2 Logaritme- og eksponentialfunktion 6

Transkript

1 Indhold 1 Kontingenstabeller Krydstabeller Forventede under nulhypotesen Ki-kvadrat test Residualanalyse Eksakt test Logaritme- og eksponentialfunktion 6 3 Logistisk regression Sammenligning af odds for 2 grupper Konfidensinterval for effekt Test for effekt Beregninger i Stata Multiple prediktorer Effektmodifikation Sammenligning af flere grupper Regression på intervalvariabel Effektmodifikation af intervalvariabel

2 1 Kontingenstabeller 1.1 Krydstabeller 2 dikotome variable Vi skal studere sammenhænge mellem kategoriske variable, hvor vi først betragter situationen med dikotome variable. Aktuelt kigger vi på eksemplet med placebo/vaccine og influenza(ja/nej). Data er indtastet i Stata, hvor vi for hver kombination af faktorerne(flu og vac) angiver, hvor mange(ant) vi observerer for denne kombination. Krydstabel Statistics Summaries,... Frequency... Two-way... Under Main fanen fortælles, at vi vil krydstabulere vac og flu beregne Pearsons teststatistik for ingen sammenhæng de forventede antal, når der ikke er sammenhæng Krydstabel 2

3 I Weights-fanen fortælles at de enkelte kombinationer af faktorerne vac of flu skal vægtes med deres antal (ant). Ellers tælles de som forekommende 1 gang! Dvs vi får en tabel med 4 et-taller. Krydstabel 3

4 1.2 Forventede under nulhypotesen Vi skal betragte nulhypotesen H 0 : Der er ingen sammenhæng mellem de 2 faktorer. Aktuelt: Sandsynligheden for at få influenza skal være den samme for placebo og vaccine. Under nulhypotesen er vort estimat for denne sandsynlighed ˆπ = 100. Da 240 vaccineres 460 forventer vi under nulhypotesen at se E = 240ˆπ = = 52.2 vaccinerede og influenzaramte. På tilsvarende vis beregnes forventede for de øvrige kombinationer af faktorerne. Forventede under nulhypotesen Hvis E angiver det forventede antal i en indgang i tabellen kan dette beregnes via formlen rækketotal søjletotal E = tabeltotal Vi skal sammenligne dette forventede billede med værdierne O i den observerede tabel. Dette gøres ved at beregne Ki-kvadrat afstanden mellem de 2 tabeller Aktuelt X 2 = (O E) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = Er denne afstand stor? 1.3 Ki-kvadrat test Ki-kvadrat test Når H 0 er sand og alle indgange i den forventede tabel er mindst 5, så kan det vises at X 2 approsimativt følger en såkaldt 4 E

5 χ 2 (ki-i-anden)-fordeling med df = (r 1)(c 1) frihedsgrader r: antal rækker og c: antal søjler Middeltallet af X 2 er df og standardfejlen er 2df. Vi skal altså beregne p-værdien, som den øvre halesandsynlighed i denne fordeling. Aktuelt er df = 1 hvilket betyder at X 2 = er en exorbitant stor værdi, dvs klar evidens mod nulhypotesen. 1.4 Residualanalyse Residualer Forskellen O E mellem det observerede og det forventede kaldes residualet. Når denne divideres med E fås Pearson residualet pres = O E E Hvis nulhypotesen er sand kan vi tænke på pres som en z-værdi, dvs hovedparten af disse skal ligge mellem ±2. Desværre er disse ikke umiddelbart tilgængelige i Stata. Men de kan opnås ved at installere tabchi som beskrevet nedenfor. Residualer Tast kommandoen findit tabchi i kommandovinduet under Results-vinduet og tast Enter. Hvorefter du forhåbentlig ser Klik på tab chi linket, hvorefter du ser 5

6 hvor du klikker på (click here to install) Residualer I kommandovinduet taster du tabchi vac flu [fw=ant], p efterfulgt af Enter. Det observerede antal med influenza i placebogruppen ligger 4.7 standardfejl over det forventede. Altså signifikant for mange. Vi kan konkludere at vaccine har en signifikant positiv effekt. 1.5 Eksakt test Eksakt test Hvis ikke alle indgange i den forventede tabel er mindst 5, så er χ 2 -testet dubiøst. I dette tilfælde kan man i stedet bruge Fisher s eksakte test. Dette aktiveres i Stata ved i Main-fanen at vælge Fisher s exact test i stedet for Pearson s chi-squared. 2 Logaritme- og eksponentialfunktion Eksponentialfunktionen 6

7 Eksponentialfunktionen defineres ud fra tallet Eksempelvis e 3 = e e e = Der gælder at e = e u betyder e multipliceret med sig selv u gange e (u+v) = e u e v Højresiden af lighedstegnet fortæller at vi multiplicerer e med sig selv hhv u og v gange og når disse multipliceres får vi et produkt, hvor e er multipliceret med sig selv u + v gange. Eksempelvis e 2 e 3 = (e e) (e e e) = e 5 Eksponentialfunktionen Eksponentialfunktion defineres også for negative potenser via Eksempelvis e 3 = 1 e 3 = = e u = 1 e u Eksponentialfunktionen kan udvides til også at gælde for skæve potenser ved at vedtage at e (u+v) = e u e v skal gælde for alle tal. Eksempelvis ser vi så at hvorfor der må gælde at e 0.5 = e = 1.65 Endvidere følger at e 0.5 e 0.5 = e ( ) = e e 0 = e (1 1) = e e 1 = e e = 1 Logaritmefunktion Fundamentale egenskaber ved eksponentialfunktionen: e u > 0 e (u+v) = e u e v e 0 = 1 7

