VIDEREGÅENDE STATISTIK

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN VIDEREGÅENDE STATISTIK (med TI 89 og SAS - JMP) 5. udgave 011

2 FORORD Denne lærebog kan læses på baggrund af en statistisk viden svarende til lærebogen M. Oddershede Larsen : Statistiske grundbegreber. Bogen er bygget op således, at de væsentligste begreber søges forklaret anskueligt og ved hjælp af et stort antal eksempler. I eksemplerne er beregningerne er i videst mulig omfang foretaget ved anvendelse af programmer i lommeregneren TI-89 og i statistikprogrammet SAS-JMP. I slutningen af nogle af kapitlerne er givet en oversigt over centrale formler eller fremgangsmåder. I et appendix sidst i bogen er givet en mere dybtgående statistisk forklaring på formlerne. Efter hvert kapitel er der nogle opgaver og en facitliste til opgaverne findes bagerst i bogen. Læsning: Bogen er opbygget således, at de tre hovedemner Faktorer på og flere niveauer : kapitel 3 til 6, Regressionsanalyse kapitel 7 og Kontrolteori : kapitel 8 og 9 kan læses uafhængigt af hinanden. Kan man af tidsmæssige grunde ikke nå alt, så kan man derfor overspringe en eller flere af disse emner. Et andet forslag er at overspringe en eller flere af delemner som Screeningsforsøg: kapitel 6, Multipel regression: afsnit 7.7 og 7.8 Statistisk godkendelseskontrol:kapitel 9: Skulle man i undervisningen benytter et andet statistikprogram end SAS.JMP, kan de studerende uden vanskelighed på basis af SAS.JMP udskrifterne tolke egne udskrifter, da disse næppeafviger væsentligt fra hinanden. På nedenstående adresse kan man således se bøger, hvor SAS-JMP er udskiftet med statistikprogrammet STATGRAPHICS. Data foreligger ofte som en fil i et regneark som eksempelvis Excel. Disse regneark har indbygget en del statistik bl.a. de almindeligste testfunktioner. I notatet Videregående statistik regnet med Excel er en række af disse statistiske muligheder gennemgået. Alle de nævnte bøger (og mange flere) kan findes på adressen Januar 01 Mogens Oddershede Larsen. -ii-

3 INDHOLD Indhold 1 REPETITION AF HYPOTESETEST FOR 1 VARIABEL 1.1 Indledning Normalfordelt variabel Binomialfordelt variabel... 5 Opgaver... 6 PLANLÆGNING AF FORSØG.1 Indledning Nomenklatur Krav til statistisk gyldigt forsøg FAKTOR PÅ NIVEAUER 3.1 Normalfordelte variable Test af differens mellem middelværdier Blokforsøg (parvise observationer) Binomialfordelte variable Poissonfordelte variable Fordeling ukendt (rangtest) Oversigt over centrale formler i kapitel Test og konfidensintervaller af differens mellem middelværdier for normalfordelte variable Test af differens mellem varians for normalfordelte variable Test og konfidensintervaller af p 1 - p for binomialfordelte variable Test og konfidensintervaller af µ µ for Poissonfordelte variable Opgaver FAKTOR PÅ MERE END NIVEAUER 4.1 Indledning Ensidet variansanalyse (normalfordelte variable) Indledning Forklaring af metoder og formler Beregning af ensidet variansanalyse ved TI89 og SAS.JMP Fuldstændigt randomiseret blokforsøg Binomialfordelte variable Poissonfordelte variable Oversigt over centrale formler i kapitel iii-

4 Indhold Oversigt over fremgangsmåde ved ensidet variansanalyse Test af parametre p 1, p,..., p k for binomialfordelte variable Test af parametre µ 1, µ,..., µ k for Poissonfordelte variable Opgaver FAKTORER PÅ ELLER FLERE NIVEAUER. TOSIDET VARIANSANALYSE 5.1 Indledning Planlægning af forsøg Een faktor ad gangen Fuldstændig faktorstruktur Formler og metode Beregning af tosidet variansanalyse Fuldstændigt randomiseret blokforsøg To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg Oversigt over fremgangsmåde ved tosidet variansanalyse Opgaver FLERE END TO FAKTORER, SCREENINGSFORSØG 6.1 Indledning Nomenklatur Definitionsrelationer og aliasrelationer Planlægning af et partielt k faktorforsøg Beregning af et partielt k faktorforsøg Konfundering af blokke Sekventiel forsøgsstrategi Oversigt over fremgangsmåde ved partielt k faktorforsøg TI89 - program til beregning af k -faktorforsøg Opgaver ENKELT REGRESSIONSANALYSE 7.1 Indledning Bestemmelse af regressionsligning Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt Test og konfidensintervaller Transformation af data Enkelt regressionsanalyse med flere y - observationer for hver x - værdi iv-

5 Indhold 7.7 Multipel regressionsanalyse Indledning Analyse med én y - observation for hver x - værdi Polynomial regressionsanalyse Indledning Beregning af polynomial regressionsanalyse Oversigt over fremgangsmåde ved regressionsanalyse Opgaver STATISTISK PROCESKONTROL 8.1 Indledning Proces i statistisk kontrol Opbygning og alarmkriterier for kontrolkort Kontrolkortanalyse Tolerancegrænser og kapabilitet Procesvariablen er normalfordelt Procesvariablen X er diskret X er binomialfordelt X er Poissonfordelt Opgaver STATISTISK GODKENDELSESKONTROL 9.1 Indledning Enkelt stikprøveplan Rektificerende kontrol Dobbelt stikprøveplan Opgaver ANTALSTABELLER 10.1 Indledning En -vejs tabel To -vejs tabel Opgaver RANGTEST (FORDELING UKENDT) 11.1 Indledning Wilcoxons rangtest for 1 stikprøve v-

6 Indhold 11.3 Wilcoxons rangtest for uafhængig stikprøver Kruskal Wallis test Opgaver... 0 APPENDIX 4.1 Formler til beregning af ensidet variansanalyse Formler til beregning af tosidet variansanalyse Transformation af binomial-og Poissonfordelte variable til tosidet variansanalyse Formler til beregning af enkelt regressionsanalyse uden gentagelser Formler til beregning af enkelt regressionsanalyse med lige mange gentagelser Transformation til lineær model Formler til beregning af multipel regressionsanalyse Begrundelse for grænserne for kontrolkort χ - test af hypotese i 1-vejs antalstabel χ - test af hypotese i - vejs antalstabel Kruskal-Wallis rangtest for to eller flere variable... 3 GRUNDLÆGGENDE OPERATIONER PÅ TI GRUNDLÆGGENDE OPERATIONER PÅ SAS.JMP... 6 TABEL FACITLISTE STIKORD vi-

7 1. Normalfordelt variabel 1 REPETITION AF HYPOTESETEST FOR 1 VARIABEL 1.1. INDLEDNING De grundlæggende begreber vedrørende hypotesetest, konfidensintervaller og dimensionering af forsøg blev i Statistiske Grundbegreber grundigt beskrevet når vi havde én stikprøve. Beregningerne blev der udført ved anvendelse af lommeregneren TI89 og regnearket Excel. Vi vil i dette afsnit vise hvorledes beregningerne også kan udføres med statistikprogrammet SAS- JMP, samt vise, hvorledes man ved hjælp af SAS.JMP grafisk kan undersøge om data virkelig er normalfordelt. I Afsnittet Grundlæggende Operationer i SAS-JMP er beskrevet, hvorledes man indtaster data, import af data fra Excel og beregner de forskellige sandsynlighedsfunktioner. 1.. NORMALFORDELT VARIABEL Eksempel 1.1 Hypotesetest. Normalfordelt variabel. En fabrik der fremstiller plastikprodukter ønsker at evaluere holdbarheden af rektangulære støbte plastik blokke som anvendes i møbelfabrikationen. Der udtages tilfældigt 50 blokke, og deres hårhed måles (i Brinell enheder). Resultaterne var følgende a) Undersøg om tallene er rimeligt normalfordelt ved i SAS-JMP at tegne et histogram, et boxplot og et normalfordelingsplot. Angiv endvidere gennemsnit og spredning. De følgende spørgsmål skal regnes såvel med SAS.JMP som med TI89. For at undgå indtastning af alle tal i TI89, forudsættes her, at man ved, at gennemsnit x = 66. og spredning s = 5.0. b) Hårheden bør være over 60 (brinell enheder). Test på et signifikansniveau på α = 5% om dette er tilfældet. c) Forudsat hårheden er signifikant over 60 brinell, skal angives et estimat for hårheden, samt et 95% konfidensinterval for denne. Løsning: a) Histogram: Lad data være indtastet og datasøjlen være benævnt holdbarhed På værktøjslinien vælg Analyze Distribution (eller Wiew, JMP-Starter vælg Basic Distribution ) I den fremkomne menu dobbeltklikkes på holdbarhed (under Selected Columns ) ok Der fremkommer et histogram, et boxplot og en række statistiske oplysninger. En almindelig fejl er her, at man i data har skrevet decimalpunktum frem for decimalpunktum. Ret dette, og i data, vælg kolonneoverskrift holdbarhed højre musetast Modelling type Continuous 1

8 1. Repetition af centrale begreber For at kunne sammenligne med en normalfordeling tegnes en normalfordelingskurve: Placer cursor på rød pil ved holdbarhed tryk på højre musetast og vælg Continuous Fit normal Der tegnes nu en normalfordelingskurve med samme middelværdi og spredning som fra data. Endvidere tegnes et normal kvartil plot Cursor placeres på holdbarhed og man trykker på højre musetast og vælger Normal Quantile Plot Der er nu bl.a. fremkommet følgende figur og tabel. Distributions holdbarhed 350 -,33-1,64-1,8-0, 67 0,0 0,67 1, 81,64, , 0 0,1 0, 0,5 0,8 0,9 0,98 Norm al Quantile Plot Normal(66,18,5,0931) Quantiles 100,0 % maximum 334,90 99,5% 334,90 97,5% 38,93 90,0% 300,99 75,0% quartile 79,73 50,0% median 67,60 5,0% quartile 51,75 10,0% 33,0,5% 01,41 0,5% 194,40 0,0% minimum 194,40 Moments Mean 66,18 Std Dev 5,09313 Std Err Mean 3, Upper 95% Mean 73,34939 Lower 95% Mean 59,08661 N 50

9 1. Normalfordelt variabel Forklaring af figur og udskrift Histogram og normalfordelingskurven passer godt sammen, så det viser, at data er rimelig normalfordelt. Boxplot: Den næste figur er et såkaldt boxplot, hvor den midterste streg angiver medianen og kassens grænser angiver henholdsvis 1. og 3. kvartil. Det betyder, at hvis man opstillede de 50 tal i rækkefølge efter størrelse, så er tal nr 50/ =5 medianen 67.6 (aflæses i tabel under Quantiles 59% ) 1. kvartil 5.75 er tallet midt mellem tal nr 1 og tal nr 13, osv. Da boxplottet er nogenlunde symmetrisk om medianen, så kan man igen antage at data er rimelig normalfordelt. De isolerede prikker yderst viser, at der er et par værdier, som afviger kraftigt fra de øvrige, og muligvis er fejlmålinger (kaldes outliers). Rhomben inde i firkanten angiver et 95% konfidensinterval for middelværdien. Man ser, at den ligger lidt skævt i forhold til boxplottet, men dog ikke så meget, at det spiller nogen rolle, da median =67.6 er ca. = mean (gennemsnit) = 66.7 Normal Kvartil-plot. Her har man ud af x - aksen sørget for at skalaen er sådan, at punkterne burde ligge på den røde rette linie, hvis de fuldstændigt eksakt var normalfordelt. Den røde linie går gennem (0, mean) og har hældning = spredningen. De stiplede linier angiver 95% konfidensinterval for normalfordelingen. Som det ses, ligger punkterne indenfor konfidensintervallet og ligger tæt på linien for de midterste 75% af tallenene. De yderste punkter kan man ikke forvente ligger på linien Man må derfor igen antage, at data er tilnærmelsesvis normalfordelt. Det ses af udskriften, at gennemsnittet x = 66. og et estimat for spredningen er s = 5.09 b) X = holdbarheden af plastblokke X antages normalfordelt med ukendt middelværdi og. µ σ H 0 : =60 H: >60 µ µ Da spredningen ikke er kendt eksakt anvendes en t-test. TI 89: APPS, STAT/LIST F6 : t-test vælg Stats (da de oprindelige data ikke er kendt) ENTER Udfyld den fremkomne menu : µ 0 = 60, x = 66., s = 5.09 n = 50, Alternativ hypotese µ > µ 0 Calculate, Enter Vi får: P-værdi = P- værdien = sandsynligheden for at begå en "type 1 fejl", dvs. påstå at µ > µ 0 =60 selv om det ikke er tilfældet. Da P-værdi = 4.9 % < 5%, forkastes H 0 (svagt). Konklusion: Vi har bevist, at holdbarheden i middel er over 60 brinell. 3

