Markowitz porteføljeteori gennem finanskrisen

Transkript

1 HA Almen, 6. Semester Bachelor afhandling Erhvervsøkonomisk Institut Gruppe nr. S Opgaveskriver: Brian Schrøder Hansen Vejleder: Nicolai Borcher Hansen Markowitz porteføljeteori gennem finanskrisen Handelshøjskolen, Aarhus Universitet Forår 21

2 Abstract Markowitz is called the fader of modern portfolio theory. For decades he s theory has been accepted for one of the most important portfolio theories. The question is how his portfolio theory manage throw the crisis in 28, is he s theory still useful after the bear marked. The thesis is divided into two parts, the first is a theoretical review of the theory, and the second part is an empirical analysis of the theory performance throw the crisis in 28. The aim of the theoretical part is to make a review of the parts of Markowitz mean-variance portfolio theory and how to make an efficient portfolio. The theory consists of the expected yield and risk for an asset, correlation between them and how it effects the portfolio decisions. An important aspect of portfolio decisions is how to use diversification to reduce risk. Before the empirical analysis can be made, it s important to test the data material, since Markowitz portfolio theory is based on the condition of normal distribution. The test shows that the subsequent constructions should be based on weekly return, since it s better normal distributed than the daily based return, but still not perfectly normal distributed. Under the constructions of portfolios with mean-variance, it appeared that the fall in the stock market didn t have much influence on the data material, because of its size. The biggest change was the correlation between the asset rises throws the period. This led to the stocks represented a smaller proportion of the portfolios in the late 28. It s not possible with statistic certainty to conclude that the minimum variance portfolio and the most efficient portfolio performs better than the benchmark, but it s possible with statistic certainty to conclude that efficient portfolios with short sales allowed generated significant negative alpha values. The idea behind EWMA is the resent data is weighted higher, which should led to a data material that is more accurate, and follows the markets trends. That influenced the standard deviations rose even more than with the mean-variance, so that the deviations between the calculated values and the actual values were less. The trend with increasing correlation became even more evident with this approach. That the data material was better adapted to the market increased the expectations that EWMA could generate a better return than the mean-variance approach. The portfolios constructed with this approach decreased the shareholdings more that the mean-variance, and that there were sold short in a larger scale than earlier with the mean-variance. All this resulted with statistic cer-

3 tainty were generated positive alphas in the minimum variance portfolio, it was not possible to generates such positive alphas in the most efficient portfolios. The Sharpe index turned out to be the best measurement for a portfolios performance, since this had pointed out all the significant alphas. So from this performance measurement it turns out that almost every portfolio constructions with the EWMA approach performed best, however with the exceptions of the minimum variance portfolio with short sales allowed. So from this it can be concluded that the EWMA approach creates the best portfolios in a bear market, since it is better to adapt the marked conditions. Based on the analysis it seems that Markowitz portfolio theory still is valid after the crisis in 28, based on not all alphas were negative or different from zero, and that the theory showed that an investor should decrease the shareholdings.

4 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING Problemformulering Afgrænsning Metodevalg MARKOWITZ MEAN-VARIANCE PORTEFØLJE TEORI Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv Kovarians og korrelation Kovarians Korrelation koefficienter Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje Diversifikation Systematisk risiko Usystematisk risiko Den efficiente Rand Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder Minimums varians porteføljen Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder Delkonklusion DATAANALYSE Datagrundlag Datamateriale til porteføljekonstruktion Den risikofrie rente Benchmark Test af normalfordeling Skewness Kurtosis Jarque-Bara test Test af datamateriale for normalfordeling PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED MEAN-VARIANCE Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Udvikling i afkastserien Udviklingen af standart afvigelserne... 24

5 Indholdsfortegnelse Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne Porteføljer uden kort salg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljerne Porteføljer med kort salg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljerne Performansevaluering Teoretisk gennemgang af performance Performance for MVP Performance for tangentporteføljerne Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED EWMA Teoretisk gennemgang af EWMA Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Udvikling af std. afvigelserne Udvikling af korrelationen mellem aktiverne Sammensætning af porteføljer uden kortsalg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne Sammensætning af porteføljer med kortsalg Sammensætning af MVP Sammensætning af tangentporteføljer Performansevaluering Performance for MVP Performance for tangentporteføljerne Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA KONKLUSION BIBLIOGRAFI BILAGSOVERSIGT... 69

6 Indledning 1. Indledning At der i dag både bliver set på afkast i forhold til den dertilhørende risiko for en portefølje, virker meget indlysende, men da Markowitz i 1952 skrev hans doktor disputats om porteføljeteori var dette ikke normalt. Dengang var det kun afkastet der var i fokus, dvs. at ud fra den tankegang ville en investor vælge at investere i det aktiv med det højeste afkast. Ud fra datidens synspunkter er det måske heller ikke så sært at Markowitz fik meget hårde ord med på vejen da han skulle forsvare sin disputats, hvor han bl.a. fik at vide det intet havde med økonomi at gøre, og derved ikke burde tildeles en Ph.d. i økonomi. Markowitz har dog senere i 1991 indrømmet at portefølje teori ikke var en del af økonomi, da han forsvarede sin disputats, men dette er det i dag. 1 Spørgsmålet er således, hvorvidt Markowitz porteføljeteori stadig har sit værd efter den seneste krise. Investeringer i aktier har altid været forbundet med en hvis risiko, men at risikoen ville være så stor som gennem finanskrisen i 28, kom bag på mange investorer. I tiden optil var mange blevet forgyldt med høje afkast på deres investeringer. Det var ikke kun professionelle der investerede, der var også en meget stor stigning af privatpersoner der hoppede ud som investorer, for at få del af de høje afkast der var at hente på markedet. En investor har muligheden for at sprede sine investeringer ud på flere aktiver for at nedsætte risikoen. En sådan sammensætning kunne ske ud fra Markowitz (1952), der senere modtog en nobelpris for teorien og er blevet kaldt fader af moderne porteføljeteori. Teorien tager højde for den indbyrdes korrelation mellem aktiver, dette betyder at risikofyldte aktiver kan sammensættes, således at den samlede risiko for porteføljen er laver end de individuelle aktivers risiko. Altså sker der en diversifikation, hvilket er grundelementet i Markowitz teori. Der er dog det forbehold at ingen har kendskab til fremtiden og at historien sjældent gentager sig i fremtiden. Dette kan skabe nogle udfordringer, da alle værdierne der bliver brugt til sammensætningen af en portefølje ud fra Markowitz er baseret på historiske tal, der er forsøgt tilpasset til fremtiden. 1 (Varian 1993) 1

7 Problemformulering 1.1. Problemformulering Hovedformålet med denne opgave er at analysere hvordan Markowitz porteføljeteori klarede sig igennem den seneste finanskrise, med udgangspunkt i C2 indekset samt et par udvalgte danske statsobligationer. Selv om det ikke er muligt at se ud i fremtiden, ville det så ved hjælp af Markowitz teori have været muligt at forudsige, at de risikofyldte aktiver skulle have udgjort en faldende andel af den samlede portefølje. Den første del af opgaven vil gennemgå Markowitz porteføljeteori, ved at redegøre for beregningen af afkast, risiko samt den indbyrdes korrelation mellem de enkelte aktiver. Disse værdier vil jf. Markowitz (1952) blive brugt til at sammensætte den efficiente rand, minimumsvarians porteføljen samt en udledning af kapitalmarkeds linien. Der vil blive set på hvordan det med denne teori er muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, hvilket samtidig betyder at en investor kun vil kunne påregne at modtage afkast for den systematiske risiko. Inden den empiriske analyse af Markowitz teori kan foretages, skal der undersøges hvorvidt forudsætningerne om afkastet er normalfordelt, således at den empiriske analyse vil blive så retvisende som muligt. Udgangspunktet for den empiriske del af opgaven vil være at benytte Markowitz porteføljeteori til at se hvordan de enkelte porteføljers afkast samt risiko, ændres i løbet af finanskrisen. Men ikke mindst den afgørende korrelation, da det formodes at korrelationen aktier imellem vil stige, hvilket går ud over risikoreduktionen. Det vil samtidig blive interessant at se hvordan minimumsvariansporteføljen udvikler sig, om den kommer til at ligge tættere op af den risikofrie rente, og om investorerne vil modtage betaling for den ekstra risiko de har påtaget sig ved investeringen af de risikofyldte aktiver. I den oprindelige teori Markowitz (1952) udviklede, blev der brugt en gennemsnitlig varians. Problemet i finansielle tidsserier er at disse varianser ikke er stationære, så derfor inddrages EWMA der er en tidsvægted varians, der gør at den seneste varians vægtes højere end de foregående. Disse varianser benyttes til at sammensætte nye korrelations matricer, og dermed sammensætning af nye porteføljer. Det vil dermed blive undersøgt hvorvidt disse sammensætninger, performer bedre end benchmarket, men ikke mindst om det vil være en fordel at benytte sig af denne fremgangsmåde i stedet for de oprindelige gennemsnitlige varianser. Ved at inddrage kortsalg, vil der blive analyseret hvorvidt denne mulighed vil være fordelagtigt i et nedadgående marked. Så det på den måde vil være muligt at udnytte at aktiernes afkast er negative, 2

8 Problemformulering men er det overhovedet muligt at finde ud af hvilke aktiver der skal købes og hvilke der skal sælges, således at en investor ikke påtager sig unødigt risiko. Denne mulighed vil både blive brugt under mean-variance samt EWMA sammensætning af porteføljer. Er Markowitz teori brugbar i krisetider, eller er den kun blevet benyttet på baggrund af at den har fået tildelt en Nobelpris. Det vil derfor blive nødvendigt at forholde sig til hvorvidt de konstruktioner der bliver lavet undervejs performer bedre end benchmarket. Dette sker for at finde ud af om hvorvidt de enkelte konstruktioner har givet et bedre resultat end den passive strategi benchmarket vil følge. Efter endt analyse, skulle der gerne tegne sig et billede af teoriens anvendelighed i praksis. Ud fra overstående gennemgang af teori samt den efterfølgende empiriske analyse har opgaven til formål at besvare følgende hovedspørgsmål. Hvordan sammensættes en efficient portefølje ud fra Markowitzs porteføljeteori? Hvilken indflydelse har variansen samt kovarianserne? Hvordan udledes den efficiente rand? Skal analyserne bygge på dags- eller ugedata for at få en så efficient sammensætning som muligt? Hvordan ændres det bagvedliggende datamateriale undervejs i en krise, bliver det tilpasset? Stiger kovarianserne når aktiemarkedet går ned, og i givet fald hvilken betydning får dette? Er det muligt ved hjælp af kortsalg af aktier at udnytte et kriseramt marked? Er en portefølje sammensætninger med tidsvægtede varianser bedre end gennemsnitsvarianserne til at klare krisetider? Er Markowitz porteføljeteori stadig brugbar efter den seneste krise? 1.2. Afgrænsning Selve den finansielle krise vil blive afgrænset til at udgøre 28 for denne opgave, men der vil blive brugt datamateriale tilbage fra 2 til at beregne de forventede afkast, risiko samt korrelation mellem de enkelte aktiver. Ved beregning af de enkelte investeringsmuligheders afkast, vil der ikke blive taget højde for handelsomkostninger, samt skattemæssige forhold for den opnåede gevinst eller tab. 3

9 Problemformulering Der vil ikke være nogle forudbestemte hvor mange aktier og obligationer der skal være i den samlede portefølje, da det er et af hovedformålene at finde ud af om denne sammensætning ændres gennem krisen Metodevalg For at besvare spørgsmålet omkring sammensætningen af en portefølje vil der blive taget udgangspunkt i Markowitz oprindelige teori fra Til at teste datamaterialet for om det følger en normalfordeling, vil der blive foretaget test i Eviews omkring skævhed, topstejlhed, hvorefter disse værdier vil blive fuldt op af en Jarque-Bara test, for at kunne konkludere hvorvidt efterfølgende sammensætninger skal baseres på dags- eller ugedata. Udregningerne af de enkelte porteføljers sammensætning vil ske i Excel vha. solveren. For at skabe en model der foretager alle beregninger på en gang, således at solveren ikke skal ændres for at finde de enkelte elementer i porteføljen, vil der blive lavet en VBA 2 makro der kan beregne de enkelte porteføljekarakteristika. Hvorefter der ligeledes vil blive undersøgt hvordan disse nøgletal har udviklet sig gennem tiden og hvilken indvirkning det har på porteføljesammensætningerne. For at undersøge hvordan Markowitz portefølje teori klarede sig gennem finanskrisen, vil der blive sammensat en ny portefølje primo hver måned gennem 28. Disse konstruktioner bliver lavet for både minimumvarians porteføljerne og tangentporteføljerne, med og uden kortsalg. Der vil derefter blive udført en performancetest, for at se hvordan de enkelte sammensætninger har klaret sig. Til denne performancetest vil der blive brugt Sharps ratio, Treynor og Jensens indeks, for ud fra disse værdier at konkluderer hvorvidt porteføljerne har klaret sig bedre end benchmarket. For at kunne skabe en statistisk sikkerhed vil Jensen alpha også blive estimeret i Eviews. Fremgangsmåden for de tidsvægtede varianser, vil følge samme struktur som ved mean-variance, for at skabe mest muligt struktur og gennemskuelighed gennem opgaven. Efter ovennævnt analyse skulle der gerne tegne sig et billede af hvorvidt Markowitz porteføljeteori har sit værd i fremtiden. 2 VBA er et programmeringssprog der anvendes til at automatisere ofte anvendte fremgangsmåder og processer. 4

10 Markowitz mean-variance portefølje teori 2. Markowitz mean-variance portefølje teori Dette afsnit har til formål at gennemgå de enkelte elementer i Markowitz porteføljeteori, for at skabe forståelse for de bagvedliggende elementer i den efterfølgende analyse af teorien Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv En portefølje er en sammensætning af flere aktiver, sammensætningen sker bl.a. på baggrund af de enkelte aktivers gennemsnitlige afkast samt risiko. I finansiel litteratur bliver der skelnet mellem to måder hvorpå afkastet kan beregnes, den geometriske- og den aritmetiske metode, også kendt som kontinuert og diskret. Den mest intuitive er den aritmetiske metode, der beregnes ved blot at finde den procentvise forskel mellem to aktiekurser. Da portefølje teorien er opbygget ud fra en analyse over flere tidsperioder vil det være mest fordelagtigt at benytte den geometriske metode hertil. Der er dog små afvigelser i resultaterne, det geometriske afkast resultere i mindre afkast, men disse afvigelser er som regel ikke så store. 3 Ligeledes tager den geometriske højde for rentes rente således at det er muligt at ligge en række logaritmiske afkast sammen og på den måde se hvordan udviklingen har været gennem en given periode. Det geometriske afkast beregnes som følgende: 4 R A = ln 1 + Y t Y t 1 Y t 1 = ln Y t Y t 1 [2.1] Såfremt der ønskes at tages højde for udbetaling af dividender i løbet af perioden, tilføjes disse på følgende måde, således det samlede afkast kan beregnes som følgende: 5 R A = ln Y t + Div t Y t 1 [2.2] 3 (Benninga, Czaczkes 2, s. 149) 4 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997) 5 (Benninga, Czaczkes 2, s. 132) 5

11 Markowitz mean-variance portefølje teori Den risiko der er forbundet med det enkelte aktiv, er de udsving der har været i forhold til middelværdien for det givne aktiv. Sådanne udsving beregnes ved hjælp af enten varians eller standard afvigelsen. Variansen kan dog være svær at fortolke på, så derfor kan standartafvigelsen med fordel udregnes, der er den kvadrerede værdi af variansen. Standart afvigelsen kan beregnes på følgende må: 6 σ r i = 1 M M t=1 r it E r i 2 [2.3] Hvor E(r i ) angiver middelværdien for aktiv i gennem hele perioden og r it angiver afkastet for aktiv i gennem periode t. Problemet ved at udregne risiko på baggrund af standart afvigelser er at der implicit antages at investor er ligeså interesseret i tab som gevinst, hvilket modsiger alt fornuft, da det vides at en investor er glad for uventet ekstraafkast, men derimod bliver betænkelig efter uventet tab Kovarians og korrelation Ud over det enkelte aktivs risiko, tager Markowitz porteføljeteori også højde for de enkelte aktivers indbyrdes korrelation. Netop inddragelsen af denne dimension betyder, at en portefølje kan have en lavere risiko end aktivet med den laveste risiko. Dette kan lade sig gøre ved at sammensætte en porteføljen af aktiver der ikke svinger sammen, således at der udnyttes at nogle aktiver har modsatvirkende afkast, så det på denne måde er muligt at eliminere dele af risikoen Kovarians Den samlede porteføljes risiko bliver bl.a. beregnet på baggrund af kovariansen mellem de enkelte aktiver. Kovariansen mellem de enkelte aktiver er et udtryk for hvordan afkastet for aktiverne svinger med hinanden, det er f.eks. ikke utænkeligt at går det godt for en aktie i en given branche, vil dette påvirke de øvrige aktier i samme branche. 6 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 22) 7 (Sumnicht 29) 6

12 Markowitz mean-variance portefølje teori Kovariansen mellem to aktiver kan udregnes på følgende måde: 8 σ r ik = 1 M M t=1 r it μ i (r kt μ k ) [2.4] Ud fra ovenstående ses der at kovariansen kan antage en værdi mellem - og. Hvis begge aktiver afviger enten positivt eller negativt fra middelværdien er det muligt at opnå en positiv kovarians, men hvis den ene afviger negativt fra middelværdien vil kovariansen være negativ Korrelation koefficienter Kovarianserne har dog deres svagheder, da de kan være svære at fortolke, det kan f.eks. være svært at bedømme hvorvidt en kovarians på 4 mellem aktiv i og k er ensbetydende med at de svinger sammen i høj grad, eller kun i et vist omfang. Det er derfor rent fortolkningsmæssigt en fordel at omregne kovariansen til korrelation koefficienter, da disse antager en værdi mellem -1 og 1. Korrelation koefficienterne mellem to aktiver udregnes som følgende: 9 ρ ik = σ ik σ i σ k [2.5] Som det ses i [2.5] er korrelations koefficienterne, kovariansen delt med produktet af de to aktivers standart afvigelser. Der kan opstilles følgende sammenhæng mellem korrelations koefficienterne: < ik < 1 = Aktiverne korrelerer positivt med hinanden ik = = Aktiverne korrelerer ikke med hinanden -1 < ik < = Aktiverne korrelerer negativt med hinanden Med udgangspunkt i to aktiver vil det blive udledt matematisk hvordan graden af overstående korrelationer vil påvirke porteføljens risiko. Korrelation ρ ik = 1 Hvis to aktiver har en korrelations koefficient på +1 siges der at, de to aktiver korrelere perfekt med hinanden, således at hvis aktiv 1 stiger vil aktiv stige ligeså meget. Det vil medføre at en porteføljes risiko, bestående af 2 aktiver, kan beregnes på følgende måde: 8 (Benninga, Czaczkes 2 s. 133) 9 (Elton 23, s. 54) 7

13 Markowitz mean-variance portefølje teori 1. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k ρ ik σ i σ k 2. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k σ i σ k 3. σ p 2 = x i σ i + x k σ k 2 4. σ P = x i σ i + x k σ k Det ses således at hvis aktiverne korrelere perfekt, vil porteføljens risiko være en vægtning af de enkelte aktivers risiko, dette vil også samtidig medføre at, det ikke er muligt at reducere den samlede risiko på porteføljen ved inddragelse af flere aktiver, forudsat de også er perfekt korreleret. Der er dog den undtagelse at der ved brug af kortsalg er muligt at nedbringe risikoen, såfremt to aktiver korrelere perfekt og den ene købes mens den anden kortsælges i lige store andele. Korrelation ρ ik = I den efterfølgende matematisk udledning tages der udgangspunkt i en porteføljes risiko med to aktiver, der efterfølgende udvides til M antal aktiver. Det antages at de enkelte vægte og risiko er ens for aktiverne. 1. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k ρ ik σ i σ k 2. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x m 2 σ m 2 3. σ p 2 = 1 M 2 σi M 2 σk M 2 σm 2 4. σ p 2 = M 1 M 2 σ 2 5. σ p 2 = M M 2 σ2 = σ 2 M 6. σ p = σ M Det ses herved at ved en korrelation lig nul, vil det være muligt at nedbringe risikoen ved at øge antallet af aktiver i porteføljen. Denne effekt er dog aftagende, således at effekten er størst ved inddragelsen af de første aktiver. 8

