Undervisningsbeskrivelse

Transkript

1 Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik B Anne Blom 2f Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Intro: Variabelsammenhænge og ligningsløsning 5 blokke Titel 2 Titel 3 Trigonometri Rapport: Landmåling Lineære funktioner Samarbejde med samfundsfag og engelsk: Raceuroligheder i USA. 16 blokke 8 blokke Titel 4 Eksponentielle funktioner 12 blokke Titel 5 Potensfunktioner Rapport: De tre funktionstyper 8 blokke Titel 6 Deskriptiv statistik 6 blokke Titel 7 Lån og opsparing 7 blokke Titel 8 Bekræftende statistik: Normalfordeling og chi-i-anden-fordeling. Projekt: Pinocchiokugler Rapport: Chi-i-anden-test 12 blokke Titel 9 Andengradsligninger og -polynomier 10 blokke Titel 10 Titel 11 Differentialregning. Rapport: Den optimale form af et popcornbæger Integralregning. Miniprojekt: Anvendelser af det bestemte integral 20 blokke 12 blokke Titel 12 Repetition og eksamenstræning (inkl. prøve) 5 blokke Desuden indgik matematik i studieretningsopgaven i 2.g, hvor der var mulighed for at skrive om: 1) National identitet (chi-i-anden i samarbejde med samfundsfag) 2) Hitskabelonen (deskriptiv statistik og normalfordelingen i samarbejde med musik) Side 1 af 12

2 Titel 1 Intro: Variabelsammenhænge og ligningsløsning Forskel på variable og konstanter. Forskel på afhængig og uafhængig variabel. Forskellige repræsentationsformer: Forskrift, graf, tabel, sproglig beskrivelse. Lineære sammenhænge (kort intro). Lineær regression (kort intro). Matematiske modeller og deres gyldighedsområde. Hvad er en ligning. Hvordan løses en ligning - i hånden og i WordMat. To ligninger med to ubekendte. Noter, filer og opgaveark (se Sharefile). 5 blokke á 95 min Særlige fokuspunkter Introduktion til WordMat. Screening. At give matematisk ballast og selvtillid til det videre forløb. At håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. At anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Væsentligste Tavleundervisning Pararbejde Titel 2 Trigonometri og landmåling Diverse om trekanter Navngivning af sider og vinkler i trekanten. Højde, median, vinkelhalveringslinje. Vinkelsum. Areal af trekanter. Ensvinklede trekanter Ensliggende sider. Forstørrelsesfaktoren. Retvinklede trekanter Hosliggende katete, modstående katete og hypotenusen. Pythagoras sætning. Sinus-, cosinus- og tangensformler. Vilkårlige trekanter Sinusrelationerne. Side 2 af 12

3 Cosinusrelationerne. Ny arealformel. Matematisk ræsonnement Definition af sin, cos og tan. Enhedscirklen, retningspunkt, positiv omløbsretning. sin -1 og cos -1 Bevis for Pythagoras sætning Bevis for sinusrelationerne (spids- og stumpvinklet tilfælde). Bevis for cosinusrelationerne (spids- og stumpvinklet tilfælde). Vi har arbejdet med stumpvinklede tilfælde i forbindelse med beviserne, men kun meget kort i forbindelse med opgaveregning. Landmåling Historisk landmåling, triangulering. Moderne landmåling, totalstation. Parenteser (plus, minus og gange). Kvadratsætninger. Reduktioner. Rapport Trigonometri og landmåling. Noter, filer og opgaveark (se Sharefile). 16 lektioner Særlige fokuspunkter - Trekantsløser i WordMat. - Tegning af trekanter i GeoGebra. - At kunne producere en selvstændig rapport for at skabe overblik over emnet - den gode fremstilling (både mundtligt og skriftligt). - Demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling. Væsentligste Tavleundervisning. Pararbejde. Projektarbejde i grupper. Titel 3 Lineære funktioner Funktionsbegrebet Notationen f(x) At kende x og finde y. Side 3 af 12

