Matematikprojektet i Roskilde Ny Nordisk Skole - forsknings- og evalueringsrapport

Transkript

1 Matematikprojektet i Roskilde Ny Nordisk Skole - forsknings- og evalueringsrapport Af Morten Blomhøj, NSM, Roskilde Universitet for Roskilde Kommune april 2015 Indhold 1. Organisering og design af Matematikprojektet 2 2. Udviklings- og forskningsmetode 3 3. Sammenfatning og evaluering af de tre afprøvninger Første afprøvning: Brug af IT som støtte til matematiklæring Anden afprøvning: Undersøgende matematik Tredje afprøvning: Elev engagement og motivation for matematiklæring Lærernes evaluering og vurdering af projektet Samlet vurdering af projektet og anbefalinger til fremtidige projekter 33 Referencer 36 Bilag 1: Resultaterne af spørgeskemaevalueringen blandt lærerne 37 1

2 1. Organisering og design af Matematikprojektet Matematikprojektet er organiseret og gennemført i perioden januar 2013 til januar 2015 inden for rammerne af Roskilde Ny Nordisk Skole, der har omfattet tre parallelt organiserede udviklingsprojekter i dansk, engelsk og matematik. Alle tre projekter har involveret samarbejde mellem lærere ved grundskolerne Lynghøjskolen (LHS) og Sankt Josef Skole (SJS) samt ved Himmelev Gymnasium (HG). Matematikprojektet har over hele projektet involveret samarbejde mellem 16 matematiklærere fra grundskolen med klasser fra og 4 gymnasielærere med 1. og 2. g klasser. Matematikprojektet har været styret af en projektstyregruppe bestående af en projektleder for hver af de tre skoler: Lilian Andersen LHS, Katja Borregaard SJS og Kurt Ringkøbing HG, samt af Morten Blomhøj Roskilde Universitet, der har deltaget i styregruppen som matematikdidaktiker. Anne Winther Petersen fra HG deltog i styregruppen frem til Hun måtte desværre forlade projektet på grund af alvorlig sygdom og afgik ved døden sommeren Styregruppen har i samarbejde med de deltagende lærere stået for design af Matematikprojektet og gennemførelse af projektets workshops samt evaluering af hver af de tre afprøvninger. Overordnet har Roskilde Ny Nordisk Skole været rammesættende for Matematikprojektets organisering og design. Det var således besluttet, at projektet skulle omfatte udvikling, gennemførelse og evaluering af tre undervisningsforløb i de deltagende læreres egne klasser. Matematikprojektet har svarende fulgt en struktur med fem workshops til hvert undervisningsforløb, se figur 1. Figur 1: Strukturen for forløbet af hver af de tre afprøvninger med 3 workshops til udvikling og 2 til evaluering og refleksion. Roskilde Ny Nordisk Skole havde på forhånd udpeget følgende fire indsatsområder: motivation, nye teknologier, overgang fra grundskole til gymnasieskole og evalueringskultur som styrende for de enkelte fagprojekter. Matematikprojektet udmøntede disse indsatsområder ved at vælge følgende overskrifter for de tre afprøvninger: (1) Brug af IT som støtte til matematiklæring, (2) Undersøgende matematik, og (3) Elev engagement og motivation for matematiklæring. 2

3 I tilknytning til disse overskrifter for de tre afprøvninger blev der i projektdesignet opstillet følgende mål for Matematikprojektet: 1. Det er i første omgang et mål at gøre de deltagende lærere fortrolige med brugen af ITprogrammer som Excel, GeoGebra og WordMath i deres undervisning. Det er herunder et mål at udforske, hvordan IT i matematik kan øge elevernes forståelse, og hvilke didaktiske udfordringer og muligheder, der ligger i de enkelte programmer. Det er et mål med de enkelte undervisningsforløb at få etableret en klar sammenhæng mellem de valgte faglige læringsmål og anvendelsen af IT-værktøjer. 2. Det er et mål at udforske, hvordan man får flest muligt elever aktive i længst mulig tid. Det er et mål at undersøge, hvordan nytænkning af undervisningen, herunder cooperative learning og inddragelse af IT, kan øge aktiviteten. Det er et mål at undersøge, hvordan der kan skabes rammer for elevernes undersøgende arbejde i matematik, samt at undersøge, hvilke typer af materialer og elevoplæg der kan øge elevaktiviteten. 3. I forlængelse af udviklingsfelt 2 er det i den sidste afprøvning et mål at undersøge, hvordan elevernes engagement og motivation kan styrkes. Der skal arbejdes med, hvordan større krav til ansvarlighed, f.eks. gennem krav til elevernes mundtlige og skriftlige formidling af egne undersøgelser, kan føre til større ejerskab og herigennem større engagement og oplevelse af relevans. Samtidig har det været et mål med projektet generelt at bidrage til at udvikle kvaliteten af matematikundervisningen i folkeskolen og i gymnasiet ved at udvikle forløb, der kan øge elevaktiviteten, elevselvstændigheden og elevansvaret og derigennem matematikindlæringen. Gennem hele projektet har det endvidere været et mål, at lærere på tværs af folkeskole og gymnasium diskuterer, hvad der kan gøres i matematikundervisningen for at lette elevernes overgang fra grundskole til gymnasium. Det gælder, hvad det er muligt at arbejde med de sidste år i grundskolen, og hvad det er hensigtsmæssigt at have med i bagagen til gymnasiet. Endelig har det også været et mål i matematikprojektet at bidrage til øget og mere forpligtende samarbejde blandt matematiklærerne på de skoler, der deltager. 2. Udviklings- og forskningsmetode Hvad angår projektets udviklings- og forskningsmetode, er der taget afsæt i hovedprojektet Roskilde Ny Nordisk Skole, hvor der bygges på gode erfaringer fra andre projekter i Roskilde Kommune med den såkaldte forandringsmetode (Programbeskrivelse Roskilde NNS, :3). Metoden bygger på, at de involverede parter - elever, lærere, ledelse og professionsforskere - samarbejder om udvikling af rammerne for undervisningen. Det er vigtigt, at alle er med i processen med henblik på udvikling og forankring af ny praksis. Forandringsmetoden består af følgende faser: (1) Design af undervisningsforløb, (2) Afprøvning af undervisningsforløb, (3) 3

4 Analyse af undervisningsforløb, samt (4) Re-design af undervisningsforløb. Forandringsprocessen kan fortsættes, indtil den nye og forbedrede praksis viser et positivt udbytte for elevernes læring. Det er grundlæggende denne metode, der har været anvendt i Matematikprojektet ved hver af de tre afprøvninger. Dog har projektet ikke rummet mulighed for flere gentagne afprøvninger af redesignede forløb i forskellige klasser. Hver afprøvning er imidlertid afsluttet med re-design af de enkelte forløb med henblik på anvendelse ved en senere lejlighed. Samtidig er der, som det vil fremgå, indarbejdet en didaktisk sammenhæng og progression gennem de tre afprøvninger. I forhold til Matematikprojektet og matematikkens didaktik som forskningsfelt er det relevant at knytte lidt flere refleksioner til projektets metode, se Blomhøj (2015). I den matematikdidaktiske forskning er der udviklet teorier om matematikundervisning og matematiklæring, som har potentiale til at kunne tjene som grundlag for udvikling af undervisningspraksis. Teorierne har imidlertid typisk ikke en karakter, der gør det muligt direkte at udlede forslag til udvikling af undervisningspraksis. Hertil er teorierne enten for generelle eller for specifikke i forhold til læringsvanskeligheder knyttet til bestemte begreber, elever og kontekster. For at teorierne kan anvendes til udvikling af praksis, kræver det, at forskningens tilgange og resultater bliver forbundet konkret til de problemer og udfordringer, der viser sig i den aktuelle undervisningspraksis, der ønskes udviklet. Det kan ske gennem samarbejde mellem lærere og forskere om udviklingen af praksis, hvor matematikdidaktisk teori inddrages, når det er relevant og på måder, der er støttende for lærernes udvikling af egen praksis. Samtidig kan et sådant samarbejde, hvor de matematikdidaktiske teorier møder undervisningspraksis også give grundlag for videre- eller nyudvikling af matematikdidaktiske teorier. At skabe samspil mellem forskning og udvikling af matematikundervisning i praksis er derfor en væsentlig udfordring for matematikdidaktik som forskningsfelt. Det er forskningens ultimative mål at bidrage til at forbedre og udvikle undervisningens praksis, og forskningens relation til praksis indgår derfor centralt i dens genstandsområde. Relationen kan ses som samspil mellem to processer, der forbinder praksis med teori i hver sin retning. Den ene retning handler om at anvende forskningens resultater i form af teorier og metoder til udvikling af praksis. Den anden retning handler om at udvikle teori ud fra refleksion over og udvikling af praksis. Se figur 2. Figur 2: Samspil mellem udvikling af undervisningspraksis og forskning i matematikdidaktik kan ses som to forbundne processer. 4

