Eksempler på Fysikkens Differentialligninger

Transkript

1 Esplr på Fsins Dirnialligningr Ol Wi-Hansn Køg Gnasiu 8

2 Indold Kap. Førs ordns dirnialligningr.... Trs aængigd a øjdn ovr jordovrladn.... Radioaiv naldsædr... Kap. Andn ordns dirnialligningr...5. Rlin bvægls a n paril i væsr og gassr...5. Srå as d gnidning Dæp aronis svingning Løsning a dirnialligningn vd jælp a opls al Tradiionl løsning a dirnialligningn Tvungn aronis svingning udn dæpning...3 Kap 3. uris odr...7. Dirnialligningr, dr i an løss analis...7. Talors orl uris løsning a. ordns dirnialligningr...8 Kap 4. Forslag il Forsøg.... Maais pndul.... Sos lov.... Millians orsøg.... Kuglr i væs....3 Papirglrs ald i lu....4 Srå as d orsllig uglr....5 Siulaion a bvæglsr...

3 Esplr på Fsins Dirnialligningr Kap. Førs ordns dirnialligningr. Trs aængigd a øjdn ovr jordovrladn Vi bragr assor udsni a aosærn. Aral a ndladrn bgns A. Kassn bindr sig i øjdn ovr jordovrladn. Kassn ar øjdn Δ. Tr på ovrsid og undrsid bgns p Δ og p. Massldn or lun i øjdn bgns ρ. Vi indr o a ran på n lad d aral A r F pa, vor p r r på ladn. Vi urr nu, a orslln i ran på undrsid og ovrsid r lig d ngdn a dn lu, dr bindr sig i assn. D ordi lun i assn r i vil. p p dp. ρ g d pa - p ΔA lu g ρv lu g ρa Δg Dividrs dnn ligning d AΔ år an: For a løs dirnialligningn., å vi iidlrid nd ndnu n sanæng ll ρ og p. Dn an vi iidlrid å a :. ilsandsligningn or idal gassr: PV nrt,. diniion a olass M: nm n, vor n r anal ol, sa M 3. diniion a assld: ρ ρv. V Indsæs nlig d o sids ligningr i ilsandsligningn indr an: ρv PV nrt RT RT ρ M M M RT P D ur or assldn indsæs så i., so rr givr: dp Mg. p d RT So bn aagr praurn ca. d o C or vr, an or il vjrs, n vi anagr ørs, a praurn r onsan op ignn aosærn. Løsningn il dirnialligningn. r n, så vi indr:

4 Esplr på Fsins Dirnialligningr.3 p p Mg RT Indsæs d n værdir or onsanrn: M 9 g/ol, g 9.8 /s, R 8.3 J/olK og T 73 K, indr an:.4 p 4.6 p vor sal åls i. D givr rald på,3% pr. og % pr.. Vi sr drnæs på løsningn il dirnialligningn, vis praurn aagr linær d C, pr.. Tpraurn vd jordovrlad sæs il C 93 K. Tpraurn i øjdn r dror: T T 93 /. Dirnialligningr blivr rr: dp Mg.5 p d R93 Dnn ligning løss på sædvanlig vis vd sparaion og ingrrs: p p dp p Mg R d 93 p p dp p Mg 93R d β d β 93 Ligningn ingrrs il a giv:.6 Mg p Mg Rβ ln β p p β 93 p Rβ 93 ln Udrgns r r.6 givr d un anldning il aviglsr ra.4 på,, %.. Radioaiv naldsædr Dirnialligningn or anall a radioaiv rnr og aivin r n ra undrvisningn: d d. d løsning og A vor so sædvanlig bgnr naldsonsann søndrdlingsonsann. Vi vil nu s på d ilæld a dn oprindlig rn naldr il n n rn, so også r radioaiv, nog dr r vln or naldsædrn Uransrin-, Toriu- og Aciniu srin. Bgns d o rnr d noldsvis og, an an opsill o dirnialligningr. Dn ørs or rn r idnis d., ns dn andn urr, a rn producrs d n asigd, dr r lig d aivin a rn, og søndrdls r naldslovn.

