Differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialligninger"

Transkript

1 Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 SkÄrmbilld fra TI-Nspir 017 Karsn Juul

2 Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 1 Hvad r n diffrnialligning? 1a Indldning il diffrnialligningr 1 1b OplÄg 1 1c Sprogbrug 1 1d Mang låsningr 1 1 SkrivmÇdr 1 1f Hvad r n diffrnialligning? 1 Konrol af läsning il diffrnialligning a UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl 1 b UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl 3 Brug oplysningn i diffrnialligning 3a Bsm ligning for angn nçr diffrnialligning r giv 3 3b Eksmpl pç brug af oplysningn i diffrnialligningn 3 3c Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl 1 4 3d Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl 4 4 Bsmm läsning il diffrnialligning 4a Bsm låsningrn il n diffrnialligning 5 4b Opgav og bsvarls 5 4c D nkl låsningr 5 4d Bsm n låsning il n diffrnialligning nçr Én funkionsvärdi (É grafpunk) r giv 5 4 LÅs diffrnialligning nçr o grafpunkr r giv 6 4f MÇsk skal du slv inds a du skal lås diffrnialligningn 6 5 Opsill diffrnialligning 5a Opgav md bsvarls 6 6 Logisisk diffrnialligning 6a Eksponnil väks 7 6b Logisisk väks 7 6c Bsm forskrif for sårrlsn 8 6d Bsm Åvr gräns for sårrlsn 8 6 Bsm sårrlsn nçr väkshasighdn r sårs 8 6f Bsm idspunk hvor väkshasighdn r sårs 9 6g Tgn graf 9 7 Bvisr 7a HjÄlpsÄning 10 7b SÄning 10 Tidligr vrsionr af d häf har skif adrss il hp://ma1dk/diffrnialligningr_for_a_nivau_i_s_udgav_1pdf hp://ma1dk/diffrnialligningr_for_a_nivau_i_s_udgav_pdf hp://ma1dk/diffrnialligningr_for_a_nivau_i_s_udgav_3pdf Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4, Ä 017 Karsn Juul Nys vrsion af d häf kan downloads fra hp://ma1dk/norhm D må brugs i undrvisningn hvis lärrn sndr n -mail il kj@ma1dk som oplysr a d brugs og oplysr hold, nivau, lärr og skol 19/-017

3 1 Hvad r n diffrnialligning? 1a Indldning il diffrnialligningr 1b OplÅg En plans håjd y voksr sçdan a dr pç hvr idspunk gäldr a hçjds väkshasighd = hçjd D kan vi skriv md symbolr sçdan: y' = y Hr har vi opsill n diffrnialligning Vi kan ogsç urykk d vd a sig a i hvr punk pç grafn r Ligningn 1c Sprogbrug angnhäldning = y-koordina For funkionn y y r ksmpl pç n diffrnialligning D fls diffrnialligningr r mr indvikld f ( ) 4 gäldr a f ( ) 4, sç f () opfyldr binglsn y' = y for hvr D urykkr vi vd a sig a f () r n låsning il diffrnialligningn llr a f () ilfrdssillr diffrnialligningn 1d Mang läsningr Vi sr a funkionn f ( ) ogsç r n låsning Vi sr a diffrnialligningn har mang låsningr 1 SkrivmÇdr Symbol d Diffrnialligningn y kan ogsç skrivs sçdan: d llr sçdan: y y f ( ) f ( ) bydr d samm som y 1f Hvad r n diffrnialligning? En ligning r n diffrnialligning hvis dn ubkn r n funkion og funkionns diffrnialkvoin indgçr En funkion r låsning il n diffrnialligning hvis funkionn opfyldr diffrnialligningn for hvr i funkionns dfiniionsmängd Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

4 Konrol af läsning il diffrnialligning a UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl 1 Opgav UndrsÅg om funkionn y y 1 Forskrifn forällr a i hvr grafpunk får man y-koordina vd a oplçf -koordina il andn og lägg -koordina il rsula f ( ) r n låsning il diffrnialligningn Vi indsär f () = + for y i y' y = 1 : ( + )' ( + ) = 1 1 ( ) Ligningn krävr for hvr grafpunk a når y-koordina gang räkks fra angnhäldning skal d giv samm al som når -koordina i andn gang räkks fra 1 Da d r san, gäldr: f r låsning il diffrnialligningn y y 1 b UndrsÅg om funkion r låsning il diffrnialligning GÅr rd for a funkion r låsning il diffrnialligning Eksmpl Opgav UndrsÅg om funkionn Vi indsär y 1 d f ( ) ln r n låsning il diffrnialligningn f ( ) y ln for y i 1 : d ( ln ) ( ln ) 1 1 ( ln 1) ln 1 1 ln 1 ( ln 1) 1 ln 1 ln 1 Forskrifn forällr a i hvr grafpunk får man y-koordina vd a indsä -koordina i forskrif og rgn ud Ligningn krävr for hvr grafpunk a angnhäldning skal vär d al man får når man indsär -koordina og y-koordina i hçjr sid og rgnr ud ln 1 ln 1 y Da d r san, gäldr: f r låsning il diffrnialligningn 1 d Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid 017 Karsn Juul

5 3 Brug oplysningn i diffrnialligning 3a Bsm ligning for angn nçr diffrnialligning r giv Opgav En funkion f r låsning il diffrnialligningn Ligningn forällr a i hvr grafpunk får vi y d angnhäldningn når vi oplçfr -koordinan d il andn og räkkr y-koordinan fra rsula og grafn for f gçr gnnm punk P (3, 7) Bsm n ligning for angnn il grafn for f i punk P For n låsning il diffrnialligningn y d gäldr a i punk ( 1, y1) (3,7) r angnhäldningn a 3 7 = ( Vi har indsa 3 og 7 for og y i håjr sid af y ) d d Ligning for angn i P(3,7) : y a( 1) y y ( 3) 7 y 1 1 3b Eksmpl pç brug af oplysningn i diffrnialligningn Opgav En funkion f r dfinr for hvr al og r låsning il diffrnialligningn 1 y Ligningn forällr a i hvr grafpunk r angnhäldningn d d al vi d 1 får vd a udrgn hçjrsidn fr a hav indsa grafpunks koordinar GÅr rd for a f har minimum f r låsning il diffrnialligningn 1 y, sç d 1 i hvr punk (, y) pç grafn for f r angnhäldningn D al har samm forgn som 1, 1 y 1 for y 1 r alid posiiv da al i andn ikk kan vär ngaiv 1 0 For 1 har låsningn 1 1, og for 0 r 1 1 r 1 TangnhÄldningn r alsç ngaiv for f r afagnd i inrvall 1 Hraf fålgr a f har minimum for og posiiv for 1 1 og voksnd i inrvall 1 1, sç Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

