02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5
|
|
- Mathias Johansen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: side 201 og 6ed: side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling og normalfordelingen, nemlig at X LN(α, β 2 ) log(x) N(α, β 2 ) hvor log(x) betyder den naturlige logaritme N(0,1) og LN(0,1) fordelinger Log-normalfordelingen har en lang højre hale. Når man tager logaritmen af observationerne, bliver logaritmens fordeling normal og symmetrisk. Det benytter man ofte for data med kun positive værdier, som har en lang højre hale. I opgaven er X LN(8.85, ). Vi skal finde a) P r {X > 200} = P r {log(x) > log(200)} = P r {Y > } hvor Y N(8.85, ). P r {Y > } = P r { Y > } = P {N(0, 1) > } = idet P r {N(0, 1) > } = 1 P {N(0, 1) } = 1 Φ( ) I R > 1-plnorm(200,8.85,1.03) [1] b) På samme måde: P r {X < 300} = P r {log(x) < log(300)} = P r {Y < } hvor Y N(8.85, ). P r {Y < } = P r { Y < } = P r {N(0, 1) < 3.05} = Φ( 3.05) =
2 I R > plnorm(300,8.85,1.03) [1] Opgave 5.120, side 171 (7ed: 5.119, side 201 og 6ed: 5.119, side 197) Vi har følgende data: X = {12, 30, 30, 27, 30, 39, 18, 27, 48, 24, 18}. Vi ønsker at vurdere, om det er tænkeligt, at disse data kan stamme fra en normalfordeling. I følgende figur er tegnet den empiriske fordelingsfunktion og den normale fordelingsfunktion med dataenes gennemsnit og spredning som middelværdi og standard afvigelse: N(27.55, ); Det ser for så vidt nydeligt ud, men vi tegner nu det normalfordelings plot, der er bedt om i opgaveteksten. Ordnede data x ( i) Orden i p i = (i 0.5)/ Normal scores z i Værdierne z i er udregnede, så Φ(z i ) = p i. For eksempel er Φ(0.23) = Vi kan nu tegne den ønskede figur, idet der også er tegnet den linie ind, som svarer til N(27.55, )-fordelingen; den går gennem punkterne ( 2.00, ) og (+2.00, ). 2
3 (i 0.5)/n Standard normal fractiles Observations sorted På baggrund af plottet vil man ikke afvise, at data med rimelighed kan antages normalfordelte. På figuren er z erne afsat på abscisse aksen, medens observationerne er afsat på ordinataksen. Læg mærke til, at z erne er beregnet lidt anderledes end i bogen (og f.eks. også anderledes end i opgave 5.95). Den viste metode anses af de fleste for den bedste. I R Du kan også lave et normal score plot i R. Her bliver den dog beregnet lidt anderledes end i R, og resultatet vil derfor heller ikke ligne ovenstå ende plot eksakt. Vi benytter funktionen qqnorm, der tegner et normalscoreplot. I R behøver vi ikke at sortere vores data eller udregne normalscorerne. R har også en indbygget funktion kaldet qqline, som vi også vil benytte her. Den tegner en linje gennem 1. og 3. kvartil. Grunden til dette er robusthed, og princippet er lidt det samme som i boxplot. Vi ønsker ikke, at lade halerne af dataene influere vores linje. velocity = c(12,30,30,27,30,39,18,27,48,24,18) normalscore = qqnorm(velocity) qqline(velocity) 3
4 Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Opgave 6.2, side 186 (7ed: side 214 og 6ed: side 210) For 8.ed.: Hvis man systematisk KUN måler pådet samme lille sted påalle rullerne, kan stikprøven være fejlagtig, hvis f.eks. klarheden er anderledes i kanten end påmidten. Der ud over skal der tages hã jde for stikprøve udtagningen af de 7 ruller. Hvis de 7 ruller udtages fra produktionslinien i rækkefølge, dvs. at netop disse 7 ruller er produceret lige efter hinanden, såvil denne stikprøve ikke være tilfældig. For 6.ed og 7.ed.: I 1932 havde flertallet ikke telefon. Når man spurgte via telefoninterview, fik man kun kontakt med meget velhavende mennesker. Disse stemte imidlertid slet på samme måde som den almindelige amerikaner. Vejledende løsning 6.11 Variansen pågennemsnittet X baseret påen stikprøve af størrelse n er σ 2 /n. Dermed er standard afvigelsen (eller spredningen) σ/ n a) 1 2 b) 2 3 c) 3 d) 4 4
