Undersøgelse af de økonomiske konsekvenser ved parallel indsamling af organisk og restaffald samt obligatorisk 14-dages tømning.

Vejleder: Sanne Wøhlk Forfattere: Jesper Lervad Pedersen Kenneth Bach Villadsen Undersøgelse af de økonomiske konsekvenser ved parallel indsamling af organisk og restaffald samt obligatorisk 14-dages tømning. Case study Reno Djurs Kandidatafhandling Business and Social Sciences, Aarhus University August 2013

Executive Summary As a consequence of the waste framework directive of the European Union, the Danish government is expected to make a new resource strategy public in the summer of 2013. The resource strategy is expected to raise the recycling demands on municipal waste. Each municipality can decide on their own how the target of 45-55% recycling of municipal waste is reached. One way to reach this is by increase the level of sorting at the source. The municipally owned waste company Reno Djurs I/S wanted help at assessing the economic consequences of sorting organic waste from the residual waste at the source. At the same time the thesis examines the consequence of introducing a mandatory fortnight collection scheme, which would replace the various schemes in place today. By separating organic waste from residual waste it might be beneficial to collect the fractions with double chambered trucks. Djursland is composed of various types of residencies and summer houses. The summer houses are omitted in this thesis, since the collection schemes are much more complicated than other residencies. To evaluate these questions a memetic algorithmic route planning model has been constructed. The objective of the algorithm is to minimize transportation costs and number of routes. The algorithm runs for roughly 1 hour to generate results. The introduction of a mandatory fortnight collection scheme will reduce the kilometers per bin collection by 14.4 %. Citizens already on a fortnight collection scheme will see a reduction in the annual fee of 3-6 % depending on their current bin size. Citizens on a weekly collection scheme will save 6-12% annually, with the exception of citizens with a bin size of 140 or 240 liter Their annual fee will increase by 6-8 %. If sorting of organic waste is implemented at the same time as the fortnight collection scheme, then the annual fee for citizens on a weekly scheme will increase by 12-30 %. And citizens already on a fortnight scheme will see an increase of 23-73 %. Our thesis contributes to increased knowledge about the consequences of a simplified collection scheme for the citizens and the contractor, including the consequences of source sorting organic waste. Thereby the thesis can be used for a further assessment of collection schemes and source sorting of other fractions of waste.

Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 1 1.1 Virksomhedsbeskrivelse... 1 1.2 Case beskrivelse... 2 1.3 Problemformulering... 6 1.4 Metode... 6 1.5 Forudsætninger... 7 1.6 Afgrænsning... 8 1.7 Opbygning af opgaven... 9 2. Litteraturgennemgang... 9 2.1 Waste Management litteratur... 10 2.2 Problemanskuelse... 11 2.3 Beregningskompleksitet... 14 2.4 Løsningsmetoder... 15 2.4.1 Matematisk programmering... 15 2.4.2 Konstruktionsheuristikker... 16 2.4.3 Metaheuristikker... 17 2.4.4 Begrænsninger... 18 3. Anvendt litteratur... 19 3.1 Konstruktionsheuristikker... 19 3.1.1 Path Scanning... 20 3.1.2 Sweep algoritme... 20 3.2 Split og Flip algoritme... 21 3.3 Evolutionære algoritmer... 22 3.4 Genetisk algoritme... 23 3.4.1 Initial population... 24 3.4.2 Valg af forældre... 24 3.4.3 Crossover... 25 3.4.4 Mutation... 27 3.4.5 Ny population... 27 3.5 Memetisk algoritme... 28 4. Empiri... 29 4.1 Indledende databehandling... 30 4.2 Databehandling af distancematricen... 31

4.3 Efterspørgsel og spandetype... 32 5. Modelopbygning... 34 5.1 Design af modellen... 35 5.2 Begrænsninger i modellen... 36 5.3 Konstruktion af mulige løsninger... 37 5.4 Den genetiske algoritme i praksis... 40 5.4.1 Valg af forældre... 41 5.4.2 Crossover... 41 5.4.3 Mutationer... 43 5.4.4 Random immigrant strategy... 44 5.5 Split & Flip... 44 5.6 Deadheading... 46 5.7 Reparations- og forbedringsheuristikker... 46 5.7.1 Worst removal heuristik... 47 5.7.2 Random removal heuristik... 47 5.7.3 Best insertion heuristik... 47 5.7.4 Similarity heuristik... 49 5.7.5 Slack... 50 5.7.6 Reparation... 50 5.8 Tuning af modellen... 50 5.8.1 Mindste besparelse... 52 5.8.2 Antal tjeks... 52 5.8.3 Mutations sekvens... 53 5.8.4 Antal mutationer... 54 5.8.5 Valg af crossover... 54 5.8.6 Valg af forældre... 55 5.8.7 Afstand til forrige node... 55 5.8.8 Valg af heuristikker... 55 5.8.9 Test af Tuning... 58 6. Analyse... 59 6.1 Estimat af transportomkostninger i 0-scenarie... 60 6.2 Konsekvenser af henholdsvis tvungen 14-dages tømning og KOD... 61 6.3 Resultater fra den memetiske algoritme... 62 6.4 Indførsel af dobbeltkammerbiler... 65

6.4.1 Én dobbeltkammerbil... 65 6.4.2 To dobbeltkammerbiler... 67 6.4.3 Udelukkende dobbeltkammerbiler... 69 6.5 Opsummering af resultater... 71 6.6 Vurdering af model... 74 7. Scenarieanalyse... 77 7.1 Ændringer i fyldningsgraden... 78 7.2 Etablering af biogasanlæg på Djursland... 78 8. Konklusion... 80 9. Perspektivering... 82 10. Bibliografi... 83

1. Indledning Som en konsekvens af EU s affaldsdirektiv offentliggør regeringen snarest en ny ressourcestrategi. Ressourcestrategien forventes at have fokus på øget genanvendelse af blandt andet restaffald fra husholdninger og dermed indirekte krav til en meget skrappere sortering af affaldet. Et af strategiens fokusområder vil være frasortering af det organiske materiale fra dagrenovationen til brug i for eksempel biogasanlæg. Her vil fosfor og andre mineraler kunne blive ført tilbage til jorden 1. Det er dog op til de enkelte kommuner at finde en måde, hvorpå de opstillede krav kan opfyldes. Renovationsfirmaet Reno Djurs I/S har, i et forsøg på at imødegå disse ændringer, ønsket hjælp til at vurdere de økonomiske konsekvenser en øget kildesortering af affaldet vil have, og har i den sammenhæng udbudt en række projekter til kandidatstuderende på handelshøjskolen i Århus. Et oplagt sted at tage fat er ved den organiske del af restaffaldet, da dette udgør en stor del af den samlede affaldsmængde. Andre affaldsfraktioner udgør en relativt lille del af rest affaldet, så i forhold til øget genanvendelse vil kildesortering af disse ikke kunne give en tilsvarende effekt. Dette projekt vil omhandle konsekvenserne ved frasortering af organisk materiale fra husholdningsaffaldet for helårsboliger samt indførelse af en obligatorisk 14-dages tømning i stedet for de 2 ordninger, der findes i dag. Obligatorisk 14-dages tømning vil mindske kompleksiteten i indsamlingen af affaldet for vognmanden, da han derfor kun skal servicere hvert vejstykke en gang hver 14. dag for hver type affald i stedet for flere gange, som det er tilfældet nu. 1.1 Virksomhedsbeskrivelse Reno Djurs I/S er et fælleskommunalt affaldsselskab med Norddjurs og Syddjurs som interessenter, der forvalter indsamling af affald i Norddjurs og Syddjurs kommuner. Reno Djurs I/S har til opgave at varetage kommunernes affaldsbortskaffelse, og selskabet skal sikre behandlingskapacitet for affald til både genanvendelse, forbrænding og deponi. I praksis har Reno Djurs I/S ansvaret for drift af dagrenovationsordningen og de 9 genbrugsstationer i de 2 kommuner. Derudover driver Reno Djurs I/S en tømningsordning for bundfældningstanke, olie- og benzinudskillere og fedtudskillere. Reno Djurs I/S driver også behandlingsanlægget i Glatved, hvor man har deponi, depoter til jord, mellemdepot for brændbart affald, komposteringsanlæg for haveaffald og sorteringsanlæg. Samtidig driver de 10 genbrugsstationer på Djursland og Anholt. Reno Djurs I/S opererer efter hvile-i-sigselv princippet, hvor der ikke må genereres underskud eller overskud, da det vil yde tilskud til eller 1 Bilag 1 Kopi af http://ing.dk/artikel/auken-laegger-op-til-ny-kurs-haandtering-af-affald-136821 Side 1 af 85

beskatte borgerne. Reno Djurs udgifter til affaldsbortskaffelse er i hovedtræk 4-delte: Udgifter til indsamling, behandling, statsafgifter og administration/information 2. Reno Djurs I/S primære opgave er indsamling af dagrenovation fra private og virksomheder på Djursland. Her tilbyder Reno Djurs I/S flere forskellige størrelser af affaldsspande samt forskellige tømningsfrekvenser. Indsamlingen af dagrenovation er udliciteret til Miljøteam A/S, som blev stiftet i år 2000, og som varetager mange opgaver i Jylland; bl.a. i Randers, Ålborg, Vejle og på Djursland. Som et tillæg til dagrenovationsordningen tilbyder Reno Djurs også deres husstande en gratis papirordning, hvor husstanden får stillet en spand til rådighed til frasortering af genanvendeligt papiraffald. Prisen for ydelsen er indeholdt i grundgebyret. Denne ordning har efter 10 år sparet Reno Djurs abonnenter for omkring 20 millioner kroner 3. 1.2 Case beskrivelse Dette speciale omhandler scenarie B fra Idekataloget (Econet 2012). Scenarie B svarer til den nuværende dagrenovationsordning, men suppleret med en ordning for indsamling af kildesorteret organisk dagrenovation (KOD). Samtidig ønsker Reno Djurs I/S at undersøge konsekvensen ved obligatorisk 14-dages tømning. For nuværende indsamler Reno Djurs affald i enkeltkammerbiler, men ved indførsel af KOD og tvungen 14- dages tømning vil alle husstande have to typer affald og samme tømningsinterval, hvorfor indsamling med flerkammerbiler muligvis er fordelagtigt. MiljøTeam A/S benytter flerkammerbiler i blandt andet Randers, hvor flere ressourcer indsamles af samme bil 4. Den aktuelle dagrenovationsordning giver beboere i helårsboliger mulighed for at vælge mellem ugentlig tømning eller 14-dages tømning. Priserne for ordningen består af et årligt grundgebyr på 1.094,- kr. inklusiv moms, og dertil kommer et individuelt forbrugsgebyr for restaffald. Grundgebyret er ens for alle beboere i helårsboliger, og det dækker drift af genbrugsstationer, kuber til papir og flasker, husstandsindsamling af papir og pap, kompostbeholderordning, administration og information. Af Tabel 1 på næste side fremgår det, at Reno Djurs har en basal afregningsmetode, hvor man afregner efter antal tømninger og mængden af affald. Således er forbrugsgebyret for ugetømning præcis dobbelt så dyrt som 14-dages tømning for forbrugerne. 2 Kan findes i filen Affaldsplan 2009-2020 sammenfatning.pdf 3 Information fra fællesmøde med Miljøchef Hardy Mikkelsen, Reno Djurs I/S 4 Information fra fællesmøde hos MiljøTeam Side 2 af 85

Beholdertype Tømningsfrekvens Forbrugsgebyr for restaffald Grundgebyr Samlet årligt gebyr 140 liter spand 14-dages tømning 738 1.094 1.832 140 liter spand Ugetømning 1.476 1.094 2.570 240 liter spand 14-dages tømning 933 1.094 2.027 240 liter spand Ugetømning 1.866 1.094 2.960 400 liter spand 14-dages tømning 1.807 1.094 2.901 400 liter spand Ugetømning 3.614 1.094 4.708 600 liter spand 14-dages tømning 2.256 1.094 3.350 600 liter spand Ugetømning 4.513 1.094 5.607 Tabel 1: Oversigt over forbrugsgebyr for restaffald fra helårsboliger 5 Reno Djurs har delt Djursland op i 4 forskellige områder, hvoraf vi er blevet tildelt data fra område 3. Område 3 dækker det sydøstlige Djursland, der før kommunesammenlægningerne i 2007 hed Ebeltoft Kommune 6. Område 3 indeholder 14.316 husstande, hvoraf de 6.207 er tilmeldt en ordning for helårsboliger. Heraf vil der dog være en række institutioner samt virksomheder, men da vi ikke har haft mulighed for at frasortere disse, vil de blive behandlet som almindelige helårsboliger. I Figur 1 på næste side er de 6.207 afhentningssteder og de dertilhørende 2.252 vejstykker plottet ind på et kort over Djursland. Samtidig er Bysvinget, hvorfra MiljøTeams skraldebiler kører ud fra, og Glatved, hvor skraldebilerne kan omlastes, også plottet ind. 5 Kan findes i filen Affaldsguide_2013.pdf 6 Kan findes i filen Udbudsmateriale for dagrenovation 2007 SB.pdf Side 3 af 85