10 1. Repetition af centrale begreber SAS.JMP: Klik på rød pil ved "holdbarhed" og vælg "Test Mean". I den fremkomne menu skriv 60 ok Test Mean=value Hypothesized Value 60 Actual Estimate 66,18 DF 49 Std Dev 5,0931 t Test Test Statistic 1,75 Prob > t 0,0860 Prob > t 0,0430* Prob < t 0,9570 Da P-værdi = < 5%, dvs H 0 forkastes (svagt) Konklusion: Vi har bevist, at holdbarheden i middel er over 60 brinell. Da vi har en ensidet test er tegningen lidt misvisende Ønskes en mere anskuelig figur m.m. Sæt cursor på Test Mean, tryk på højre musetast og vælg Pvalue animation og vælg på figuren High Side Derved fremkommer en mere sigende figur Y 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 Esti mate d Me an 66,18 Hypothesized Mean 60 T Ratio 1,7519 P Value 0,043 0, X Sample Size = 50 c) TI 89: APPS, STAT/LIST F7 : t-inteval Stats ENTER Udfyld den fremkomne menu Calculate, Enter Et estimat for holdbarheden er 66. brinell Et 95% konfidensinterval [59.1 ; 73.3] SAS.JMP: Klik på rød pil ved "holdbarhed" "Confidence interval" Der fremkommer følgende udskrift. Confidence Intervals Parameter Estimate Lower CI Upper CI 1-Alpha Mean 66,18 59, ,3494 0,950 Std Dev 5, , ,6939 0,950 Et estimat for holdbarheden er 66. brinell Et 95% konfidensinterval [59.1 ; 73.3] 4

11 1.3 Binomialfordelt variabel 1.3. BINOMIALFORDELT VARIABEL Eksempel 1.. Binomialtest En fabrikant af chip til computere reklamerer med, at højst % af en bestemt type chip, som fabrikken sender ud på markedet er defekte. Et stort computerfirma, vil købe et meget stort parti af disse chip, hvis påstanden er rigtigt. For at teste påstanden købes 1000 af dem. Det viser sig, at 33 ud af de 1000 er defekte. a) Kan fabrikantens påstand på denne baggrund forkastes på signifikansniveau 5%? b) Forudsat påstanden forkastes, skal angives et estimat for % defekte, samt et 95% konfidensinterval for denne. Løsning: X = antal defekte chips af 1000 X er binomialfordelt b(1000, p). Nulhypotese: H: p = 00. Alternativ hypotese Hp : > 00. TI89 a) P værdi = P( X 33) = binomcdf(1000,0.0,33,1000)= Da P-værdi < 0.05 forkastes H 0, dvs. fabrikantens påstand om færre end % defekte forkastes. b) Da x = 33 >5 og 33 < kan approksimeres med normalfordelingen APPS, STAT/LIST F7 5: 1-Prop-Z-test udfyld menu Estimat for p: 3.3% 95% konfidensinterval : {.19% ; 4.41%] SAS.JMP a) P værdi = P( X 33) = 1 P( X 3) Kald en søjle for p, og indtast et tilfældigt tal i første række. Placer cursor i p's hoved højre musetast Formula skriv 1-(- vælges fra jmp tastatur) vælg Discrete Probability Binomial Distribution Udfyld pladserne Højre musetast Evaluate P-værdi = b) Estimat for p: 3.3% ± ( ) 1000 p radius Øvre grænse nedre grænse 0, , , ,0198 Af formlen for konfidensinterval og benyttelse af "Formula" fås 5

12 1. Repetition af centrale begreber OPGAVER Opgave 1.1 Færdselspolitiet overvejede, om der burde indføres en fartgrænse på 70 km/h på en bestemt landevejsstrækning, hvor der hidtil havde været fartgrænsen 80 km/h. Som et led i analysen af hensigtmæssigheden af den overvejede ændring observeredes inden for et bestemt tidsrum ved hjælp af radarkontrol de forbipasserende bilers fart. Resultatet af målingerne var: 50 observationer Undersøg om tallene er rimeligt normalfordelt ved i SAS-JMP at tegne et histogram, et boxplot og et normalfordelingsplot. Angiv endvidere gennemsnit og spredning. Opgave 1. Under produktionen forekommer blandt en fabriks affaldsprodukter 1.5 mg/l af et stof A., som i større mængder kan være kræftfremkaldende. Man håber ved en ny og mere kostbar metode, at formindske indholdet af det pågældende stof. a) Ved en række kontrolmålinger efter tilsætning af additivet fandtes følgende resultater (i mg/l) Test på 5% niveau, om målingerne beviser, at der er sket en formindskelse af middelindholdet af stoffet A. b) Forudsat middelindholdet er signifikant under 1.5 mg/l, skal angives et estimat for det nye middelindhold, samt et 95% konfidensinterval for denne. Opgave 1.3 Det forventes, at lovgivningen bliver strammet omkring mængden af skadelige partikler i bilers udstødningsgas. En person mener, at mere end 0% af forsvarets biler ikke vil opfylde de forventede nye krav. Ved en undersøgelse af 40 af forsvarets biler tilfældigt udvalgt, fandt man, at 13 af disse ikke kunne opfylde de nye krav. 1) Test om dette på et signifikansniveau på 5 % er et bevis for, at mere end 0% af forsvarets biler udsender flere skadelige partikler end ønskeligt. ) Under forudsætning af at det er signifikant, at 0% af bilerne ikke opfylder kravet, skal man angive et estimat for hvor mange procent af bilerne, der ikke opfylder de nye krav, samt angive et 95% konfidensinterval herfor. 6

13 Opgaver til kapitel 1 Opgave 1.4 Indenfor en stor virksomhed, der producerer udstyr til forsvaret, er der i middel 0 driftsuheld pr. måned. Da antallet efter indførelsen af nye arbejdsrutiner synes at være vokset målte man i 5 på hinanden følgende måneder antallet af driftsuheld. Resultaterne var måned nr antal/måned Test, om disse data giver et eksperimentelt bevis for, at middelværdien er større end 0 µ driftsuheld/måned? 7

14 . Planlægning af forsøg PLANLÆGNING AF FORSØG.1. INDLEDNING Forsøg er en naturlig del af ingeniørmæssig og anden videnskabelig metode til at træffe beslutninger. Antag eksempelvis, at en ingeniør skal studere virkningerne af 4 hærdningsmetoder på trykstyrken af et materiale. Forsøget ville bestå i, at man fremstillede en række testmaterialer baseret på de 4 hærdningsmetoder, og derefter målte trykstyrken. På basis af disse data kunne man så anvende en statistisk metode til at finde den af de 4 metoder der i middel gav den største trykstyrke. Alle forsøg er planlagte forsøg, men desværre er nogle forsøg særdeles dårlig planlagt, og resulterer i at kostbare ressourcer bliver benyttet ineffektivt. Statistisk planlagte forsøg giver effektivitet og økonomi i den eksperimentelle proces, og brug af statistiske metoder i undersøgelsen af data resulterer i en videnskabelig objektivitet når man skal drage konklusioner. Statistisk baserede forsøg er særlig nyttige til at forbedre en fremstillingsproces eller til at udvikle nye metoder. Ved at benytte statistisk planlagte forsøg, kan ingeniøren bestemme hvilke af de mange procesvariable, såsom temperatur, tryk, hærdningsmetoder osv. der har den største betydning for udfaldet af processen. Brugen af statistisk baserede forsøg kan derfor resultere i produkter, der er lettere at producere, produkter der har en bedre performance og stabilitet (mindre spredning) end konkurrenternes produkter, og kan blive udviklet og produceret på mindre tid, hvilket reducerer udviklingsomkostningerne... NOMENKLATUR I de følgende kapitler benyttes ord, som faktor, niveauer, behandlinger osv. For at forstå hvad disse ord betyder, vil vi forklare dem ud fra følgende forsøg: Eksempel.1 I forbindelse med nogle brudstyrkebestemmelser for Portland-cement udføres et fuldstændigt randomiseret forsøg til undersøgelse af middelbrudstyrkens afhængighed af cementblandere og cementknusere. Med hver af 4 cementblandere udstøbtes efter blanding med vand 1 cementterninger, som efter en uges lagring underkastedes en brudstyrkeprøve ved hjælp af en af 3 cementknusere. Forsøgsresultaterne var: 8

15 .3.Krav til statistisk gyldigt forsøg Cementknusere B 1 B B 3 B 4 Cementblandere A A A Beskriv forsøget. Løsning: Forsøget har to faktorer: Cementblander og Cementknuser. Faktoren Cementblander har 3 niveauer A 1,A, A 3. (niveau hedder på engelsk level ) Faktoren Cementknuser har 4 niveauer B 1,B, B 3., B 4 Forsøget har 1 behandlinger (engelsk treatment) A 1 B 1, A 1 B, A 1 B 3, A 1 B 4, A B 1, A B, A B 3, A B 4,A 3 B 1, A 3 B, A 3 B 3, A 3 B 4 da der er 1 kombinationer af niveauerne (1 celler) Hver behandling har 3 gentagelser, eksempelvis har behandlingen A 1 B 1 3 delforsøg, der resulterede i forsøgsresultaterne Faktorer kan enten være kvalitative eller kvantitative. En faktor som temperatur er kvantitativ, da den jo er en talvariabel, der kan antage alle mulige talværdier (indenfor et givet talområde). En faktor som Cementblander i eksempel.1 er kvalitativ, da den kun har nogle fastlagte niveauer, og man ikke kan tale om eksempelvis cementblander KRAV TIL STATISTISK GYLDIGT FORSØG For at nogle forsøgsresultater skal være statistisk gyldige, skal målingerne være statistisk uafhængige og være repræsentative for det man skal undersøge. Ved statistisk uafhængighed forstås, at resultatet af et delforsøg ikke må afhænge af hvad der skete i de øvrige delforsøg. Det er således ikke korrekt, hvis det arbejdshold, der foretager forsøgene først laver forsøgene med den ene cementblander- derved bliver dygtigere- og så laver forsøgene med de øvrige cementblandere. Det er heller ikke korrekt, at man eksempelvis i eksempel 1.1 først havde målt holdbarheden af 10 blokke, - derefter foretager en test-opdager at man ikke kan vise signifikans. Så havde taget 10 blokke mere - testet på de 0 blokke osv., indtil man opnåede signifikans. Dette er ikke "statistisk gyldige" forsøg. 9