5 En indlysende forudsætning for dette samspil er, at der etableres kontakt mellem praksis og teori. Det kan i princippet ske gennem teoribaseret udvikling af curriculum eller lærebogsmateriale eller gennem udvikling af læreruddannelse eller gennem efter- og videreuddannelseskurser. Der er imidlertid stærk evidens for, at matematikdidaktisk teori først og fremmest kan få betydning for udvikling af praksis ved, at matematiklærere får støtte og opbakning til at selv at anvende teoriske ideer i deres egen praksis, og at de oplever, at de herigennem kan udvikle og forbedre deres praksis. Dette kan blandt andet ske gennem forskningsbaserede udviklingsprojekter, hvor grupper af matematiklærere fra samme skole over længere tid samarbejder om at udvikle deres egen praksis. Matematikprojektet under Ny Nordisk Skole rummer netop mulighed for et sådant møde mellem matematikdidaktisk teori og matematikundervisningens praksis. Ved de forberedende workshops har der svarende hertil været præsenteret elementer af matematikdidaktisk teori i relation til temaer for de enkelte afprøvninger. Ideerne har i et vidt omfang tjent som inspiration til udvikling af undervisningsforløb. Og ved evalueringerne af og refleksioner over de enkelte afprøvninger har der også været mulighed for at analysere og forklare nogle af oplevede fænomener med henvisning til matematikdidaktiske teorier. I tilrettelæggelsen og gennemførelsen af de enkelte workshops har vi søgt at skabe forudsætninger for et ligeværdigt samspil mellem lærernes erfaringer fra og ideer til udvikling af praksis og ideer og teorier fra matematikdidaktisk forskning. Lærernes vurderinger af betydningen af forskningstilknytningen for deres udbytte af projektet, hvor 9 ud af 15 oplever det som særdeles positivt (bilag 1, spørgsmål 12), tyder på, at det i rimeligt omfang er lykkedes at etablere et konstruktivt samspil mellem teori og praksis i projektet. Men det forhold, at fem af lærerne oplever forskningstilknytningen som havende enten ingen eller negativ betydning for deres udbytte af projektet, viser samtidig, at relationen mellem praksis og teori og mellem forsker og lærere er kritisk i et udviklingsprojekt om matematikundervisning. Under de forberedende workshops er der blevet samarbejdet om udvikling af forløb til forskellige klassetrin (6.-7.; 8.; 9.-(10.)-1.g (2.g)) i forskellige lærergrupper, idet de foreløbige planer er blevet fremlagt til fælles diskussion. Ligeledes er alle forløbene blevet præsenteret til fælles diskussion ved de to evalueringsworkshops efter hver afprøvning. Intentionen hermed har været, at matematikfaggrupperne (fagteams) på de enkelte skoler gennem deres medvirken i projekt har kunnet opbygge et arsenal af undervisningsforløb, som de selv enten har afprøvet i egen undervisning eller har indgående kendskab til gennem de fælles diskussioner i projektet. Herved skulle det være meget nemmere for den enkelte lærer at anvende forløbene også efter projektet. I forlængelse heraf rummer Matematikprojektet også en intention om at kunne styrke samarbejdet i fagteamet på den enkelte skole gennem fortsat samarbejde om anvendelse og videre udvikling af projektets forløb og udvikling af nye forløb. I hvilket omfang denne intention er realiseret kan først vurderes på længere sigt. Som det vil fremgå af evalueringen i afsnit 4, er der 5

6 faktisk tale om, at nogle af undervisningsforløbene allerede er blevet anvendt i andre klasser uden for projektet, og at de fælles erfaringer herfra er blevet drøftet i fagteamet. Samarbejdet i lærergrupperne på de enkelte skoler er af stor betydning både for selve projektets gennemførsel, men i høj grad også for mulighederne for, at projektet kan bidrage til udvikling af praksis på de enkelte skoler på lang sigt. I spørgeskemaet vurderer lærerne generelt samarbejdet på skolerne positivt. 11 ud af 15 lærere vurderer, at samarbejdet har fungeret glimrende eller godt i projektet, og 8 ud af 15 vurderer, at projekter har haft en positiv effekt på samarbejdet. I forhold til Matematikprojektets organisering og metode har der imidlertid været mindre fokus på udvikling af samarbejdet i fagteamet på de deltagende skoler. Samarbejde mellem lærerne på tværs af de deltagende skoler og på tværs af overgangen mellem grundskole og gymnasium har haft stor prioritering i projektet. Svarende hertil er alle undervisningsforløb i projektet udviklet af grupper fra mindst to skoler. Lærerne har gennem hele projektet været meget positive over for mulighederne i projektet for samarbejde på tværs af skoler og navnlig i forhold til samarbejde henover overgangen fra grundskole til gymnasium. Det er dog af flere lærere blevet fremhævet, at forskellene i det faglige niveau i matematikundervisningen fra 6. klassetrin til 1. og 2. g har været en udfordring i projektet. Det skal understreges, at der i Matematikprojektet har været tale om en forholdsvis begrænset styring af de enkelte forløb. Det gælder både didaktisk og i forhold til det faglige indhold. Det er udtryk for et bevidst valg fra styregruppens side for at sikre ejerskab til forløbene hos alle de deltagende lærere og for at lette processen med at indpasse forløbene rent fagligt i årsplanerne for de enkelte klasser. Der kunne naturligvis have været arbejdet mere systematisk med anvendelse af matematikdidaktisk teori, hvis vi havde fastlagt de didaktiske rammer og det faglige indhold i forløbene nærmere. Det kunne have været understøttet rent metodisk gennem brug af fx lektionsstudier (Mogensen, 2015). Det ville imidlertid også have været mere resursekrævende i form af tid til observation og fælles analyse af lektioner. 3. Sammenfatning af de tre afprøvninger De følgende tre afsnit præsenterer i kort form indholdet og evalueringerne af de tre afprøvninger. Afsnittene indledes med en redegørelse for det didaktiske fokus for den enkelte afprøvning, svarende til det grundlag, der blev præsenteret og diskuteret ved de forberedende workshops. Herefter præsenteres de gennemførte forløb kort, og hovedpunkterne fra evalueringen diskuteres Første afprøvning: Brug af IKT som støtte til matematiklæring Betegnelsen IKT står for informations- og kommunikationsteknologier og dækker i forhold til matematikundervisning hele spektret fra generelle teknologier som internettet, multimedia- 6

7 programmer og tekstbehandling til mere matematikspecifikke teknologier som regnemaskiner, regneark, dynamisk geometri programmer (DG, fx GeoGebra), integrerede matematikværktøjer med CAS, numeriske og grafiske funktioner og matematisk tekstbehandling (fx, WordMath, Matematikan, og nspire) samt statistikprogrammer med videre. Der er tale om software, der kan køre på computere, tablets, smartphones eller, hvad de sidste angår, i nogle tilfælde også på lommeregner. De didaktiske muligheder og udfordringer ved anvendelse af forskellige typer af IT i matematikundervisningen er helt afhængig af programtype og undervisningssammenhæng. Svarende hertil var fokus for den første afprøvning netop at udvikle og afprøve undervisningsforløb, hvor brugen af IT var styret af klare faglige mål for elevernes læring. Som fælles grundlag diskuterede vi i de indledende workshops, hvordan inddragelse af avancerede matematikværktøjer med CAS, DG og regneark påvirker det faglige indhold i elevernes virksomhed og dermed også vilkårene for deres læring. De kan ikke betragtes som neutrale redskaber i undervisnings- og læreprocessen. Det er dokumenteret i den matematikdidaktiske forskning. Sådanne programmer indgår i og former det læringsmiljø, som eleverne interagerer med. Og hvis viden og læring opfattes som noget, der skabes gennem elevernes interaktion med et sådant læringsmiljø, så forudsætter læringen, at den viden, der er målet for elevernes læring, er til stede i læringsmiljøet. Og at elevernes tilegnelse af denne viden kan støttes gennem deres anvendelse af IT-værktøjerne. Den didaktiske situation bliver påvirket af og gjort mere kompliceret ved introduktion af avancerede IT-baserede matematikværktøjer. De indgår i den didaktiske situation planlagt af læreren, og er samtidig et medie for elevernes interaktion med undervisningsmiljøet forstået som rammen om og indholdet af elevernes aktiviteter. Det er denne interaktion, der er grundlaget for elevernes læring. Disse forhold er illustreret i figur 3. Figur 3: Model af hvordan en didaktisk situation bliver påvirket ved introduktion af avancerede ITmatematikværktøjer (Balacheff, 1993). I denne ramme diskuterede vi ved de forberedende workshops nogle af aktuelle didaktiske udfordringer ved anvendelse af IT i matematikundervisningen, der viser sig i praksis på de forskellige klassetrin.. 7

8 Det blev besluttet at arbejde både med anvendelse af generelle IKT-værktøjer (fx til videoproduktion og præsentation med slides og tale) til støtte for elevernes arbejde med og formidling af matematik samt med matematikspecifikke programmer (fx Excel, GeoGebra, WordMath og nspire) til støtte for elevernes opgaveløsning og undersøgende arbejde. I forhold til de ældste klassetrin i grundskolen blev det fremhævet som en aktuel udfordring, at eleverne skal have forudsætninger for at kunne vælge at bruge computer ved den afsluttende afgangsprøve (FSA). Som generel udfordring blev det påpeget, at de avancerede matematikprogrammer med computeralgebra systemer (CAS) og dynamisk geometri (DG) rummer en fare for, at eleverne fokuserer på, hvordan programmerne kan anvendes til løsning af standardopgaver. En sådan elevvirksomhed fremmer ikke læring af de grundlæggende matematiske begreber og metoder. Denne problemstilling er i høj grad også relevant for matematikundervisningen i gymnasiet. Det gælder om at udvikle en undervisningspraksis, hvor anvendelse af IT understøtter og styrker elevernes matematiklæring snarere end at erstatte den med læring om brugen programmerne. Det blev besluttet, at anvendelse af begge typer IT-værktøjer skulle være et gennemgående træk ved forløbene i de tre afprøvninger. Og at der skulle sigtes på at understøtte en progression i elevernes arbejde med udvalgte IT-værktøjer i de enkelte klasser gennem de tre afprøvninger. Hovedsigtet med forløbene under 1. afprøvning var, jævnfør projektdesignet, at etablere en klar sammenhæng mellem de valgte faglige læringsmål og anvendelsen af IT. De enkelte forløb under 1. afprøvning På SJS blev der arbejdet med to forskellige typer af forløb med overskrifterne henholdsvis Tal matematik og Lav dine egne opgaver. I Tal matematik var fokus på elevernes arbejde med udvikling af videofilm og IT til forklaring af udvalgte matematiske begreber og metoder, mens fokus i Lav dine egne opgaver var på elevernes udvikling af egne opgaver ved hjælp af IT, og hvor brug af IT er en fordel ved løsning af dem. Det første forløb blev gennemført på klassetrin og omfattede forløb i fem forskellige klasser. Oplægget til eleverne var, at de skulle forklare en matematisk fremgangsmåde eller matematisk formel så konkret og instruktivt som muligt ved hjælp af IT. Lærerne havde på forhånd lavet en liste over forskellige metoder og formler, som grupperne kunne vælge mellem som udgangspunkt for deres video, men de kunne også vælge andre emner. Forløbene blev gennemført over 2 uger med 8-10 lektioner. Der var en fælles introduktion af forløbet for alle de medvirkende klasser, og forløbet blev også afsluttet med en fællessession, hvor enkelte af videoerne blev præsenteret. Som eksempler på emner, der blev behandlet i videoerne, kan nævnes: (1) Formler for beregning af arealet af forskellige geometriske figurer som fx rombe og trapez; (2) Formler for beregning af volumen af forskellige rumlige figurer som fx cylinder, kegle og keglestub; (3) Emner som brøker, 8

