Studieordning for bacheloruddannelsen i matematik og statistik Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet 2010
Forord: I medfør af lov 985 af 21. oktober 2009 om universiteter (Universitetsloven) med senere ændringer fastsættes følgende studieordning for bacheloruddannelsen i matematik og statistik. Uddannelsen følger endvidere Rammestudieordningen og tilhørende Eksamensordning ved Det Teknisk- Naturvidenskabelige Fakultet. Indholdsfortegnelse Kapitel 1: Studieordningens hjemmel mv.... 2 1.1 Bekendtgørelsesgrundlag... 2 1.2 Fakultetstilhørsforhold... 2 1.3 Studienævnstilhørsforhold... 2 Kapitel 2: Optagelse, betegnelse, varighed og kompetenceprofil... 2 2.1 Optagelse... 2 2.2 Uddannelsens betegnelse på dansk og engelsk... 2 2.3 Uddannelsens normering angivet i ECTS... 2 2.4 Eksamensbevisets kompetenceprofil... 2 2.5 Uddannelsens kompetenceprofil:... 2 Kapitel 3: Uddannelsens indhold og tilrettelæggelse... 3 3.1 Modulbeskrivelser for 1. semester, MAT1... 5 3.1.1 Projektmoduler for 1. semester, MAT1... 5 3.1.2 Kursusmoduler for 1. semester, MAT1... 7 3.2 Modulbeskrivelser for 2. semester, MAT2... 11 3.2.1 Projektmodul for 2. semester, MAT2... 11 3.2.2 Kursusmoduler for 2. semester, MAT2... 11 3.3. Modulbeskrivelser for 3. semester, MAT3... 13 3.3.1 Projektmodul for 3. semester, MAT3... 13 3.4. Modulbeskrivelser for 4. semester, MAT4... 16 3.4.1 Projektmodul for 4. semester, MAT4... 16 3.4.2 Kursusmoduler for 4. semester, MAT4... 17 3.5. Modulbeskrivelser for 5. semester, MAT5... 20 3.5.1 Projektmodul for 5. semester, MAT5... 20 3.5.2 Kursusmoduler for 5. semester, MAT5... 21 3.6. Modulbeskrivelser for 6. semester, MAT6... 24 3.6.1 Projektmodul for 6. semester, MAT6... 24 3.6.2 Kursusmoduler for 6. semester, MAT6... 24 Kapitel 4: Ikrafttrædelse, overgangsregler og revision... 30 Kapitel 5: Andre regler... 30 5.1 Regler om skriftlige opgaver, herunder bachelorprojektet... 30 5.2 Regler om merit, herunder mulighed for valg af moduler, der indgår i en anden uddannelse ved et universitet i Danmark eller udlandet... 31 5.3 Regler omkring forløb og afslutning af bacheloruddannelsen... 31 5.4 Særligt projektforløb... 31 5.5 Eksamensregler... 31 5.6 Dispensation... 31 5.8 Uddybende information... 31 1
Kapitel 1: Studieordningens hjemmel mv. 1.1 Bekendtgørelsesgrundlag Bacheloruddannelsen i matematik og statistik er tilrettelagt i henhold til skabsministeriets bekendtgørelse nr. 814 af 29. juni 2010 om bachelor- og kandidatuddannelser ved universiteterne (Uddannelsesbekendtgørelsen) og bekendtgørelse nr. 857 af 1. juli 2010 om eksamen ved universitetsuddannelser (Eksamensbekendtgørelsen) med senere ændringer. Der henvises yderligere til bekendtgørelse nr. 181 af 23. februar 2010 (Adgangsbekendtgørelsen) og bekendtgørelse nr. 250 af 15. marts 2007 (Karakterbekendtgørelsen) med senere ændringer. 1.2 Fakultetstilhørsforhold Bacheloruddannelsen hører under Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet, Aalborg Universitet. 1.3 Studienævnstilhørsforhold Bacheloruddannelsen hører under Studienævnet for Matematik, Fysik og Nanoteknologi ved School of Engineering and Science. Kapitel 2: Optagelse, betegnelse, varighed og kompetenceprofil 2.1 Optagelse Optagelse på bacheloruddannelsen i matematik og statistik forudsætter en gymnasial uddannelse. Uddannelsens specifikke adgangskrav er Dansk A, Engelsk B og Matematik A jf. Adgangsbekendtgørelsen. 2.2 Uddannelsens betegnelse på dansk og engelsk Bacheloruddannelsen giver ret til betegnelsen bachelor (BSc) i matematik og statistik. Den engelske betegnelse: Bachelor of Science (BSc) in Mathematics and Statistics. Titlen for 2 fagskombinationer er bachelor (BSc) i matematik og [tilvalg] / Bachelor of Science (BSc) in Mathematics and [tilvalg på engelsk]. 2.3 Uddannelsens normering angivet i ECTS Bacheloruddannelsen er en 3-årig forskningsbaseret heltidsuddannelse. Uddannelsen er normeret til 180 ECTS. 2.4 Eksamensbevisets kompetenceprofil Nedenstående vil fremgå af eksamensbeviset: En bachelor har kompetencer erhvervet gennem et uddannelsesforløb, der er foregået i et forskningsmiljø. En bachelor har grundlæggende kendskab til og indsigt i sit fags metoder og videnskabelige grundlag. Disse egenskaber kvalificerer bacheloren til videreuddannelse på et relevant kandidatstudium samt til ansættelse på baggrund af uddannelsen. 2.5 Uddannelsens kompetenceprofil: En person, der dimitterer med en bachelorgrad i matematik og statistik, skal have følgende viden, færdigheder og kompetencer: 2
Dimittenden skal have viden om teori, metode og praksis inden for matematik, herunder matematisk analyse, algebra, geometri og statistik kunne forstå og reflektere over teorier og metode inden for matematik Dimittenden skal kunne anvende flere fagområders metoder og redskaber samt kunne anvende færdigheder, der knytter sig til beskæftigelse med problemstillinger inden for matematik kunne vurdere teoretiske og praktiske problemstillinger samt begrunde og vælge relevante løsningsmodeller kunne formidle faglige problemstillinger og løsningsmodeller til fagfæller og ikke-specialister eller samarbejdspartnere og brugere Dimittenden skal kunne håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- eller arbejdssammenhænge selvstændigt kunne indgå i fagligt og tværfagligt samarbejde med en professionel tilgang kunne identificere egne læringsbehov og strukturere egen læring i forskellige læringsmiljøer Kapitel 3: Uddannelsens indhold og tilrettelæggelse Uddannelsen er modulopbygget og tilrettelagt som et problembaseret studium. Et modul er et fagelement eller en gruppe af fagelementer, der har som mål at give den studerende en helhed af faglige kvalifikationer inden for en nærmere fastsat tidsramme angivet i ECTS-point, og som afsluttes med en eller flere prøver inden for bestemte eksamensterminer, der er angivet og afgrænset i studieordningen. Uddannelsen bygger på en kombination af faglige, problemorienterede og tværfaglige tilgange og tilrettelægges ud fra følgende arbejds- og evalueringsformer, der kombinerer færdigheder og faglig refleksion: forelæsninger klasseundervisning projektarbejde workshops opgaveløsning (individuelt og i grupper) lærerfeedback faglig refleksion porteføljearbejde Uddannelsesoversigt Alle moduler bedømmes gennem individuel gradueret karakter efter 7-trinssskalaen eller bestået/ikke bestået (B/IB). Alle moduler bedømmes ved ekstern prøve (ekstern censur) eller intern prøve (intern censur eller ingen censur). 3