16 . Planlægning af forsøg Til belysning af hvad der er et "statistisk" gyldigt forsøg tages udgangspunkt i følgende eksempel. Eksempel.. Planlægning af forsøg. En fabrik der producerer maling, har udviklet to nye additiver A 1 og A, som bevirker en kortere tørretid. Additiv A 1 er det dyreste, men man forventer også, at det giver den korteste tørretid. På grund af prisforskellen, skal tørretiden dog være mindst 10 minutter kortere for A 1, før man vil gå over til den. For at undersøge disse forhold produceres nogle liter maling, som derefter deles op i mindre portioner. Til nogle af portionerne tilsættes additiv A 1 og til andre additiv A. Tørretiden måles derefter. Generelt gælder, at hvert delforsøg i et forsøg udføres under en række forsøgsbetingelser. Alle andre delforsøgsbetingelser end behandlingerne sammenfattes i et begreb, der kaldes forsøgsenheden. I eksempel.1 er additiverne = behandlingerne og forsøgsenhederne er den enkelte portion maling, anvendt apparatur og personale, tidspunkt for delforsøget og de forhold med hensyn til temperatur, luftfugtighed osv., som gælder på forsøgstidspunktet. Bemærk, at forsøgsenhederne ofte indeholder faktorer, som ikke kan gøres ensartet fra delforsøg til delforsøg. Dette bevirker, at resultatet af de enkelte delforsøg varierer. Dette giver forsøgsvariablens variation eller kort forsøgets støj. Randomisering For at sikre et statistisk gyldigt forsøg foretager man en såkaldt fuldstændig randomisering. Dette betyder at man ved lodtrækning fordeler forsøgsenhederne tilfældigt på behandlingerne. Dette sker, for at man ikke ubevidst kommer til at favorisere en af de to behandlinger. Hvis man eksempelvis helt systematisk i eksempel 1.1 først laver alle delforsøg med additiv A 1, kunne dette bevirke en favorisering af A 1 nemlig hvis forsøgsomstændighederne (apparater, personale, luftfugtighed ) er mest gunstige ved begyndelsen af forsøgsperioden. For at anskueliggøre denne randomiseringsproces antager vi, at vi i eksempel 1.3 skal lave 4 delforsøg med hver additiv. Endvidere antages, at delforsøgene skal indgå i den almindelige produktionsgang, dvs. at man af tidsmæssige, personalemæssige og på grund af en begrænset mængde apparatur må lade forsøgene forløbe over flere dage. Man tror ikke, at dage, apparatur og laborant har nogen væsentlig betydning for forsøgsresultaterne. Der er sandsynligvis også andre forhold udenfor vor kontrol, og som tilsammen bevirker, at selv om man udfører gentagne delforsøg med samme behandling, så får vi afvigende resultater. For en sikkerheds skyld vælger vi imidlertid at randomisere dage, apparatur og laboranter Lad os antage at der gælder følgende: Mandag er det kun muligt at lave 1 delforsøg, idet apparatur nr. 1 og laborant A er de eneste der er ledige. Tirsdag er der kapacitet ledig til 3 delforsøg: Ét delforsøg hvor apparatur nr og laborant A benyttes Ét delforsøg hvor apparatur nr 1 og laborant B benyttes, og Ét delforsøg hvor apparatur nr 3 og laborant C benyttes. Onsdag kan der også laves 3 delforsøg osv. (se det følgende skema). 10

17 .3.Krav til statistisk gyldigt forsøg Forsøgsenheder Dag Apparatur Laborant mandag 1 A tirsdag A tirsdag 1 B tirsdag 3 C onsdag 3 B onsdag 4 C onsdag 1 A torsdag 3 B Behandlinger (apparater) Vi foretager nu randomiseringen, som kort sagt er en form for lodtrækning. Sædvanligvis vil man benytte et program, der kan generere tilfældige tal (mange lommeregnere har et sådant program). For at anskueliggøre randomiseringen vil vi mere primitivt foretage lodtrækningen på følgende måde. På 4 sedler skrives A 1, på andre 4 sedler skrives A. Hver seddel krølles sammen til en kugle og placeres i en dåse. Sedlerne blandes ved at dåsen rystes (se figur). Hvis den første seddel der udtrækkes er A så betyder det, at det delforsøg der mandag udføres med apparatur 1 og laborant A skal anvende additiv A. Hvis den næste seddel der udtrækkes er A 1 så betyder det, at det delforsøg der tirsdag udføres med apparatur og råvareleverance 1 skal anvende additiv A 1 osv. Resultaterne kunne eksempelvis være som angivet på følgende skema: Forsøgsenheder Behandlinger Dag Apparatur Laborant (apparater) mandag 1 A A tirsdag A A 1 tirsdag 1 B A 1 tirsdag 3 C A onsdag 3 B A onsdag 4 C A 1 onsdag 1 A A torsdag 3 B A 1 På denne måde sikrer man sig, at vi får et så vidt muligt "statistisk gyldigt" forsøg. Hvis vi derfor efter beregninger (som ses i de følgende kapitler ) konkluderer, at der er forskel på additiverne, så er det "korrekt", idet det ville være helt tilfældigt, hvis én af additiverne har været begunstiget med særlig gode forsøgsenheder. Herved har man også sikret sig, at de to stikprøver (variable) er statistisk uafhængige. 11

18 . Planlægning af forsøg Forsøg bør udføres, så alle behandlinger får lige mange gentagelser. Ved planlægningen af forsøget er det ganske klart, at hvis man eksempelvis har ressourcer til at lave 0 delforsøg, så ville det være en meget dårlig plan, hvis man lavede 18 delforsøg med A 1 og kun delforsøg med A. Der bør i naturligvis tilstræbes at lave 10 delforsøg med hver behandling. Delforsøg kan mislykkes, så målet i praksis ikke bliver opfyldt. I sådanne tilfælde kan de i de følgende kapitler anførte statistiske analyser dog stadig gennemføres. Testene bliver dog mindre robuste (dvs. mere afhængige af, at forudsætningerne gælder), og beregningerne mere komplicerede. Dimensionering Man kan fristes til at tro, at jo flere gentagelser jo bedre. s Da spredningen på et gennemsnit er, er det klart, at hvis antal forsøg n er stort bliver n spredningen lille, og så kan man finde, at der er en signifikant forskel selv om denne forskel er lille. Imidlertid risikerer man med mange gentagelser at opdage så små forskelle, at de ikke har praktisk betydning, og så er de mange delforsøg jo spild af arbejdskraft og penge. Endvidere gælder det jo, at hvis man laver 5 forsøg, så er spredningen formindsket med en faktor 5, mens hvis man laver 100 forsøg så er spredningen formindsket med en faktor 10. Der skal derfor særdeles mange forsøg til for alvor at formindske spredningen på gennemsnittet. Analogt med forklaringen i Statistiske Grundbegreber kan man under visse forudsætninger beregne hvor mange gentagelser (portioner) der skal anvendes for hver behandling, hvis P( fejl af type I) α og P( fejl af type II) β. Man skal naturligvis angive en bagatelgrænse, men desuden kræver beregningerne, at spredningerne ved de to behandlinger er (tilnærmelsesvis) ens, og at man kan give et nogenlunde realistisk skøn for denne fælles spredning σ. Det er naturligvis en svaghed ved dimensioneringen, at man inden forsøget er udført skal give et sådant skøn. En vurdering heraf kunne baseres på erfaringer fra tilsvarende forsøg. Findes sådanne erfaringer må man først lave nogle få delforsøg og derfra få et rimeligt gæt på spredningen σ. At spredningerne er nogenlunde ens vil i praksis ofte være tilfældet, da forsøgsenhederne jo er valgt ved randomisering. Når forsøget så er lavet, kan man (lidt sent) se, om man har skønnet rigtigt. Dimensioneringen har kun betydning hvis man får en accept, da man så ved, at en eventuel forskel ikke har praktisk betydning. Hvis man får en forkastelse, så ved man der er en signifikant forskel, men om den er af praktisk betydning må en nærmere undersøgelse vise. Formler for dimensionering af variable findes i oversigten i kapitel 3, afsnit

19 3. 1 Faktor på to niveauer 3.1 Normalfordelte variable 3.1. NORMALFORDELTE VARIABLE Test af differens mellem middelværdier I dette afsnit benyttes et eksempel til at forklare metode, teststørrelse osv. Derefter vises hvorledes det samme eksempel regnes med først TI89 og derefter SAS.JMP. Eksempel 3.1. Sammenligning af normalfordelte variable To produktionsmetoder M1 og M ønskes sammenlignet. Der udvælges tilfældigt 0 personer, hvoraf de 10 bliver sat til at arbejde med den ene metode, og de 10 andre med den anden. Efter ugers forløb, beregnede man for hver person det gennemsnitlige tidsforbrug pr. enhed. Da metode 1 er mere kostbar end metode, ønsker man kun at gå over til den, hvis tidsforbruget pr. enhed ved metode 1 er mindst minutter mindre end ved metode. Man fik følgende resultater. M M Undersøg på basis af disse resultater, om det på et signifikansniveau på 5% kan påvises at tidsforbruget ved metode M 1 er minutter mindre end ved metode M. Løsning: a) Lad X 1 = udbyttet ved anvendelse af metode M 1 og X = udbyttet ved anvendelse af metode M. X 1 og X antages approksimativt normalfordelte med middelværdi og spredning henholdsvis µ, σ og µ, σ. 1 1 H 0 : µ µ 1 = H: µ µ 1 > Begrundelse: Nulhypotesen udtrykker jo, at intet er ændret (nul virkning), så den angiver, at differensen i middeltidsforbruget er præcist. Begrundelse: Den alternative metode udtrykker jo det vi ønsker at bevise, så den angiver, at differensen i middeltidsforbruget er større end. Såvel TI89 som SAS.JMP anvender et færdigt program, der anvender en testmetode (Satterthwaites metode), som er robust overfor mindre afvigelser fra kravet om normalitet, når blot antallet af gentagelser er den samme. Er det ikke tilfældet kan man stadig foretage testen, men så stilles der større krav til, at de variable X 1 og X virkelig er normalfordelte. Formlen for Satterthwaites metode kan findes i oversigten i kapitel Er den beregnede P-værdi < signifikansniveauet α forkastes H 0, dvs. vi har bevist den alternative hypotese H er sand. (sandsynligheden for vi dermed kommer med en forkert konklusion er mindre end α. Er P-værdien > signifikansniveauet α accepters H 0, dvs. vi kan ikke på dette grundlag bevise, at H er sand. Får man en accept og er P - værdien ikke meget større end signifikansniveauet α, så er det muligt at en stærkere t - test kunne give en forkastelse. Denne t-test kræver imidlertid at de to spredninger kan antages at være ens. 13

