2 Risikoaversion og nytteteori

Transkript

1 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden er de fleste aktiviteter omgærdet af en vis usikkerhed. Man taler normalt om tre forskellige typer investorer mht. risiko: Risikoaverse investorer. Risikolovers (eller risikoperverse) investorer samt Risikoneutrale investorer Hvad kendetegner den risikoaverse investor? Den risikoaverse investor vil have en betaling, også kaldet risikopræmie, for at løbe en risiko. Der findes principielt uendelig mange forskellige grader af risikoaversion. Risikoaversionen varierer lige fra den risikoparanoide investor, som vil undgå risiko for enhver pris, til den meget lidt risikoaverse investor, som næsten er risikoneutral i sin adfærd. Den meget lidt risikoaverse investor vil derfor kun kræve en lille risikopræmie for at løbe en given risiko, hvorimod den meget risikoaverse investor, vil have en meget større risikopræmie for at løbe den samme risiko. Normale investorer er praktisk taget altid risikoaverse og derfor baseres hovedparten af investeringsbeslutninger og den dertil hørende finansielle teori på risikoavers adfærd. Dvs. når en investering skal vurderes, skal investeringens forventede afkast vurderes sammen med den tilknyttede risiko ved investeringen (usikkerheden omkring afkast). Derfor er det nødvendig at have nogle regler til at kunne sammenligne investeringsmuligheder. Disse regler er opsummeret i "The Mean Variance Rule": 44

2 Hvis to investeringer har samme forventede afkast, E(X), vil man vælge den investering med den laveste risiko σ(x). Hvis to investeringer har samme risiko, σ(x), vil man vælge den investering med det højeste forventede afkast E(X) Hvad kendetegner den risikoneutrale investor? Den risikoneutrale (eller risikoligeglade) investor ønsker blot at maksimere sit forventede afkast, da investoren er ligeglad med risikoens størrelse. Derfor vil den risikoneutrale investor altid vælge den investeringsmulighed, som giver det højst forventede afkast uanset den tilknyttede risiko Hvad kendetegner den risikoperverse (risikolover) investor? Den risikoperverse investor vil betale for at løbe en risiko. Normale mennesker vil yderst sjældent være rendyrkede risikoperverse, men de fleste har momentvis udført risikopervers adfærd, f.eks. har de fleste investeret i en lottokupon, selvom den giver et negativt forventet afkast (ca. 50 pct.). Årsagen er naturligvis, at de fleste investerer i lottokuponen pga. den høje standardafvigelse på investeringsproduktet (drømmen om millionerne!). 45

3 2.2 Risikoholdning og nyttefunktioner Man kan beskrive en investors risikoholdning vha. en såkaldt nyttefunktion Hvad beskriver en nyttefunktion? I denne sammenhæng anvendes nyttefunktionen til at beskrive en investors nytte som funktion af dennes formue. Nyttefunktioner udtrykkes vha. en matematisk ligning, f.eks.: U = W, hvor U står for nytte og W for wealth eller formue. U (nytte) W (Formue) Figur 3: Nyttefunktion Ovenstående figur illustrerer sammenhængen mellem formue og nytte. Det ses, at en hundrededobling af formue fra kr. til kr. kun forøger nytten med en faktor 10! Principielt er der tale om et relativt højtflyvende teoriområde, da en dyb forståelse af nyttefunktionen vil kræve, at man kan svare på så eksistentielle spørgsmål som: hvad er nytte (lykke) for investor? og hvorledes hænger nytten sammen med investors formue udtryk som en matematisk ligning?. Begge spørgsmål er yderst vanskelige at besvare, og 46

4 derfor skal dette teoriområde betragtes som en principiel diskussion og ikke en operativ teori Hvorledes kan man ud fra en nyttefunktion udlede en investors risikoholdning? Overordnet set kan man udlede en investors risikoholdning enten grafisk eller matematisk Grafisk udledning af risikoholdning Hvis man tegner investors nyttefunktion kan man generelt identificere de tre hovedtyper af risikoholdning ud fra udviklingen i nyttefunktionens hældning. Såfremt der er tale om en kurve med aftagende, men positiv hældning, betyder det, at den næste kr. formue har mindre nytte end den foregående (faldende marginalnytte) og derfor er der tale om en risikoavers investor. Risikoavers investor: U Formue Figur 4: Risikoavers investor Såfremt der er tale om en kurve med tiltagende positiv hældning, betyder det at den næste kr. formue giver større nytte end den foregående (stigende marginalnytte) og derfor er der tale om en risikopervers investor (risklover). 47