Figur 1 - Plot over vejstykker med efterspørgsel Egen tilvirkning Som man kan se på plottet, er det kun i Ebeltoft og ud til Ebeltoft vig, at der er en stor koncentration af helårsboliger, mens de resterende helårsboliger overvejende er spredt ud over hele det sydøstlige Djursland. Reno Djurs I/S arbejder med 3 definitioner på områder: landområde, provins og storbyområde. Der er således også tre typer af ruter, en for hver type af område. Rutetypen har en betydning, når brændstofforbruget udregnes. En lastbil bruger mest brændstof på en byrute pr kørt kilometer, da den sammenlignet med en landrute skal starte og stoppe ofte. Samtidig vil en landrute normalt være længere end en byrute, da man bor mere spredt på landet, og lastbilen derved skal køre længere for at nå det af akkorden krævede antal tømninger. Af plottet i Figur 1 fremgår det ligeledes, at Glatved ligger noget afsides i forhold til indsamlingsområdet. Glatved kommer i dette scenarie til at fungere som omlastningssted. Det får en betydning, idet affaldet både skal køres dertil for at omlastes, og derefter køres til Århus eller Komtek Vejen. Indsamlingsdata fra Reno Djurs består som tidligere beskrevet af 6.207 afhentningsadresser med dertilhørende efterspørgsel. Disse adresser er ved hjælp af et geografisk informationssystem blevet plottet ind på vejstykker i en graf med 7.551 noder forbundet af 8.872 vejstykker. Ud over dette modtog vi af vores vejleder, Sanne Wøhlk, en komplet distancematrice indeholdende den korteste distance mellem alle noder Side 4 af 85

samt et predecessor ark, der definerer hvilke noder man besøger på den korteste distance mellem to noder 7. Som følge af EU's affaldsdirektiv skulle der senest den 1. januar 2013 være udarbejdet en national affaldshåndteringsplan kaldet ressourcestrategien. Ressourcestrategien skal sammen med de kommunale affaldshåndteringsplaner opfylde Danmarks forpligtelser i forhold til affaldsdirektivet. Ressourcestrategien er dog endnu en gang blevet forsinket. Det fremgår af en orientering til folketingets miljøudvalg, at den først forventes at blive sendt i høring efter sommerferien 8. De kommunale affaldshåndteringsplaner skal udarbejdes på baggrund af den nationale affaldshåndteringsplan, så fristen for de kommunale planer er også blevet skudt fra d. 1. januar 2014 til d. 1. oktober 2014. Det bekendtgøres i EU s affaldsdirektiv artikel 11 styk 2, at medlemsstaterne senest i 2020 skal øge genanvendelsen af alt husholdningsaffald til samlet mindst 50 vægtprocent 9. De seneste tal fra Miljøministeriet viser, at Danmark genanvender 38 % af husholdningsaffaldet, mens 54 % forbrændes og den resterende del bliver deponeret 10. Hos Reno Djurs genanvendte man i 2010 blot 24 % af dagrenovationen (Idekatalog - Ordninger for dagrenovation). En implementering af scenarie B vil ifølge Idekataloget øge den teoretiske genanvendelsesgrad af dagrenovationen med 25 procentpoint til 49 %. Man bliver målt på den teoretiske genanvendelsesgrad, selvom den reelle genanvendelse ligger lavere. Dermed vil genanvendelsesgraden med indførsel af KOD formegentlig ligge inden for det interval på 45-55 % 11, som regeringen ventes at bruge i ressourcestrategien I dag sendes restaffald til forbrændingsanlæg, hvor man producerer fjernvarme. Men for at nå en genanvendelsesgrad på omkring de 50 %, er det nødvendigt at sende det organiske affald til biogasanlæg, hvor det bioforgasses. Når biologisk materiale opvarmes, afgiver det gasser, som kan brænde. I modsætning til forbrænding, kan man ved biogasanlæg udvinde og lagre disse gasser. Fordelen ved bioforgasning er, at biogas har langt flere anvendelsesmuligheder, og at næringsstofferne kan føres tilbage i jorden. 7 Disse informationer kan findes i filen Pred.xlsx 8 Kan findes i filen Orientering til Miljøudvalg.pdf 9 Kan findes på i filen Europaparlamentets og rådets direktiv 2008-98-EF.pdf 10 Kan findes i filen Orientering om affaldsstatistik 2011.pdf 11 Information fra Miljøchef Hardy Mikkelsen, Reno Djurs. Side 5 af 85

1.3 Problemformulering Regeringens kommende ressourcestrategi lægger op til en øget genanvendelse af dagrenovationen. Dette vil betyde, at kildesorteringen skal øges for at opnå en tilstrækkelig genanvendelsesprocent. Et af de mulige scenarier er at skille det organiske affald fra restaffaldet. Problemet er, at Reno Djurs ikke kender de økonomiske konsekvenser af denne ændring, fordi indsamlingen er udliciteret til 3. part, og fordi man ikke tidligere har forsøgt sig med kildesortering af organisk affald. Svaret på dette spørgsmål kan have stor betydning for, hvordan Reno Djurs fremover vil udlicitere indsamlingen af dagrenovation, og hvordan man bedst muligt udnytter de tilgængelige økonomiske ressourcer. Hvis man kildesorterer organisk- og restaffald, kan det være aktuelt at indsamle affald med dobbeltkammerbiler. Vi agter at undersøge, om det er økonomisk tilrådeligt at benytte dobbeltkammerbiler i indsamlingen af dagrenovationen. Under ovenstående problemstilling vil følgende hovedspørgsmål søges besvaret Hovedspørgsmålet: Hvilke økonomiske konsekvenser vil tvungen 14-dages tømning og KOD få for borgere i helårsboliger? Ydermere vil følgende underspørgsmål behandles i besvarelsen af hovedspørgsmålet: Hvordan påvirkes forbrugsgebyret ved tvungen 14-dages tømning? Hvordan påvirkes forbrugsgebyret ved indførsel af KOD parallelt med indførsel af tvungen 14-dages tømning? Vil indsamling af KOD gøre brugen af dobbeltkammerbiler fordelagtig? Hvor robust er løsningen ved ændringer i fyldningsgraden? Hvilke konsekvenser vil etableringen af et biogasanlæg på Djursland have? Svarene på disse spørgsmål kan danne grundlag for Reno Djurs overvejelser omkring en højere genanvendelsesprocent samt lavere kompleksitet i ruteplanlægningen. 1.4 Metode Specialet bygger på den del af videnskabsteorien, der hedder positivisme. Det vil sige, at kun det, der kan iagttages og måles, inddrages i opgaven. Afhandlingen er empirisk idet den er baseret på et case study af affaldsindsamlingen på Djursland. Derfor benyttes både litteratur og empiri til undersøgelse af problemstillingen. Side 6 af 85

Det empiriske datagrundlag bliver brugt som input i en ruteplanlægningsmodel, der herefter løser problemet ud fra et mål om at minimere den totale distance. Det empiriske datagrundlag er todelt. Den ene del rummer information om vejnetværket samt distancer mellem noderne i netværket. Kvaliteten af dette data er høj, idet kanterne i grafen svarer præcist til vejene på Djursland. Eneste mangel er, at grafen er uorienteret, hvilket betyder at ensrettede gader f.eks ikke er angivet. Det er dog ikke nødvendigt for at kunne konstruere ruter, der er brugbare i en analyse. Den anden del af datagrundlaget indeholder detaljeret information om husstande tilmeldt en tømningsordning ved Reno Djurs. Det inkluderer deres adresse, tilmeldt tømningsfrekvens, ugedag for tømning, spandetype og antal spande på adressen. Med dette data er det muligt at konstruere ruter, som ville kunne bruges i virkeligheden i forhold til mængden af dagrenovation og antal tømninger på hver enkelt rute i en løsning. Der har således ikke været behov for indsamling af supplerende data. 1.5 Forudsætninger Det forudsættes, at alle helårsboliger vil blive tvunget med i både 14-dages ordningen samt KOD, og at alle husstande har plads til en ekstra spand til kildesorteret organisk affald, da det er nødvendigt at have så mange med som muligt for at få det fulde udbytte af sorteringen. Som i (Econet 2012) forudsættes det at affald, der ikke indsamles som kildesorteret materiale, indsamles sammen med restaffald. Restaffaldet er derfor en sammensætning af papir, karton, plast, glas, metal og organisk affald. Andelen af disse fraktioner i restaffaldet afhænger af, hvor effektivt indsamlingssystemet er til at opsamle dem separat. Det forudsættes, at husstandene er i stand til at sortere organisk dagrenovation 100 % korrekt. Det forudsættes at antallet af ruter skal minimeres, da et stort antal ruter vil gå ud over den enkelte skraldemands akkord. Akkorden er 1050 tømninger i ugen per skraldemand 12 og dermed 210 tømninger per dag/rute. Desuden vil flere ruter også betyde, at man skal have adgang til flere skraldebiler og dermed øgede omkostninger. Derfor vil antallet af ruter kontinuerligt minimeres. Vi anskuer Djursland som et landområde, selvom Ebeltoft måske kunne betegnes som en provinsby, men da Ebeltoft kun er en forholdsvis lille del af det samlede område, vil hele området behandles som landområde. I forhold til brændstofforbruget er det billigst at indsamle fra landområder, da skraldebilen 12 Information fra møde med MiljøTeam A/S Side 7 af 85

ikke konstant skal starte og stoppe. Da det hele anses som et landområde, er der også kun en mand i skraldebilen, hvilket giver en kapacitet på 210 tømninger. Det forudsættes at alle ruter starter ved Bysvinget 1 i Ebeltoft, som er vognmandens adresse, og alle ruter afsluttes ved Reno Djurs anlæg i Glatved. Vi forudsætter en deterministisk fyldningsgrad af affaldsspandene i opgaven på 75 % 13, som er et skøn foretaget ud fra en måling fra marts 2013. Senere i opgaven vil vi dog vurdere, hvor robust vores løsning er ved udsving af denne fyldningsgrad, da vi ikke er overbeviste om præcisionen af denne. Det forudsættes at den nuværende 110 liters sæk udfases på grund af arbejdsmiljørelaterede problemer med tømningen af disse 14. Det forudsættes, at husstandenes restaffaldsspand er fuldt afskrevet, også hvis restaffaldspanden skiftes ud med en spand med mindre eller større kapacitet. Med mindre andet er angivet er alle priser opgivet inklusiv afgifter og eksklusiv moms. 1.6 Afgrænsning Denne afhandling vil have fokus på at optimere transportomkostningerne, hvorfor der afgrænses fra en række områder. Der vil ikke tages højde for, hvordan Miljø Teams nuværende flåde af fartøjer er sammensat, og om de reelt har mulighed for at følge vores anbefalinger, eller om det vil kræve investeringer i nye biler. Derudover afgrænses der fra udregning af finansieringsomkostninger og afskrivninger ved indkøb af eventuelle nye biler. Der afgrænses fra udregning af distancen, som MiljøTeams biler kører, når de returnerer fra omlastning i Glatved eller aflastning i Århus. I opbygningen af vores model vil der ikke blive taget højde for, om de ruter der bliver skabt, er mulige at udføre indenfor en normal arbejdsdag. Der vil dog efterfølgende blive foretaget en kontrol, der skal afgøre om den kørte distance inklusiv tider for indsamling og omlastning vil kunne lade sig gøre. Indsamlingsdata omfatter nogle afhentningsadresser, der er defineret som granater, og som ikke kan plottes ind i vores graf, da de ikke har nogen specifik adresse. En granat er en restaffaldsspand, der står 13 Kan findes i filen Vægtfylder af forskellige affaldsfraktioner.doc udleveret af Reno Djurs I/S 14 Information fra fællesmøde med Hardy Mikkelsen, Miljøchef Reno Djurs I/S Side 8 af 85

sammen med en affaldskube til glas, papir eller andre ressourcer, hvorfor den burde blive tømt af en af skraldebilerne. Da det ikke har været muligt at knytte dem til et specifikt vejstykke, er de udeladt i denne opgave. Det totale antal af granater i vores tildelte område er kun 51, hvorfor det ikke bør have nogen signifikant indflydelse på de endelige resultater. 1.7 Opbygning af opgaven Efter at have beskrevet vores problemstilling, samt hvilke områder af denne vi ønsker at undersøge, vil vi i anden del af opgaven først beskrive litteraturen omkring skraldeindsamling og dernæst litteraturen omkring forskellige løsningsmodeller, der tidligere er blevet benyttet på lignende problemer. Herefter vil vi beskrive den anvendte litteratur og hvorfor den anvendes. I tredje del af opgaven bearbejder vi vores datagrundlag således, at det kan danne grundlag for en ruteplanlægningsmodel, og herefter beskriver vi, hvordan vi har opbygget vores ruteplanlægningsmodel baseret på en memetisk algoritme. I fjerde del af opgaven beskriver vi resultaterne fra vores ruteplanlægningsmodel i forskellige scenarier, og her giver vi også svarene på spørgsmålene fra vores problemformulering. Opgaven afrundes med en konklusion og en perspektivering til andre områder af problemstillingen, som kunne have været undersøgt. 2. Litteraturgennemgang Følgende afsnit vil kort forklare begreberne Green Logistics, Reverse Logistics og Waste Management, men fordi denne opgave primært omhandler Waste management vil litteraturen omkring dette emne blive behandlet mere tilbundsgående i afsnit 2.1 og fremefter. Den tilgængelige litteratur spænder over flere emner inden for Green Logistics. Green Logistics går ud på at producere og distribuere varer på en bæredygtig måde, mens der tages hensyn til miljømæssige og sociale faktorer. Dermed er man i Green Logistics også opmærksom på påvirkningen af samfundet som helhed (Sbihi, Eglese 2010). Green Logistics er for eksempel målingen af den miljømæssige påvirkning af forskellige distributionsstrategier, reduktion af energiforbruget, reduktion af affald samt behandling af affaldet. Reverse Logistics er en del af Green Logistics, og der findes flere forskellige definitioner af begrebet. Et af dem stammer fra den europæiske arbejdsgruppe for Reverse Logistics REVLOG, der beskriver Reverse Logistics som: The process of planning, implementing and controlling backward flows of raw materials, in process inventory, packaging and finished goods, from a manufacturing, distribution or use point, to a point of recovery or point of proper disposal (Dekker 2004). I Reverse Logistics er der således et flow af produkter eller varer fra kunden tilbage til et tidligere led i forsyningskæden. Begrebet er ofte brugt i forbindelse med anskaffelse af f.eks. hårde hvidevarer, hvor Side 9 af 85

