Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
|
|
- Jonas Danielsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit : - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel: Ligefordeling 1
2 Approksimation af binomial-sandsynligheder X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Vi har at E (X) =np og Var (X) =np (1 p). Der gælder X k dvs. X E (X) k E (X) X E (X) p Var (X) k E (X) p Var (X) dvs. dvs. X np p np (1 p) k np p np (1 p) 2
3 Resultat: DeMoivre X Bin(n, p) hvor np (1 p) > 5. Da gælder følgende approksimation: Ã! k +0.5 np P (X k) Φ p np (1 p) hvor funktionen Φ ( ) er fordelingsfunktionen for en normalfordeling, se tabellen side i bogen. 3
4 Eksempel 4.5b i bogen: Y Bin(8, 0.5) dvs. E (X) =np =4 og Var (X) =np (1 p) =2 Y k og vi sætter z = k +0.5 np p np (1 p) = k Binomial-sshed z Approksimation Y Y Y Y Y
5 Figur 1: Grafen for funktionen Φ (z) 5 Figur 2:
6 Multinomial-fordeling Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Binomialfordeling: Opdeling af n elementer i 2 katogorier ("succes"og "fiasko") Multinomialfordeling: Generalisering af binomialfordeling: Opdeling i k kategorier Eksempel 1: Meningsmåling Blandt de stemmeberettigede i DK stemmer andelen p 1 på Venstre (V) eller Konservative (C) og andelen p 2 på Dansk Folkeparti (O). Tilfældig stikprøve på 100 personer med tilbagelægning. "Hvilket parti ville du stemme på, hvis der var Folketingsvalg i morgen?" Y 1 : Antal personer i stikprøven, der stemmer på V eller C Y 2 : Antal personer i stikprøven, der stemmer på O Y 3 : Antal personer i stikprøven, der ikke stemmer på V, C eller O 6
7 Hvad er sandsynligheden for at få 40, der stemmer på Venstre eller Konservative, og 20 der stemmer på Dansk Folkeparti: µ 100 P (Y 1 =40,Y 2 =20,Y 3 =40) = p 40 1 p 20 2 (1 p 1 p 2 ) 40 40, 20, 40 Hvis p 1 =0.366 og p 2 =0.136 : = 100! 40!20!40! p40 1 p 20 2 (1 p 1 p 2 ) 40 P (Y 1 =40,Y 2 =20,Y 3 =40)= 100! 40!20!40!
8 De marginale fordelinger: Y 1 Bin(100,p 1 ) Y 2 Bin(100,p 2 ) Y 3 Bin(100, 1 p 1 p 2 ) Hvad er sandsynligheden for at få 40, der stemmer på Venstre eller Konservative: µ 100 P (Y 1 =40)= p 40 1 (1 p 1 ) Hvis p 1 =0.366 : P (Y 1 = 40) = µ Se den seneste meningsmåling fra Gallup her: 8
9 Geometrisk fordeling Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Ventetid til første "succes" i uafhængige gentagelser af et Bernoulli eksperiment Eksempel:Ventetidtilførste"krone"ikastmedmønt X : Antal gentagelser af forsøget indtil "succes" første gang For p = P (succes) er fordelingen af X er givet ved f (x p) =P (X = x) =(1 p) x 1 p for x =1, 2,... X er geometrisk fordelt med sandsynlighedsparameter p og dette skrives X Geo(p) Der gælder: E (X) = 1 p Var (X) = 1 p p 2 9
10 Eksempel 2: Terningekast En terning kastes, indtil jeg får en femmer eller sekser. p = P ( femmer eller sekser )=2/6 =1/3 X : Antal terningekast Udfaldet af det i te kast: X i = ½ 1 hvisfemmerellersekser 0 ellers X i erne uafhængige og P (X i =1)=p =1/3 10
11 Hvad er sandsynligheden for, at jeg skal kaste 1 gang: P (X =1)=P (X 1 =1)=1/ Hvad er sandsynligheden for, at jeg skal kaste 2 gange: P (X =2) = P (X 1 =0,X 2 =1)=P (X 1 =0)P (X 2 =1) = (1 p) p =(2/3) (1/3) Hvad er sandsynligheden for, at jeg skal kaste 3 gange: P (X =3) = P (X 1 =0,X 2 =0,X 3 =1)=P (X 1 =0)P (X 2 =0)P (X 2 =1) = (1 p) 2 p =(2/3) 2 (1/3) Middelværdien af X : E (X) =1/p =3 Variansen af X :Var(X) =(1 p) /p 2 =2/3 3 2 =6 11
