Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for

Transkript

1 Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig sandsynlighed. Efterfølgende fokuseres der på regning med sandsynligheder, hvor især chancetræet inddrages som et vigtigt hjælpemiddel. Endelig afsluttes kapitlet med et indblik i, hvordan statistik og sandsynlighed bruges i forbindelse med stikprøveundersøgelser. I dette arbejde bruges et simuleringsprogram, som findes på Kolorits hjemmeside. Programmet giver bl.a. eleverne mulighed for at få erfaringer med de store tals lov, der løst sagt siger, at jo flere ensartede gentagelser vi har af et stokastisk eksperiment, jo større tiltro kan vi have til, at den brøkdel, som hyppigheden af en bestemt observation udgør af det samlede antal observationer, nærmer sig det tal, vi burde forvente. Som det fremgår af næste sides overblik, arbejdes der på den måde i kapitlet med de fleste trinmål fra det matematiske emne statistik og sandsynlighed. Set fra et kompetenceperspektiv giver emnet især mulighed for at arbejde med modellering ofte tager overvejelser vedrørende chance og tilfældighed udgangspunkt i en problemstilling fra vores omverden, der oversættes til en matematisk model med et udfaldsrum og en tilhørende sandsynlighedsfunktion. Indenfor modellen kan sandsynligheder beregnes, og disse sandsynligheder kan så igen tolkes i forhold til problemstillingen. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: Kombinatorisk sandsynlighed Statistisk sandsynlighed Personlig sandsynlighed Udfald og udfaldsrum Hændelse Chancetræ Stikprøveundersøgelse Simulering Huskeliste: Evt. spillekort (til side 108) Et simuleringsprogram (til side 121, 122 og 123) ER DET SANDSYNLIGT? 1

2 FRA FAGHÆFTET Kompetencer opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner læse, forstå og vurdere anvendelse af statistik og sandsynlighed i forskellige medier udføre og tolke eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår forbinde sandsynligheder med tal vha. statistik, enkle kombinatoriske overvejelser og simple modeller Matematik i anvendelse behandle problemstillinger knyttet til den samfundsmæssige udvikling, hvori bl.a. økonomi, teknologi og miljø indgår udføre simuleringer, bl.a. ved hjælp af it erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag Matematiske arbejdsmåder deltage i udviklingen af strategier og metoder med støtte i bl.a. it Indhold og mål Kapitlet handler om sandsynlighed. Målet er, at I får forståelse for begreberne udfald, udfaldsrum og hændelse. lærer at sætte tal på sandsynligheder ved hjælp af kombinatoriske overvejelser, statistik og personlige vurderinger. bliver bedre til at regne med sandsynligheder ved hjælp af chancetræer. får større indblik i stikprøveundersøgelser. ER DET SANDSYNLIGT? 2

3 Facit Side 108 Spar es, hjerter tre, klør knægt 2 Fordi der er 52 forskellige kort i et almindeligt sæt spillekort Fx Sandsynligheden for at trække et rødt kort er. Side Fx Det kommer an på, hvilken type kortspil der er tale om nogle kortspil afhænger af dygtighed, andre af held og andre igen af en kombination af held og dygtighed. I kortspil, der afhænger af held, kan der være lige stor sandsynlighed for hvert udfald. 7 Statistikken tyder på, at sandsynligheden for at Dan vinder er. 8 Fx I forbindelse med spil på oddset kan det være rimeligt at lade personlige vurderinger af sandsynligheder spille en rolle. Side Ja, da udtrækningen foregår tilfældigt. 3a 3b Ja, da udtrækningen foregår tilfældigt. ER DET SANDSYNLIGT? 3

4 6a 6b 7 Kombinatorisk sandsynlighed. Side Fx Medlemmerne er i alderen år. Der er flest medlemmer i alderen år Ja, da medlemmet udtrækkes tilfældigt. 5a 0 5b 5c 6 Statistisk sandsynlighed. Side Danmark og Sverige 2 Nej, der er ikke noget, der tyder på, at de to lande har netop lige stor sandsynlighed for at vinde. 3-4 (afhænger af personlig vurdering) 5 Personlig sandsynlighed Side 113 FÆRDIGHED (Facit står i grundbogen på side 187) ER DET SANDSYNLIGT? 4

5 Side 114 Stjerne, stjerne, kirsebær Klokke, appelsin, stjerne Blomme, kirsebær, blomme 2 Fordi der er 20 mulige udfald på hver tromle = Fx Sandsynligheden for udfaldet Stjerne, stjerne, kirsebær er Sandsynligheden for udfaldet Klokke, appelsin, stjerne er Sandsynligheden for udfaldet Blomme, kirsebær, blomme er Side Sandsynligheden for udfaldet Stjerne, stjerne, stjerne er Sandsynligheden for udfaldet Klokke, klokke, klokke er Sandsynligheden for udfaldet Blomme, blomme, blomme er Sandsynligheden for udfaldet Appelsin, appelsin, appelsin er Sandsynligheden for udfaldet Kirsebær, kirsebær, kirsebær er Sandsynligheden for udfaldet Kirsebær, kirsebær er ,25 % 7 89,25 % 8 Nej, et udfald påvirker ikke det følgende udfald. Side 116 Fordi en terning har seks lige sandsynlige udfald. 2 Fx Fordi ER DET SANDSYNLIGT? 5

6 3 Chancetræet viser de mulige udfald i tre kast med en terning. På grenene står sandsynligheder for at få en sekser og for ikke at få en sekser. Sandsynligheden for at få sekser i alle tre kast er afkrydset for beregnet. 4a 4b 4c Den øverste gren. Den nederste gren. Den næstnederste gren. 5 Side De tre grene viser forskellige forløb med netop én sekser. Det første kast kan være en sekser, det andet kast kan være sekster, og det tredje kast kan være en sekser. 7 8 Regneudtrykket viser summen af sandsynlighederne for hver af de tre grene. 9 Side 118 ER DET SANDSYNLIGT? 6

7 2a 0,216 2b 0,064 2c 0,288 2d 32 3 Fordelingen ville i så fald blive: Alle lykkes: 0,343 Ingen lykkes: 0,027 Netop én lykkes: 0,189 Netop to lykkes: 41 Side Fx 0,95 0,05 0,95 0,95 0,05 0,05 0,95 0,05 5a 0,36 5b 0,1444 5c 56 5d 0,0004 6a 6b 6c 6d ER DET SANDSYNLIGT? 7

8 Side 120 Hvis personerne ikke var udvalgt repræsentativt, ville stikprøveundersøgelsen give et misvisende billede af befolkningens svar. 2 Fx Sandsynligheden er stor, fordi personerne er udvalgt repræsentativt, og fordi så mange personer (1052) har deltaget i undersøgelsen Side (Stikprøvestørrelsen har betydning for pålideligheden) 6 Antallet af kugler i krukken har ingen betydning for pålideligheden. 7 Forholdet har betydning for pålideligheden. 8 Fx En stikprøveundersøgelse er mest pålidelig, når stikprøvestørrelsen er stor. Side Fx At resultatet ikke nødvendigvis er et udtryk for hele befolkningens svar. 4-5 Fx At jo større stikprøvestørrelsen er, jo mindre er usikkerheden. Side 123 Fordi statistikken viser, at 238 ud af 1000 piger er i live, når de bliver 90 år. ER DET SANDSYNLIGT? 8

9 2 Fx Fordi der er usikkerhed i forbindelse med spørgsmålet. Desuden kan levevis og bedre behandlingsmuligheder have betydning for, at levetiden bliver større ER DET SANDSYNLIGT? 9