5 Esplr på Fsins Dirnialligningr 3. d d d og d Dn sids dirnialligning r a orn:.3 d d Dn løss vd a l ldd ovr på vnsr sid, uliplicr ligningn d og osriv il n nl dirnialvoin:.4 d d d d d d vis d H, så ar dirnialligningn løsningn:.5 c H c H c r so sædvanlig n ingraionsonsan, dr r bs a bgndlssbinglsrn. Ersar an d, d og n i.3 og orags d sa osrivningr d d n variabl indr an: d d d c c c bss vd a > c. Løsningn blivr rr:

6 Esplr på Fsins Dirnialligningr 4.6 Bær, a > or >, uaængig a o > llr ovn. Tilæld, ar un aais inrss, n løsningn r. Rsula r rlaiv l a orol, id d ørs o aorr r d anal rnr, dr r nald il rnr, n so i r nald ndnu, og dn sids aor r naldslovn or rnr. Hvis naldsædn r længr n r rnr, an d i principp løss l på dn sa åd, id an blo sal rsa ur or d ur or i dirnialligningn or 3. Løsningr a pn.6 an anvnds il aldrsbsls or radioaiv so. I prasis ndr an d o søndrdlingsonsanr og sa orold ll d o rnr /. D givr ølgnd ligning:.7 Man sr, a vis >, så vil or

7 Esplr på Fsins Dirnialligningr 5 Kap. Andn ordns dirnialligningr. Rlin bvægls a n paril i væsr og gassr år an analsrr anis ssr, så anagr an so rgl, a d r gnidningsri. D r naurligvis un ralisis i n vis udsræning, n d dirnialligningr, dr bsrivr ss, an o un løss, vis gnidningsran i aængr a asigdn, so d r ilæld, vor o as sor bvægr sig i orold il inandn, llr vis an sr bor ra gnidning. Vi vil nu bsriv nogl sipl splr på bvægls i gassr og væsr, vor gnidningn viscosin aængr a asigdn. Vi sal ørs brag n paril ararisis n ugl, dr snr i n væs undr påvirning a ngdran. Hvis asigdn i væsn i r or sor, r dr al o lainar srøning. I d ilæld r gnidningsran proporional d og odsa r asigdn. Hvis asigdn vosr, r dr al o urbuln srøning. Turbulns an bds bsrivs vd, a dr opsår srøvirvlr i væsn llr gassn. Turbulns r a d sadig dlvis uløs problr i dn lassis si. Ingn ar unn giv n sringn oris orlaring på, voror og især vornår urbulns opsår. E oris ur or gnidningsran på n ugl vd lainar srøning r giv vd Sos lov. r Radius a ugln, v Hasigdn, η viscosisoicinn a væsn. 3. 6πηrv F gn I d ølgnd, vil vi blo or ords sld sriv proporionalin ll gnidningsra og asigd so v. Dnn orl gældr uaængig a lgs or, blo dr r al o F gn lainar srøning. For n bvægls langs n -as gældr dr so bn: Hasigd: v d. Acclraion: dv d a og wons. lov: F a rs E lg, dr aldr i n væs r påvir a:. ngdran F T g.. n opdri Fop ρvvg, ngdn a dn orræng væsængd vor ρ v r væsns assld og V r ruang a lg d asldn ρ. ρ 3. gnidningsran: v. F gn

8 Esplr på Fsins Dirnialligningr 6 F T F op g ρ Vg ρvg ρ Vg ρ ρ Vg g, v v v r vor v g r d, so ngdn rducrs il, når lg ndsæns i væsn. Bvæglssligningn r dror: dv dv 3. F v v rs a vg v g For nds sld sær vi g v v g og o- Ligningn løss l på sa åd, so vi gjord d i.4. Vi uliplicrr d srivr. 3.3 Løss v. 3.4 d v v dv g v g v v c g g v v c v g v c v Tiløjr vi bgndlssbinglsn v, indr an vg 3.5 v v g c, so indsa i løsningn givr D ss, a asigdn nærr sig aspois il v g v. Halvringsidn or a opnå dnn ln ln asigd, inds på sædvanligvis so og. For d ls bvæglsr i væsr opnås sluasigdn g urig. 3.5 an naurligvis l ingrrs or a opnå sræningn. Man indr: v g 3.6 Hvis lg ar bgndlssasigdn v og bvæglsn r odsa r ngdn, sal dr sis orgn på g ldd i 3.4 og v g c v. Vi indr i d ilæld løsningn:

