Ekstremværdianalyse af vandføringsdata
|
|
- Kaare Jeppesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ekstremværdianalyse af vandføringsdata Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 31.januar 014 Forfatter: Søren Erik Larsen og Niels Bering Ovesen Institut for Bioscience Rekvirent: Naturstyrelsen Klimatilpasning Antal sider: 0 Faglig kommentering: Brian Kronvang Kvalitetssikring centret: Poul Nordemann Jensen el.: dce@au.dk
2 Der er gennemført ekstremværdianalyser på data fra 9 afstrømningsstationer for de to perioder og jf. tabel 1. Statistiske fordelingsfunktioner er estimeret individuelt for hver station på årsmaksimumvandføringen inden for hydrologisk år. Dette notat indeholder en metode beskrivelse af de gennemførte statistiske analyser samt tabeller og figurer med estimater for = og 1000 års begivenheder. Endelig er usikkerheden på disse estimater vurderet ud fra 95 % konfidensintervallet. Der er endvidere beregnet medianminimums vandføring for hver af de 9 stationer for hver af de måleperioder. Der er udtrukket daglige vandføringsdata fra den nationale overfladevandsdatabase ODA for den samlede periode for de 30 stationer der indgår i den statistiske analyse. En mindre del af stationerne har ikke komplette tidsserier for begge perioder jf. tabel. For hver station er den udtrukne tidsserie opdelt i to deltidsserier: og For hvert hydrologisk år (1. maj til 30. april) udtrækkes herefter den maksimale daglige vandføring. -års overskridelserne er estimeret ved anvendelse af forskellige ekstremværdi-fordelingsfunktioner hhv. den generaliserede ekstremværdi fordeling (tabel 1a og 1b) og Gumbel-fordeling (tabel 1c og 1d). Den generaliserede ekstremværdi fordeling er en individuelt tilpasset 3 parameter fordelingsfunktion hvorimod Gumbel-fordelingen er en mere simpel funktion med kun parametre. Værdierne er estimeret for hver periode ved brug af de årlige maksimalværdier og fordelingerne anvendes til at beregne estimater for -års begivenhederne med tilhørende 95 % konfidensintervaller. Maksimumværdier for vandføringstidsserier er behæftet med betydelig usikkerhed bl.a. fordi beregningerne i mange tilfælde foretages ud fra ekstrapolation af sammenhængen mellem vandstand og vandføring. Denne sammenhæng er endvidere ikke konstant. Derfor kan der forekomme homogenitetsbrud i dataserierne og de forskelle der ses mellem de undersøgte perioder kan således delvis skyldes denne usikkerhed. Endvidere kan data fra enkelte stationer i mindre grad være påvirket af reguleringer (opstemninger) i oplandet. Vandføringen i den nedre del af Gudenåen er betydelig påvirket af regulering så data fra stationer herfra er ikke medtaget i analyserne. Appendiks 1 indeholder plots af -års overskridelserne med de tilhørende 95 % konfidensintervaller. I Appendiks er der givet en teoretisk gennemgang af de statistiske metoder der er anvendt til beregningerne.
3 St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser m 3 /sek. Generaliseret fordeling = år Uggerby å Astedbro Lindholm å ns Køkkengrøften Årup å Årup Lindenborg å Lindenborg bro Skals Å Løvel Bro Skive å Hagebro Gudenå Åstedbro Storå Skærum Bro Skjern å Ahlergaarde Århus å Skibby Giber Å Fulden Spang Å Bredstrup Sneum å Nørå bro Kongeå Kongebro Ribe å Stavnager Brede å ns jernbanebro Grønå Rørkær Odense å Nørre Broby Odense å Ejby Mølle Brende å Årup Græse å Hørup Havelse å Strø Åmose å Bromølle Harrested å Kramsvadgård ude å Ørslev Saltø å Grønbro Suså Holløse Mølle ryggevælde å Lille Linde Baggeå Hasle Klinker abel 1a 3
