1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

Transkript

1 Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i forhold il rakeen. Herved forøges rakeens hasighed fra v il v+dv. I forhold il en iagager, hvor rakeen har hasighed v, udslynges assen d ed hasighed v u. Iulssæningen () (+d) giver herefer: v ( + d)( v + dv) + ( d)( v u) v v + dv + vd + ddv + ud vd Vi borkaser ledde ddv (da de bliver, ved division ed d og d -> ). Efer redukion d dv + ud dv u, so inegreres il rakeligningen v u ln v Hvor v - µ. Kineaiske forhold ved rakeosendelse fra jorden d Ofaer vi og v, so funkioner af iden, bliver ligningen: dv u oskreve il: dv d u d d Hvis rakeen osendes lodre, å vi age hensyn il yngdeacceleraionen g, hvilke giver: dv u d g so inegreres (ledvis) il: v v u ln( ) g d d ( ) Skal vi besee højden (srækningen, so rakeen ilbagelægger), skal vi udregne: s s v( ) d ( u ln( ) g) d u(ln( ) ln( ( )) d g ( ) For a udregne inegrale: ln( ( ) d, anvender vi forlen: ln xdx xln x x ln( ( ) d ln( ) d ( ( )ln( ( )) ( )) µ µ d

2 Rakefysik ln( ( ) d ( ( ) ln( ( )) ( ) ( ln( ) ) µ Efer redukion finder an udrykke for srækningen: ( ) s s u ln( ) u ½g ; hvor ( ) µ µ ( ). Gasryk-rakeen (Vandrakeen) Vi anager, a vi har en rake, hvor drividle (vand/) sødes bagud ed hasighed u i forhold il rakeen, genne en lille åbning ed værsnisareal A. Vi anager, a rykke, hvored de resses ud er konsan under hele rocessen. Dee er naurligvis ikke sreng korrek, en uden denne anagelse bliver ingene sielhen for indviklede. Trykke udenfor er noralryk, ens rykke inde i rakeen er. For a besee hasigheden, hvored drividle udsødes, anvender vi Bernoullis lov, der gælder langs en srøningslinie fra () il (). ( ryk, assefylde (konsan), v hasighed). + ½ v + ½ Vi sæer () inde i flasken og () udenfor, og derfor v, og v u, so giver ligningen: ½u Ligningen kan løses h. u, so giver: v u. Den asse, der r idsenhed, udslynges genne åbningen ed værsnie A, kan besees af forlen: d µ ua d (Nelig den asse d, der befinder sig i e rør af længde ud og værsni A, alså Rufang dv uad, så d dv uad) Ekseel. Vandrake., a, 5 Pa., kg/. A π (. - ).,4-4 5 d 4 u / s 4, / s og 4,,4 kg / s 4,4 kg / s d Hvis rakeen uden vand vejer 5, g, og der er,5 l vand i rakeen, vil den onå en (lodre) d hasighed. (Med 4,4 kg / s, vil de age,5 l/4,4 l/s, s a øe beholderen). d

3 Rakefysik v v u ln( ) g v u ln( ) g 4, ln() 9.8, / s,8 / s Rakeens lodree sighøjde kan udregnes af ligningen: v gh h 55. Dee kan saenlignes ed den åle sighøjde: 4. De er ikke overraskende, a an finder en lang indre sighøjde. Vi har anage a rykke var konsan i beholderen. Vi har se bor fra enhver for for energiab å grund af frikion. Endelig vokser sighøjden ed kvadrae å begyndelseshasigheden. Alligevel, har vi en fysisk beregning, der kvaliaiv kan forklare hvordan vandrakeen fungerer.. Ligherrakeen Ligherrakeen er blo en sodavandsflaske, hvor der er bore e lille hul i kaslen. Med de rigige blandingsforhold af Buan og il i flasken, anænder an indholde ved a holde en ænd ligher hen foran hulle i kaslen, hvorved blandingen anændes og udvikler sig ekslosiv. Brændsoffe ved ligherrakeen er Buan: C 4 H (M 58 g/ol), so reagerer ed O ( M g/ol) efer reakionsligningen: C 4 H + 6,5 O -> 4 CO + 5 H O Hvis reakionen skal foregå ekslosiv, skal ængden af Buan være afse ed ængden af oxygen. De fregår, a for hver ol Buan, skal der være 6,5 ol Oxygen. Ifølge Avogadros lov (og ilsandsligningen for ideale ser) fylder de sae anal ol af forskellige ser (ved sae ryk og eeraur) de sae. Rufange af Buan, skal alså være / (/6,5) af oxygenrufange. Hvis beholderens rufang er V, er rufange af O ca.,v. Og rufange af Buan skal være:,/6,5 V,8 - V. Hvis V,5 l 5 l, giver de 5,4 l Buan. Brændværdien for Buan er 45,8 MJ/kg. 5,4 l 5,4 l/4 l /ol 6,4-4 ol. Massen 6,4-4 ol 58 g/ol,7 - g,7-5 kg Brændværdien Q,7-5 kg 45,8 MJ/kg,7 kj.