9 vinkler og koordinatsystem; (4) Matematisk beskrivelse af (model for) formen for en vandstråle optaget på video; (5) Farten på en cykel, der løber i frihjul ned ad en bakke og dens afhængighed af personens vægt. Eleverne anvendte mobiltelefoner og tablets til videooptagelserne og Moviemaker til redigering. Alle videoer blev uploadet på YouTube. I fremstillingen af videoerne brugte eleverne IT-værktøjer som Excel, GeoGebra og WordMathematics. Kriteriet for, om grupperne var lykkedes med deres formidling, var, at en anden gruppe skulle kunne forstå og efterfølgende selv udføre den matematiske beregning eller metode, som blev formidlet i videoen. Ved afprøvningerne af videoen skulle målgruppen først høre lydsiden af videoen uden billeder, og derefter se den med både lyd og billeder. Denne form havde til formål at understrege betydningen af det visuelle element i elevernes formidling. Sigtet med designet var, at eleverne dels skulle blive opmærksomme på, hvilken form for forståelse, det kræver at formilde en matematisk sammenhæng, og dels at de skulle opleve IT som redskab til at udvikle og formidle matematisk forståelse. Udvikling af elevernes kommunikations- og ræsonnementskompetence var således i fokus i disse forløb og blev fremhævet ved den fælles afslutning. I den samlede evaluering fremhævede lærerne, at det tekniske omkring at optage, redigere og gemme videoerne på YouTube voldte eleverne en del problemer. Men på trods heraf lykkedes det for alle grupper at få produceret en video med et matematisk indhold. Eleverne oplevede det generelt som relevant og spændende selv at skulle lave en video med et matematisk indhold. Kriteriet om, at modtagergruppen skulle kunne forstå videoen, viste sig at være vanskeligere at opfylde, end eleverne (og lærerne) umiddelbart havde regnet med, og det gav i flere tilfælde anledning til refleksion hos eleverne. Forløbene bidrog herved også til at give lærerne et klarere billede af elevernes forståelse af og udfordringer i forhold til matematiske ræsonnementer. Lav dine egne opgaver blev gennemført i to klasser på 7.årgang. I dette forløb fik eleverne til opgave hver især at udvikle en matematikopgave med fire underspørgsmål inden for emnerne: Procent; Geometrisk konstruktion i GeoGebra; Rumfangsberegning i GeoGebra og Excel; samt Overfladeberegning (GeoGebra). Opgaverne skulle laves i Word med indklip fra de andre programmer og de skulle være centreret omkring et emne med en historie ligesom opgaverne i FSA. Der skulle også laves facitliste til opgaven. Når en opgave var færdig, skulle den godkendes af læreren. Herefter arbejdede eleverne parvis med at besvare hinandens opgaver. Besvarelserne blev rettet af opgaveforfatteren, og eleverne gav hinanden feedback både på opgaverne og på besvarelserne. Sigte med designet var, at eleverne skulle blive mere fortrolige med at anvende IT-værktøjerne, således at de fremover opfatter det som naturligt at anvende IT i arbejdet med matematik. Ideen med, at eleverne selv skulle lave opgaver, var at motivere dem til at arbejde mere undersøgende med programmerne og derved blive mere opmærksomme på deres styrker og begrænsninger. 9

10 Forløbet fungerede generelt godt, og eleverne blev optaget af at lave gode og svære opgaver, som de dog også selv skulle kunne løse. Indirekte var der således et konkurrenceelement i forløbet. Eleverne opfattede deres opgaver som deres produkt og var generelt motiveret til at lave et godt og flot produkt ved hjælp af IT. Samtidig havde designet af forløbet den fordel, at det var nemt at differentiere udfordringer til eleverne gennem parringen af eleverne ved opgaveløsningen. På LHS blev der gennemført tre lidt forskellige forløb. Alle forløbene havde fokus på elevernes anvendelse af IT til besvarelse af problemregningsopgaver. Generelt blev der arbejdet med layout og formidling af opgavebesvarelser i Word med inddragelse af WordMathematics (WM), Excel og GeoGebra. Til støtte for specielt de fagligt svage elever blev der i alle forløbene arbejdet med skabeloner i Word(WM) eller Excel for opstillinger af opgavebesvarelser i tre kolonner med henholdsvis forklaring, udregning og resultat. Det fælles sigte var, at eleverne skulle blive mere opmærksomme på betydningen af at forklare og formidle deres opgavebesvarelser, samt at de skulle blive mere fortrolige med anvendelse af IT ved besvarelse af matematikopgaver. Herved skulle forløbene bidrage til, at eleverne fik mod på og kompetence til at anvende IT både i den daglige opgaveregning og i prøverne herunder ved FSA i problemregning. Eleverne blev udfordret til at skrive forklaringer til deres opgavebesvarelser, og disse forklaringer blev brugt som udgangspunkt for diskussion af, hvad der karakteriserer en god opgavebesvarelse. Det første forløb blev gennemført i en 7. klasse og havde et yderligere fagligt fokus på funktioner og deres forskellige repræsentationer. Eleverne arbejdede med erkendelse af sammenhængen mellem funktionsudtryk og grafens "udseende" på grundlag af forskellige opgaver og ved hjælp af især Excel. Der indgik også opgaver med modelleringselementer, hvor eleverne skulle finde funktionssammenhænge for forskellige dagligdagssituationer og tegne dem i Excel. Eleverne arbejdede enkeltvis eller to og to efter eget valg, og de afleverede deres besvarelser i form af to sider i Word i klassens matematiksamlemappe på elevintra. Der var en fælles start og afslutning på forløbet for hele klassen. I det andet forløb, der blev gennemført i tre 8. klasser over 5 lektioner, var fokus på brugen af Excel i besvarelsen af problemregningsopgaver fra gamle FSA sæt. Excel blev her brugt både til at lave beregninger og til at formidle opgaveløsningen i tekst. Sigtet var også her, at eleverne skulle have grundlag for at kunne anvende Excel ved den afsluttende prøve. Samtidig var det lærernes intention, at eleverne skulle blive mere motiverede for at arbejde med matematik i Excel, når de oplevede, at de både kunne lave beregninger og få dem formidlet klart og overskueligt ved hjælp af diagrammer og grafer. Forløbet omfattede fælles gennemgang af udvalgte problemstillinger. Herefter arbejdede eleverne i grupper med forskellige opgaver, som de til sidst præsenterede for hinanden. Gruppernes løsningsforslag blev diskuteret og brugen af Excel til problemløsningsopgaver blev evalueret i hele klassen. 10

11 Det tredje forløb Digital aflevering af matematisk problemløsning blev gennemført i tre 9. klasser over 6-8 lektioner. Her arbejdede eleverne med WM som ramme for deres opgavebesvarelser. De importerede klip fra GeoGebra og Excel, når der var behov for det. Udgangspunktet var FSA matematisk problemløsning december Det specifikke faglige mål for elevernes læring var, at de skulle blive i stand til at anvende WM på et sådant niveau, at de kunne udføre alle nødvendige beregninger til en problemregningsprøve, og herved blive i stand til at aflevere digitalt til FSA. Samtidig var der eksplicit fokus på opgaveløsning i FSA. Eleverne skulle blive bedre til at afkode de sproglige formuleringer i opgaverne og til at finde ud af, hvilke matematiske begreber og metoder samt hvilke IT-værktøjer de skal eller kan anvende i besvarelsen af de enkelte opgaver. Eleverne arbejdede sammen i grupper/makkerpar om løsning af opgavesættet, og de blev udfordret til at snakke sammen undervejs både om det IT-mæssige og det matematikfaglige. Elevernes udbytte blev vurderet ud fra deres afleveringer og på grundlag af lærerens samspil med eleverne under arbejdet. Det er vurderingen, at eleverne i mange tilfælde vil have stor fordel af at kunne anvende WordMathematics og de øvrige IT-værktøjer til FSA. For de fagligt udfordrede elever er alene en skabelon til layout, stavekontrollen og beregningsfunktionen en stor hjælp ved opbygningen og formidlingen af deres opgavebesvarelser. Samtidig er mange opgaver i FSA meget hurtigere og mere sikkert løst ved hjælp af IT. Når eleverne først har fået erfaring og rutine i brugen af programmerne, forventer lærerne således, at mange elever vil kunne forbedre deres besvarelser af FSA opgaver ved at anvende WM og de andre IT-værktøjer. På HG blev der gennemført et forløb om lineær regression i en 1.g klasse. Målet var her at anvende IT-værktøjer som læringsredskab til at støtte elevernes forståelse af mindste kvadraters metode samt at udvikle deres kompetence til selv at opstille modeller ud fra egne data ved hjælp af lineær regression. Eleverne skulle endvidere forstå og forholde sig kritisk til R 2 som udtryk for, hvor god en model er i forhold til givne data og i forhold til konteksten. I forløbet brugte eleverne nspire og/eller Excel. Efter en introduktion til de grundlæggende begreber og de væsentlige funktionaliteter i nspire og/eller Excel i forbindelse med lineær regression arbejdede eleverne med et mindre projekt. Som forberedelse hertil arbejdede hele klassen dog først med at generere og undersøge data for en formodet lineær sammenhæng mellem reaktionstiden i en kæde af elever og antallet af elever i kæden. Forsøget gennemføres ved, at eleverne i kæden videregiver et tryk i hånden gennem kæden samtidig med, at tiden mellem første og sidste tryk måles for hvert forsøg. Herefter arbejdede grupper af 3-4 elever med (1) fremskaffelse af data (for formodede lineære sammenhænge); (2) at opstille udtryk til beregning af mindste kvadrater; (3) at undersøge data i Excel/nSpire og komme frem til bedste tilnærmelse med funktionsudtryk baseret på mindste kvadraters metode; (4) at sammenligne med tendenslinje beregnet i excel/nspire; samt (5) at vurdere R 2 for den opstillede model. 11