Bachelor, et-fags: Semester Modul ECTS Bedømmelse Prøve 1. MAT1 2. MAT2 3. MAT3 4. MAT4 5. MAT5 6. MAT6 Projektmodul. Introduktion til projektarbejde (P0) 5 B/IB Intern Projektmodul. Diskrete dynamiske systemer 10 B/IB Intern Iteration og approksimation (P1) Lineær algebra 5 7-trinsskala Intern Problembaseret læring i videnskab, teknologi og 5 B/IB Intern samfund (POPBL) Introduktion til matematiske metoder (mat-spor) 5 B/IB Intern Projektmodul. Kombinatorik: grafteori og optimering 15 7-trinsskala Ekstern (P2) Calculus 5 7-trinsskala Intern Diskret matematik 5 7-trinsskala Intern Valgfrit kursusmodul på 2. semester på fx fysik eller 5 datalogi Projektmodul. Ekstrema, teori og praksis 15 7-trinsskala Intern Algebra 1: grupper 5 7-trinsskala Intern Analyse 1: konvergens og kontinuitet 5 7-trinsskala Ekstern Linearitet og differentiabilitet 5 B/IB Intern Projektmodul. Symmetri 10 7-trinsskala Ekstern Sandsynlighedsregning 5 7-trinsskala Intern Analyse 2: metriske rum 5 7-trinsskala Intern Komplekse funktioner 5 7-trinsskala Intern Algebra 2: ringe og legemer 5 7-trinsskala Intern Projektmodul. Statistisk modellering og analyse 15 7-trinsskala Ekstern Computeralgebra 5 B/IB Intern Geometri 5 7-trinsskala Intern Statistisk inferens for lineære modeller 5 B/IB Intern Projektmodul. Bachelorprojekt 15 7-trinsskala Ekstern Der udbydes et antal kurser fra følgende liste, heraf vælger den studerende 3: Integrationsteori 5 B/IB Intern Bayesiansk inferens og Markovkæde Monte Carlo 5 B/IB Intern metoder Kodningsteori 5 B/IB Intern Mangfoldigheder differentialgeometri og 5 B/IB Intern differentialtopologi Algebraisk topologi geometriens spejlbillede i 5 B/IB Intern algebraen Tidsrækkeanalyse og økonometri 5 B/IB Intern Operatorer på Hilbertrum 5 B/IB Intern Grafteori 5 B/IB Intern Rumlig statistik 5 B/IB Intern I ovenstående moduler indgår videnskabsteori og videnskabelige metoder igennem alle projektmoduler, idet disse bygger på problem baseret læring som videnskabelig metode. På uddannelsens 6 semester gives den studerende stor frihed i valg af kurser og valg af emne for bachelorprojekt. Denne frihed i valget af fagligt fokus giver den studerende stor mulighed for at profilere sin uddannelse efter eget ønske. 4
Bachelor, to-fags (tilvalg: biologi, kemi, datalogi, fysik, geografi eller idræt): Semester Modul ECTS Bedømmelse Prøve 1. MAT1 2. MAT2 3. MAT3 4. MAT4 5. NT3 / IDR1 6. NT4 /IDR2 + BP Projektmodul. Introduktion til projektarbejde (P0) 5 B/IB Intern Projektmodul. Diskrete dynamiske systemer Iteration og 10 B/IB Intern approksimation (P1) Lineær algebra 5 7-trinsskala Intern Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund 5 B/IB Intern (POPBL) Introduktion til matematiske metoder (mat-spor) 5 B/IB Intern Projektmodul. Kombinatorik: grafteori og optimering (P2) 15 7-trinsskala Ekstern Calculus 5 7-trinsskala Intern Diskret matematik 5 7-trinsskala Intern Tilvalg * 5 Projektmodul. Ekstrema, teori og praksis 15 7-trinsskala Intern Algebra 1: grupper 5 7-trinsskala Intern Analyse 1: konvergens og kontinuitet 5 7-trinsskala Ekstern Linearitet og differentiabilitet 5 B/IB Intern Projektmodul. Symmetri 10 7-trinsskala Ekstern Sandsynlighedsregning 5 7-trinsskala Intern Analyse 2: metriske rum 5 7-trinsskala Intern Komplekse funktioner 5 7-trinsskala Intern Algebra 2: ringe og legemer 5 7-trinsskala Intern Tilvalg 15 Tilvalg 5 Tilvalg 5 Tilvalg 5 Bachelorprojekt 10 Tilvalg 5 Tilvalg 5 Tilvalg 5 Tilvalg 5 * Biologi/kemi følger almen biologi (ALBIO), datalogi følger objektorienteret programmering (OOP), fysik følger termodynamik og mekanik (TERMEK), geografi følger geografiske informationssystemer (GIS), idræt følger et valgfrit kursusmodul på 2. semester af en naturvidenskabelig uddannelse, se i øvrigt de pågældende studieordninger. På uddannelsens 6 semester gives den studerende stor frihed i valg af emne for bachelorprojekt. Denne frihed i valget af fagligt fokus giver den studerende stor mulighed for at profilere sin uddannelse efter eget ønske 3.1 Modulbeskrivelser for 1. semester, MAT1 3.1.1 Projektmoduler for 1. semester, MAT1 Titel: Introduktion til projektarbejde (Introduction to Project Work). Forudsætninger: Optagelse på studiet. Mål: Studerende der har gennemført modulet: 5
skal have kendskab til enkelte elementære begreber inden for den relevante projektvinkel/faglighed skal have et grundlæggende kendskab til arbejdsprocesserne i et projektarbejde, videnstilegnelse og samarbejde med vejleder skal kunne definere projektarbejdets mål og kunne skrive en konklusion, der besvarer projektarbejdets problemstilling skal kunne beskrive og analysere en eller flere projektvinkler skal kunne formidle projektets arbejdsresultater skriftligt, grafisk og mundtligt på en sammenhængende måde skal kunne reflektere over den problemorienterede og projektorganiserede studieform og arbejdsprocessen skal kunne formidle de opnåede resultater fra projektarbejdet i en projektrapport skal kunne samarbejde omkring problemfeltets projektarbejde og foretage en fælles fremlæggelse af projektarbejdets resultater skal kunne reflektere over måder at formidle information til andre (skriftligt, mundtligt og grafisk) Undervisningsform: Projektarbejde med vejledning. De studerende gives et tema, inden for hvilket projektgruppen vælger en eller flere vinkler for problembearbejdning. Temaet dækker bredt de fagligheder, der indgår i det videre studieforløb inden for matematik. Prøveform: Individuel mundtlig prøve baseret på fremlæggelsesseminar og projektrapport. Titel:. Diskrete dynamiske systemer Iteration og approksimation (Discrete Dynamical Systems Iteration and Approximation). Forudsætninger: Dansk A, engelsk B og matematik A. Mål: Studerende der gennemfører modulet: skal have viden om modeller for konkrete dynamiske systemer, eksempelvis til beskrivelse af makroøkonomiske fænomener skal have kendskab til iterative og numeriske metoder og værktøjer, som kan bruges til simulering af diskrete dynamiske systemer skal have kendskab til og overblik over emner og begreber inden for lineær algebra, som er relevante ved løsning, ligevægtsanalyse og stabilitetsanalyse af diskrete lineære dynamiske systemer skal kunne kommunikere de relevante abstrakte matematiske teorier og deres anvendelse på et eller flere konkrete dynamiske systemer. Denne kommunikation skal både i skrift og tale kunne ske med korrekt anvendelse af matematiske begreber og symboler og stringente ræsonnementer 6