20 3. 1 Faktor på niveauer Dette er ofte tilfældet på grund af randomiseringen, men er man i tvivl herom kan man først foretage en test af om spredningerne er ens. Får man en accept heraf, har man naturligvis ikke hermed vist, at varianserne er ens, men da den følgende t - test af middelværdier er robust overfor mindre forskelle i varianserne, blot vi har samme antal gentagelser, er det tilladeligt i den følgende test af middelværdierne, at antage at varianserne er ens. Forklaring på formler For hver af de metoder udføres en række delforsøg. Lad antallet af forsøg være henholdsvis n 1 og n. Vi antager, at X 1 og X er statistisk uafhængige normalfordelte variable med henholdsvis middelværdierne og spredningerne σ 1 og σ. H0: µ 1 µ = eller H :µ µ d =, Nulhypotese d (d er i eksemplet -) µ 1 og µ Testproceduren baseres på fordelingen af differensen Y = X1 X d. Ifølge additionssætningen (se eventuelt Statistiske Grundbegreber) er Y normalfordelt og fra regnereglerne fås E( X1 X d) = E( X1) E( X) d = µ 1 µ d σ1 σ og V( X X d) V( X ) V( X ). 1 = 1 + = + n1 n Heraf følger, at U X X d 1 = er normeret normalfordelt. σ1 σ + n n 1 Teststørrelsen U X X d 1 = gælder kun, hvis spredningerne σ og er kendt eksakt. 1 σ σ1 σ + n n 1 s 1 s Kendes kun deres estimater og må der anvendes andre testprocedurer. Får man ved en F-test en accept af, at varianserne er ens, pooles varianserne sammen til en fælles gennemsnitlig 1 X1 X d varians ( se eventuelt oversigten i afsnit 3.5.1) og størrelsen t = = er nu t - fordelt. X X d s 0 s0 s0 + n n 1 s n n Hvis stikprøvestørrelserne er store (begge over 30) er det dog tilstrækkelig nøjagtigt at anvende U X X d 1 = som teststørrelse. s1 s + n n 1 I modsat fald kan anvendes en ret kompliceret procedure, der kaldes "Satterhwaite's metode". Denne er beskrevet i kapitel Eksempel 3.1. fortsat- løst med TI89 Hypoteserne omskrives til : µ + = µ H: µ + < µ H APPS, STAT/LIST, indtast data i list1 og list F6, 4: - SampTtest ENTER I den fremkomne menu vælg Data ok µ < µ I menu for list 1" skrives list1+, for alternative Hyp 1 og pooled til NO OK Man får P-værdi = Da P-værdi =6.09% > 0.05% accepteres H 0, dvs. det er ikke muligt på dette grundlag at bevise, at tidsforbruget ved metode M 1 er minutter mindre end ved metode M. 14

21 3.1 Normalfordelte variable Da P-værdien var så tæt ved 5%, vil vi nu forsøge med den stærkere t-test, hvor kravet er en fælles "poolet" spredning Vi gør som før, men retter nu poolet til YES Vi får som forventet en lidt mindre P-værdi = , men det giver stadig en accept, så konklusionen er den samme. Da P-værdien er så tæt ved 5% er der en god mulighed for, at tidsforbruget ved metode 1 faktisk er minutter mindre end ved metode (begår en fejl af type ). Det ville derfor være rimeligt at bede om at få foretaget flere forsøg. Havde vi fået en P-værdi < 0.05, så ville næste træk være at teste om spredningerne var ens (se eventuelt eksempel 3. hvordan), da vi ellers ikke måtte have anvendt den sidste metode. Eksempel 3.1. fortsat- løst med SAS.JMP Data indtastes i søjler, idet vi lægger til alle tal fra metode 1. metode m1 89,8 m1 93,9 m1 91,8 m1 91,0 m1 94,6 m1 91,4 m1 93,4 m1 90,7 m1 9,1 m m 9.4 m 94,6 m 93,0 m 94,0 m 9,4 m 9,9 m 99,4 m 9,1 m 9,8 m 93,4 tidsforbrug Analyze Fit y by x Y-Response:Tidsforbrug,x-Grouping: Metode OK rød pil, t-test t Test m-m1 Assuming unequal variances Difference 1,0900t Ratio 1,68317 Std Err Dif 0,6694DF 16,99463 Upper CL Dif,504Prob > t 0,119 Lower CL Dif -0,34Prob > t 0,0609 Confidence 0,95Prob < t 0,9391 Da P - værdi = > 0.05 accepteres nulhypotesen, dvs. det er ikke muligt på dette grundlag at bevise, at tidsforbruget ved metode M 1 er minutter mindre end ved metode M. 15

22 3. 1 Faktor på niveauer Test af Varians Som det ses af eksempel 3.1 kan det sjældent blive nødvendig at benytte den lidt stærkere metode, da P-værdien nok bliver mindre, kun sjældent så meget, at det har betydning for konklusionen. Imidlertid vil det i de næste kapitler være nødvendigt at teste om spredningen på stikprøver er ens. Dette sker ved en såkaldt F - test hvor teststørrelsen er F = s s F-fordelingen er beskrevet i afsnit 3.5., hvor også fremgangsmåden ved testningen er angive. Som det fremgår af eksempel 3. har såvel TI89 som SAS.JMP færdige programmer til testningen, så det er ikke nødvendigt at anvende teststørrelsen direkte. Eksempel 3.. Test af varians Samme problem som i eksempel 3.1 Undersøg ved en test på signifikansniveau på 5% om de to metoders varians er ens. Løsning:TI89 H 0 :σ 1 = σ mod H:σ σ 1 F6 9: - SampFtest ENTER, I menuen vælg Data Input Method= Data ENTER Menuen udfyldes, og man vælger alternative Hyp =, ENTER σ1 σ I udskrift findes P - værdi = Da P - værdi =0.471 > 0.05 accepteres H 0, dvs. vi vil i den følgende test antage, at spredningerne er ens. Løsning: SAS.JMP Data indtastes i søjler (se eksempel 3.1) H 0 :σ 1 = σ mod H:σ σ 1 Analyze Fit y by x Response:Tidsforbrug, Factor: Metode OK Cursor på rød pil Un-Equal Variance Blandt en række udskrifter forekommer nedenstående Tests that the Variances are Equal Level Count Std Dev MeanAbsDif to Mean MeanAbsDif to Median m1 10 1, , , m 10 1, , , Test F Ratio DFNum DFDen p-value O'Brien[.5] 0, ,4075 Brown-Forsythe 1, ,76 Levene 1, ,159 Bartlett 0, ,4709 F Test -sided 1, ,4711 I udskrift for F - test findes P - værdi = Da P - værdi =0.694 > 0.05 accepteres H 0, dvs. vi vil i den følgende test antage, at spredningerne er ens. 16

23 3.1 Normalfordelte variable Dimensionering. Eksempel 3.3 (fortsættelse af eksempel.) En fabrik der producerer maling, har udviklet to nye additiver A 1 og A, som bevirker en kortere tørretid. Additiv A 1 er det dyreste, men man forventer også, at det giver den korteste tørretid. På grund af prisforskellen, skal tørretiden dog være mindst 10 minutter kortere for A 1, før man vil gå over til den. For at undersøge disse forhold produceres nogle liter maling, som derefter deles op i mindre portioner. Til nogle af portionerne tilsættes additiv A 1 og til andre additiv A. Tørretiden måles derefter. a) Hvor mange delforsøg skal anvendes ved forsøget, hvis man ønsker, at P( fejl af type I ) = α 005., P( fejl af type II ) = β 010. og bagatelgrænsen =10 minutter, idet man fra mange tilsvarende forsøg ved, at den fælles spredning er σ = 1 minutter. b) Samme spørgsmål og krav som i spørgsmål a), men nu antages, at man ikke kender spredningen, men ud fra nogle få delforsøg skønner, at den er ca. 1 minutter. a) Af formlerne i oversigten i kapitel fås n u + u u + u + 1 α 1 β = = = σ dvs. der skal udføres i alt n = 5 delforsøg af hver behandling b) Idet første led er 4.67 fås t1 α ( n ) n = u1 α TI89: solve(x=4.67*(inv - t(0.95,(*x-))/invnorm(0.95))^,x) x > 4 Der kan nu gå 1 minut før lommeregneren finder en løsning x = 5.6 svarende til n 6 Eksempel 3.4. Data ikke opgivet På basis af dimensioneringen i eksempel 3.3 udførte man 6 delforsøg af hver behandling. Efter at forsøgsrækken var afsluttet, opdagede man, at et af forsøgene var mislykket og måtte kasseres. Der var følgelig kun 5 delforsøg med additiv A 1. For de to stikprøver fandt man, at Forsøgsrækken med A 1 : n = 6, x 1 = og s 1 = 113. Forsøgsrækken med A : n = 5 x = 19. og s = 14. a) Kan man ud fra disse data bevise på mindst signifikansniveau α = 0.05, at malingen med additivet A 1 tilsat har en mindre middeltørretid end konkurrentens? b) Hvad vil du anbefale virksomheden at gøre, hvis man som nævnt i eksempel 3.3 kun vil gå over til A 1 hvis middeltørretiden for A 1 er mindst 10 minutter kortere end for A (bagatelgrænsen). Løsning:TI89 X 1 = tørringstiden for maling tilsat additiv A 1. X = tørringstiden for maling tilsat additiv A. X 1 og X antages at være uafhængige normalfordelte variable med henholdsvis middelværdierne µ 1 og µ og spredningerne σ 1 og σ. a) Nulhypotese H 0 : µ 1 = µ, Alternativ hypotese: H:µ 1 < µ t - test: APPS STAT/LIST F6, 4 - SampTtest ENTER I den fremkomne menu vælg STATS OK (da forsøgsresultaterne resultater ikke er kendt) Menuen udfyldes bl.a. alternative Hyp µ 1 < µ og pooled til NO OK Da P-værdi = < 0.05 forkastes nulhypotesen Konklusion: Der er et stærkt statistisk bevis for at additiv A 1 i middel har en kortere tørringstid end additiv A.

24 3. 1 Faktor på niveauer b) Metode 1: Et 95% konfidensinterval for differensen: t - interval :APPS STAT/LIST F7, 4: - SampTint ENTER I den fremkomne menu vælg STATS OK (da forsøgsresultaterne resultater ikke er kendt) Menuen udfyldes bl.a. sættes pooled til NO OK Man får 95% konfidensinterval [ ; -3.15], dvs. tørretiden for A 1 er mellem 3 og 18 minutter kortere end for A. Konklusion: Da bagatelgrænsen er 10 minutter, og næsten 50% af konfidensintervallet ligger under 10, kan det ikke på baggrund af dette materiale anbefales at gå over til det mere kostbare additiv. Metode : Nulhypotese H 0 : µ = µ, Alternativ hypotese: H: µ < µ t - test: APPS STAT/LIST F6, 4 - SampTtest ENTER I den fremkomne menu vælg STATS OK Menuen udfyldes bl.a. x1 = 118,6+10 alternative Hyp µ < µ og pooled til NO OK 1 Man finder P-værdi = 43.6%, dvs., sandsynligheden for at begå en fejl, hvis man påstår, at additiv 1 har en 10 minutter kortere tørretid, er ca. 40%. Man vil derfor næppe gå over til additiv 1. Løsning:SAS.JMP SAS har ikke et særligt program for de tilfælde, hvor de oprindelige data ikke er kendt Man må benytte de formler der står i afsnit til beregningerne Parvise observationer (blokforsøg) Hvis observationerne i stikprøven udviser meget stor spredning, kan en test sandsynligvis ikke vise signifikans. Imidlertid er det måske så muligt at nedsætte spredningen ved at sammenligne observationerne to og to ( i par). Man siger også, at man opdeler i blokke. Det følgende eksempel illustrerer fremgangsmåden Eksempel 3.5. Parvise observationer En producent af malervarer har laboratorieresultater, der tyder på, at en ny lak A, har en større slidstyrke end den sædvanlige lak B. Han ønsker en afprøvning i praksis og aftaler med ejerne af 6 bygninger med mange trapper, at han må lakere deres trapper. Da der er meget forskelligt hvor mange personer der går på trapperne i de forskellige bygninger (sammenlign blot sliddet på en skole og et plejehjem) vælger man at foretage et blokforsøg, med de 6 bygninger som 6 blokke. I hver bygning lakeres hverandet trin (valgt ved lodtrækning) med lak A og resten mad lak B. Efter 3 måneders forløb måles graden af slid (i %) i hver bygning. De målte værdier af slid efter valg af plan var Bygning nr Ny lak Sædvanlig lak Undersøg om observationerne leverer et eksperimentelt bevis for, at den nye lak er mere slidstærk end den sædvanlige lak. 18