4 St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser m 3 /sek. Generaliseret fordeling = år Uggerby å Astedbro Lindholm å ns Køkkengrøften Årup å Årup Lindenborg å Lindenborg bro Skals Å Løvel Bro Skive å Hagebro Gudenå Åstedbro Storå Skærum Bro Skjern å Ahlergaarde Århus å Skibby Giber Å Fulden Spang Å Bredstrup Sneum å Nørå bro Kongeå Kongebro Ribe å Stavnager Brede å ns jernbanebro Grønå Rørkær Odense å Nørre Broby Odense å Ejby Mølle Brende å Årup Græse å Hørup Havelse å Strø Åmose å Bromølle Harrested å Kramsvadgård ude å Ørslev Saltø å Grønbro Suså Holløse Mølle ryggevælde å Lille Linde Baggeå Hasle Klinker abel 1b 4
5 St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser m 3 /sek. Gumbel fordeling = år Uggerby å Astedbro Lindholm å ns Køkkengrøften Årup å Årup Lindenborg å Lindenborg bro Skals Å Løvel Bro Skive å Hagebro Gudenå Åstedbro Storå Skærum Bro Skjern å Ahlergaarde Århus å Skibby Giber Å Fulden Spang Å Bredstrup Sneum å Nørå bro Kongeå Kongebro Ribe å Stavnager Brede å ns jernbanebro Grønå Rørkær Odense å Nørre Broby Odense å Ejby Mølle Brende å Årup Græse å Hørup Havelse å Strø Åmose å Bromølle Harrested å Kramsvadgård ude å Ørslev Saltø å Grønbro Suså Holløse Mølle ryggevælde å Lille Linde Baggeå Hasle Klinker abel 1c 5
6 St.nr. Vandløb lokalitet Medianminimum Ekstremværdihændelser m 3 /sek. Gumbel fordeling = år Uggerby å Astedbro Lindholm å ns Køkkengrøften Årup å Årup Lindenborg å Lindenborg bro Skals Å Løvel Bro Skive å Hagebro Gudenå Åstedbro Storå Skærum Bro Skjern å Ahlergaarde Århus å Skibby Giber Å Fulden Spang Å Bredstrup Sneum å Nørå bro Kongeå Kongebro Ribe å Stavnager Brede å ns jernbanebro Grønå Rørkær Odense å Nørre Broby Odense å Ejby Mølle Brende å Årup Græse å Hørup Havelse å Strø Åmose å Bromølle Harrested å Kramsvadgård ude å Ørslev Saltø å Grønbro Suså Holløse Mølle ryggevælde å Lille Linde Baggeå Hasle Klinker abel 1d 6
7 Station Antal målte år i perioden abel 7
8 Appendiks Uggerby Å Astedbro Lindholm Å ns Køkkengrøften Årup Å Årup 8
9 Lindenborg Å Lindenborg Bro Skals Å Løvel Bro 0006 Skive Å Hagebro 9
10 Gudenå Åstedbro 006 Storå Skærum Bro 10
11 Skjern Å Ahlergaarde 6008 Aarhus Å Skibby 7001 Giber Å Fulden 11
12 Spang Å Bredstrup Sneum Å Nørå Bro Kongeå Kongebro 1
13 Ribe Å Stavnager Brede Å ns Jernbanebro Grønå Rørkær 13
14 Odense Å Nørre Broby Odense Å Ejby Mølle Brende Å Årup 14
15 Græse Å Hørup 5009 Havelse Å Strø Åmose Å Bromølle 15
16 Harrested Å Kramsvadgård ude Å Ørslev Saltø Å Grønbro 16
17 Suså Holløse Mølle ryggevælde Å Lille Linde Bagge Å Hasle Klinker 17
18 Appendiks : Statistiske metoder Her beskrives de statistiske fordelinger der er anvendt i forbindelse med karakterisering af årlig ekstremvandføringer. Men først beskrives kort teorien bag statistiske fordelinger og hvordan man estimerer parametre i fordelinger. il sidst viser gennemgår vi teorien for frekvensanalyse det vil sige beregning af -års over- og underskridelser. Ekstremværdier er i dette notat årlige maksimumsafstrømninger. Ved de statistiske beregninger med hensyn til fordelinger og frekvensanalyse har vi anvendt SAS og S-PLUS. For yderligere og fuldstændig behandling af de emner der er omtalt i dette appendiks henvises til Kite (1978). Statistiske fordelinger En statistisk fordeling kan beskrive egenskaberne ved en population af værdier. Population af ekstremværdier beskrives i dette notat ved en række forskellige kontinuerte statistiske fordelinger. Kontinuerte fordelinger kan antage alle værdier i et interval som muligvis kan være uendeligt. En statistisk fordeling er typisk defineret ved enten tæthedsfunktionen f eller fordelingsfunktionen F. Fordelingsfunktionen angiver sandsynligheden for at den stokastiske variabel (afstrømning eller ekstremværdi) er mindre end en givet værdi og kan beregnes som et integral af tæthedsfunktionen x x PX x F f u) du (. Dermed er tæthedsfunktionen den afledede funktion af fordelingsfunktionen det vil sige x df f x. dx Lad os antage at vi har et sample af observationer fra den samme statistiske fordeling så kan den teoretiske fordelingsfunktion F