skal kunne udføre en konkret analyse af et diskret dynamisk system, hvor analysen omfatter bestemmelse af ligevægtspunkter, stabilitet og evt. numerisk simulering skal kunne udpege relevante fokusområder til at vurdere og udvikle løsninger under hensynstagen til de samfundsmæssige og humanistiske sammenhænge i hvilke løsningen skal indgå skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber indenfor lineær algebra skal udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling skal kunne anvende begreber og værktøjer til problembaseret projektledelse og reflektere den problembaserede læring for gruppen i en skriftlig procesanalyse for hhv. P0 og P1 forløbet Prøveform: Individuel mundtlig prøve på baggrund af projektrapport. 3.1.2 Kursusmoduler for 1. semester, MAT1 Titel: Lineær algebra (Linear Algebra). Forudsætninger: Gymnasial matematik på A-niveau. Mål: Studerende der gennemfører modulet: skal have viden om definitioner, resultater og teknikker indenfor teorien for lineære ligningssystemer skal have kendskab til lineære transformationer og deres sammenhæng med matricer skal have viden om computerværktøjet Matlab og dets anvendelse indenfor lineær algebra skal have kendskab til simple matrixoperationer skal have kendskab til invertibel matrix og invertibel lineær afbildning skal have kendskab til vektorrummet Rn og underrum deraf skal have kendskab til lineær afhængighed og uafhængighed af vektorer, samt dimension og basis for underrum skal have kendskab til determinant for matricer skal have kendskab til egenværdier og egenvektorer for matricer og deres anvendelse skal have kendskab til projektioner og ortonormale baser skal have viden om første ordens differentialligninger, samt om systemer af lineære differentialligninger skal kunne anvende teori og regneteknik for lineære ligningssystemer til at afgøre løsbarhed, og til at bestemme fuldstændige løsninger og deres struktur skal kunne repræsentere lineære ligningssystemer ved hjælp af matrixligninger, og omvendt skal kunne bestemme og anvende reduceret echelonform af en matrix skal kunne anvende elementære matricer i forbindelse med Gauss-elimination og inversion af matricer skal kunne afgøre lineær afhængighed eller lineær uafhængighed af små systemer af vektorer 7
skal kunne bestemme dimension af og basis for underrum skal kunne bestemme matrix for en givet lineær afbildning, og omvendt skal kunne løse simple matrixligninger skal kunne beregne invers af små matricer skal kunne bestemme dimension af og basis for nulrum og søjlerum skal kunne beregne determinanter og kunne anvende resultatet af beregningen skal kunne beregne egenværdier og egenvektorer for simple matricer skal kunne afgøre, om en matrix er diagonaliserbar, og i bekræftende fald gennemføre en diagonalisering, for simple matricer skal kunne beregne den ortogonale projektion på et underrum af Rn skal kunne løse separable og lineære første ordens differentialligninger, generelt, og med begyndelsesbetingelser skal udvikle og styrke sit kendskab til, forståelse af, og anvendelse af matematiske teorier og metoder indenfor andre fagområder skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber indenfor lineær algebra Undervisningsform: Forelæsninger med tilhørende opgaveregning. Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Titel: Problembaseret læring i videnskab, teknologi og samfund (Problem Based Learning in Science, Technology and Society). Forudsætninger: Ingen. Formål: Kursets formål er at støtte de matematikstuderende, teoretisk såvel som praktisk i at planlægge og udføre et videnskabeligt problembaseret projektarbejde med samfundsmæssig relevans. I problembaseret læring tages der udgangspunkt i et virkeligt problem; dvs. at både problemet og potentielle løsninger er indlejret i en teknologisk og samfundsmæssig kontekst. At arbejde problemorienteret indenfor naturvidenskab indbefatter således en forståelse for, hvordan relevante kontekstuelle sammenhænge udpeges og inddrages i udviklingen af en problemløsning. Da problembaseret læring relaterer sig til problemer fra virkelighedens verden, så reflekteres virkelighedens komplekse natur også i problemerne; og det er derfor sjældent at en person i praksis kan favne problemets kompleksitet. Problembaseret læring foregår derfor som oftest i et gruppeorganiseret projektarbejde, og i alle tilfælde er afgrænsningen af problemfeltet nøje afstemt med projektenhedens mål og de ressourcer, der er til rådighed. I et problembaseret projektarbejde er det derfor centralt at udnytte og udvikle projektgruppens samlede kapacitet indenfor både samarbejde, læring og projektstyring; samtidigt med at den enkelte får udfoldet og udviklet sin viden, færdigheder og kompetencer. Mål: Efter kurset skal den studerende have: der gør den studerende i stand til at: redegøre for grundlæggende læringsteori redegøre for teknikker til planlægning og styring af projektarbejde redegøre for forskellige tilgange til problembaseret læring (PBL); herunder Aalborg modellens udgangspunkt i problemer, der indgår i en samfundsmæssig og/eller humanistisk sammenhæng 8
redegøre for forskellige tilgange til analyse og vurdering af naturvidenskabelige problemstillinger og løsninger i et videnskabsteoretisk, etisk, og samfundsmæssigt perspektiv redegøre for konkrete metoder til at udføre denne analyse og vurdering, der gør de studerende i stand til at: planlægge og styre et problembaseret studieprojekt analysere projektgruppens organisering af gruppesamarbejdet, med henblik på at identificere stærke og svage sider, og på den baggrund komme med forslag til, hvordan samarbejdet i fremtidige grupper kan forbedres reflektere over årsager til og anvise mulige løsninger på eventuelle gruppekonflikter analysere og vurdere egen studieindsats og læring, med henblik på at identificere stærke og svage sider, og der ud fra overveje videre studieforløb og studieindsats reflektere over de anvendte metoder i et videnskabsteoretisk perspektiv udpege relevante fokusområder, begreber og metoder til at vurdere og udvikle løsninger under hensynstagen til de samfundsmæssige og humanistiske sammenhænge i hvilke løsningen skal indgå, som gør den studerende i stand til at: indgå i et teambaseret projektarbejde formidle et projektarbejde reflektere og udvikle egen