4 At kende y og finde x. Forskellige lineære repræsentationer Forskrift, graf, tabel. a og b Betydning for grafen. Aflæsning i forskrift, graf, tabel. Tolkning. Bevis: Udregning ud fra to punkter. Modeller og regression Opstille lineære modeller. Lineær regression. Regressionslinje. Forklaringsgraden R!. Prognose. Modelkritik og gyldighedsområde. Ligefrem proportionalitet Proportionalitetsfaktoren Analytisk løsning af lineære ligninger. Grafisk løsning af lineære ligninger i GeoGebra. Regression i WordMat. Afbildning af datamateriale og regressionslinje i GeoGebra. Noter, filer og opgaveark (se Sharefile). 8 blokke á 95 min. Særlige fokuspunkter - forståelse af modelbegrebet - brug og misbrug af matematik. - træning i at manøvrere mellem forskellige repræsentationsformer Væsentligste Tavleundervisning. Pararbejde. Gruppearbejde. Titel 4 Eksponentielle funktioner Procent- og rentesregning Fra decimaltal til procent. Lægge procenter til og trække fra. Fremskrivningsfaktoren F og vækstraten r. Side 4 af 12

5 Procentpoint. At fremskrive over flere terminer. Eksponentielle funktioner. At isolere a, b, x og y - i hånden, i WordMat, i GeoGebra. At kende x og finde y. At kende y og finde x. Bevis: Bestemme a og b ud fra to punkter. Bevis: Begyndelsesværdien b = f(0) (fra forløbet om opsparing og lån ). Forskellige repræsentationer Forskrift, graf, tabel. Betydningen af a og b. Kvadranter. Kort om definitions- og værdimængde. Vækst Forskellen på absolut (konstant) vækst og relativ (procentvis) vækst. Sammenligne lineære og eksponentielle funktioner. Formler for fordoblings- og halveringskonstant. Bevis: Fordoblings- og halveringskonstant (fra forløbet om opsparing og lån ) Modeller og regression At opstille, tolke og kommentere eksponentielle modeller. Eksponentiel regression. Studieretningsdage: Raceuroligheder Lineære fremskrivninger. Brug og misbrug af matematik. Løsning af eksponentielle ligninger - analytisk og grafisk. Potensregneregler og rødder. Logaritmer og logaritmeregneregler. Noter, filer og opgaveark (se Sharefile). 12 blokke Særlige fokuspunkter Væsentligste Tavleundervisning. Pararbejde. Titel 5 Potensfunktioner Side 5 af 12

6 Forskellige repræsentationer Forskrift, graf, tabel. Betydningen af a og b. Kvadranter. Kort om definitions- og værdimængde. Potensfunktioner At kende x og finde y. At kende y og finde x. Bevis: Bestemme a og b ud fra to punkter. Vækst Procent-procent vækst. Omvendt proportionalitet. At opskrive intervaller. Om rødder, potenser og potensregneregler. At løse ligninger med rødder og potenser. Rapport De tre funktionstyper. Sammenligne lineære-, eksponentielle og potensfunktioner. Noter, filer og opgaveark (se Sharefile). 8 blokke af 95 minutter Særlige fokuspunkter At sammenligne de tre væksttyper. Træning af mundtlig præsentation. Væsentligste Taleundervisning. Individuelt arbejde. Projektarbejde i grupper. Eleverne skulle i grupper udarbejde en rapport om de tre funktionstyper. Rapporten skulle indeholde teori og eksempler for hver af de tre funktionstyper. Eleverne fremlagde gruppevis deres rapporter for mig (uden resten af klassen til stede). Desuden skulle hver elev optage og aflevere en video, hvor eleven gennemgår et af beviserne fra rapporten. Titel 6 Deskriptiv statistik Ugrupperede observationssæt Observationssættets størrelse Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens Typetal Side 6 af 12

7 Variationsbredde Middeltal (gennemsnittet) Største- og mindsteværdi At finde og tolke kvartilsættet Tegning af stolpediagram Tegning, tolkning og sammenligning af boksplot Grupperede observationssæt Observationssættets størrelse Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens Typeinterval Variationsbredde Middeltal ( gennemsnittet af gennemsnittet ) Største- og mindsteværdi At finde og tolke kvartilsættet Fraktiler Tegning af histogram (med lige brede intervaller) Tegning, tolkning og sammenligning af boksplot Tegning og aflæsning sumkurve. Tegning af stolpediagram, histogram, boksplot og sumkurve i GeoGebra. Noter, screencast og opgaveark (se Sharefile). 6 blokke à 95 min. Særlige fokuspunkter At benytte GeoGebra til at beregne og illustrere statistisk indhold. At lade eleverne selv læse en matematisk tekst. Væsentligste mig). Arbejd selv (mens grupperne på skift fremlagde deres funktionsrapporter for Individuelt arbejde. Titel 7 Lån og opsparing Kapitalfremskrivning Repetition af vækstrate og fremskrivningsfaktor. Fremskrivning over flere terminer. Gennemsnitlig (årlig) procent. Kapitalfremskrivningsformlen - en eksempel på en eksponentiel funktion. Isolering af de forskellige størrelser i kapitalfremskrivningsformlen. Bevis: Fordoblings- og halveringstid. Bevis: Begyndelsesværdien. Side 7 af 12