9 Esplr på Fsins Dirnialligningr 7 vg 3.7 v v Vi sr a asigdn ign nærr sig aspois il v v g. Srå as d gnidning Vi sal nu brag srå as d gnidning. D srå as udn gnidning r r daljr bandl i Bog, og vil i bliv gnag r. Vd asigdr blo ovr 5, /s r anaglsn o lainar srøning næpp opl, n bvæglssligningrn ladr sig i løs analis, vis dr r al o urbuln srøning. Vd urbuln srøning r gnidningsran F gn v β, vor < β. Hr vil vi orløbig nøjs d a løs bvæglssligningrn or lainar srøning. For bvægls i gassr, an an i alindligd s bor ra opdrin. I d ilæld r blivr da. j. bog. F gn v og F v. bvæglssligningrn gn 4. d v dv g v v dv g v Diss o dirnialligningr ar vi iidlrid allrd løs or n rlin bvægls. Er bgndlssasigdn v v cos ϑ, v sin, indr an løsningrn: ϑ 4. cos sin g v v og v v ϑ ϑ Hvis <<, alså vis gnidningsodsandn r orsvindnd lill, så an an bn ilnærlsn. g v v cosϑ og v v sinϑ Hvis vi droppr all ld, proporional d, indr an d idligr udl ur or srå as udn gnidning vil alid r brggnd i n oris udldning. v v cosϑ og v v sinϑ g For a ind posiionn,, sal vi ingrr 4. d nsn il idn. Vælgr vi,,, indr an: v g og v cosϑ sinϑ

10 Esplr på Fsins Dirnialligningr cos sin g v ϑ og v ϑ Ign, vis <<, alså vis gnidningsodsandn r orsvindnd lill, an an bn ilnærlsn ½ d. Hvis an droppr all ld, dr r proporional d, indr an ign d idligr udl ur or srå as udn gnidning v ϑ cosϑ og v sin ½ g Hvrn 4. llr 4.3 r særlig gnnsulig llr anvndlig il oris brgningr. D r ulig a ind sigøjdn, id ligningn v, go an løss, or a bs, so så an indsæs i ur or. Man an iidlrid i ind analis ur or asviddn, id ligningn 4.3, r n ranscndn ligning. Vi sal snr s på nuris løsning a dirnialligningr. 3. Dæp aronis svingning En aronis svingning r n rlini bvægls langs n -as, vor dn rsulrnd ra r proporional d asandn il ligvægssillingn og il sadigd r od ligvægssillingn. Dr gældr alså ligningn d d 5. F rs Dnn dirnialligning r bandl i Elnær Fsi, sid Sær an ω an dn uldsændig løsning: 5. Acos ω ϕ A r apliudn, ω alds dn clis rvns, og φ r bgndlssasn. π Svingningsidn r giv vd ur: T T π. ω, indr I aai undrvisningn srivr an dn uldsændig løsning il 5. på n li andn åd: c cosω c sinω A d ais r dn sa løsningsorl, an indss, vis an anvndr n addiionsorln cos u v cosu cosv sinusin v på løsningn 5. Acos ω ϕ Acos ϕ cos ω Asin ϕ sin ω og sær c Acos ϕ og c Asin ϕ,