12 Kravene til gruppernes rapporter omfattede følgende punkter: (a) Beskrivelse af metoden, (b) Præsentation af egne data og deres kontekst, (c) Konklusion. I rapporten skulle der være relevante grafer med illustration af betydningen af valg af værdier for parametrene a og b samt en simpel udregning af en R 2 -værdi for modellen. Grupperne fremlagde deres resultater for hinanden. Evaluering og refleksioner efter 1. afprøvning (1) I næsten alle klasserne kom eleverne til at arbejde med at bruge IT i matematik på måder, der styrker deres forståelse af væsentlige matematiske sammenhænge, således at eleverne er blevet bedre rustet til at anvende IT i undervisningen fremover, og hvad angår grundskolen også til at kunne anvende IT ved FSA i skriftlig matematik. (2) De tekniske vanskeligheder har i nogle klasser været betydelige, men de er generelt blevet overvundet, og det var lærernes vurdering, at den tid, der er gået til at lære at bruge programmerne, er givet godt ud. Det blev besluttet at arbejde videre med anvendelse af både de generelle IKT-værktøjer (fx til videoproduktion og præsentation med slides og tale) og med matematikspecifikke programmer (fx Excel, GeoGebra, WordMath og nspire) i de efterfølgende afprøvninger. (3) Styring af forløbene gennem krav til de produkter, eleverne skulle udarbejde ved hjælp af IT, har generelt virket motiverende for elevernes arbejde med IT. De forskellige didaktiske designs med gruppearbejde, parring af eleverne, samt afprøvning og fremlæggelse af produkter i forskellige formater har generelt fungeret godt. Det blev derfor besluttet at arbejde videre med produktstyrede forløb og med forskellige designs til evaluering af produkterne i de efterfølgende afprøvninger. (4) Evaluering af elevernes udbytte har i hovedtræk været baseret på vurdering af elevernes produkter og observationer under forløbet. Generelt har eleverne rent faktisk fået udarbejdet de efterspurgte produkter, men i flere af forløbene blev det undervejs klart for lærerne, at nogle elever har alvorlige faglige vanskeligheder, når de selv skal bruge eller forklare centrale faglige begreber og metoder. Brugen af IKT og de mere åbne opgaver har således givet lærerne en værdifuld indsigt i elevernes forståelse og aktuelle faglige udfordringer. (5) De faglige læringsmål og målene for udvikling af elevernes IT kompetencer har spillet tæt sammen i de gennemførte forløb. I de efterfølgende forløb er det fortsat relevant at arbejde med, hvordan anvendelsen af IT kan understøtte matematik faglige læringsmål. (6) I forhold til sammenhængen mellem grundskole og gymnasiet gav evalueringerne og diskussionerne af forløbene anledning til afklaring af væsentlige forskelle i kravene til elevernes (IKT-baserede) opgavebesvarelser i de to systemer. Formkrav til elevernes opgavelæsning spiller tilsyneladende en stor rolle i grundskole og gymnasielærerene oplever at eleverne skal aflære sådanne formkrav, når de starter i gymnasiet, fordi det står i vejen for en redegørelse for, hvad eleven har tænkt ved opgaveløsningen. Både i grundskolen og i gymnasiet kan elevernes brug af 12

13 IKT i deres opgavebesvarelser skygge for bedømmelse af elevernes forståelse af de involverede begreber og metoder Anden afprøvning: Undersøgende matematik Som udgangspunkt for 2. afprøvning, der havde fokus på undersøgende matematikundervisning, blev det ved den første forberedende workshop diskuteret, hvad der er det teoretiske grundlag for denne tilgang, og hvordan undersøgende matematikundervisning kan gennemføres i praksis. Grundlaget herfor præsenteres her i kort form med reference til Blomhøj (2013). I grundskolen spiller elevernes undersøgende arbejde i og med matematik en fremtrædende rolle i den gældende ordning (Forenklede Fælles Mål) for matematik (UVM, 2014). Også i den forrige udgave af fælles mål havde elevernes undersøgende arbejde en central placering. Genindførelsen af den mundtlige gruppeprøve i matematik i 2006 kan også ses som et ønske om at styrke det undersøgende element i elevernes arbejde i matematikundervisningen. Den mundtlige prøve giver mulighed for, at projekter med undersøgende elementer, der er gennemført i løbet af skoleåret, kan indgå i prøveoplæggene. Derved kan prøveformen virke fremmende for projektforløb med undersøgende elevarbejde. På det officielle plan er det undersøgende element både et didaktisk middel til at styrke elevernes interesse for og læring af matematik samt et selvstændigt læringsmål i forbindelse med udvikling af elevernes problemløsnings- og modelleringskompetence. I praksis er elevernes undersøgende arbejde i matematik imidlertid nok snarere undtagelsen end reglen, og er primært henlagt til enkelte projektforløb i løbet af skoleåret. I gymnasiets matematikundervisning spiller det undersøgende element en mindre fremtrædende rolle i den officielle ordning for matematikfaget. På alle tre niveauer skal den mundtlige prøve i faget imidlertid inddrage tema- og projektforløb, der har været arbejdet med i undervisningen (UVM, 2013b). Der er således mulighed for, at projektforløb med undersøgende elevarbejde kan inddrages i den mundtlige prøve. Matematiske modeller og modellering indgår både som kernestof og supplerende stof, men der er ikke krav om, at eleverne selv skal arbejde med modellering. Og det er nok en rimelig vurdering, at praksis i gymnasiet generelt er mere styret af det pensum, der testes ved de skriftlige prøver, end af mulighederne for at opgive undersøgende projektforløb til den mundtlige prøve. Undersøgende matematikundervisning er aktuelt en markant pædagogisk og uddannelsespolitisk trend ikke mindst i EU-systemet, hvor det ses som muligt svar på den generelle udfordring i EU med at højne uddannelsesniveauet inden for matematik og naturvidenskab (Artigue og Blomhøj, 2013). Pædagogisk har undersøgende matematikundervisning forbindelse til inquiry begrebet, der kan tilskrives den amerikanske uddannelsesfilosof John Dewey ( ), men det har også forbindelser til endnu tidligere pædagogiske filosofier. Dewey udviklede en sammenhængende uddannelsesteori baseret på undersøgende tilgange til læring og udvikling af viden. Teorien blev 13

14 endda realiseret som pædagogisk praksis i en forsøgsskole. Learning by doing er efterfølgende blevet en parole for denne pædagogik, hvor fokus var på elevernes undersøgelser - og navnlig på deres refleksioner over erfaringer og resultater af undersøgende arbejde støttet og opmuntret af deres lærere. Som grundlag for arbejdet med undersøgende i matematikundervisning i Matematikprojektet blev følgende grundprincipper for Deweys uddannelsesfilosofi derfor præsenteret og diskuteret. 1. Mennesket søger at forstå og beherske sin omverden gennem undersøgende og problemløsende adfærd, samt ved at udvikle og dele sin viden gennem social interaktion. 2. Videnskabelig viden er udviklet gennem raffinering og kultivering af denne grundlæggende erkendelsesinteresse og er således ikke grundlæggende forskellig fra almen menneskelig viden. 3. Gyldig (sand) viden er effektiv til forståelse af fænomener og løsning af problemer. Eleverne skal opleve, at den viden, de udvikler, er nyttig og meningsfuld i deres omverden. (Dette syn på viden kaldes pragmatisme.) 4. Uddannelse skal udvikle den enkelte elev til at lære gennem undersøgelse og refleksion i sociale fælleskaber. 5. Elevernes erfaringer og viden er grundlaget for tilrettelæggelse af undervisning, og viden almengøres gennem fælles refleksioner over fælles erfaringer. 6. Viden almengøres i undervisningen gennem refleksion over fælles erfaringer. 7. Det overordnede mål et at uddanne eleverne til at tage aktiv og kritisk del i udvikling af det demokratiske samfund. Det er naturligvis ikke lige til at omsætte disse principper til matematikundervisning, men de kan bidrage til, at man som lærer kan styre og ikke mindst begrunde udviklingen af sin praksis i en mere undersøgende retning. Undersøgende matematikundervisning i praksis Svarende hertil var fokus på, hvordan man som lærer kan arbejde med undersøgende tilgange i matematikundervisningen i praksis. Til støtte herfor blev følgende tredelte grundstruktur for undersøgende formål præsenteret og diskuteret med lærerne: (1) Iscenesættelse af forløbet over for eleverne indeholder - overdragelse af udfordringen/problemet til eleverne - etablering af et fælles sprog med eleverne om udfordringen - etablering af det didaktiske miljø for arbejdet - formidling af de tidsmæssige og praktiske rammer - klargøring af produktkrav, bedømmelsesformer og succeskriterier (2) Elevernes selvstændige undersøgende arbejde kræver - tilstrækkelig tid, frihed og støtte til, at de kan arbejde selvstændigt med problemet 14