5 Opgave 6.17, side 187 (7ed: side 216 og 6ed: side 212) I denne opgave skal vi benytte to resultater. Det ene er, hvordan vi finder fordelingen af en sum af stokastiske variable, og det andet er, hvorledes fordelingen af en sum kan antages at være. Endelig er der et opslag i normalfordelingen. Vægten af en tilfældigt udvalgt person kalder vi X i. Vi har ifølge teksten, at E{X i } = µ = 163 pund. Og variansen af X i er V {X i } = σ 2 = 18 2 pund 2. Vi har nu summen af n personer Y = X 1 + X X n Vi benytter formlen for en sum af stokastiske variables middelværdi og varians, f.eks. som vi benyttede den i opgave 5.91, og som det står bogen side 185 (183). E{Y } = µ + µ + + µ = n µ V {Y } = 1 2 σ σ σ 2 = n σ 2 fordi alle X er har middelværdien µ og variansen σ 2 (de stammer alle fra samme fordeling, men er naturligvis ikke ens). Ifølge Den centrale grænseværdi sætning, side 212 (208), gælder for en sum (i bogen står der gennemsnittet, men det samme gælder selvfølgelig også summen), at den tilnærmelsesvist vil følge en normalfordeling. Er data fra starten normalfordelte, vil resultatet gælde eksakt. Vi har altså µ = 163 og σ 2 x = 18 2, hvoraf, da 36 Y = X i at E{Y } = = 5868 og V {Y } = = i=1 Dvs, at Y N(5868, ) eventuelt tilnærmelsesvist. P r {Y > 6000} = 1 P r {Y 6000} = 1 P r { Y } 108 = 1 P r {N(0, 1 2 ) 1.222} = 1 Φ(1.222) = = eventuelt tilnærmelsesvist (stadig på grund af normalfordelingsantagelsen). opgave 7.4 side 213 (for 7ed og 6ed se nedenfor) Fra data har vi x = og s = 1.25 ud fra n = 52 observationer. Fra bogen side 210 (7ed: 232) har vi fã lgende: P r {X + z α/2 s/ n > µ > X z α/2 s/ n} = 1 α (ved at flytte X ud og gange med -1). Derved bliver intervallet I(µ) 1 α = X ± z α/2 s/ n I R I(µ) 1 α = ± / 52 = ± = [1.5252, ] 5
6 > x=c(2.15,2.27,0.99,0.63,2.45,1.3,2.63,2.2,0.99,1,1.05, ,0.49,0.93,2.52,1.05,1.39,1.22,3.17,0.85,1.18,2.27, ,0.48,1.33,4.2,1.37,2.7,0.63,1.13,3.81,0.2,1.08, ,2.87,2.62,1.03,2.76,0.97,0.78,4.68,5.2,1.9,0.55, + 1,2.95,0.45,0.7,2.43,3.65,4.55,0.33) > t.test(x,mu=1.865,alt="two.sided",conf.level=0.95) One Sample t-test data: x t = , df = 51, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x opgave 7.5 side 213 (for 7ed og 6ed se nedenfor) Opgaven går ud på at angive en mulig estimationsfejl for µ, idet vi vil estimere µ ved µ = x på sædvanlig måde. Vi benytter (ligesom i bogen side 207), at fordi X µ s/ t(n 1). n Dvs P r { t(n 1) α/2 < X µ s/ n < t(n 1) α/2} = 1 α P r { t(n 1) α/2 s/ n < X µ < t(n 1) α/2 s/ n} = 1 α P r { X µ < t(n 1) α/2 s/ n} = 1 α Den maximale estimationsfejl er altså t(n 1) α/2 s/ n med konfidensgrad 1 α. Fra data har vi s = ud fra n = 45 observationer. E 0.98 = t(44) / 45 = / 45 = (Bemærk, at de t(44) kommer fra en aflæsning i nederste række i Tabel 3, mens en præcis beregning fra R ville give: t(44) 0.01 = ) opgave 7.4 og 7.5, 7ed: side 235 og 6ed: side 231 Opgaven går ud på at angive en mulig estimationsfejl for µ, idet vi vil estimere µ ved µ = x på sædvanlig måde. Vi benytter (ligesom i bogen side 231 (226)), at P r { t(n 1) α/2 < X µ s/ n < t(n 1) α/2} = 1 α 6
7 fordi X µ s/ t(n 1). n Dvs P r { t(n 1) α/2 s/ n < X µ < t(n 1) α/2 s/ n} = 1 α P r { X µ < t(n 1) α/2 s/ n} = 1 α Den maximale estimationsfejl er altså t(n 1) α/2 s/ n med konfidensgrad 1 α. Fra data har vi s = ud fra n = 50 observationer. E 0.95 = t(49) / 50 = / 50 = 3896 Et (1 α) konfidensinterval konstrueres på praktisk taget samme måde: P r { t(n 1) α/2 s/ n < X µ < t(n 1) α/2 s/ n} = 1 α P r {X + t(n 1) α/2 s/ n > µ > X t(n 1) α/2 s/ n} = 1 α (ved at flytte X ud og gange med -1). Derved bliver intervallet I(µ) 1 α = X ± t(n 1) α/2 s/ n Fra data har vi x = og s = ud fra n = 50 observationer. I(µ) 1 α = ± / 50 = ± 3896 = [7899, 15691] Opgave 7.11, side 213 (7ed: side 236 og 6ed side 231) Vi har principielt samme problematik som i opgave 7.4, bortset fra, at vi nu forudsætter forhåndskendskab til σ 2, idet det antages, at σ 2 = (praksis ville man måske indsamle nogle data og benytte s 2 som skøn over σ 2 ). Vi kræver et konfidensniveau på (1 α) = 0.99, dvs at α = = 0.01 og α/2 = Vi har formlen for den maximale estimationsfejl med konfidensgrad (1 α) og det stillede krav σ E 1 α = z α/ n som ved at isolere n og kvadrere giver n ( σ ) 2 z α/ Vi regner med σ = 1.40, og har det krævede z = 2.58, hvoraf n ( ) 2 =