8 Lånetyper og annuitetsopsparing Foredrag ved medarbejder i Danske Bank om lån og privatøkonomi. Begreber ved låntagning: Hovedstol, løbetid, ydelse, terminer, ÅOP. Forskellige lånetyper: Afdragsfrit lån, serielån, annuitetslån. Bevis: Formlen for annuitetsopsparing (efter tre terminer). Noter og opgaveark (se Sharefile). 7 blokke à 95 min. Særlige fokuspunkter At vise eleverne sammenhængen mellem eksponentielle funktioner, procentog rentesregning og økonomiske beregninger. At relatere til elevernes egen dagligdag. Væsentligste Foredrag. Klasseundervisning. Individuelt arbejde. Titel 8 Bekræftende statistik: Normalfordeling og chi-i-anden-fordeling Normalfordelingen Hvad er normalfordelingen? Middelværdi og spredning. Egenskaber ved normalfordelingen. Sammenhængen mellem histogram og frekvensfunktion. Sammenhængen mellem sumkurve og fordelingsfunktion. Bestemme sandsynligheder (arealer) vha. fordelingsfunktionen (både med GeoGebras sandsynlighedslommeregner og bestemte integraler i WordMat). Chi-i-anden-fordelingen Om population, stikprøve, repræsentativitet, systematiske fejl og skjulte variable. Forventede og observerede værdier. Frihedsgrader. Teststørrelsen χ! (afvigelsen) p-værdi, kritisk værdi, signifikansniveau, nulhypotese og alternativ hypotese. Goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. At tegne fordelingsfunktioner og udregne sandsynligheder i GeoGebras sandsynlighedslommeregner (normalfordelingen og chi-i-anden-fordelingen). At udføre statistiske test i GeoGebras sandsynlighedslommeregner (GOF-test og uafhængighedstest). At opskrive og udregne bestemte integraler vha. WordMat. At benytte normalfordelingspapir. Projekt Side 8 af 12

9 Om pinocchiokugler og normalfordelingen. Rapport Om chi-i-anden-fordelingen Noter, GeoGebra-filer og opgaveark (se klassens hjemmeside: Særlige fokuspunkter Væsentligste 12 blokke à 95 min. Introduktion af integral-notation. Skabe en overgang fra deskriptiv statistik til bekræftende statistik. Klasseundervisning, pararbejde og projektarbejde. Titel 9 Andengradspolynomier og andengradsligninger Andengradspolynomiet Hvad er en funktion? Repetition af funktionsbegrebet f(x). Forskrift. Definitions- og værdimængde. Ekstrema: Maksimum og minimum. Kort om faktorisering af andengradspolynomier. Kort om polynomier af højere grad og antallet af rødder. Andengradsligningen Hvad er en ligning? Funktionens nulpunkter/rødder. Diskriminanten og antallet af løsninger. Løsningsformlen for andengradsligninger. Grafisk løsning af andengradsligninger. Andengradsligninger, der ikke er lig nul. Simple andengradsligninger (hvor b = 0 eller c = 0). Bevis: Løsningsformlen for andengradsligninger. Parablen Hvad er en graf? Koefficienternes betydning for parablens udseende. Symmetriakse omkring toppunktet. Bevis: Toppunkt (fra forløbet om differentialregning). Bevis: a s og b s betydning for parablens udesende (fra forløbet om differentialregning). Kvadratsætninger. Side 9 af 12