15 - støtte til etablering af samarbejde mellem elever - støtte og udfordring gennem dialog - forberedelse gennem konstruktion af eksemplariske dialoger (3) Fælles refleksion og faglig læring medfører - at erfaringer og resultater systematiseres og gøres fælles - udpegning af faglige pointer i elevernes arbejde - opbygning af fælles faglig viden med fælles fagsprog - forbindelser og sammenkædninger af denne viden med tidligere etableret viden - udpegning af nye mulige spørgsmål og undersøgelser I forbindelse med forskellige udviklingsprojekter blandt andet i regi af EU-projektet PRIMAS har denne struktur vist sig at være hjælpsom for læreres tilrettelæggelse, gennemførsel og evaluering af undersøgende forløb. Det bliver blandt andet meget tydeligt, at der for læreren er forskellige didaktiske udfordringer knyttet til hver af de tre faser. De forløb, der blev gennemført under den 2. afprøvning, var alle planlagt i den tredelte struktur for undersøgende forløb. Som yderligere støtte til læreres udvikling af undersøgende forløb kan der identificeres nogle elev- og læreraktiviteter, som kan siges at være karakteristiske for undersøgende matematikundervisning. Disse aktiviteter er tættere på undervisningspraksis og derfor nemmere for lærere at konkretisere i forhold til planlægning og gennemførsel af egne undervisningsforløb. Karakteristiske elevaktiviteter i undersøgende matematikundervisning er: At stille faglige spørgsmål, afgrænse og strukturere, observere systematisk, måle og kvantificere, klassificere, udvikle definitioner, beregne og lave overslag, indføre og anvende symboler, anvende algebra, ræsonnere og bevise, repræsentere og visualisere, danne og undersøge formodninger/hypoteser, eksperimentere, fortolke og vurdere resultater, kommunikere fagligt, Karakteristiske læreraktiviteter i undersøgende matematikundervisning er: At sætte scenen for undersøgende aktiviteter, inspirere til undersøgende holdning og tilgange til matematik, formidle og fællesgøre læringsmål, at bygge på og udbygge elevernes erfaringer, støtte elevernes ejerskab til problemer og projekter, skabe rum for dialogisk samspil i klassen, opmuntre til spørgsmål og refleksion, stille åbne og nysgerrige spørgsmål til elevernes arbejde, bemærke og påskønne elevers faglige ideer og ræsonnementer, værdsætte forsøg og fejl som grundlag for læring, fremme samarbejde mellem eleverne, udpege og almengøre centrale begreber og metoder, evaluere elevernes faglige læring, evaluere forløb og udvikle egen praksis,... Disse elev- og læreraktiviteter er naturligvis ikke hver især forbeholdt undersøgende matematikundervisning. De kan forekomme i al matematikundervisning, men tilsammen kan de være med til 15

16 at karakterisere undersøgende matematikundervisning, og de kan være støttende for lærerens fokusering på de undersøgende elementer i et forløb såvel i planlægningen og i samspillet med eleverne. Som yderligere forberedelse til udvikling af undersøgende forløb arbejdede lærerne selv med de matematiske undersøgelser i relation til Centicubens Fødselsdag. Oplægget til det undersøgende forløb er gengivet neden for i kort form. Det er udviklet af Mikael Skånstrøm og udfoldet i detaljer i Blomhøj (2015). Centicubens fødselsdag Klasserummet kan organiseres ved at sætte bordene i grupper med plads til 4-6 elever. På bordene er der flag og slik, og hvad traditionen i klassen nu ellers foreskriver for rigtig fødselsdag. Når eleverne kommer ind i klassen, kan de se, at der er én, der har fødselsdag. Og det er selvfølgelig vigtigt, at der ikke er nogen af eleverne i klassen, der har fødselsdag netop den dag. En elev: Læreren: Læreren: Hvem er det, der har fødselsdag? Sæt jer bare ned så skal I høre, og I må ikke spise af slikket endnu! I dag er det Centicube, der har fødselsdag og det skal fejres med matematik naturligvis, men først skal vi selvfølgelig synge fødselsdagssang. Den ligger på bordet (se figur 4) Figur 4: Det papir, der ligger på bordene med bagsiden op ad, inden forløbet stater. Læreren: Her har vi Centicube som 3-årig. Læreren viser en cube bygget af 27 centicubes. Den har fødselsdag og er lige vokset, og nu skal den males. Læreren putter den ned i en Hary Potter tryllehat eller noget andet og trækker en guldfarvet centicube op ad hatten. 16

17 Læreren: Læreren: Nu skal I arbejde med at beregne og beskrive hvordan centicuben vokser og hvor mange af dens små centicubes, der bliver malet på henholdsvis 1, 2, 3, eller flere af deres flader, og hvor mange der slet ikke bliver malet, hver gang den fejrer fødselsdag. Her er et skema (se figur 5) som i kan skrive jeres resultater ind i, og I må naturligvis meget gerne bygge centicuben i dens forskellige aldre men pas på det tager lang tid, når den bliver ældre. Og I må gerne spise af slikket undervejs. Figur 5: Skemaet som grupperne får, gengivet med de to første rækker udfyldt. Læreren: Læreren: Når I har udfyldt skemaet i grupper, eller så meget af det som I behøver for at kunne opstille formler, der viser udviklingen for hver søjle som med alderen n som uafhængig variabel, kan I bruge regneark til at beregne udviklingen og tegne grafer for den. I skal også lave gode beskrivelser med jeres egne ord af, hvordan udviklingen forløber i de enkelte søjler. Det er vigtigt, at I viser mig jeres resultater i skemaet, inden I går i gang med at tegne grafer for udviklingen i regneark. Forløbet er eksemplarisk i forhold til betydningen af de tre faser i undersøgende forløb generelt. Det kan også siges at være eksemplarisk for, hvordan brugen af regneark kan integreres i undervisningen, så det styrker og udvikler elevernes undersøgende arbejde, deres matematiklæring og deres kompetence til at anvende regneark som hjælpemiddel. Forløbet illustrerer samtidig, hvordan elevernes undersøgende arbejde kan rammesættes og til dels også styres ved hjælp af konkrete krav til et eller flere produkter, som eleverne skal lave. Der stilles fx eksplicit krav om brug af centrale matematiske repræsentationer for funktioner. Sigtet er, at eleverne får det bedst mulige grundlag for at følge de faglige pointer, som det er intentionen at gøre til fælles læring i den opsamlende 3. fase af det undersøgende forløb. Endelig kan eleverne meget nemt udfordres til selv at fortsætte med undersøgelser af andre måder, som centicuben kunne tænkes at vokse på, og som giver anledning til matematisk spændende og relevante talfølger og funktioner. Forløbet er således også eksemplarisk for, hvordan der allerede på mellemtrinet kan arbejdes systematisk med at støtte elevernes dannelse af centrale matematiske begreber og udvikle deres ræsonnementskompetence på måder, der forbereder eleverne til gymnasiets matematikundervisning. 17

18 I forbindelse med præsentationen af Matematikprojektet ved Undervisningsminister Christine Antorinis besøg ved Roskilde Ny Nordisk Skole blev iscenesættelse af det forløb for en 5. klasse anvendt som eksempel på undersøgende matematikundervisning af Katja Borregaard SJS. Forløbet blev efterfølgende gennemført i den pågældende klasse. Og Efterfølgende har forløbet været gennemført i mindste yderligere en 6. klasse. I alle forløbene er det lykkedes at gøre eleverne optaget af de faglige undersøgelser, og alle grupper er nået frem til at kunne beskrive udviklingen i de indgående talfølger matematisk og med deres egne ord. Konstruktion af dialoger som metode i planlægning af undersøgende forløb Dialogen med eleverne er helt central i undersøgende matematikundervisning og rummer særlige udfordringer. For det første er det centralt, at forløbet iscenesættes, så eleverne kan gøre undersøgelsen til deres egen. Det vil sige, at der som udgangspunkt må skabes spørgsmål eller forundring, som eleverne kan tage til sig, og som kan være styrende for deres arbejde og for den efterfølgende opbygning af en fælles faglig læring i klassen. Men samtidig skal der være en vis åbenhed og frihed i forhold til, hvordan at eleverne kan gennemføre undersøgelsen. Hvis der gives for detaljeret og præcise anvisninger for, hvad eleverne skal gøre, er der nemlig risiko for, at (nogle af) eleverne blot følger anvisningerne uden at have etableret et motiv for selve undersøgelsen. For det andet skal der i de to første faser etableres faglige og pædagogiske forudsætninger for elevernes undersøgende arbejde. Eleverne skal have (differentieret) støtte og hjælp til det undersøgende arbejde, men kernen i læringsudbyttet som forløbet er planlagt med henblik på, må ikke formidles til eleverne af læreren. Hvis det sker, mistes pointen ved det undersøgende element. For det tredje skal elevernes resultater og refleksioner udnyttes som grundlag for opbygning af en relevant fælles faglig viden i den sidste fase. For at støtte lærernes forberedelser af forløbene i forhold til disse tre typer af udfordringer blev lærerne i grupper opfordret til at konstruere eksempler på dialoger til hver af de tre faser i deres undersøgende forløb. Udgangspunktet var at lærerne skulle forestille sig, hvordan deres elever vil reagere ved det planlagte forløb, og så konstruere dialoger, der afspejler, hvordan de som lærer gennem dialogen vil kunne støtte og hjælpe eleverne i forhold til disse udfordringer. De enkelte forløb under 2. afprøvning Under 2. afprøvning blev der planlagt, gennemført og evalueret tre forskellige undersøgende undervisningsforløb. Lærerne samarbejdede her i grupper på tværs af de tre skoler opdelt efter klassetrin. Forløbene havde følgende overskrifter: (1) Mal jeres klasseværelse hvad koster det? (6.-7. klasse) (2) Design et hus arkitektkonkurrence (7. klasse) (3) Hvor høj er den eller hvor langt er der? - Anvendt trigonometri (8..-1.g klasse) 18