sælger ofte tilbyder kunden at medtage evt. gamle produkter. Reverse Logistics er forskellig fra Waste Management, idet man fokuserer på at produktet tillægges værdi ved at blive tilbagebragt. Når man har genanvendelse som et mål i Waste Management, kan de to ting dog godt sammenlignes da genanvendelse af affald i nogle tilfælde tillægger affaldet ekstra værdi. 2.1 Waste Management litteratur Begrebet Waste Management dækker mange aspekter af affaldshåndteringen. Den tilgængelige litteratur dækker områder som indsamling, transport, behandling, genbrug, deponi og overvågning af farligt affald. Fokus for gennemgangen af litteraturen er naturligvis indsamling af dagsrenovation. Indsamlingen er den dyreste del af affaldshåndteringen, fordi indsamlingen kræver stor mængde arbejdskraft, og på grund af behovet for skraldebiler under indsamlingen. Ifølge (Or, Curi 1993) udgør indsamlingsdelen omkring 80 % af alle omkostninger i affaldshåndteringen. Det følgende afsnit vil indeholde en gennemgang af Waste Management litteraturen Ruteplanlægningen foretages ofte af chaufførerne selv, da man forudsætter, at chaufførerne bedst vil være i stand til at minimere den tid de bruger på vejene. I forbindelse med øgede krav til effektivisering er der opstået et behov for mere effektiv affaldsindsamling, hvorfor der er også er opstået en større videnskabelig interesse for emnet (Belien, De Boeck et al. 2011). Målet for effektivisering af indsamlingen er typisk rutens længde, omkostninger eller antal køretøjer. Minimering af antal køretøjer er specielt anvendeligt, når man har en begrænset flåde til rådighed. Ved at fokusere på denne målsætning, kan man reducere investeringer i nye lastbiler. Det er dog ikke sikkert, at omkostningerne bliver minimeret på denne måde. For eksempel kan medarbejderne risikere overtidsarbejde på grund af en stram kapacitetsbegrænsning på antallet af lastbiler. Det kan også være dyrt at investere i nyt materiel, hvorfor minimering af antal køretøjer kan være nødvendig. I artiklen af (Bianchessi, Giovanni 2003) minimeres der eksempelvis på antallet af køretøjer samt den totale distance. Minimeringen af antallet af køretøjer opnås ved, at der i forbedringsheuristikkerne ikke er mulighed for at tilføje ekstra ruter til løsningen, mens de i konstruktionsheuristikkerne har en grådig tilgang, hvor bilerne fyldes op. Alternativt kan man vælge udelukkende at effektivisere på den totale distance kørt og dermed vælge ikke at se på de ekstra omkostninger en ekstra skraldebil vil medføre. Dette er en god metode, hvis man ved at antallet af biler ikke umiddelbart er en restriktion, men at udgifterne til både skraldemænd og brændstof er høje. Endelig kan man vælge at bruge de samlede omkostninger som objektfunktion. En af de store fordele ved at bruge omkostninger som objektfunktion er, at omkostninger kan dække over flere forskellige forhold Side 10 af 85

hvilket blandt andet kan ses i artiklen af (Kulcar 1996) - dog i forbindelse med både ruteplanlægning og placering af depoter og behandlingssteder. Der findes også en helt anden type objektfunktion, som ikke er baseret på omkostninger. I stedet fordeles arbejdsindsatsen ligeligt mellem skraldemændene. Typisk vil nogle ruter være meget længere end andre, fordi de indsamler ved husstande, der er placeret i områder med meget lav befolkningstæthed, og disse vil selvfølgelig tage længere tid at gennemføre. En mulig løsning er at sammenholde antallet af tømninger per kilometer kørt for de forskellige ruter, så ruternes længde udjævnes. Denne tilgang benyttes i artiklen af (Sahoo, Kim et al. 2005). 2.2 Problemanskuelse Indsamling af dagsrenovation indebærer som oftest besøg hos et stort antal husstande, som alle har en relativ lav affaldsmængde. Derfor er det mest nærliggende at anskue problemet som en variation af Chinese Postman Problem (CPP) og Rural Postman Problem (RPP), som er kategoriseret som Arc Routing Problems. CPP finder den korteste rute med ét køretøj med ubegrænset kapacitet, som servicerer alle kanter i netværket, mens RPP kun servicerer en given mængde af kanterne i netværket, dog også uden nogen form for kapacitetsbegrænsning. Problemet er, at disse forudsætninger ikke er egnet til indsamling af dagsrenovation på grund af den ubegrænsede kapacitet. I stedet anskues problemet som et Capacitated Arc Routing Problem (CARP). Der findes adskillige udvidelser til CARP, og nedenfor vil vi gennemgå nogle af de mest anvendte for at finde den variation, der bedst kan benyttes på problemstillingen i denne opgave. Problemanskuelsen har nemlig en betydning for, hvilke metoder der bedst løser problemstillingen. CARP benyttes blandt andet ved skraldeindsamling og snerydning. Den mest basale form for CARP indeholder en flåde af identiske biler med begrænset kapacitet med base ved en depotnode. Grafen består af et u-orienteret netværk, hvor hver kant er et vejstykke, og hvor begge sider behandles parallelt og i enhver retning af samme lastbil. Hver kant kan traverseres et ubegrænset antal gange med en kendt omkostning. Nogle kanter skal traverseres, da de har en efterspørgsel, mens andre kanter ikke behøver at blive traverseret. Målet for CARP er at bestemme et sæt ruter med mindst mulige totale omkostning, hvor hver enkelt rute starter og slutter ved depotet, hver kant med efterspørgsel serviceres af én bil, og den totale efterspørgsel på en rute passer til kapacitetsbegrænsningen på bilen. Side 11 af 85

Matematisk formulering af CARP som udfærdiget af (Golden, Wong 1980): ( ) { } Hvor n = antallet af noder. K = antallet af tilgængelige køretøjer q ij = efterspørgsel på kant (i,j) W = bilens kapacitet W max q ij c ij = længden af kant (i,j) = 1, hvis kant(i,j) traverseres af bil p, og 0 hvis ikke = 1, hvis bil p servicerer kant (i,j), og 0 hvis ikke z = det mindste heltal større end eller lig med z Objektfunktionen (1) minimerer den totale distance kørt. Begrænsning (2) sikrer en sammenhængende rute, så hvis en bil entrerer en node, skal den også forlade den igen. Begrænsning (3) sikrer, at et vejstykke kun serviceres en gang, idet højre side af ligningen giver 1, hvis kanten har en efterspørgsel, og 0, hvis ikke. Dermed vil kun én bil servicere en given kant, og kun den ene vej. Side 12 af 85

Begrænsning (4) sikrer, at kant (i,j) kun serviceres af bil p, hvis bilen rent faktisk kører på kanten. Bilens kapacitet overskrides ikke på grund af begrænsning (5). Ligningerne i (6) forhindrer dannelsen af ulovlige subtours, og (7) er en heltalsbegrænsning. Extended CARP (ECARP) beskrevet af (Lacomme, Prins et al. 2004) kan håndtere en række udvidelser så som to omkostninger per kant, for eksempel deadheading og indsamling, samt forbudte vendinger/sving og straf for venstresving. ECARP giver mulighed for at modellere to slags veje uden efterspørgsel, og tre slags veje med efterspørgsel. Veje uden efterspørgsel er modelleret som en af følgende: En kant (ensrettet gade) To modsatrettede kanter (veje, der kan traverseres i begge retninger). Veje med efterspørgsel er modelleret som en af følgende: En almindelig vej med zigzag indsamling, hvilket giver én kant En almindelig vej, hvor hver side indsamles separat, hvilket giver to kanter En ensrettet gade, som bliver til én kant Da grafen til denne problemstilling er uorienteret, er ECARP ikke passende. Det er dog værd at overveje, om det er fornuftigt at antage, at grafen er uorienteret, da der med sikkerhed er veje, som ikke kan serviceres ved blot at indsamle i en retning. Med vores tilgængelige data har vi dog ikke haft noget valg, da vi ikke har haft information omkring forbudte sving eller ensrettede veje. En anden udvidelse af den klassiske CARP er tilføjelse af Time Windows (CARPTW) (Labadi, Prins et al. 2008). Den ekstra begrænsning er typisk på indsamlingen af hver enkelt spand, som ofte skal indsamles i et bestemt tidsrum. Da vi har afgrænset os fra tidsaspektet, er CARPTW ikke relevant. Hvis man skal planlægge ruter over en længere periode, bliver problemet til et periodisk CARP (PCARP). Ved et PCARP vil man typisk give hver vej nogle behandlingsdage, som svarer til hvor ofte de skal have indsamlet skrald. Derefter udregnes ruterne for hver enkelt dag (Lacomme, Prins et al. 2005). Som med Time Windows har vi afgrænset os fra denne udvidelse af CARP. CARP med køretøj/kunde afhængighed er endnu en udvidelse af problemet, som beskrevet i (Wøhlk 2008). Udvidelsen bruges, hvis man har flere slags køretøjer, men hvor ikke alle kanter kan serviceres af alle køretøjer. Hvis der eksempelvis skulle stå dobbeltkammerspande hos nogle husstande, ville CARP med Side 13 af 85

køretøj/kunde afhængighed have været oplagt, idet husstande med dobbeltkammerspande kun kan serviceres af dobbeltkammerbiler. Endelig findes der en udvidelse kaldet stokastisk CARP (SCARP) som beskrevet i (Fleury, Lacomme et al. 2005). I virkelighedens verden kender man ikke affaldsmængden i spandene, når ruterne planlægges (der er selvfølgelig et øvre loft, når spanden er fuld). Affaldsmængden i en spand er ikke bestemt af en deterministisk variabel, men i stedet en stokastisk variabel. Problemet bliver så at finde en løsning, som er robust i forhold til ændringer i affaldsmængden. I vores problemstilling er antal tømninger den begrænsende faktor, og da antallet af spande ved de enkelte husstande ikke antages at ændre sig særlig ofte, har vi ikke undersøgt SCARP nærmere. Problemstillingen er ikke et klassisk CARP, da der opereres med både enkeltkammer- og dobbeltkammerbiler og flåden dermed er heterogen. Problemet med den heterogene flåde løses ved at fordoble omkostningerne for enkeltkammerbilerne, da de sammenlignet med dobbeltkammerbilerne skal køre en given rute to gange. Dobbeltkammerbilerne ses derimod som biler med halv kapacitet, da de kun skal servicere halvt så mange husstande for at nå de 210 tømninger. 2.3 Beregningskompleksitet Man udregner normalt lower bounds for denne type problemer for at kunne bestemme en given løsnings kvalitet. Hvis man ønsker at udregne lower bounds, skal man bruge matchings. Matchings er et sæt kanter, som ikke har en fælles node, og matchings bliver meget omfattende for de 8.052 kanter, som det reducerede datasæt indeholder. Problemet kan fortolkes som et kombinatorisk problem, hvor målet er at placere de 2.252 vejstykker i den bedst mulige sekvens. Der findes derfor op mod 2.252! forskellige løsninger, hvilket også kan skrives som 1.06*10 6574. Beregningskompleksiteten afhænger af, hvilken type problemet er; P, NP, NP-hard eller NP-complete. I det følgende afsnit gennemgår vi de forskellige typer af problemer. P er et problem, som kan løses inden for polynomiel tid af en deterministisk algoritme. Det vil sige, at de kan løses inden for O(n) tid. Da det kan løses inden for polynomiel tid, kan det også verificeres inden for polynomiel tid. Derfor er P et subset af NP. NP er et sæt af desicion problems (spørgsmål med et svar der er ja eller nej), hvor løsningen kan verificeres inden for polynomiel tid af en non-deterministisk algoritme. Det vil sige, at problemet kan løses inden for O(n k ) tid, hvor n er problemets størrelse, og k er en konstant. NP-complete kan bruges til at bevise, at andre typer problemer er NP-hard. Det betyder, at (med mindre P=NP) kan de ikke løses inden for polynomiel tid. Det kan bevises, at enten kan alle NP-complete problemer Side 14 af 85