14 Markowitz mean-variance portefølje teori Korrelation ρ ik = 1 Såfremt korrelations koefficienten skulle være -1, siges det at aktiverne er perfekt negativ korreleret. Dette betyder at risikoen kan elimineres på følgende måde: 1. σ p 2 = x i 2 σ i 2 + x k 2 σ k x i x k ρ ik σ i σ k 2. σ 2 p = x 2 i σ 2 i + x 2 k σ 2 k 2 x i x k σ r i σ r k 3. σ 2 p = x i σ i x k σ 2 k 4. σ p = (x i σ i x k σ k ) Det ses således at det er muligt at bortdiversificere porteføljens risiko, såfremt følgende op opfyldt: 5. x i σ i x k σ k = 6. x i σ i = x k σ k 7. x i x k = σ k σ i 8. x i = σ k x k σ i x k = σ i x i σ k Hvis ovenstående porteføljevægte indsættes i sætning 5, fremkommer følgende: 9a. x i σ i x k σ j = σ k x k σ i σ i x k σ k = 9b. x i σ i x k σ k = x i σ i σ i x i σ k σ k = Det ses således ved perfekt negativ korrelation er det muligt at eliminere risikoen, såfremt at sætning 7 er opfyldt. Skulle dette ikke være tilfældet vil der stadig være opnået en væsentlig risikoreduktion. For at anskueliggøre sammenhængen mellem risiko og korrelation ses det nedenfor i figur 2.1, tydeligt at des højere korrelationskoefficienten er jo ringere er muligheden for at nedbringe den samlede risiko. 9

15 Markowitz mean-variance portefølje teori Figur 2.1, Forhold mellem afkast og risiko ved forskellige korrelationer Afkast Korrelation 1 = 115 Korrelation 2 = -125 Korrelation 3 = 35 4 Risiko Kilde: egen tilvirkning Det ses derfor tydelige hvordan risikoreduktionen er størst jo mere korrelationen afviger fra perfekt korrelation Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje Det samlede afkast for en portefølje bestående af flere aktiver, kan beregnes på følgende måde, ud fra de individuelle afkast på aktiverne: 1 E r p = M i=1 x i E r i [2.6] Hvor E(r p ) angiver porteføljens samlede afkast og M antallet af aktiver i porteføljen. Det ses at en porteføljes afkast, er det vægtede gennemsnit af de forventede afkast for de enkelte aktiver. Hvis de enkelte aktiver er fordelt med samme vægt i porteføljen kan x i med fordel erstattes med 1/M. Hvor porteføljens afkast var et vægtet gennemsnit, er variansen dog mere kompleks en det vægtede gennemsnit af de enkelte aktivers varians. Dette skyldes at der skal tages højde for korrelationen mellem de enkelte aktiver. Således at porteføljens varians kan udregnes som følgende: 11 M σ p 2 = x i 2 σ i 2 + i=1 M i=1 M k=1 k j (x i x k σ jk ) [2.7] 1 (Haugen 1997, s. 7) 11 (Elton 23, s. 57) 1

16 Markowitz mean-variance portefølje teori 2.4. Diversifikation Når der tales om diversifikation betyder det blot at der bliver investeret i flere aktiver, således at risikoen nedsættes. Det er i den forbindelse vigtigt at skelne mellem to former for risiko, den usystematiske og den systematiske risiko, da det kun er muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, se figur 2.2 nedenfor. Figur 2.2, Illustration af usystematisk og systematisk risiko σ 2 (r p ) Usystematisk risiko Systematisk risiko Kilde: Egen tilvirkning Antal aktiver Systematisk risiko Den systematiske risiko opstår som følge af den generelle usikkerhed der er i økonomien, denne risiko kaldes også for markedsrisiko. 12 I og med denne risiko ikke kun dækker over et enkelt aktiv, men hele markedet, er det ikke muligt at bortdiversificere denne risiko ved inddragelse af flere aktiver. Der er dog den mulighed for at mindske den ved at investere globalt i stedet for nationalt. Dette skyldes at hvad der er systematisk risiko i det ene land, påvirker ikke nødvendigvis et andet land, således at det på den måde er muligt at bortdiversificerer yderligere risiko. 13 Det er også under denne kategori finanskrisen tilhører, da den er udslaget af den generelle usikkerhed der forefindes i verdensøkonomien. Denne risiko har senere vist sig ikke være mulig at bortdiversificere da krisen har haft mærkbar effekt verden over, således den ikke ville kunne nedsættes vha. en international portefølje. Netop at krisen indgår i den systematiske del af risikoen gør også det ikke er muligt at sikre sig mod finanskrisens risiko ved at have en veldiversificeret portefølje af aktier. Det der derimod er muligt vha. Markowitz er at den gerne skulle give aktierne en mindre 12 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 3) 13 (Moffett, Eiteman & Stonehill 29 s. 455) 11

17 Markowitz mean-variance portefølje teori andel af porteføljen således at f.eks. statsobligationer udgør langt størstedelen, da disse ikke er udsat for samme markedsrisiko som aktierne Usystematisk risiko Den usystematiske risiko opstår som følge af den risiko der er ved investering i det enkelte aktiv. Det er vigtigt at huske på at en investor ikke modtager nogen belønning for den usystematiske risiko. Denne form for risiko er derved specifik for det enkelte aktiv, og afhænger bl.a. af branchen aktiven befinder sig i. Det at den usystematiske risiko kan nedsættes kan illustreres ud fra porteføljens samlede risiko med den antagelse at korrelationen mellem aktiverne er lig nul. 1. σ p = σ M Det ses således at ved inddragelsen af flere aktiver at den samlede porteføljes risiko nedsættes, dog er effekten af inddragelsen af flere aktiver størst ved de første, grundet kvadratroden Den efficiente Rand Den efficiente rand er sammensat således at den dækker over de kombinationsmuligheder, der foreligger ud fra de mulige aktiver, der ved et givet afkast giver den laveste risikoen. I den efficiente rands vendepunkt findes minimums varians porteføljen (MVP), det er den kombinations mulighed hvor den laveste risiko forefindes. Alle de kombinationsmuligheder der findes der har et lavere afkast end MVP vil ikke indgå i den efficiente rand da der findes en kombinationsmulighed der giver et højere afkast med den samme risiko, se figur 2.3. Figur 2.3, Illustration af den efficiente og kritiske rand samt MVP Afkast,1,8,6,4, Risiko Efficiente rand Kritiske rand MVP 1 Kilde: Egen tilvirkning 12

18 Markowitz mean-variance portefølje teori Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder Rent praktisk udregnes en masse porteføljer der ligger på den efficiente rand, for at kunne illustrere randen. Ved sammensætning af den efficiente rand uden at tage højde for muligheden for at kortsalg, foregå på følgende måde ved at minimere variansen: Under følgende betingelser: M σ p 2 = x i 2 σ i 2 + i=1 M i=1 M k=1 k j (x i x k σ jk ) N 1. x i = 1 i=1 N 2. x i r i = r p i=1 3. x i, i = 1,. N Betingelse 1 sørger for at summen af de enkelte vægte for aktiverne i porteføljen giver 1, sammen med betingelse 3 der gør at vægtene af de enkelte aktiver ikke er negative, og derved gør at det ikke er muligt at foretage kortsalg. Betingelse 2 har til formål at minimere variansen for porteføljen ud fra et givet konstantafkast. Konstantafkastet ændres i takt med de forskellige porteføljer udregnes så den efficiente rand dannes. Dette kan nemt løses i Excel vha. af solveren ved at indtaste de ovenstående betingelser, for at minimere variansen Minimums varians porteføljen Grunden til at MVP netop er så interessant, er at det er den kombinationsmulighed hvorved den laveste risiko forefindes. Intuitivt ville et sådan punkt udgøre det aktiv med den laveste risiko, men dette er ikke tilfældet, da de enkelte aktiers korrelation imellem kan give en mulighed for at sammensætte en portefølje, der har en lavere varians end aktivet med den laveste varians. Ved beregningen af MVP vil der ikke blive taget højde for de enkelte aktivers afkast, da denne kombination kun har for øje at skulle have den mindste varians ved at minimere [2.7] 13

19 Markowitz mean-variance portefølje teori Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv I det foregående blev den efficiente rand bestemt ud fra den antagelse, at det kun er muligt at investere i risikofyldte aktiver, såsom aktier. Da det ikke er sikkert at en investor udelukkende vælger at placere alle sine midler i risikofyldte aktiver, må modellen naturligvis også tage højde for dette. Kombinationsmulighederne mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje vil danne en lineær sammenhæng kaldet kapitalmarkedslinien, se figur 2.4. Figur 2.4, Den efficiente rand med kapitalmarkedslinien Kilde: Egen tilvirkning Det forventede afkast for en sådan kombination kan udregnes på følgende måde: 14 E r c = 1 x p r RF + x p r p [2.8] Hvor x p angiver andelen der investeres i den risikofyldte portefølje, samt r p er det afkast den risikofyldte portefølje kan genererer. Ligeledes kan risikoen udregnes på følgende måde σ r c = 1 x 2 p σ 2 RF + x 2 p σ 2 p + 2 x p 1 x p σ RF σ p ρ RFP [2.9] = x p σ p 14 (Elton 23 s. 85) 14

20 Markowitz mean-variance portefølje teori Det ses at udregningen af risikoen kan forkortes ned, således at det bliver andelen af den risikofyldte portefølje gange dennes risiko. Dette skyldes at der udnyttes at det risikofrie aktiv har en risiko på nul, samt at kovariansen mellem de to aktiver er lig nul Kapitalmarkedslinien Den lineære sammenhæng mellem de to muligheder kan beskrives ved at substituere [2.8] ind i [2.9] således følgende udtryk fremkommer: 15 E r c = r RF + r p r RF σ P σ C [2.1] Det ses at kapitalmarkedslinien [2.1] består af to dele, en konstant, den risikofrie rente, samt en hældningskoefficient der er udtryk for risikopræmien per risikoenhed multipliceret med den kombinerede risiko, også kaldet Reward-to-Variability ratioen (RtV). Hældningskoefficienten er også kendt som Sharpes ratio, dette performancemål vil blive benyttet senere under performance da den forklare risikopræmien pr risikoenhed en investor modtager. Hældningskoefficienten findes ved den kombinationsmulighed på den efficiente rand med den højeste Sharpe ratio. Såfremt at investoren skulle have mulighed for at låne til den risikofrie rente, og placere de lånte midler i den risikofrie portefølje, ville denne have mulighed for at geare sin investering Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder Kortsalg går i al sin enkelthed ud på at en investor låner et aktivt af en anden, med den overbevisning om at aktivets værdi vil falde i den kommende periode, hvor aktivet er lånt. Investoren sælger aktivet for så senere at købe det tilbage igen, for at overdrage det tilbage igen. Hvis der udbetales dividender i perioden aktivet er lånt, skal der ske betaling til vedkommende det er lån fra. 16 Rent praktisk foregår sammensætningen af porteføljer på samme måde som ved sammensætninger uden kortsalg, dog fjernes restriktionen om at de enkelte vægte skal være positive Delkonklusion Der er i dette afsnit gennemgået hvorledes det er muligt at sammensætte den mest efficiente portefølje ud fra Markowitz porteføljeteori. Det grundlæggende er at finde de enkelte aktivers gennemsnitlige afkast, hvor det geometriske var det bedste samt mest praktiske til at beskrive afkastet. Ud 15 (Elton 23 s. 86) 16 (Haugen 1997 s. 69) 15

21 Markowitz mean-variance portefølje teori fra dette kunne de enkelte aktivers risiko, samt korrelation udregnes. Således at der ud fra disse tre nøgletal er muligt at maksimere en sammensætnings afkast for en given risiko. 16

22 Dataanalyse 3. Dataanalyse Dette kapitel har til formål at præsentere de enkelte elementer der indgår i datamaterialet der vil blive brugt til at fremstille de enkelte porteføljer. Derudover vil data sættet blive testet for om hvorvidt efterfølgende konstruktioner skal sammensættes på baggrund af dags eller ugedata, alt afhængig af hvilken serie der opfylder betingelsen om normalfordeling bedst Datagrundlag Dette afsnit vil både omhandle det bagvedliggende valg af datamateriale til sammensætning af de enkelte porteføljer, samt en beskrivelse af det benchmark der vil blive benyttet i performance afsnittet Datamateriale til porteføljekonstruktion Selve datamaterialet vil indeholde to former for aktiver, aktier og obligationer. De aktier der indgår, er de aktier der har været med i C2-indekset gennem perioden til Aktier der har været en del af indekset, men ikke har været med gennem hele perioden er blevet fravalgt. Det er således blevet til 16 aktier der overholder kravet, se tabel 3.1. Derudover indgår der 3 obligationer, valget er faldet på danske statsobligationer for at eliminere kreditrisikoen. Tabel 3.1 Oversigt over datamaterialet Carlsberg Danisco Danske Bank DSV FLSmidth Lundbeck Jyske Bank Maersk A Kilde: Egen tilvirkning Aktier Maersk B NKT Norden Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant Obligationer 2 års statsobligation indeks 5 års statsobligation indeks 1 års statsobligation indeks Grunden til at dataperioden er så lang, er for at sikre markedet har gennemgået mindst en cyklus gennem perioden, således at materialet både indeholder op samt nedture i markedet, jf. figur

23 Dataanalyse Figur 3.1, Afkast serie for C2 indekset Kilde: Egen tilvirkning Ved at benytte historiske data der strækker sig så langt tilbage er det muligt at sikre en efficient porteføljekonstruktion, jf. (Elton 23 s. 9). Der er dog den forudsætning at dataet ikke ændres væsentlig over tid, således at der benyttes stationært data. Dette kan måske vise sig at være et problem, der er derfor der bliver testet for hvorvidt datamaterialet er normalfordelt i de efterfølgende afsnit Afkastserie for aktier Afkastet for aktierne er beregnet ud fra et return index fra Datastream der tager højde for dividende udbetalinger i løbet af perioden. For at tage højde for dividende udbetalinger er der den forudsætning at dividende udbetalingerne geninvesteres i samme aktiv. Således at indekset kan beregnes på følgende måde: 17 RI t = RI t 1 PI t PI t DY t 1 1 N [3.1] Hvor RI t er return indekset dag t, PI t pris indekset for dag t, DY t er dividenden i % dag t og N er antal handelsdage i løbet af året, hvilket er sat til 26 dage. Herefter beregnes afkastet ved hjælp af [2.1], der giver den logaritmiske ændring i indekset Den risikofrie rente Da den risikofrie rente er af ren teoretisk karakter, hvor der er et sikkert og forudsigeligt afkast. 18 Hertil benyttes renten på 1 års statsobligation. Renten vil blive omregnet således at den passer til 17 Datastream 18 (Bodie, Merton 2 s. 323) 18

24 Dataanalyse selve porteføljekonstruktionen. Således at hvis der benyttes ugedata, vil renten også blive beregnet ud fra et ugentligt afkast Benchmark Til de senere performance test vil der blive konstrueret et benchmark bestående af 4 % aktier og 6 % obligationer. For at simplificere benchmarket så meget som muligt, vil C2-indekset udgøre aktierne og indekset for den 1 årige statsobligation udgøre obligationsdelen Test af normalfordeling Følgende test har dels til formål at finde ud af om hvorvidt porteføljekonstruktionen skal konstrueres ud fra afkastet af dags- eller ugedata. Da Markowitz porteføljeteori bygger på forudsætningen om normalfordeling vil der blive set på både skævheden samt kurtosis der undersøge topstejlheden. Disse to test vil blive opfuldt af Jarque-Bera test, hvor både skævhed samt kurtosis indgår i vurderingen om hvorvidt afkastene følger en normalfordeling Skewness Skævhed er et udtryk for om hvorvidt middelværdien afviger fra medianen, hvilket vil sige om fordelingen kan betragtes som symmetrisk. Ved eksempelvis en højreskæv fordeling vil middelværdien være større end medianen, dette vil resultere i en positiv testværdi, og omvendt ved en venstreskæv fordeling. Skævheden han beregnes på følgende måde: 19 S = 1 N N i=1 μ μ σ 3 [3.2] Kurtosis Ved at teste for kurtosis testes der for om afkastet centrere sig om middelværdien eller om fordelingen har flade haler. Ved en forholdsvis høj kurtosis fremkommer der fede haler, hvilket vil sige der er flere ekstreme værdier i forhold til en normalfordeling. 19 Eviews User Guide 19

25 Dataanalyse Kurtosis beregnes på følgende måde: 2 K = 1 N N i=1 μ μ σ 4 [3.3] Hvis afkastserien har en kurtosis der ligger over 3, kaldes denne fordeling for leptokurtisk, hvilket gør at fordelingen netop har større sandsynlighed for fede haler Jarque-Bara test Til at samle de to test om skævhed samt kurtosis benyttes Jarque-Bara testen, der samler de to test i en, for at kunne konkludere hvorvidt afkastserien følger en normalfordeling. Jarque-Bara testen kan udregnes på følgende måde: 22 Jarque Bara = N 6 S2 + (K 3)2 4 [3.4] Hvor S er skævheden og K kurtosis. Jarque-Bara værdien skal vurderes ud fra en χ 2 fordeling med 2 frihedsgrader. Det giver følgende hypotese ved testen: H : H 1 : Afkastet følger en normalfordeling Afkastet følger ikke en normalfordeling Nul-hupotesen forkastes såfremt at Jarque-Bara værdien er højere end 5,99 ved et konfidensniveau på 5 % Test af datamateriale for normalfordeling For at finde ud af hvorvidt det datamateriale der skal ligge til grund for fremtidige porteføljekonstruktioner skal baseres på dags eller uge data, er de to datamaterialers logaritmiske afkast blevet analyseret ud fra de tre føromtalte test og samlet i tabel 3.2. Det ses tydeligt ud fra tabellen at der er problemer ved begge afkastserier, et af de tydeligste problemer er at der ikke er en eneste afkastserie, hverken på dags eller ugebassis, der lever op til den føromtalte kritiske værdi på 5,99 for en χ 2 fordeling, H hypotesen om normalfordeling kan derfor forkastes. 2 Eviews User Guide 21 (Verbeek 24 s. 4) 22 Eviews User Guide 2

26 Dataanalyse Tabel 3.2 Oversigt over normalfordelingstesten Dagsdata Ugedata til til til Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB Carlsberg -,615 11, ,1 -,468 13, ,8 -,834 1, ,4 Danisco -,372 1, ,4,18 8, ,1 -,699 1,7 1.1,7 Danske Bank,34 7,31 1.1,2 -,734 14, ,8-2,463 24, ,7 DSV -,297 6,9 846,9,66 1, ,2 -,227 6,68 268,6 FLSmidth,165 9, ,6 -,89 7,71 963,6 -,489 6,48 255,6 Lundbeck -1,68 14, ,7 -,332 13, ,1 -,785 8,7 683,7 Jyske Bank,298 8, ,2 -,797 9, ,9-1,453 1, ,9 Maersk A,81 1, ,8 -,289 9, ,9 -,21 5,79 152,3 Maersk B,879 14, ,8 -,349 9, ,5,4 4,76 6,6 NKT,952 11, ,1 -,638 9, ,7,867 11, ,8 Norden 1,558 14, ,5 -,679 8, ,6,326 9,96 955, Novo Nordisk -,637 16, ,9,34 8, ,8 -,873 8,32 611,8 Sydbank , ,9-1,291 19, ,3-3,689 36, ,1 Topdanmark -,217 7,3 1.14,4,33 9, ,1,57 7,12 332,5 Vestas,132 2, ,2 -,285 11, ,4 -,699 8,58 646,9 William Demant -,47 11, ,9 -,554 14,4 5.74,1,227 7,84 461,9 2 års stats obl. -,648 6,48 749,6 -,378 13, ,7 -,85 6,29 242,6 5 års stat obl. -,554 4,99 283,7,829 21, ,9 -,168 4,86 79,9 1 års stat obl. -,631 4,39 191,5,236 7,59 924,2 -,211 4,36 44,9 Anm.: Da der i studenterudgaven af Eviews er lagt begrænsninger på hvor mange observationer der må in d- gå i en serie er analysen for dagsdata opdelt i to perioder. Kilde: Egen tilvirkning, beregningen er foretaget i Eviews, vedlagt i bilag 1 Selv om der ikke er nogle af ovenstående afkastserier der kan betragtes som normalfordelt, er der ingen tvivl om at ugedata er bedre end dagsdata. Dette ses ved at så godt som alle Jarque-Bara værdier er lavere end tilsvarende værdier for dagsdata. Problemerne med normalfordeling skyldes til dels at afkastserierne har meget høje kurtosis værdier, der betyder at der er en tendens til fede haler, altså ekstreme værdier forekommer. Dette sammenholdt med at langt de fleste afkast serier har problemer med skævhed, gør at de ikke følger en normalfordeling. Tages der f.eks. udgangspunkt i Sydbank, der har problemer med at afkast serien er yderst skævt fordel, hvilket føre til at også kurtosis bliver meget høj, pga. der er nogle ekstrem negative afkast. 21

27 Dataanalyse Dette bevirker også at når det gennemsnitlige afkast udregnes vil denne værdi være højere end medianen. Intuitivt vil en investor foretrække en højreskæv aktie frem for en venstreskæv, da der forekommer færre værdier der afviger negativt i forhold til middelværdien. Dette er der dog ikke i Markowitz model mulighed for at tage hensyn til fordelingens skævhed. Ud fra ovenstående analyse konkluderes der at der er store problemer med normalfordelingen, men afkastserier baseret på ugedata har en fordeling der er mere normalfordelt end dagsdata. Der vil derfor blive benyttet ugedata til at konstruere de fremtidige porteføljer, samt performance analyse. Da der er en klar forudsætningsbrud på normalfordelingen, kan der stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt de efterfølgende porteføljekonstruktioner er retvisende. 22