12 Figur 3: Geometrisk fordeling med sandsynlighedsparameter 1/3 12
13 Negativ binomialfordeling Y : Antal gentagelser for at få "succes" r gange For p = P (succes) er fordelingen af Y er givet ved µ y 1 f (y p) = p r (1 p) y r for y = r, r +1,r+2,... r 1 Fordelingen af Y kaldes en negativ binomialfordeling med sandsynlighedsparameter p og antalsparameter r, og dette skrives Y NegBin(r, p) Der gælder: E (X) = r p Var (X) = r (1 p) p 2 13
14 Eksempel 2: Terningekast, (fortsat) En terning kastes, indtil jeg har fået en femmer eller sekser 2 gange. p = P ( femmer eller sekser )=2/6 =1/3 Y : Antal terningekast Udfaldet af det i te kast: Y i = ½ 1 hvis femmer eller sekser 0 ellers 14
15 Hvad er sandsynligheden for, at jeg skal kaste 2 gange: P (Y =2)=P (Y 1 =1,Y 2 =1)=(1/3) Hvad er sandsynligheden for, at jeg skal kaste 3 gange: P (Y =3) = P (Y 1 =0,Y 2 =1,Y 3 =1)+P (Y 1 =1,Y 2 =0,Y 3 =1) = 2 (2/3) (1/3) Hvad er sandsynligheden for, at jeg skal kaste 4 gange: P (Y =3) = P (Y 1 =0,Y 2 =0,Y 3 =1,Y 4 =1)+P (Y 1 =0,Y 2 =1,Y 3 =0,Y 4 =1) +P (Y 1 =1,Y 2 =0,Y 3 =0,Y 4 =1) = 3 (2/3) 2 (1/3) Middelværdien af Y : E (Y )=r 1/p =2 3=6 Variansen af Y :Var(Y )=r (1 p) /p 2 =2 6=12 15
16 Figur 4: Negativ binomialfordeling med antalsparameter 2 og sandsynlighedsparameter 1/3 16
17 Resultat: Addition Y 1 Geo(p) og Y 2 Geo(p) og Y 1 og Y 2 uafhængige, da vil Y 1 + Y 2 NegBin(2,p) Antal "succes" i n uafhængige gentagelser: Binomialfordeling Antal gentagelser indtil r "succes": Negativ binomialfordeling Udvælgelse af tilfældig stikprøve af given størrelse og udførsel af "forsøg" (Engelsk: sampling) Binomialfordeling eller hypergeometrisk fordeling Udførsel af "forsøg" på tilfældigt udvalgte indtil fastlagt antal "succes" (Engelsk: inverse sampling) Negativ binomialford. 17
18 Poissonfordeling Hvis X Bin(n, p) og n er "stor"og p er "lille", da gælder P (X = x) = ³ n x p x (1 p) n x (np)x x! exp ( np) Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x m) = mx exp ( m) for x =0, 1, 2,... x! X er Poissonfordelt med parameter m og dette skrives som X Poiss(m) E (X) =m Var (X) = m 18
19 Figur 5: Sandsynlighedsfunktionen for X Bin(1000, 0.01) dvs. det forventede antal succes er 10 19
20 Figur 6: Sandsynlighedsfunktionen for X Bin(2000, 0.005) dvs. det forventede antal succes er 10 20
21 Poissonproces Eksempel 4.6a: Ankomst af kunder til en butik Tidsenhed: timer λ : Det forventede antal ankomster pr. time (intensiteten) Y t : Antal ankomster i interval af længde t (målt i timer) Y 1 : Antal ankomster pr. time Y 5 : Antal ankomster på 5 timer Y 0.25 : Antal anksomter hvert kvarter Y t følger en Poisson-process, dvs. Y t Poisson(λt) Det forventede antal anksomter i et tidsinterval af længde t er λt 21
22 Egenskaber ved en Poissonproces: Antallet af ankomster pr time afhænger ikke af selve tidspunktet Antallet af ankomster i et tidsrum er uafhængigt af antallet af ankomster i alle andre tidsrum Ankomsterne i et givet tidsrum er cirka proportionalt med tidsrummet Sandsynligheden for flere ankomster på næsten samme tid er lille 22