11 Esplr på Fsins Dirnialligningr 9 c so ar løsningrn: anϕ c og A c c Hvis dr r riion i bvæglsn, sal dr iløjs ndnu ld il dirnialligningn 5.. Vi vil ørs gør dn anagls, a riionn r proporional d arn og odsa r asigdn. Proporionalisoicinn vil aæng a vil lg, dr r al o, og vil diu væs, lu dn bvægr sig i. F gn - v F gn d. Dirnialligningn or bvæglsn blivr rr: 5.3 F rs F gn d d d d D visr sig nog r bsværlig, a løs dirnialigningn 5.3 nd 5.. Før vi går i gang, osrivr vi ligningn or a å r gnrl ur: d d 5.4 b c, vor b og c 5.4 r n. ordns, linær, oogn dirnialligning d onsan oicinr b og c. Linær, ordi all ld, dr indoldr oprædr i. pons. Hoogn, ordi dr i r nog ld, so un aængr a. 3. Løsning a dirnialligningn vd jælp a opls al Ligningn 5. an alid løss, id løsningn an rducrs il a ind d opls løsningr il n. grads ligning. Tilsvarnd an løsning a n n- ordns linær, oogn dirnialligning d onsan oicinr, rducrs il a bs d opls røddr i n' grads polnoiu. Slv o opls al i r n dl a gnasis pnsu i aai, vil vi alligvl vis odn, ordi dn r nl og iv. Førs bærr vi, a i orin or dirnialligningr gældr d, a vis an il n dirnialigning a pn 5.4, vor b og c go an vær unionr a, an ind o løsningr: φ og φ, vis Wronsi-drinan r orsllig ra, så an dn uldsændig løsning c φ c φ. For a løs ligningn 5.4 sær vi z vor z r opls al. D ølgr så: d z z og d z z

12 Esplr på Fsins Dirnialligningr z Indsæs d i 5.4 og borororr an år an.gradsligningn: z b z c Disriinann r d b 4c. Hvis d > ar. gradsligningn d o rll løsningr. 5.5 b z b 4c b z b 4c Vndr vi ilbag il dn oprindlig dirnialigning, ss d, a c/ >, så bgg løsningr i 5.5 r ngaiv. Hvis d rducrs d il n løsning. Hvis d < ar. gradsligningn ingn rll løsningr, n il gngæld d o opls løsningr: 5.5 b z i 4c b b z i 4c b Hr r i dn opls nd. i -. I orin or opls unionr r orln ndnor Eulrs ligning a d vigigs orlr ais n a d vigigs orlr i dn aais anals ovrovd. Hvis z i r opls al, vor og r rll, gældr dr nlig: z i 5.6 cos isin Vi r naurligvis un inrssr i dn rll dl a løsningn il dirnialligningn 5.4. z Vi bærr ndvidr, a da vi orog subsiuionn, unn vi lig så go av srv z iϕ A. Hrd år vi o ingraionsonsanr A og ϕ. Sær vi ndvidr ω 4c b an vi sriv løsningn il dirnialligningn 5.4 på ølgnd or b 5.7 A cos ω ϕ Man sr, a løsningn r n aronis svingning d n apliud, dr aagr sponnil d idn. D alds n dæp aronis svingning. Indsæ d oprindlig værdir or b og c b og c, vor r viscosisoicinn i ligningn: F gn - v og r "jdronsan- n", indr an ur: ω, so indsa givr: A cos ϕ 4

13 Esplr på Fsins Dirnialligningr Forudsæningn or dnn løsning r, a d so sår undr vadrarodsgn r posiiv. I odsa ald, disriinann d ovnor r ngaiv, vil dr aldrig o n svingning i gang, n udsving vil nær sig sponnil il ligvægssillingn. Man bærr i øvrig, a når, går løsningn ovr i d idligr ur or n aronis svingning: D r dnn orl, so r anvn i øvlsn: Maais pndul sid 3 i bog. 3. Tradiionl løsning a dirnialligningn Dirnialligningn d d 5.9 So idligr osrivr vi ligningn or a å r gnrl ur: d d 5.4 b c, vor b og c an dog også løss på radiionl vis, odrn r li orsllig. Dn od, jg anvndr, r i aili d dn, dr brugs, når an løsr. ordns dirnialligning. Man indørr n jælpunion il a osriv dirnialligningn il én, so vi an løs, nlig dirnialligningn or dn aronis svingning : d d 5., so ar løsningn: Acos ϕ. For a opnå d, sr vi på dnn dirnialligning, vor vi ar sa β. vd pas- β d β γ d d Forål r, a oor dnn ligning il dn oprindlig ligning b c snd valg a onsanrn β og γ. Vi udrgnr dror: d β d d β β β d β d β β d β β β β d β d β d β β β β