28 Porteføljesammensætning mean-variance 4. Porteføljesammensætning med mean-variance Efter at have gennemgået den teoretiske del, samt analyseret datagrundlaget der ligger til grund for porteføljesammensætning, vil der i dette afsnit blive konstrueret porteføljer ud fra Markowitz klassiske teori med mean-variance. Det vil indledningsvist blive undersøgt hvordan de enkelte værdier der ligger til grund for porteføljesammensætningen, afkast, risiko samt kovarians, har udviklet sig gennem 28. Hvorefter der vil blive sammensat porteføljer for hver måned gennem 28, for at se hvordan sammensætningen har udviklet sig gennem finanskrisen. Dette vil ske både med restriktion om kortsalg, men også uden for at se om det har været muligt at udnytte kortsalg gennem krisen til at skabe et merafkast. Til slut vil de enkelte porteføljers performance blive evalueret ud fra det sammensatte benchmark. Selve performance analysen har til formål at undersøge hvorvidt Markowitz porteføljeteori har kunne genererer et bedre afkast end et simpelt benchmark Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Overordnet set var 28 et meget dårligt aktieår, grundet de voldsomme fald finanskrisen medførte i den sidste del af året, jf. figur 4.1. I det efterfølgende vil der blive analyseret hvordan dette fald har påvirket de bagvedliggende værdier, til beregning af porteføljesammensætning. Figur 4.1, Graf over afkast-index for C2 indekset, år januar april juli oktober Kilde: engen tilvirkning Udvikling i afkastserien Spørgsmålet er hvordan udsvingene i aktiekurserne kommer til udtryk i porteføljekonstruktionen, her tænkes specielt på de meget ekstreme fald der skete i det sidste kvartal af 28. Derfor er de 23

29 Porteføljesammensætning mean-variance værdier der indgår til porteføljesammensætning samt de reelle værdier blevet samlet i bilag 2, hvor de efterfølgende konklusioner er truffet på baggrund af disse beregninger. Ud fra bilaget ses det at de beregnede afkast, som porteføljekonstruktioner er blivet sammensat på baggrund af, er faldet i takt med at indekset også har tabt værdi. Men forskellen på de beregnede og reelle værdier stiger markant hen over det sidste kvartal i 28. Derfor er det blevet en kendsgerning at de voldsomme kursfald har forplantet sig i det store datamateriale, således at de benyttede afkast ligger væsentlig over det reelle afkast, og dermed ikke er retvisende. Dette er også i forlængelse af at der jf. (Elton 23) skulle benyttes historisk data lang tid tilbage for at sikre at porteføljesammensætningen blev så efficient som muligt. Dette var netop for at sikre at dataene var stationære, og at ekstreme udfald ikke ville påvirke billedet i det lange løb. Det er også ifølge (Elton 23) muligt at der bliver justeret på afkastene så de bedre matcher investors forventninger til fremtiden. Dette ville også være muligt at gøre her, men da det ikke er en del af Markowitz teori, vil det ikke blive forsøgt at ændre datamaterialet således at det er stemmer bedre overens med de reelle værdier. Dette sker til dels pga. det kan være svært at spå om hvordan de fremtidige afkast vil se ud, men vigtigst af alt at det ikke var en del af den oprindelige teori. Et af problemerne med at de voldsomme kursfald har forplantet sig i datamaterialet er at det på det på kort sigt kan komme til at koste investoren dyrt, da afkastene ligger langt fra de realiserede afkast. Det gennemsnitlige afkast for samtlige aktier er positivt i starten af 28, men de ekstreme udsving der har været i afkastet har gjort at Maersk og Carlsberg levere et negativt afkast i november og december måned. Men det er samtidigt opsigtsvækkende at det gennemsnitlige afkast for Maersk har ligget på niveau med de 3 statsobligationer, således at aktien ikke har kunnet generere et merafakst svarende til den ekstra risiko en investor har ved en Maersk aktie. Den aktie der performer bedst på afkastsiden er uden tvivl Norden, den ligger gennemsnitlig med et afkast der er dobbelt så højt som den nærmeste, NKT uden at tage hensyn til den medfølgende risiko. Det skal dog også bemærkes at det har været de to aktier, der har været de største afvigelser på gennem perioden, mellem de anvendte værdier og de reelle værdier Udviklingen af standart afvigelserne Nu er det ikke kun afkastet der har betydning for porteføljesammensætningen, men i stor grad også hvordan risikoen er for de enkelte aktiver og imellem. Det blev i foregående afsnit konkluderet at det store kursfald ikke blev voldsomt synligt i datamaterialet, grundet dets omfang. Det samme er 24

30 Porteføljesammensætning mean-variance gældende for standart afvigelserne, de ligger mere eller mindre stabilt gennem hele perioden. 23 De stiger dog en smule mod slutningen af 28, dette skyldes naturligvis de voldsomme udsving der har været i afkastet mod slutningen af 28. Ved sammenligning af standart afvigelserne mellem aktier og obligationer ses det meget tydeligt at der ikke er samme risiko ved at investere i obligationer, frem for aktier. Dette forhold skal ses i lyset af det laver afkast obligationerne generere i forhold til aktierne. Således at der er meget god sammenhæng mellem risiko og afkast. Vestas ligger med den klart højeste standart afvigelse gennem hele perioden, denne høje standart afvigelse skylde de ekstreme udsving der er i afkastserien gennem hele perioden for datamaterialet, dette ses specielt i 28, jf. figur 4.2. Figur 4.2, Afkast serie for Vestas Kilde: egen tilvirkning i Eviews Disse ekstreme udsving kan medføre at der forekommer heteroskedasticitet, hvilket bevirker at de udregnede standart afvigelserne ikke giver et retvisende billede for de reelle standart afvigelser. At standart afvigelserne ikke giver er retvisende billede, får også betydning for udregningen af den efficiente rand, hvilket gør at de beregnede MVP og tangentporteføljer måske ikke er de korrekte. Således at en investor i givet fald vil påtage sig en højere eller lavere risiko, end det forventede ved sammensætningen af disse porteføljer. 23 Se bilag 2 25

31 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance De tre bankaktier i C2 indekset, Danske Bank, Jyske Bank samt Sydbank har været nogle af de aktier der har været hårdest ramt af krisen i slutningen af 28. De oplevede alle meget store kursfald, hvilket giver anledning til en stigende standart afvigelser, men som alle de andre aktier er de beregnede standart afvigelserne ikke retvisende, således at det kan se ud som om at en investor ikke vil løbe en så stor risiko ved investeringen af disse aktier, som der reelt set er Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne Korrelationenen mellem de enkelte aktiver er i samspil med de enkelte standart afvigelser med til at give det overordnede billede af den risiko en investor løber ved investeringen i en given portefølje, da den rette kovarians mellem aktiver kan være med til at nedsætte den samlede risiko, vha. diversifikation. For at bortdiversificerer så meget risiko som muligt, skal korrelationskoefficienterne være tætte på nul eller negative. For simplificeringens skyld vil der i dette afsnit kun blive set på korrelationskoefficienterne, da kovarianserne som tidligere nævnt kan være svære at fortolke Korrelation for obligationerne Overordnet ses der at korrelationen obligationerne imellem er meget stor, der forekommer næsten perfekt positiv korrelation, jf. tabel 4.1. Dette gør at det ikke er muligt at nedsætte porteføljens risiko synderligt ved inddragelse af flere obligationer, men dette gælder kun for porteføljekonstruktioner uden kortsalg. Det vil derimod være muligt at fjerne risikoen ved at kortsælge den ene og købe den anden i det rette omfang. Tabel 4.1, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem obligationer og aktier, jan 28 2 års obl,9,9,3,5,21,2,2,22,5,4,19,14,12,12,11,21 1, 5 års obl,7,8,1,2,2,2,17,18,6,8,15,16,11,12,15,23,85 1, 1 års obl,3,6,5,2,16,4,15,12,4,1,12,15,8,6,12,21,72,9 1, Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver at de er negative. Kilde: Egen tilvirkning, Excelfilen porteføljesammensætning jan. Ligeså interessant en observation er at korrelationen imellem obligationerne og aktierne er negativ, hvilket gør at muligheden for risikonedsættelse er til stede, ved at kombinere aktier og obligationer i porteføljerne. Gennem 28 er disse korrelationskoefficienter faldet yderligere således det er muligt at nedsætte risikoen ydermere, jf. tabel 4.2. Dette skyldes at obligationerne ikke har haft samme nedgang som aktierne gennem krisen samt genereret et positivt afkast i perioden. 24 At korrelationen 24 Bilag 2 26

32 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance er faldet yderligere gennem året, åbner op for at det er muligt at nedsætte risikoen yderligere, hvis der ses isoleret set ud fra kovarianserne, men det skal huskes på at standart afvigelserne også steg gennem året, således at denne mulighed er begrænset. Tabel 4.2, Ændring af korrelationskoefficienter gennem 28 mellem obligationer og aktier 2 års obl,6,6,,6,3,5,6,1,3,1,1,4,5,5,2,4, 5 års obl,6,6,3,6,1,7,4,3,1,2,1,3,5,,2,7,8, 1 års obl,8,8,5,5,5,3,,5,5,1,5,2,4,3,,2,2,5, Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver negativ udvikling i korrelationskoefficienterne Kilde: Egen tilvirkning Samtidig med at korrelationen overfor aktierne blev mere negativ, faldt den indbyrdes korrelation mellem obligationerne en smule, hvilket giver en øget mulighed for yderligere diversifikations effekt ved at sprede investeringen ud på flere obligationer. Det skal dog bemærkes at de stadig er stærkt positivt korreleret, således af effekten er begrænset ude kortsalg Korrelation for aktierne For aktiernes vedkommen ses det at den indbyrdes korrelation er højest mellem de to Maersk aktier, jf. tabel 4.3, hvilket ikke er så besynderligt da det er samme selskab der er bagvedliggende, dette bevirker ligesom det var gældende for obligationerne imellem, en begrænset diversifikations effekt uden kortsalg. Korrelationen mellem aktierne er alle positive i begyndelsen af 28, dog alle langt fra at være perfekt korreleret, således der vil kunne være en begrænset risikoreduktion tilstede ved porteføljer udelukkende bestående af aktier. Så for at opnår den bedst mulige diversifikationseffekt skal aktierne kombineres med obligationer, da disse som føromtalt korrelerede negativt med aktierne. 27

33 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant Porteføljesammensætning mean-variance Tabel 4.3, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem aktier, jan. 28 Maersk A 1, Maersk B,89 1, Carlsberg B,15,18 1, Norden,16,16,2 1, DSV B,33,37,17,8 1, Danisco,14,18,21,6,28 1, Danske Bank,23,21,18,2,29,2 1, Flsmidth,26,25,21,8,37,18,26 1, Jyske Bank,2,2,23,1,25,21,24,22 1, H Lundbeck,16,17,12,9,2,1,16,12,8 1, NKT,28,27,14,14,25,2,19,38,17,13 1, Novo Nordisk,2,21,19,7,31,17,24,16,8,22,17 1, Sydbank,2,18,1,11,27,2,34,22,36,7,18,15 1, Topdanmark,24,22,14,6,3,2,3,29,25,14,2,13,25 1, Vestas,18,16,17,14,31,14,25,29,19,15,26,24,18,15 1, William Demant,17,14,1,1,3,19,23,17,1,14,23,25,16,19,29 1, Kilde: Excelarket porteføljesammensætning jan Det ses at Norden har forholdsvise lave korrelations koefficienter set i forhold til de øvrige aktier, dog er korrelationen med Maersk aktierne højst, hvilket er meget naturligt, da de begge er indenfor den samme branche, på trods af at Maersk også opererer indenfor mange andre brancher. At brancherne indbyrdes korrelerer med hinanden ses også inden for de tre bankaktier, Sydbank, Danske Bank og Jyske Bank. Det at brancherne korrelere med hinanden kan være med til at åbne op for en mulighed for bortdiversifikation ved inddragelsen af kortsalg, men det betyder samtidig også der vil være en forhøjet risiko ved at placere store andele af porteføljen indenfor samme branche. De højeste korrelationer skal dog findes inden for DSV aktien, der kun har en korrelationskoefficient under,2 overfor Carlsberg, hvilket gør at den umiddelbart ikke virker så interessant set ud fra korrelationen. Der har gennem starten af 29 været en del debat omkring porteføljeteori gennem krisetiden i magasinet Journal of Financial Planning, en af konklusionerne i denne debat har været at det eneste der går op i krisetider er kovariansen. 25 Denne tendens ses også for aktierne i C2-indekset, jf. tabel 4.4, dog med to små undtagelser der er uden den store betydning grundet ændringens størrelse. Det er dog stadig en kritisk udvikling da det er med til at nedsætte muligheden for diversifikation yder- 25 (Holton 29) 28

34 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant Porteføljesammensætning mean-variance ligere, det må dermed også formodes at den samlede risiko på porteføljerne vil stige gennem 28 sammenholdt med de stigende standart afvigelser. Tabel 4.4, Ændring af korrelationskoefficienter gennem 28 mellem aktierne Maersk A, Maersk B,2, Carlsberg B,14,13, Norden,17,17,18, DSV B,11,9,15,16, Danisco,11,1,3,16,1, Danske Bank,13,14,18,28,7,2, Flsmidth,13,13,14,22,11,1,13, Jyske Bank,9,1,8,18,6,1,25,7, H Lundbeck,3,3,2,7,1,5,8,4,6, NKT,7,7,12,1,8,3,9,6,7,4, Novo Nordisk,5,5,5,1,4,3,7,8,8,3,4, Sydbank,15,15,22,22,8,19,3,11,22,1,11,8, Topdanmark,9,1,14,14,9,6,1,9,1,4,5,9,8, Vestas,12,12,1,15,6,12,13,1,8,5,5,5,16,1, William Demant,6,6,6,6,6,2,2,8,,1,4,2,2,5,1, Kilde: Egen tilvirkning De korrelationskoefficienter der har haft den mest markante stigning er Sydbank, Norden samt Danske bank. Korrelationen mellem de tre bankaktier er gennem 28 steget meget kraftigt, således at den indbyrdes korrelationskoefficient mellem Danske bank og Sydbank kom op på,64 i december Porteføljer uden kort salg Der vil i det efterfølgende blive sammensat en portefølje primo hver måned gennem 28, af disse konstruktioner vil der blive gennemgået hvordan udviklingen har været inde for MVP samt tangentporteføljerne Sammensætning af MVP Udviklingen i MVP gennem 28 har været rimelig stabil for vægtningen mellem aktier og obligationer, hvor der gennem hele perioden har været en klar overvægtning af obligationer i forhold til aktier. Denne overvægtning af obligationer, er dog ikke overraskende. Det skyldes til dels den lave 26 Excelarket Porteføljemodel dec 27 Alle konstruktioner i excel ark kan findes på den vedlagt CD i mappen porteføljeoptimering 29

35 Porteføljesammensætning mean-variance standart afvigelse for obligationerne, men også den negative korrelation obligationer og aktier imellem. Den negative korrelation mellem aktierne gør at den kan bruges til at nedsætte risikoen, således at porteføljerne kan få en lavere risiko end hvis der kun var investeret i obligationer. Netop på denne baggrund er det også lykkedes at skabe porteføljer der har en lavere risiko end den 2 årige statsobligation. 28 Tabel 4.5, Porteføljekarakteristika for MVP uden kortsalg Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar 2,2 % 97,8 %,81,141 -,3 Februar 2,9 % 97,1 %,86,151,49 Marts 2,4 % 97,6 %,83,142,42 April 2,5 % 97,5 %,82,143,44 Maj 2,5 % 97,5 %,82,144,9 Juni 2,7 % 97,3 %,8,152 -,2 Juli 2,6 % 97,4 %,78,158 -,81 August 2,5 % 97,5 %,77,158 -,78 September 2,5 % 97,5 %,79,159 -,31 Oktober 2,7 % 97,3 %,8,159 -,12 November 1,7 % 98,3 %,77,168 -,34 December 1,6 % 98,4 %,79,17,13 Gennemsnit 2,4 % 97,6 %,8,154 -,9 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket realiseret afkast mean -variance uden kortsalg Det ses af ovenstående tabel 4.5 at Markowitz model forudsiger at aktierne skal indgå i en mindre andel gennem det sidste kvartal af 28. Dette sker på trods af at aktierne aldrig har udgjort nogen væsentlig andel af de samlede porteføljer. De stigende standart afvigelser påvirker også sammensætningerne i sidste par måneder af 28, hvor det samlede porteføljes risiko stiger, men stigningen skyldes også at det ikke udnyttes i samme omfang at aktierne har en negativ korrelation til obligationerne. At porteføljerne indeholder så store andele af obligationer er ikke nogen overraskelse, da de har en væsentlig lavere standart afvigelse end aktierne, for ved MVP bliver der kun fokuseret på at nedsætte risikoen uden at tage højde for det dertilhørende afkast.. Det sidste element i tabel 4.5 er RtV også kaldet sharpe-indekset, viser som tidligere nævnt den risikopræmie en investor modtager pr ekstra risiko i forhold til den risikofrie rente. Dette indeks har gennemsnitlig været negativ gennem perioden, men der har også været enkelte måneder gennem 28 hvor denne har været positiv. Det ville derfor have været mere fordelagtigt at placere investeringerne i 1 års statsobligation, da denne er brugt som den risikofrie rent, i de perioder hvor RtV har været negativ, taget risikoen i betragtning. 28 Bilag 2 3

36 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance Ses der på allokeringen af den store andel af obligationer, viser det sig at der er en klar overvægtning af den 2 årige statsobligation gennem hele 28. Denne obligation tegner sig stort set som den eneste obligation, dog er der i februar og marts investeret mindre andele i den 5 årige statsobligation. Den 1 årige statsobligation indgår ikke på noget tidspunkt i MVP, dette skyldes at den gennem hele perioden har en højere standart afvigelse end de to andre obligationer. 29 Det kan dog ud fra samme tankegang omkring standart afvigelser syntes besynderligt at den 5 årige statsobligation indgår i de to måneder nu hvor dens standart afvigelse er højere end den 2 årige statsobligation. Forklaringen på dette skal findes i korrelationen til aktierne, da denne har nogle korrelationer der er mere negative end den 2 årige statsobligation Tabel 4.6, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP Aktier Obligationer % % Jan.,,,,1,3,,6,3,,,2,2,2,,,4 97,8,, Feb.,,,,1,3,,7,4,1,,2,3,5,,,4 91,2 5,9, Mar.,,,,1,3,,6,3,,,2,2,3,,,4 97,6,, Apr.,,,,1,3,,6,3,,,2,2,4,,,4 97,5,, Maj.,,,,2,2,,6,3,1,,2,2,3,,,4 97,5,, Jun.,,2,,2,1,,6,3,,,1,2,5,,,4 97,3,, Jul.,,2,,1,2,,6,3,,,2,2,4,,,4 97,4,, Aug.,,2,,1,2,1,5,4,,,1,2,3,,,4 97,5,, Sep.,,2,,2,1,,5,4,,,1,2,4,,,4 97,5,, Okt.,1,2,,2,1,1,4,4,1,1,1,2,4,1,1,4 97,2,1, Nov.,,1,,1,2,,1,4,,,1,2,,,,3 98,3,, Dec.,,1,,1,1,,2,4,,,2,1,,,,4 98,4,, Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil realiseret afkast mean -variance uden kortsalg Gennem 28 har der grundlæggende været 7 aktier der har været med i alle porteføljer, dog med en meget begrænset andel. De aktier der har været med hele vejen er Norden, DSV, Danske Bank, FLSmidth, NKT, Novo Nordisk og William Demant. Det er måske overraskende at Danske Bank aktien har været med hele vejen, da bank aktier har været meget hårdt ramt gennem krisen, men det skal dog bemærkes at andelen af denne aktie er faldet meget i de sidste to måneder. Dette ses også ved Sydbank aktien udgik i slutningen af 28 hvor krisen var værst i 28. Ud fra ovenstående sammensætning af MVP porteføljerne vil det forventes at afkastet vil ligge omkring de 3 % 3, da det ca. er hvad den 2 årig statsobligation har givet af afkast gennem 28, på 29 Bilag 2 3 Bilag 2 31