6 3c Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl 1 Opgav Udviklingn i rs väg kan bskrivs vd diffrnialligningn Ligningn forällr a på hvr idspunk 0,08y 16,, 0 9 mllm 0 og 9 gäldr: NÅr väkshasighdn läggs sammn hvor r idn mçl i ugr, og y r rs väg mçl i gram md 0,08 gang vägn, så får man 16, Bsm väkshasighdn pç d idspunk hvor rs väg r 180 gram md ligningsrgl For rs väg y (gram) som funkion af idn (ugr) r 0,08y 16,, 0 9 Vi indsär 180 for y i diffrnialligningn: 0, , NÅr vi indsär n konsan for y, så skal vi bvar y i NÇr rs väg r 180 gram, r väkshasighdn 11, gram pr ug md solv For rs väg y (gram) som funkion af idn (ugr) r 0,08y 16,, 0 9 Vi indsär 180 for y i diffrnialligningn NÅr vi indsär n konsan for y, så skal vi bvar y i Nspir låsr ligningn 0, , mh og fçr 11, 16 NÇr rs väg r 180 gram, r väkshasighdn 11, gram pr ug 3d Bsm väkshasighd ud fra diffrnialligning Eksmpl Opgav En plans håjd r n funkion af idn dr opfyldr diffrnialligningn dh Ligningn forällr a vi får väkshasighdn dh 0,06 0, 93 h når vi udrgnr hçjr sid fr a hav indsa idspunk og hçjd på 's og h's pladsr hvor h r håjdn mçl i mm, og r idspunk mçl i dågn D oplyss a h ( 1) 3 Bsm väkshasighdn il idspunk 1 For plans håjd h (mm) som funkion af idn (dågn) r Vi indsär 1 for og 3 for h i diffrnialligningn: dh dh Til idspunk 1 r väkshasighdn 0,073 mm pr dågn dh 0,06 0, 93 h Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

7 4 Bsmm läsning il diffrnialligning 4a Bsm låsningrn il n diffrnialligning 4b Opgav Bsm forskrif for låsningrn il diffrnialligningn y y 1, 3 Nspir låsr ligningn y y 1, 3 mh funkionn y og fçr låsningrn y c 1, 3 I kommandon dsolv sår d for diffrnial quaion BmÅrkning I sd for c skrivr Nspir c1 llr c llr c3 osv 4c D nkl läsningr I bsvarlsn ovnfor fan vi a låsningrn il y y 1, 3 r y = c + 1,3 NÇr vi i y c 1, 3 rsar c md bsm al, fçr vi Én af låsningrn Hvis vi vd a y ( ) 5, dvs a punk (, 5) liggr pç grafn, sç kan vi bsmm c D kan vi går md modn fra ramm 4d, mn vi kan ogsç blo sä og 5 ind for og y i y c 1,3 og lås mh c : 5 51,3 c 1,3 hvoraf c 0, LÅsningn hvor y ( ) 5, r alsç y = 0,50 + 1,3 PÇ ilsvarnd mçd fçr vi: LÅsningn hvor y ( ) 3, r y = 0,3 + 1,3 4d Bsm n låsning il n diffrnialligning nçr Én funkionsvärdi (É grafpunk) r giv dh Opgav En funkion h r låsning il diffrnialligningn 0,5( h ) d og grafn for h gçr gnnm punk (, 1,6 ) Bsm n forskrif for h dh Nspir bsmmr forskrifn for dn låsning il 0,5( h ) hvor h( ) 1, 6 d h( ),67 1,84 4 og fçr Samm bogsav får h Samm bogsav I sd kunn vi hav sar md a find all lçsningr (s 4b) Drfr kunn vi hav bsm dn af lçsningrn hvor h()=1,6 (s 4c) MÇsk skal du slv isolr y og/llr Hr har dsolv ikk isolr y: Vi fçr solv il a går d: solv har ikk isolr i ulighdn dr angivr låsningns dfiniionsmängd Vi fçr solv il a går d: Diffrnialligningn sammr fra n opgav hvor og y r posiiv, sç låsningn r: Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

8 4 LÅs diffrnialligning nçr o grafpunkr r giv Opgav En funkion p r låsning il diffrnialligningn dp k p D oplyss a nçr 0 r p, og a nçr 1 r p 1, 5 Bsm n forskrif for p Nspir bsmmr n forskrif for dn låsning p il p( ) ( k) 1 Da p ( 1) 1, 5, r ( k ) k 1, 5 1 Nspir låsr ligningn ( k) k 1, 5 mh k og fçr k 1, 1 Dn såg forskrif r alsç p ( ) ( 1,1) 1, 1, dvs p ( ) 0,79 1,1 k BEMÑRK: I dsolv brugr vi kun d n af d o oplys grafpunkr NÅr vi har fund forskrifn, brugr vi d and punk il a bsmm k dp k p hvor p ( 0), og fçr Brug o forskllig punkr (0, ) og (1, 1,5) 4f MÇsk skal du slv inds a du skal lås diffrnialligningn Opgav Udviklingn i n väsks mpraur bskrivs vd diffrnialligningn dp k p Dr sår ikk a du skal lçs diffrnialligningn, mn du r nç il d da du skal brug forskrifn il a find k hvor p r mpraur i C Tidn mçls i minur Til idspunk = 0 r mpraurn C Efr 1 minu r mpraurn 1,5 C Bsm konsann k dp Nspir bsmmr n forskrif for dn låsning p il k p p( ) ( k) k hvor p ( 0), og fçr 1 Da p ( 1) 1, 5, r ( k ) k 1, 5 1 Nspir låsr ligningn ( k) k 1, 5 mh k og fçr k 1, 1 5 Opsill diffrnialligning 5a Opgav PÇ n skärm r sor kvadra md aral 500 Indn i d sor kvadra r lill kvadra md sidn s Dn hasighd hvormd d lill kvadras sid voksr pç idspunk, r proporional md forsklln pç d sor kvadras aral og d lill kvadras aral Proporionaliskonsann r 0,0079 Opsil n diffrnialligning dr har s() som låsning Jg har brug farvr il a pg på d dr r d samm Du skal ikk brug farvr il ksamn Til ksamn skal du kun skriv Én af d r ligningr Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

9 6 Logisisk diffrnialligning 6a Eksponnil väks Eksmpl: En populaion voksr of ksponnil, dvs sçdan a nçr anal individr y r sårr, sç kommr dr ilsvarnd flr ungr, SÇ r väkshasighdn y' proporional md anall y, dvs y' = ky Gnrl: En sårrls y kan Ändrs sçdan a (1) sårrlsns våkshasighd r proporional md särrlsn Md symbolr kan d skrivs sçdan: () y' = ky LÅsningrn il diffrnialligningn () r funkionrn (3) y( ) c k BEVIS for d sçr i 7b Dn råd graf visr udviklingn i anal r for n populaion dr opfyldr (1) y' = häldningskofficin = väkshasighd Ligningn () r ksmpl pç n diffrnialligning, dvs dn ubkn r n funkion, og funkionns diffrnialkvoin indgçr En funkionn r n låsning il diffrnialligningn hvis dn opfyldr ligningn for hvr i sin dfiniionsmängd 6b Logisisk väks Eksmpl: NÇr n populaion blivr sårr, vil väkshasighd of bliv mindr fordi dr r mindr plads Gnrl: Dn logisisk ligning (4) y' = k y (M y), k > 0, M > 0 har for 0 < y < M låsningrn M (5) y km 1 c Ligningn (4) urykkr a, c > 0 SÅrrlsns våkshasighd r proporional md särrlsn og md särrlsns afsand il M SkÄrmbilld fra TI-Nspir PÅ k's plads i dnn forskrif skal så d al dr sår på k's plads i diffrnialligningn Uans hvilk al vi skrivr på c's plads, så får vi n lçsning Dr r alså undlig mang lçsningr Dn råd graf visr udviklingn i anal r for n populaion dr opfyldr (4) y' = häldningskofficin = väkshasighd SkÄrmbilld fra TI-Nspir NÇr n sårrls y hvor 0 < y < M, voksr sçdan a y' = k y(m y), k > 0, M > 0, sç gäldr: (7) Dn Åvr gräns for sårrlsn r y = M (8) VÄkshasighd r sårs nçr sårrlsn r y = M Tall M kalds bärvnn PÇ figurn r M = 300 SkÄrmbilld fra TI-Nspir Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