8 Opgave 7.15, side 213 (for 7ed og 6ed se nedenfor Konfidensintervallet er givet ved P r {X + t 1 s/ n < µ < X + t 2 s/ n} = 1 (α) Nu har vi så x = 114 og s = 69.5 = baseret på n = 9, dvs.: I(µ) 1 α = 114±t(8) / 9 = 114± / 9 = 114± = [107.59, ] I R > x=c(123,106,114,128,113,109,120,102,111) > t.test(x,mu=1.865,alt="two.sided",conf.level=0.95) One Sample t-test data: x t = , df = 8, p-value = 1.565e-10 alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x 114 Opgave 7.15 (7ed: side 236 og 6ed: side 232) I denne opgave har vi forelagt et interval [ ], og vi forstiller os, at det er beregnet som et konfidensinterval. Vi benytter (ligesom i bogen side 231 (226)), at fordi generelt X µ s/ t(n 1) n gælder P r {t 1 < X µ s/ n < t 2} = 1 (α 1 + α 2 ) hvor t 1 og t 2 er fraktiler i t(99)-fordelingen. Situationen er som vist i følgende figur: t(99) α 1 α 2 t 1 t 2 8
9 Konfidensintervallet er givet ved P r {X + t 1 s/ n < µ < X + t 2 s/ n} = 1 (α 1 + α 2 ) Grænserne er altså X + t 1 s/ n og X + t 2 s/ n hhv. Nu har vi så x = 487 og s = 48 baseret på n = 100. Intervallets grænser 472 = x + t 1 s/ n = t 1 48/ 100 = t 1 = = x + t 2 s/ n = t 1 48/ 100 = t 2 = Nu skal vi så slå og op i t(99)-fordelingen. Hvis vi går ind i tabellen side 587 (576), ender den ved v = inf., som betyder infinitum, dvs v = mange frihedsgrader. Men, hvis antal frihedgrader, v, bliver stort, kan vi approximere t-fordelingen med en N(0,1)-fordeling (skriv det til i tabellen!) N(0,1 2 ) Fra tabellen over normalfordelingen aflæser vi, at i en N(0,1)-fordeling er der sandsynligheden α 1 = under Over er der ligeledes α 2 = Det foreslåede intervals konfidensgrad er derfor ca 1 (α 1 + α 2 ) = = %. Opgave 7.24, side 214 (7ed: side 237 og 6ed: side 232) Vi har nu data X = {2.2, 1.8, 3.1, 2.0, 2.4, 2.0, 2.1, 1.2}, og vi beregner x = og s = Vi benytter (som sædvanligt) et tosidet symmetrisk konfidensinterval. Konfidensintervallet er da givet ved P r {X + t 1 s/ n < µ < X + t 2 s/ n} = 1 (α 1 + α 2 ) idet t 1 = t(n 1) α/2 og t 2 = t(n 1) α/2, dvs at t 1 = t 2. Grænserne er altså X t 2 s/ n og X + t 2 s/ n hhv. I opgaven er n = 8 og kravet til konfidensgraden er 1 α = Dvs α = 0.05, og α/2 = Ved opslag i t-fordelingen findes t(8 1) =
10 Konfidensintervallet bliver derved: I R I(µ) 0.95 = ± = ± [1.65, 2.55] > x=c(2.2,1.8,3.1,2,2.4,2,2.1,1.2) > t.test(x,mu=1.865,alt="two.sided",conf.level=0.95) One Sample t-test data: x t = , df = 7, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x 2.1 dec04.1 Lad Y = X 1 + X 2. Såer: EY = 6, Var(Y ) = 8 Og dermed P (Y > 10) = P (Z > Og dermed er svarmulighed 1) det korrekte svar. dec kunder i timen er det samme som λ = 2/3 kunde pr. 2 minutter. Dermed kan vi bruge at Y = antal kunder i 2 minutter er poisson-fordelt, og hændelsen svarer til at der kommer mindst een kunde indefir de 2 minutter: Og det korrekte svar er 3. I R > 1-ppois(0,2/3) [1] P (Y 1) = 1 P (Y = 0) = 1 e 2/3 Vejledende løsning Ropg6.3.1 Begge kommandoer angiver en 97.5% fraktil for en t-fordeling. I første tilfælde med 17 frihedsgrader: P (t ) = I andet tilfælde med 1000 frihedsgrader: P (t ) = hvilket således i praksis svarer til standard normalfordelingen. 10