læring bevidst indgå i og optimere kollaborative læreprocesser reflektere over sit professionelle virke i relation til det omgivende samfund Gruppen vil i relation til P1 projektet anvende begreber og værktøjer til problembaseret projektledelse; og reflektere den problembaserede læring for gruppen i en skriftlig procesanalyse for hhv. P0 og P1 forløbet. I relation til skab, teknologi og samfund vil de studerende i deres P1 projekt udpege relevante fokusområder til at vurdere og udvikle løsninger under hensynstagen til de samfundsmæssige og humanistiske sammenhænge i hvilke løsningen skal indgå. Disse projektaktiviteter vil i forløbet blive kommenteret af konsulenter indenfor helhedsorienteret projektledelse med henblik på at sikre sammenhæng imellem kurset og projektarbejdet. Kurset skaber endvidere grundlaget for at den studerende i P2-projektenheden opdyrker kompetence i at inddrage relevante humanistiske og samfundsmæssige forhold i udvikling af ingeniør, natur og sundhedsvidenskabelige løsninger. Dette vil understøttes af bivejledning indenfor helhedsorienteret projektledelse med fokus på kontekstualisering af problemfeltet. I P2 følges arbejdet indenfor problembaseret læring op ved et konsulentbesøg; for at understøtte at de tillærte kompetencer er en forankret del af projektarbejdet. Indhold: Kursets indhold sigter både på den helhed projektgruppen udgør omkring projektet samt den helhed de samfundsmæssige forhold udgør for projektet. Studieintroduktion og teknik skabelig redelighed Skriftlig og mundtlig formidling af projektresultater Erfaringsopsamling Projektplanlægning, inkl. projektstyring og ledelse Kommunikationen i og udad gruppen Læringsstile, teamroller og gruppedynamik Kreativitet i projektarbejdet Konflikthåndtering Teori om læreprocesser skabsteori 9
Sociologisk metode, kvalitativ og kvantitativ undersøgelse Faser i et problemorienteret projektarbejde fra initierende problem over problemanalyse til problemformulering Helhedsvurdering af videnskaben/ teknologien/produktet i relation til brugeren og det omgivende samfund, herunder indflydelse af: o Miljø, forbrug og socialt ansvar o Samfundsøkonomi o Kulturforståelse og interkulturel kommunikation o Politiske processer, magt og regulering Metoder til analyse og dokumentation af gruppens læreprocesser; Undervisningens organisering og eksamination: Kurset er organiseret som et mix af forelæsninger, seminarer, workshops, gruppekonsultation og selvstudium. Kurset eksamineres individuelt på baggrund af en skriftlig opgave. Titel: Introduktion til matematiske metoder (Introduction to Mathematical Methods). Forudsætninger: Gymnasial matematik på A-niveau. Mål: Studerende der gennemfører modulet: skal have kendskab til induktionsbevis skal have kendskab til de komplekse tal skal have kendskab til grundlæggende dele af teorien for rødder i polynomier skal have kendskab til grundlæggende dele af teorien for lineære differensligninger skal have kendskab til eksistens- og entydighedsresultater for lineære differensligninger af første og anden orden med konstante koefficienter skal have kendskab til nogle resultater vedrørende differensligninger af orden højere end to skal have kendskab til anvendelse af differensligninger indenfor matematisk modellering skal have kendskab til grundlæggende dele af lineær programmering skal have kendskab til anvendelse af lineær programmering i forbindelse med matematisk modellering skal have kendskab til brug af matematisk abstraktion indenfor matematisk modellering skal have kendskab til anvendelse af matematisk abstraktion indenfor algebra, lineær algebra og geometri skal kunne løse homogene og inhomogene lineære første ordens differensligninger skal kunne løse homogene lineære anden ordens differensligninger med konstante koefficienter, og tilsvarende inhomogene ligninger med simple inhomogene led skal kunne løse simple lineære programmeringsproblemer skal kunne løse simple matematiske modelleringsproblemer, der anvender enten differensligninger eller lineær programmering, eller begge metoder Undervisningsform: Forelæsninger med tilhørende opgaveregning og teoretiske øvelser. Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. 10
3.2 Modulbeskrivelser for 2. semester, MAT2 3.2.1 Projektmodul for 2. semester, MAT2 Titel: Kombinatorik: grafteori og optimering (Combinatorics: Graph Theory and Optimisation). Forudsætninger: Bestået P0- og P1-projektenhed. Mål: Studerende der gennemfører modulet skal opnå om grundlæggende begreber inden for fagområdet udvalgte konkrete resultater og/eller algoritmer inden for fagområdet modeller for konkrete diskrete problemstillinger vha. eksempelvis grafer i at kommunikere skriftligt og mundtligt om abstrakte definitioner samt resultater og/eller algoritmer vha. de relevante matematiske begreber og den relevante matematiske notation kommunikere stringente ræsonnementer for resultater og/eller algoritmer anvende resultater og/eller algoritmer på konkrete problemstillinger Kompetence til at kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling Prøveform: Individuel mundtlig prøve på baggrund af projektrapport. 3.2.2 Kursusmoduler for 2. semester, MAT2 Titel: Calculus (Calculus). Forudsætninger: Lineær algebra. Mål: Studerende der gennemfører modulet: skal have kendskab til definitioner, resultater og teknikker indenfor teorien for differentiation og integration af funktioner af to eller flere variable skal have kendskab til de trigonometriske funktioner og deres inverse funktioner skal have kendskab til beskrivelsen af simple flader i hhv. retvinklede-, polære-, og sfæriske koordinater skal have kendskab til de komplekse tal, deres regneregler og deres repræsentationer skal have kendskab til faktorisering af polynomier over de komplekse tal skal have kendskab til den komplekse eksponentialfunktion, dens egenskaber, og dens forbindelse med trigonometriske funktioner 11