estimeres ved den kumulative frekvens funktion (empiriske fordelingsfunktion) F s i xi fs x j j 1 hvor f s er den relative frekvens funktion defineret ved med n lig det totale antal observationer og f x ni n s i n i lig antallet af observationer i intervallet x x x i x i. Man deler. Den relative frekvens funk- udfaldsintervallet for X op i et antal passende intervaller hver med en bredde på tion er et estimat for følgende sandsynlighed Hvis vi lader n og 0 P x i x X x i. x så har vi i grænsen lighederne f x x fs lim n x x0 og F x x lim F. n x0 s Den teoretiske værdi for den relative frekvens funktion kan beregnes som 18
19 x Fx Fx p i i i1. Estimation af parametre i fordelinger I dette har vi anvendt maximum likelihood metoden til estimering af parametre i de statistiske fordelinger. Metoden er defineret på følgende måde. Antag at vi har et sample af størrelse n dvs. er fordelingsparametrene som skal estimeres er sand- f og sandsynligheden for at obser- med en tæthedsfunktion f x; hvor synligheden for at få en given værdi af x x i proportional med x; vere et sample af n værdier x x x x x x 1 n. For en fordeling 1 n er proportional med produktet L n i1 f x i ;. Dette produkt kaldes for likelihood og maximum likelihood metoden består i at estimere sådan at L bliver maksimeret. Dette gør man ved partiel differentiation af L med hensyn til hver af fordelingsparametrene og sætte de fremkomne udtryk lig nul. For at simplificere beregningerne er det en god ide at anvende stedet for L. Den generaliserede ekstremværdifordeling L log i Den generaliserede ekstremværdifordeling (GEVD) er en 3-parameter fordeling og blev første gang beskrevet af Jenkinson (1955) og er siden blevet anvendt til beskrivelse af årsmaksimum og årsminimum i hydrologien og meteorologien. Vi har anvendt GEVD til beskrivelse både af årsmaksima i dette notat. De 3 parametre er en central parameter ( ) en skala parameter ( ) og en form parameter ( ) (Kite 1978). Fordelingsfunktionen for den generaliserede ektremværdifordeling er hvor 0 exp x; exp 1 exp x x 1 0 F 0 og. Observationerne angivet ved x kan antage værdierne x x x Når 0 så er GEVD identisk med ype I ekstremværdi (Gumbel) fordelingen. Når 0 så GEVD det samme som en ype II ekstremværdifordeling og når 0 er GEVD identisk med ype III (Weibull) fordeling. Frekvensanalyse (-års overskridelsesfunktioner) De estimerede fordelingsfunktioner kan anvendes til fastlæggelse af overskridelsesfunktioner. Sammenhængen mellem sandsynlighedsfordelingen (F) og overskridelsesperioden () for en givet afstrømningshændelse q er bestemt ved F q 1 1 for årsmaksima. 19
20 0 Som tidligere nævnt er de årlige ekstremværdier tilpasset familien af generaliserede ekstremværdifordelinger (GEVD) med parameterestimation efter maximum likelihood metoden. I det GEVD er en 3-parameter fordeling så er F f q log 1 hvor log står for den naturlige logaritmefunktion. Ved anvendelse af maximum likelihood metoden så kan variansen af q beregnes som Cov q q Cov q q Cov q q Var q Var q Var q S. De nødvendige varianser og covarianser bestemmes ved 1 L L L L L L Var Cov Var Cov Cov Var. Det vil sige det er nødvendigt at beregne den inverse af informationsmatricen for en GEVD. I Prescott & Walden (1980) forefindes der formler for de teoretiske middelværdier af elementerne af informationsmatricen. I formlerne indsættes parameterestimaterne. Formler for de observerede værdier af elementerne findes i Prescott & Walden (1983). I denne rapport har vi anvendt de teoretiske middelværdier. Disse formler kan kun anvendes når 05 som i praksis næsten altid er opfyldt. Under antagelse af at q er normalfordelt så kan 95 %-konfidensintervallet for q beregnes som S t q hvor t er lig 196 som er 975 percentilen i en standard normalfordeling (dvs. en fordeling med middelværdi 0 og varians lig 1).