11 Vejledende løsning Ropg6.3.2 Kommandoen angiver sandsynligheden, der er givet ved fã lgende: P (t 2.75) hvor t altsåer t-fordelt med 17 frihedsgrader. Vejledende løsning 6.3 (a) Luxury cruise people are not average persons (b) Most likely NOT all questionaires are returned AND there is the risk that there is a bias in this: maybe graduates with low (or even no) income is more reluctant to return the quetionaire. And secondly there COULD be a overenthusiastic reporting for those who do return. (c) The question is sending some values ( Værdiladet ) Solution 6.5, 8Ed (a) The binomial coefficient 2 out of 7 : ( ) 7 7! = 2 (5!)(2!) = 6 7 = 21 2 > choose(7,2) [1] 21 (b) The binomial coefficient 2 out of 24 : ( ) 24 24! = = = (22!)(2!) 2 > choose(24,2) [1] 276 Solution 6.5, 7Ed (a) The binomial coefficient 2 out of 6 : ( ) 6 6! = 2 (4!)(2!) = 6 5 = 15 2 > choose(6,2) [1] 15 (b) The binomial coefficient 2 out of 25 : ( ) 25 25! = = = (23!)(2!) 2 > choose(25,2) [1]
12 Vejledende løsning 6.15 For 8. udgave af bogen: Idet σ/ n = / 40 og P ( X ) = P ( X / ) F (1.51) F ( 0.75) 40 = = > pnorm(0.226,0.225,0.0042/sqrt(40))-pnorm(0.2245,0.225,0.0042/sqrt(40)) [1] Der gœres opmærksom på, at facit i bogen IKKE er korrekt, idet der ikke er taget hœjde for n = 40. For 7. og 6. udgave af bogen: Idet σ/ n = 16/10 og P (75 X 78) = P ( X 76 16/10 > pnorm(78,76,1.6)-pnorm(75,76,1.6) [1] Vejledende løsning ) F (1.25) F ( 0.625) = a) Hvis X har tæthedsfunktion f(x) og Y = X µ, sågælder Idet µ Y = (x µ)f(x)dx = xf(x)dx µ f(x)dx og fås µ Y = µ µ = 0 b) σ 2 Y = E((X µ) 0) 2 = xf(x)dx = µ f(x)dx = 1 (x µ) 2 f(x)dx = σ 2 12
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereOpgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)
Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereBesvarelser til øvelsesopgaver i uge 6
Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOpgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)
Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereSide 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4
0202 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel Hjemmeopgaver Vejledende løsning.2 Eksperimentet kan beskrives ved binomialfordelingen, X b(x; n, p), hvor n = og p = 1 2. Dermed kan man
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter
Opgave I I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereβ = SDD xt SSD t σ 2 s 2 02 = SSD 02 f 02 i=1
Lineær regression Lad x 1,..., x n være udfald af stokastiske variable X 1,..., X n og betragt modellen M 2 : X i N(α + βt i, σ 2 ) hvor t i, i = 1,..., n, er kendte tal. Konkret analyseres (en del af)
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereForelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereDen endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet!
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 2. juni 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mereMatematisk Modellering 1 Cheat Sheet
By a team of brave computer scientists: Mads P. Buch, Tobias Brixen, Troels Thorsen, Peder Detlefsen, Mark Gottenborg, Peter Krogshede - 1 Contents 1 Basalt 3 1.1 Varianser...............................
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereKlasseøvelser dag 2 Opgave 1
Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d
Læs mere2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut
Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereAfsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse
Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereLøsninger til kapitel 9
Opgave 9.1 a) test for spredning, ensidet b) test for middelværdi, ensidet c) test for andel, ensidet d) test for to andele, ensidet e) test for spredning, tosidet f) test for middelværdi, ensidet g) test
Læs mereOpgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 30. maj 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)
Læs mere