8 Hvis x = e u så kaldes u for logaritmen til x og betegnes log(x). log(1) = 0. Fundamentale egenskaber ved logaritmefunktionen: Så der gælder eksempelvis log(x) er kun defineret for x > 0. log(x y) = log(x) + log(y) log(x n ) = n log(x) log(1) = 0 Eksempelvis log(10 n ) = n log(10) = n 2.3, dvs hver gang vi 10-dobler forøges logaritmen blot med 2.3. Fex log(1000) log(100) = log(10) log(1) = Logistisk regression 3.1 Sammenligning af odds for 2 grupper Sammenligning af odds for 2 grupper Vi vender tilbage til eksperimentet, hvor responsen er dikotom(binær), dvs der er 2 mulige udfald. Vi vil kode de 2 mulige udfald med D: Som kunne betyde syg(desased) H: Som kunne betyde rask(healthy) Ud over responsen har vi en dikotom forklarende variabel(fex behandling/eksponering), som deler populationen i 2 grupper (kaldet 0 og 1). Vi er interesseret i at sammenligne sygdomsodds for de 2 delpopulationer Odds 0 (D) = π 0 1 π 0, hvor π 0 er andelen i gruppe 0, som har status lig med D. Odds 1 (D) = π 1 1 π 1, hvor π 1 er andelen i gruppe 1, som har status lig med D. Sammenligning af odds for 2 grupper Vi skal basere sammenligningen på odds for gruppe1 relativt til odds fra gruppe0, det såkaldte odds ratio OR 1,0 (D) = Odds 1(D) Odds 0 (D) 8

9 Hvis eksempelvis OR 1,0 (D) = 1.5, så er odds for sygdom 50% større i gruppe 1 end i gruppe 0. Ligningen ovenfor kan også skrives Odds 1 (D) = Odds 0 (D) OR 1,0 (D) Hvis gruppe1 svarer til exposure og gruppe0 kaldes baseline, så kan det udtrykkes som OddsExposure = OddsBaseline OR(Exposure) logodds Vi opnår den mest valide analyse ift konfidensintervaller og hypotesetest ved at transformere til log-skala: log(oddsexposure) = log(oddsbaseline) + log(or(exposure)) Vi skal indføre notationen: β 0 = log(oddsbaseline) β 1 = log(or(exposure)) Bemærk at β 1 = log(oddsexposure) log(oddsbaseline) dvs β 1 måler effekten af exposure ift baseline. Hypotesen om ingen effekt undersøges således ved at teste H 0 : β 1 = 0. Eksempel Med Savanne som baseline kan vi estimere logodds for baseline: 9

10 ˆβ 0 = log(281/267) = Effekten på logodds ved at flytte til regnskoven estimeres til ˆβ 1 = log(541/213) log(281/267) = Er denne effekt signifikant? 3.2 Konfidensinterval for effekt Konfidensinterval Når vi skal vurdere om ˆβ 1 er signifikant større end nul, så har vi brug for dens standardfejl. Vi overlader beregningen til Stata, som rapporterer at se( ˆβ 1 ) = Vi kan så bestemme 95% konfidensintervallet ˆβ 1 ± 1.96 se( ˆβ 1 ) som giver grænser og 1.112, dvs effekten er tydelig. Effekten på odds findes via exponentialfunktionen: Nedre grænse: e 0.65 = 1.92, dvs vi forventer at odds forøges med mindst 92%. Øvre grænse: e = 3.04, dvs 3-dobling. 3.3 Test for effekt Signifikanstest Vi skal betragte nulhypotesen H 0 : β 1 = 0. På basis af ˆβ 1 og se( ˆβ 1 ) kan vi beregne z = ˆβ 1 se( ˆβ 1 ) som approksimativt følger en standard normalfordeling, hvis nulhypotesen er sand. Vi kan så på sædvanlig vis beregne den tilhørende p-værdi. Aktuelt z = = langt over 3, så pværdi=0. 10

11 3.4 Beregninger i Stata Stata Statistics Binary outcomes Logistic regression, reporting coefficients Vi skal specificere outcome (mf) og prædiktor (area). Stata Vi genkender -cons svarer til area=0, dvs logodds for savanne er ˆβ 0 = area giver effekten af area, dvs når vi går fra 0=savanne til 1=skov. Forskellen i logodds er ˆβ 1 = Vi kan også genkende konfidensintervallet. Og klar signifikans med z = Multiple prediktorer Model Når x 1 angiver dummykodning af gruppevariablen (eksponering/behandling) kan vi formulere modellen på denne måde logodds = β 0 + β 1 x 1 11