14 Esplr på Fsins Dirnialligningr Vi iløjr ldd γ β, og sær rsula lig d nul. β d β 5. γ d β d β β β β γ β Ligningn rducrs division d β. d d 5. β β γ D sanligns da d dn oprindlig dirnialligning: d d 5. b c Man sr a d o dirnialigningr r idnis, vis og un vis: b β og β γ c b γ c γ. 4 4 Vi an iidlrid løs 5. dir. β Hvis vi nlig sær, r dirnialigningn a orn: d d 5. γ γ Hvis γ >, ar dirnialligningn 5.9 løsningn: Acos γ ϕ, så vi indr β β 5.3 Acos γ ϕ A cos γ ϕ Tilbagørr vi nu ra oprindlig dirnialligning, vor β og γ ås: A cos ϕ. 4 Vi indr alså n sponnil aagnd apliud dnor r vis n gran or n nuris løsning a dirnialligningn

15 Esplr på Fsins Dirnialligningr 3 d d For dn sponnil dæpd aronis svingning, og vor dn sponnill indldningsurv også r gn. Dæpd aronis svingningr inds ovral i naurn, og ur 5.4 gnindr an dror o il bsrivls a sådann svingningr. Forln r, so oal idligr anvn i øvlsn o Maais pndul sid 3 i Elnær Fsi. 4. Tvungn aronis svingning udn dæpning Vi bragr n vungn svingning udn dæpning, vor assn orudn jdrran, so opldr Hoos lov, r påvir a n dr idsaængig ra. Rsularn an dir ovrørs il n lris svingningsrds, vor n apacior r pålag n vslspænding.

16 Esplr på Fsins Dirnialligningr 4 F rs F dr 6. d F dr d F dr Vi vil anag, a dn dr ra varirr aronis. F dr iω. Løsningn il dirnialligningn ovnor r so bn n pariulær løsning il dn inoogn ligning plus dn uldsændig løsning il dn oogn ligning: d 6. so ar løsningn: Acos ω ϕ, vor ω Da dirnialligningn d iω d ω iω r a. ordn d onsan oicinr, an vi bs n pariulær løsning so: vor ω r dn pår rvns, so indsa givr: A iω iω iω iω ω A ω A, so løss d nsn il A il a giv: A ω ω Dn uldsændig løsning il dirnialligningn, an rr srivs, so dn pariulær løsning plus dn uldsændig løsning il dn oogn ligning A cos ω ϕ cos ω ω ω Srivr vi d so: A cosω φ B cosω, an vi i ilæld, vor A B anvnd dn ørs a d logariis orlr or addiion a o cos-unionr:

17 Esplr på Fsins Dirnialligningr 5 u v u v cosu cosv cos cos og u v u v cosu cosv sin sin ω ω ω ω 6.3 Acos ½ϕcos ½ϕ ω ω Ss vil alså udør svingningr d rvnsn og d n apliud ω ω A cos ½ϕ, dr aængr a idn, sind ll værdirn -A og A. E ænon, dr vln or svævningr i ldbølgr. I alindligd r d o apliudr A og B, naurligvis i lig d inandn, n d ændrr un li på rsula, id an or o al A og B alid an bs al C og D, sålds a A CD og A B A B BC - D C og D. Vi an rr sriv løsningn ovnor: A cosω φ B cosωcdcos ω φ C-D cosω C cos ω φ C cosω D cos ω φ- D cosω Sålds a løsningn an osrivs il ω ω ω ω ω ω ω ω 6.4 C cos ½ϕcos ½ϕ Dsin ½ϕ sin ½ϕ π Rsula r sålds o svævningr, d sa rvns, n, vor apliudn r ud a as. D vansliggør n sprinl bsls a rvnsn i svævningrn. En dæp aronis svingning an i principp bandls på l sa åd, n d r indr inrssan, da dæpningsldd vil orsvind r n vis id aængig a dæpningn, og an dror i r s id, vil obsrvr d svævningsænonr, dr r bsrv ovnor.