37 Porteføljesammensætning mean-variance trods af at der jf. tabel 4.5 vil være et mindre afkast, dette skyldes naturligvis at det er ud fra historiske data og ikke de reelle data, som der vil blive brugt ved performance vurdering Sammensætning af tangentporteføljerne Tangentporteføljerne har fuldt samme udvikling som MVP porteføljerne dog noget mere markant forskel på andelene af aktier og obligationer. Som det ses nedenfor i tabel 4.6 er andelene af aktier væsentlig større end i MVP porteføljerne. Dette skyldes naturligvis at der ved disse sammensætninger har været fokus på at maksimere RtV. Tabel 4.7, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne uden kortsalg Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar 46,8 % 53,2 %,388 1,98,279 Februar 38,1 % 61,9 %,327,943,264 Marts 39,5 % 6,5 %,336,975,266 April 39,6 % 6,4 %,333,998,258 Maj 43,2 % 56,8 %,355 1,81,253 Juni 46, % 54, %,383 1,176,255 Juli 5,9 % 49,1 %,45 1,352,233 August 52, % 48, %,42 1,379,227 September 42,5 % 57,5 %,345 1,147,227 Oktober 41,7 % 58,3 %,32 1,77,24 November 3,6 % 69,4 %,256 1,149,151 December 23,1 % 76,9 %,223,959,152 Gennemsnit 41,2 % 58,8 %,338 1,111,231 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket realiseret afkast mean -variance uden kortsalg En meget interessant observation i tabel 4.7 er andelen af aktier fra august og fremad bliver reduceret til det halve i december, men hvis Markowitz porteføljemodel skal kunne bruges gennem krisen må aktiernes andel også ses i lyset af kursudviklingen. Det ses i figur 4.3 at aktieandelen i tangentporteføljen følger kursudviklingen for C2-indekset meget godt, det syntes dog at se ud som om at aktieandelen først følger kursen en måned efter. 32

38 Porteføljesammensætning mean-variance Figur 4.3, Oversigt over C2 indekset og aktiernes andel i tangentporteføljen i 28 55,% 5,% 45,% 4,% 35,% 3,% 25,% 2,% januar april juli oktober Aktieandel (venstre akse) C2 indekset (højre akse) Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil realiseret afkast mean-variance uden kortsalg Ud fra figur 4.3 ser det umiddelbart ud som om, at Markowitzs porteføljeteori ville kunne spare en investors portefølje for at gå ned med markedet, ved at bruge de ændrede forhold som en slags guide-line, for hvor meget aktierne skal udgøre i en portefølje. For at dette skal kunne få en gavnlig effekt bør en portefølje derfor omstruktureres ofte gennem en sådan krise. Nu hvor det ser ud som Markowitz tilpasser sig sine omgivelser bliver det spændende at se ved en senere performance analyse om det også er muligt at skabe en signifikant bedre alpha. 31 Modsat MVP porteføljerne er den 1 årige statsobligation omdrejningspunkt for obligationer i tangentporteføljerne, der sker dog en mindre spredning af obligationer i de første tre måneder hvor den 5 årige statsobligation indgår i et beskedent omfang. Grunden til at det netop er blevet den 1 årige statsobligation der har fået den dominerende rolle for obligationer, og ikke den 2 årige som i MVP, skal til dels findes i at der er en højere risikopræmie pr risikoenhed for den 1 årige statsobligation, altså RtV. At den har fået denne overvægtning er altså sket på trods af at den 2 årige statsobligation i langt de fleste tilfælde har en bedre negativ korrelation til aktierne, men i dette tilfælde er det mere fordelagtigt at udnytte den højere RtV end den 2 årige statsobligations mulighed for risikoreduktion gennem diversifikation. 31 Jensens indeks, mere om denne senere i afsnittet omkring performance 33

39 Carlsberg B Norden DSV B Jyske Bank NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance Tabel 4.8, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne uden kortsalg Aktier Obligationer % % Jan., 14,1 3,1 5,8 1,5 1,8 18,5 1,3,6, 13,4 39,8 Feb., 12, 2,9 2,1 1,2 1,7 15,6 2,5,, 19,9 42, Mar.,3 12,5 2,7 2,8 1, 2,5 15,1 2,5,, 6,2 54,4 Apr.,5 12,8 3,1 1,6,8 2,4 14,8 3,6,,, 6,4 Maj.,6 14,1 3,4 1,5 1,1 2,3 16,2 3,9,,, 56,8 Jun.,2 15,4 4,,5 1,1 1,9 19,4 3,6,,, 54, Jul., 18,3 4,7,1 1,4 2,2 2,6 3,6,,, 49,1 Aug., 18,4 3,7,,6 2,3 23,3 3,7,,, 48, Sep., 15,5 3,4,,4 2,2 17, 4,1,,, 57,5 Okt., 12,9 1,8,1,5 2,9 18,2 5,3,,, 58,3 Nov., 14,7 4,7, 1,2 4,5 1, 4,5,,, 69,4 Dec., 11,3 2,9,,2 3,6, 5,1,,, 76,9 Anm.: de aktier der ikke indgår i de forskellige konstruktioner er blevet udeladt Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil realiseret afkast mean -variance uden kortsalg Det ses jf. tabel 4.8 at der grundlæggende er to aktier, Norden og Sydbank der har været de to mest dominerende aktier gennem året i tangentporteføljerne, dog er Sydbank blevet udeladt de to sidste måneder, ligesom det var tilfældet i MVP. Der kan stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt tangentporteføljernes sammensætning er fuldt ud diversificeret, da de mere eller mindre grundlæggende består af tre store andele, heraf en obligation og to aktier, samt et par mindre andele af andre aktier. Det problematiske kan opstå ved at der i bund og grund bliver sammensæt en meget snæver portefølje, der afhænger meget af de tre aktivers performance. Den 1 årige statsobligation har dog en meget lille risiko 32, men problemet opstår ved at op mod en tredjedel af porteføljens afkast afhænger af hvordan disse to aktier klare sig. Dette kunne have været løst ved at lave en begrænsning for hvor stor en andel de enkelte aktier må have i den samlede portefølje, for at tvinge modellen til at øge diversificeringen Porteføljer med kort salg I modsætningen til de foregående portefølje sammensætninger, er der nu blevet taget højde for muligheden med kortsalg, hvilket kort beskrevet går ud på, at der spekuleres i kursfald. Hvilket alt an- 32 Bilag 2 34

40 Porteføljesammensætning mean-variance det lige ville kunne udnyttes i krisetider til at tjene penge på et faldende marked, hvis det er muligt at forudsige hvilke aktier der skal kortsælges. Der vil i det efterfølgende være to måder til at opgøre portefølje andelene på. Den første er brutto metoden hvor det er forskellen mellem kortsolgte aktier og investerede aktier der udgør andelen. Problemet med denne metode er at den ikke tage højde for hvor store andele der er blevet kortsolgte, således at den angiver en mindre værdi da kortsalg mindsker andelen. For at tage højde for dette er de nominelle andele også blevet udregnet, denne metode omregner de enkelte porteføljevægte til numeriske værdier og på den måde finder andelene Sammensætning af MVP Der har gennem 28 ikke været de store udsving i hvorvidt de enkelte porteføljer er sammensat, men det ses dog meget tydeligt at andelen af obligationer har været klart dominerende gennem hele perioden., jf. tabel 4.9. Der syntes dog at være en tendens til jf. brutto andelene at aktierne nedprioriteres i november og december, men dette skyldes at udelukkende at der bliver kortsolgt aktier der før blev købt, jf. tabel 4.1. Dette ses meget tydeligt hvis der i stedet fokuseres på de nominelle andele, der har der rent faktisk været den modsatte tendens at aktierne udgjorde en større andel, hvilket kan tilskrives graden af kortsalg, det ser således ud til at der forsøges at øge afkastet ved at kortsælge gennem krisetiden. Tabel 4.9, Porteføljekarakteristika for MVP med kortsalg Brutto andel Numerisk andel Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv. RtV Januar 2, % 98, % 2,5 % 97,5 %,79,129 -,17 Februar 2,2 % 97,8 % 2,7 % 97,3 %,81,13,21 Marts 2,3 % 97,7 % 2,7 % 97,3 %,81,131,31 April 2,4 % 97,6 % 2,7 % 97,3 %,8,131,28 Maj 2,4 % 97,6 % 2,7 % 97,3 %,8,133 -,7 Juni 2,6 % 97,4 % 2,6 % 97,4 %,77,14 -,44 Juli 2,6 % 97,4 % 2,3 % 97,7 %,75,147 -,18 August 2,6 % 97,4 % 2,4 % 97,6 %,75,147 -,1 September 2,4 % 97,6 % 2,3 % 97,7 %,76,147 -,6 Oktober 2,4 % 97,6 % 2,2 % 97,8 %,77,148 -,34 November 1,6 % 98,4 % 2,4 % 97,6 %,74,156 -,57 December 1,5 % 98,5 % 2,7 % 97,3 %,75,158 -,12 Gennemsnit 2,2 % 97,8 % 2,5 % 97,5 %,77,141 -,3 Anm.: brutto andelene angiver hvis der f.eks. har været kortsalg på -,25 og køb på,25 en andel på Kilde: Egen tilvirkning, excelarket realiserede afkast mean -variance med kortsalg Det vil ifølge teorien være muligt at sammensætte porteføljer med en lavere risiko ved at udnytte kortsalg, således at den efficiente rand forskydes mod venstre. Dette er også tilfældet i de ovenstå- 35

41 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance ende konstruktioner af MVP, risikoen er rent faktisk blevet halveret i forhold til de konstruktioner der er foretaget uden mulighed for kortsalg i samme periode. Hvilket har medført en bedre RtV, men den er stadig negativ gennem langt det mest af 28. Således at det vil være mere fordelagtigt at placere midlerne til den risikofrie rente, da der er en negativ risikopræmie for at tage yderligere risiko end den risikofrie rente indebære. I tabel 4.1, ses det tydeligt, modsat de konstruktioner der blev foretaget uden kortsalg at der bliver investeret i alle de mulige aktiver før eller siden gennem 28. Der vil derfor forventes at der opstår en bedre diversifikation af risikoen, på trods af det kun er forholdsvis små andele der er placeret i aktier. Det udnyttes således at korrelationen mellem de enkelte aktier er positivt, således der på den måde sker en risikoreduktion. En anden væsentlig betragtning er at der gennem hele 28 bliver investeres 1 % i de to årige statsobligationer, samt en mindre andel i de 5 årige, hvorimod der bliver kortsolgt at den 1 årige. Ligesom det var tilfældet med aktierne udnyttes det også at korrelationen mellem obligationerne er positive, effekten er dog bedre i og med at der næsten er en perfekt positiv korrelation imellem obligationerne. At der ikke bliver allokeret mere til den 2 årige skyldes at der stadig er et loft på hvor meget den enkelte aktiv må fylde i den samlede portefølje, pga. simplificering, denne begrænsning er også sat på de resterende aktiver, da det har vist sig ved at fjerne denne restriktion at der bliver købt og kortsolgt meget store mængder af de enkelte aktiver. Tabel 4.1, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP med kortsalg Aktier Obligationer % % Jan. -,1, -,1,2,3 -,3,6,4, -,1,2,2,4,1 -,1,3 1 12,7-14,7 Feb. -,1, -,1,1,3 -,3,6,3,2 -,1,2,2,4,1 -,1,3 1 11,8-14, Mar. -,1,,,2,3 -,2,6,3,2 -,1,2,2,5,1 -,1,3 1 1,9-13,2 Apr.,, -,1,1,3 -,3,7,3,2 -,1,2,2,5,1 -,1,3 1 11,3-13,6 Maj.,,,,2,3 -,3,6,3,2,,2,2,4,2 -,1,3 1 11,2-13,5 Jun.,1,1 -,1,2,1,,6,4,1 -,1,1,2,6,1 -,1,3 1 11,4-14, Jul.,2,1 -,1,1,1,1,6,3,1 -,1,1,2,5,1,,2 1 11,2-13,8 Aug.,1,1 -,1,1,1,1,5,4,1 -,1,1,2,4,1,,3 1 9,6-12,2 Sep.,2,1 -,2,1,1,1,5,4,1 -,1,1,2,5,1,,3 1 12,3-14,7 Okt.,1,1 -,1,2,1,1,5,4, -,1,1,2,5,1,,3 1 11,5-13,9 Nov.,1,1 -,5,1,2,1,3,5,3,,1,2 -,1 -,1 -,1,3 1 12,9-14,4 Dec.,1,1 -,4,1,2,1,4,5,4,,1,2 -,3 -,1 -,1,3 1 13,4-14,9 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket realiserede afkast mean -variance med kortsalg 36

42 Porteføljesammensætning mean-variance Der er den væsentlig forskel mellem konstruktionerne med og uden kortsalg er at, der bliver kortsolgt af de aktier der ikke indgår i MVP uden kortsalg. At der er den forskel kan skyldes at risikoen ved at købe disse aktier er for høj. Ud fra tabel 4.1 ses det at der er 3 aktier der skal kortsælges gennem hele perioden, Carlsberg, H Lundbeck samt Vestas. Dette er på trods af at det afkast der ligger til grundlag for beregningerne alle er positive gennem hele perioden, med den lille undtagelse af Carlsberg i november og december. At Vestas vælges at kortsælges skyldes kombinationen mellem den høje standart afvigelse samt at det er en af de aktier der korrelerer mest positivt med de andre aktier Sammensætning af tangentporteføljerne Ligesom det var gældende for tangentporteføljerne uden kortsalg udgør aktierne en væsentlig højere andel af porteføljerne end ved MVP. Ses der på de to måder andelene er opgjort på i tabel 4.11, viser det sig der er meget stor forskel på de to måder. Brutto metoden tegner et billede af at obligationerne har fået en mindre andel end tidligere set, men dette er dog ikke helt tilfældet, da der ses ud fra de nominelle andele at dette skyldes at der bliver kortsolgt relativ store andele af obligationerne, for at udnytte den positive korrelation imellem. Ligesom tidligere udgør aktier en mindre del i slutningen hvor aktiemarkedet blev ramt af krisen, det ses dog at dette udnyttes ved at der bliver kortsolgt store andele af aktier, da forskellen mellem brutto og de nominelle andele stiger kraftigt mod slutningen af 28. Tabel 4.11 Porteføljekarakteristika for tangent porteføljerne med kortsalg Brutto andel Numerisk andel Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar 72,6 % 27,4 % 4,9 % 59,1 %,737 2,15,311 Februar 58,4 % 41,6 % 36,5 % 63,5 %,637 1,884,297 Marts 58,3 % 41,7 % 36, % 64, %,624 1,843,297 April 56,2 % 43,8 % 35,4 % 64,6 %,6 1,828,287 Maj 6,2 % 39,8 % 39,9 % 6,1 %,649 1,988,286 Juni 7,1 % 29,9 % 4,9 % 59,1 %,728 2,276,283 Juli 79,9 % 2,1 % 5, % 5, %,88 2,939,268 August 8,5 % 19,5 % 5,1 % 49,9 %,859 2,955,26 September 63,2 % 36,8 % 41,9 % 58,1 %,661 2,268,254 Oktober 63,3 % 36,7 % 43,2 % 56,8 %,636 2,326,238 November 36,6 % 63,4 % 48,6 % 51,4 %,675 2,788,213 December 2,3 % 79,7 % 45,7 % 54,3 %,516 2,17,29 Gennemsnit 6, % 4, % 42,4 % 57,6 %,684 2,276,267 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket realiserede afkast mean-variance med kortsalg 37

43 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning mean-variance Holdes nøgletallene op mod tangentporteføljerne uden kortsalg, ses det som forventet at afkastet er blevet forbedret. Det forventede afkast er fordoblet i forhold til før, dog skal det bemærkes at risikoen er steget tilsvarende. At afkastet er steget mere end risikoen ses ved at RtV samtidig er blevet forbedret. Dette tyder på et betragtelig merafkast ved at benytte sig af kortsalg, men det skal også huskes på at risikoen er noget større ved at benytte sig af kortsalg. Tabel 4.12, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne med kortsalg Aktier Obligationer % % Jan. -7,9-9,6 4,1 26,7 12,9-15,7 3,2-3,9 14, -1,8 6,6 5,8 33,8 5, -3,6 3, -1 27,7 99,8 Feb. -7,5-9,3 2,9 23,6 12,6-14,2 2,1-4, 7,5-2,2 6,1 5,3 3, 7,5-2,9 1, -1 44,5 97,1 Mar. -6,6-9,6 3,7 23,5 11,7-13,3 2,7-3,9 8,2-2,7 5,4 6,6 27,3 7,1-2,8,9-1 41,8 1 Apr. -7,1-9, 3,9 23,3 12,2-13,1 2, -3,8 6,4-3,2 4,9 6,2 26,1 8,4-2,5 1,4-1 43,5 1 Maj. -7,6-1,4 4,6 25,7 13,6-15,5 1,4-3,7 6,9-3,5 5,9 6,5 28,6 9,2-2,9 1,4-91 3,7 1 Jun. -6,7-11,9 4,2 29,5 15,1-14,2-1, -3,7 5,3-4,3 5,9 6,4 37,9 9,7-2,4,3-1 29,4 1 Jul. -7,9-16,6 5,1 38,2 21,3-24,2-6,3-5,5 7,5-5,3 8,7 9,4 47,2 12,9-2,5-1,9-1 2,1 1 Aug. -8,1-17,1 2,3 37,8 19,7-2,7-7,4-6,7 7,7-4,9 7,4 1, 52,2 13,2-1,8-3,1-1 19,5 1 Sep. -5,3-12,5 3, 29,8 15, -13,9-3,2-6,2 4,6-3,7 5,1 7,4 34,7 11,7 -,3-2, ,2 1 Okt. -7,1-13,2 2,3 27,2 14,8-16,4-3,9-9,6 6,5-4,1 6,7 9,3 39,4 15,4 -,7-3,3-1 36,7 1 Nov. -5, -24,4-8,4 32,9 26,5-23,4-17,5-12, 5,7-4,9 11,5 17,4 24,6 2,6-4,7-2, ,4 1 Dec. -5,4-17,5-9,1 24,5 19, -11,5-14,7-9,3 -,3-1,9 7,7 12,5 11,9 19,1-1,9-2,9-61 4,4 1 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket realiserede afkast mean -variance med kortsalg I modsætningen til MVP er 6 aktier er der blevet kortsolgt gennem hele perioden, de to Maersk aktier, Danisco, FLsmidth, H Lundbeck og Vestas. Der er dog den forskel at der i modsætning til MVP bliver der ikke kortsolgt Carlsberg før de sidste to måneder. Ligesom det var tilfældet med tangentporteføljerne uden kortsalg bliver der investeret i den 1 årig statsobligation og kortsolgt store andele af den 2 årige statsobligation, mens der gennem perioden har været svingene andele af den 5 årige statsobligation. Det at de forskellige andele svinger meget gennem 28, tyder på at der skal føres en aktiv investerings strategi der tilpasser porteføljerne jævnligt, hvilket vil medføre øgede handelsomkostninger. Det bliver derfor spændende at se i performance analysen hvorvidt der er en fordel i at omstrukturere porteføljerne aktivt, eller om en passiv strategi er bedre. Det forventes dog at den aktive vil klare sig bedre, nu hvor andelene svinger meget Performansevaluering Dette afsnit har til formål at undersøge hvorvidt de enkelte porteføljekonstruktioner har performet bedre end det valgte benchmark. Der vil for simplificeringens skyld blive sammensat 4 forskellige 38

44 Porteføljesammensætning mean-variance investeringsstrategier ud fra de føromtalte konstruktioner, for MVP og tangentporteføljerne, dette vil ske med og uden kortsalg, de 4 strategier består som følgende: MV ik for MVP RtV ik for tangentporteføljerne Hvor i angiver følgende konstruktioner: 1: Porteføljen konstrueret primo januar. 2: Portefølje der er tilpasset primo januar og juli. 3: Portefølje der er tilpasset i primo januar, april, juli og oktober. 4: Portefølje der er tilpasset hver primo måned. Hvor k angiver om hvorvidt porteføljen er med eller uden kortsalg, henholdsvis m og u. Der vil indledningsvist blive en teoretisk gennemgang af hvordan de enkelte strategier vil blive målt i forhold til hinanden. Det er netop vigtigt ikke blot at sammenligne afkast, da dette ikke giver et reelt udtryk for hvorvidt den ene strategi har klaret sig bedre end den anden. Det er derfor vigtigt at få risikojusteret de enkelte performancemål. 33 Dette gøres da et afkast der er dobbelt så stort ikke nødvendigvis er dobbelt så godt, hvis det f.eks. har været tre gange så risikofyldt at gennemføre denne strategi Teoretisk gennemgang af performance Det første performancemål der vil blive brugt er Sharpes ratio, der blev gennemgået i forbindelse med kapitalmarkedslinien i det teoretiske afsnit omkring Markowitz porteføljeteori. Her var Sharpes ratio udtryk for hældningskoefficienten på kapitalmarkedslinien, der angiver risikopræmien en investor modtager for hver ekstra risikoenhed der bliver taget. Treynor-indekset, er et performancemål, der er et udtryk for det merafkast i forhold til den risikofrie rente, porteføljen genererer pr. enhed systematisk risiko. Treynor-indekset benyttes kun til porteføljer der er fuldt diversificeret, da beta er et udtryk for den systematiske risiko, der forudsættes derfor at den usystematiske risiko er helt eller delvist bortdiversificeret. 33 (Haugen 1997 s. 39) 39