10 6c Bsm forskrif for sårrlsn Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Til idn = 0 r vägn 0 gram Bsm n forskrif for m md Nspir Nspir bsmmr forskrif for dn låsning m il diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) 601,47698 m(0) = 0 og fçr m( ) 1, md forml m r låsning il diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) og m(0) = 0 M Dn logisisk ligning y' = k y(m y) har låsningrn y km 1 c Hr r k = 0,0015, M = 60 og km = 0,39 sç Da m(0) = 0, r c 0,390 sç 60 1 c 0 60 m( ) 0,39 1 c dvs c = 1, sç 60 m( ) 0,39 11 hvor BmÅrkning ,39 60 (1 1 0,39 0,39 ) 0, ,39 0,39 1 og 0,39 (0, 39) 1, d Bsm Åvr gräns for sårrlsn Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Bsm dn Åvr gräns for vägn E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) For n låsning il dn logisisk ligning y' = k y(m y) har y-värdin dn Åvr gräns M Hr r M = 60, sç dn Åvr gräns for vägn r 60 gram 6 Bsm sårrlsn nçr väkshasighdn r sårs Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Bsm vägn pç d idspunk hvor väkshasighdn r sårs E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) For n låsning il dn logisisk ligning y' = k y(m y) r väkshasighdn sårs nçr y M Hr r M , sç väkshasighdn r sårs nçr vägn r 130 gram Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

11 6f Bsm idspunk hvor väkshasighdn r sårs Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Til idn = 0 r vägn 0 gram Bsm d idspunk hvor väkshasighdn r sårs E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) og il = 0 r m =0 Nspir bsmmr forskrif for dn låsning m il 0,0015 m (60 m) hvor m(0) = 0 og fçr 601,47698 m( ) 1, For n låsning il dn logisisk ligning y' = k y(m y) r väkshasighdn sårs nçr Hr r M ,47698 Nspir låsr ligningn 130 mh og fçr = 6, , VÄkshasighdn r sårs il idn 6,4 dågn y M 6g Tgn graf Opgav E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) Til idn = 0 r vägn 0 gram Tgn grafn for m E rs väg m (gram) som funkion af idn (dågn) opfyldr diffrnialligningn 0,0015 m (60 m) og il = 0 r m =0 Nspir bsmmr forskrif for dn låsning m il 0,0015 m (60 m) hvor m(0) = 0 og fçr 601,47698 m( ) 1, Nspir gnr grafn ud fra dnn forskrif S figurn Dur ikk Dur ikk For dçrlig Manglfuld OK Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

12 k k 7a HjÅlpsÅning: k Bvis: For k ' r dn ydr funkion 7 Bvisr ( ), og dn indr r k ( ) Diffrnialkvoinn af dn ydr r, og diffrnialkvoinn af dn indr r k k Diffrnialkvoinn af r ydr diffrnir (ag i indr) gang indr diffrnir: k ' ( k) k k k Hrmd har vi bvis hjälpsäningn 7b SÅning LÅsningrn il diffrnialligningn (1) y k y r funkionrn PÅ k's plads i dnn forskrif skal så d al dr sår på k's plads i diffrnialligningn k () y( ) c Uans hvilk al vi skrivr på c's plads, så får vi n lçsning Dr r alså undlig mang lçsningr FÅrs dl af bvis: Vi bvisr a hvis n funkion r låsning il (1), sç r dn af ypn () Andn dl af bvis: Vi bvisr a all funkionr af ypn () r låsningr il (1) Bgrundlsn for a vi diffrnirr urykk i parnsn, 1 dl af bvis for säningn r a d visr sig a vi så får nog vi kan brug Hvis n funkion y() har gnskabn (1) (dvs r låsning il dnn ligning) r k y k k y y k rgl for a diffrnir produk Da y k k k k y y k da vi forudsa (1) 0 diffrnir givr 0, mç y y c Vi gangr bgg dnn lignings sidr md k k vär lig n konsan: og fçr y c da 1 dvs funkionn r af ypn () dl af bvis for säningn En vilkçrlig funkion k k c k c k Vnsr sid af ligningn givr ck funkionn k k k k c af ypn () indsär vi for y i ligningn y k y k k k 0, dvs ligningn passr, sç k c har gnskabn (1) (dvs r låsning il dnn ligning) og fçr B bvis10 bärvn7 D diffrnialligning1 E ksponnil väks7 F forskrif for låsning5, 6, 8 G graf9 L logisisk diffrnialligning 7 logisisk ligning 7 logisisk ligning, forml for låsning 7 logisisk ligning, lås md forml 8 logisisk väks 7 låsning1,, 5, 6, 8 O opsil 1, 6 P proporional 6, 7 proporionaliskonsan 6 T angn 3 ilfrdssill 1 V väkshasighd 4, 7 väkshasighd sårs 7, 8, 9 Ä Åvr gräns 7, 8 Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 Sid Karsn Juul

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

. k er en konstant. Endvidere antages det i d), at gx ( 0) 0. I e) antages det, at f er differentiabel i x 0 og g er differentiabel i y 0

. k er en konstant. Endvidere antages det i d), at gx ( 0) 0. I e) antages det, at f er differentiabel i x 0 og g er differentiabel i y 0 0BRgnrglr for ubstmt intgralr I dtt lill tillæg skal vi s på n sætning, som angivr d rgnrglr, dr gældr for ubstmt intgralr (intgralr udn grænsr), samt giv t bvis for sætningn. Da vi i bvist skal gør brug

Læs mere

Projekt 8.4 Løsning af differentialligningen y + b y

Projekt 8.4 Løsning af differentialligningen y + b y Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning Projk 8.4 Løsning af diffrnialligningn y + y + y= Vd a ygg vidr på d løsningsmodr, vi havd

Læs mere

Alders-mix udfordrer os alle på den gode måde

Alders-mix udfordrer os alle på den gode måde -------------------------------------------------------------------------- Nyhdsbrv nr. 21 juni 2014 -------------------------------------------------------------------------- S, hvor små vi var! Dt r

Læs mere

slagelse uddannelses- og karrierefestival

slagelse uddannelses- og karrierefestival 4 1 K U r på S l l i t s om ud s n? d m n m r o k ad v Vl h g o op r d a v H Vlkommn som udstillr på SUK-fstivaln Vlkommn i flokkn af ngagrd udstillr, dr år ftr år r md til at gør SUKfstivaln til Vstsjællands

Læs mere

Elektronens specifikke ladning

Elektronens specifikke ladning Elktronns spcifikk ladning Martin Gislr 25. aj 2001 Indhold 1 Forål 1 2 Udførls 1 3 Toriafsnit 2 3.1 Sprdning............................. 3 4 Forsøgsrsultatr 4 5 Bhandling af forsøgsrsultatr 4 6 Diskussion

Læs mere

FOLD BILLIE. Billie, se lige hvor langt mit papirfly kan flyve! 3 Fold de to hjørner indtil midten.