løses inden for polynomiel tid, eller også kan ingen af dem løses inden for polynomiel tid. Man tror, at ingen af dem kan, men det kræver, at man løser P=NP problemet, som er et af de bedst kendte uløste problemer inden for matematikken. Hvis det bevises, at P=NP, kan alle NP problemer løses inden for polynomiel tid. NP-hard (Non-deterministic Polynomial-time hard) er problemer, som er mindst lige så hårde som NPcomplete problemer. Et problem er NP-hard, hvis en algoritme, der kan løse det inden for polynomiel tid, også kan løse alle andre NP problemer inden for polynomiel tid. Det betyder, at tiden for at løse dem med alle kendte algoritmer stiger eksponentielt med problemets størrelse. Derfor kan eksakte metoder sjældent håndtere de store dimensioner i problemer fra den virkelige verden, hvorfor heuristikker benyttes til at løse problemstillingen. 2.4 Løsningsmetoder Matematisk programmering kan opnå optimalitet, men da CARP er NP-Hard øges udregningstiden for disse løsninger eksponentielt i forhold til problemets størrelse. Derfor bliver der ofte brugt heuristikker til at løse problemet. Løsningsmetoderne kan inddeles i 3 kategorier: Matematisk programmering, konstruktionsheuristikker og metaheuristikker. 2.4.1 Matematisk programmering I matematisk programmering forsøges det at minimere eller maksimere en objektfunktion ved at vælge værdierne af et sæt variable. Den mest basale er lineær programmering, hvor objektfunktionen er lineær og begrænsningerne også er lineære. Ulempen ved lineær programmering er, at problemet sjældent kan løses indenfor rimelig tid, fordi man får for mange variable og begrænsninger (Oliveira, Borenstein 2007). En anden brugt metode er Mixed Integer Programming (MIP), hvor nogle af variablene har en heltalsbegrænsning. Et eksempel på MIP i ruteplanlægningssammenhæng er (Sniezek, Bodin 2006), som bruger MIP på et CARP med køretøj/depot afhængighed. MIP kan bruges på problemer af en størrelse op til 500 kanter og 10 køretøjer. Da deres problem indeholdt 2.000 kanter, der blev serviceret af 40 biler, måtte de opdele området og løse problemet for kun 200 kanter af gangen, mens resten af løsningen blev fastholdt. De fleste publikationer, som anvender matematisk programmering i affaldssammenhæng, bruger det til at løse facility location problemer (Belien, De Boeck et al. 2011), hvilket tyder på at heuristikker er et bedre match til CARP. Især når problemet når en vis størrelse. Side 15 af 85

2.4.2 Konstruktionsheuristikker Konstruktionsheuristikker er heuristikker, som konstruerer en løsning ved hjælp af bestemte regler uden at prøve at forbedre denne løsning. Der findes en del forskellige metoder, og nedenfor vil de mest almindelige gennemgås. Mange konstruktionsheuristikker er baseret på en form for insertion heuristik. En insertion heuristik starter typisk med et convex hull, for så iterativt at indsætte de kanter, som øger længden mindst. Indsættelsen af kanter fortsætter, indtil alle kanter er indsat på en rute. Flere insertion heuristikker er inspireret af Solomons insertion heuristik, som blev skabt til VRPTW (Solomon 1987). Blandt andre (Tung, Pinnoi 2000), som løser et Vehicle Routing Scheduling Problem i Hanoi, benytter en insertion heuristik, som er meget lig Solomons heuristik I1. I1-heuristikken benytter to kriterier for at indsætte en ny kunde mellem to eksisterende kunder. c1 finder den bedste position (i,j), som minimerer den vægtede kombination af øget distance og øget tidsforbrug ved at indsætte kunden, mens c2 finder den bedste kunde til indsættelse mellem (i,j). En anden udgave af insertion heuristikken udføres af (Amponsah, Salhi 2004). De arbejder med to objektfunktioner, hvor de minimerer de totale omkostninger, samtidig med at de minimerer ubehaget i forbindelse med lugten fra uindsamlet affald. Jo længere store mængder affald forbliver uindsamlet, desto værre bliver lugten på grund af varmt vejr. De bruger en look-ahead strategi, hvor man ikke kun skelner til det næste vejstykke, men i stedet går to vejstykker ud, og undersøger alle muligheder for at finde den kombination med den mindste omkostning. I artiklen af (Clarke, Wright 1964) præsenteres en algoritme til VRP. Algoritmen bygger på en mergetankegang, hvor man prøver at finde besparelser ved at sammenlægge to ruter til én. Således sikrer algoritmen, at kundepar med en høj savingsværdi også kommer på samme rute. I litteraturen findes der algoritmer, som er inspireret af Clarke og Wrights savings algoritme. (De Meulemeester, Laporte et al. 1997) løser et ruteplanlægningsproblem, hvor containere skal afleveres og hentes ved byggepladser, og de bruger Clarke og Wrights savings algoritme til at konstruere initale løsninger. En klassisk konstruktionsheuristik er augment-merge (Golden, Wong 1980), som bygger på sammenlægning af ruter ud fra følgende principper: 1. Augment-Merge algoritmen lader hver kant med efterspørgsel være på dens egen rute. 2. Startende med den længste rute tjekkes det, om kanter med efterspørgsel på kortere ruter kan serviceres på længere ruter. Side 16 af 85

3. Ruterne merges alt efter, hvor den største besparelse findes. 4. Gentag step 2-3 indtil der ikke længere kan slås flere ruter sammen. (Golden, Dearmon et al. 1983) udformede endnu en konstruktionsheuristik kaldet Path-Scanning. Path- Scanning algoritmen er baseret på konstruktion af én rute af gangen ud fra bestemte kortsigtede optimeringskriterier. Ved konstruktionen af hver rute bliver ruten forlænget ved at tilføje den nærmeste kant indtil kapaciteten er nået. Hvis der opstår et tie mellem to kanter, bliver det bestemt ud fra 5 regler, hvilken der skal vælges. Derefter kører bilen tilbage til depotet for at fuldende ruten. En sjette regel til path scanning blev udviklet af (Pearn 1991), hvor algoritmen tilfældigt vælger én af de 5 oprindelige regler for dermed ikke at låse løsningen fast til en bestemt regel. Sanne Wøhlk har udviklet en tilføjelse til Path-Scanning, der hedder Double Outer Scan (DOS). Algoritmen er en kombination af Augment-Merge og Path-Scanning. Hvor Path-Scanning algoritmen kører hjem til depotet første gang den møder et vejstykke, den ikke kan servicere, søger DOS videre efter andre vejstykker som muligvis kan medtages, så kapaciteten ikke overskrides. Målet med algoritmen er at inkludere mange kanter, der ligger langt væk fra depotet, på samme rute. Det skulle gerne resultere i få lange ruter og flere kortere ruter, hvilket forhåbentlig fører til en kortere samlet distance (Wøhlk 2005). 2.4.3 Metaheuristikker Metaheuristikker er strategier, som guider søgningen efter en løsning. Målet for metaheuristikker er at gennemsøge relativt store dele af løsningsrummet for at finde nær-optimale løsninger. Samtidig kan metaheuristikker bruges på mange problemtyper. Metaheuristikker, der er brugt til ruteplanlægning af skraldeindsamling, tæller blandt andre local search heuristikker, tabu search algoritmer, genetiske algoritmer, simulated annealing og ant colony optimering. Local search heuristikker prøver at finde en bedre løsning ved trinvis at undersøge løsningsrummet for den nuværende løsning. De fungerer godt på store datasæt, fordi de relativt hurtigt giver løsninger på problemer, som ikke kan løses af eksakte metoder. Et eksempel på brug af local search er (Bianchessi, Giovanni 2003), som præsenterer en local search algoritme, der bruger forskellige typer af neighbourhoods. Et eksempel på et neighbourhood er alle løsninger, som er skabt ved at slette en kunde fra en rute for derefter at indsætte kunden i en anden rute. Da local search algoritmer kun laver små ændringer i løsningen, kan de kun navigere gennem løsningsrummet på begrænsede måder. Dermed er der relativ stor risiko for at havne i et lokalt minimum. Tabu search udforsker områder af løsningsrummet som en almindelig local search ikke har udforsket. Det sker fordi tabu search tillader ændringer, der ikke forbedrer løsningen. En tabuliste holder styr på, hvilke løsninger den allerede har undersøgt. Dermed undgår man at havne i et lokalt minimum. Omkostningen Side 17 af 85

ved tabu search er, at der foretages flere udregninger i forhold til local search. Et eksempel på brug af tabu search findes i (Hertz, Laporte et al. 2000), som implementerer tabu search på et CARP. Tabu search blev fravalgt, da vi vurderede at det udregningsmæssigt blev for tungt at holde styr på et højt antal sekvenser af 2.252 vejstykker. Genetiske algoritmer (GA) prøver at finde løsninger ved at efterligne evolutionen. Tidligere løsninger bruges som forældre til at lave børn. Det sker ved brug af selektion, crossover og mutation. Algoritmen tager udgangspunkt i en population af løsninger. Der genereres børn, som arver bestemte karakteristika fra forældrene. Et eksempel på anvendelse af GA i en dagsrenovationssammenhæng er (Maniezzo 2004), som udvikler et ruteplanlægningsværktøj blandt andet ved hjælp af en genetisk algoritme. Ant Colony optimering forsøger at efterligne myrers søgen efter mad, og de duftspor myrerne efterlader sig. Duftsporet for den korteste rute vil være stærkt, da myrer, som er gået denne vej på jagt efter føde, vender hurtigere hjem end andre myrer. Høje niveauer af duftspor vil få flere myrer til at vælge den korte vej, og på et tidspunkt er den korteste vej etableret. (Bautista, Fernández 2008) bruger ant colony optimering til at generere nye løsninger sammen med nearest neighbour og nearest insertion konstruktionsheuristikker. Simulated Annealing (SA) er inspireret af udglødning fra metalbearbejdning. Temperaturen bestemmer hvor store ændringer, der må forekomme i objektfunktionen både i positiv og negativ retning. Hvis temperaturen er høj, må der foretages store ændringer, mens der kun tillades små ændringer, hvis temperaturen er lav. Vi har kun kunnet finde et eksempel på brug af SA i affaldsindsamlingen. (Sahoo, Kim et al. 2005) bruger SA som en metaheuristik sammen med en cross exchange local search heuristik. 2.4.4 Begrænsninger Jo flere begrænsninger man tilføjer til en model, desto mere realistisk bliver den. Der findes en lang række begrænsninger, når man løser problemer i den virkelige verden. I dette afsnit vil vi fremhæve de begrænsninger, der blandt andet er blevet skrevet om i skraldeindsamlingslitteraturen for samtidig at sammenligne med specialets problemstilling. En af de hyppigste begrænsninger man støder på i forbindelse med indsamling af affald er kapacitetsbegrænsningen på bilerne. Helt basalt kan begrænsningen lyde på, hvor mange liter affald bilen kan indeholde, efter affaldet er blevet komprimeret. Begrænsningen kan også være, hvor mange tons affald en lastbil kan indsamle i et træk. Det er dog ikke i alle typer problemer, hvor denne begrænsning er aktuel, og for problemstillingen i denne opgave har vi forudsat at kapaciteten bestemmes ved antallet af tømninger, som skal holdes i nærheden af 210 for at sikre, at skraldemændene kan holde deres akkorder. I Side 18 af 85

vores problemstilling er der således en tydelig sammenhæng mellem kapacitetsbegrænsningen og mandskabsbegrænsningen, fordi vi har valgt kun at have én chauffør i hver skraldebil. Noget lignende bliver foretaget i (Torres, Anton 1999), hvor der er en kapacitetsbegrænsning på bilen, men også på hvor lang tid bilens chauffører kan arbejde. En anden begrænsning på mandskabet er blandt andet, at man skal forsøge at holde ruternes længde på et niveau, hvor det rent faktisk kan lade sig gøre at færdiggøre dem inden for en arbejdsdag. Selvom vi har afgrænset os fra en lang række aspekter omkring det periodiske, vil vi blive nødt til at tage stilling til om en rute kan blive for lang. Endelig kan der indføres time window begrænsninger. Et time window kan afgøre, hvornår en husstands skraldespand må blive tømt. For eksempel at det ikke må foregå før klokken 5 om morgenen. Et eksempel på brug af time windows er (Kim, Kim et al. 2005), som også tager højde for skraldemændenes pauser. Brug af time windows kan også være fornuftigt, hvis man ønsker at undgå myldretidstrafik. 3. Anvendt litteratur I dette afsnit vil litteraturen bag vores anvendte teori blive beskrevet dybdegående. Først vil de forskellige konstruktionsheuristikker blive gennemgået i afsnit 3.1. I afsnit 3.2 vil vi beskrive en metode til at flippe vejstykkerne i en sekvens optimalt samt beskrive den metode, der bruges til at splitte sekvensen op i ruter. Herefter vil der være en kort introduktion til de evolutionære algoritmer i afsnit 3.3, hvorefter de genetiske og memetiske algoritmer vil blive beskrevet i henholdsvis afsnit 3.4 og 3.5. 3.1 Konstruktionsheuristikker Nedenstående afsnit er baseret på (Willemse, Joubert 2011). De tester Path Scanning og Augmented Merge på et Residential Waste Collection Problem (RWCP). RWCP er en kombination af Mixed CARP og Problem with Intermediate Facilities under Capacity and Length Restrictions (CLARPIF). Heuristikkerne er testet på et sæt benchmark problemer der er blevet udvidet ved at tilføje intermediate facilities. Deres resultater viser, at Path Scanning med tilfældigt valg performer bedre end deterministiske kriterier, hvilket er forventet, da de genererer flere løsninger, hvorfra den bedste kan vælges. Deres resultater viser også, at Path Scanning outperformer Augmented Merge på alle benchmark problemerne på nær fire. Augmented Merge var specielt dårlig til at minimere antal ruter, og i forhold til udregningstid var Path Scanning også signifikant bedre på alle problemer. Derfor vil vi undlade at benytte Augmented Merge og i stedet holde fokus på Path Scanning som bliver beskrevet i afsnit 3.1.1. Genetiske algoritmer performer bedst, når de initiale løsninger har en høj diversitet, og derfor vil vi i afsnit 3.1.2 beskrive Gillett og Millers Sweep algoritme med henblik på at implementere den senere. Side 19 af 85