25 3.1 Normalfordelte variable Løsning Vi ser nu på differensen mellem sliddet i en bygning. (hvorved den store forskel mellem bygningerne elimineres) Lad D = X gammel - X ny Bygning nr d = x gammel - x ny ,3 D antages normalfordelt n( µ, σ ), hvor såvel µ som σ er ukendte. Da vi ønsker at teste om ny lak er mere slidstærk end gammel lak, dvs. den mest slidstærke lak slides mindst, bliver testen en ensidet t - test. Nulhypotese H 0 : µ 0 Alternativ hypotese H : µ > 0. TI89 Differensdata indtastes APPS, STAT/LIST F6, : t-test vælg Data Man finder x = 15. og P - værdi = PT ( > 15. ) = Da P - værdi = 3.63% < 5% forkastes H 0 (svagt), dvs. den ny lak er mere slidstærk end den gamle. SAS.JMP Data indtastes Ny lak Gammel lak 0,3 19,5 5,1 8,4 1,8 1,6 19,6 18,9 0,9 3,5 5,8.. Vælg Analyze Matched Pairs Y: Paired response:ny lak og Gammel lak OK Rød pil Fjern markering ved "Plot Diff by Mean Matched Pairs Difference: Gammel lak-ny lak Gammel lak 3,0333 t-ratio,6819 Ny lak 1,5333 DF 5 Mean Difference 1,5 Prob > t 0,076 Std Error 0,66131 Prob > t 0,0363* Upper 95% 3,19996 Prob < t 0,9637 Lower 95% -0, N 6 Correlation 0,8950 Heraf ses, at P-værdi = H 0 forkastes, dvs. ny lak mere slidstærk end gammel lak 19

26 3. 1 Faktor på niveauer 3. BINOMIALFORDELTE VARIABLE. Man kan ofte approksimere en binomialfordeling med en normalfordeling. Det er en sådan approksimation, som såvel formlerne i oversigten i afsnit bygger på som TI89's program: -Prop-Z-test. Forudsætningen er: X 1 og X er binomialfordelt henholdsvis bn ( 1, p1) og bn (, p) Observerede stikprøveværdier x 1 og x. x1 x x Lad p$, p$, 1 + x 1 = = $p =. Forudsætning: n1 p $ [ 5 ; n1 5], n [ ] p$ 5; n 5 n n n + n 1 1 I praksis vil disse forudsætninger for approksimation sædvanligvis være opfyldt. Vi belyser beregningerne ved følgende eksempel. Eksempel 3.6. Binomialfordelingstest. Ved et forsøg der skulle afgøre om C - vitamin har en forebyggende virkning mod forkølelse, fik halvdelen af en gruppe på 80 franske skiløbere C - vitamin mens de øvrige fik kalktabletter (placebobehandling). Fordelingen skete randomiseret, og forsøgspersonerne var uvidende om gruppeinddeling og hvilket medikament de fik. Efter en passende tid optaltes hvor mange af forsøgspersonerne der var forkølede. Resultaterne kan ses af følgende skema: Forkølet Ikke forkølet Total C-vitamin Kalktabletter Bemærk, at en enkelt forsøgsperson gled ud af forsøget, så grupperne blev ikke helt lige store. 1) Kan det på et signifikansniveau på 5% vises, at C - vitamin har en forebyggende virkning? ) I bekræftende fald angiv er 95% konfidensinterval for differensen mellem parametrene. Løsning TI89: X 1 = antal forkølede personer der har fået C-vitamin. X 1 er binomialfordelt b(139, p 1 ). X = antal forkølede personer der har fået Kalktabletter. X er binomialfordelt b(140, p ). 1) H0: p1 = pmod Hp : 1 < p (da vi ønsker at vise, at p1 < p). x1 17 x 31 x1 + x $p 1 = =, $p = = og $p = = =. n1 139 n 140 n1 + n Da n1 p$ = = 39. [ 5139 ; 5] og n p$ = = 41. [ 5140 ; 5] er forudsætningerne for at approksimere med normalfordelingen opfyldt. F6, 6 -Prop-ZTest Udfylder menu: Succes x1=17, n1= 139, succes x=31, n = 140, Alt. hyp : p1 < p Udskrift giver P- værdi= Da P - værdi = < 0.05 forkastes nulhypotesen (svagt) Konklusion: På signifikansniveau 5% er vist, at C-vitamin har en vis forebyggende virkning mod forkølelse, ) 95% konfidensinterval; F7, 6 -Prop-ZInt, menu udfyldes som under punkt 1. Udskrift viser C_int=[ ; ] 0

27 3.3 Poissonfordelte variable Løsning SAS.JMP: SAS.JMP benytter en såkaldt χ -test som først omtales i kapitel 9. Data indtastes: vitamin syg antal c forkølet 17 c ikke forkølet 1 kalk forkølet 31 kalk ikke forkølet 109 Vælg fra hovedmenu Analyze Fit y by x Response:Syg, Factor: vitamin Freq: Antal OK Resultat: Contingency Analysis of Syg By Vitamin Freq: Antal Tests Source DF -LogLike RSquare (U) Model 1, ,0190 Error 77 15,65610 C. Total 78 18,09195 N 79 Test ChiSquare Prob>ChiSq Likelihood Ratio 4,87 0,073 Pearson 4,811 0,083 Fisher's Exact Test Prob Alternative Hypothesis Left 0,005 Prob(Syg=ikke forkølet) is greater for Vitamin=c than kalk Right 0,9910 Prob(Syg=ikke forkølet) is greater for Vitamin=kalk than c -Tail 0,0385 Prob(Syg=ikke forkølet) is different across Vitamin P-værdi = 0.083/ = (ud for Pearson) (kun ved ensidet test divideres med ) Konklusion: På signifikansniveau 5% er vist, at C-vitamin har en vis forebyggende virkning mod forkølelse, 3.3 POISSONFORDELTE VARIABLE. Man kan ofte approksimere en Poisonfordeling med en normalfordeling. Det er en sådan approksimation, som formlerne i oversigten i afsnit bygger på. I praksis vil disse forudsætninger for approksimation sædvanligvis være opfyldt. Vi belyser anvendelsen af oversigten ved følgende eksempel (Hverken TI89 eller SAS.JMP har ikke et særligt program hertil). Eksempel 3.7. Poissonfordelingstest. En bestemt type TV-apparat produceres på fabrikker A og B. Man har mistanke om, at der er forskel på antallet af loddefejl der findes i apparater fra de to fabrikker. For at teste dette, udtages af den løbende produktion stikprøver på 0 TV-apparater, og man optalte antallet af loddefejl i de 0 apparater. Resultaterne blev: Fabrik A: På 0 apparater fandtes i alt 1 loddefejl Fabrik B: På 19 apparater fandtes i alt 7 loddefejl (et apparat måtte udskydes) Test på dette grundlag, om der er forskel på fejlintensiteten på de to fabrikker. Løsning. X 1 = antal loddefejl pr. apparat på fabrik A. X 1 antages Poissonfordelt p( µ 1 ). X = antal loddefejl pr. apparat på fabrik B. X antages Poissonfordelt p( µ ). H 0 :µ 1 = µ mod H:µ 1 µ (da vi ønsker at vise, at µ 1 µ ) Oversigten i kapitel anvendes : 1, x 1 = x =, og x = = =

28 3. 1 Faktor på niveauer Da n1 x = 0 19 = og n x = = er forudsætningerne for at approksimere med normalfordelingen opfyldt. Vi finder : 1 1 s= x + og n n = = x1 x = = Da P-værdi = P(Y > 0.316) = normcdf(0.316,,0,0.36) = > 0.05 accepteres nulhypotesen. Konklusion: Man kan ikke på det grundlag vise, at der er forskel på fejlintensiteten på de to fabrikker, SAS.JMP kan kun foretage denne test ved at foretage beregningerne i FORMULA FORDELING UKENDT (Rangtest) De testprocedurer vi har benyttet i de forrige kapitler har alle været baseret på, at i det mindste approksimativt kendte fordelingen (normal-, binomial- eller Poisson-fordelt) og testen vedrørte parametre i fordelingen såsom µ, σ eller p. Denne form for statistik kunne kaldes parametrisk statistik. Kendes fordelingen ikke, og kan man heller ikke approksimere den til en kendt fordeling, så må man benytte de såkaldte ikke- parametriske test. Disse forudsætter ikke, at fordelingen er kendt, og kunne derfor også kaldes fordelingsfri test. Da det ligger udenfor denne bogs centrale emner, men der findes en beskrivelse heraf i appendix 4

29 3.5 Oversigt over centrale formler i kapitel OVERSIGT OVER CENTRALE FORMLER I KAPITEL Test og konfidensinterval af differens µ µ mellem middelværdier µ og µ for 1 normalfordelte variable. X 1 og X er normalfordelte henholdsvis n( µ 1, σ1) og n( µ, σ). 1 x 1 x Givet stikprøver af X 1 og X. Størrelse, gennemsnit og spredning henholdsvis n 1,, s 1 og n,, s. Signifikansniveau er α. Lad d være en given konstant. Satterthwaites test: Forudsætning σ 1 og σ ukendte s n 1 s n c Forkortelser: a =, b =, c = a + b, g = a b 1 n n 1 T er t - fordelt med frihedsgradstallet f. Forudsætninger σ, σ ukendte 1 x1 x d t = c f er det nærmeste hele tal, som er større end g Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes µ 1 > µ +d PT ( t) TI89: tcdf (, t, f ) eller F6: -sampttest,pooled, No P - værdi<α µ 1 < µ +d PT ( t) TI89: tcdf (, t, f ) eller F6: -sampttest,pooled, No µ 1 µ +d PT ( t) for x1 > x + d PT ( t) for x < x + d 1 som række 1 som række 100 ( 1 α )% konfidensinterval for differens µ 1 µ : x x t ( f ) c µ µ x x + t ( f ) c 1 α TI89: F7, -SampTint,pooled, No α 1 P - værdi < 1 α dog hvis Ttest P - værdi<α U-test (eller Z-test):Forudsætning: σ 1 og σ kendt eksakt σ1 σ Forkortelser: x = x1 x d σ = + Y er normalfordelt n1 n n( µ, σ) Forudsætninger Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes σ1, σkendte µ 1 > µ +d PY ( x) TI89: normcdf ( x,, µ, σ) eller F6: -sampztest P - værdi<α µ 1 < µ +d PY ( x) TI89: normcdf (, x, µ, σ ) eller F6: -sampztest µ 1 µ +d PY ( x) for x1 > x + d PY ( x) for x < x + d 1 som række 1 som række 100 ( 1 α )% konfidensinterval for differens µ µ : x x u σ µ µ x x + u σ 1 α TI89: F7, -SampZint Parvise observationer (blokforsøg) α 1 1 P - værdi < 1 α dog hvis Ztest P - værdi<α 3

30 3. 1 Faktor på niveauer t-test: Forudsætning: Forsøgene udføres parvist (jævnfør eksempel 3.5). Man danner differensen mellem tallene i hvert par (blok) Lad D være denne differens, og lad D have middelværdi µ og spredning σ T er en stokastisk variabel der er t - fordelt med f = n - 1. Forudsætninger σ ukendt. ( x µ ) t = 0 s n. Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes H: µ > µ 0 PT ( t) TI89: tcdf (, t, n 1) eller F6: t-test P - værdi < α H: µ < µ 0 PT ( t) TI89: tcdf (, t, n 1) eller F6: t-test H: µ µ 0 PT ( t) for x > µ 0 PT ( t) for x µ 0 som række 1 som række P - værdi < 1 α dog hvis t-test P - værdi < α σ 1 σ H 0 :σ 1 = σ t-test: Forudsætning: og ukendte accepteres ved F - test x1 x d ( n 1) s + ( n 1) s Forkortelser: t = hvor s, = s0 + n1 + n n n f = n1 + n Forudsætninger σ, σ ukendte 1 H 0 :σ 1 = σ accepteres ved F - test Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes µ 1 > µ +d PT ( t) TI89: tcdf (, t, f ) eller F6: -sampttest,pooled, Yes P - værdi<α µ 1 < µ +d PT ( t) TI89: tcdf (, t, f ) eller F6: -sampttest,pooled, Yes µ 1 µ +d PT ( t) for x1 > x + d PT ( t) for x < x + d 1 som række 1 som række α µ µ 100 ( 1 )% konfidensinterval for differens 1 : x1 x t α ( f ) s + µ 1 µ x1 x + t α ( f ) s + n n n n TI89: F7, -SampTtint P - værdi < 1 α dog hvis Ttest P - værdi<α Dimensionering: = µ 1 µ er den mindste ændring der har praktisk interesse. α =P(type I fejl), β = P(type II fejl) Spredninger ukendt, men antages at være nogenlunde ens og højst af størelsen σ u + u t ( n ) u 1 α σ 1 α 1 β 1 α Ensidet test: n. α Tosidet test: I ovenstående formel erstattes α med Spredninger kendt : Samme formel, idet man blot stryger sidste faktor med t- leddet. 4