skal have kendskab til kurver i planen (både i rektangulære og polære koordinater) og rummet, parametrisering, tangentvektor og krumning for disse skal have kendskab til teorien for anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter skal kunne visualisere funktioner af to og tre variable ved hjælp af grafer, niveaukurver og niveauflader skal kunne foretage bestemmelse af lokale og globale ekstrema for funktioner af to og tre variable skal kunne bestemme areal, volumen, inertimoment og lignende ved anvendelse af integrationsteori skal kunne approksimere funktioner af en variabel ved hjælp af Taylors formel, og kunne anvende lineær approksimation for funktioner af to eller variable skal have færdighed i regning med komplekse tal skal kunne finde rødder i den komplekse andengradsligning og udføre faktorisering af polynomier i simple tilfælde skal kunne løse lineære andenordens differentialligninger med konstante koefficienter, generelt, og med begyndelsesbetingelser skal kunne ræsonnere med kursets begreber, resultater og teorier, i simple konkrete og abstrakte problemstillinger skal udvikle og styrke sit kendskab til, forståelse af, og anvendelse af matematiske teorier og metoder indenfor andre fagområder skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber fra calculus Undervisningsform: Forelæsninger med tilhørende opgaveregning. Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Titel: Diskret Matematik (Discrete Mathematics). Forudsætninger: Matematik på A-niveau samt lineær algebra fra studiets første semester. Mål: Den studerende skal opnå viden om: mængdelære: mængder, relationer, funktioner, partielle ordninger, ækvivalensrelationer grundlæggende talteori: modulær aritmetik. Euklids algoritme. Den kinesiske restsætning. Fermats lille sætning. Primtalsopløsning de rationale tals tællelighed rekursive/iterative algoritmer. Tidskompleksitet asymptotisk notation. Logaritme og eksponentialfunktioner med grundtal 2. Store-O notationen kombinatorik: binomialformlen rekursive funktioner. rekurrensligninger bevisteknikker: svag og stærk induktion. Modstridsbevis, bevis ved kontraposition, konstruktivt bevis logisk notation: udsagnslogik, kvantorer 12
grafteori: orienterede og ikke-orienterede grafer. Veje, stier, træer. Grafalgoritmer. Søgning i grafer. Korteste vej Den studerende skal have følgende færdigheder: kunne gennemføre beviser for resultater indenfor kursets emner ved hjælp af de i kurset behandlede bevisteknikker kunne gøre brug af de fornødne skriftlige færdigheder i disse sammenhænge skal have den studerende skal kunne anvende begreber og teknikker for diskret matematik, herunder i sammenhænge, hvor algoritmer indgår Undervisningsform: Forelæsninger med tilhørende opgaveregning. Desuden et antal kursusgange, hvor der arbejdes med større skriftlige opgaver. Prøveform: 4 timers skriftlig eksamen uden brug af computeralgebraværktøj. 3.3. Modulbeskrivelser for 3. semester, MAT3 3.3.1 Projektmodul for 3. semester, MAT3 Titel: Ekstrema, teori og praksis (Extrema, Theory and Practice). Forudsætninger: At 1. og 2. semester (MAT1-2) er beståede og at kurserne analyse 1 og lineær algebra og differentiabilitet følges senest samtidigt. Mål: Studerende der gennemfører modulet skal have: om lokale og globale ekstrema for reelle funktioner af flere variable, herunder klassifikation af stationære punkter ved hjælp af Hessematricer bestemmelse af ekstremumspunkter via lineær programmering og/eller iteration (stejlest stigning, Newton Raphson) emner og resultater fra lineær algebra og matematisk analyse, som med fordel kan anvendes i ekstremumsundersøgelser og i analysen af de iterative metoder til bestemmelse af ekstrema i at kommunikere i skrift og tale om abstrakt matematik og dens anvendelse på ekstremumsundersøgelser, inklusive korrekt brug af begreber og symboler og med stringente ræsonnementer at behandle et konkret optimeringsproblem Kompetence til at forstå matematisk tankegang og ræsonnement i definitioner, sætninger og beviser inden for emneområdet Prøveform: Individuel mundtlig prøve på baggrund af projektrapport. 13
Titel: Algebra 1: grupper (Algebra 1: Groups). Forudsætninger: Lineær algebra og Diskret matematik. Mål: Studerende der gennemfører modulet skal have: om kompositioner og deres egenskaber abstrakt definition af og eksempler på grupper undergrupper, normale undergrupper, faktorgrupper frembringere af grupper, cykliske grupper homomorfi- og isomorfibegrebet talteoretiske begreber og resultater, herunder Eulers sætning Permutationer og permutationsgrupper eksempler på legemer, legemer af primtalsorden Studerende der gennemfører modulet skal kunne: anvende abstrakte algebraiske begreber og konstruktioner gennemføre beviser for gruppe- og talteoretiske resultater gennemføre talteoretiske beregninger bestemme fortegn, disjunkte cykler og cykelindex for en permutation Studerende der gennemfører modulet skal: gennem studiet af mængder med struktur opnå kompetencer vedrørende matematikkens symboler og formalisme kunne ræsonnere med matematiske begreber inden for algebra Prøveform: Individuel skriftlig prøve. Titel: Analyse 1: konvergens og kontinuitet (Analysis 1: Convergence and Continuity). Forudsætninger: Lineær algebra og calculus. Mål: Studerende der gennemfører modulet: kender de grundlæggende egenskaber for de reelle tal, herunder supremum og infimum forstår begrebet konvergens af reelle talfølger definition og eksempler, monoton konvergens forstår gennemslagskraften og nødvendigheden af præcision kender definitioner af kontinuitet, ligelig kontinuitet og differentiabilitet af reelle funktioner af en variabel kender definitionen af monotone og inverse funktioner kender eksempler på diskontinuerte funktioner kender eksempler på kontinuerte, men ikke ligeligt kontinuerte funktioner kender eksempler på kontinuerte, men ikke differentiable funktioner kender egenskaber ved differentiable og kontinuert differentiable reelle funktioner af en variabel, herunder kædereglen, middelværdisætninger og differentiation af inverse funktioner 14