3.1.1 Path Scanning Path Scanning er en sekventiel heuristik, der bygger én tur ad gangen, inspireret af nærmeste nabo heuristikken fra TSP. Turen bliver forlænget ved at tilføje den nærmeste kant med efterspørgsel [i,j], så længe kapacitetsbegrænsningen ikke overskrides. Men i arc routing er afstanden fra den sidst servicerede kant u til den nærmeste kant v med efterspørgsel ofte 0 dvs. når u og v er tilstødende gader. I sådanne situationer afgør Path Scanning, hvilken kant der skal serviceres ved at bruge et af 7 kriterier: 1: Maksimer c ij /r ij. Hvor r ij er den resterende efterspørgsel, når [i,j] er serviceret. 2: Minimer c ij /r ij.. 3: Maksimer transportomkostningerne fra j til depotet. 4: Minimer transportomkostningerne fra j til depotet. 5: Hvis bilen er mindre end halv fuld, brug regel 3, ellers regel 4. 6: Brug tilfældigt en af de 5 regler. 7: Brug ikke en regel, men vælg tilfældigt v fra de tilstødende gader. De to tilfældigheds baserede regler 6 og 7 bør køres flere gange for at drage fordel af netop tilfældighedsprincippet, og derefter vælges den bedste af de fundne løsninger. Path scanning som konstruktionsheuristik har en mindre god egenskab i forhold til andre metoder. De sidste ruter, der bliver konstrueret, vil ofte komme til at lide under at de skal medtage de resterende u- servicerede vejstykker, som godt kan være spredt ud over hele grafen. Dette går selvfølgelig ud over kvaliteten af disse ruter. 3.1.2 Sweep algoritme En anden metode til at generere en initial løsning kunne være en sweep algoritme som den af (Gillett, Miller 1974). Det er en metode til at samle kunderne i clusters, så kunder i samme cluster er geografisk tæt på hinanden, og derfor kan blive serviceret af samme køretøj. Der benyttes en modificeret version af Gillett og Millers sweep algoritme fra 1974 (Benjamin 2011). Kundernes koordinater (x i,y i ) bliver omregnet i forhold til depotets koordinater (x 0,y 0 ), så kundernes relative koordinater er (x i - x 0, y i - y 0 ). Vinklen mellem horisonten og linjen, der forbinder kunden og depotet er: ( ) ( ). Side 20 af 85

For at få θ i intervallet *0, 2π+ radianer med bevægelse mod uret, må formlen justeres efter følgende regler: { [ [ [ ] ] ] Fremgangsmåden i algoritmen er som følger: 1. Placer depotet som centrum af det todimensionelle plan. 2. Udregn de polære koordinater fra hver kunde i forhold til depotet. 3. Begynd at sweepe kunderne ud fra en stigende polær vinkel. 4. Tilføj disse kunder til samme cluster indtil bilens kapacitet nås. 5. Start en ny cluster, hvor den sidste ophørte. 6. Gentag step 3-5 indtil alle kunder er en del af et cluster. Herefter skal der skabes ruter til hvert cluster, da ruter lavet med sweep sjældent er optimale. Rutedannelsen kan f.eks. udføres af en path scanning heuristik. 3.2 Split og Flip algoritme Split og Flip algoritmen er beskrevet i (Prins, Labadi et al. 2009), og følgende afsnit er baseret på denne artikel. Givet en sekvens af vejstykker, der skal serviceres i en bestemt rækkefølge, er det muligt at udregne den optimale opdeling af ruterne, samt hvilken vej vejstykkerne skal serviceres. Flip algoritmen er illustreret for tre vejstykker i Figur 2. Tallene ved siden af hver streg indikerer den korteste distance mellem de to punkter. De øverste tykke streger symboliserer at vejstykket køres forfra, mens de nederste tykke streger symboliserer at vejstykket køres bagfra. De tynde streger angiver den korteste distance mellem vejstykker, der skal serviceres. 0 Vej 1 16 Vej 2 29 Vej 3 42 45 11 5 5 8 5 8 4 8 10 5 2 6 7 inv(vej 1) 10 inv(vej 2) 6 inv(vej 3) 5 12 8 30 8 39 Depot Depot Figur 2: Optimal rute for en given sekvens Side 21 af 85

Mærkaterne efter hvert vejstykke indikerer den korteste løsning ved at køre vejstykket forfra og bagfra. Den totale længde for de 3 vejstykker i Figur 2 bliver således 45 ved at køre (Vej 1, Vej 2, Inv(Vej 3)) i stedet for en total længde på 46 ved at køre alle veje forfra eller 50 ved at køre alle veje bagfra. For en given sekvens er det også muligt at finde den optimale måde at splitte ruterne op under en fast begrænsning på kapaciteten for køretøjet. Artiklen af (Prins, Labadi et al. 2009) beskriver forskellige typer af split, men i sin simpleste form virker den ved, at der oprettes to tabeller, der hver indeholder et label for hvert vejstykke, der skal serviceres. Den ene af disse tabeller kommer til at indeholde den korteste distance, hvormed det givne vejstykke samt alle tidligere vejstykker i sekvensen kan serviceres. Alle labels i denne tabel starter med at få tildelt en værdi på. Den anden tabel vil fungere som en såkaldt predecessor tabel, der gør det muligt at backtracke den bedste løsning. Hver gang, der bliver skrevet til predecessor tabellen, er det hvor den nuværende bedste løsning stammer fra. Herefter udregnes den korteste distance, hvormed et køretøj kan servicere hvert enkelt vejstykke alene, samt så mange fremad i sekvensen som det er muligt uden at overskride kapacitetsbegrænsningen på bilen. Hver gang, der udregnes en distance, kontrolleres det om distancen er mindre end det nuværende label på vejstykket. Hvis det er tilfældet overskrives værdien, og der bliver skrevet til predecessor arket, hvilket vejstykke den nuværende bedste løsning er startet i. Der backtrackes i predecessor tabellen ved at se på værdien X af den sidste label i tabellen. X angiver nummeret på det vejstykke den sidste rute er startet i, og den næstsidste rute vil så være startet i værdien som label X-1 har. For at udvide split algoritmen til at kunne vælge det optimale mix af to biltyper, hvoraf der er en begrænsning på antallet af den ene biltype, bruges en metode beskrevet i et working paper, udleveret af vores vejleder 15. Artiklen beskæftiger sig med arc routing under forudsætning af, at der er forskellige biltyper til rådighed og giver en metode til at udregne det optimale mix af biler for en given sekvens af vejstykker. Dette gøres ved at tilføje V antal linjer, hvor V er begrænsningen på biltypen. Hver gang den begrænsede biltype benyttes, foretages et spring til næste linje, og da der maksimalt må foretages V antal spring, vil den optimale løsning være at finde i slutningen af den af de V+1 linjer med den mindste samlede omkostning. 3.3 Evolutionære algoritmer Under konstruktionen af initiale løsninger kunne det observeres, at alle konstruktionsheuristikker gav løsninger, der indeholdt gode ruter og mindre gode ruter. Tilmed var der stor forskel på, hvilke områder de 15 Kan findes i filen The time-dependent multiple vehicle prize collecting arc routing problem.pdf Side 22 af 85

forskellige metoder var stærke og svage i. Dermed virkede Evolutionære Algoritmer (EA) oplagte, idet de kan kombinere gode egenskaber fra flere løsninger. I Bilag 2 er der vedhæftet plots af 2 forskellige initiale løsninger, hvor de gode ruter er tydeliggjort. EA er inspireret af den biologiske evolution, hvor bestemte evner og karakteristika forsøges videreført til næste generation ved at kombinere forældrenes gener. I EA bruges en population af individer, hvor hvert element i et individ kaldes kromosomer. Kombinationen af individer foregår ved crossover og mutation, hvorefter hvert individ i populationen evalueres på dets objektfunktion. Dermed kan individer med en bedre fitness (og dermed bedre karakteristika) identificeres, hvorefter de kan få større chance for at forplante sig. Evolutionen af populationen foretages enten i et givet antal generationer, eller til der ikke længere findes forbedringer. EA opdeles i genetiske og memetiske algoritmer (MA). Mens GA består af selektion, reproduktion og mutation, har MA et ekstra step hvor afkommet gennemgår et stadie med forbedringsheuristikker. Dermed vil man nå færre generationer på samme tid i forhold til genetiske algoritmer. Ifølge (Lacomme, Prins et al. 2004) er det almen kendt inden for kombinatorisk optimering, at den basale GA med simple mutationer ikke kan konkurrere med Simulated Annealing eller Tabu Search. For at være effektiv, skal GA derfor kombineres med forbedringsheuristikker eller lignende, hvilket giver en memetisk algoritme. 3.4 Genetisk algoritme Den genetiske algoritme består af en række parametre, der alle har en betydning i forhold til hvor hurtigt man kommer frem til et tilfredsstillende resultat, og også hvor godt et resultat man ender med at have. Disse parametre kan ses som modellens tuningsparametre, og man vil typisk køre GA flere gange med forskellige værdier af disse tuningsparametre, for at finde ud af hvad der fungerer bedst for det enkelte problem. En genetisk algoritme vil typisk være struktureret som nedenfor. Create initial population Do while termination criteria = false For i = 1 to # of parents in population Select two parents Create 2 children using crossover Mutate children If fitness score of child(i) < fitness score of parent(i) then child replaces parent in population end if Next loop I de efterfølgende afsnit vil teorien bag de enkelte trin i den genetiske algoritme blive beskrevet. Side 23 af 85

3.4.1 Initial population Michalewicz og Fogel pointerer vigtigheden af den initiale populations størrelse og metoden hvormed individer vælges. Logisk vil en lille population medføre, at risikoen for at blive fanget i et lokalt minimum er stor. Mens en stor population kan medføre, at GA ikke kan sikre en tilfredsstillende løsning inden for rimelig tid (Michalewicz, Fogel 2000). Derfor handler det om at finde en middelvej, hvor den initiale populations størrelse er tilpas. Dette kan derfor ses som en parameter man kan justere igennem flere kørsler af GA. Udvælgelse af individer til den initiale population har også stor betydning. Den initiale population kan udelukkende bestå af tilfældige løsninger, hvilket bør sikre at GA ikke konvergerer mod et lokalt minimum. Samtidig kan det dog også resultere i adskillige ekstra generationer før man når et tilfredsstillende resultat i forhold til en initial population med relativt gode løsninger (Michalewicz, Fogel 2000). Det er vigtigt at sikre en høj diversitet i den initiale population, da risikoen for at ende i et lokalt minimum er stor, hvis diversiteten er lav. 3.4.2 Valg af forældre Ud fra den initiale population er det nu meningen at to forældre skal udvælges til formering. Denne udvælgelse kan ske på flere måder hvoraf et udvalg er beskrevet herunder. Overordnet set kan udvælgelsesmetoderne opdeles i stokastiske og deterministiske metoder, hvori de deterministiske typisk vil fravælge de samme dårlige løsninger og dermed konvergere hurtigere hen mod den gode del af populationen, hvilket ikke altid er ønskværdigt. De stokastiske vil derimod udforske flere muligheder i populationen, hvilket naturligvis medfører, at den vil tage længere tid at udføre (Glover, Fred Kochenberger, Gary A. 2003). En stokastisk udvælgelse af forældrene kunne bestå i at lade alle forældre fra den initiale population formere sig med hinanden. Dette sikrer, at en del af alle forældre bliver ført med videre til den næste generation, og at eventuelle gode egenskaber hos en forælder vil blive ført videre til den næste generation, mens det samme naturligvis er gældende for de dårlige egenskaber. En anden stokastisk udvælgelse af forældre kan findes med inspiration fra analogien om Survival of the fittest. Her lader man de stærke formere sig med en højere sandsynlighed end de svage, og dermed forhåbentligt tilskynder at den nye generation bliver stærkere end den forrige. En deterministisk mulighed er at benytte en såkaldt Tournament selection, hvor man udvælger en gruppe af mulige forældre fra den initiale population, og fra den gruppe vælger man så den bedste og parrer den med den næstbedste. På denne måde er der dog en risiko for, at man ikke får videreført de gode Side 24 af 85

egenskaber, der kunne være i de knap så gode forældre, og i stedet kommer til at gå mod et lokalt minimum i stedet for et globalt. Valget af forældre er kritisk for, hvor godt det endelige resultat bliver, samt hvor hurtigt man når frem til resultatet, hvorfor det er vigtigt at have gjort sig nogle overvejelser omkring udvælgelsen. 3.4.3 Crossover Crossover er en betegnelse for den metode, hvormed generne fra to forældre overføres til et barn. Traditionelt består hvert kromosom i et individ af bits, der kan antage værdien 1 eller 0. Dette gør det let at foretage crossover mellem to forældre. Opgavens problemstilling er dog lidt mere kompliceret, da kromosomerne for en forælder er bygget anderledes op. En løsning indeholder rækkefølgen, hvori vejstykkerne med efterspørgsel besøges. Så hvis vejstykke nummer 40 besøges først, så har det første kromosom en værdi på 40. Problemet bliver dermed et permutationsproblem, hvor crossover ikke kan foretages på samme måde som i traditionel forstand, da nogle vejstykker vil optræde i et barn to gange, mens andre vejstykker vil forsvinde. Fænomenet er demonstreret nedenfor i Figur 3, hvor en simpel etpunkts crossover er foretaget på et forældrepar. Det medfører, at de to børn, c1 og c2, er ufuldstændige løsninger. P1 5 9 2 6 7 3 1 8 10 4 P2 6 9 7 5 8 2 3 10 1 4 C1 5 9 2 6 7 2 3 10 1 4 C2 6 9 7 5 8 3 1 8 10 4 Figur 3: Simpel et-punkts crossover Der kan benyttes flere forskellige crossover metoder til at løse problemstilingen. En metode er one-point cycle crossover som beskrevet i (Oliver, Smith et al. 1987). Cycle crossover, også kaldet Order Crossover (OX), kopierer et subset af vejstykker fra den første forælder til barnet (i de samme positioner), og de resterende positioner fyldes med vejstykkerne fra den anden forælder. Dermed går vejstykkernes positioner i arv fra den ene af de to forældre. Men mange sekvenser risikerer at blive ødelagt i processen, fordi det første subset af vejstykker kun sjældent er placeret på sammenhængende positioner i forældrene. Metoden er demonstreret i Figur 4 på næste side. Side 25 af 85