23 Eksempel 4.6a: Ankomst af kunder Ankomst af kunder til en butik følger en Poissonproces med 5 kunder pr time: Antallet af ankomster per time: X Poiss(5) Sandsynlighedsfordelingen og kumulerede sandsynligheder: x P (X = x) P (X x) Forventede antal kunder pr time: E (X) =5 Spredningen: p Var (X) =
24 Figur 7: Sandsynlighedsfunktion i Poissonfordeling med parameter 5 24
25 Resultat: Addition X 1 er Poissonfordelt med parameter m 1 og X 2 er Poissonfordelt med parameter m 2, og X 1 og X 2 er uafhængige. Da er X 1 + X 2 Poissonfordelt med parameter (m 1 + m 2 ). Eksempel 4.6c i bogen: Ankomst af type 1 kunder pr. time: X 1 Poiss(3) Ankomst af type 2 kunder pr. time: X 2 Poiss(5) Ankomst af type 1 og 2 kunder: X 1 + X 2 Poiss(8) 25
26 Kontinuerte stokastiske variable X kontinuert stokastisk variabel, der kan antage alle reelle talværdier Eksempler: Indkomster for individer Omsætning i virksomheder Udgift til forbrugsvarer i husholdninger 26
27 Fordelingsfunktionen Interesseret i hændelserne: (X x) for x R (a <X b) for a, b R og a<b Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Definition: Fordelingsfunktionen for den stokastiske variabel X er defineret som F (x) = P (X x) for x R Engelsk: cumulative distribution function, forkortes til cdf Sandsynligheden for intervallet ]a, b] er givet ved: P (a <X b) =P (X b) P (X a) =F (b) F (a) 27
28 Ligefordeling (rektangulær fordeling) Engelsk: Uniform distribution Eksempel 5a i bogen: Venter på en bus Der kommer en bus hvert 10. minut. Jeg ankommer til stoppestedet uden at vide, hvornår bussen kommer. Hvor sandsynligt er det, at jeg skal vente mere end 5 minutter? Stokastisk variabel X, der angiver tidspunktet for bussens ankomst 28
29 Diskrete tilfælde: Vi kan kun måle med halve minutters nøjagtighed, dvs X kan antage 20 forskellige værdier. Vi måler X iminutter. Alle værdier af X er lige sandsynlige, dvs. P (X = x) =1/20 = 0.05 for alle x =0.5, 1, 1.5,...,10 29
30 Kontinuerte tilfælde: Vi kan måle med uendelig stor nøjagtighed, dvs X kanantageallereelleværdier. X =1.5: Bussenkommerefter1min.og30sek. X =2.9: Bussenkommerefter2min.og54sek P (X x) =0for x<0 P (X x) =1for x>10 Sandsynligheden for, at bussen kommer indenfor 30 sekunder, er den samme på alle tidspunkter: P (x <X x +0.5) = 1/20 = x +0.5 x 10 30
31 Sandsynligheden for, at bussen kommer indenfor et minut, er 2 gange sandsynligheden for at den kommer indenfor 1/2 minut: P (x <X x +1)=2P (x <X<x+0.5) = 1/10 = x +1 x 10 Sandsynligheden for, at bussen kommer i intervallet mellem 1.42 og 3.61: P (1.42 <X 3.61) = 10 Sandsynligheden for at bussen kommer i intervallet ]a, b] er givet ved P (a <X b) = b a 10 Fordelingsfunktionen for X er givet ved 0 for x<0 F (x) = x/10 for 0 x 10 1 for x>10 31
32 Figur 8: Fordelingsfunktionen for en ligefordeling på intervallet [0,10] samt for en diskret fordeling, hvor alle værdier 0.5, 1, 1.5,...,10 er lige sandsynlige 32
33 X er ligefordelt på intervallet [a, b] Fordelingsfunktionen for X : F (x) = 0 for x<a x/ (b a) for a x b 1 for x>b Der gælder: P (x 1 <X x 2 )=F (x 2 ) F (x 1 )= x 2 x