FOLD BILLIE. Billie, se lige hvor langt mit papirfly kan flyve! 3 Fold de to hjørner indtil midten. U D R E D L O SÅDAN F Y L F R I P A P ET SEJT FOLD BILLIE S BEDSTE PAP IRFLY! lv. mm at lav s n : l h t d st af st papirfly. n flyv og bd r Billis hurtig l m D r sjov, ka sa u d an hr hvord Billi visr

Læs mere

Hvad er drivhuseffekt? Global opvarmning: Status for vores viden. Rekonstruerede temperaturer. Drivhuseffekten. WG1 AR4 hovedbudskaber

Hvad er drivhuseffekt? Global opvarmning: Status for vores viden. Rekonstruerede temperaturer. Drivhuseffekten. WG1 AR4 hovedbudskaber Global opvarmig: Saus for vors vid WG1 AR4 hovdbudskabr D global opvarmig r u ydlig; 13 af d 14 varms år sid isrummåligr bgyd mid i 1800-all, r forkomm id for d ss 14 år. Ol Bøssig Chriss Damarks Klimacr

Læs mere

Program. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin

Program. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin Program Normalfordlig Hll Sørs E-mail: hll@mah.ku.dk I dag: ormalfordlig Hvad skal vi brug ormalfordlig il og hvorfor r d vigig? Hisogram og ormalfordligsæhd Brgig af sadsylighdr i ormalfordlig Er daa

Læs mere

Lokalplanområdets placering i Haderslev

Lokalplanområdets placering i Haderslev LOKALPLANOMRÅDET Lokalplanområdts placring Lokalplanområdts placring i Hadrslv LOKALPLANOMRÅDETS BELIGGENHED Lokalplanområdt omfattr t områd bliggnd på hjørnt af Grønningn og Aarøsundvj i dn sydlig dl

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

- læsetræning på en sjov måde

- læsetræning på en sjov måde - læstræning på n sjov måd Supr ffktivt supr nklt supr sjovt for båd børn og drs voksn Et spil, dr på n nkl og sjov måd vil styrk båd forældr, lærr og pædagogr i at vartag dn fundamntal læstræning. Spillt

Læs mere

På CD en findes også en facitliste til opgavesiderne.

På CD en findes også en facitliste til opgavesiderne. Forord. Opgavrn r æn som supplmn il læsbøgrn, hvis bhov r dr. Opgavrn r n god mulighd for: - a lv og lærr an j d læs sof, f.s. i forbindls md læsursus i lassn - a vidrudvil lvns sproglig ompncr. Opgavrn

Læs mere

KURSUSCENTRETS UDBUD AKADEMI FAG

KURSUSCENTRETS UDBUD AKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD -2. halvår 2013 AKADEMI FAG Organisation og arbjdspsykologi Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coaching og konflikthåndtring Projktstyring i praksis Social mdir HRM Ta t slvstændigt uddannlssforløb

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Kvantekosmologi med aftagende gravitation Forening af Mikrokosmos og Makrokosmos Hubble-parameteren forenet med Universets totale masse

Kvantekosmologi med aftagende gravitation Forening af Mikrokosmos og Makrokosmos Hubble-parameteren forenet med Universets totale masse Kvantkosmologi md aftagnd gravitation Forning af ikrokosmos og akrokosmos Hubbl-paramtrn fornt md Univrsts total mass Af Louis Nilsn, cand.scint. i fysik og astronomi Lktor vd Hrlufsholm, Næstvd Indldning

Læs mere

UDBUD. -1. halvår 2014 AKADEMI FAG

UDBUD. -1. halvår 2014 AKADEMI FAG UDBUD -1. halvår 2014 AKADEMI FAG Dt stratgisk ldrskab Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coaching og konflikthåndtring Positiv psykologi i ldls Tag t slvstændigt uddannlssforløb - llr tag fagt som n dl af

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler

Læs mere

Tillykke - du har fået en ekstra affaldsbeholder

Tillykke - du har fået en ekstra affaldsbeholder Gnbrugsguidn Tillykk md din gnbrugsbholdr! Hvad MÅ komm i gnbrugsbholdrn? Hvad må IKKE komm i gnbrugsbholdrn? Tillykk - du har fåt n kstra affaldsbholdr Fra nu af hntr vi din avisr, rklamr, dåsr, glas

Læs mere

MU H. Musen siger. aktive remser og sproglege med de mindste. Lotte Salling. Lotte Salling har blandt andet udgivet bøgerne: Varenr.

MU H. Musen siger. aktive remser og sproglege med de mindste. Lotte Salling. Lotte Salling har blandt andet udgivet bøgerne: Varenr. Lott Salling Når vi gør børn nysgrrig på sprog, fortælling og læsning så tidligt som ovr hovdt muligt, øgs drs chancr for at tilgn sig t vludviklt sprog og dr md opnå lttr adgang til social kontaktr og

Læs mere

Mød læs på alle. metroxpr. Metroxpress-universet. M tre stærke platforme

Mød læs på alle. metroxpr. Metroxpress-universet. M tre stærke platforme t s i l Pris S I V A n d n r M tr stærk platform Mtroxprss-univrst Dt startd i 2001, hvor n rblsk mtro-avis tillod sig at vær gratis hvor flabt sagd nogn, hvor djligt sagd mang hvor andrlds mnt d flst.

Læs mere

ANSØGNING. Ansøgning til Cyklistforbundets og Nordea Fondens pulje til anlæg af en cykellegebane

ANSØGNING. Ansøgning til Cyklistforbundets og Nordea Fondens pulje til anlæg af en cykellegebane ANSØGNING Ansøgning til Cyklistforbundts og Norda Fondns pulj til anlæg af n cykllgban Høj Taastrup Kommun søgr Cyklistforbundts og Norda Fondns pulj til anlæg af n cykllgban i Gadhavkvartrt. Cykllgbann

Læs mere

De fleste børn er klar til at sige farvel til bleen i to-treårsalderen. projek

De fleste børn er klar til at sige farvel til bleen i to-treårsalderen. projek D flst børn r klar til at sig farvl til bln i to-trårsaldrn d m s Få succ n l b d i m s t projk 68 VO R E S BØRN tma farvl, bl! 69 72 72 74 Er dit barn klar til at smid bln? Hygglig potttræning Potttræning

Læs mere

06164.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06164.00. Fredningen vedrører: Bøgebjerg. Domme. Taksatio ns komm iss ionen. Naturklagenævnet

06164.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06164.00. Fredningen vedrører: Bøgebjerg. Domme. Taksatio ns komm iss ionen. Naturklagenævnet 06164.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 06164.00 Frdningn vdrørr: Bøgbjrg Domm Taksatio ns komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 15-06-1977 Frdningsnævnt 26-07-1978 Kndlsr Dklarationr OVERFREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

AKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD. Organisation og arbejdspsykologi Ledelse i praksis Erhvervsøkonomi Coacing i organisationer Projektstyring i praksis

AKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD. Organisation og arbejdspsykologi Ledelse i praksis Erhvervsøkonomi Coacing i organisationer Projektstyring i praksis KURSUSCENTRETS UDBUD -2. halvår 2012 AKADEMI FAG Organisation og arbjdspsykologi Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coacing i organisationr Projktstyring i praksis Ta t slvstændigt uddannlssforløb - llr ta

Læs mere

N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !Hallen rykker igen!god jul, godt nytår, barsel!rådhusets nye naboer

N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !Hallen rykker igen!god jul, godt nytår, barsel!rådhusets nye naboer TILMELDINGSBLANKETTEN skal aflvrs på ungdomsskolns kontor, Skllt 29, 4700 Næstvd NAVN: FØDSELSDATO: ADRESSE: POSTNUMMER: TELEFON: MOBIL: FORÆLDRES NAVNE: Særlig hnsyn/kommntarr: N Æ S T V E D U N G D O

Læs mere

1 skaren af exp = den naturlige

1 skaren af exp = den naturlige Eksonntil- og ritmunktionr Rtition (rimært.-klss-sto sulrt md dirntilrgnings-ovrvjlsr) Funktionsskrn ( ) ( ) stlæggr or R + \{ } ksonntilunktionr. Scilt klds ( ) ( ) ksonntilunktion. Rrnc: GDS, s. 6-8.