10 Nulreglen. At finde parablens skæring med x-aksen i GeoGebra. Polynomisk regression i WordMat. At finde nulpunkter vha. WordMat. Noter, GeoGebra-filer og opgaveark (se klassens hjemmeside: Særlige fokuspunkter Væsentligste 10 blokke à 95 min. Eksperimenterende tilgang: Der indledes med parabeleksperimenter, hvor det undersøges hvad konstanterne a, b og c betyder for parablens udseende. Fortrolighed med GeoGebra. Klasseundervisning og individuelt arbejde. Titel 10 Differentialregning. Intuitiv forståelse Om hvor stejle grafer er. Udvide hældningsbegrebet fra rette linjer (hældning vha. to punkter) til andre grafer (hældning i ét punkt). Tangent og tangenthældning. Aflæsning af differentialkvotient/tangenthældning på grafer og tolkning af dens betydning. Notation af differentialkvotient. Væksthastighed. Differentialkvotient At kunne differentiere de basale funktioner (listen med afledte funktioner). Regneregler for afledte funktioner (stjerneregel, sumregel, differensregel og konstantfaktorregel). Forskel på afledet funktion og differentialkvotient. Forskellige notationer, bl.a. f! x og!"!" Grafisk sammenhæng mellem f(x) og f (x). Om striden mellem Leibniz og Newton. Tangentens ligning Skelne mellem x-værdi, y-værdi og hældning/væksthastighed. At finde tangentens ligning i et punkt. At finde førstekoordinaten for røringspunktet. Både uden hjælpemidler, med WordMat og med GeoGebra. (Formlen y = f (x! )(x x! ) + f x! er ikke præsenteret) Side 10 af 12

11 Monotoniforhold og optimering Ekstrema og ekstremumssteder. Kritiske steder. Maksimum, minimum og vandret vendetangent. Monotonilinje og monotoniforhold Matematisk ræsonnement Sekanter og tangenter. En ret linjes hældning ud fra to punkter: Sekanthældning. En ret linjes hældning ud fra et punkt: Tangenthældning. Kontinuerte og diskontinuerte funktioner. Differentiable og ikke-differentiable funktioner. Grænseværdi. Tretrinsmetoden. Bevis: Den afledte funktion til f x = x! Bevis: Den afledte funktion til f x = x! Bevis: Den afledte funktion til f x = ax + b Bevis: Den afledte funktion til f x = x Andengradspolynomier Koefficienternes (a, b og c s) betydning for parablens udseende. Toppunkter som ekstrema. Bevis: b s og c s betydning. Bevis: Toppunktsformlen. Logaritmer Titals-logaritmen Den naturlige logaritme Eulers tal og eksponentiel notation Potensregneregler At opskrive intervaller. Differentiation vha. WordMat. At arbejde med tangenter og ekstrema i GeoGebra. At løse to ligninger med to ubekendte. Rapport Det optimale popcornbæger. Noter, GeoGebra-filer, videoer og opgaveark (se klassens hjemmeside: Særlige fokuspunkter 20 blokke à 95 min. Kort historisk indblik: Newton og Leibniz. At lægge ud med en intuitiv forståelse af differentialkvotient og først introducere teorien senere. Side 11 af 12

12 Væsentligste At lade eleverne prøve selv med whiteboards og videohjælp. At illustrere, hvad optimering kan bruges til i praksis. Pararbejde arbejde med videohjælp. Projektarbejde om rapporten. Titel 11 Integralregning Ubestemte integraler Stamfunktion. Integrationsprøven. Det ubestemte integral. Regneregler (sumregel, differensregel, konstantfaktorregel). Integrationskonstanten k. Bestemme stamfunktionen gennem et punkt. Bevis: Stamfunktioner og integrationskonstanten. Bestemte integraler Det bestemte integral. Regneregler (sumregel, differensregel, konstantfaktorregel). Nedre og øvre grænse, nulpunkter. Areal under grafen. Skæringspunkter og areal mellem grafer. Anvendelse af bestemte integraler p-værdi Omdrejningslegemer og volumen Udregning af bestemte og ubestemte integraler vha. WordMat. Tegning af grafer i WordMat og GeoGebra. At bestemme nulpunkter og skæringspunkter vha. WordMat og GeoGebra. Illustration af arealer vha. GeoGebra. Potensregneregler. Herunder x!! =!!!, x! = 1 og x = x!,!. Noter, GeoGebra-filer, videoer og opgaveark (se klassens hjemmeside: Særlige fokuspunkter Væsentligste 12 blokke à 95 min. At skabe sammenhæng mellem differential- og integralregning. Anvendelse af GeoGebra til at illustrere og beregne arealer. Klasseundervisning og pararbejde. Side 12 af 12