31 3.5.. Test af differens mellem varianser σ1 og σ n( µ 1, σ 1) n( µ, σ ) X 1 og X er normalfordelte henholdsvis og. 3.5 Oversigt over centrale formler i kapitel 3 x 1 x Givet stikprøver af X 1 og X. Størrelse, gennemsnit og spredning henholdsvis n 1,, s 1 og n,, s. Signifikansniveau er α. Forkortelser: F s, Q er F - fordelt Fn ( n 1 1, 1) s = 1 Forudsætninger Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes µ 1, µ ukendte H:σ1 > σ PQ ( F) FCdf ( F,, n, n ) eller F6: Sampl F test P - værdi<α H:σ1 < σ PQ ( F) FCdf (, F, n, n ) eller F6: Sampl F test H:σ1 σ PQ ( F) for F > 1 som række 1 PQ ( F) for F < 1 som række σ 100 ( 1 α)% Konfidensinterval for forhold : σ F σ1 F F n n α ( 1, 1 1) F ( n 1, n 1) σ 1 α 1 1 ( n1 1) s1 + n1 ( x1 µ 1) n og kendte: F =, Q er F - fordelt Fn (. 1, n) ( n 1) s + n ( x µ ) n ( ) µ 1 µ ( ) 1 1 P - værdi < 1 α dog hvis Ftest P - værdi<α ( n1 1 ) s1 + n1 ( x1 µ 1) µ 1 kendt og µ ukendt: F =, Q er F - fordelt Fn ( 1, n 1) s n1 F - fordelingen Til enhver F - fordeling er knyttet to hele positive tal f T og f N kaldet henholdsvis tællerfrihedsgradstallet og nævnerfrihedsgradstallet. En sådan fordeling benævnes F( f, f ). s1 σ1 Det kan vises (se evt afsnit til statistiske grundbegreber 3C ), at den variable F = er F - fordelt F ( f 1, f ), s σ hvor f 1 og f er de til s 1 og s hørende frihedsgradstal. Dette benyttes til testning af hypoteser vedrørende forholdet mellem to varianser. T N På figuren er afbildet tæthedsfunktionen for F - fordelingerne F(10,4), F(10,10) og F(10,50). Det ses, at F fordelinger kun er defineret for tal større end eller lig nul, og at F-fordelinger ikke er symmetriske. 5

32 3. 1 Faktor på niveauer Test og konfidensinterval af p 1 - p for binomialfordelte variable. X 1 og X er binomialfordelt henholdsvis bn ( 1, p1) og bn (, p), hvor n 1 og n er kendte og p 1 og p ukendte. Observerede stikprøveværdier x 1 og x. Signifikansniveau er α. x1 x x Forkortelser: p$ 1, p$, 1 + x = = $p =, 1 1 s= p$ ( 1 p$) + n n n + n n1 n 1 1 Y er normalfordelt variabel n(0,s) Forudsætninger [ 5 5] [ 5 5] n1 p$ ; n1 n p$ ; n Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes H: p1 > p PY ( > p$ p$ 1 ) NormCdf ( p$ p$ 1,, 0, s) eller F6: -Prop Z test H: p1 < p NormCdf (, p$ p$,,) s 1 0 PY ( < p$ p$ 1 ) eller F6: -Prop Z test H: p1 p PY ( > p$ p$ 1 ) for p$ p$ PY ( < p$ p$ 1 ) for p$ < p$ 1 1 som række 1 som række P - værdi<α P - værdi < 1 α dog hvis PropZtest, så P - værdi<α 100 ( 1 α)% konfidensinterval for differens p1 p p$ 1( 1 p$ 1) p$ ( 1 p$ ) p$ 1( 1 p$ 1) p$ ( 1 p$ ) p$ 1 p$ u α + p1 p p$ 1 p$ + u α + 1 n n 1 n n Test og konfidensinterval af - for Poissonfordelt variable µ 1 µ X 1 og X er Poissonfordelte variable fordelt p( µ 1 ) og p( µ ) hvor µ 1 og µ er ukendte. Der foreligger to stikprøver af størrelsen n 1 med gennemsnit x 1 og n med gennemsnit x. Signifikansniveau er α. Forkortelser: n x + n x x = n + n og s= x + n n Y er normalfordelt variabel n(0,s) 1 Forudsætninger n x n x Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H 0 forkastes H: µ 1 > µ PY ( > x 1 x ) NormCdf ( x1 x,, 0, s) H: µ 1 < µ PY ( < x1 x) NormCdf (, x1 x, 0, s) H: µ 1 µ PY ( > x 1 x ) for x1 x som række 1 PY ( < x1 x) for x1 < x som række 100 ( 1 α )% konfidensinterval for differens µ µ. 1 x1 x x1 x x1 x u α + µ 1 µ x1 x + u α + 1 n n 1 n n 1 1 P - værdi<α P - værdi < 1 α 6

33 Opgaver til kapitel 3 OPGAVER Opgave 3.1 Det påstås at modstanden i en tråd af type A er større end modstanden i en tråd af type B. Til afklaring af denne påstand udtages tilfældigt 6 tråde af hver type og deres modstande måles. Følgende resultater fandtes: Modstand i tråd A (i ohm) Modstand i tråd B (i ohm) Hvilke konklusioner kan drages med hensyn til påstanden? Opgave 3. Et levnedsmiddelfirma havde udviklet en diæt, som har lavt indhold af fedt, kulhydrater og kolesterol. Diæten er udviklet med henblik på patienter med hjerteproblemer, men firmaet ønsker nu at undersøge diætens virkning på folk med vægtproblemer. To stikprøver på hver 100 personer med vægtproblemer blev udtaget tilfældigt. Gruppe A fik den nye diæt, mens gruppe B fik den diæt, man normalt gav. For hver person blev registreret størrelsen af vægttabet i en 3 ugers periode. Man fandt følgende værdier for gennemsnit og spredning: Gruppe A: x A = 931. kg, s A = 467. Gruppe B: x B = 740. kg, s B = ) Undersøg om vægttabet for gruppe A er signifikant større end for gruppe B. Signifikansniveau α = 5%. ) I tilfælde af signifikans beregn da et 95% konfidensinterval for differensen mellem de to gruppers middelværdier. Opgave 3.3 I et laboratorium foretoges 15 uafhængige bestemmelser af furfurols kogepunkt, idet 8 af bestemmelserne foretoges af én kemiingeniør, de resterende bestemmelser af en anden kemiingeniør. Resultaterne var ( 0 C ) : 1. ingeniør ingeniør Undersøg, om de to ingeniørers resultater i middel er ens. Opgave 3.4 Med henblik på at sammenligne de farmakologiske virkninger af stofferne morphin og nalbuphin foretoges et fuldstændigt randomiseret forsøg, hvorved man på 10 forsøgspersoner målte ændringen i pupildiameter (millimeter) efter indsprøjtning af en standarddosis af en opløsning af morphin (M) eller nalbuphin (N). Forsøgsplan og forsøgsresultater var: M: 1.0 N: 0.0 M: 1.9 M:.0 N: 0.8 M: 0.8 M:0.1 N: N : 0.4 N: 0. a) Analyser forsøgsresultaterne. b) Hvis der er en signifikant forskel skal der opstilles et 95%-konfidensinterval for differensen µ ( M) µ ( N) mellem de to middelværdier. 7

34 3. 1 Faktor på niveauer Opgave 3.5 På et laboratorium undersøgtes filtreringstiden for en opløsning af et bestemt gødningsstof ved benyttelsen af to forskellige filtertyper (F 1 ) og (F ). Følgende stikprøveværdier observeredes: (F 1 ) (F ) Det antages, at filtrerinqstiderne X 1 og X er normalfordelte l) Test, om det kan antages, at σ = σ. 1 n( µ 1, σ1) og n( µ, σ ) µ = µ ) Test under hensyntagen til det i l) fundne, om det kan antages, at. 1 Opgave 3.6 En produktion af plastikvarer må omlægges på grund af bestemmelser i en ny miljølov. Ved den fremtidige produktion kan inden for miljølovens rammer vælges mellem produktionsmetoder I og II. Metode I er den dyreste, og fabrikanten har regnet ud, at det (kun) kan betale sig at benytte metode I, såfremt den giver et middeludbytte, som er mindst 10 måleenheder (udbytteprocenter) større end udbyttet ved benyttelse af metode II. 1) Find det mindste antal n, hvis man ønsker at P(fejl af type I) = α 005., P(fejl af type II) = β 005. og bagatelgrænsen er = 10 enhe- der. Man kender ikke σ, men har en forhåndsformodning om, at spredningen er højst 6 enheder. )Ved et fuldstændigt randomiseret forsøg fandtes følgende måleresultater: Metode I Metode II Fabrikanten valgte herefter at benytte metode I. a) Foretag en undersøgelse af, om valget var statistisk velmotiveret. b) Hvis forslaget er velmotiveret skal der opstilles et 95% - konfidensinterval for differensen mellem middeludbytterne ved benyttelse af metoderne l og II. Opgave 3.7 Det påstås at modstanden i en tråd af type A er større end modstanden i en tråd af type B. Til afklaring af denne påstand udtages ved et fuldstændigt randomiseret forsøg tilfældigt n tråde af hver type og deres modstande måles. Find det mindste antal n hvis man ønsker at P( fejl af type I ) = α 005., P( fejl af type II ) = β 005. og bagatelgrænsen er = 0.1 ohm 1) og man ved, at spredningen σ = 0.1 ohm. ) og man har en forhåndsformodning om, at spredningen er ca. σ =0.1 ohm. 3) Hvilke konklusioner vedrørende behandlingernes virkning kan gøres, såfremt man ved testning af forsøgsresultaterne finder a) signifikans b) ingen signifikans 4) Hvilke yderligere analyser af forsøgsresultaterne bør foretages, såfremt testningen a) viser signifikans b) ikke viser signifikans. 8

35 Opgaver til kapitel 3 Opgave 3.8 I et forsøg ønsker man at sammenligne udbyttet ved benyttelse af reaktortyper. Man ønsker at kunne påvise eventuelle forskelle i middeludbytte ned til ca. = 6.0. Find den mindste værdi af n = antal delforsøg med hver reaktortype, for hvilken P( fejl af type I ) = α 005., P( fejl af type II ) = β Man kender ikke spredningen eksakt, men mener, den højst er ca. 7 enheder. Opgave 3.9 To sjællandske fabrikker producerer begge en bestemt type kvægfoder, for hvilken det ønskes, at proteinindholdet i færdigvaren skal være 6%. På de fabrikkers driftslaboratorier foretoges følgende målinger af proteinindholdet i en uges produktion: Fabrik Fabrik Foretag en statistisk vurdering af, om de to produktioner kan antages i middel at give kvægfoder med samme proteinindhold. Opgave 3.10 Måling af intelligenskvotient på 16 tilfældigt udvalgte studerende ved en diplom-retning (med mere end 00 studerende) viste et gennemsnit på = 107 og en empirisk varians på =100, x 1 s 1 medens en tilsvarende måling på 14 tilfældigt udvalgte studerende fra en anden diplomretning viste et gennemsnit på =11 og en empirisk varians på = 64. x s Tyder disse tal på en forskel på studentermaterialet på de to retninger? Opgave 3.11 I forbindelse med måling af luftforurening benyttes to apparater A og B til måling af mængden svovlmonooxid. Følgende målinger er foretaget daglig i en periode på uger. dag A B Man ønsker at undersøge om de to apparater i middel giver forskellige resultater på et signifikansniveau på 5%.. Angiv forudsætningerne for at foretage en relevant test og udfør denne. 9