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Dette spørgeskema indeholder derudover tre åbne spørgsmål, hvor I har mulighed for at lægge billet ind på konkurrencens øvrige priser:

Dette spørgeskema indeholder derudover tre åbne spørgsmål, hvor I har mulighed for at lægge billet ind på konkurrencens øvrige priser: Årts sundst virksomhd 2009 Spørgskmat udgør ldlsns bsvarls til konkurrncn "Årts sundst virksomhd 2009" samt mulighd for at dltag i d tr kstra prisr. Prisn "Årts sundst virksomhd 2009" ovrrækks af ministr

Læs mere

Jais Nielsen streger og buer (elevark) to billedkunstlektioner

Jais Nielsen streger og buer (elevark) to billedkunstlektioner Jais Nilsn strgr og bur (lvark) to billdkunstlktionr Strgr og bur - øvlsr på papir Jais var rigtig god til at tgn. Når han skull lav kramik, tgnd han altid n skits på papir. På dn måd kunn han prøv sin

Læs mere

Skal vi hjælpe dig og din familie med at skabe sikkerhed i økonomien?

Skal vi hjælpe dig og din familie med at skabe sikkerhed i økonomien? Skal vi hjælp dig og din famili md at skab sikkrhd i økonomin? Vi hjælpr dig md at få n tryg hvrdag Hvis du mistr jobbt, blivr uarbjdsdygtig llr dr skr t dødsfald, så kan dt få økonomisk konskvnsr for

Læs mere

Velkommen til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE

Velkommen til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE Vlkommn til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE Indskoling Opgavsamling 1 Indskoling opgavsamling intro TIL LÆRERNE Vd udarbjdls af opgavr til indskolingsbørnn r dr lagt vægt på, at d r tværfaglig også hvr

Læs mere

ET VARMT OG VENLIGT SAMFUND

ET VARMT OG VENLIGT SAMFUND ET VARMT OG VENLIGT SAMFUND Danskrn r vrdnsstr til vlfærd og osorg Mn vi r også vrdnsstr til rglr, kontrol og straffsystr... Vi kunn åsk brug lidt r tillid Tillid skabr var og vnlighd www..altomnnskr.dk

Læs mere

Vi starter nu med punkt 1 på dagsordenen: valg af dirigent. Bestyrelsen peger på Einar Hoff. Er der andre forslag?

Vi starter nu med punkt 1 på dagsordenen: valg af dirigent. Bestyrelsen peger på Einar Hoff. Er der andre forslag? Vdtægtrns 8 dagsordnspunktr viss. Vi startr nu md punkt 1 på dagsordnn: valg af dirignt. Bstyrlsn pgr på Einar Hoff. Er dr andr forslag? Formandstaln 2014 Bstyrlsn bstår dsværr i dag af kun 6 bstyrlssmdlmmr

Læs mere

Arbejdsløsheden hastigt på vej mod 100.000 - en underfinansieret skattereform løser ikke krisen

Arbejdsløsheden hastigt på vej mod 100.000 - en underfinansieret skattereform løser ikke krisen 26. fbruar 29 af Spcialkonsulnt Erik Bjørstd Dirkt tlf. 33 55 77 15 og Chfanalytikr Frdrik I. Pdrsn Dirkt tlf. 33 55 77 12 llr 28 42 42 72 Rsumé: Arbjdsløshdn hastigt på vj mod 1. - n undrfinansirt skattrform

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Kemiske reakionshasigheder Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel 1 Reakionshasigheder Den generelle løsning il den separable differenialligning

Læs mere

PROJEKTBESKRIVELSE. ligeledes mulighed for at udbygge Campus Bornholm mod nord.

PROJEKTBESKRIVELSE. ligeledes mulighed for at udbygge Campus Bornholm mod nord. CAMPUS BORNHOLM DECEMBER 2010 PROJEKTBESKRIVELSE CAMPUS BORNHOLM Campus Bornholm r n nstånd mulighd for at skab t dynamisk, innova!vt, kra!vt uddannlssmiljø på Bornholm af høj kvalitt. Campus Bornholm

Læs mere

VESTRE KLITVEJ GRANVEJ BAKKEVEJ LANDEV

VESTRE KLITVEJ GRANVEJ BAKKEVEJ LANDEV ØRR DURS OMMU TRAFI FLL R U S T R A D, F Æ L L D V O G Æ RV FLLRU STRAD SOMMRHUSOMRÅD rincipskits for trafik mv. ortgrundlag: MS topografisk kort Mål ca. :.7 S STI AV OLM BØSH H LV A TI S nd a str O Z

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Kendingstal: 12030. ReDane 1/6

Kendingstal: 12030. ReDane 1/6 RDAN Kndingstal: 12030 RDan 1/6 rdan MANIFST AT TGN T NYT LAND Nylig studir af madkultur visr, at dt r n af d mst håndgriblig markørr for social ulighd i Danmark. Lavindkomstgruppr r langt mr udsat for

Læs mere

1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017

1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017 Socialudvalgt Skrtariatt: 1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017 1 Grønnmosværkstdrn nyt tag 2.100 - - 1.200 2 Ådaln ny tag mm 2.829 3 Fornyls og opgradring af brand- og kaldanlæg på pljcntrn 4.149 2.450

Læs mere

Praktiske oplysninger.

Praktiske oplysninger. Praktisk oplysningr. Lundrskov Boldklub vil grn byd all dltagr vlkommn til Lundrskov Frøs Cup 2015. Dt r i år 34. gang vi afviklr stævnt. Dr dltagr til stævnt 76 hold og dt btydr, at dr skal afvikls 199

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

STUDIEBOG NAVN: KLASSE:

STUDIEBOG NAVN: KLASSE: Sudign udylds g hlds ajur a ursisn. Enl asni, såsm aglig mål g mpncr udylds i samarjd md d nl aglærr STUDIEBOG NAVN: KLASSE: qwryuipasdghjlzxcvnmq wryuipasdghjlzxcvnmqw ryuipasdghjlzxcvnmqwr yuipasdghjlzxcvnmqwry

Læs mere

N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !StreetFestival!Den interne trafik!sæt kryds i kalenderen!

N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !StreetFestival!Den interne trafik!sæt kryds i kalenderen! N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E Cilia vd Strtfstival i Grønngad 17. oktobr!strtfstival!dn intrn trafik!sæt kryds i kalndrn!vlkommn Ungdomsrådts bsøg fra Holland

Læs mere

LÆS OM: MASKINHØST AF ÆBLER TIL MOST IMPRÆGNERET INSEKTHEGN

LÆS OM: MASKINHØST AF ÆBLER TIL MOST IMPRÆGNERET INSEKTHEGN NR. 11/12. NOVEMBER/DECEMBER 2010 Hrrgård md g produkionskøkkn Sødkirsbær kogs il dlikassr LÆS OM: MASKINHØST AF ÆBLER TIL MOST IMPRÆGNERET INSEKTHEGN NR.11/12. NOVEMBER/DECEMBER 2010 Sminis Løg Ny god

Læs mere

Opmærksomhed på kropssprog og stemmeføring med særligt henblik på formidling

Opmærksomhed på kropssprog og stemmeføring med særligt henblik på formidling S i l kar ppådi kr op pr og AfDi Mar i as nmor Mål gr upp: 5. 9. k l a Undrviningforløb 5.-9.årgang Sil karp på di kropprog Opmærkomhd på kropprog og mmføring md ærlig hnblik på formidling Tidforbrug:

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lktion Lidt sandsynlighdsrgning Lidt mr om signifikanstst Logistisk rgrssion Lidt sandsynlighdsrgning Lad A vær n hændls (t llr flr mulig udfald af t ksprimnt ) Fx A Dt rgnr i morgn P(A)