12 som læses Når x 1 = 0(baseline) er logodds β 0 Når x 1 = 1(exposure) er logodds β 0 + β 1 dvs β 1 er kontrasten/forskellen i logodds og måler effekten af eksponering. På helt samme måde som ved multipel lineær regression kan vi udvide modellen til at inkludere effekten af flere prediktorer. inkluderer effekt af x 1, x 2 og x 3. Eksempel logodds = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 Lad os inkludere køn som prediktor dvs logodds = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 x 2 = 0 for mænd og x 2 = 1 for kvinder, dvs β 2 måler forskellen fra mænd til kvinder. I Statas Model-fane: Independent variables: area sex, dvs hovedvirkning af begge faktorer. Eksempel Signifikante effekter af både sex og area. Vi kan se 12

13 Estimeret logodds for kvinder er ˆβ 2 = lavere end for mænd. Konfidensintervallet til -.25 svarer til en faktor mellem e = 0.49 og e 0.25 = 0.78 på oddsskalaen. Vi skønner altså at odds for kvinderne er mellem = 22% og = 51% lavere end for mænd. 3.6 Effektmodifikation Eksempel Lad os udvide modellen til logodds = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 1 x 2 LogOdds for mand på savannen(x 1 = x 2 = 0): β 0. LogOdds for mand i skoven(x 1 = 1,x 2 = 0): β 0 + β 1. SkovEffekt for mand: β 1. LogOdds for kvinde på savannen(x 1 = 0,x 2 = 1): β 0 + β 2. LogOdds for kvinde i skoven(x 1 = 1,x 2 = 1): β 0 + β 1 + β 2 + β 3. SkovEffektfor kvinde: β 1 + β 3. Forskel i skoveffekt for mænd og kvinder: β 3. Parameteren β 3 fortæller hvordan skoveffekten modificeres, når vi skifter køn fra mand til kvinde. Eksempel - Stata I Statas Model-fane: Independent variables: area##sex, dvs vekselvirkning/effektmodifikation mellem de 2 faktorer. 13

14 Der er ikke signifikant effektmodifikation, idet ˆβ 3 = ikke afviger signifikant fra nul (p-værdi 9.3%). Vi fastholder altså den tidligere model, hvor der er effekt af køn og en skoveffekt, som er ens for mænd og kvinder. 3.7 Sammenligning af flere grupper Eksempel Respondenterne i vores flodblindhed undersøgelse er inddelt i aldersgrupper. Hvis x i er dummy variabel for aldersgruppe nr i, i = 1, 2, 3 skal vi kigge på modellen logodds = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 Der gælder altså at x i = 1 hvis du tilhører aldersgruppe nr i og ellers er x i = 0, hvor i kan være 1, 2, 3. Vi kan fortolke parametrene: β 1 er kontrast i logodds mellem aldersgruppe 0 og aldersgruppe 1. β 2 er kontrast i logodds mellem aldersgruppe 0 og aldersgruppe 2. β 3 er kontrast i logodds mellem aldersgruppe 0 og aldersgruppe 3. Eksempel 14

15 Præfikset i. fortæller at agegrp skal dummykodes. Ellers tror Stata at det er målinger på intervalskala. Eksempel Vi kan konstatere at alle aldersgrupper ligger signifikant højere end baseline. Faktisk ser det ud til at ændringen i logodds er proportional med ændringen i aldersgruppe. Lad os forfølge dette med en simpel lineær regression, hvor vi betragter aldersgruppe som intervaldata. 3.8 Regression på intervalvariabel Eksempel - Stata I Statas Model-fane: Independent variables: agegrp, der nu opfattes som metrisk. 15

16 Stigningen i logodds når vi går en aldersgruppe op er signifikant med konfidensgrænser g På odds skala er dette e = 2.24 og e = Stigningen i odds for flodfeber er således mellem 124% og 187%, når vi bliver en aldersgruppe ældre. 3.9 Effektmodifikation af intervalvariabel Effektmodifikation Ud over alderseffekten har vi set en effekt af area, som måske kan bortforklares af alderseffekten, hvis alderssammensætningen er forskellig på savanne og skov. Hvis skovbefolkningen generelt er ældre, så vil de have en højere sygelighed. Lad os kigge på en model med effekt af begge variable. Hvis begge variable har effekt er det også interessant at undersøge om aldereffekten er forskellig på savanne og skov. I Statas Model-fane: Independent variables: area##c.agegrp, hvor nu præfix c. metrisk. fortæller at variablen er Effektmodifikation LogOdds for aldersgruppe 0 på savannen er På savannen vokser LogOdds med 0.799, når aldersgrp går 1 op. 16

17 Skoveffekten i aldersgruppe 0 estimeres til Denne er ikke signifikant. LogOdds for forskel på alderseffekten på skov og savanne er 0.343, hvilket er signifikant. Konklusion: Skov og savanne har samme odds i aldersgruppe 0. Til gengæld vokser LogOdds signifikant hurtigere med alderen i skoven( =1.142) end på savannen(0.799). 17