36 3. 1 Faktor på niveauer Opgave 3.1 l) 100 studerende, 5 piger og 48 drenge, indstillede sig til en prøve, ved hvilken 39 piger og 7 drenge bestod. Undersøg. om det anførte tyder på, at resultatet ved den pågældende prøve afhænger af deltagerens køn. ) Det oplyses supplerende, at pigerne ved ovennævnte prøve opnåede et gennemsnit på 64% med en empirisk spredning på 10%, medens drengenes gennemsnit var 59% med en empirisk spredning på 8%. Undersøg, om det anførte kan tages som vidnesbyrd om, at piger i almindelighed klarer sig bedre end drenge ved den omhandlede prøve. Opgave 3.13 To sjællandske fabrikker producerer begge en bestemt type kvægfoder, for hvilken det ønskes, at proteinindholdet i færdigvaren skal være 6%. For den omhandlede produktion er der fastsat en øvre og en nedre tolerancegrænse for proteinindholdet. Partier med et proteinindhold uden for toleranceintervallet klassificeres som "dumpere". I en 3-måneders periode havde fabrik 1 af en produktion på 60 foderstofpartier 5 dumpere, medens fabrik af en produktion på 100 foderstofpartier havde 1 dumpere. Kan det heraf statistisk konkluderes, at dumpeprocenten i middel har været størst for fabrik? Opgave ) Mange forbrugere tror, at såkaldte "mandagsbiler", dvs. biler produceret om mandagen, har flere alvorlige fejl (alvorlig fejl kan der kun være en af pr. bil) end biler produceret på ugens øvrige arbejdsdage. For at undersøge, om der er noget grundlag for denne tro, udtog man på en bilfabrik tilfældigt 100 "mandagsbiler" og undersøgte dem for fejl. Man fandt at 8 biler havde alvorlige fejl. Tilsvarende udtog man tilfældigt 00 biler, der var produceret på ugens øvrige arbejdsdage, og man fandt 1 biler, der havde alvorlige fejl. Giver denne undersøgelse støtte til formodningen om, at "mandagsbiler" er af dårligere kvalitet end andre biler. ) De 100 ovennævnte "mandagsbiler" havde i alt 1030 konstaterede større eller mindre enkeltfejl (enkeltfejl kan der godt være mange af på en bil), medens de 00 ovennævnte andre biler i alt havde 1899 konstaterede fejl. Tyder dette på, at der er forskel i fejlintensiteten på bilerne i de to grupper? 30

37 Opgaver til kapitel 3 Opgave 3.15 To virksomheder A og B fremstiller dåser med nominelt 100 g rejeost. 10 tilfældigt udtagne dåser fra A's produktion og 0 tilfældigt udtagne dåser fra B's produktion viste fø1gende resultater: Virksomhed A B Totalt antal rejer Gennemsnittet x af nettoindhold 101. g 98.3 g Empirisk spredning s af nettoindhold 1.0 g.7 g 1) Test, om det gennemsnitlige antal rejer pr. dåse kan antages at være det samme for virksomhedernes produktion. ) Test, om det gennemsnitlige nettoindhold i en dåse kan antages at være det samme for virksomhedernes produktion. Opgave 3.16 Ved en undersøgelse af en eventuel sammenhæng mellem luftforurening og forekomsten af lungecancer sammenlignedes bl.a. sygdommens forekomst i byen X - købing inden for den gamle bygrænse (i nærheden af byens industrivirksomheder) med dens forekomst i samme bys forstadsområde (villakvarter): Antal tilfælde af lungecancer Samlet indbyggerantal Indre by Forstadsområde ) Det ses. at den relative hyppighed af cancertilfælde i den indre by afviger fra den relative hyppighed i forstadsområdet. Kan dette forklares som et tilfældigt udsving? Den opstillede nulhypotese. som testes, ønskes specificeret med angivelse af den alternative hypotese. ) Diskuter muligheden for at drage årsagsmæssige konklusioner ud fra det fundne testresultat. 31

38 4. En faktor på mere end niveauer 4 1 FAKTOR PÅ MERE END NIVEAUER 4.1 INDLEDNING I kapitel 3 sammenlignede vi middelværdier. I dette kapitel sammenlignes flere end to middelværdier. Det karakteristiske er, at de forekommende faktorer er kvalitative, dvs. har niveauer, som ikke er karakteriseret ved en målelig egenskab. Dette illustreres i det følgende eksempel. Eksempel 4.1 (én faktor på 4 niveauer). Virkningerne af 4 tilsætningsstoffer T 1, T, T 3, T 4 på mængden af urenheder ved en kemisk proces ønskes sammenlignet. For hvert tilsætningsstof måles mængden af uønsket stof 3 gange. Forsøgsresultaterne blev følgende: Tilsætningsstof T 1 T T 3 T 4 Mængde urenhed Der ønskes fundet det tilsætningsstof der i middel giver den mindste urenhed. Faktoren tilsætningsstof siges at være en kvalitativ faktor på 4 niveauer. Havde man eksempelvis i stedet på 4 tidspunkter målt mængden af uønsket stof Tid [ i minutter fra starttidspunkt] Mængde urenhed siges faktoren tid at være en kvantitativ faktor. En kvantitativ faktor er altså en talfaktor, hvor det også har mening at spørge om mængde urenhed for mellemliggende værdier. Kvalitative faktorer er derimod ikke talbestemmende, og hvor det naturligvis ikke har mening at se på mellemliggende værdier (såsom tilsætningsstof nr. T 1.53 ). Problemer, hvor faktorerne er kvalitative analyseres ved en variansanalyse. Er faktorerne alle kvantitative, vil en metode kaldet regressionsanalyse være at foretrække. Hvis nogle faktorer er kvantitative og nogle er kvalitative, kan man dog godt analysere problemet med variansanalyseteknikken, men da findes der mere effektive metoder, som dog ikke behandles i denne bog. 3

39 4. ENSIDET VARIANSANALYSE (normalfordelte variable) 4.. Ensidet variansanalyse Indledning Vi vil i dette afsnit behandle problemer, af den type, som er vist i eksempel 4.1, dvs. med én faktor på mere end niveauer. Det vil i sådanne tilfælde være af interesse at teste om de til niveauerne svarende middelværdier afviger fra hinanden og i bekræftende fald hvilket niveau der giver den største/mindste værdi. I eksempel 4.1 ønskes det således at finde det stof, der giver den mindste middelurenhed. Umiddelbart kunne man synes, at så foretager vi blot de samme parvise sammenligninger som i kapitel 3, hvor vi så på differenser mellem middelværdier. Problemet er imidlertid, at selv om de forskellige tilsætningsstofferne giver samme udbytte, så ville støjen i forsøget bevirke, at de mange gennemsnit fordeler sig klokkeformet (normalfordelt), og det vil sige, at den største og den mindste værdi let vil ligge så langt fra hinanden, at man ved at teste på deres differens fejlagtigt slutter, at der er forskel, selv om det faktisk ikke er tilfældet (fejl af type 1). For at undgå dette, skal man derfor altid starte med at foretage den i det følgende beskrevne variansanlyse. Giver den, at der ikke er signifikant forskel på middelværdierne, så skal man rette sig efter det, og ikke derefter begynde at se på konfidensintervaller. Giver analysen, at der er en signifikant forskel, så ved man, at der i hvert fald er en signifikant forskel mellem det største og mindste middelværdi. Man kan så ved hjælp af passende konfidensintervaller forsøge at finde ud af om der også er en signifikant forskel mellem den største og næststørste værdi osv. Som altid tilstræber man, at antallet af gentagelser af hvert niveau er det samme. I appendix 4.1 er angivet de generelle formler, som gælder, selv om eksempelvis et forsøg er mislykket, så man ikke har samme antal gentagelser. Programmerne i TI-89 og SAS.JMP anvender naturligvis disse generelle formler til beregningerne. I afsnit 4.. gives en forståelse for den teoretiske baggrund for variansanalyser. Forklaringen understøttes af eksempel 4.1, hvor der vises, hvorledes man kan foretage beregningerne med en lommeregner eller PC, der kun har de sædvanlige sandsynlighedsfunktioner som normal- t- og F-fordeling, men ikke et egentligt statistikprogram. Vi nøjes dog her med at se på hovedtilfældet, hvor antallet af gentagelser på hvert niveau er den samme. 33

40 4. En faktor på mere end niveauer 4...Forklaring af metode og formler Eksempel 4.1 håndregning Virkningerne af 4 tilsætningsstoffer T 1, T, T 3, T 4 på mængden af urenheder ved en kemisk proces ønskes sammenlignet. For hvert tilsætningsstof måles mængden af uønsket stof 3 gange. Forsøgsresultaterne blev følgende: Tilsætningsstof T 1 T T 3 T 4 Mængde urenhed Det forudsættes, at betingelserne om uafhængighed og normalitet er opfyldt. a) Vis, at betingelsen om varianshomogenitet er opfyldt. b) Find om muligt det tilsætningsstof der i middel giver den mindste urenhed og angiv i bekræftende fald et 95% konfidensinterval for middelværdien. Opstilling af nulhypotese. Lad X i = mængden af uønsket stof ved tilsætning af stof T i. hvor i {, 134,, } Idet de 4 variables middelværdier kaldes µ 1, µ, µ 3 ogµ 4 : µ = µ = µ = µ H øvrige ønsker vi at teste nulhypotesen, mod H: mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de Forsøgets udførelse. Forsøget skal udføres som et fuldstændigt randomiseret forsøg. (jævnfør kapitel hvor et sådant forsøg er beskrevet). Derved sikrer vi, at der udføres et "statistisk gyldigt" forsøg. Hvis vi derfor, efter at have foretaget en ensidet variansanalyse, konkluderer, at der er forskel på tilsætningsstofferne, så er det "korrekt", idet det ville være helt tilfældigt, hvis én af tilsætningsstofferne har været begunstiget med særlig gode forsøgsenheder. Beregning af gennemsnit og spredning. For at få et skøn for mængden af urenheder, udregnes gennemsnittene for hvert tilsætningsstof. Disse er angivet i nedenstående skema. Umiddelbart ud fra gennemsnit synes T 4 at adskille sig fra de tre øvrige, men hvis der er stor spredning, kan det måske blot være et tilfælde. Det er derfor naturligt at udregne spredningerne, hvilket derfor også er anført i skemaet. T 1 T T 3 T 4 Gennemsnit Spredning Forudsætninger. 1) De 4 variable T 1, T, T 3 og T 4 skal være statistisk uafhængige. En måling af mængden af urenhed eksempelvis med tilsætningsstoffet T 3 må ikke afhænge af hvilke målinger der inden da er sket. ) De 4 variable T 1, T, T 3 og T 4 skal være tilnærmelsesvis normalfordelte. Mindre afvigelser er tilladeligt. Man siger, at analysen er robust overfor afvigelser fra normalitet. Mest robust er den, hvis hvert niveau har samme antal gentagelser ( som i eksempel 4.1, hvor alle har 3 gentagelser). 34