Notat vedr. interkalibrering af ålegræs
Notat vedr. interkalibrering af ålegræs Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 4. januar 2012 Michael Bo Rasmussen Thorsten Balsby Institut for Bioscience Rekvirent: Naturstyrelsen
Læs merePræcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden
Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden 2005-2012 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 7. april 2014 30. april 2014 Søren
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereDokumentation for genopretning af TN og TP data fra perioden
Dokumentation for genopretning af TN og TP data fra perioden 2007-14 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 8. oktober 2018 Søren E. Larsen Institut for Bioscience Rekvirent: Miljøstyrelsen
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereNotat om basisanalyse: Opgave 2.2 Stofbelastning (N, P) af søer og kystvande
Notat om basisanalyse: Opgave 2.2 Stofbelastning (N, P) af søer og kystvande Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 11. oktober 2013 Rev.: 2. december 2013 Jørgen Windolf, Søren E.
Læs mereBemærkninger til Naturstyrelsens retningslinjer for behandling af data for miljøfarlige forurenende stoffer i Basisanalysen
Bemærkninger til Naturstyrelsens retningslinjer for behandling af data for miljøfarlige forurenende stoffer i Basisanalysen 2013 Retningslinjer af 10. december 2013 Notat fra DCE - Nationalt Center for
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereAfstrømningsforhold i danske vandløb
Miljø- og Energiministeriet Danmarks Miljøundersøgelser Afstrømningsforhold i danske vandløb Faglig rapport fra DMU, nr. 340 Fagdatacenter for hydrometri Miljø- og Energiministeriet Danmarks Miljøundersøgelser
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereEffekt af randzoner AARHUS AU UNIVERSITET. Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 24. november 2015
Effekt af randzoner Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 24. november 2015 Gitte Blicher-Matiesen 1, Ane Kjeldgaard 1 & Poul Nordemann Jensen 1 1 Institut for Bioscience 2 DCE Nationalt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereUdvikling i udvalgte parametre i marine områder. Udvikling i transport af nitrat på målestationer
Udvikling i udvalgte parametre i marine områder. Udvikling i transport af nitrat på målestationer Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 7. december 2017 Poul Nordemann Jensen DCE -
Læs mereNotat om afstrømning generelt og udvaskning i LOOP oplandene i august/september 2010 samt vinteren 2010/11
Notat om afstrømning generelt og udvaskning i LOOP oplandene i august/september 1 samt vinteren 1/11 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 1. marts 12 Revideret marts 13 Poul Nordemann
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter
Læs mereTitel: Hydrometriske stationer, Korrelationsberegning, QQ-station
Titel: Hydrometriske stationer, Korrelationsberegning, QQ-station Dokumenttype: Teknisk anvisning Forfatter: Niels Bering Ovesen TA henvisninger TA. nr.: B07 Version: 1.0 Oprettet: Gyldig fra: 01.01.2016
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereBeregning af afstrømningsnormaliseret belastningsniveau til vandområder
Beregning af afstrømningsnormaliseret belastningsniveau til vandområder Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 19. januar 2016 Søren E. Larsen Institut for Bioscience Rekvirent: Naturstyrelsen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereInformation om retentionsfaktorer for fosfor i vandløb for målte/umålte oplande
Information om retentionsfaktorer for fosfor i vandløb for målte/umålte oplande Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 27. september 2018 Henrik Tornbjerg og Hans Thodsen Institut for
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereVurdering af Dansk Akvakulturs forslag til ændret vandindtag på dambrug
Vurdering af Dansk Akvakulturs forslag til ændret vandindtag på dambrug Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 01. december 2013 Rettet: 21. februar 2014 og 8. marts 2014 Lars M. Svendsen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 10/11 Institution Campus Vejle Handelsgymnasie Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Statistik
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Læs mereEkstremregn i Danmark
Ekstremregn i Danmark Supplement til statistisk bearbejdning af nedbørsdata fra Spildevandskomiteens regnmålersystem 1979-96 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereBilag 7. SFA-modellen
Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2
Læs mereMålinger af kvælstoftransport i vandløb med kendt teknik
AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR BIOSCIENCE Dette projekt er medfinansieret af Grønt Udviklings og Demonstrations Program under Miljø- og Fødevare Ministeriet Målinger af kvælstoftransport i vandløb med
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereRastende trækfugle på Tipperne og i Ringkøbing Fjord, 2015
Rastende trækfugle på Tipperne og i Ringkøbing Fjord, 2015 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 28. januar 2016 Ole Amstrup, Mogens Bak og Karsten Laursen Institut for Bioscience
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mere