19 Forløbsbeskrivelserne er blevet revideret baserede på evalueringerne af de første forløb. Beskrivelserne gengives i det følgende med eksempler på iscenesættelsen af forløbene over for eleverne og eksempler på konstruerede dialoger udarbejdet som led i forberedelsen af forløbene. Mal jeres klasseværelse! Som fælles grundlæg for forløbene udarbejdede lærerne følgende forløbsbeskrivelse, der var planlagt til at kunne gennemføres over 2 uger (8-10 lek.). Faglige læringsmål: - Målestoksforhold, skitsetegning - Arealberegning og arealbegrebet - Regning med størrelser (tal med enheder) - Omregning mellem enheder - Matematik i anvendelse (modellering, effektiv løsning af praktisk problem, vurdering af usikkerheder m.v.) - Excel i anvendelse (opbygning af formler i Excel) Organisering: - Eleverne arbejder i par - Iscenesættelse (start med en god historie (bilag 1) og støt elevernes forståelse af opgaven med en klar beskrivelse af opgaven og kravene til det produkt, eleverne skal producere (bilag 2)) - Krav til det undersøgende arbejde / Tjekliste til eleverne (se bilag 2) - Undersøgende arbejde (stop op undervejs og få eleverne til at evaluere deres arbejde) - Fokus på dialoger med eleverne undervejs - Opsamling af fælles faglige pointer Materialer: Der skal bruges målebånd og computer. Produktkrav: Hvert par skal lave en PowerPoint præsentation på to minutter, der forklarer til skolebestyrelsen, hvordan de har beregnet, hvad det koster at male jeres klasseværelse, og hvordan man kan bruge deres regneark til at beregne, hvad det koster at male andre klasseværelse med andre mål, og hvordan man skal ændre i regnearket, hvis man ønsker at bruge en anden maling. Evaluering af elevernes produkter. Klassen leger skolebestyrelse, og de enkelte præsentationer skal fremlægges for klassen. Bagefter taler vi om, hvad der godt ved de forskellige præsentationer, og hvad vi har lært af matematik i forløbet. Centrale faglige pointer, der kan behandles på grundlag af elevernes arbejde i 3. fase af forløbet: - Hvilke størrelser er relevante at måle i klasseværelse - Og hvilke enheder er relevante at benytte? - Hvordan kan opmålingen forsimples (går nogle mål igen?) - Hvad med udgifter til værktøj og afdækning mv. - Faglig læsning: Hvilke informationer findes der på hjemmesiderne - Rækkeevnen for en maling måles i m 2 /liter. Hvad betyder det? - Hvad er forskellen på en skitse og en tegning. - Hvordan laver man en målestokstegning i GeoGebra. - Hvordan beregner man areal i GeoGebra (polygoner). - Cellerne(s koordinater) som navne for variable. 19

20 - Regneark er smart, når de samme beregninger skal udføres på forskellige tal eller når man skal kunne ændre i tallene. Dynamisk brug af regneark kræver, at man anvender cellernes navne (koordinater) i formlerne. - Opbygning af formler i regneark med reference til celler sådan, at arket virker dynamisk. Følgende centrale udtryk kan skrives på tavlen og diskuteres med klassen i den 3. fase: Pris (kr.) = Areal (m 2 )/Rækkeevne (m 2 /l) * Literpris (kr./l) Eller med korte navne på de indgående størrelser: P 2 A Lp og en ligning for enhederne: m kr 2 R m Faglig pointe: Man kan regne med enheder på samme måde, som man regner med bogstaver og tal. l Forløbene blev grundlæggende iscenesat på samme måde i de enkelte klasser. Det bærende spørgsmål til eleverne var: Hvad koster det at male klasseværelset? Som udgangspunkt fik eleverne følgende instruktioner: Opmåle klasseværelset så I kan beregne, hvor stort et vægareal, der skal males med vægmaling. Brug målebåndene. kr l For hver væg kan vi lave en målestokstegning i GeoGebra, og så kan I bruge GeoGebra til beregning af arealet der skal males på hver af væggene. Arealet der skal males beregnes og skrives ind i Excel som i et budget. I skal finde 2 slags maling af forskellig pris på nettet. Det skal være maling, der kan fås i farver som I synes vil være pænt til jeres klasseværelse. Prisen og rækkeevnen på malingen skal I indtaste i Excel. I skal lave en formel i Excel, der kan beregne den samlede pris til maling og ud fra jeres areal beregninger. Jeres regneark skal være dynamisk således, at beregningen opdateres, når man ændrer de størrelser, der indgår i beregningerne. Lav en præsentation i Power Point. Præsentationen skal indeholde jeres tegninger og budgetter, samt formidle jeres undersøgelser. Husk den skal kunne fremlægges for skolebestyrelsen, så de ved hvad det koster at male jeres klasseværelse, og så de kan forstå, hvordan de kan bruge jeres fremgangsmåde og regneark til beregne, hvad det koster at male alle klasseværelserne på skolen. I har matematiktimerne i de næste to uger til Jeres arbejde. 20

21 Eksempel på en konstrueret dialog som er tænkt lige efter iscenesættelsen: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Elev: Lærer: Hvordan finder vi ud af hvor meget maling vi skal bruge? Hvilke informationer er vigtige for at finde ud af det? Væggenes areal? Ja, og hvordan findes det? Ved at måle længde og bredde. Ja. Men er det det faktiske areal der skal males? Næeh, for vi skal jo ikke male vinduer og døre. Okay, så hvad skal der gøres ved arealet? Vi skal tage væggenes areal og trække vinduer og døres areal fra. Præcis. Hvad så når I har fundet det areal der skal males? Så kan vi gå på nettet og finde malingen. I hvilken måleenhed sælges maling som regel? Øhh, i en spand. Så måske i liter? Ja. Og hvilken enhed bruger i når I beregner arealet? Kvadratcentimeter. Har I tænkt jer at måle klasseværelset i centimeter? Nej, nok meter. Så det bliver kvadratmeter. Så arealet beregnes i kvadratmeter og malingen skal købes i liter. Hvordan kommer det til at passe sammen? Måske man kan regne om? Eller undersøge om der står noget om det på sådan en malinghjemmeside? Ja, prøv det. Design et hus! Denne forløbsbeskrivelse er re-designet baseret på erfaringerne fra planlægning, gennemførsel og evaluering af forløbet i tre 8.klasser. Forløbet er planlagt til gennemførelse over 5-6 lektioner. Faglige læringsmål: - Målestoksforhold, skitsetegning - Arealberegning og beregning af omkreds - Matematik i anvendelse (modellering, effektiv arealudnyttelse, forhold mellem areal og omkreds) - Brug af GeoGebra til tegning og arealberegning Organisering: - Eleverne arbejder i individuelt eller i par med design af hver deres hus. - Iscenesættelse som arkitektkonkurrence (bilag 1) - Elevernes undersøgende arbejde støttes af et opgaveark (bilag 2) - Fokus på dialoger med eleverne undervejs - Opsamling af fælles faglige pointer Materialer: Computer Produktkrav: Hver elev skal designe et hus med de angivne specifikationer. Der skal produceres en målestokstegning af husets grundplan en plantegning - med angivelse af de enkelte rums funktion og 21

22 størrelse. Husets omkreds skal beregnes og forholdet mellem husets areal og omkreds skal beregnes og angives på tegningen. Evaluering: Husene vurderes i fællesskab i klassen i forhold til de omtalte tre kategorier i arkitektkonkurrencen: (1) Bedste indretning, (2) Mest energirigtige, (3)Det mest originale Iscenesættelsen af forløbet overfor eleverne: I det her forløb, som vi afslutter på onsdag i næste uge, er I med i en arkitektkonkurrence. Paradisbakken skal udstykkes til 26 parcelhuse (hvis der er 26 elever i klassen). Firmaet Paradishuse, der skal stå for byggeriet, har udskrevet en arkitektkonkurrence. De ønsker at få tegninger til forskellige huse med det samme areal til beboelse, nemlig 145 m2. Alle husene skal være i et plan, så man ikke ødelægger udsigten over paradisbakken. Husene skal kunne sælges til familier med to voksne og to børn. De skal være praktisk indrettet, energirigtige og samtidig være forskellige og originale i deres arkitektur. Det bedste hus inden for hver af de tre kategorier: (1) Bedste indretning, (2) Mest energirigtige, (3) Det mest originale kåres i konkurrencen. I har resten af modulet i dag og de næste to moduler til opgaven. Vi afslutter forløbet, med at uddele de tre arkitektpriser for jeres huse, og I skal selv være med til at diskutere og bestemme kriterierne i hver af de tre konkurrencer. Som led i arkitektkonkurrencen skal følgende opgaver besvares og gemmes i intra under samlemappen: Mit hus - under det faneblad med dit navn (opret selv et faneblad!) Hver af de følgende 8 opgaver skal løses og godkendes, før man går videre til næste opgave: Opgave 1: Konstruér et hus på 145 m² i et plan - først på papir som en skitse af grundplanen af huset, hvor kun ydermurene er med - det er starten på en plantegning for huset. Dernæst skal tegningen laves i et passende målestoksforhold i GeoGebra. Opgave 2: Indtegn værelser, stuer, toiletter, køkken, mm. på din plantegning i GeoGebra. Lav gerne værelserne som polygoner du kan flytte rundt på og ændre størrelsen på. Når du er færdig, kan du skrive arealet af de enkelte rum på tegningen. Opgave 3: Indtegn vinduer og døre på plantegningen. Opgave 4: Find omkredsen af dit hus, og beregn forholdet mellem areal og omkreds. Opgave 5: Tegn én af siderne af huset, set fra street view -perspektiv - altså ikke oppefra. Opgave 6: Tegn en terrasse og beregn hvad den kommer til at koste i materialer (og evt. i arbejdsløn). Opgave 7: Tegn grunden dit hus ligger på og giv et bud på, hvad der skal være i haven. Opgave 8: Indret et af rummene i dit hus - beregn hvor meget det kommer til at koste. Eksempler på af faglige pointer ved opsamling i klassen i 3. fase af forløbet 1. Hvad vil det sige at huset er godt indrettet? Nem adgang til og sammenhæng mellem de forskellige funktioner i huset. Det kan være indgang til huset entre og bryggers, (sove-) værelser wc og badeværelse; køkken spisestue; stue terrasse, hus have, hus garage. 22