Læs mere

De følgende spørgsmål omhandler den teoretiske undervisning på modul 7. 2) Hvordan har dit læringsudbytte været i undervisningen i følgende temaer:

De følgende spørgsmål omhandler den teoretiske undervisning på modul 7. 2) Hvordan har dit læringsudbytte været i undervisningen i følgende temaer: Evaluring modul 7 Hold; BosE2014 Forår 2016. D følgnd spørgsmål omhandlr dn tortisk undrvisning på modul 7. 1) Hvordan vurdrr du din studiaktivitt i modult? 6 var mgt tilfrds llr tilfrds 2 var utilfrds

Læs mere

Aarhus Midtby. Lydglimt om besættelsen. Kend Aarhus. Læs mere på internettet

Aarhus Midtby. Lydglimt om besættelsen. Kend Aarhus. Læs mere på internettet Aarhus Midtby Knd Aarhus Læs mr på intrnttt Dr r t væld af oplysningr på intrnttt om d stdr, du bsøgr. Blandt andt på www.knd-aarhus.dk, hvor oplysningrn i dnn foldr finds. Hr findr du også andr tmatur

Læs mere

20 Prisindeks for ejendomme

20 Prisindeks for ejendomme 77 20 Prndk for ndomm 20. Grundlæggnd nformaon om ndk 20.. Navn Prndk for ndomm. 20..2 Formål Formål md rndk for ndomm r a ly rudvklngn å fa ndom. 20..3 Dæknng Prndk for ndomm omfar ndomm hl land. ndkn

Læs mere

efleks Nye roller og opgaver i forældrekontakten... læs side 4-5 Sygepleje & Radiografskolen INDHOLD SIDE 2-3 Radiografstuderende i Grønland

efleks Nye roller og opgaver i forældrekontakten... læs side 4-5 Sygepleje & Radiografskolen INDHOLD SIDE 2-3 Radiografstuderende i Grønland flks Sygplj & Radiografskoln INDHOLD SIDE 2-3 Radiografsudrnd i Grønland SIDE 4-5 Ny rollr og opgavr i forældrkonakn SIDE 6 Masrforlæsningr SIDE 7 Kor Ny SIDE 8 Efruddannls 2004 Prsonalia købnhavns am

Læs mere

AARHUS MIDTBY. Vikingetiden 5+6 9. Tema 1:5.000. Lille Torv. Store Torv. Domkirke. Magasin Bibliotek. Bispetorv. ARos. Musikhus. Rådhus.

AARHUS MIDTBY. Vikingetiden 5+6 9. Tema 1:5.000. Lille Torv. Store Torv. Domkirke. Magasin Bibliotek. Bispetorv. ARos. Musikhus. Rådhus. Tma Nø rr g Vikingtidn AARHUS MIDTBY 0 100 200 300 m 1:5.000 ÅRHUS r Nø é 12 2 3 11 Lill Torv 17 8 Magasin Bibliotk Stor Torv 15 10 Domkirk 1 Bisptorv 14 7 18 16 4 Sø nd rg V s t r A l l é 5+6 9 V Øst

Læs mere

Hvidovre Lokalhistorie

Hvidovre Lokalhistorie Hvidovr Lokalhistori Hvidovr Lokalhistorisk Slskab Historins Hus Hvidovr 23. årgang Nr. 3 oktobr 2005 Indhold Nyt fra Formandn s 3 Lidt om 60-årt for Danmarks Bfrils s 4 En lill brtning fra sptmbr 1944

Læs mere

Kommentarer til. Faglige mål. RELATEREDE FORLØB TIL PROCENT i 7.-9. KLASSE. Matematrix og dette kapitel

Kommentarer til. Faglige mål. RELATEREDE FORLØB TIL PROCENT i 7.-9. KLASSE. Matematrix og dette kapitel Kommntarr til procnt Faglig mål Kapitlt læggr op til, at lvrn konsolidrr og vidrudviklr drs forståls af sammnhængn mllm n værdi angivt som procnt, brøk og dcimaltal. lærr forskllig formr for procntbrgning

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

\0169.00 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953. Bal slev kirke. Ejby Balslev

\0169.00 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953. Bal slev kirke. Ejby Balslev ~) 01989.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 01989.00 Frdningn vdrørr: Balslv Kirk Domm Taksatio ns komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 07-01-1953 Kndlsr Dklarationr FREDNNGSNÆVNET> Navn: Bal

Læs mere

Korrekthed af Algoritmer

Korrekthed af Algoritmer Korrkthd af Algoritmr md fokus på whil-løkkr Kim Skak Larsn Institut for Matmatik og Datalogi Syddansk Univrsitt, Odns Sptmbr 2001 Introduktion Dnn not supplrr korrkthdsafsnittt i [1], som r dn anvndt

Læs mere

STARTREDEGØRELSE. Tylstrup. Sulsted. Vadum. NØRRESUNDBY Rørdal. Egholm. Hasseris AALBORG. Sønder Tranders. Gug. Skalborg. Frejlev. Visse.

STARTREDEGØRELSE. Tylstrup. Sulsted. Vadum. NØRRESUNDBY Rørdal. Egholm. Hasseris AALBORG. Sønder Tranders. Gug. Skalborg. Frejlev. Visse. Novmbr 2012 STARTREDEGØRELSE Ovrdækning af Jomfru An Gad Aalborg Midtby Jammrbugtn Pandrup Dronninglund Storskov Tylstrup Aabybro Sulstd Grindstd Hammr Bakkr Uggrhaln Vstbjrg Hjallrup Dronninglund Vadum

Læs mere

01522.00. Afgørelser - Reg. nr.: 01522.00. Fredningen vedrører: Idom Kirke. Domme. Taksations kom missionen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet

01522.00. Afgørelser - Reg. nr.: 01522.00. Fredningen vedrører: Idom Kirke. Domme. Taksations kom missionen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet - ------- 01522.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 01522.00 Frdningn vdrørr: dom Kirk Domm Taksations kom missionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 05-04-1951 18-07-1951 Kndlsr Dklarationr FREDNNGSNÆVNET>

Læs mere

07745.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07745.00. Fredningen vedrører: Vrøgum Kær. Domme. Taksations komm iss ionen. Natu rklagenævnet

07745.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07745.00. Fredningen vedrører: Vrøgum Kær. Domme. Taksations komm iss ionen. Natu rklagenævnet 07745.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07745.00 Frdningn vdrørr: Vrøgum Kær Domm Taksations komm iss ionn Natu rklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 18-12-1987 Frdningsnævnt 16-15-1986 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

UDVIKLINGS- OG INVESTERINGSPLAN FOR AALBORG KOMMUNES SKOLER ØSTER UTTRUP SKOLE // 2015

UDVIKLINGS- OG INVESTERINGSPLAN FOR AALBORG KOMMUNES SKOLER ØSTER UTTRUP SKOLE // 2015 UDVIKLINGS- OG INVESTERINGSPLAN FOR AALBORG KOMMUNES SKOLER ØSTER UTTRUP SKOLE // 2015 BESKRIVELSE ØSTER UTTRUP SKOLE FAKTA Adrss Østr Uttrup Skol Brinkn 6 9220 Aalborg Ø Tlf 99824590 E-mail Wb Skolldr

Læs mere

I projekt 4.9 viser vi, at i dette tilfælde bestemmes løsningerne ud fra følgende:

I projekt 4.9 viser vi, at i dette tilfælde bestemmes løsningerne ud fra følgende: Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr Proj 4.0 Mamais fisrimodllr D førs mamais fisrimodllr blv sab i Sorbriannin i 50 rn. Mål md modllrn var a rgn sig frm il, vordan man på