45 Porteføljesammensætning mean-variance Treynor-indekset kan udregnes som følgende: 34 Hvor beta kan beregnes som følgende: 35 T p = E r p r f β p [4.1] Hvor i angiver aktiv i og m benchmarket det holdes op mod. β p = Cov r i r m σ i 2 [4.2] Det sidste performancemål der benyttes er Jensen-indeks, denne bruger security market line (SML) som benchmark, således at alpha er et udtryk for om porteføljen har skabt et mindre eller merafkast. Hvor en positiv alpha er udtryk for at der er skabt et merafkast Jensens indeks kan beregnes som følgende: 36 J p = E r p r f + β p (E r m E(r p )) [4.3] Jensens alpha kan også estimeres ud fra en liniær regressionsmodel som følgende: 37 r p r f = α i + β i (r m r f ) + e [4.4] Hvor r p angiver afkastet for porteføljen og r m er således afkastet for benchmarket. Fordelen ved at gennemføre en regression af alpha er at det er muligt at undersøge hvorvidt alpha er forskelligt fra nul, og dermed hvor signifikant porteføljen har givet et mindre eller merafkast i forhold til benchmarket. For at skabe en mere overskuelig og sammenlignelig performancemåling vil de to MVP med og uden kortsalg, blive behandlet samlet, ligesom det er tilfældet med tangentporteføljerne Performance for MVP Der vil i den efterfølgende gennemgang af performance for MVP blive taget udgangspunkt i de foregående beskrevne performancemål. Treynor-indekset vil blive udeladt, da dette performancemål 34 (Haugen 1997 s. 315) 35 (Haugen 1997 s. 53) 36 (Haugen 1997 s. 311) 37 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 522) 4

46 Porteføljesammensætning mean-variance havde den forudsætning om at porteføljerne var fuldt diversificeret, hvilket ikke er tilfældet for MVP, da disse stort set kun består af den 2 årige statsobligation. Det ses at benchmarket gennem 28 har leveret et gennemsnitlig negativt ugeafkast jf. tabel 4.13, den dertilhørende standart afvigelse tyder på at, afkastet har været et meget ustabilt gennem 28. Dette skyldes at der i de sidste par måneder hvor markedet genererede negative afkast, har været mange store udsving i afkastet hvilket har givet den høje standart afvigelse. 38 Benchmarkets negative afkast tilskrives nedgangen i markedet, da den 1 årige statsobligation, som tidligere nævnt genererede et positivt afkast, dette har ikke været stort nok til at trække benchmarket op på et positivt afkast. Samtidig ses det at alle MVP har genereret et positivt afkast gennem 28, men dette skyldes naturligvis allokeringen af porteføljerne, der som udgangspunkt stort set kun består af den 2 årige statsobligation. Der tegner sig dermed et billede af at MVP har været bedre end benchmarket gennem 28, det skal huskes at denne sammenligning ikke tager højde for risikoen, således det ikke er sikkert at MVP har været en bedre investering. Tages der højde for risiko vha. Jensen-indekset, viser denne at samtlige MVP har performet bedre end indekset da alpha er positiv og de dermed alle ligger over SML. Den strategi der har den bedste alpha er MV3U, hvor porteføljen er blevet justeret hvert kvartal, hvorimod MV2M har været genereret den højeste alpha vha. kortsalg. Generelt var der en forventning til, der ved brug af kortsalg ville den aktive strategi med ofte tilpasset portefølje, være dem der klarede sig bedst. Dette er dog ikke tilfældet ud fra Jensen, hvilket skyldes at der ikke var store forandringer i sammensætningen gennem 28. Dette skulle derimod gerne blive tydeligere for tangentporteføljerne. Hvis de enkelte porteføljers performance bliver betragtet ud fra bredte og dybde, hvor dybde relatere sig til det ekstra afkast der er genereret, og bredte er antallet af forskellige aktiver hvorved porteføljen kan opnå dette ekstra afkast fra. Det betyder at Jensen-indekset ikke tager højde for antallet af forskellige aktier dette ekstra afkast er genereret ud fra, men kun hvorvidt der er opnået et ekstra afkast i forhold til benchmarket Excelarket Performance mean-variance 39 (Haugen 1997 s. 313) 41

47 Porteføljesammensætning mean-variance Tabel 4.13, Performancemål for MVP MVP uden kortsalg MVP med kortsalg MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M Benchmark Afkast,85,8,81,85,7,66,68,72 -,34 Std. afv,339,347,35,349,333,342,34,336 2,13 Sharpe,12 -,2,,12 -,31 -,42 -,36 -,27 -,2 Jensen 1,82 1,165 1,167 1,9 1,35 1,167 1,144 1,69 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket performance mean-variance Således hvis der tages højde for bredden af porteføljerne vha. Sharpe ses det at de to performancemål ikke altid giver et entydigt svar på hvorvidt den ene portefølje er bedre end den anden. MV3U var den portefølje der skabte det største ekstra afkast ud fra Jensen-indekset, men ifølge Sharpe har denne sammensætning ikke performet bedre end benchmarket jf. tabel Det er derimod MV1U og MV4U der har klaret sig bedst, det ses således at ved sammensætning af MVP at der ikke opnås et bedre afkast ved at omstrukturere porteføljen gennem perioden. Det eneste der taler for at der skulle ske en oftere omstrukturering af porteføljerne, er at der jf. Jensen er muligt at skabe et større ekstra afkast, men dette skal reelt set holdes op mod de øgede handelsomkostninger, hvilket det dermed formodes at det vil være bedst med MV1U. Teoretisk skulle det være muligt at sammensætte porteføljer med en mindre risiko vha. kortsalg, dette bliver bekræftet da de enkelte MVP sammensat med kortsalg har en mindre risiko, end de tilsvarende MVP uden kortsalg. Det skal bemærkes at det kun er MV2M der jf. Jensen-indeks har formået at skabe et større ekstra afkast end de tilsvarende MVP uden kortsalg. Dog ses der vha. Sharpe at der har været en negativ risikopræmie pr risikoenhed, dette skyldes at de enkelte MVP har genereret et lavere afkast samtidig med at risikoen ikke er faldet i samme omfang. Det ses således at det er MV4M der har haft den bedste risikopræmie, det kunne derfor tyde på at hvis der benyttes kortsalg skal porteføljen optimeres noget oftere. At risikopræmien har været negativ kan tilskrives den lidt højere andel af aktier der er i porteføljen, men også at der forøget risiko for at have kortsolgt aktier der stiger og omvendt. Det kan således ud fra ovenstående performancemål se ud som om at MVP uden kortsalg sammensat i januar måned er den konstruktion der klare sig bedst i forhold til benchmarket. Såfremt at Jensen-indeks estimeres ud fra en liniær regression, kan denne påstand dog ikke bekræftes, jf. tabel 4.14, da dennes alpha værdi ikke er signifikant forskellige fra nul. 42

48 Porteføljesammensætning mean-variance Tabel 4.14, Estimeret Jensens alpha for MVP Alpha MVP uden kortsalg MVP med kortsalg MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M,31,3,31,33 (,44) (,45) (,45) (,46) Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 3,15 (,44),16 (,44),17 (,44),18 (,44) Det ses samtidig også at der ikke er nogle af de otte ovenstående strategier der har genereret en signifikant alpha. Således kan det ikke påvises med statistisk sikkerhed at ovenstående MVP har været bedre end benchmarket Performance for tangentporteføljerne I modsætning til MVP består tangentporteføljerne af væsentlig flere aktier, hvilket således gør dem endnu mere sårbar overfor nedgang på aktiemarkedet. Efterfølgende gennemgang vil følge samme struktur som MVP dog er Treynor-indekset medtaget denne gang, da det forudsættes at tangentporteføljerne er bedre diversificerede i forhold til MVP pga. andelen af aktier. Det ses kort uden nogen form for risikojusteret performance at alle otte sammensætninger har haft et negativt afkast, bedst syntes dog at være RtV3 med og uden kortsalg, dog har alle sammensætningen uden kortsalg genereret et bedre afkast i forhold til de tilsvarende med kortsalg. Ses der på risikoen har alle porteføljer med kortsalg været mere eksponeret for risiko end dem uden, hvilket modsiger teorien, men kan tilskrives udsvingene i aktiemarkedet. De høje standart afvigelser skyldes igen udsvingene i de sidste par måneder af 28, standart afvigelserne har været væsentlig mere stationære gennem den første del. 4 Der er derfor meget der tyder på at benchmarket har performet bedre end Markowitz.. Den portefølje der jf. Jensen-indeks har været bedst er også den der har leveret det bedste afkast, nemlig RtV4U, det skal dog bemærkes at det har været et negativt ekstraafkast, således at denne sammensætning har performet ringere end forventet. Det er ikke kun jf. Jensen-indeks at denne sammensætning betragtes som den bedste, Treynor udpeget selvsamme portefølje til at være den bedste mulighed. Det skal dog huskes at Treynor har de samme svagheder som Jensen, da denne heller ikke tager højde for den føromtalte bredte i en portefølje. Således at beta ikke nødvendigvis ændres ved inddragelsen af flere aktiver. 41 Der kan desuden stilles spørgsmålstegn ved brugbarheden af Treynor og Jensen for den sags skyld til evalueringen af tangentporteføljerne, da der som tidligere omtalt er en begrænset diversifikationseffekt ved disse porteføljer uden kortsalg, da de 4 Excelarket: performance Mean-Variance 41 (Haugen 1997 s. 315) 43

49 Porteføljesammensætning mean-variance hovedsageligt består af den 1 årige statsobligation, Norden, Sydbank samt nogle mindre andele i andre aktier. Tabel 4.15, Performancemål for tangentporteføljerne Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M Benchmark Afkast -,86 -,91 -,77 -,64-1,64-1,87-1,59-1,34 -,34 Std. afv. 3,32 3,69 3,1 2,82 5,47 6,57 5,38 4,9 2,13 Sharpe -,28 -,27 -,28 -,26 -,31 -,3 -,31 -,29 -,2 Treynor -1,63-1,88-1,37-1,5-5,23-7,2-5,19-4,9 Jensen -,69 -,77 -,59 -,43-1,58-1,84-1,54-1,27 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket performance mean-variance Ved at inddrage den såkaldte bredte i en portefølje vha. Sharpe, ses at det igen er RtV4 der har den bedste risikopræmie pr risikoenhed. Da der er et entydigt svar for alle tre performancemål, konkluderes at RtV4U er den bedst velegnede strategi gennem krisen, således at porteføljen jævnligt bliver tilpasset dens omgivelser. For tangentporteføljerne der tillader kortsalg ses samme tendenser som uden kortsalg, nemlig at de genererer et negativt afkast til relative høj risiko. Det tyder igen på at der har været meget store udsving i afkastene gennem 28, grundet de høje standart afvigelser der jf. teorien burde havde været mindre end de tilsvarende porteføljer uden kortsalg. Der er dog en portefølje der skiller sig ud som den bedste blandt alle tre performancemål, det er porteføljen der er tilpasset hver måned, RtV4U. Så der tegner sig et klart billede af at en portefølje skal tilpasses ofte gennem krisetider, således den kan modstå udsvingene i markedet. Ved at estimere Jensens alpha, ses det at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for at de fire porteføljer uden kortsalg klare sig bedre eller dårligere end benchmarket. Dog tyder det på at RtV3U klare sig bedst, men det skal understreges at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for dette. Tabel 4.16, Estimering af Jensens alpha for tangentporteføljerne Alpha Tangentporteføljer uden kortsalg Tangentporteføljer med kortsalg RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M -,267 -,241 -,214 -,241 *-,718 (,424) **-,779 (,52) *-,722 (,451) -,561 (,426) (,214) (,219) (,19) (,219) Anm.: * angiver signifikant ved 1 % og ** ved 15% Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag3 Derimod ses det, at ved brug af kortsalg er der en vis sikkerhed for at de tre første strategier klare sig dårligere end benchmarket, således at det ud fra de estimerede værdier vil være mest hensigtsmæssigt at følge en strategi der tilpasser porteføljen hver måned, såfremt muligheden for kortsalg 44

50 Porteføljesammensætning mean-variance bliver benyttet. Det kan dog ikke konkluderes hvor hensigtsmæssigt denne strategi er i forhold til benchmarket da der ikke er nogen signifikant estimat for hvorvidt den klare sig bedre eller dårligere end benchmarket Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance Efter at have foretaget en performance vurdering af de sammensatte strategier, kunne der ved MVP ikke påvises statistisk sikkerhed for hvorvidt de havde et afkast der var forskelligt fra benchmarket. De havde dog alle genereret et positivt afkast gennem 28, men dette skyldes at de stort set kun indeholder obligationer. Ligeledes kunne det heller ikke påvises at tangentporteføljerne uden kortsalg formåede at klare sig bedre end det valgt benchmark, hvorimod det kunne vises med en hvis statistisk sikkerhed at vælges der at gøres brug af kortsalg skal porteføljen tilpasses hver måned for at klare sig mindst ligeså godt som benchmarket. At porteføljerne ikke formåede at performe bedre end benchmarket kan skyldes at de bagvedliggende værdier ikke svarede til de reelle værdier. Så på trods af at afkastet faldt, risikoen steg sammen med korrelationerne, var dette altså ikke nok. Det tyder således på at Markowitz porteføljemodel ikke tilpasser sig så hurtig til omverdenen. Dette skyldes at de bagvedliggende værdier bliver beregnet på baggrund af gennemsnittet, således at Markowitz model ikke er så god til at tilpasse sig på kort sigt. Der var også lyspunkter i modellen, da den forudså at aktiernes andel skulle mindskes, men dette var ikke nok, eller i rettidigt, til ikke at gå ned med markedet. Ud fra performanceanalysen kan der stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt Markowitz model er brugbar til at sammensætte efficiente porteføljer, der klare sig bedre end benchmarket. Det vil være en forkert at konkludere hvorvidt modellen er brugbar i almindelighed eller ej, alene ud fra ovenstående analyse, da den kun bygger på et enkelt år, således at der ikke vides hvordan den har klaret sig i årene op til krisen, samt de efterfølgende år. At der ikke kan påvises nogen statistisk sikkerhed for hvorvidt teorien klarede sig bedre eller dårligere end benchmarket, kan tale til fordel for teorien. Et af de generelle problemer ved denne analyse i et turbulent marked er at modellen tager udgangspunkt i fortiden, hvilket ikke nødvendigvis gentager sig i fremtiden. Selve modellen består af tre grundelementer i teorien, gennemsnitlig afkast, standart afvigelserne og korrelation, dette sætter Robert Brown, spørgsmålstegn ved om hvorvidt verden kan forudsiges ud fra blot disse tre parameter. 42 Det virker unægtelig som om at Markowitz model er en simplificering af virkeligheden, såedes at modellen skal benyttes med en hvis varsomhed, medens der ses på flere makroøkonomiske 42 (Holton 29) 45

51 Porteføljesammensætning mean-variance parameter såsom huspriser, løn og BNP. Det vil f.eks. være muligt som Elton beskrev at modificere tallene i analysen på baggrund af disse makroøkonomiske variabler, således at modellen er bedre tilpasset til det turbulente marked. Dette kan også være problematisk da disse makroøkonomiske tal også er baseret på fortiden, men de kan være med til at give et indblik i hvordan fremtiden ser ud, med en vis varsomhed, og dermed få flere parametre at forudsige fremtiden på baggrund af. At modellen bygger på risikoen kan måles ved hjælp af standart afvigelserne gør også at afkastet skal være normalfordelt, hvilket der var problemer med i datamaterialet. Dette problem opstod til dels pga. problemer med kurtosis, men også skæve fordelinger. Der er i Markowitz model ingen mulighed for tage hensyn til en investors præference overfor højreskæve fordelinger. En mulighed kunne være at benytte sig af en alternativ tilgang, hvor Markowitz udelukkende bruges til at forudsige andele af aktier i en portefølje. Så porteføljen vil bestå af den 1 årige statsobligation samt indekset for C2, da det har vist sig gennem flere studier at indeks investeringer klare sig bedre end de fleste porteføljemanagers sammensætninger. 43 Rent praktisk vil det foregå på den måde at hvis Markowitz model kommer frem til at den mest efficiente portefølje på det givet tidspunkt skal indeholde 25 % aktier, skal der sammensættes en portefølje af 25 % af indekset for C2 og de resterende 75 % skal bestå af den 1 årige statsobligation. På denne måde ville det måske være muligt at sammensætte en bedre portefølje, men denne opgave har ikke til hensigt at analyserer for hvorvidt dette kunne være en mulighed, men da Markowitz ifølge de tidligere sammensætninger kom frem til at en portefølje skal indeholder mindre aktier end der var i benchmarket, kunne det tyde på at det ville have været et bedre alternativ, da det var aktiemarkedet der trak benchmarket ned. Det er efter ovenstående analyse forfatterens synspunkt trods alle de negative ting der følger med modellen at Markowitz stadig har en plads i moderne porteføljeteori. Dels på grund af at ikke alle sammensætninger var signifikant dårligere end benchmarket. Men lige så meget fordi at den rent faktisk forudså at aktier skulle udgøre en mindre andel. Så hvis denne teori f.eks. bruges sammen med andre makroøkonomiske retningslinjer, ville det være et udmærket redskab til at sammensætte en efficient portefølje. Magasinet trends in Investing har FPA research center lavet en analyse der viser at der ikke er enighed i finansverdenen om hvorvidt moderne porteføljeteori fejlede i 28, dog mener 43 % at den overlevede hvorimod 19 % mener at den fejlede, resten ved ikke. 44 Der er således stor uenighed 43 (Evensky 29) 44 (Sumnicht 29) 46

52 Porteføljesammensætning mean-variance om hvorvidt moderne porteføljeteori overhovedet har sin værdighed i fremtiden. Det kan også være et udtryk for menneskets natur at der skal være en grund til alt og at det i dette tilfælde er gået ud over moderne porteføljeteori. 47

53 Porteføljesammensætning - EWMA 5. Porteføljesammensætning med EWMA Dette afsnit har til formål at se om porteføljer konstrueret ved hjælp tidsvægtede standart afvigelser og kovarianser er bedre, således at porteføljesammensætningen bliver bedre til at tilpasse sig, efter hvordan markedet bevæger sig. Der er den forhåbning om at ved at vægte de seneste afkast højere end de ældre, at det vil blive muligt at reagere hurtigere på markedet, for således at skabe et bedre afkast en ved mean-variance Teoretisk gennemgang af EWMA Grundideen bag exponential weighted moving average (EWMA) er at det nyeste data er det mest relevante, således at disse data vægtes højere ved beregning af standart afvigelser samt kovarians. Der er dog den ulempe at ved EWMA at pludselige udsving og støj kan have en afgørende betydning for sammensætningen af porteføljerne, hvorimod ved mean-variance forsvinder dette støj i det store datamateriale. Så derfor antager EWMA at risikoen ikke er stationær, som der var forudsætningen for mean-variance. EWMA kan have sin fordel ved aktier som Vestas, da det tidligere blev beskrevet hvordan denne aktie svingede meget, dette vil EWMA være bedre til at tilpasse sig efter. Det er således muligt at bestemme variansen på følgende måde: 45 M σ 2 = (1 λ) λ t 1 r i μ i 2 t=1 [5.1] Under forudsætning af at ( < λ < 1), hvor λ er en decay faktor, der bestemmer hvor meget foregående datamateriale skal vægtes, således a hvis den sættes til tæt på 1 bliver de seneste observationer vægtet væsentlig stærkere end de foregående. Der vil i de kommende analyser blive benyttet en decay factor på,94, denne er dog mest beregnet til dagsdata, hvorimod,97 benyttes til månedsdata. 46 Grunden til der er valgt en decay factor der svare til dagsdata, er for at nedsætte den støj der kan findes i de voldsomme udsving markedet oplevede under finanskrisen. Kovariansen kan udregnes på følgende måde: 47 M σ r ik = (1 λ) λ t 1 r it μ i (r kt μ k ) t=1 [5.2] 45 (Horasanlı, Fidan 27) 46 (Horasanlı, Fidan 27) 47 (Horasanlı, Fidan 27) 48