5 Risikopervers investor: U Formue Figur 5: Risikopervers investor Såfremt der er tale om en kurve med konstant positiv hældning, betyder det at den næste kr. formue har samme nytte som den foregående (konstant marginalnytte) og derfor er der tale om en risikoneutral investor. Risikoneutral: U Formue Figur 6: Risikoneutral investor Matematisk udledning af risikoholdning Da man kan bestemme en funktions hældning vha. differentialregning, kan man derfor anvende denne teknik til at bestemme investorers risikoholdning. Givet at man har en investors nyttefunktion U kan man vha. differentialregning udlede følgende viden: Hvis man differentierer nyttefunktionen én gang, bestemme om nyttefunktionens hældning er positiv, negativ eller 0. Som hovedregel vil dette differentiale give et positivt resultat, da 48

6 det betyder, at hældningen på nyttefunktionen er positiv og dermed, at investoren får en større nytte (lykke) jo større formuen bliver, dvs. normale investorer foretrækker mere formue frem for mindre formue. Det er yderst svært at forestille sig, at der findes investorer, som foretrækker mindre formue frem for større formue!! Såfremt at førstegangsdifferentialet er positiv, kan man ved at differentiere anden gang bestemme om den positive hældning er aftagende, konstant eller tiltagende, dvs. jf. den grafiske udledning om investor er risikoavers, risikoneutral eller risikopervers. Der kan opstilles følgende regneregel: Førstegangsdifferentiale: U (w) > 0 => Investor foretrækker mere formue frem for mindre formue! (normalt!) U (w) = 0 => Investor er ligeglad med formue. (unormalt!) U (w) < 0 => Investor foretrækker mindre formue frem for større formue (meget unormalt!) Andengangsdifferentiale, hvis investorer foretrækker større frem for mindre formue: U (w) < 0 => Investor er risikoavers, pga. aftagende marginalnytte. (normalt!) U (w) = 0 => Investor er risikoneutral, pga. konstant marginalnytte. (unormalt!) U (w) > 0 => Investor er risikopervers, pga. tiltagende marginalnytte. (meget unormalt!) 2.3 Hvor risikoavers er investor? Der er, som tidligere gennemgået, principielt utallige grader af, hvor risikoavers en investor kan være. Når man ønsker at beskrive en investors grad af risikoaversion, skelner man imellem to begreber, absolut risikoaversion og relativ risikoaversion Absolut risikoaversion Absolut risikoaversion udtrykker, hvorledes den absolutte beholdning (dvs. kr.) af risikofyldte aktiver udvikler sig, når formuen stiger. 49

7 Risikoaverse investorer kan have tre forskellige former for absolut risikoaversion. Der er tale om: Faldende absolut risikoaversion, når investor øger den absolutte beholdning af risikofyldte aktiver, når formuen stiger. Konstant absolut risikoaversion, når investor holder den absolutte beholdning af risikofyldte aktiver konstant, når formuen stiger. Stigende absolut risikoaversion, når investor mindsker den absolutte beholdning af risikofyldte aktiver, når formuen stiger. Bestemmelse af investors absolutte risikoaversion gøres vha. følgende formel: A(w) = U''(w) U'(w) A (w) < 0 => Faldende absolut risikoaversion. A (w) = 0 => Konstant absolut risikoaversion. A (w) > 0 => Stigende absolut risikoaversion Relativ risikoaversion Relativ risikoaversion udtrykker, hvorledes den relative beholdning (dvs. pct.-vise andel) af risikofyldte aktiver udvikler sig, når formuen stiger. Risikoaverse investorer kan have tre forskellige former for relativ risikoaversion. Der er tale om: Faldende relativ risikoaversion, når investor øger den relative beholdning af risikofyldte aktiver, når formuen stiger. Konstant relativ risikoaversion, når investor holder den relative beholdning af risikofyldte aktiver konstant, når formuen stiger. Stigende relativ risikoaversion, når investor mindsker den relative beholdning af risikofyldte aktiver, når formuen stiger. 50