P1 5 9 2 6 7 3 1 8 10 4 P2 6 9 7 5 8 2 3 10 1 4 C1 5 9 2 6 7 8 3 10 1 4 C2 6 9 7 5 8 2 3 1 10 4 Figur 4: One-point cycle crossover Der kan også benyttes en two-point variation af OX, hvor to skæringspunkter p og q vælges tilfældigt på begge forældre. Sekvensen fra P1 indsættes i de samme positioner i C1: C1(p,,q) = P1(p,,q), mens de resterende positioner fyldes med vejstykker fra P2. Samme metode bruges i C2, der fyldes med vejstykker fra P2. Resultatet er demonstreret i Figur 5. P1 5 9 2 6 7 3 1 8 10 4 P2 6 9 7 5 8 2 3 10 1 4 C1 6 9 5 8 7 3 1 2 10 4 C2 5 9 6 7 8 2 3 1 10 4 p q Figur 5: Two point cycle crossover En anden crossover metode, der benyttes er Partially Matched Crossover (PMX), som beholder vejstykkernes absolutte position ved to crossover punkter. Metoden fungerer som OX med to crossover punkter bortset fra at vejstykkernes absolutte positioner beholdes, hvis muligt. PMX er demonstreret i Figur 6. P1 9 5 2 6 7 3 1 8 4 10 P2 6 4 7 5 8 2 3 10 1 9 C1 5 4 2 6 7 3 1 8 10 9 C2 9 6 7 5 8 2 3 10 4 1 p q Figur 6: Two point PMX Side 26 af 85

Fælles for de forskellige crossover metoder er, at de beskadiger løsningerne, når problemet er et permutationsproblem. Det betyder, at der ikke vil komme en bedre løsning indenfor rimelig tid blot ved brug af crossover. Dog er crossover stadig god til at udforske løsningsrummet. 3.4.4 Mutation Mutation bruges til at opretholde genetisk diversitet fra en generation af en population til den næste, meget lig biologisk mutation. Mutation ændrer en eller flere gener i et individ, hvilket kan ændre løsningen og dermed objektfunktionen. Mutation sker i GA med en vis brugerdefineret sandsynlighed. Denne sandsynlighed må ikke være for høj, da mutationen så nærmere er en random search end egentlig mutation. Det klassiske eksempel på mutation foregår på bits i et individ. Normalt ændres en bit med en vis sandsynlighed, hvilket kaldes single point mutation. Når problemet er et permutationsproblem, som er tilfældet i denne opgave, kan man i stedet bruge swap, inversion eller scramble. Swap fungerer ved at udvælge to lige store tilfældige sekvenser i en forælder, og derefter bytte dem rundt. I Inversion udvælger man en tilfældig sekvens i en forælder og vender den herefter om. For scramble vælges en tilfældig sekvens, hvorefter rækkefølgen af generne i sekvensen flyttes tilfældigt rundt inden for sekvensen selv. Ifølge (Glover, Fred Kochenberger, Gary A. 2003) siges det ofte, at mutation kun spiller en sekundær rolle i forhold til crossover ved at medvirke til at lokale minimum undgås ved at forhindre individerne i at blive for ens. Andre forskere skriver, at crossover er irrelevant, mens mutation er langt vigtigere. Balancen mellem de to kan være bestemt af problemets natur, hvorfor det kan være svært at give specifikke retningslinjer. Det er også muligt at variere sandsynligheden for mutationer i forhold til diversiteten i populationen, målt på variationen af fitness scores. Det vil sige jo lavere diversitet desto højere mutationsrate (Glover, Fred Kochenberger, Gary A. 2003). 3.4.5 Ny population Den traditionelle GA er generationsbaseret forstået på den måde, at man udvælger, rekombinerer og muterer en population, indtil man når et nyt antal individer. Disse individer bliver så den nye population. Det betyder også, at man risikerer at smide de bedste løsninger væk, efter at have brugt tid på at generere dem. Derfor introducerede (De Jong 1975) elitisme og populationsoverlap. Elitisme sikrer, at det bedste individ overlever til næste generation, mens de resterende (M-1) individer i populationen udskiftes. Populationsoverlap går et skridt videre, hvor kun en lille del af populationen udskiftes for hver generation. Der findes også en tilgang, hvor kun de bedste børn bliver valgt til at starte den næste generation. En anden mulighed er, at den nye generation vælges på baggrund af en kombineret pulje af børn og forældre. I det Side 27 af 85

tilfælde er det ifølge (Glover, Fred Kochenberger, Gary A. 2003) nødvendigt at slette individer i populationen i hver generation. Det sker ofte ved at børnene tager deres respektive forældres plads i populationen. Det er også muligt at slette det værste medlem af populationen, hvilket dog har sine ulemper. Man risikerer at miste diversitet hurtigt, så det kræver store populationer og høje mutationsrater. En mere skånsom metode er at fjerne en af løsningerne i den dårligste halvdel af populationen. En anden tilgang til at danne en ny population er blandt andet fremsat af (Tinós, Yang 2007), som benytter en model de kalder Random Immigrant Genetic Algorithm (RIGA). Heri foregår udvælgelsen af den nye population som i andre genetiske algoritmer ved at videreføre børn med høj fitness score, men for at øge diversiteten i populationen, bliver en fraktion af de dårligste løsninger i den nye population erstattet af tilfældigt genererede løsninger. Disse tilfældige løsninger vil oftest have en så dårlig fitness score, at de højst sandsynligt ikke vil overleve længe i populationen, men de er med til at bevare diversiteten i populationen og dermed sænke risikoen for at ende i et lokalt minimum. 3.5 Memetisk algoritme Datasættet indeholder en del brugbar information, som man med en memetisk algoritme kan udnytte. For modsat traditionelle evolutionære algoritmer forsøger man med memetiske algoritmer at udnytte al tilgængelig information fra problemstillingen. Denne udnyttelse af tilgængelig information er ikke valgfri, men en fundamental del af MA. Memetic kommer fra ordet meme, og definitionen på et meme er ifølge Merriam-Webster: An idea, behavior, style, or usage that spreads from person to person within a culture Definitionen lægger op til, at information ikke bare uændret spredes mellem individer i kulturelle evolutionære processer, men i stedet bliver den bearbejdet og forbedret. De fleste MA kan fortolkes som en søgestrategi, hvor en population af individer optimeres gennem samarbejde og konkurrence (Moscato, Cotta 2003). En af de første memetiske algoritmer blev udviklet i 1988, og blev set som en hybrid mellem traditionelle GA og Simuleret Annealing. Man ønskede ifølge (Moscato, Cotta 2003) at omgå begrænsningerne ved begge teknikker på et Min Euclidian Traveling Salesman Problem. I den memetiske algoritme er der derfor brug for forbedringsheuristikker, hvoraf nogle udvalgte vil blive beskrevet i det efterfølgende. De to første forbedringsheuristikker er worst removal og best insertion fra (Ropke, Pisinger 2006), som arbejder med et pickup og delivery problem med time windows, hvor en række requests skal placeres på en passende rute. Side 28 af 85

Worst removal: Givet request i, der serviceres af en bil i løsning s, kan man definere omkostningen ved serviceringen som cost(i,s) = f(s) f -i (s). Hvor f -i (s) er rutens omkostning uden request i. Det virker fornuftigt at forsøge at fjerne requests fra ruter, hvor de har en høj omkostning, og derefter sætte dem ind et andet sted på ruten eller i en anden rute for at få en lavere samlet omkostning. Vi har en forventning om, at vi med worst removal vil fange mange af de uhensigtsmæssige mutationer, som den genetiske algoritme har lavet tidligere. Best insertion: Efter at have fjernet et antal requests skal de genindsættes i løsningen. Δf(i,k) er ændringen i løsningens længde ved at indsætte vejstykke i på rute k. Derefter defineres c i som { }. Så c i er omkostningen ved at indsætte request i på den bedste position i hele løsningen, kaldet minimum cost position. Requesten med den mindste c i indsættes på dens minimum cost position. Derefter indsættes den request, der havde det 2. laveste c i. Processen fortsætter indtil alle request er blevet indsat i en rute. Ropke og Pisinger benytter udover disse heuristikker også en random removal heuristik, der tilfældigt udvælger requests og fjerner dem, hvilket vi også vil indføre i vores model. Derudover benytter de sig af en Shaw removal heuristik, som på baggrund af viden om requests, der allerede er blevet flyttet, forsøger at finde lignende requests, der også kan flyttes. Denne heuristik havde vi dog svært ved direkte at overføre til vores problem, hvorfor den blev udeladt. Heuristikkerne er en del af en såkaldt Adaptive Large Neighbourhood Search Heuristic (ALNS), hvor heuristikkerne får tildelt en vægt, alt efter hvor godt de har performet de forrige gange, de er blevet udvalgt. Denne vægt er så med til at bestemme, hvor ofte heuristikkerne vil blive brugt fremadrettet ved at benytte et Roulette wheel selection principle, hvor den heuristik med den største vægt også har den største andel af det samlede roulette hjul. Ropke og Pisinger tester kun heuristikkerne på relativt små benchmark problemer, men fordi vores problem er væsentligt større, er vi tvunget til at modificere heurustikkerne, så de effektivt kan implementeres i vores genetiske algoritme. 4. Empiri I dette afsnit vil det empiriske materiale, der danner grundlag for opgaven, beskrives sammen med de modifikationer, der er foretaget. I afsnit 4.1 beskrives den indledende databehandling, hvor der især vil blive lagt vægt på reducering af grafens størrelse. Herefter følger afsnit 4.2, som beskriver hvordan vi har håndteret den store mængde af data i i Excel i forhold til hukommelsen på computeren. Og endelig vil der i afsnit 4.3 blive beskrevet, hvordan tildelingen af nye spande til hver enkelt husstand er foretaget. Side 29 af 85

4.1 Indledende databehandling For at reducere grafens størrelse, og dermed gøre senere udregninger mere effektive, har vi valgt at lægge veje sammen. Men kun veje, der opfylder en række forudsætninger. Vejene skal have præcis 2 tilstødende kanter, hvilket sikrer at grafen ikke brydes. Hvis et vejstykke har 2 tilstødende kanter, så undersøges det om kanterne har efterspørgsel. Hvis ingen af vejstykkerne har efterspørgsel, er de kandidater til sammenlægning. Veje uden efterspørgsel er foretrukket, da der mistes optimalitet, hvis en kant med efterspørgsel lægges sammen med en anden kant. Det skyldes, at skraldebilen tvinges til at køre hele det nye vejstykke uden at have mulighed for at vende om, hvilket den ville have, hvis vejstykkerne ikke blev lagt sammen. Hvis veje med efterspørgsel også lægges sammen, så grafen minimeres kraftigt, kan det resultere i vejstykker med relativ høj efterspørgsel. Når man opererer med 105 og 210 tømninger, kan det være svært at behandle/optimere på disse vejstykker, da det vil være svært at flytte dem til andre ruter på grund af kapacitetsbegrænsningen på bilerne. Antallet af biler bliver som bekendt holdt på så lavt et niveau som muligt. Yderligere ville man kunne minimere grafen endnu mere ved at flytte efterspørgslen og omkostningen tilhørende en mindre samling af villaveje ud i en node og dermed transformere problemet til et såkaldt Node, Edge and Arc Routing Problem (NEARP) som beskrevet i artiklen af (Prins, Bouchenoua 2005). Dette har vi dog ikke givet os i kast med, selvom det muligvis ville kunne have lettet noget af det efterfølgende forbedringsarbejde. Til at foretage reduceringen af grafen konstruerede vi en kode, SletVejSamlingerUdenEfterspørgsel 16, der identificerer noder med præcis to tilstødende kanter (kant1 og kant2) uden efterspørgsel. I disse tilfælde er det muligt at slå de to vejstykker sammen. Den nye kant får den samlede længde af kant1 og kant2 med start/slut node i de to noder, som kant1 og kant2 ikke har til fælles. Efter kantsammenlægning køres Sanne Wøhlks CreateNodes og CreateAdjacencyList, der identificerer unikke noder og laver adjacency matricen. Denne proces gentages tre gange, hvorefter antallet af sammenlægninger er så lille, at det ikke blev fundet gavnligt at fortsætte. Sanne Wøhlks CheckForBlindStreets bruges til at finde blinde gader uden efterspørgsel, der derfor kan slettes, da de aldrig vil blive traverseret. Koden finder 14 blinde veje uden efterspørgsel i første gennemkørsel, og derefter finder den ingen. 16 Kan findes i filen Initial løsninger.xlsm i modulet slet Side 30 af 85