4 Rakefysik. Trykforhold for ligherrakeen For ser er assefylden ikke konsan, hvilke kolicerer regningerne en hel del. På sae åde, so vi anog, a rykke var konsan ved vandrakeen, vil vi anage a assefylden er konsan ved ligherrakeen. For en kvaliaiv beskrivelse af rakeen er de underordne. Vi skriver ræisserne nedenfor:. Bernoulli (so før): ½u u. n M ( asse anal ol x olasse) RT RT. Tilsandsligningen: P n dp dn V V d 4. Koninuiesligningen: µ ua d uad d So før resses sen (dn ol) ud af en åbning ed værsnisareal A. RT RT d RT dp dn uad og V V M VM u giver d RT VM ( ) Ad RT d d VM d k d Med nogle assende værdier: A,6-5, T 5 K,, a, V,5 l, M 9 g/ol, og,9 kg/, finder an en værdi for k 5,8. Differenialligningen lader sig re le inegrere. Vi anager e (foreløbig ukend) begyndelsesryk. d k d k Ligningerne kan nu ikke anvendes il så ege, fordi vi ikke kender begyndelsesrykke. I den næse beregning, vil vi forsøge, a beregne dee ryk ud fra vareudviklingen af den keiske reakion. Vi vil derfor odificere odellen, således a den vare Q, der frigøres ved reakionen elle Buan og il, forløber over en vis reakionsid r, so vi sæer il,5, sek.

5 Rakefysik Vi har idligere beregne Q,7 kj. Vi sæer A,6-5. c er en værdi for lufens varefylde. Q dq d r c dt dt Q c r d k d nr Ud fra ilsandsligningen PV nrt finder an: dp dt (når de anages a V og n holdes V konsan). Fakisk, så er n ikke konsan, da der forsvinder ud af rakeen, en ingene kan også gøres for indviklede. Indsæes nu udrykke for dt, finder an ligningen: dp nr V dt nr Q V c r d k 4 V rc 5,, s,64 d nr Q, ol 8, J /( ol K),7 J k 9,8 kg, J / kgk 5 SI Differenialligningen bliver herefer: d d k + k d d 5,8 + 9,8 5 Differenialligningen kan seareres og (ed kun lid besvær) inegreres: k + k d d dx Inegrale er af foren: dx d x. De løses ved subsiuionen x x dx d x. Eferfulg af subsiuionen z. d z a dz z aln z ( z x) aln( x) Indsæer vi: x -, en beholder a k / k får vi for vores orindelige inegral: ( aln ) aln( a ) a + aln a k k Løsningen kan iidlerid ikke anvendes il re ege, da an ikke fra ligningen kan isolere ().

6 Rakefysik For a undersøge, hvorledes rykke vokser o er an henvis il en nuerisk inegraion. Hvor ege rykke vokser il, afhænger en del af, hvor længe den keiske reakion varer. Vi er ineressere i a beregne den (oal) overføre iuls il rakeen. d( v) ud u uad Au d og ( ) u giver: d iuls d v) A( ) d ( Den sidse ligning kan saidig løses nuerisk, når vi beregner rykke. Anager an, a reakionsiden r er,5 s, finder an a rykke vokser il, a og iulsen overfør il rakeen er,5 kg /s. Anager an, a reakionsiden r er, s, finder an a rykke vokser il, a og iulsen overfør il rakeen er,65 kg /s. E ryk å, a er næe realisisk, så vi regner videre å den sidse værdi. P oal,65 kg/s. Sæer vi dee lig ed iulsen overfør il rakeen, får an: P oal rake v,65 kg/s og rake, g. får an: v,65 9 / s,. Ved forsøg, hvor ligherrakeen blev affyre å en rae ed en elevaion å ok. 5 fand an ud fra kasevidden en ål hasighed å ok. /s. So de var ilfælde ed vandrakeen, så er der ikke noge egenlig foruroligende ved afvigelsen af den beregnede hasighed og forsøge. For de førse bruger vi ilnærede anagelser, en den sørse årsag er nok snarere enhver for for frikion og viskosie.