kender definitionen af kontinuitet for reelle funktioner af flere variable, såvel med metriske som med topologiske begreber kender forskellige typer delmængder af Rn, herunder åbne, lukkede, tætte, begrænsede, sammenhængende og kompakte mængder. Og udvalgte egenskaber, herunder Bolzano Weierstrass kender definitionen af kompakte og sammenhængende mængder og eksempler på sådanne kender egenskaber for kontinuerte funktioner på kompakte og sammenhængende mængder kender sammenhængen mellem kontinuitet og billedet af konvergente følger kender definition af Riemann integrabilitet kender egenskaber ved Riemannintegralet, herunder linearitet kender resultater om integrabilitet af klasser af funktioner herunder kontinuerte og eventuelt monotone funktioner kender analysens fundamentalsætning kan afgøre kontinuitet og differentiabilitet af givne reelle funktioner af en variabel kan afgøre konvergens af og grænseværdi for givne reelle talfølger kan afgøre integrabilitet af givne funktioner kan udregne Taylorapproksimation til en given orden af givne funktioner kan bevise udvalgte væsentlige resultater om reelle funktioner af en variabel og om metriske rum kan bevise udvalgte væsentlige resultater om Riemann integralet kan udregne grænseværdier for givne funktioner kan kommunikere om relevante abstrakte matematiske resultater og teorier inden for matematisk analyse med korrekt anvendelse af matematiske begreber og symboler og med stringente ræsonnementer kan relatere generelle begreber fra kurset til konkrete eksempler har udvidet sin matematiske tankegangs- og ræsonnementskompetence Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. Titel: Linearitet og differentiabilitet (Linearity and Differentability). Forudsætninger: Lineær algebra og calculus. Mål: Studerende der gennemfører modulet: kender definitionen af abstrakte vektorrum over et legeme kender eksempler på sådanne vektorrum kender forskellige typer af baser for vektorrum, herunder ortonormale baser og baser af egenvektorer for givne lineære afbildninger kender definitionen af dimensionen af et vektorrum kender definition af lineære afbildninger mellem vektorrum og matricer for sådanne kender en eller flere spektralsætninger kender sammenhængen mellem diagonalisering, spektralsætninger og projektioner 15
kender en eller flere dekompositioner af matricer, herunder diagonalisering og eksempelvis LU-faktorisering kender definitionen af differentiabilitet af afbildninger fra Rn til Rm kender klasser af differentiable funktioner herunder lineære afbildninger kender sammenhænge mellem partielle afledte, retningsafledte, Jacobimatrix og differentiabilitet kender egenskaber ved C 1 funktioner: Middelværdisætning(er) kender differentialet af en differentiabel afbildning, Jacobimatricer og kædereglen udtrykt ved disse kender dobbelt afledede, Hessedeterminant og sammenhængen med lokale maksima og minima kan udregne egenværdier og egenvektorer for givne lineære afbildninger kan finde diagonal repræsentation af lineære afbildninger med passende egenskaber kan finde en ortonormal basis for et vektorrum kan bevise udvalgte centrale resultater fra kurset kan udregne Jacobimatricer for givne funktioner kan afgøre differentiabilitet af givne funktioner fra R n til R m kan udregne Hessematricer for givne funktioner og afgøre, om kritiske punkter er lokale maksima eller minima har udbygget den matematiske tankegangs- og ræsonnementskompetence gennem arbejdet med abstrakte vektorrum og differentiationsbegrebet for funktioner af flere variable kan på kursets områder stille, identificere og specificere forskellige slags matematiske problemer kan anvende abstrakte begreber fra kurset og resultater om sådanne på konkrete eksempler har udbygget problembehandlingskompetencen og kan håndtere abstrakte vektorrum og differentiable funktioner af flere variable herunder diskutere og argumentere for egenskaber ved sådanne Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig prøve. 3.4. Modulbeskrivelser for 4. semester, MAT4 3.4.1 Projektmodul for 4. semester, MAT4 Titel: Symmetri (Symmetry). Forudsætninger: Linearitet og differentiabilitet, algebra 1 samt at algebra 2 skal følges sideløbende. Mål: Studerende der gennemfører modulet: kender definition og betydning af gruppevirkninger kender flere eksempler på gruppevirkninger i geometriske, kombinatoriske og/eller algebraiske sammenhænge 16
kender og kan illustrere vigtige begreber vedr. gruppevirkninger (herunder bane, stabilisator og deres sammenhæng) kan i mindst et relevant eksempel beskrive analysen for mønstre af enten geometrisk, kombinatorisk eller algebraisk art ved hjælp af symmetrigrupper kan redegøre for den historiske baggrund der førte frem til denne analyse kan kommunikere i skrift og tale om sammenhæng mellem (abstrakte) symmetrigrupper og deres virkninger på geometriske, kombinatoriske og/eller algebraiske objekter har udvidet den matematiske tankegangs-, repræsentations- og modelleringskompetence kan sætte sig ind i og forholde sig undrende og kritisk til den historiske udvikling af et matematisk område har opnået et beredskab til at værdsætte og udnytte symmetriegenskaber i enhver form for matematisk modellering Prøveform: Individuel mundtlig eksamen på baggrund af projektrapport. 3.4.2 Kursusmoduler for 4. semester, MAT4 Titel: Sandsynlighedsregning (Probability Theory). Forudsætning: 1., 2. og 3. semester (MAT1, MAT2 og MAT3). Mål: Studerende der gennemfører modulet: om grundlæggende begreber og metoder i sandsynlighedsregning: sandsynlighedsbegrebet, herunder betinget sandsynlighed og uafhængighed en- og flerdimensionale stokastiske variable, herunder momenter og korrelation betingede fordelinger, herunder betinget middelværdi og betinget varians vigtige diskrete og kontinuerte fordelinger samt anvendelser af disse frembringende funktioner, foldning og grænseværdisætninger Kendskab til stokastisk simulering elementære stokastiske processser: o Poissonprocessen o Markovkæder den historiske udvikling af sandsynlighedsregning skal kunne opstille og anvende sandsynlighedsteoretiske modeller på afgrænsede problemer skal kunne redegøre for teorien bag de anvendte modeller skal kunne vurdere anvendelsesmuligheder for sandsynlighedsregning skal kunne tilegne sig supplerende viden og færdigheder inden for kursets emneområde Prøveform: Individuel mundtlig prøve. 17