Tabel 2 viser reduceringen af grafen. Alt i alt reduceres grafen fra 8.872 kanter og 7.551 noder til 8.054 kanter og 6.746 noder. Det vil sige en reducering på 818 kanter og 805 noder. vejstykker noder # fjernede vejstykker # fjernede noder start 8872 7551 - - 1. 8177 6869 695 682 2. 8073 6765 104 104 3. 8068 6760 5 5 blinde veje 8054 6746 14 14 818 805 Tabel 2: Oversigt over slettede vejstykker og noder Koden burde slette det samme antal kanter og noder, men der er enkelte tilfælde, hvor nogle af de slettede vejstykker har samme start- og slutkoordinater. Dette betyder, at vejstykket blot går rundt i et loop ligesom i Figur 7. Figur 7: Node med loop-kant I adjacency-matricen har vi derfor slettet den ene forekomst af disse kanter, da det gav problemer i ruteplanlægningen. Samtidig bliver antallet af tilstødende kanter for noden selvfølgelig også opdateret. Vejstykket kan stadig traverseres, så det får ingen konsekvenser for ruteplanlægningen. Reduceringen af grafen blev ikke så stor, som vi i første omgang havde håbet, og vi vil nok kun i et begrænset omfang kunne drage nytte af det i vores fremadrettede arbejde. Dette skyldes hovedsageligt kravet omkring kun at lægge veje sammen uden efterspørgsel. Uden denne begrænsning ville vi uden tvivl kunnet have reduceret grafen væsentligt mere. 4.2 Databehandling af distancematricen Efter at have reduceret antallet af vejstykker konstruerede vi en ny distancematrice med dertilhørende predecessor matrice. Det samlede antal entries i distance matricen er nu reduceret til omkring 45 mio., og vi så det som en fordel at gemme distancematricen i et array i hukommelsen på computeren i stedet for at slå op i tabellen. Imidlertid melder VBA en fejl - run time error 6: overflow, når distancematricen forsøges gemt i et array. Dette sker fordi arrayet er dimensioneret som double, da det skal holde kommatal. Double værdien holder 64 bit information, hvilket der altså ikke er plads til i bærbarens hukommelse. For at løse dette ganges alle tal i distancematricen med 100 for at komme kommatallene til livs. Dette muliggør brugen Side 31 af 85

af et array dimensioneret som integer. Det ville intuitivt have været bedre at gange tallene med 1.000 for at få dem i meter, men integer datatypen har en maksimal værdi på 32.767, og da flere distancer i matricen er større, ganges der i stedet igennem med 100. Distancematricen bruges under rutekonstruktionen til at finde den node, der er tættest på, og metodevalget medfører, at vi ikke kan skelne differencer på 5 meter og derunder. Vi har vurderet, at problemet med de 5 meters usikkerhed er marginalt i forhold til fordelene ved at lægge distancematricen ind i et array. 4.3 Efterspørgsel og spandetype Hvis affald skal kildesorteres, er der to alternativer. Enten får husstandene minimum en ekstra spand på matriklen, eller også skal de have en spand med flere kamre. En løsning med flerkammerspande er dog ufleksibel af flere grunde. En flerkammerspand har naturligt en skillevæg i midten af spanden. Hvis fordelingen mellem restaffald og organisk affald for en husstand er 50/50, så kan en flerkammerspand godt fungere, men hvis denne fordeling ændres, så opstår der en del spildplads, idet et af kamrene ikke fyldes op. I en løsning med flere spande har den enkelte husstand en mulighed for at lade den ene spand være større end den anden for dermed at udnytte spandenes kapacitet bedre. En anden detalje, der gør flerkammerspande uhensigtsmæssige er, at Reno Djurs nuværende spande ikke kan konverteres til flerkammerspande 17. Ved flerkammerspande er det også en større risiko for at skraldet sidder fast, hvilket besværliggør indsamlingen. Samtidig kan Miljø Teams nuværende bilflåde ikke håndtere flerkammerspande. Den nuværende bilflåde består af enkeltkammerbiler, som teknisk ikke kan tømme flerkammerspande, idet låget skal holdes på plads. Dermed vil der skulle foretages ændringer på den nuværende bilflåde eller investeres i nye biler for at gøre tømning af dobbeltkammerspande muligt. En løsning med flere spande er derfor langt mere fleksibel, da en spand kan tømmes af både en enkeltkammerbil og en dobbeltkammerbil. Der er også ifølge Reno Djurs mindre risiko for fejlsortering ved brug af separate spande i forhold til en flerkammerløsning. En af ulemperne ved en løsning med flere spande er, at husstandene i forhold til tidligere skal have en ekstra spand stående. Nogle husstande vil givetvis ikke have flere spande, enten af æstetiske grunde eller på grund af pladsmangel. Man kunne måske argumentere for at de, der på nuværende tidspunkt har fravalgt en papirspand, også ville være imod at skulle have opstillet en spand til organisk affald, men det forudsættes dog at alle helårsboliger vil blive indlemmet i ordningen. 17 Information fra fællesmøde med Hardy Mikkelsen, Miljøchef Reno Djurs I/S Side 32 af 85

I forbindelse med indførelsen af en separat spand for henholdsvis organisk og restaffald er det nødvendigt at kende forholdet mellem de to affaldsfraktioner for dermed at kunne afgøre, hvor store spande husstanden skal have stående. Hvis man tager papir/karton og glasemballage, som bliver indsamlet separat, ud af betragtningen og dermed kun forholder sig til resten af dagrenovationen, kan man i Figur 8 aflæse, at det organiske affald udgør 53,5 % og restaffaldet 46,5 %. Da vi derudover forudsætter, at husstandene er i stand til at frasortere det organiske affald korrekt, vurderes det som tilstrækkeligt nøjagtigt at benytte samme størrelse spand for organisk- og restaffald. Plastfolie 1,41% Plastemballage 5,63% Andet plast 1,4% Andet pap 7% Metalemballage 2,8% Andet af metal 1,4% Organisk 53,5% Resterende affald 26,8% Figur 8: Sammensætning af affald indsamlet som restaffald, papir og glas. 2010 18 Dermed vil eventuelle dobbeltkammerbiler skulle deles på midten (50/50), så begge kamre er lige store. En fordeling på 50/50 gør ruteplanlægningen lettere, idet man kun behøver at udregne ét sæt ruter for enkeltkammerbilerne i stedet for to sæt ruter, hvor der indsamles henholdsvis rest- og organisk affald. Samtidig ville en anden fordeling end 50/50 betyde, at nogle husstande vil få forskellige spandestørrelser for henholdsvis rest- og organisk affald, hvilket ville føre til at enkelte husstande vil have flere tømninger af fx organisk affald end restaffald. Dette ville medføre, at man skulle operere med to slags efterspørgsel for hver enkelt husstand. 18 Information fra fællesmøde med miljøchef Hardy Mikkelsen, Reno Djurs I/S Side 33 af 85

Udregningen af husstandenes efterspørgsel ved 14 dages tømning for henholdsvis rest og organisk affald hedder: Herefter udregnes hvilken spandetype husstandene skal have stående. Vi vælger den mindst mulige spandetype, der kan dække efterspørgslen. Dermed bliver den overskydende kapacitet i spandene som regel ikke større, end den var i udgangspunktet. Dog er der en uheldig konsekvens, at husstande der i dag har én 110 liters sæk og får tømt hver 14. dag, i stedet vil få to 140 liter spande. Det skyldes, at 110 liters sækken bliver udfaset. Det medfører selvsagt en del overskydende kapacitet for disse husstande. Generelt vælger man dog altid den spandetype, der kun lige dækker behovet, 19 hvorfor den overskydende kapacitet i virkeligheden formegentlig ikke er så stor. Efter denne reallokering af spande er det totale antal tømninger i vores område blevet til 6.405 for henholdsvis restaffald og KOD, hvilket bringer det totale antal tømninger op på 12.810 20. Selvom vi har en forudsætning, om at husstandenes affaldskapacitet i gennemsnit kun udnyttes med 75 %, har vi ikke brugt dette til udregningen af nye spande. Blandt andet fordi der er en usikkerhed omkring denne stikprøve, og fordi vi forventer, at man som minimum ønsker at fastholde den nuværende kapacitet, selvom KOD indføres. 5. Modelopbygning I dette afsnit vil opbygningen af vores løsningsmodel blive forklaret. Først vil vi i afsnit 5.1 beskrive hvilket design vi havde forestillet os at løsningsmodellen skulle følge. Herefter vil vi i afsnit 5.2 beskrive nogle af de begrænsninger vi har sat op for modellen, og derefter kommer der i afsnit 5.3-5.6 en beskrivelse af, hvordan vi har implementeret de forskellige dele af den genetiske algoritme. Genetiske algoritmer er lige dele teori og trial and error og ting, der virker på en problemstilling, virker ikke nødvendigvis på en anden. Derfor følger vi i mange tilfælde ikke teorien helt, men laver modifikationer, som har en god effekt på vores løsning. Afsnit 5.7 indeholder en gennemgang af deadheading, mens vi i afsnit 5.8 vil foretage en tuning af de forskellige parametre indeholdt i modellen. 19 Information fra fællesmøde med Miljøchef Hardy Mikkelsen, Reno Djurs I/S 20 Allokeringen kan ses i filen BIData.xls Side 34 af 85

Til implementering af den genetiske algoritme har vi brugt VBA-programmering i Excel. Valget af programmeringssprog er oplagt, da vi i løbet af vores studie har brugt VBA i flere fag og dermed har kendskab til det. Det er ikke undersøgt, om andre programmeringssprog vil kunne løse opgaven bedre eller mere effektivt, da vi er overbevist om at vi ved hjælp af VBA kan løse problemet tilfredsstillende. 5.1 Design af modellen Dette afsnit vil berøre nogle af de tanker vi gjorde os i forbindelse med designet af modellen. Ifølge (Wøhlk 2010) er tiden man bruger på at designe sin model rigtig godt givet ud, da man med et solidt design sparer tid i både kode- og testfasen. Vi har vurderet, at fordi vores problem er meget stort og komplekst, vil vi kunne drage nytte af at have et overordnet design af vores model. Et af vores helt store mål med modellen var så vidt muligt at holde kørselstiden per generation nede på et niveau, hvor vi rent faktisk vil kunne gøre brug af den genetiske proces og køre modellen i mange generationer. Derfor ønskede vi også at indlæse al den nødvendige information i arrays for på den mere effektivt at kunne læse fra det igen. Informationen, der skal indlæses, er distancematricen, sekvenserne for den initiale population, og information omkring de enkelte vejstykker (efterspørgsel, node id s, længde og vejnavn). I løbet af modellen vil der være yderligere information der skal indlæses i arrays, blandt andet information omkring hvor mange og hvilke vejstykker, der tilhører de enkelte ruter, samt hvor meget deres kapacitet afviger fra begrænsningen. Denne information ønsker vi at skrive til excel arket, hver gang et barn overtager sin forælders plads i den næste generation. Den primære grund til dette er, at vi selvfølgelig skal kunne se, hvordan ruterne er delt op, når vores model er færdigkørt. Sekundært vil vi også bruge det til at fejlfinde, når vores model ikke opfører sig, som vi ønsker det. Udover dette fejl tjek vil vi også kontrollere for fejl, hver gang vi ændrer på et barns sekvens for på den måde nemmere at kunne identificere eventuelle fejl i sekvensen. Selve GA-algoritme sub en vil vi i store træk bare lade bestå af et for-next loop som går fra generation 1 til et bestemt antal generationer. Heri vil der så blive kaldt til de forskellige metoder, som vi vil gøre brug af i forbindelse med crossover, mutation og forbedringsheuristikker. I slutningen af hver generation ønsker vi at notere fitness scoren for den dårligste og bedste løsning samt gennemsnittet af hele populationen for på den måde at give os en ide om, hvor hurtigt løsningen konvergerer hen mod det lokale eller globale minimum. Vi var klar over at vores model ville komme til at indeholde et stort antal parametre, som vi kontinuerligt ville skulle ændre på for at finde det bedste miks, og derfor ville vi gøre det nemt for os selv ved at lave en Side 35 af 85