54 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA Efter at disse værdier er beregnet vil det være muligt at konstruere de enkelte porteføljer på samme måde som det var gældende for mean-variance Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver Da der er blevet brugt det samme datamateriale som tidligere vil der i det efterfølgende kun blive gennemgået hvordan EWMA har påvirket risikoen samt kovarianserne for de enkelte aktiver, da afkastet er det samme som der blev benyttet tidligere Udvikling af std. afvigelserne Da grundideen med EWMA netop var at beregne en mere retvisende risiko på de enkelte aktiver, forventes der at de vil stige meget i løbet af de sidste måneder pga. det voldsomme udsving krisen har medført på aktiemarkedet. Nedenfor i tabel 5.1 er de enkelte standart afvigelser samlet for alle aktiver gennem perioden. Her ses det netop at de stiger meget kraftigt i november og december, to ud af de tre bankaktier, Danske Bank og Sydbank, stiger med omkring en faktor 3 på bare en enkelt måned. De eneste standart afvigelser der har været mere eller mindre stabile gennem hele perioden er for de 3 obligationer. Her ses det også at de har stort set samme standart afvigelserne som dem der var beregnet under Markowitz oprindelig teori. Dette er med til at illustrere at obligationer har en væsentlig mindre risiko end aktier gennem krisetider. Tabel 5.1, Oversigt over de beregnede standart afvigelserne ud fra EWMA Aktier Obligationer Jan. 3,6 3,7 3,2 6,8 3,9 2,9 2,9 4,9 2,1 4,1 4,3 2,8 3,3 4, 7, 4,2,2,3,6 Feb. 4, 4,1 3,9 7,8 4,2 3,6 3,3 5,7 3,6 4,6 5,1 3,7 3,6 3,6 7,2 5,2,2,4,7 Mar. 3,9 4, 4,4 7,6 3,9 3,2 3,5 5,2 3,8 4,5 4,7 3,6 3,4 3,5 6,5 4,7,2,4,7 Apr. 4,7 4,6 4,1 7,8 4,6 3,1 3,5 5,1 4,1 4,8 5, 3,3 3,7 4,7 6, 4,4,2,4,7 Maj. 4,4 4,3 3,6 7,3 4,1 3, 3,5 4,8 4, 4,5 4,7 3,2 3,6 4,2 5,4 4,1,2,5,7 Jun. 5,3 5,4 3,7 7,3 4,5 4,2 3,4 4,5 3,7 4,6 4,7 3, 3,6 4,4 5,4 4,,3,6 1, Jul. 4,9 4,9 3,6 7,1 4,6 4,8 4,1 4,1 3,6 4,3 4,4 2,9 3,8 4,2 5,4 4,1,4,8 1, Aug. 4,6 4,6 3,9 6,7 4,9 5,3 4,4 4,3 4, 4,2 5,6 2,9 4,4 3,9 4,9 4,3,3,7,9 Sep. 4,6 4,6 5,2 7,6 4,5 4,9 4,2 4,2 4, 3,9 5,4 3, 4,5 4, 4,7 5,2,3,8,9 Okt. 5,1 5, 4,9 1,1 4,9 5,4 4,4 7,1 3,9 3,7 5,3 2,9 4,2 3,8 6,5 6,5,3,7,8 Nov. 8,2 8,1 12,6 13,1 7,6 8,1 12,3 11,5 7,4 6,2 8,5 5,8 11,9 7,7 16,1 8,9,3,7 1, Dec. 8,7 8,5 12,9 13,7 9,5 7,7 13,1 12,3 9,4 5,7 8,9 6,6 13,6 8,2 15,5 9,8,3,8 1, Kilde: Egen tilvirkning, Excel arket Varians EWMA Den største forskel fra mean-variance og så EWMA er ved Vestas, denne aktie havde en standart afvigelse på omring de 8 gennem hele året, dog steg denne i løbet af november og december. Udregnes samme standart afvigelserne vha. EWMA tegner der sig et helt andet billede, her ses det at 49

55 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA der som udgangspunkt i januar er mere eller mindre den samme standart afvigelse, denne falder dog helt ned til 4,9 i september måned. Sammenholdes de ovenstående standart afvigelser for Vestas med de reelle værdier beregnet i bilag 2, ses at værdierne regnet ud vha. EWMA følger de samme svingninger, dog stadig med afvigelser, men dog ikke så markante som ved mean-variance. Det ses derfor at EWMA er bedre til at udregne værdier der ligger tættere op af de reelle værdier, men dette medføre ikke nødvendigvis bedre sammensætning af porteføljer da der stadig er forskel i værdierne Udvikling af korrelationen mellem aktiverne Ligesom det var gældende for standart afvigelserne er også korrelationskoefficienterne blevet meget mere dynamiske, således de svinger mere end de gjorde under mean-variance. Dette gør også gennemgangen af dem mere kompliceret, så derfor vil der i det efterfølgende blive brugt samme struktur som under mean-variance. Hvor der blev set på hvordan korrelationskoefficienterne så ud januar 28, samt hvordan disse havde ændret sig i december 28. Der vil således være flere bevægelser gennem 28, men det er tendenserne der vil blive kommenteret på i det efterfølgende Korrelation for obligationerne Umiddelbart ses der ikke den store forskel på korrelationskoefficienterne mellem de to tilgange, men det ses i tabel 5.2 at korrelationen mellem aktierne og obligationerne imellem er blevet mere negative. Hvilket kan medføre til yderligere diversifikation ved korrekt sammensætning af porteføljerne. Korrelationen mellem de tre obligationer og Novo Nordisk er derimod blevet positiv, ligesom korrelationen mellem de to Maersk aktier og den 1 årige statsobligation. Tabel 5.2, oversigt over korrelationskoefficienterne mellem obligationer og aktier, jan 28 2 års obl,13,8,16,36,11,2,24,35,12,11,16,25,42,26,14,2 1, 5 års obl,17,15,21,37,26,2,42,46,23,7,32,6,42,3,25,2,82 1, 1 års obl,6,8,13,23,11,12,33,3,19,3,15,1,36,3,17,29,76,82 1, Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket Porteføljemodel EWMA jan Der er dog ikke den helt store udvikling i obligationerne imellem ved de to fremgangsmåder, de er mere eller mindre stadig perfekt korreleret imellem, desuden falder de endnu mere i løbet af året, jf. tabel 5.3, men de er stadig meget positivt korreleret. Det vil derfor ikke forventes at de efterfølgende porteføljekonstruktioner vil bestå af alle 3 obligationer, da dette ikke bidrager til risikonedsættelse uden kortsalg. 5

56 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.3, Oversigt over korrelationskoefficienterne mellem obligationer og aktier, dec års obl.,1,11,2,18,7,6,5,28,8,5,15,5,3,13,6, 1, 5 års obl.,23,24,14,27,27,22,34,31,46,9,14,11,29,9,11,2,57 1, 1 års obl.,37,36,31,19,36,14,2,34,23,12,47,5,27,13,1,3,64,68 1, Kilde: egen tilvirkning, Excelarket Porteføljemodel EWMA dec Den føromtalte tendens til at korrelationen vil stige gennem krisetider afspejler sig mest for den 2 årige samt 5 årige statsobligationer, hvorimod den 1 årige statsobligation har en større tendens til at blive mere negativ korreleret gennem året. At denne bliver mere negativ, kan få betydning ved sammensætningen af tangentporteføljerne, men obligationens RtV skal selvfølgelig også tages i betragtning Korrelation for aktierne Den mest markante forskel på aktiernes indbyrdes korrelation i forhold til ved mean-variance er at stort set alle aktier korrelerer mere positivt med hinanden, dog med enkelte undtagelser med negativ korrelation. Dette vil som tidligere nævnt få den konsekvens at det bliver svære at skabe en diversificeret portefølje, udelukkende bestående af aktier, såfremt målet er at minimere risikoen uden hensynstagen til afkastet. Tabel 5.4, Oversigt over korrelationskoefficienterne mellem aktierne, jan 28 Maersk A 1, Maersk B,99 1, Carlsberg B,37,37 1, Norden,45,43,39 1, DSV B,41,4,46,41 1, Danisco,34,34,44,25,48 1, Danske Bank,27,24,63,27,5,53 1, Flsmidth,44,42,36,54,67,31,41 1, Jyske Bank,25,22,41,3,55,4,69,48 1, H Lundbeck,21,17,19,36,27,4,8,2,24 1, NKT,68,67,54,37,69,51,58,73,53,24 1, Novo Nordisk,16,19,15,6,16,9,11,26,12,4,3 1, Sydbank,29,26,54,5,4,27,71,37,55,18,38,7 1, Topdanmark,7,5,44,33,47,35,6,28,66,27,27,2,58 1, Vestas,41,41,12,39,41,31,14,67,21,13,57,35,11,14 1, William Demant,2,2,23,15,45,49,55,32,44,24,34,2,41,48,29 1, Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket porteføljemodel EWMA jan 51

57 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant Porteføljesammensætning - EWMA Det det foregående var de to Maersk aktier tæt på at have en perfekt positiv korrelation, dette ses i ovenstående tabel at være endnu mere tydeligt nu, hvilket gør at den eneste måde at kombinere dem sammen for at nedbringe risikoen vil være ved kortsalg. Tabel 5.5, Ændringer i korrelationskoefficienter fra januar til december 28 Maersk A 1, Maersk B 1, 1, Carlsberg B,76,77 1, Norden,8,81,62 1, DSV B,88,86,75,72 1, Danisco,53,56,38,61,33 1, Danske Bank,68,7,61,78,55,78 1, Flsmidth,85,85,73,83,85,53,68 1, Jyske Bank,52,55,46,65,46,53,82,45 1, H Lundbeck,42,43,23,55,26,71,66,42,37 1, NKT,74,74,75,58,67,46,62,68,45,42 1, Novo Nordisk,67,66,51,68,71,42,65,72,44,51,5 1, Sydbank,69,7,59,69,57,69,9,54,84,58,68,55 1, Topdanmark,8,8,68,67,8,5,66,78,37,46,53,77,56 1, Vestas,83,84,63,8,69,71,79,77,56,65,58,64,77,79 1, William Demant,5,44,33,26,58,6,13,51,2,19,45,43,18,49,35 1, Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket porteføljemodel EWMA dec De samme effekter med at de enkelte brancher korrelere stærkt med hinanden er også gældende ved denne fremgangsmåde, specielt i bankbranchen. Denne effekt tiltager yderligere gennem 28, således at de også nærmer sig perfekt positiv korrelation indbyrdes, jf. tabel 5.5. Samtidig ses det at William Demant, går modsat bankbranchen, således at korrelationen næsten bliver neutral i forhold til bankerne Sammensætning af porteføljer uden kortsalg De efterfølgende porteføljekonstruktioner er blevet udregnet på samme hvis som tidligere, med afsæt i EWMA, så standart afvigelser og kovarianserne bliver beregnet som gennemgået i teoriafsnittet Sammensætning af MVP Ved at konstruere MVP ud fra de gennemgåede data, ses det i tabel 5.6 at størstedelen af porteføljen udgøres af obligationer, ligesom det var tilfældet med mean-variance, hvor aktierne udgjorde omkring 2 % gennem hele 28. Dette er dog ikke tilfældet ved brug af EWMA, her ses det at andelen af aktier er blevet mere dynamiske, således at de er bedre tilpasset med udviklingen i C2-indekset, se figur 4.3. At andelen falder så drastisk hænger sammen med den stigende risiko samt den stigen- 52

58 Porteføljesammensætning - EWMA de korrelation der var på de enkelte aktiver. Det vil derfor også forventes at MVP ud fra denne sammensætning vil klare sig bedre end ved mean-variance. At risikoen samt korrelationen har været stigende gennem de sidste måneder afspejles også i de enkelte sammensætningers risiko, der stiger til det dobbelte gennem året. Det at der er brugt nye tal til disse sammensætninger, gør at det ikke umiddelbart er muligt at sammenligne RtV på de to fremgangsmåder. Det ses at det stadig gennem store dele af perioden ville være mere fordelagtigt at placere midlerne til den risikofrie rente, ud fra en risikobetragtning. Tabel 5.6, Porteføljekarakteristika for MVP uden kortsalg gennem 28 Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar 2,6 % 97,4 %,86,145,27 Februar 4,6 % 95,4 %,89,142,75 Marts 5,6 % 94,4 %,91,145,98 April 5,4 % 94,6 %,86,15,69 Maj 5,1 % 94,9 %,82,158,11 Juni 6,4 % 93,6 %,81,26 -,1 Juli 6,7 % 93,3 %,77,266 -,5 August 6,4 % 93,6 %,78,244 -,49 September 5,1 % 94,9 %,8,261 -,17 Oktober 4,3 % 95,7 %,8,244 -,1 November,9 % 99,1 %,74,323 -,25 December,8 % 99,2 %,77,326,2 Gennemsnit 4,5 % 95,5 %,82,218,1 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket Realiseret afkast EWMA uden kortsalg Ses der på allokeringen af obligationerne er det igen den 2 årige statsobligation der indgår i sammensætningerne, dog med en lille undtagelse i oktober hvor den 5 årige statsobligation også indgår, jf. tabel 5.7. Grunden til at det netop er blevet denne der indgår, skal ses i lyset af den meget lille risiko der er forbundet med den 2 årige statsobligation, ligesom det var tilfældet med meanvariance. Valget af aktier der indgår, syntes ikke at have den samme sammenhæng som ved mean-variance, hvor der var næsten den samme andel hele vejen igennem året, eller de i det mindste indgår i en længere periode af gangen. Da der ikke er dette ved brugen af EWMA, skyldes at de bagvedliggende tal som risiko og korrelation er meget mere dynamiske og hele tiden ændre sig. Dette kan rent praktisk betyde at det bliver svære at benytte sig af denne strategi, da det medføre øgede handelsomkostninger for at omstrukturere porteføljen. 53

59 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.7, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP Aktier Obligationer % % Jan.,,,,3,,,6,,, 1,6,1,, 97,4,, Feb.,,,4,,,,2 1,,5,5 1,9,,, 95,4,, Mar.,4,,1,,,3,,1,7 1,2 2,4,4,, 94,4,, Apr. 1,,,,,,2,,4 1,,3 1,5,9,,2 94,6,, Maj. 1,1,,6,1,,,,7 1,5,,1,9,, 94,9,, Jun. 3,6,,,,6,,,,,,7 1,2,3, 93,6,, Jul. 3,,,3, 1,6,,,,3,,,8,8, 93,3,, Aug. 2,6, 1,1, 1,2,,,,,,,7,8, 93,6,, Sep. 2,2,,,,6,,,,2,,5, 1,,4 94,9,, Okt., 2,2,,,3,,,,,,8,,5,5 88,7 7,, Nov.,,,,,6,,3,,,,,,, 99,1,, Dec.,,,,,,,8,,,,,,, 99,2,, Anm.: DSV og NKT er udeladt da disse ikke på noget tidspunkt indgår i MVP Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil Realiseret afkast EWMA uden kortsalg Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne Udviklingen af aktiernes andele i tangentporteføljerne, følger samme udvikling som det var tilfældet ved MVP, dog i et større omfang, således at der i juli måned var 45,7 % aktier, da andelen af aktier toppede. Selvom korrelationen mellem aktier og obligationer var negativ i december måned, var det ikke nok til at opveje den stigende risiko der var forbundet med investeringer i aktier, således at andelen blev nedbragt til 9,3 % i december, jf. tabel 5.8. Den største forskel mellem de to tilgangsmåder porteføljerne bliver konstrueret på, er at der ved brug af mean-variance bliver aktierne ikke reduceret nær så kraftigt som er tilfældet her. Dette skyldes naturligvis at de store udsving der var i markedet forsvandt i datamaterialet ved brug af mean-variance. Ligesom det var tilfældet for MVP vil disse konstruktioner også forventes at klare sig bedre, alene på baggrund af at andelen af aktier er blevet reduceret meget mere. 54

60 Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.8, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne uden kortsalg Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar 22,4 % 77,6 %,23,498,244 Februar 15,1 % 84,9 %,166,346,253 Marts 18,4 % 81,6 %,181,379,273 April 2,1 % 79,9 %,192,463,251 Maj 25,6 % 74,4 %,233,614,249 Juni 31,5 % 68,5 %,268,861,215 Juli 45,7 % 54,3 %,335 1,456,168 August 41, % 59, %,33 1,225,174 September 38,3 % 61,7 %,268,938,196 Oktober 32,5 % 67,5 %,29,792,16 November 14,3 % 85,7 %,197 1,68,68 December 9,3 % 9,7 %,164 1,118,79 Gennemsnit 26,2 % 73,8 %,227,864,194 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket Realiseret afkast EWMA uden kortsalg Ses der på hvordan andelen af aktier bliver fordelt på de enkelte aktier, ses det at det stort set er de samme aktier der indgår ved brug af EWMA, dog med den lille forskel at Carlsberg er blevet udeladt denne gang, hvor den har givet plads til Vestas, jf. tabel 5.9. At Vestas har fået en plads fra juni til september, skyldes til dels at risikoen faldt meget gennem denne periode, hvorimod den lå som den aktie med højeste risiko ved mean-variance. For obligationernes vedkommende er billedet det samme med at det er den 1 årige statsobligation der er dominerende, dog med den undtagelse i starten af året, her har den 5 årige fået en væsentlig større andel end det var tilfældet med meanvariance. Norden har fået en væsentlig mindre dominerende rolle i denne sammensætning, den lå aldrig under 1 % ved mean-variance. Grunden til dette skal igen findes i standart afvigelserne denne var væsentlig lavere før, hvorimod den nu er blevet væsentlig mere risikofyldt, således at den ved meanvariance have en lille standart afvigelse samt et meget højt afkast, dette gjorde den meget lukrativt at investerer i ud fra teorien. 55

61 Norden DSV B Jyske Bank NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.9, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne Aktier Obligationer % % Jan. 4,4, 8,7,7 4,4 4,2,,,, 71,6 6, Feb. 2,6,3,, 4,5 6,2 1,4,,, 77,5 7,4 Mar. 2,7,5,, 5,3 6,7 3,3,,, 53,4 28,1 Apr. 3,3 2,1,, 4,4 6,2 3,9,,3, 28,3 51,6 Maj. 6,3 1,3, 1,3 4,9 4,8 6,2,,9,, 74,4 Jun. 8,4,,, 3,4 9,2 7,3 2, 1,2,, 68,5 Jul. 13,7,,, 8,7 9,4 8,9 5,,,, 54,3 Aug. 12,1,,, 7,3 9,2 7, 5,3,,, 59, Sep. 7,4,,, 5, 11,8 7,1 6,9,,, 61,7 Okt. 3,6,,, 8,4 1,6 1,,,, 17,4 5,1 Nov. 9,9 1,9, 2,5,,,,,,, 85,7 Dec. 5,6,, 3,7,,,,,,, 9,7 Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil Realiseret afkast EWMA uden kortsalg Efter ovenstående gennemgang, tegner der sig et meget godt billede af hvor fleksibel EWMA er, til at tilpasse porteføljerne til de nuværende markedsforhold. Dette kan også vise sig at blive et problem at den er så fleksibel, dette kommer til udtryk ved f.eks. hvis der er en periode med høje standart afvigelser, hvilket ikke er sikkert at det vil forblive sådan fremover. Således at risikoen med at spå om fremtiden baseret på fortiden stadig er problematisk Sammensætning af porteføljer med kortsalg De efterfølgende porteføljekonstrueret er lavet på samme måde som ved mean-variance, med de samme begrænsninger Sammensætning af MVP Ved at sammensætte MVP med kortsalg ud fra EWMA opnås der en væsentlig større andel at aktier i porteføljen. At der er så stor forskel på brutto- og nominelle andele skyldes at der bliver kortsolgt i et relativ stort omfang, allerede ved MVP, hvilket ikke var tilfældet ved mean-variance. De generelle bevægelser af andele, følger de tidligere tendenser med at reducere andelen af aktier i løbet af den sidste del af året, således at der faktisk bliver kortsolgt flere aktier end der er blevet købt i december. 56

62 Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.1, Porteføljekarakteristika for MVP med kortsalg Brutto andele Nominelle andele Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar,3 % 99,7 % 17,9 % 82,1 %,69,92 -,141 Februar 4,2 % 95,8 % 15,9 % 84,1 %,75,17 -,28 Marts 6,8 % 93,2 % 12,1 % 87,9 %,76,126 -,9 April 7, % 93, % 16,8 % 83,2 %,66,122 -,83 Maj 5,3 % 94,7 % 19,5 % 8,5 %,75,134 -,45 Juni 6,9 % 93,1 % 21,8 % 78,2 %,62,139 -,152 Juli 7,2 % 92,8 % 23,8 % 76,2 %,41,157 -,314 August 7, % 93, % 27,9 % 72,1 %,52,171 -,22 September 6,2 % 93,8 % 16, % 84, %,59,28 -,122 Oktober 4,7 % 95,3 % 24,4 % 75,6 %,58,21 -,118 November,3 % 99,7 % 25,7 % 74,3 %,5,25 -,159 December -,6 % 1,6 % 15,4 % 84,6 %,58,221 -,86 Gennemsnit 4,6 % 95,4 % 19,8 % 8,2 %,62,157 -,123 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket realiseret afkast EWMA med kortsalg I modsætningen til de konstruktioner der blev foretaget uden kortsalg er RtV negativ gennem hele 28. Dette sket som følge af at minimere risikoen så meget, således at det forventede afkast også er kraftigt reduceret i forhold til uden kortsalg. Det ses således at det er muligt at udnytte de positive korrelationer til at minimere risikoen vha. kortsalg. Dette ses meget tydeligt i tabel 5.11, hvor de to Maersk aktier er henholdsvis blevet købt og kortsolgt. Disse to aktiers indbyrdes korrelation var som føromtalt så godt som perfekt positiv korreleret. Det er på samme grundlag at der vælges at kortsælge den 1 årige statsobligation, som det var tilfældet for de to Maersk aktier. Derudover ses det at det igen er den 2 årige statsobligation der udgør størstedelen af obligationerne, hvilket det har været til for samtlige MVP sammensætninger. 57