18

19 Esplr på Fsins Dirnialligningr 7 Kap 3. uris odr. Dirnialligningr, dr i an løss analis D r ais d ærrs dirnialligningr problr i sin, dr ar n analis løsning. Analis løsning bdr, a an an ind aais unionr, dr bsrivr sss posiion og asigd il vr idspun. Dn aais disciplin, dr bsæigr sig d nuris løsningr il problr, alds or nuris anals. D r oris s oand oråd, og i odsæning il, vad an ås uiddlbar sull ro, så r orin udvil lang id ør rosn a copur. Man an i ovrvurdr bdningn a analis løsningr il sis problr. Alrnaiv r nuris løsningr, so gro s an ararisrs vd a an rgnr d så d ndlig ilvæsr Δ, Δ i sd or d ininisial sørrlsr d,, dirnsvoinr i sd or dirnialvoinr d og sur i i i sd or ingralr. Kor sag, an ar i længr l dirnial- og ingralrgningn il rådigd. For spl ar brgning a asviddn vd srå as ovrordnlig sor bdning or radiionl arillri. Dr inds iidlrid i analis løsningr, ordi undingsasigdn r så sor, a gnidningsran i længr r proporional d arn v, n d v, vor < <. Arillrisr r dror nvis il inrpolaion i g oand abllr, dr aængr a lvaionn, anonns alibr, projils udorning v. Diss abllr r o lav på grundlag a undrdvis a orsøg. I d ilæld r d l a orså ordln vd i sd a av analis unionsur.. Talors orl Vi vil i ørs ogang un s på nuris løsning a. ordns dirnialligningr. For a unn vurdr nøjagigdn a orlrn og d r naurligvis vigig r d nødvndig a nd Talors Forl. Dnn orl an orulrs på lr ådr, vor vi un givr dn vrsion, dr anvnds il approiaion a n union oring pun. Har vi giv n rl union, r as pun og vis bgnr n lill il væs il, så gældr dr undr r gnrll orudsæningr: 3 n n ' n n 6. '' 3...!! 3! n! n! D sids ld rsldd ss, a vær proporional d n, vi srivr d so O n, vor sbol O n læss so "a ordn n ". Undladr an rsldd år an n approiaion il. Al r, vor ang ld an agr år an n ',.,., ordns approiaion. O 6. ' O '

20 Esplr på Fsins Dirnialligningr 8 6. O '' ' '' ' 6.3 O '' ' '' ' 6 3. uris løsning a. ordns dirnialligningr Sal vi nu løs n dirnialligning a. ordn, ' g d d, vor vi ndr n bgndlssværdi,, så an d gørs vd a anvnd 6., id g, ' Så ar vi brgn il ordn n n værdi,,, so drr an anvnds il a brgn,, og sådan rdls. Modn alds or nuris ingraion. år an anvndr 6. alds d o or Eulr ingraion. Eulr ingraion anvnds sor s aldrig i prasis, ordi jln auulrr, vis orgn or '' r onsan. For a opnå n bdr ilnærls il ' nd 6. an an anvnd ølgnd: 6.5 ' ' Hvis an ræudvilr bgg ld i vd jælp a Talors orl indr an: O '' ' '' ' O ' So an an s, r dnn orl orr il ordn i 3, i odsæning il.ordns orln. Hvis, så r orrionsldd jln a sørrlssordn 3 i sd or Eulr ingraionn, vor orrionsldd jln r a sørrlssordn. D sids r bs i uvæsnlig or orr brgningr. Løsningn a. ordns dirnialligningr orgår næsn på sa åd, so ør. Man rgnr iraiv srivis r i ndr a, id 6.7 g, ' Dn ns orsl r, a an blivr nø il a nd unionsværdin i o punr d asandn ½, or a sar iraionn. D gørs iidlrid vd n llr lr Eulr sri.