userform, hvorfra indtastningen af disse parametre skulle foregå, hvorefter en overordnet GA-algoritme skulle starte. Derudover var vi meget bevidste omkring vores egen glemsomhed, hvorfor vi ønskede at modellen ikke bare skulle spytte en løsning ud, men også skulle angive, hvilke parametre den givne løsning var fundet med. i Bilag 3 er vores design skitseret. Det endelige design vil i nogle tilfælde afvige fra vores indledende design, da vi undervejs er kommet på alternative løsninger, som har fungeret bedre for os, men overordnet set har vi forsøgt at holde os så tæt på vores design som muligt. 5.2 Begrænsninger i modellen Modellen anser ikke selve mængden af affald på en rute som en begrænsning, men begrænser i stedet udelukkende på antallet af tømninger. Begrundelsen for dette er, at der ved 210 tømninger af 240 liters containere vil være indsamlet maksimalt 50.400 liter affald. Dette vil så af skraldebilernes komprimeringsfaktor kunne komprimeres ned til 1/6 af volumen 21 svarende til 8.400 liter eller 12.600 kg. ved en vægt på 25 kg / 100 liter ukomprimeret organisk affald 22. Den mindste bil Miljø Team har til rådighed, og som primært varetager opgaver i landområder, har en kapacitet på 12 m3 (15 tons) og, hverken volumen eller vægt vil altså i dette tænkte eksempel blive overskredet. For at en bil skal overskride sin kapacitet, skal den altså indeholde et højt antal tømninger af 400 og 600 liters containere, som kun udgør 7 % af de samlede antal tømninger 23. Alle biler indeholdende organisk affald vil kræve en omlastning og derefter container transport til Komtek Vejen, da det ikke er hensigtsmæssigt at små sendinger kører over så lange distancer. Dobbeltkammerbiler, som både indeholder organisk og restaffald vil ligeledes omlaste restaffaldet, som herefter transporteres i containere til modtageanlægget i Århus. Enkeltkammerbiler indeholdende restaffald vil i virkeligheden ikke skulle forbi Glatved, og derfor skal vi i vores resultater tage højde for dette. Vi gør dette ved at trække gennemsnitsdistancen fra Glatved til alle noder i grafen fra rutens længde og lægge gennemsnitsdistancen til Århus til rutens længde, men som sagt er dette ikke bygget ind i modellen, og det er derfor noget der foretages efter modellen er kørt. Dermed slutter alle ruter i Glatved, hvilket forsimpler rutekonstruktionen betydeligt. 21 Information fra fællesmøde med Miljøchef Hardy Mikkelsen, Reno Djurs I/S 22 Kan findes i filen Vægtfylder af forskellige affaldsfraktioner.doc udleveret af Reno Djurs Restaffald vejer kun 9 kg / 100 liter, hvorfor der her heller ikke er nogen problemer med kapaciteten. 23 Kan ses i filen BIData.xls Side 36 af 85

Når den endelige løsning forelægger, vil det undersøges, om de længste ruter kan gennemføres inden for rimelig tid, så skraldemændenes arbejdsdag ikke bliver for lang. Tidsrelaterede begrænsninger er dermed ikke indbygget i modellen, men fungerer kun som et tjek, når der forelægger en løsning. 5.3 Konstruktion af mulige løsninger For at konstruere et sæt løsninger, som input til den genetiske algoritme, bruges metoderne beskrevet i afsnit 3.1. Der vil dog primært blive lagt vægt på Path-Scanning heuristikken, da den metode ifølge litteraturen gav de bedste resultater. De to tilfældighedsbaserede regler i Path-Scanning blev kørt 200 gange for at udnytte tilfældighedsprincippet og dermed nå frem til stadig bedre løsninger. Ud fra plottet i Figur 1 på side 4 kan man se, at der flere steder er klumper af efterspørgsel, hvorfor vi tænkte at det kunne være aktuelt med en form for clustering. Til at danne sådanne clusters kunne man vælge manuelt at definere nogle vejstykker, der skulle serviceres af den samme bil og derefter finde den korteste mulige vej til at servicere dem, hvilket i litteraturen bliver kaldt cluster first route second. Vi har dog, for at holde det forholdsvist simpelt, valgt en metode, hvor vi ved starten af hver rute definerer et seed punkt, som så er rutens første mål. Dette seed punkt kunne enten være den efterspørgsel, der er længst væk fra depotet, tættest på depotet, længst fra aflastningssted, etc. Ud fra dette seed punkt skulle man så servicere de nærmeste veje med efterspørgsel og eventuelle ties kunne løses med reglerne Path- Scanning. Sweep algoritmen er en cluster first route second metode, hvor selve sweep kun bliver brugt til at skabe clusters, hvorefter selve ruterne i de forskellige clusters skal konstrueres med hjælp fra andre metoder - for eksempel path scanning. I vores konstruktion af initiale løsninger har vi dog ikke foretaget nogen rutekonstruktion på sweep løsningen, hvorfor den også er markant dårligere end vores øvrige løsninger. Vi valgte dog at lade løsningen indgå i den initiale population, fordi vi håbede på at en løsning, der var så forskellig fra de øvrige løsninger, måske kunne tilføre noget brugbar dna til vores initiale population og tilmed på en bedre måde end en tilfældigt generet løsning. Vi ændrede lidt på den oprindelige heuristik og delte grafen op i to zoner. Den første zone indeholdt alle husstande, som har mindre end 10 kilometer til depot noden, mens den anden zone indeholdt alle andre husstande. Sweep heuristikken blev så kørt på hver af de to zoner. Ved at gøre dette blev der kørt knap så meget zig-zag i grafen, hvilket førte til en lidt bedre samlet distance. Der blev konstrueret et sæt løsninger, hvor enkeltkammerbiler med en kapacitet på 210 tømninger per bil servicerer samtlige husstande, og hvor hver enkelt rute bliver serviceret to gange for både at indsamle restaffald og organisk affald. Desuden blev der konstrueret et sæt løsninger, hvor dobbeltkammerbiler med Side 37 af 85

en kapacitet på 105 tømninger per bil servicerer samtlige husstande. Da en dobbeltkammerbil indsamler både restaffald og organisk affald, kan den dermed kun besøge halvt så mange vejstykker som en enkeltkammerbil. Til gengæld kan den medtage både rest- og organisk affald hos den enkelte husstand. Koden til at konstruere disse ruter kan findes i modulerne KonstruktionsHeuristikker og Sweeper 24. De konstruerede ruter optimeres ved at benytte flip algoritmen 25 beskrevet i afsnit 3.2 Split og Flip algoritme, som for en given sekvens af vejstykker, der skal serviceres, bestemmer i hvilken retning hvert enkelt vejstykke skal traverseres for at opnå den mindst mulige distance. Det teoretisk mindste antal biler, der kan servicere alle husstande, kan udregnes som følger: Det totale antal tømninger er 12.810, hvorfor det mindst mulige antal ruter for dobbeltkammerbiler bliver 12.810/210 = 61,0. Dermed er der intet slack til rådighed, hvis en løsning indeholder 61 ruter. I praksis vil en løsning med dobbeltkammerbiler indeholde mindst 62 ruter, da der vil være biler, der kører til aflastning uden at have udnyttet den fulde kapacitet. For en løsning baseret på enkeltkammerbiler vil indsamlingen af organisk affald kræve 30,5 biler, hvilket giver en smule slack, da det reelle antal bliver 31. Det samme er gældende for indsamling af restaffald. Vores konstruktionsheuristikker tager dog ikke højde for denne minimering af antallet af ruter, hvorfor nogle løsninger kan komme til at indeholde flere ruter. For at udregne transportomkostninger i løsninger fra konstruktionsheuristikkerne har vi brugt information fra (Grontmij 2012) samt datamaterialet bag rapporten. Af rapporten fremgår det, at en typisk dieseldrevet renovationsbil på landruter bruger 0,72 liter diesel/km under indsamling og 0,6 liter diesel/km under transport, og at diesel prisen per liter er 8,54 kr. Det antages, at enkeltkammerbiler indeholdende restaffald kører direkte til Århus og afleverer affaldet efter færdiggørelse af ruten. I konstruktionsheuristikkerne er slutpunktet sat til Glatved, hvorfor kørte km er blevet korrigeret ned med 11 km 26 for halvdelen af enkeltkammerbilerne. Ligeledes er transporten af restaffaldet til Århus lagt til som en konstant for halvdelen af enkeltkammerbilruterne. Den gennemsnitlige distance til Århus fra samtlige noder i grafen er 47 km, hvilket ganges med de 0,6*8,54, som er henholdsvis transportprisen (km/liter) for en landbil og dieselprisen. Det organiske affald vil modsat restaffaldet blive kørt til Glatved, hvor det vil blive omlastet til to 36m 3 containere, som vil blive fragtet til Vejen i dobbelttræk for en pris på 1.920 kr. 27 Mængden af organisk affald er ens, ligegyldigt hvilken type bil der bruges, og derfor vil disse omkostninger også være 24 Kan findes i filen Intitial løsninger.xlsm 25 Koden kan findes i filen Model 1.0.xlsm i modulet GA og sub en Reconstruct_Routes 26 Den gennemsnitlige distance fra samtlige noder i vores graf til Glatved er 11 km. 27 1.620 kr. for transport til Vejen plus en omlæsningsomkostning på 300 kr. Information fra Reno Djurs I/S Side 38 af 85

ens, uanset hvilken biltype der bruges. Udregningen af omlastningsomkostningen for det organiske affald ser således ud: 1.920 kr. * (m 3 ukomprimeret organisk affald * 75 % / 72). De 72 er det antal m 3, der kan være i et dobbelttræk, og der bliver ganget med 75 %, fordi vi af Hardy Mikkelsen hos Reno Djurs har fået oplyst, at det er den gennemsnitlige fyldningsgrad på spandende. I Tabel 3 kan man aflæse den totale omkostning for indsamling og omlastning af restaffald og organisk affald for en 14-dages periode udelukkende ved brug af enkeltkammerbiler, mens Tabel 4 viser det samme, men ved brug af dobbeltkammerbiler. Enkeltkammerbil løsninger Antal ruter Kørte km. Transport omk. Transport af restaffald til Århus Omlastning omk. organisk Total PS regel 1 62 3.253 kr. 20.005 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 37.743 PS regel 2 62 3.363 kr. 20.680 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 38.418 PS regel 3 62 3.424 kr. 21.051 Kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 38.789 PS regel 4 62 3.469 kr. 21.333 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 39.071 PS regel 5 62 3.145 kr. 19.338 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 37.076 PS regel 6 62 3.429 kr. 21.086 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 38.824 PS regel 7 62 3.339 kr. 20.530 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 38.268 Cluster + PS 6 62 3.452 kr. 21.226 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 38.965 Cluster + PS 7 62 3.247 kr. 19.963 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 37.701 Sweep 62 11.362 kr. 69.862 kr. 7.466 kr. 10.273 kr. 87.601 Tabel 3: Udregning af fitness score for enkeltkammerbilløsninger Dobbeltkammerbil løsninger Antal ruter Kørte km. Transport omk. Omlastning omk. Rest Omlastning omk. Organisk Total PS regel 1 63 3.015 kr. 18.536 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 36.032 PS regel 2 63 2.985 kr. 18.353 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 35.849 PS regel 3 63 2.915 kr. 17.922 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 35.418 PS regel 4 63 2.972 kr. 18.276 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 35.772 PS regel 5 63 2.908 kr. 17.880 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 35.376 PS regel 6 62 2.941 kr. 18.083 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 35.579 PS regel 7 62 2.969 kr. 18.259 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 35.755 Cluster + PS 6 62 2.744 kr. 16.875 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 34.371 Cluster + PS 7 63 2.803 kr. 17.232 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 34.728 Sweep 63 6.760 kr. 41.563 kr. 7.223 kr. 10.273 kr. 59.059 Tabel 4: Udregning af fitness score for dobbeltkammerbilløsninger Side 39 af 85

Dobbeltkammerbilerne vil ikke køre deres restaffald direkte til Århus, men vil i stedet køre til Glatved, hvor affaldet omlastes til containere. Containerne køres derefter til Århus i dobbeltræk for en pris på 1.350 kr. 28 Udregningen af transportomkostninger af organisk affald bliver derfor til 1.350 * (m 3 ukomprimeret restaffald * 75 % / 72). Det er en fordel for dobbeltkammerbilerne, at det forudsættes, at spandene kun er 75 % fyldte. Det betyder nemlig, at det vil kræve færre containertræk med restaffald til Århus og dermed opnås en lavere omkostning. Der vil senere i opgaven blive undersøgt, hvilken effekt en ændring i denne fyldningsgrad vil have på det endelige resultat. Umiddelbart tyder det på, ud fra de to ovenstående tabeller, at dobbeltkammerbilløsningerne er enkeltkammerbilløsningerne overlegne. Det skyldes især, at enkeltkammerbilerne kører noget længere end dobbeltkammerbilerne under indsamlingsdelen, hvilket de i øvrigt altid vil gøre. Dette forhold er illustreret i Figur 9. Ruten er markeret med den sorte streg, mens de to nødvendige enkeltkammerbilers ruter er farvet røde. De to blå enkeltkammerbilers samlede distance er tydeligt kortere end de to enkeltkammerbiler. Figur 9: Forskellen på enkelt- og dobbeltkammerbiler for en rute. 5.4 Den genetiske algoritme i praksis I dette afsnit vil vi beskrive, hvordan vi har opbygget vores genetiske algoritme og de forskellige metoder for valg af forældre, crossover og mutation som vi har forsøgt at implementere. 28 1.050 kr. for transport til Århus plus en omlæsningsomkostning på 300 kr. Prisen på 1.050 er forudsat, at der ikke er noget returlæs som f.eks. deponeringsaffald fra Århus til Glatved, hvorved prisen i stedet ville være 730 kr. - Information fra Reno Djurs I/S Side 40 af 85