63 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA 5.11, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP med kortsalg Aktier Obligationer % % Jan 8,1-7,5 -,7 -,2 -,2,3 1,6 1,2-2,8,5 -,5 -,6 1,4 1,6,6-2,4 1 18,9-19,2 Feb 6,8-6, 1, -,3 -,2,1, 1,1 2,2,8-1,7,2 2, -,7,1-1,1 1 12,7-16,8 Mar,6,7 -,4 -,6 -,1 1,1 1,3,8,2 1,6-2,2 1,3 3,1,4,4-1,3 1 4,5-11,3 Apr 4,8-2,1 -,4-1,2 -,9,7 1,2 1,,4 1,7-2,6,8 2,7 1,3,6 -,9 1 4, -11, Maj 8,3-6, 1,6 -,2-1,3, -1,6,4,8 1,4 -,7 -,4,6 1,8,3,3 1,4-5,7 Jun 1,6-6,1 1,3 -,5-2,8 1, -1,6,9 -,6 1,3-2,3,3 2, 2,3,8,3 1 9,1-16, Jul 13, -7,6 3,5-1,9-2,6 2,7-3,9,5,7 2, -1,9 -,5 -,1 2,6 1,3 -,7 1 19,1-26,3 Aug 17, -11,4 3, -1,8-1,5 1,1-1,7,6-1,4,8-1,5 -,4,7 2,7 1, -,2 1 6,6-13,6 Sep 3,4 -,3 1,4 -,7-3, 1, -2,7 3,6 -,4 1,8-2,,5 2,3,8,,6 1 11,2-17,4 Okt -6,2 9,5 2,3,1-2,5 1, -3,4 2,5 -,8 2, -2,3 -,4 2,4 -,2 -,8 1,6 1 6,6-11,3 Nov -8,4 1,2,2 -,1-1,4 2,2-1,3 3,4 -,8 3, -1,4-2,1 1,6-2,2-2,2 -,5 1 8,9-9,2 Dec 5,8-4,3 -,8 -,2-1, -,1,6 4,,7,7-1,1-1,1,1-1,9-1,6 -,5 1 17,4-16,7 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket realiseret afkast EWMA med kortsalg I forhold til tidligere MVP med kortsalg bliver der kortsolgt betragtelig mere ved brugen af EWMA, dette er sket ved kortsalget er spredt ud over flere aktiver end tidligere ved mean-variance. Grundlaget for at der er blevet kortsolgt mere, er at der har været en væsentlig højere korrelation mellem de enkelte aktier. Dette har dog også sat sine spor på det forventet afkast der er væsentlig lavere Sammensætning af tangentporteføljer Efter at tangentporteføljerne med kortsalg er blevet sammensæt, tegner der sig et billede af at der bliver kortsolgt aktier i væsentlig større omfang en der er set i de tidligere konstruktioner. Dette betyder at der igennem hele 28 har været en klar overvægtning af aktier, hvilket ikke er set tidligere. Det har i starten af 28 været så meget at obligationerne brutto udgjorde over 1 %, jf. tabel At der bliver kortsolgt i så stort et omfang påvirker også nøgletallene. Det forventede afkast ligger højere end ved tidligere konstrueret porteføljer, men ved at kortsælge så meget som er tilfældet ligger den gennemsnitlige risiko ikke over tilsvarende porteføljer konstrueret med mean-variance. Det at der bliver kortsolgt så meget som er tilfældet her, gør også at porteføljerne er ekstra udsatte såfremt kurserne stiger på de kortsolgte aktier og tilsvarende falder for de der er købt. 58

64 Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.12, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne med kortsalg Brutto andele Nominelle andele Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV Januar 6,2 % 93,8 % 66,8 % 33,2 % 1,183 2,631,418 Februar -3, % 13, % 6,9 % 39,1 %,881 1,781,451 Marts 1,1 % 89,9 % 57,5 % 42,5 %,67 1,311,453 April -5,2 % 15,2 % 52,9 % 47,1 %,388,89,385 Maj 5,8 % 94,2 % 56,8 % 43,2 %,45,962,337 Juni 21,6 % 78,4 % 77,6 % 22,4 %,672 1,842,32 Juli 29,3 % 7,7 % 8,4 % 19,6 % 1,318 4,263,288 August 42,3 % 57,7 % 67,1 % 32,9 %,944 2,779,37 September 38,6 % 61,4 % 67,2 % 32,8 %,738 1,954,334 Oktober 5,9 % 49,1 % 79,5 % 2,5 %,89 2,329,347 November 19,3 % 8,7 % 72, % 28, %,91 3,621,228 December 1,3 % 89,7 % 81, % 19, %,956 3,717,237 Gennemsnit 18,8 % 81,2 % 68,3 % 31,7 %,83 2,333,342 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket realiseret afkast EWMA med kortsalg Det karakteristiske ved indholdet af de enkelte porteføljer er at stort set alle aktier indgår med store andele, hvilket gør at den føromtalte risiko forstærkes yderligere, men hvis forudsigelserne er rigtig kan det selvfølgelig også generere et tilsvarende stort afkast. På denne baggrund må det også forventes at disse porteføljer er veldiversificeret, således at Treynor- og Jensen-indekset vil blive mere pålideligt Igen bliver de to Maersk aktier benyttet til at nedsætte risikoen, da den ene bliver købt hvor den anden bliver kortsolgt, dog er der ikke samme sammenhæng mellem dem, da B aktien bliver kortsolgt i maksimalt omfang gennem næsten hele året. Ligesom det har været tilfælde for de andre tangentporteføljer bliver der investeret i den 1 årige statsobligation, men der bliver dog kortsolgt af den 5 årige statsobligation hvilket ikke har været tilfældet tidligere, hvor det derimod var den 2 årige statsobligation der blev kortsolgt. 59

65 Maersk A Maersk B Carlsberg B Norden DSV B Danisco Danske Bank Flsmidth Jyske Bank H Lundbeck NKT Novo Nordisk Sydbank Topdanmark Vestas William Demant 2 års obl 5 års obl 1 års obl Porteføljesammensætning - EWMA Tabel 5.13, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne med kortsalg Aktier Obligationer % % Jan. 39, ,3 38,6 13,4-26,9-43,9-54,1 58,7-28,5 9,7 24,6 29,4-1,8-5,5 4,3-1 94,4 99,4 Feb. 46, ,8 25, 19,1-23,1-17,6-46,8 1,3-18,2 62,6 27,6 24,3 9,9 4,4-11,5-97, 1 1 Mar. 64,2-1 1,1 2,5 12,3-14,5-8,8-29,5 1,3-16,9 37,8 22,6 17,4 6,7 1,7-5,9-88,4 78,3 1 Apr. 89,5-1 3,5 12,3 12,9-19,8-11,2-19,7 1,2-17,3 15, 6,1 5,5 7,3 3,1 6,4 99,9-94,8 1 Maj. 4,3-54, -8,1 14,1 13,9-16,1 9, -11,7 8, -16, 9,9 5,3-2,3 8,2 -,5 5,9 32,1-37,9 1 Jun. 84,1-99,7-21,4 25,9 11,4-26,6 23, -25,6 -,8-31, 4,8 13,4 29,8 16,4 18,6 -,7-23,4 1,9 1 Jul. 6, ,1 49,2 47,7-46,8 9,4-1 36,4-75, 43,8 16,9 36, 36,1 64,6-26,9 29,5-58,8 1 Aug. 53, ,8 39,5 16,1-5,9 -,7-48,4 24,1-31,6 16,4 38,3 32,4 22,6 41,2-23,4 57,7-1 1 Sep. 76,6-1 -2,8 25,6 1,7-8, -11,5-6,3 11,4-25,5 22,6 19,6 27,6 27,4 41,6 1,7 5,6-89,1 1 Okt. 65, ,5 24,6 14,9-16,6 3,6-76,1 11,2-39,5 28,5 35,1 39,5 38,3 57,3-2,2-21,4-29,5 1 Nov. 38, ,5 42,9 16,2 7, -58,4-27, 6,6-26,9 41,1 1,9 26,7 59,6 4,9-1,1 35,7-55, 1 Dec. 17, ,8 49,3 2,1 18,4-34,7-32,2 11,3-29,8 59, -5,8-2, 62,6 2,2-1,8-3,6-6,7 1 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket realiseret afkast EWMA med kortsalg 5.5. Performansevaluering For at skabe mest mulig overskuelighed vil der i den kommende performance analyse blive sammensat porteføljer på samme måde som ved mean-variance. Hvor der blev sammensat fire porteføljestrategier til henholdsvis MVP og tangentporteføljerne, med og ude kortsalg Performance for MVP Det ses i tabel 5.14 at alle otte MVP har genereret et gennemsnitlig positivt afkast, de fire MVP med kortsalg har dog genereret en noget bedre afkast, end de fire uden kortsalg. Således at de ses at der med fordel kan anvendes kortsalg ved MVP, dette er dig uden at der er taget højde for risikoen der er forbundet med de enkelte porteføljer. Risikoen er mere eller mindre den samme som de var under mean-variance, dog en anelse højere specielt for de fire porteføljer med kortsalg. For at tage højde for risikoen i evalueringen af porteføljerne er der blevet beregnet de samme nøgletal som tidligere, men denne gang er Treynor medtaget med kortsalg, da det jf. tidligere gennemgang var en bedre diversificering blandt MVP med kortsalg en der tidligere har været. Ses der udelukkende på de fire MVP uden kortsalg, ses det at de alle fire har genereret en positiv alpha, således at de alle har givet et bedre afkast end der var forventet. Dog har MV3U skabt et marginalt bedre alpha end de tre andre. Det er derimod MV4U jf. Sharpe været den portefølje der har været bedst, dog har alle fire sammensætninger haft en negativ Sharpe, grundet det lavere afkast end den risikofrie rente, men det er trods alt bedre end benchmarket. Ud fra dette må det antages 6

66 Porteføljesammensætning - EWMA ved sammensætning af MVP uden kortsalg kan det bedst betale sig at gøre det ud fra mean-variance teorien. Tabel 5.14, Performancemål for MVP MVP uden kortsalg MVP med kortsalg MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M Benchmark Afkast,72,51,64,72,131,12,141,98 -,344 Std. afv.,373,476,414,47,423,598,489,481 2,132 Sharpe -,24 -,63 -,4 -,21,119,66,124,36 -,199 Treynor ,21,24,34,12 Jensen 1,214 1,358 1,36 1,215 1,75,746,85,649 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket performance EWMA I modsætningen til MVP uden kortsalg har det været muligt at skabe et afkast der er ca. dobbelt så højt ved brug af EWMA, uden at standart afvigelserne er steget tilsvarende. Ud fra Jensen er det MV1M der har skabt det bedste ekstra afkast, men de tre performancemål giver ikke et entydigt svar denne gang. Sharpe og Treynor peger derimod begge på at MV3M skulle være et bedre alternativ. Dette må også antages at være sandt, da netop Sharpe tager højde for både bredden og dybden af porteføljen. Det ses således at ved at vægte de seneste standart afvigelser højere, giver en mere efficient portefølje. Ved at estimere alpha værdierne ses det at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for at MVP uden kortsalg klare sig bedre eller dårligere end benchmarket. Det vides således ikke om det blot var et tilfælde at de genererede et bedre afkast end benchmarket. Tabel 5.15, Estimerede alpha værdier Alpha MVP uden kortsalg MVP med kortsalg MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M,29,39,36,36 *,91 (,46) (,47) (,46) (,49) (,54) Anm.: * angiver signifikant ved 1 % og ** signifikant ved 15 % Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 4,96 (,76) **,99 (,65),5 (,65) Det er derimod med en hvis sandsynlighed at det kan konkluderes at MV1M og MV3M har karet sig bedre end benchmarket. Det skal dog bemærkes at MV3M kun er signifikant ved 15 %, dette sammenholdt med værdierne fra tabel 5.14 tyder det således på at en investor med ovennævnte porteføljer har haft et bedre afkast end benchmarket. Havde der været taget handelsomkostninger med i betragtning, var det ikke sikkert at MV3M ville have været så fordelagtig som det ses, da en oftere omstrukturering af porteføljen ville have medført et ringere afkast efter handelsomkostningerne. 61

67 Porteføljesammensætning - EWMA Performance for tangentporteføljerne Det karakteristiske ved tangentporteføljerne er at de i teorien burde generere et bedre afkast i forhold til MVP, dog med en større risiko, men samlet set skulle risikopræmien være højere i tangentporteføljerne. Det ses i tabel 5.16, at tangentporteføljerne ikke lever op til kravet om bedre afkast, det levere faktisk et ringere afkast end MVP. Årsagen til dette skal findes i den større andel af aktier der indgår i disse porteføljer. Det forholder sig sådan at den portefølje der har klaret sig bedst, uden at tage højde for risikoen er RtV1U, altså den der er sammensat i januar 28. Det skal også bemærkes at det er den portefølje med den laveste risiko, men den genererer dog et afkast der er negativt i et omfang svarende til benchmarket. Tages risikoen med ind i vurderingen af porteføljernes performance ses det igen at det er RtV1U der jf. Jensen har været den portefølje der har genereret det bedste afkast end forventet, således at taget dens risiko i mente burde den have haft et ringere afkast. Det er ligeledes tilfældet med Treynor, dog skal det bemærkes at porteføljerne konstrueret uden kortsalg med EWMA kan have problemer med at opfylde kravet om diversifikation, jf. Treynor. Således at det vil give et mere retvisende billede at se på Sharpe der peget på at RtV2U skulle have formået at generere det bedste afkast i forhold til dennes risiko. At denne er bedre skyldes dens noget højere risiko i forhold til de andre, dog har afkastet været ringere, men ikke i forhold til den forbundne risiko. Tabel 5.16, Performancemål for tangentporteføljerne Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M Benchmark Afkast -,313 -,54 -,44 -,323-1,535-1,787-1,92-1,188 -,344 Std. afv. 1,328 2,986 2,25 1,782 6,771 1,27 8,98 6,838 2,132 Sharpe -,296 -,28 -,239 -,226 -,239 -,183 -,145 -,186 -,199 Treynor -,288 -,93 -,56 -,382 2,58-15,852-7,565-7,533 Jensen,187 -,337 -,78,46-1,65-1,818-1,17-1,197 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket performance EWMA Tages kortsalg med i betragtningen ses der igen at det er nødvendig med en oftere omstrukturering af porteføljen for at minimere tabet gennem 28, dog igen uden at tage højde for risikoen således at RtV3M er den portefølje der har genereret det bedste afkast, dog stadig negativt. Ligeledes ses der igen modsat teorien at porteføljerne med kortsalg har en højere risiko end de tilsvarende porteføljer uden. Det er således også det er den selvsamme porteføljer der jf. Jensen har formået at generere det bedste ekstraafkast, dog stadig et negativt afkast. Dog findes der ikke noget entydigt svar blandt de tre performancemål. Det ses bl.a. at RtV1M har en meget stor Treynor værdi, dette skyldes en negativ 62

68 Porteføljesammensætning - EWMA betaværdi der fremkommer af den negative korrelation mellem afkastserien for RtV3M og benchmarket. Ifølge Sharpe er det også RtV3M der har klaret sig bedst i forhold til dens risiko, ligesom det var tilfældet med Jensen, således at det må konkluderes at det er den af de 4 strategier der har været bedst, også rent afkastmæssigt. Modsat Treynor og Jensens indeks, viser det sig faktisk at RtV1U har genereret et negativt afkast gennem 28 ved at estimere alpha vha. liniær regression. Det er dog ikke muligt at konkludere hvilken af de tre andre porteføljer der er det bedste alternativ, da ingen af dem har en signifikant alpha værdi. Tabel 5.17, Estimerede alpha værdier Alpha MVP uden kortsalg MVP med kortsalg RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M **-,168 -,65 -,118 -,9 (,11) (,153) (,121) (,12) Anm.: * angiver signifikant ved 5 % og ** signifikant ved 1 % Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 4 *-1,961 (,944) -,721 (1,126) -,223 (,944) -,533 (,83) Tages kortsalg med i betragtningen ses det at porteføljen skal omstruktureres mere end en gang i løbet af året, da RtV1M har genereret et meget dårligt signifikant afkast. Det kan dog ikke konkluderes hvorvidt de tre andre alternativer generere et bedre afkast end benchmarket da de ikke har en signifikant alpha værdi. Ud fra ovenstående gennemgang, ses det at Sharpe er det bedste performancemål til evalueringen af porteføljerne, da denne påpegede at RtV1U og RtV1M havde den ringeste risikopræmie pr. risikoenhed, hvilket kan påvises at have en signifikant negativ alpha Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA Efter gennemgangen af EWMA ses det at det var muligt at skabe et signifikant bedre afkast end benchmarket i MVP med kortsalg, ved at omstrukturere porteføljen kvartalsvist. Det var ligeledes muligt at påvise at tangentporteføljer sammensat januar 28, både med og uden kortsalg skaber et signifikant ringere afkast end benchmarket. For at skabe det bedst mulige afkast, ved hjælp af EW- MA for tangentporteføljerne skulle der ikke benyttes en så aktiv strategi, da de bedste Sharpe ratios blev opnået ved at omstrukturere porteføljen hvert halve år, dog uden at der var skabt et signifikant merafkast end benchmarket. Netop at EWMA er god til at tilpasse sig omgivelserne medførte en forventning om at det var bedst at føre en aktiv strategi med hyppige omstruktureringer. Dette viste sig dog under performance ana- 63

69 Porteføljesammensætning - EWMA lysen ikke at være tilfældet, det tyder således på at EWMA kan komme med forhastede konklusioner. Det kunne eventuelt være forsøgt at analyserer hvorvidt en anden decay factor kunne have genereret et bedre signifikant afkast. Dette er dog ikke forsøgt da det viste sig at hyppige omstruktureringer af porteføljerne ikke var nogen god løsning. Det antages derfor at en højere decay factor ville have påvirket resultatet negativt, da en sådan model er mere eksponeret for støj i datamaterialet Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA Den største forskel mellem de to tilganges performance skal findes blandt MVP. Ud fra Markowitz oprindelige tankegang, var det ikke muligt at genererer nogle signifikant positive alphaer, det var det derimod med EWMA, hvor der var to porteføljer med kortsalg der skabte en positiv alpha. For tangentporteføljernes vedkommende var det heller ikke muligt ud fra de to tilgange at sammensætte en portefølje med en signifikant alpha, hverken ved brug af mean-variance eller EWMA. Hvis der derimod tages afsæt i Sharpe, der viste sig at være en udmærket indikator for hvordan de enkelte porteføljer klarede sig. Her viste det sig at MVP uden kortsalg klarede sig bedst med udgangspunkt i mean-variance, hvorimod med kortsalg skulle der gøres brug af EWMA. For tangentporteføljerne var brugen af EWMA bedst for samtlige porteføljer på nær RtV1U. Så ud fra Sharpe konkluderes det at det at det bedste resultat opnås vha. af EWMA, da denne tilgang er bedst til at tilpasse de enkelte porteføljers sammensætning, efter hvordan markedet agerer. 64

70 Konklusion 6. Konklusion Med udgangspunkt i Markowitz porteføljeteori, er det blevet undersøgt hvordan denne klarede sig igennem finanskrisen i 28, ved at sammensætte forskellige porteføljer på baggrund af meanvariance og EWMA. Markowitz porteføljeteori består af tre grundelementer, afkast, risiko samt korrelation imellem aktiver. Til at beregne afkastet blev der benyttet det geometriske afkast, da denne havde sine fordele ved finansielle tidsserier. Ud fra disse afkast blev risikoen beregnet som variansen herpå, samt de enkelte aktivers indbyrdes korrelation imellem. Ud fra disse tre parametre var det dermed muligt at sammensætte den efficiente rand, der dækker over de kombinationsmuligheder for et givet afkast ved at minimere risikoen. På denne rand er der to interessante punkter, MVP og tangentporteføljen. MVP dækker over den kombinationsmulighed hvorved den laveste risiko findes, uden at tage højde for afkastet. I MVP var det muligt at sammensætte en portefølje med mindre risiko end det aktiv med den mindste risiko, ved at udnytte de indbyrdes korrelationer. Tangentporteføljen dækker over den kombinationsmulighed hvor der opnås den største risikopræmie pr. risikoenhed, således den bedste kombinationsmulighed på randen. Ved at sammensætte porteføljerne korrekt var det muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, der er forbundet med at investere i et enkelt aktiv. Det viste sig også at det ikke var muligt at bortdiversificere den systematiske risiko, som finanskrisen hørte under. Der er ved sammensætningen af den efficiente rand to tilgangsmåder. Den ene er med en restriktion om at det ikke er tilladt at kortsælge, altså låne en aktie af en anden investor og sælge den, for senere at købe den tilbage igen billigere, og levere den tilbage til den oprinde investor igen. Ved at benytte sig af kortsalg var det muligt at nedbringe risikoen yderligere, ved at udnytte at nogle aktiver korrelere meget med hinanden, således den ene kunne kortsælges og den anden købes. Efter at have testet datamaterialet for hvorvidt afkastserien fulgte en normalfordeling, tegnede der sig et klart billede af at samtlige afkastserier havde problemer med både skævhed samt kurtosis. Dog viste det sig at afkastserier baseret på ugedata, var bedre normalfordelt end de tilsvarende afkastserier baseret på dagsafkast. Ved Markowitz oprindelige teori bygget på mean-variance fik faldet på aktiemarkedet ikke den store effekt, grundet det store datamateriale. Der viste sig dog nogle tendenser på at afkastet faldt, samt at risikoen steg en smule. Der hvor det fik størst effekt var på korrealtionen, denne steg mod slutningen af 28, hvilket bevirkede at muligheden for risikoreduktion uden brug af kortsalg faldt. 65