34 Egenskaber ved fordelingsfunktionen: (i) F (x) 0 for x,f (x) 1 for x (ii) F (a) F (b) for a<b (iii) Fordelingsfunktionen er kontinuert fra højre Hvis X er en kontinuert stokastisk variabel, er fordelingsfunktionen kontinuert 34
35 Tæthedsfunktionen Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 X kontinuert stokastisk variabel med fordelingsfunktion F (x) Hvad er sandsynligheden for at X ligger i et lille interval omkring værdien x : P (x <X x + x) =F (x + x) F (x) = F (x) Forholdet mellem sandsynlighedsmasse og intervallængde når intervallængden går mod nul: F (x) F 0 (x) =f (x) for x 0 x f (x) kaldes tætheden for x 35
36 Diskrete tilfælde: Sandsynlighedsfunktionen f (x) angiver sandsynligheden for at X er lig med x Kontinuerte tilfælde: Sandsynligheden for at X liggerietintervalomkringx er xf (x) Tætheden f (x) angiver koncentrationen af sandsynlighed omkring værdien x 36
37 X er ligefordelt på intervallet [a, b] Fordelingsfunktionen for X : F (x) = 0 for x<a x/ (b a) for a x b 1 for x>b Tætheden for X : f (x) = 0 for x<a 1/ (b a) for a x b 0 for x>b 37
38 Der gælder: Dermed også: F (x) = Z x F 0 (u) du = Z x f (u) du P (a <X<b)=F (b) F (a) = Z b f (u) du Z a f (u) du = Z b a f (x) dx Egenskaber ved en tæthedsfunktion f: f (x) 0 for alle x R f (x) =1 Tæthedsfunktionen definerer en fordelingsfunktion: F (x) = R x f (u) du 38
39 Figur 9: Sammenhæng mellem tæthedsfunktionen f(x) og fordelingsfunktionens værdi for x =1 39
40 Figur 10: Fordelingsfunktionen F (x) Figur 11: 40
41 Figur 12: Tæthedsfunktionen f(x) for en stokastisk variabel X og illustration af P ( 1.5 <X 1) 41
42 Figur 13: Fordelingsfunktionen F (x) for en stokastisk variabel X og illustration af P ( 1.5 <X 1) 42
43 Opsummering Multinomialfordeling: - Generalisering af binomialfordeling - Opdeling i mere end 2 katogorier - Eksempel: Meningsmåling Binomial: Tæller antal "succes"i fastlagt antal gentagelser Geometrisk fordeling og negativ binomialfordeling: Tæller gentagelser (ventetid) når antal "succes" er fastlagt Poisson fordeling: - Antal gange en sjælden hændelse indtræffer i et stort antal gentagelser Poissonproces: - Eksempel: Kundeankomst Kontinuerte fordelinger: - Fordelingsfunktion 43
44 - Tæthedsfunktion - Sandsynligheder af intervaller Ligefordeling: - Kontinuert version af "alle udfald lige sandsynlige" 44
45 Næste gang Torsdag gennemgåes: Afsnit Kontinuerte fordelinger Husk: - At lave opgaver og SAS-øvelser - Der er stedprøve fredag den 27. oktober 45
Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDiskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling
Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 24. maj 2012 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 24. maj 2 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mere2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:
Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4
0202 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel Hjemmeopgaver Vejledende løsning.2 Eksperimentet kan beskrives ved binomialfordelingen, X b(x; n, p), hvor n = og p = 1 2. Dermed kan man
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2019 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 7. maj 019 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mere