23 Matematisk kan det handle om arealudnyttelse. Hvor stor en procent af arealet går til gange og entre? Antallet af døre hvor mange døre skal man i gennem når man skal fra A til B i huset? Lysindfald kan også behandles matematisk forholdet mellem vindusareal og rumareal. Orientering af vinduerne i forhold til verdenshjørnerne betyder også noget. 2. Hvad vil det sige at et hus er energirigtigt? Lavt energiforbrug bestemmes af mange forhold. Opvarmningsform, byggematerialer, lysindfald mv. Meget forsimplet afgiver et hus varme gennem dets ydre overflade. Matematisk kan det modelleres ved at beregne forholdet mellem areal og omkreds, når man regner med, at højden af ydremurerne er den samme for alle husene. Et cirkelrundt hus giver det største forhold: 145/ pi * r 2 /2*pi* r = r/2, når arealet er 145 m 2 bliver 3, 4 2 For huse med rektangulær form har et kvadratiske hus (der jo netop også er rektangulært) det største forhold: 145 s 2 /4 s = s/4, det giver: 3, 0 4 For trekantede huse (der jo ikke er så almindelige) er det de ligesidede huse, der har det største forhold. 3. I forhold til originalitet i arkitekturen kan det indgå, hvilke forskellige geometrisk former der indgår i grundplanen og i formerne på rummene i huset. Vinduernes form og placering kan også indgå i denne vurdering. Hvor høj er den? og Hvor langt er der? Anvendt trigonometri Denne forløbsbeskrivelse er baseret på erfaringerne fra planlægning, gennemførsel og evaluering af forløb i to 9. klasser og en 1.g klasse. Mål: Eleverne skal gennem teoretisk og praktisk arbejde tilegne sig den afsluttende viden på grundskoleniveau vedr. trigonometri. Gennem elevernes arbejde med undersøgende aktiviteter i felten opnår de en anerkendelse at, at eksperimentelt arbejde kan føre til teoretisk viden. Organisation: Eleverne arbejder i grupper på 3-4 deltagere. Læreren har inddelt eleverne i grupperne, så de fagligt matcher hinanden. Der vil altså være en faglig niveaudeling. Det tilstræbes, at eleverne arbejder dels teoretisk såvel som praktisk orienteret. Tid: Der afsættes 10 matematiklektioner i uge 9 og 10. Produkt: Gruppen skal fremstille en instruktionsvideo, der illustrativt forklarer gruppens problemfelter. 23

24 Krav: Til eleverne: Præsentation af opgaven. Den teoretiske matematik bag bør fremstå klar og tydelig. Der skal vises eksempler på relevante it-programmers muligheder for at fremme processen frem mod løsningerne. I skal redegøre for jeres overvejelser i forbindelse med jeres undersøgelse. Der skal vises eksempler fra jeres praktiske arbejde. Der skal redegøres for undersøgelsens relevans. Videoen skal være optaget med jeres mobiltelefoner. Videoen skal indeholde et opgaveforlæg til resten af klassen, så de ud fra deres eksisterende viden samt den nye viden, som I formidler via jeres video, kan løse et lille opgaveforlæg, som I også skal lave. Videoen skal vare 3-7 minutter. Evaluering: Gruppen modtager en to/tre-delt evaluering. Klassens elever udfylder efter videoen og deres arbejde med den stillede opgave et evalueringsskema. Læreren giver en evaluering. Enkelte gruppers videoer afprøves i parallelklassen. Denne klasses matematiklærer giver en evaluering. Opgaveformulering med mulighed for differentiering mellem grupperne Gruppe 1: Der skal arbejdes med beregninger i den retvinklede trekant. sina= (modstående katete)/hypotenuse cosa= (hosliggende katete)/hypotenuse tana = (modstående katete)/(hosliggende katete) Gruppen skal bevise den første formel ud fra enhedscirklen og vise praktiske anvendelsesmuligheder i virkeligheden af alle tre formler. Gruppe 2: Sinusrelationerne: a/sina = b/sinb = c/sinc i en vilkårlig trekant. Gruppen skal bevise sætningen og vise praktiske anvendelsesmuligheder i virkeligheden Gruppe 3: Arealet T af en vilkårlig trekant er givet ved: T = 1/2 a b sinc Gruppen skal bevise sætningen og vise praktiske anvendelsesmuligheder i virkeligheden Gruppe 4: Gruppen skal ud fra enhedscirklen beskrive cosinus og sinus. Fra virkelighedens verden skal der findes eksempler på anvendelse af cosinus/sinus. Gruppe 5: Gruppen skal indledningsvis beskæftige sig med trigonometriske beregninger vedr. afstanden til månen og derefter beregning af størrelsen på månen. Dernæst skal gruppen finde andre eksempler fra virkeligheden, hvor denne viden/metode kan anvendes. Gruppe 6: Cosinusrelationerne c 2 = a 2 + b 2-2ab cosc Gruppen skal bevise sætningen og vise praktiske anvendelsesmuligheder i virkeligheden Gruppe 7: De fem trekantstilfælde Gruppen skal vise hvorledes man med passer, vinkelmåler og lineal - gerne gennemført i GeoGebra - kan konstruere de forskellige trekanter. Herefter skal de vise, hvordan man i de fem tilfælde kan beregne ukendte sider og vinkler. Følgende opgave fra Anders And (på norsk) kan bruges til iscenesættelsen: Oppgave: Hvordan kan vi gjøre det samme som Ole, Dole og Doffen uten å telle oss fram ved hjelp av et ruteark? (For øvrig er oversetteren helt på jordet når hun gjør 1 fot til 1/2 meter: En fot er 30 cm. Men det er best å regne og telle med fot på rutearket til Ole, Dole og Doffen.) Historia er en del av ei historie som gikk i norsk Donald Duck & Co i 1956, og naturligvis signert Carl Barks. 24

25 Figur 6: Udklip fra et norsk Anders And blad Eksempel på en konstrueret dialog med et elevpar i 1.g i den indledende fase af det undersøgende arbejde. Eleverne står over for samme type af udfordring som Ole og Dole i figur 6: E1: Hvor mange ting skal vi måle? L: Det kommer jo lidt an på, hvordan I vil beregne afstanden. Hvordan vil I det? E1: Tja. L: Hvad siger I andre E2: Måske vi kan bruge formlerne for sin eller cos L: God ide. Hvad skal I kende for fx at kunne benytte sinus-relationen? E2: Det er noget med vinklerne. E1: Ja, og noget med længderne af siderne L: Fint, hvor mange sidelængder har I mulighed for at måle? E1: Det er vel egentlig kun én grundlinjen. L: Ja, hvad mere kan I måle? E1: Vi kan også måle to vinkler ud til punkt C L: Super. Er det så nok til, at I ved hjælp af sinus-relationen kan bestemme de sidste sider i trekanten? L: Og hvad er det egentlig i gerne vil finde? E2: Det er vel højden i trekanten? L: Ja, så hvordan kan I beregne den? 25

26 Evaluering og refleksioner efter 2. afprøvning (1) Der blev gennemført undersøgende undervisningsforløb i alle klasser efter grundstrukturen med de tre faser. På grundlag af evalueringerne af de enkelte forløb og diskussionerne ved de to evalueringsworkshops er der for hvert forløb udarbejdet en revideret forløbsbeskrivelse med (a) oplæg til iscenesættelse af forløbet over for eleverne, (b) skitse af forløbet med eksempler på lærer-elev dialoger under elevernes undersøgende arbejde, samt (c) oversigt over centrale faglige pointer, der kan danne udgangspunkt opbygning af en fælles faglig læring i klassen i fase 3. Det kan naturligvis diskuteres, i hvilken grad de gennemførte forløb i 2. afprøvning lever op til de ideale fordringer for undersøgende undervisningsforløb i matematik. Det gælder fx graden af frihed for elevernes arbejde og støtten til opbygning af fælles faglig læring i klassen på grundlag af forløbet i den 3. fase. Men det er vurderingen, at lærerne har fået indsigt og erfaring med selv at gennemføre undersøgende forløb, og de kan bygge videre herpå i udvikling af egen praksis i samspil med deres fagteams. (2) Det er vurderingen, at lærerne gennem diskussioner ved de fælles workshops har en sådan grad af medejerskab til alle forløbne, at de relativt nemt selv vil kunne anvende dem i deres egne klasser. Flere af forløbene er allerede anvendt af projektets deltagere på denne måde. (3) Der er i alle forløbene arbejdet med at anvende krav til elevernes produkter som redskab til styring af det undersøgende arbejde. Der er her bygget videre på erfaringerne fra 1. afprøvning. Ved evalueringen af de enkelte forløb på de fælles workshops er der blevet fremlagt og diskuteret eksempler på elevprodukter. Beskrivelserne af de gennemførte forløb og mange af elevprodukterne er delt i projektet via Basecamp. Det var intentionen, at elevernes læring skulle kunne bedømmes ud fra deres produkter og de tilhørende mundtlige præsentationer. Eksempler på elevprodukter blev fremlagt og diskuteret ved de to evalueringsworkshops efter hvert forløb. Det viste sig imidlertid vanskeligt at bedømme elevernes læringsudbytte alene ud fra produkterne. Eller sagt på en anden måde. Det var i flere tilfælde lærernes vurdering, at eleverne havde fået et større udbytte af forløbet end det der var afspejlet i deres produkter. Det gav i flere tilfælde anledning til refleksion over kravene til elevernes produkter. (4) Hvad angår brugen af IT, bygger forløbene i 2. afprøvning helt klart på erfaringerne fra 1. afprøvning. Det gælder både elevernes brug af de generelle IT-værktøjer til præsentation og formidling af deres arbejde blandt andet i video-mediet, og deres brug af de mere matematikspecifikke IT-værktøjer. I alle tre forløb er det blevet diskuteret, hvordan brugen af IT kan støtte elevernes faglige læring. Forløbet med trigonometri rummer her en særlig udfordring, fordi der findes IT-værktøjer, som kan foretage trekantsberegninger. (5) Arbejdet med konstruktion af dialoger som led i forberedelsen af undersøgende forløb blev godt modtaget af lærerne. De oplevede, at det var med til at konkretisere den fælles planlægning af forløbene, og at det gav et andet perspektiv på samspillet med elever under selve forløbet. 26