Vurderingskriterier: Er angivet i rammestudieordningen Bacheloruddannelsen i matematik og statistik Titel: Analyse 2: metriske rum (Analysis 2: Metric Spaces). Forudsætninger: Lineær algebra og analyse 1. Mål: Studerende der gennemfører modulet: kender konvergensbegreber for følger af reelle funktioner af en variabel, punktvis og ligelig konvergens kender konvergensbegreber for talrækker, absolut og betinget konvergens kender flere konvergenskriterier for talrækker kender eksempler på konvergente og divergente talrækker, herunder geometriske rækker, harmonisk række, alternerende rækker kender konvergensbegreber og kriterier for potensrækker, herunder majorantrækker kender resultater om differentiabilitet, integrabilitet og kontinuitet af funktioner givet som grænse af en følge af funktioner, herunder for potensrækker kender definitionen af et metrisk rum kender forskellige egenskaber ved (delmængder af) metriske rum. Herunder åbne, lukkede, kompakte og sammenhængende mængder kender definitioner af kontinuerte funktioner mellem metriske rum. metrisk og topologisk kender eksempler på kontinuerte bijektioner med diskontinuert invers forstår sammenhængen mellem Cauchyfølger og konvergente følger kender definitionen af et fuldstændigt metrisk rum og ved, at Rn er fuldstændigt kender fikspunktsætningen for en kontraktion af et fuldstændigt metrisk rum (Banachs fikspunktsætning.) forstår gennemslagskraften af abstraktion bl.a. gennem anvendelsen af fikspunktsætningen til bevis af en tilsyneladende ubeslægtet sætning om løsninger af differentialligninger kender sætningen om eksistens og entydighed af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger kender Invers- og implicit funktionssætningerne. Herunder implicit differentiation kender elementære funktioners rolle som løsninger til specifikke sædvanlige differentialligninger kan afgøre konvergens af talrækker ved brug af velvalgte konvergenskriterier og udregne grænseværdien kan finde konvergensradius for givne potensrækker kan finde afledte af implicit givne funktioner kan bevise udvalgte centrale sætninger fra kurset kan finde potensrækkeløsninger til sædvanlige differentialligninger kan afdække de bærende ideer i udvalgte omfattende beviser for centrale resultater i kurset har udbygget den matematiske tankegangs- og ræsonnementskompetence gennem arbejdet med mere abstrakte begreber i metriske rum kan på kursets områder stille, identificere og specificere forskellige slags matematiske problemer kan anvende abstrakte begreber fra kurset og resultater om sådanne på udvalgte konkrete eksempler har udbygget problembehandlingskompetencen og kan håndtere følger og rækker af tal og funktioner herunder diskutere og argumentere for egenskaber ved disse 18
Prøveform: Individuel mundtlig eller skriftlig eksamen. Titel: Komplekse funktioner (Complex Analysis). Forudsætninger: Analyse 1, linearitet og differentiabilitet, resultater om potensrækker fra analyse 2. Mål: Studerende der gennemfører modulet: kender definition af kompleks differentiabilitet og karakterisering ved Cauchy-Riemann differentialligninger kender definition og egenskaber af analytiske funktioner kan formulere væsentlige resultater om kurveintegraler (Cauchys integralsætning og formel) kender til ækvivalens af holomorfi, kompleks analyticitet og lokal eksistens af stamfunktion kan argumentere for at funktionen f(z)=1/z ikke har en global stamfunktion, definere lokale logaritmefunktioner og argumentere for at de ikke kan udvides til en hel funktion kan formulere og skitsere argumenter for Liouvilles sætning og af Algebraens fundamentalsætning kender maximumprincip og nogle konsekvenser kan definere begreberne rod og pol og deres orden for en meromorf funktion kan definere begrebet omløbstal for en kurve om et punkt kender definition af residuum for en meromorf funktion i en ikke-essentiel singularitet kan formulere og skitsere et argument for Cauchys residuesætning kender væsentlige teoretiske anvendelser af residuesætningen kender væsentlige anvendelser af residuesætningen på beregning af integraler kan gengive udviklingen af kompleks funktionsteori i det 19. århundrede i hovedtræk (Cauchy-Riemann synspunkt vs. Weierstrass synspunkt) kan afgøre om en eksplicit given funktion er kompleks differentiabel kan vurdere konvergensradius for en potensrække og bestemme den i simple tilfælde kan bestemme potensrækkeudviklinger for udvalgte væsentlige kompleks analytiske funktioner kan beregne kurveintegraler for komplekse funktioner kan bestemme rødder og poler og deres orden for simple meromorfe funktioner kan beregne integraler over lukkede kurver for simple meromorfe funktioner ved hjælp af integralformler kan beregne residuer i poler for simple meromorfe funktioner kan beregne relevante komplekse integraler over lukkede kurver for simple meromorfe funktioner ved hjælp af residuesætningen kan beregne relevante reelle uendelige integraler for relevante reelle funktioner ved hjælp af residuesætningen kan ræsonnere om særlige egenskaber ved analytiske funktioner i forhold til reel differentiable funktioner kan ræsonnere om spændingsforholdet mellem kompleks differentiabilitet og analyticitet 19
kan sætte sig ind i og forholde sig undrende og kritisk til den historiske udvikling af et matematisk område har udvidet sin matematiske ræsonnements-, problembehandlings- og kommunikationskompetence Prøveform: Individuel skriftlig eller mundtlig prøve. Titel: Algebra 2: ringe og legemer (Algebra 2: Rings and Fields). Forudsætninger: Algebra 1. Mål: Studerende der gennemfører modulet skal have om definition af ringe, legemer og idealer de vigtigste eksempler på ringe, legemer og idealer konstruktion af kvotientringe egenskaber for homomorfi og kvotientringe, isomorfisætningen integritetsområder og brøklegemer hovedidealer, primidealer og maksimale idealer faktorisering, irreducible elementer og primelementer polynomiumsringe og rødder i polynomier endelige legemer og legemsudvidelser væsentlige træk af algebraens historiske udvikling Studerende der gennemfører modulet skal kunne: demonstrere kendskab til og overblik over de relevante algebraiske emner anvende korrekt fagterminologi redegøre for fundamentale begreber inden for et udvalgt tema samt kunne opstille udsagn, så forståelsen af begrebernes samspil klargøres inden for det valgte tema foretage korrekte matematiske ræsonnementer, dvs. kunne demonstrere korrekt og gennemført bevisteknik på et teknisk niveau, som er repræsentativt for kurset Studerende der gennemfører modulet skal udbygge kompetencer inden for abstrakt matematisk tankegang vedrørende matematiske ræsonnementer inden for algebra Prøveform: Individuel mundtlig prøve. 3.5. Modulbeskrivelser for 5. semester, MAT5 3.5.1 Projektmodul for 5. semester, MAT5 Titel: Statistisk modellering og analyse (Statistical Modelling and Analysis). 20