71 Konklusion Hvorimod ved brug af kortsalg at der kunne drages fordel af dette. Der viste sig nogle klare tendenser gennem hele 28 om at aktier og obligationer er negative korreleret, hvilket blev forstærket gennem 28. det viste sig samtidigt at de tre statsobligationer imellem var mere eller mindre perfekt korreleret. Bevægelserne i datamaterialet fik andelen af aktier der indgik i porteføljen til at falde de sidste par måneder, hvorved Markowitz på sin vis beviste sit værd. Ved den efterfølgende performance analyse, viste at det ikke var muligt at skabe en MVP med et signifikant bedre afkast en benchmarket, hverken ved brug af kortsalg eller uden, ud fra de fire forskellige investeringsteorier. I modsætning til benchmarket formåede MVP dog at levere et gennemsnitlig positivt afkast gennem 28. Det viste sig også som teorien forudsagde at det var muligt at sammensætte porteføljer med en lavere risiko vha. kortsalg. I modsætningen til MVP skabte alle otte tangentporteføljer et gennemsnitlig negativt afkast, men det var kun muligt at påvise med statistisk sikkerhed at de første tre investeringsstrategier med kortsalg, skabte et negativt afkast i forhold til benchmarket. Derfor er det nødvendigt at omstrukturere tangentporteføljen hver måned hvis en portefølje skal kunne klare sig mindst ligeså godt som benchmarket, både med og uden kortsalg. Den føromtalte effekt med at kortsalg skulle kunne nedsætte risikoen var ikke tilfældet for de fire strategier med kortsalg, de havde alle en væsentlig højere risiko end de tilsvarende strategier uden kortsalg. Ved at benytte sig af tidsvægtede varianser i stedet for de gennemsnitlige, blev forskellen mellem de beregnede værdier samt de reelle værdier meget mindre, således at datamaterialet var mere retvisende. Samtidig viste det sig at de tendenser med stigende risiko samt korrelation blev forstærket yderligere. Ved at estimere Jensens alpha var det muligt at påvise MVP med kortsalg, sammensat januar 28 samt den der var tilpasset kvartalsvis, at estimerer en positiv alpha der var signifikant. Det kunne derimod ikke med statistisk sikkerhed påvises en alpha forskellige fra nul ved MVP uden kortsalg. Ved MVP uden kortsalg med udgangspunkt i mean-variance, var det muligt at skabe et bedre afkast, hvorimod det forholdte sig omvendt for MVP med kortsalg. For tangentporteføljernes vedkommende forholdte det sig sådan, at det kun var porteføljen sammensat i januar 28 der genererede en signifikant negativ alpha, både med og uden kortsalg. Ud fra Sharpe der viste sig at være et godt performancemål, ses det at risikopræmien pr. risikoenhed er bedre på de otte tangentporteføljer sammensat på baggrund af EWMA. Det blev derfor konkluderet at EWMA var bedre til at tilpasse sig, således at de enkelte porteføljesammensætninger blev bedre end ved brug af meanvariance. 66

72 Konklusion Således tegnede der sig et billede af at Markowitz teori stadig er brugbar. Den har dog nogle problematiske sider, for det første er den baseret på historiske data, hvilket giver problemer da historien sjældent gentager sig i fremtiden. Derudover virker modellen meget snæver i den forstand at en portefølje bliver sammensat på baggrund af tre parameter. Det blev derfor foreslået at bruge modellen sammen med andre makroøkonomiske variabler. Ydermere blev der foreslået en anden tilgang til porteføljekonstruktion, da Markowitz model fandt frem til at aktiebeholdningen skulle nedsættes, kunne den bruges som et måleinstrument til at sammensætte en portefølje lignende benchmarket. Til slut er der blot at sige, for at citerer Lord Keynes: 48 Der er en fare forbundet med at forvente, at fremtidens resultater kan forudsiges på baggrund af fortiden 48 (Schroeder 29) 67

73 Bibliografi 7. Bibliografi Benninga, S. & Czaczkes, B. 2, Financial modeling, 2. edition edn, MIT, Cambridge, Mass. Bodie, Z. & Merton, R.C. 2, Finance, International ed. edn, Prentice hall, Upper Saddle River, N.J. Elton, E.J. 23, Modern portfolio theory and investment analysis, 6. ed.; International edition edn, Wiley, Hoboken, N.J. Evensky, H. 29, "Is MPT Dead? Is Alpha Beta? And Other Interesting Questions", Journal of Financial Planning, vol. 22, no. 6, pp Farrell, J.L., Reinhart, W.J. & Farrell, J.L. 1997, Portfolio management: Theory and application, 2nd edition edn, McGraw-Hill, New York. Haugen, R.A. 1997, Modern investment theory, 4. ed. edn, Prentice Hall International, London. Holton, L. 29, "Is Markowitz Wrong? Market Turmoil Fuels Nontraditional Approaches to Managing Investment Risk", Journal of Financial Planning, vol. 22, no. 1, pp Horasanlı, M. & Fidan, N. 27, "Portfolio Selection by Using Time Varying Covariance Matrices", Journal of Economic & Social Research, vol. 9, no. 2, pp Moffett, M.H., Eiteman, D.K. & Stonehill, A.I. 29, Fundamentals of multinational finance, 3. ed., internat. ed. edn, Pearson Prentice Hall, Boston, Mass. u.a. Schroeder, A. 29, Warren Buffett: et liv med milliarder, 1. udgave edn, Børsen, Kbh. Sumnicht, V. 29, "MPT Principles Valid After 5 Decades", Journal of Financial Planning,, pp Varian, H. 1993, "A Portfolio of Nobel Laureates: Markowitz, Miller and Sharpe", Journal of Economic Perspectives, vol. 7, no. 1, pp Verbeek, M. 24, A guide to modern econometrics, 2. ed. edn, John Wiley, Chichester. 68

74 Indholdsfortegnelse for bialg 8. Bilagsoversigt Bilag 1 Normalitetstest fra Eviews... 1 Bilag 2 Sammenligning af de beregnede værdier med de reelle Bilag 3 Estimering af alpha mean variance Eviews Bilag 4 - Estimering af alpha EWMA Eviews

75 Bilag 1 Bilag 1 Normalitetstest fra Eviews Dagsdata Perioden til Series: A_P_MOLLER MAERSK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean.963 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: A_P_MOLLER MAERSK A_ Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness.8787 Kurtosis Jarque-Bera Probability. 5 4 Series: CARLSBERG Sample 1/3/2 12/31/24 Observations Mean.862 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 1

76 Bilag Series: DANISCO Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 5 4 Series: DANSKE_BANK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations Mean.7282 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DMPKBT_NORDEN Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 5 4 Series: DSV Sample 1/3/2 12/31/24 Observations Mean.7584 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 2

77 Bilag Series: FLSMIDTH COMPANY Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: H_LUNDBECK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: JYSKE_BANK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: NKT Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean.1316 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 3

78 Bilag Series: NOVO_NORDISK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean.4268 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: SYDBANK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean.1973 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: TOPDANMARK Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 5 4 Series: VESTAS_WINDSYSTEMS Sample 1/3/2 12/31/24 Observations Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 4

79 Bilag Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_ Sample 1/3/2 12/31/24 Observations 135 Mean.4673 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G Sample 12/31/ /3/24 Observations 135 Mean.1786 Median.225 Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_5_YEAR_DS_G Sample 12/31/ /3/24 Observations Mean Median.3183 Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_1_YEAR_DS_ Sample 12/31/ /3/24 Observations 135 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 5

80 Bilag 1 Dagsdata Perioden til Series: A_P_MOLLER MAERSK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: A_P_MOLLER MAERSK A_ Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: CARLSBERG Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 6

81 Bilag Series: DANISCO Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DANSKE_BANK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DMPKBT_NORDEN Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean.4629 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DSV Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness.6583 Kurtosis Jarque-Bera Probability. 7

82 Bilag Series: FLSMIDTH COMPANY Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: H_LUNDBECK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: JYSKE_BANK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: NKT Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 8

83 Bilag Series: NOVO_NORDISK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness.3422 Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: SYDBANK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: TOPDANMARK Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean.4471 Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 5 4 Series: VESTAS_WINDSYSTEMS Sample 1/3/25 12/31/28 Observations Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 9

84 Bilag Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_ Sample 1/3/25 12/31/28 Observations 143 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G Sample Observations 143 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_5_YEAR_DS_G Sample Observations 143 Mean.1277 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_1_YEAR_DS_ Sample Observations 143 Mean Median.1911 Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 1

85 Bilag 1 Ugedata - Perioden til Series: A_P_MOLLER MAERSK A_ Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: A_P_MOLLER MAERSK_B Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness.3774 Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: CARLSBERG_B Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 11

86 Bilag Series: DANISCO Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DANSKE_BANK Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. Series: DMPKBT_NORDEN Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean.8466 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DSV_B Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean.2981 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 12

87 Bilag Series: FLSMIDTH COMPANY_B Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: H_LUNDBECK Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean.1571 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. Series: JYSKE_BANK Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: NKT Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 13

88 Bilag Series: NOVO_NORDISK_B Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: SYDBANK Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: TOPDANMARK Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: VESTAS_WINDSYSTEMS Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 14

89 Bilag Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_ Sample 1/7/2 1/1/29 Observations 469 Mean Median. Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G Sample 1/7/2 4/8/21 Observations 535 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 15

90 Bilag Series: DK_BENCHMARK_5_YEAR_DS_G Sample 1/7/2 4/8/21 Observations 535 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 1 8 Series: DK_BENCHMARK_1_YEAR_DS_ Sample 1/7/2 4/8/21 Observations Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability. 16

91 Bilag 2 Bilag 2 Sammenligning af de beregnede værdier med de reelle Benyttede afkastværdier til porteføljesammensætning Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Maersk A,1,7,9,9,9,12,11,1,11,7 -,1 -,3 Maersk B,8,5,6,7,7,1,9,8,9,5 -,3 -,5 Carslber B,23,19,22,22,23,22,2,16,19,18,4 -,2 Norden 1,22 1,17 1,19 1,16 1,17 1,19 1,15 1,11 1,11,97,87,83 DSV B,51,47,46,47,48,5,48,46,44,4,36,33 Danisco,9,7,8,8,6,9,5,6,8,6,1,2 Danske Bank,29,26,27,27,26,24,2,2,2,2,9,4 Flsmidth,29,26,26,26,28,3,28,24,22,15,8,5 Jyske Bank,41,35,36,35,34,34,32,32,3,29,19,13 H Lundbeck,17,14,13,12,13,13,13,13,13,11,1,11 NKT,6,55,53,51,54,55,53,49,46,43,38,3 Novo Nordisk,34,31,33,32,32,31,31,29,28,28,29,28 Sybbank,53,49,47,46,46,49,46,47,43,42,29,21 Topdanmark,39,39,38,39,4,39,37,36,36,37,32,34 Vestas,38,34,35,35,35,4,39,37,4,34,16,18 William Demant,29,22,22,23,24,22,18,16,13,12,1,7 2 års obl,7,8,8,7,7,7,7,7,7,8,7,8 5 års obl,9,1,1,9,9,8,8,8,9,9,9,9 1 års obl,11,12,12,12,11,11,1,1,11,11,11,12 De reelle afkastværdier: Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Maersk A -3,31 1,5,87 -,48 3,9-1,46-1,32 1,3-4,39-6,86-3,13-2,8 Maersk B -3,29 1,3 1,1 -,57 3,6-1,46-1,27 1,23-4,3-7,13-2,83-1,9 Carslber B -3,57 2,75,25,96 -,47-2,13-3,6 2,42-1,48-12,3-6,65-1,57 Norden -4,61 2,93-1,32 1,61 3,6-3,44-3,32 1,7-14,3-8,68-3,25 2,46 DSV B -3,3 -,41 1,62 1,18 2,51-1,63-2,57-1,4-3,98-3,65-2,44-4,76 Danisco -1,9,73 -,44-1,63 3,7-5,36 1,84 1,49-1,98-4,42 1,25-5,35 Danske Bank -3,6 1,34 -,38 -,86 -,86-4,39,23,57 -,8-9,57-5,78-7,28 Flsmidth -3,32,28,32 2,42 2,4-2,4-4,6-1,93-7,42-6,74-3,72-3,59 Jyske Bank -6,2 1,52-1,51,31 -,28-1,99,34-1,6 -,8-9,31-6,11-2,42 H Lundbeck -3,34 -,5 -,48,88,9,53, -,34-1,75-1,12 1,4 -,28 NKT -4,14-1,6-1,94 3,77 1,1 -,82-4,57-2,41-2,35-4,23-9,56-9,25 Novo Nordisk -3,5 2,56-1,38,51 -,57, -1,4 -,58 -,13 1,81 -,98-1,77 Sybbank -3,58 -,83-1,,75 3,3-3,19 1,82-3,3 -,19-12,6-8,14 -,1 Topdanmark,77 -,19 1,52,53,15-2,63 -,76,95,79-4,14 2,6,7 Vestas -3,7 1,18,54,62 4,43-1,12-1,43 2,99-6,67-15,97 2,35 3,13 William Demant -7,1 -,14 1,41,92-1,55-3,47-2,17-3,5 -,67-1,43-4,14 2,66 2 års obl,33,5 -,1 -,1 -,14,3,1,27,23,5,37,39 5 års obl,57,4 -,25 -,26 -,32 -,7,11,46,2,17,44,59 1 års obl,72,2 -,18 -,37 -,27 -,15 -,2,79 -,9,26,99 1,2 17

92 Bilag 2 Benyttede standart afvigelserne værdier til porteføljesammensætning Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Maersk A 4,29 4,3 4,29 4,32 4,31 4,36 4,35 4,34 4,34 4,37 4,57 4,64 Maersk B 4,27 4,28 4,28 4,3 4,29 4,34 4,33 4,33 4,32 4,35 4,54 4,61 Carslber B 3,8 3,83 3,84 3,84 3,82 3,82 3,82 3,82 3,89 3,89 4,55 4,71 Norden 5,31 5,39 5,41 5,45 5,45 5,47 5,48 5,48 5,55 5,73 6,5 6,19 DSV B 4,34 4,36 4,34 4,36 4,35 4,36 4,37 4,39 4,38 4,39 4,54 4,71 Danisco 3,2 3,5 3,4 3,4 3,3 3,9 3,13 3,19 3,18 3,23 3,49 3,53 Danske Bank 3,12 3,14 3,15 3,16 3,16 3,16 3,19 3,23 3,23 3,25 4,3 4,26 Flsmidth 5,28 5,32 5,3 5,29 5,28 5,26 5,24 5,24 5,23 5,34 5,68 5,81 Jyske Bank 2,76 2,82 2,84 2,87 2,88 2,88 2,88 2,92 2,92 2,93 3,21 3,46 H Lundbeck 5,32 5,33 5,31 5,32 5,3 5,3 5,28 5,28 5,25 5,24 5,32 5,31 NKT 6,9 6,11 6,8 6,8 6,6 6,4 6,2 6,6 6,5 6,4 6,17 6,22 Novo Nordisk 4,23 4,25 4,23 4,22 4,21 4,19 4,18 4,17 4,16 4,15 4,26 4,32 Sybbank 2,6 2,62 2,62 2,65 2,65 2,67 2,69 2,72 2,77 2,77 3,59 3,96 Topdanmark 3,84 3,83 3,82 3,87 3,86 3,87 3,86 3,86 3,86 3,85 4,8 4,16 Vestas 8,3 8,31 8,27 8,24 8,2 8,17 8,15 8,12 8,8 8,11 8,63 8,68 William Demant 5,21 5,24 5,22 5,2 5,18 5,17 5,17 5,17 5,19 5,24 5,4 5,51 2 års obl,15,15,15,16,16,17,17,17,17,17,18,18 5 års obl,38,38,38,38,39,39,41,41,42,42,42,43 1 års obl,62,63,63,63,63,64,65,65,65,65,66,67 De reelle afkastværdier: Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec Maersk A 4,1 3,62 6,45 2,97 6,72 2,26 4,9 3,81 5,5 11,57 9,66 9,2 Maersk B 3,97 3,79 5,92 3,35 6,9 2,34 4,14 3,81 4,8 11,26 9,5 7,12 Carslber B 4,5 4,45 2,73 1,3 3,64 2,61,76 7,92 3,3 19,41 12,6 7,8 Norden 8,77 7,1 8, 5,46 6,94 4,54 3,44 9,75 4,92 16,96 14,79 1,65 DSV B 4,58 1,88 6,21 1,85 5,4 4,17 5,42 2,8 4,25 11,19 13,77 8,62 Danisco 5,16 1,26 2,61 2,4 5,47 3,8 6,99 2,7 6,46 12,38 6,31 1,98 Danske Bank 2,71 4,12 3,44 3,33 2,74 3,86 6,2 3,16 4,71 2,98 14,39 4,96 Flsmidth 7,67 2,61 4,39 3,9 2,48 1,1 3,62 2,45 1,34 17,96 14,14 4,19 Jyske Bank 2,14 3,92 4,48 4,7 2,25 2,23 5,66 3,43 3,13 8,61 13,2 6,8 H Lundbeck 5,59 3,64 5,79 3,12 5, 2,61 4,41 2,71 2,14 1,43 3,52 2,54 NKT 6,24 2,33 5,38,94 4,77 2,31 7,9 3,53 4,27 12,77 3,32 1,54 Novo Nordisk 5, 2,7 1,35 2,67 2,46 2,28 1,84 3,38 2,53 9,92 8,76 2,14 Sybbank 1,1 2,72 4,35 3,21 2,65 2,91 4,92 4,1 3,2 18,28 16,18 5,68 Topdanmark 2,55 2,5 7,57 1,53 4,81 1,61 2,41 4,19 2,88 12,73 9,23 3,2 Vestas 7,52 3,16 3,69 1,63 4,9 4,63 2,71 2,49 8,17 24,64 12,6 1,93 William Demant 2,4 3,17 2,73 2,42 3,45 2,63 5,1 6, 9,46 13,17 12,28 7,48 2 års obl,14,21,26,2,46,46,1,2,16,43,25,34 5 års obl,2,45,36,47,77 1,24,54,7,47,79,81,92 1 års obl,88,47,71,48 1,34 1,3,37,49,73 1,36,43 1,42 18

93 Bilag 3 Bilag 3 Estimering af alpha mean variance Eviews MVP- uden kortsalg Dependent Variable: MV1U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:11 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var.412 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter..639 F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).34 Dependent Variable: MV2U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:14 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).912 Dependent Variable: MV3U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:15 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var -1.62E-5 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).791 Dependent Variable: MV4U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:16 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var.4196 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion.6949 Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

94 Bilag 3 MVP med kortsalg Dependent Variable: MV1M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:21 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).4889 Dependent Variable: MV2M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:21 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).92 Dependent Variable: MV3M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:21 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).1298 Dependent Variable: MV4M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 11:21 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression.3139 Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

95 Bilag 3 RtV uden kort salg Dependent Variable: RTV1U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 15:33 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared.829 Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV2U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 15:33 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared.8377 Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV3U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 15:33 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV4U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 15:33 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). 21

96 Bilag 4 RtV med kortsalg Dependent Variable: RTV1M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 2:33 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared.7198 Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV2M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 2:34 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV3M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 2:35 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV4M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 2:36 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared.6336 S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). 22

97 Bilag 4 Bilag 4 - Estimering af alpha EWMA Eviews MVP uden kortsalg Dependent Variable: MV1U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:3 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).143 Dependent Variable: MV2U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:3 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion.7473 Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: MV3U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:3 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion.7232 Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).1 Dependent Variable: MV4U Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:3 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).25 23

98 Bilag 4 MVP med kortsalg Dependent Variable: MV1M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:3 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var.5395 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).335 Dependent Variable: MV2M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:4 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).49 Dependent Variable: MV3M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:4 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared.1619 Mean dependent var.6359 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).3188 Dependent Variable: MV4M Method: Least Squares Date: 4/25/1 Time: 23:4 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

99 Bilag 4 RtV uden kortsalg Dependent Variable: RTV1U Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:19 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV2U Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:2 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV3U Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:21 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Dependent Variable: RTV4U Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:21 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). 25

100 Bilag 4 RtV med kortsalg Dependent Variable: RTV1M Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:22 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Dependent Variable: RTV2M Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:23 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).13 Dependent Variable: RTV3M Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:23 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).4 Dependent Variable: RTV4M Method: Least Squares Date: 4/27/1 Time: 11:24 Sample: 1/4/28 12/26/28 Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C BENCHMARK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic).36 26