Læs mere

Kompetencecenter. Aktiviteter i skoleåret 2010-11. særligt på området IT-rygsæk

Kompetencecenter. Aktiviteter i skoleåret 2010-11. særligt på området IT-rygsæk Komptnccntr på Skansskoln Aktivittr i skolårt 2010-11 særligt på områdt IT-rygsæk Formålt md IT-rygsækskursrn Undrstøtt læshandlplann Opgavn for skolvæsnt: At flr børn inkludrs og tilgodss i dt almn miljø

Læs mere

Sofia de Fries Seidler. Mediegrafikerelev på Stevnsbladet

Sofia de Fries Seidler. Mediegrafikerelev på Stevnsbladet Sofia d Fris Sidlr Mdigrafikrlv på Stvnsbladt GRAFISK DESIGN Sofia Sidlr Hovdforløb 2 Mdigrafikrlv Stvnsbladt 2015 M b d oo d r oa FÆRDIG SKETCH SKETCH BLYANT Stadtlr pigmnt lin pn FRA SKETCH TIL FIL I

Læs mere

Referat: Styrelsesmøde i Børneneuropsykologisk selskab

Referat: Styrelsesmøde i Børneneuropsykologisk selskab sid1 af 5 Tidspunkt: 7. sptmbr 2017 kl. 18:30 Mødstd: Cntr for Hjrnskad Amagrfælldvj 56 A 2300 Købnhavn S Rfrat: Styrlssmød i Børnnuropsykologisk slskab Dltagr:, Pia,, Katrin Afbud: Kit, Hidi, Mtt Rfrat:

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Arbejdsskadestatistik for perioden 1. januar 2015 til 19. marts 2015 - Hovedudvalget

Arbejdsskadestatistik for perioden 1. januar 2015 til 19. marts 2015 - Hovedudvalget Arbjdsskadstatistik for priodn 1. januar 2015 til 19. marts 2015 - Hovdudvalgt 09-01-2015 Rødby (1019695774) Ejndomsinspktøra rbjd Ovrfladisk skadr hovdt Børn og Kultur 19-01-2015 09:10 Kl. ca. 09.10 onsdag

Læs mere

Hvidbog PFH sidst opdateret den, 12.september 2012

Hvidbog PFH sidst opdateret den, 12.september 2012 Hvidbog PFH sidst opdatrt dn, 12.sptmbr 2012 Pall Flbo-Hansn Vdr. Strandparkn Korsør 1 Hvidbog PFH sidst opdatrt dn, 12.sptmbr 2012 Korsør dn, 9.sptmbr 2012 Formålt md dnn hvidborg r- at dnn gnnmgang vil

Læs mere

Jul i JULEMARKED I ÅRSLEV. 29. november 2014 OPLEV DUFTEN OG SMAGEN AF JUL

Jul i JULEMARKED I ÅRSLEV. 29. november 2014 OPLEV DUFTEN OG SMAGEN AF JUL Jul i n r m y l o P 29. novmbr 2014 JULEMARKED I ÅRSLEV OPLEV DUFTEN OG SMAGEN AF JUL d M i t n a r a g s n! Hl Årslv kommr til at duft og smag af jul, når snn dalr nd ovr JULEMARKED I ÅRSLEV, som for

Læs mere

Moderne Fysik 9 Side 1 af 6 Kernefysik og Stjerneliv

Moderne Fysik 9 Side 1 af 6 Kernefysik og Stjerneliv Modrn Fysik 9 Sid 1 af 6 Sidst gang: Elmntarpartiklr og naturkræftr samt univrsts udvikling. I dag: Atomkrnr og krnprocssr samt stjrnrs livsforløb. Atomkrnr Krnfysikkn blv født i 1896, hvor Hnri Bcqurl

Læs mere

02760.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02760.00. Fredningen vedrører: Grævlingehøj. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet

02760.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02760.00. Fredningen vedrører: Grævlingehøj. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet 02760.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 02760.00 Frdningn vdrørr: Grævlinghøj Domm Taksations komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 07-11-1962 Frdningsnævnt 06-02-1962 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

Projekt nr. CP12K-071 vedrørende: Cykling gennem leg og læring. et lærings- og innovationsprojekt i folkeskolen

Projekt nr. CP12K-071 vedrørende: Cykling gennem leg og læring. et lærings- og innovationsprojekt i folkeskolen Projkt nr. CP12K-071 vdrørnd: Cykling gnnm lg og læring t lærings- og innovationsprojkt i folkskoln 0 Indholdsfortgnls 1. Intro og formål Cykling gnnm lg og læring t innovations- og læringsprojkt i folkskoln

Læs mere

Gender. BirthYear. Region. Q1_Uddannelse. Hvad er dit køn? Kvinde Mand. Hvilket år er du født? Hvilken region er du bosat i?

Gender. BirthYear. Region. Q1_Uddannelse. Hvad er dit køn? Kvinde Mand. Hvilket år er du født? Hvilken region er du bosat i? Gndr Hvad r dit køn? Kvind Mand BirthYar Hvilkt år r du født? Rgion Hvilkn rgion r du bosat i? Rgion Hovdstadn Rgion Sjælland Rgion Syddanmark Rgion Midtjylland Rgion Nordjylland Udlandt Q1_Uddannls Hvad

Læs mere

e r fiek pd geografien - Kopimappen til geografi i 7.- 9. klasse af Troels Gollander Globus-systemet bestir af folgende titler:

e r fiek pd geografien - Kopimappen til geografi i 7.- 9. klasse af Troels Gollander Globus-systemet bestir af folgende titler: fik pd gografin - Kopimappn il gografi i 7.- 9. klass af Trols Gollandr 1. udgav,2.oplag2007 O 2005 Gyldndalsk Boghandl Nordisk Forlag A/S, Ksbnhavn Forlagsrdakion: Kim Mollr Hansn Faglig konsuln: Eigil

Læs mere

Bilag 1. AIDA-modellen: Sepstrups kampagneplatform:

Bilag 1. AIDA-modellen: Sepstrups kampagneplatform: Bilag 1 AIDA-modlln: Spstrups kampagnplatform: Bilag 2: 1 Risikofaktor for usikkr sx i Danmark: Hvrt år dør 300 danskr på grund af usikkr sx. Dt svarr til 0,5 % af all dødsfald. Dt flst r kvindr dr dør

Læs mere

AKKC Booking. Kendskabskampagne. Kampagnetryk Lokalt Regionalt Nationalt

AKKC Booking. Kendskabskampagne. Kampagnetryk Lokalt Regionalt Nationalt 1 Kndskabskampagn Kampagntryk Lokalt Rgionalt Nationalt 2 MØDER kurser SEMINaRER FoREDRag FESTER præsentationer Få n virtul rundvisning i AKKC s mødfacilittr Hvis AKKC v n frugt akkc r vrdnsbrømt i Nordjylland

Læs mere

PRÆSENTATIONSBESKRIVELSE AF UDDANNELSESAFSNIT I PSYKIATRISKE CENTRE/ SYGEHUSPSYKIATRIEN

PRÆSENTATIONSBESKRIVELSE AF UDDANNELSESAFSNIT I PSYKIATRISKE CENTRE/ SYGEHUSPSYKIATRIEN Spcialuddannlsn for psykiatrisk sygpljrskr Uddannlssrgion Syd ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Læs mere

Befolkningsprognose pr. 31.12 2015 excl.flygtninge for perioden 2016 2026 Dato 03.06.2015

Befolkningsprognose pr. 31.12 2015 excl.flygtninge for perioden 2016 2026 Dato 03.06.2015 Bfolkningsprognos pr. 3. cl.flygtning for prion 6 6 Dato 3.6. Bfolkningsprognosr r bhæftt m n vis usikkrh, it prognosns forusætningr om føslshyppigh, øligh, boligmassn samt in og uvanring kan ænr sig i

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Facits til Adgangseksamen MA

Facits til Adgangseksamen MA Facis il Adgangssamn MA Jan 00 Opg. a ½cos b cos c / / ln Opg. a / b c 0 0 Opg. a f =f = b 8/ c ln- Opg. a 00 0 b = -/ c = + / Opg. a f cos b f cos Maj 00 Opg. a ½ b ln-/ Opg. a + + = 0 b c /7 d 7 Opg.