Forudsætninger: 1. 4. semester (MAT1-MAT4) samt følge kurset statistisk inferens for lineære modeller sideløbende. Mål: Studerende der gennemfører modulet: skal have viden om hvordan man opstiller en statistisk model med udgangspunkt i en konkret problemstilling fra et fagområde, der kan ligge udenfor det matematiske skal have viden om hvordan man udfører statistik inferens for en generaliseret lineær model skal have viden om, hvordan man udfører modelkontrol skal med udgangspunkt i en konkret problemstilling kunne opstille en relevant generaliseret lineær model under hensyntagen til de tilgængelige data skal kunne anvende statistisk software til at implementere og analysere en konkret statistisk model kunne vurdere gyldigheden af opnåede resultater skal kunne kommunikere resultatet af en statistisk analyse til ikke-statistikere, der har en interesse i den behandlede problemstilling skal udvikle evnen til på egen hånd at udvikle generaliserede lineære modeller, der passer til data Prøveform: Individuel mundtlig prøve på baggrund af projektrapport. 3.5.2 Kursusmoduler for 5. semester, MAT5 Titel: Geometri (Geometry). Forudsætninger: Analyse 1 og analyse 2 samt linearitet og differentiabilitet. Mål: Studerende der gennemfører modulet: kender centrale begreber og resultater inden for den elementære differentialgeometri vedr. kurver og flader forstår den entydige sammenhæng mellem krumnings- og torsionsfunktioner for en kurve og kurven op til stiv flytning. Herunder at denne sammenhæng etableres via sætninger om eksistens og entydighed af løsninger til sædvanlige differentialligninger kender definitionen af en regulær flade kender centrale resultater om kort på regulære flader kender eksistensen af ortogonale kort og grafparametriseringer kender eksempler på regulære flader, herunder grafer, omdrejningsflader og urbilleder kender eksempler på parametriserede, men ikke regulære flader kender definitioner af tangentplaner til en regulær flade kender definitionen af en glat afbildning mellem regulære flader og af differentialet af sådanne kender sammenhængen mellem første fundamentalform og kurvelængde, areal og vinkler kender Gaussafbildningen og dens differential 21
kender sammenhængen mellem normalsnit, normalkrumning og Gaussafbildningens differential forstår sammenhængen mellem spektralsætningen og krumningsbegreber for regulære flader kender Meusniers sætning kender geodætisk krumning og sammenhængen mellem kurvens krumning, normalkrumning og geodætisk krumning kender definitioner af geodætiske kurver og eksempler på sådanne, herunder på omdrejningsflader kender en eller flere Gauss Bonnet sætninger kender en ikke-euklidisk geometri kan udregne krumning og torsion for givne kurver kan udregne normalkrumning og geodætisk krumning for en kurve i en regulær flade kan udregne Gausskrumning, hovedkrumninger og middelkrumning for en flade med et givet kort kan ræsonnere geometrisk om fortegn på Gausskrumning og hovedkrumninger kan afsætte normalkrumning og geodætisk krumning på en tegning kan udnytte isometri ved ræsonnement om geodætiske kurver og Gausskrumning kan bevise centrale resultater fra teorien om kurver og flader kan finde geodætiske kurver og udregne Gausskrumning for flader givet ved delmængder af planen samt E, F og G funktionerne kan ræsonnere om geometriske problemstillinger i en vekselvirkning mellem analytiske og geometriske repræsentationer og har således styrket repræsentationskompetencen kan argumentere for umulighedsresultater ved anvendelse af geometriske invarianter kan se sammenhæng mellem centrale resultater fra analyse og lineær algebra og fundamentale begreber for flader og har derved et beredskab til at forsøge at belyse andre matematiske problemstillinger med værktøj fra tilsyneladende ubeslægtede områder af matematikken Undervisningsform: Forelæsninger, øvelser og miniprojekt(er). Prøveform: Individuel mundtlig eksamen. Titel: Computeralgebra (Computer Algebra). Forudsætninger: Lineær algebra, algebra 1 samt projektet på 4. semester. Mål: Studerende, der har gennemført modulet, skal have: kender algoritmen for multiplikation af store heltal og største fælles divisor (gcd) kender egenskaber ved Euklidiske ringe og polynomiumsringe kender pseudo-division og beregning af gcd for polynomier, samt resultant kender til repræsentation og simplifikation af matematiske strukturer ved hjælp af en computer kender til data strukturer for polynomier i flere variable kender en modulær algoritme til beregning af gcd for polynomier 22
kender faktorisering af polynomier over endelige legemer og de hele tal kender Gospers algoritme for ubestemt summation - Variant I af kurset: Kender Gröbner baseteori og nogle algoritmer til beregning af Gröbner baser - Variant II af kurset: Kender algoritme til integration af rationale funktioner. Kender Risch procedure for integral af elementære funktioner Færdighed kan udføre beregning af gcd ved hjælp af et computeralgebrasystem kan simplicere og transformere matematiske strukturer ved hjælp af et computeralgebrasystem kan implementere simple algoritmer i et computeralgebrasystem kan udføre beregninger i endelige legemer og polynomiale ringe ved hjælp af et computeralgebrasystem Variant I: Kan beregne simple Gröbner baser ved hjælp af et computeralgebrasystem Variant II: Kan afgøre integrabilitet påa lukket form ved hjælp af et computeralgebrasystem i simplere tilfælde at kunne afgøre anvendeligheden af et computeralgebrasystem til at løse et konkret matematisk problem kan implementere simplere algoritmer til løsning af matematiske problemer i et computeralgebrasystem Prøveform: Individuel prøve. Der stilles i løbet af kurset tre opgaver, som skal løses tilfredsstillende i et computeralgebrasystem, for at bestå kurset. Titel: Statistisk inferens for lineære modeller (Statistical Inference for Linear Models). Forudsætninger: 1. 4. semester (MAT1-4). Mål: Studerende der gennemfører modulet: skal have viden om, hvilke trin, der indgår i en statistisk analyse skal kende til den eksponentielle familie af fordelinger skal have viden om generaliserede lineære modeller, især lineære normale modeller skal have viden om estimation, herunder maksimum likelihood estimation skal have viden om statistisk inferens, herunder hypotesetest skal kende til eksempler på modelkontrol skal have kendskab til relevant statistisk software skal, vha. relevant statistisk software, kunne udføre en statistisk analyse af et datasæt med udgangspunkt i en given generaliseret lineær model, herunder estimation, modelkontrol, hypotesetest og fortolkning skal kunne redegøre for de matematiske egenskaber for en given generaliseret lineær model skal kunne tilegne sig supplerende viden og færdigheder inden for kursets emneområde skal kunne formulere sig korrekt i statistiske og sandsynlighedsmæssige termer 23