21 Esplr på Fsins Dirnialligningr 9 Forln 6.7 an anvnds i n dl ilæld, n dn ar også nogl uldig gnsabr, især vis dn anvnds il a løs. ordns dirnialligningr. Til løsning a prais problr anvnds sor s alid Rung-Kua's od, dr r bdlig r oplicr nd 6.7, n vor orrionsldd jln r a sørrlssordn 4. D løsningr, a. og. ordns dirnialligningr, dr r lav d Maa-progra, og Sallibvægls - progra r all lav d Rung-Kua's od. So oal inds dr i analis løsningr il slv rlaiv uoplicrd problr i sin. To lg probl,.s. ånns bvægls oring jordn llr n plans bvægls oring soln, an ais løss analis, vor løsningsurvn r glsni llips, parabl llr prbl, ns 3. lg probl i ar nogn sa analis løsning. år an sal brgn nrginivaurn i ao, r d alid brinao, an bandlr, id d også i vananin r d ns, dr an løss sa. Fais var asronorn nogl a d, dr s nrgis arbjdd på udvilingn a copur, ordi d øns a unn brgn illgrns banr r orr.

22

23 Esplr på Fsins Dirnialligningr Kap 4. Forslag il Forsøg. Maais pndul Forsøg r bsrv i øvlssvjldningn a sa navn i Elnær Fsi. Sos lov. Millians orsøg Sos lov anvnds i Millians orsøg bsrv i Elnær Fsi 3 sid 56, og 3. r g v r ρugl ρvæs Vugl og πη rugl. Kuglr i væs Man an lav sipl orsøg d Sos lov vd a lad aluglr d orsllig radius sn i ilpas øj ålglas d n viscos væs. D an vær vand, oli llr glcrol. Man bs gnnsnisasigdn vd a ål alidn ovr n ræ ålsrgr. Hvis an ørs anagr, a sluasigdn anags urig i orold il alidn, så an an dir sanlign d onsvnsn a Sos lov : 6.. Hr r r dn på grund a opdrin rducrd ass: Hvis d r ulig, a ind n ablværdi or viscosisoicinn η, så r d naurligvis go, n d r i nødvndig. Hvis an anvndr uglr a sa arial, sull an iølg Sos lov å dn sa viscosisoicin η. Man unn naurligvis ovrvj, a anvnd dn orr ligning 3.6 g, n ligningn r ranscndn, og sal løss nuris. Forsøg d og undrsøg o d givr aran andrlds rsular or viscosisoicinn η..3 Papirglrs ald i lu Man lavr nogl papirglr d sa øjd, n d orsllig radius i grundladn. Forsøg r i principp d sa so or uglr, dr snr i væs, n an ladr nu papirglrn ald i lu. I d ilæld an an s bor ra opdrin. Man an i orvn dn sa onsan, so i Sos lov, n an unn orvn, a gnidningsran r proporional d asigdn og d radius i grundladn. For a unn sanlign viscosisouicinrn nuris, anvndr vi alligvl Sos lov 6πηrv, vor r nu bgnr radius i grundladn. F gn D r naurligvis bds, vis aldøjdn r r nd r, n d r i agørnd..4 Srå as d orsllig uglr Md asappara an an ås udør srå as d uglr a orsllig so. an an udål asviddn og undrsøg ovrnsslsn d 4.3.

24 Esplr på Fsins Dirnialligningr.5 Siulaion a bvæglsr Salliprogra siulrr n sallibvægls oring jordn. I progra r r ulid or a sr sallin. I Maa progra liggr dr silr, so siulrr rlg probl, nlig ra il ånn d n orr salring a ru, id og asigd. D r 6 obld.ordns dirnialligningr dr løss d Rung-Kua's 4.ordns od. Dr liggr også n sil il siulaion a srå as, vor an slv an vælg, vorlds gnidningsran aængr a asigdn.