. Hvis der er tegnet en sumkurve, kan resultatet afvige fra punkt B. Hvis der er tegnet et trappediagram, vil resultatet være som i punkt B. 0,3 liter. Da medianen er 0,5, har Olav ikke ret. B Det tilhørende histogram er: OPGAVE 5 A Peter har tegnet en graf for en lineær funktion, der afbilder antallet af syge elever (y) som funktion af antallet af sygedage (x). Der er intet, der taler for, at en sådan sammenhæng skulle eksistere. Desuden skifter enheden på x-aksen undervejs: mellem 4 og 5 er afstanden på x-aksen den samme som mellem 7 og 9 og mellem 9 og 12. B Elevernes egne grafiske billeder (fx et pindediagram eller et histogram). De afmærkede punkter på den vandrette akse er: 0, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 200, 300 og 400 ha. De 1,2 % af landbrugene, der er større end 400 ha, vil ikke kunne ses på figuren. C Intervallerne er ikke lige lange, og derfor har rektanglerne forskellige længder. Højden er fundet ved at dividere hyppigheden af intervallet med intervallængden. OPGAVE 3 TRÆN 2 PROBLEMLØSNING OPGAVE 1 A Elevernes egne beskrivelser af oplysninger fra skemaet. B Eleverne fremstiller tre grafiske illustrationer med udgangspunkt i skemaet. C Elevernes egne beskrivelser af udviklingen i antal tilskadekomne cyklister mellem 0 og 24 år. OPGAVE 2 A Fordelingen (intervalfrekvensen) af landbrug på de oplyste arealstørrelser fremgår af denne tabel: A Figuren viser, hvad der tilsyneladende er begyndelsen på et trappediagram. Et trappediagram skal ende på 100 % - det sker ikke her. Det kan heller ikke være en del af trappediagrammet hørende til hyppighederne i tabellen, selvom x-værdierne passer. Hvis det var tilfældet, skulle springene i diagrammet svare til hyppighederne i tabellen, og det er ikke tilfældet: x h(x) Spring i grafen Areal i hektar Antal landbrug Procent af alle landbrug 0,1 29,9 ha ,9 % 30,0 49,9 ha ,9 % 50,0 59,9 ha 328 4,2 % 60,0 74,9 ha 437 5,6 % 75,0 99,9 ha 536 6,8 % ,9 ha ,4 % ,9 ha 477 6,1 % ,9 ha 410 5,2 % ,9 ha 143 1,8 % 400 ha og derover 95 1,2 %