27 Samtidig oplevede de også metoden som svær og tidskrævende og derfor ikke umiddelbar anvendelig i den daglige praksis. (6) I relationen til overgangen mellem grundskole og gymnasium var forløbet i trigonometri specielt relevant. Det viser sig, at der er en klar fælles udfordring i forhold til at arbejde med anvendelse af trigonometri på måder, der dels motiverer eleverne og dels støtter deres forståelse af de grundlæggende matematiske begreber. Der findes IT-værktøjer og måder at bruge dem på, som fremmer en rent instrumentel tilgang til opgaveregning med trigonometri, men samtidig kan nogle af de samme programmer bruges til at udfordre og støtte elevernes begrebsdannelse. Det gælder fx programmer med DG som fx GeoGebra. Det vil derfor bidrage til bedre sammenhæng i matematikundervisningen fra grundskole til gymnasium, hvis denne form for anvendelse af GeoGebra får fokus og opmærksomhed både i grundskolen i gymnasiet Tredje afprøvning: Elevengagement og motivation for matematiklæring Udgangspunktet for den tredje afprøvning var, at eleverne på de tre involverede skoler skulle interagere. Denne ambition realiserede vi i Matematikprojektet under overskriften Klassekamp i idræt og matematik. Ideen var at lade alle klasserne konkurrere med hinanden i udvalgte idrætsdiscipliner og at anvende de indsamlede data som grundlag for undervisningsforløb i matematik med blandt andet det sigte at udfordre eleverne til at anvende statistisk til at argumentere for, at deres klasse var den bedste (til noget). Intentionen med forløbet var at skabe engagement blandt eleverne og motivation for matematiklæring ved at skabe forbindelse mellem elevernes oplevelse ved idrætsarrangementet og deres arbejde med matematisk beskrivelse og analyse af datamaterialet. Samtidig var det sigtet, at konkurrenceelementet fra idrætsdisciplinerne kunne udstrækkes til også at være motiverende for det matematiske arbejde. Endvidere rummer elevernes erfaringer og resultater fra nogle idrætsdiscipliner potentiale til at tjene som kognitivt udgangspunkt for dannelse af centrale matematisk (og fysiske) begreber vedrørende sammenhænge mellem tid, sted og fart ved bevægelse, gennemsnitsfart og funktioner. Der deltog 17 klasser fra 6. klassetrin til 2.g i gymnasiet i forløbet. Opdelt på tre dage mødtes klasserne til en halv idrætsdag, hvor alle elever konkurrerede i fire discipliner: 100m og 400m løb, kuglestød og præcisionskast. For hver elev blev resultaterne registreret sammen med baggrundsvariable som klasse, alder, køn, højde, og højre- eller venstrehåndet. Alle data blev samlet i et (kæmpe) Excelark, som alle eleverne efterfølgende fik adgang til. Dette datamateriale udgjorde grundlaget for den anden del af konkurrencen. Her skulle elever i mindre grupper og klassevis behandle udvalgte data med henblik på at argumentere for, at netop deres klasse var bedst til noget. I alle klasserne blev eleverne introduceret til, hvordan man kan filtrere og sortere data i Excel det var nyt for næsten alle, og meget fascinerende for mange. Sammen med det store og righoldige datamateriale, som eleverne i høj grad selv kunne forholde 27

28 sig til, gav denne udfordring anledning til en masse statistisk behandling og formidling. Klassernes præstationer blev sammenlignet med ved hjælp af forskellige diagrammer (blandt andet boxplot lavet i GeoGebra), og præstationerne i de enkelte discipliner blev analyseret på tværs af klasserne med henblik på at finde eventuelle sammenhænge mellem elevernes idrætsresultater og deres baggrundsvariable. På ældste klassetrin skete det ved hjælp af lineær regression. Elevernes erfaringer med og resultater i løb disciplinerne blev brugt som udgangspunkt for mere fagligt fokuseret modellering af, hvad der sker under fx et 100 meter løb. Følgende spørgsmål kan sætte arbejdet i gang. Hvordan ser dit 100m løb ud matematisk? Hvad blev din gennemsnitsfart i m/sek.? og Hvordan ændrede din fart sig undervejs? Begrebet gennemsnitsfart kan behandles allerede på mellemtrinet, og hvis det forbindes til konkrete oplevelser og erfaringer med bevægelse, kan det også sættes i sammenhæng med, hvordan farten har ændret sig undervejs. I figur 7 er vist en graf for, hvordan farten under et 100 meter løb, der blev løbet på 14 sekunder rent som man siger i sporten - kan have udviklet sig. Det giver en gennemsnitsfart på 100m/14sek = 7,14 m/sek. Figur 7: 100 meter løb i virkeligheden og i matematikken med GeoGebra. De 100m kunne altså være løbet på 14sek. med en konstant fart på 7,14 m/sek. Det svarer til den vandrette linje i koordinatsystemet. Hvor langt der er løbet på et givet tidspunkt svarer altså til arealet under grafen for farten, og et sådant areal har netop også enheden meter. På figur 7 svarer arealet over den vandrette linje for gennemsnitsfarten altså lige præcis til det næsten trekantede areal mellem denne linje og grafen for farten i starten af løbet. 28

29 I det virkelige løb er det er klart, at farten var nul ved starten ellers var der jo tyvstart! Det er også klart, at fart stiger gradvist til en topfart, der så holdes til mål eller næsten. Det er samtidig klart, at de 100 meter blev løbet på 14 sek. Så arealet under fartkurven fra 0 til 14 sek. skal give 100 meter det vil sige at arealet mellem 1. aksen og grafen fra tiden 0 til 14 sek. skal give 100m. Elever på forskellige klassetrin kan med forskellig grad af støtte give fornuftige bud på, hvordan farten har ændret sig under netop deres 100m eller 400m løb. Det kan gøres i fx GeoGebra, der giver mulighed at indsætte farten for hvert sekund, og at få tegnet grafen og beregnet arealet, så det ændres dynamisk, når man ændrer på farten. Herved kan eleverne opleve, at når farten til et tidspunkt reduceres med 0,1m/sek., så bliver afstanden der er løbet 0,1m mindre. I gymnasiet er det naturligvis oplagt også inden integralbegrebet er introduceret at lade eleverne arbejde med i regneark at beregne, hvor den afstand, der er løbet, ændrer sig ud fra udvikling af farten det vil sige selv at foretage den løbende beregning af arealet under fartgrafen. Eleverne kan også sammenligne deres løb med verdensrekord løbet, der pt. er løbet af Usain Bolt på 9,58 sek.!!! Hvad er den største acceleration i dette løb (tiderne findes på nettet)? Hvad var din største acceleration? Man kan også sammenholde 100m og 400m løb for eliteløbere. Hvordan er de forskellige matematisk set? At få sådanne erfaringer og kunne foretage sådanne refleksioner er særdeles nyttigt som grundlag for eventuelt efterfølgende begrebsdannelser inden for differential- og integralregning, men også for en almen forståelse af dynamiske processer og for matematisk modellering generelt. Dette potentiale ved forløbet blev kun realiseret i mindre omfang. Lærerne vurderede, at det var for tidskrævende og for svært for eleverne at foretage en sådan analyse af deres egne data fra løbe disciplinerne, men mange så potentialet og mulighederne for at behandle problemstillingen på et senere tidspunkt. Til gengæld arbejdede alle klasserne med sammenlignende analyse af klassernes præstationer i de forskellige discipliner. Her fik eleverne på de forskellige klassetrin lejlighed til at arbejde med forskellige (statistiske) begreber som variationsbrede, median, middeltal og kvartilsæt og forskellige diagramformer som fx stolpediagram (se figur 8, der viser at 6.B var bedst til at kaste kortest i kuglestød) og boxplot (se figur 9). 29

30 Figur 8: Sammenligning af middeltal for længden af kuglestød for de forskellige klasser, der viser at 6.B var bedst til at kaste kortest. Figur 9: Sammenligning af boxplot for tiderne på 100m løbet for to 7. klasser fra henholdsvis LHS og SJS. Fremstilling og især fortolkning af forskellige diagramtyper ikke mindst boxplots er noget, der erfaringsmæssig volder eleverne vanskeligheder både i grundskolen og i gymnasiet. Elevernes egne erfaringer fra idrætsdagen og deres kendskab og kontrol over konteksten for deres analyse var tilsyneladende en hjælp og motivation i arbejdet i hvert fald i grundskolen. Nogle lærere peger på, at eleverne i højere grad end forventet var i stand til at give rimeligt præcise og korrekte fortolkninger af boxplot i forløbet, samt at anvende sådanne fortolkninger ved sammenligninger af klassernes præstationer. Det gælder dog i mindre grad i gymnasieklasserne, hvor eleverne ikke tillagde det nogen særlig betydning, at det var deres egne data, de arbejdede med. Evaluering og refleksioner efter 3. afprøvning Der var stor entusiasme blandt lærerne omkring planlægning af Klassekampen i idræt og matematik. Flere af de deltagende lærere underviser også i idræt, og de så en selvstændig pointe i at skabe større sammenhæng mellem matematik og idræt gennem undersøgende forløb i matematik med udgangspunkt i idræt og idrætsproblemstillinger. Rent logistisk var projektet i imidlertid udfordrende, og der blev brugt en del tid på den praktiske planlægning af idrætsdag og dataopsamlingen ved de forberedende workshops. Derfor blev den fælles planlægning og diskussion af de efterfølgende faglige forløb i matematik tidspresset. 30