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Kursregulering af statens obligationsgæld

Kursregulering af statens obligationsgæld Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbjdspapir (UDKAS) Claus Færch-Jnsn 3. spmbr 24 Kursrgulring af sans obligaionsgæld Rsumé: Dr opsills n ligning for kursrgulring af sans obligaionsgæld vd hjælp af MacAulays

Læs mere

Tænketank og glade wabi sabi dage

Tænketank og glade wabi sabi dage Tænktank og glad wabi sabi dag Nogt dr lignr 14 dag r gåt sidn min først bog kom på markdt. Jg har på sidlinj fulgt md på folks raktionr, og findr dt supr intrssant hvordan bogn oplvs. Da jg startd på

Læs mere

DELPROJEKT: MILJØANSØGNINGEN

DELPROJEKT: MILJØANSØGNINGEN Fra id til færdigt byggri DELPROJEKT: MILJØANSØGNINGEN v. Lislott Schou Hansn 1... Dlprojkt 2010 : Miljøn Optimring af procs omkring og godkndls Dltagr i afprøvningn Vstjysk Landboforning Ringkøbing Skjrn

Læs mere

MINI KULTUREL RYGSÆK 2012

MINI KULTUREL RYGSÆK 2012 MINI KULTUREL RYGSÆK 2012 Giv din lvr n hlt særlig kulturoplvls dltag i dn Mini Kulturll Rygsæk! Børnkulturlt Ntværk Svndborg Koun (BKN Svb.) har n vision: at rust all børn d n kulturl bagag i løbt af

Læs mere

GOD SKOLE TIL ALLE VI TROR PÅ FREMTIDEN BAG OM ANTBOY 3 NUTTETHED BLÅJEANS LYKKETOFT: NU SKAL DER SKE NOGET! YUSUF OM KAMPENE I TYRKIET

GOD SKOLE TIL ALLE VI TROR PÅ FREMTIDEN BAG OM ANTBOY 3 NUTTETHED BLÅJEANS LYKKETOFT: NU SKAL DER SKE NOGET! YUSUF OM KAMPENE I TYRKIET STORT TEMA om klodns frmtid NYHEDER TIL BØRN DER VIL FORSTÅ VERDEN GOD SKOLE TIL ALLE 25. - 1. OKTOBER 2015 LYKKETOFT: NU SKAL DER SKE NOGET! VI TROR PÅ FREMTIDEN BAG OM ANTBOY 3 VI HAR TESTET FIFA 16

Læs mere

GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG

GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG DOKUMENTATION OPGAVEBESKRIVELSE Dtt r n opgav som r lavt privat, da jg havd t ønsk om at lav min gn opskriftsbog. Idn bag dnn opskriftsbog r at, man

Læs mere

BILAG. til forslaget. til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS DIREKTIV. om begrænsning af visse luftforurenende emissioner fra mellemstore fyringsanlæg

BILAG. til forslaget. til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS DIREKTIV. om begrænsning af visse luftforurenende emissioner fra mellemstore fyringsanlæg EUROPA- KOMMISSIONEN Bruxlls, dn 18.12.2013 COM(2013) 919 final ANNEXES 1 to 4 BILAG til forslagt til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS DIREKTIV om bgrænsning af viss luftforurnnd missionr fra mllmstor fyringsanlæg

Læs mere

Europaudvalget 2004 KOM (2004) 0360 Offentligt

Europaudvalget 2004 KOM (2004) 0360 Offentligt Europaudvalgt 2004 KOM (2004) 0360 Offntligt KOMMISSIONEN FOR DE EUROPÆISKE FÆLLESSKABER Bruxlls, dn 30.4.2004 KOM(2004) 360 ndlig BERETNING FRA KOMMISSIONEN om gnnmførlsn i 19992000 af forordning (EØF)

Læs mere

De unge voksne og folkekirken

De unge voksne og folkekirken D ug vs g flir D 18-35-årigs frivillig gagmt i sgmighdr UNG I KIRKEN WWW.UNGIKIRKEN.DK D ug vs g flir udfrdrig Kirfdt har sid 2007 sat fus på d ug vs i aldr 18-35 år md prjtt Ug i ir, hvr vi bl.a. har

Læs mere

Eksempler på Fysikkens Differentialligninger

Eksempler på Fysikkens Differentialligninger Esplr på Fsins Dirnialligningr Ol Wi-Hansn Køg Gnasiu 8 Indold Kap. Førs ordns dirnialligningr.... Trs aængigd a øjdn ovr jordovrladn.... Radioaiv naldsædr... Kap. Andn ordns dirnialligningr...5. Rlin

Læs mere

KRESTON DANMARK Et landsdækkende samarbejde mellem uafhængige statsautoriserede revisionsvirksomheder.

KRESTON DANMARK Et landsdækkende samarbejde mellem uafhængige statsautoriserede revisionsvirksomheder. S t a t s a u t o r i s r d R v i s o r r 4 2010 Sid 2 Ny indbrtningr for prsonalgodr Sid 3 Årts julgav til mdarbjdrn Sid 4 Pnsion: Hold øj md 100.000 kronrs græn sn! Sid 5 Fældn i gavafgift og bundfradrag

Læs mere

Bilag 4: Spørgeskemaundersøgelse, politikere

Bilag 4: Spørgeskemaundersøgelse, politikere Bilag 4: Spørgskmaundrsøgls, politikr Er du mand llr kvind? Krydst md: Pa mokra Vnstr Dt Konsr par Mand 187 13 48 43 10 2 54 163 18 26 71,4% Kvind 77 12 11 20 4 0 24 58 9 11 28,6% 264 25 59 63 14 2 78

Læs mere

07751.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07751.00. Fredningen vedrører: Sønderhav Skrænt. Domme. Taksationskommissionen 06-10-1988.

07751.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07751.00. Fredningen vedrører: Sønderhav Skrænt. Domme. Taksationskommissionen 06-10-1988. 07751.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07751.00 Frdningn vdrørr: Søndrhav Skrænt Domm Taksationskommissionn 06-10-1988 Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 17-02-1988, 04-03-1988 Frdningsnævnt 01-10-1986 Kndlsr Dklarationr

Læs mere

Nakskov Idrætscenter. Profilavis - februar 2014. Nyt stort Svømmecenter åbner i Nakskov 1. marts 2014. Lolland Kommune og. Nakskov Idrætscenter

Nakskov Idrætscenter. Profilavis - februar 2014. Nyt stort Svømmecenter åbner i Nakskov 1. marts 2014. Lolland Kommune og. Nakskov Idrætscenter Tirsdag 18. fbruar 2014 Ny sor Svømmcnr åbnr i Nakskov 1. mars 2014 Profilavis - fbruar 2014 Lolland Kommun og åbnr dørn il ny svømmcnr 2 Sor visionr for frmidn i Nakskov Idræscnr 5 Borgr og brugr glædr

Læs mere