8 Bestemmelse af investors relative risikoaversion gøres vha. følgende formel: R(w) U''(w) = w = w A(w) U'(w) R (w) < 0 => Faldende relativ risikoaversion. R (w) = 0 => Konstant relativ risikoaversion. R (w) > 0 => Stigende relativ risikoaversion. Eksempel på analyse af en investors risikohold Antag at der findes to investorer; Jensen og Hansen. De to investorers nyttefunktioner ser således ud: Jensen: U(w) = w = w 0,5 Hansen: U(w) = ln(w) Foretag en analyse af de to investorers risikoholdning? Jensen: U (w) = 0,5w 0,5 1 = 0,5 0,5w > 0 => Jensen foretrækker større formue frem for mindre formue. U (w) = 0,5 1 1,5 0,5 0,5w = 0,25w < 0 => Jensen er risikoavers. A(w) = ( 0,25w 0,5w 0,5 1,5 ) = 0,5w 1,5 ( 0,5) = 0,5w 1 A'(w) = 1 0,5w = 0,5w < 0 => Jensen har en faldende absolut risikoaversion. 51

9 R(w) = w 0,5w R '(w) = 0 1 = 0,5 => Jensen har en konstant relativ risikoaversion. Hansen: 1 U (w) = w > 0 => Hansen foretrækker større formue frem for mindre formue. U (w) = w = w < 0 => Hansen er risikoavers. ( w A(w) = w A'(w) 1 2 ) = w 2 ( 1) = w = w < 0 = w => Hansen har en faldende absolut risikoaversion. 1 R(w) = w w R '(w) = 0 1 = 1 => Hansen har en konstant relativ risikoaversion. Eksempel 13: Analyse af investors absolutte og relative risikoaversion 52

10 2.4 Nyttefunktion og investeringsbeslutninger Når investorer skal vurdere en investering, anvender de i modsætning til virksomheder ikke nødvendigvis altid NPV-ræsonnementet. I stedet træffer de deres beslutninger på grundlag af et ønske om at maksimere den forventede nytte Beregning af forventet nytte og valg af investering Til beregning af forventet nytte anvendes en simpel forventningsformel: E (U) = P i Ui P i : Sandsynligheden for en given hændelse X i : Nytten ved hændelsen Eksempel Antag, at Jensen har følgende nyttefunktion: U(w) = w 0,5 Hvor w er Jensens formue ultimo, som primo er Jensen kan vælge mellem to investeringsstrategier: Investeringsstrategi 1, som har følgende fordeling over det kommende års afkast: Sandsynlighed Afkast i procent 0,4-20 0,2 10 0,2 25 0,1 40 0,1 80 Investeringsstrategi 2, som har følgende fordeling over det kommende års afkast: Sandsynlighed Afkast i procent 0,25 0 0,25 5 0, ,

11 Hvilken investeringsstrategi skal Jensen vælge, hvis han ønsker at maksimere sin forventede nytte om et år? Investeringsstrategi 1: Sandsynlighed Årligt afkast i pct. Formue (w i ) om et år Nytte (U i ) om et år 0, ,4 0, ,8 0, ,0 0, ,2 0, ,6 E(U) = 0,4 894,4 + 0,2 1048,8 + 0,2 1118,0 + 0,1 1183,2 + 0,1 1341, 6 = 1043,6 Investeringsstrategi 2: Sandsynlighed Årligt afkast i pct. Formue (w i ) om et år Nytte (U i ) om et år 0, , ,7 0, ,8 0, ,0 E(U) = 0, , ,7 + 0, ,8 + 0, , 0 = 1047,9 Konklusion: Jensen skal vælge investeringsstrategi 2 for at maksimere sin forventede nytte. Eksempel 14: Hvorledes nyttefunktionen anvendes til at foretage investeringsbeslutninger 54

12 55