41 4. Ensidet variansanalyse 3) Der skal være varianshomogenitet. Det betyder i eksempel 4.1, at målingerne af urenheder med tilsætningsstof T 1, skal have tilnærmelsesvis samme varians som målingerne af urenheder med T, T 3 og T 4. Også her gælder det, at analysen er robust overfor mindre afvigelser, og mest robust, hvis antallet af gentagelser er det samme. Sædvanligvis er forudsætningerne rimeligt opfyldt, hvis man har i forsøgsplanen har foretaget en randomisering. Kun hvis man er i alvorlig tvivl vil man foretage en kontrol. Kontrol af normalitet. I appendix 4.1 er vist hvorledes man kan lave et normalfordelingsplot af residualerne. Hvis disse ligger nogenlunde på en ret linie, er betingelsen opfyldt. Kontrol af varianshomogenitet Kan man få en accept af nulhypotesen H 0 : σ1 = σ = σ3 = σ4 H: Mindst en varians er forskellig fra de øvrige på et signifikansniveau på 5% (nogle mener 1% er ok hvis der er samme antal gentagelser) så er kravet rimeligt opfyldt. Bartletts test Denne er en ofte anvendt test, som er beskrevet i appendix 4.1. Den er imidlertid så beregningsmæssigt kompliceret, at man nok altid vil benytte et egentlig statistikprogram som SAS.JMP til beregningerne. I eksempel 4. kan man bl.a. se at SAS.JMP beregner Bartletts test, sammen med et par andre test. Giver alle disse test en forkastelse, kan man eksempelvis prøve at tage logaritmen til alle tal i et forsøg på at nedsætte spredningen (vil ikke blive gennemgået her). Simplificerede F-test En simpel test,, som er mulig at anvende med en lommeregner. I den danner man forholdet mellem den største varians σ max = og den mindste variansσ min = H0: σmax = σmin H: σmax σmin F = = P-værdi = P( F > 3.501) =FCdf( 3.501,,,) = 0.35 α Da testen er en tosidet test, sammenlignes P-værdien med =0.05 Da P-værdi = 0.35 > 0.05 accepteres H 0, dvs., vi kan ikke afvise der er varianshomogenitet. Vil vi derfor i det følgende gå ud fra, at der er en rimelig varianshomogenitet. Får man en forkastelse betyder det ikke, at der ikke er varianshomogenitet. Metoden tager nemlig ikke hensyn til de mellemliggende varianser. Er forudsætningerne ikke opfyldt kan man i stedet udføre en såkaldt Kruskal Wallis rangtest (se evt. appendix 11.1). Når man ikke altid gør det, skyldes det at rangtest er svagere test, dvs. man vil ofte ikke opdage en signifikant forskel. 35

42 4. En faktor på mere end niveauer Pooling. Da de 4 varianser antages at være nogenlunde ens, beregnes et vægtet gennemsnit, i forhold til frihedsgraderne (man foretager en pooling ). s1 s s3 s serror = = = s error s error er variansen for forsøgsfejlen eller på engelsk error. har N - r =1-4 = 8 frihedsgrader. Det kan også ses af, at da hver af varianserne s i er baseret på n = 3 målinger har de hver s error 4 = 8 frihedsgrader (f = n - 1 = 3-1). har derfor frihedsgrader. Beregning af F - test. Antages nulhypotesen H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 at være sand, dvs. udbyttet fra de 4 tilsætningsstoffer har samme middelværdi, er den eneste grund til, at vi ikke får samme gennemsnit i de 4 tilfælde, den ukontrollable støj (forsøgsvariablens variation) som forekommer ved forsøgets udførelse. Indtastes de fire gennemsnit i en lommeregner findes s x = Et gennemsnit af n tal har en varians, der er n gange mindre end variansen på den enkelte måling. I dette tilfælde er n = 3. Et estimat for støjens varians forudsat nulhypotesen er sand er derfor s = 3 s = = Frihedsgradstallet er f R =antal niveauer - 1 = 4-1 = 3. R x s R Hvis nulhypotesen er sand burde sr s eller 1 error s, mens hvis nulhypotesen er falsk (middel- sr værdierne er forskellige) er sr > serror dvs. forholdet F = være signifikant større end 1. serror sr 35 Da F = = = 46. er spørgsmålet derfor, om dette tal er signifikant større end 1. s error error Da forholdet mellem de to varianser (som sædvanlig) er F - fordelt med f R = 3 frihedsgrader i tælleren og f error = 8 i nævneren kan vi afgøre dette ved at regne P - værdien ud. P-værdi= P (F>4.6) =FCdf(4.6,,3,8)= = 3.71% Da P - værdi = < 0.05 forkastes nulhypotesen (svagt). Konklusion: De fire tilsætningsstoffer har ikke samme virkning. Mindst af middelurenhederne er forskellige. Konfidensintervaller. Disse beregnes kun hvis vi får en forkastelse af nulhypotesen, og dermed ved, at den største og den mindste middelværdi er signifikant forskellige. Om nogle af de øvrige middelværdier er lige så gode som den optimale vil ofte være af interesse. 36

43 4. Ensidet variansanalyse Konfidensintervaller for middelværdi. De sædvanlige konfidensintervaller for hvert niveau bestemmes ved (jævnfør eventuelt appendix 4.1): serror x r hvor, hvor n er det antal gentagelser der blev anvendt til i. ± kon rkon = t α ( ferror ) 1 n beregning af gennemsnittet. I vort tilfælde er r t. kon = () 8 = = og konfidensintervallet xi. ± rkon = xi. ±3673. Konfidensintervallerne for middelværdier overlapper derfor ikke, hvis afstanden er større end r kon. Imidlertid vil disse intervaller være lidt for brede, dvs. selv om der faktisk er en forskel på middelværdier, så overlapper intervallerne måske hinanden en smule, så man ikke opdager det. Idet r kon =. 673 = ses ikke overraskende, at der er forskel på T og T 4 dvs. mellem største og mindste værdi. Da vi ønske at finde det stof der giver mindst forurening sammenligne nu T med T 1 og T 3. Da afstandene er henholdsvis og 5.3 kan de ikke adskilles. LSD-intervaller (Least Significance Intervals) Man kunne så foretage parvise sammenligninger svarende til de konfidensintervaller vi fandt i kapitel 3. Problemet er imidlertid her, at hvis vi har n middelværdier, så vil der være nn ( 1) parvise sammenligninger. For hver af disse sammenligninger er der jo en vis sandsynlighed for at begå en fejl af type 1, dvs. påstå der er en forskel som reelt ikke er der. Sådanne fejl vil jo hobe sig op, hvis man foretager mange sammenligninger, så sandsynligheden for at begå en fejl af type 1 kunne blive betragtelig. LSD - konfidensintervaller, der beror på parvise sammenligninger er bestemt ved, at deres rkon radius er rlsd = rkon = Bevis: Lad Y = X1 X s s s Vi har da (af kvadratsætning) at variansenv( Y) = V( X ) + V( X ) = + = n n n Heraf følger, at Y har konfidensintervallet x1 x ± r1 hvor r1 = t0. 975( f0) r Et LSD-interval omkring et enkelt punkt er følgelig r = 1 LSD Heraf fås r LSD t0. 975( f0) s0 t0. 975( f0) s0 t0. 975( f0) s0 rkon = = = = n n n 0 s n 0 37

44 4. En faktor på mere end niveauer Her vil man kunne opdage en forskel, hvis middelværdiernes afstand er større end rkon rlsd = = rkon. Da = 519. ses nu, at T giver mindre forurening end T 3 mens T 1 og T stadig ikke kan adskilles. De fleste statistikprogrammer har en række andre metoder til beregning af konfidensintervaller, som søger at formindske sandsynligheden for at begå fejl af type 1 og type. Vi vil i dette notat kun se på ovennævnte to typer, og hvis vi har få middelværdier stole mest på LSD-intervallerne. Konklusion: LSD-intervallerne viser, at man får den mindste urenhed, hvis man vælger enten T 1 eller T (de kan ikke adskilles). Et 95% konfidensinterval for T er [ ; ] =[104.3 ; 111.7] Beregning af ensidet variansanlyse ved TI89 og SAS.JMP Eksempel 4. (eksempel 4.1 regnet med TI89 og SAS.JMP). Virkningerne af 4 tilsætningsstoffer T 1, T, T 3, T 4 på mængden af urenheder ved en kemisk proces ønskes sammenlignet. For hvert tilsætningsstof måles mængden af uønsket stof 3 gange. Forsøgsresultaterne blev følgende: Tilsætningsstof T 1 T T 3 T 4 Mængde urenhed TI89: Det forudsættes, at betingelserne om uafhængighed, normalitet og varianshomogenitet er opfyldt. SAS.JMP: Kontroller om betingelserne om normalitet og varianshomogenitet er rimelig opfyldt. Find om muligt det tilsætningsstof der i middel giver den mindste urenhed og angiv i bekræftende fald et 95% konfidensinterval for middelværdien. Løsning, TI89: : µ = µ = µ = µ mod H: mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige. H F6, C:ANOVA Data Input : Data Antal grupper = 4,ENTER, Udfyld listnavne (VAR-Link osv.) ENTER, ENTER. Der fremkommer nu en række resultater, hvor den vigtigste naturligvis er P - Value = Da P - værdi = < 0.05 forkastes nulhypotesen : µ = µ = µ = µ ( svagt) H Konklusion: De fire tilsætningsstoffer har ikke samme virkning. Mindst af middelurenhederne er forskellige. De sædvanlige konfidensintervaller findes som ekstra søjler efter list6 38

45 4. Ensidet variansanalyse xbar lowlist uplist Ønskes beregnet LSD-intervaller må man udnytte, at r kon = = Heraf fås, at r lsd = r kon = 519. Da afstanden mellem mindste og trediemindste værdi er = 5,.33 > 5.19 giver T 3 en større forurening end T, mens det umiddelbart ses, at T 1 og T ikke kan adskilles. Konklusion: Man får den mindste urenhed, hvis man vælger enten T 1 eller T (de kan ikke adskilles). Et 95% konfidensinterval for T er [104.3 ; 111.7] Løsning: SAS.JMP Data indtastes, husk, at tilsætningsstof skal være af typen character. tilsætningsstof urenhed t1 108 t1 110 t1 11 t 105 t 110 t 109 t3 116 t3 111 t3 113 t4 117 t4 119 t4 11 a) Kontrol af forudsætninger: Selv om det er muligt i SAS.JMP at kontrollere forudsætningen om normalfordeling, behøver man ikke nødvendigvis at gøre det, da testen er robust overfor afvigelser. Normalfordelingsplot: Vælg Analyze Fit Y by X markér Urenhed og tryk på Y Response markér Tilsætningsstof og tryk på X Factor OK Der fremkommer et scatterplot, hvor man kan se afbildet de tre værdierne af hver af de 4 tilsætningsstoffer rød pil ved figur rullemenu Save Save Residual Under data kommer nu en ekstra søjle med residualerne(overskrift urenhed centered by tilsætningsstof ). Vælg Analyze Distribution Indsæt Residual søjlen i Y OK Cursor på rød pil continuos fit normal Der fremkommer et histogram med indtegnet normalfordelingskurve rød pil normal Quantile plot Da vi jo kun har 1 residualer kan vi ikke forvente et særligt klart billede, men i princippet burde de på normalfordelingsplottet ligge nogenlunde på en ret linie. De ligger i hvert fald alle indenfor konfidensgrænserne, så vi kan tillade os at antage fordelingen er approksimativt normalfordelt ,8-0,67 0,0 0,67 1, 8 0,1 0, 0,3 Normal Quantile Plot 0,5 0,7 0,8 0,9 39

46 4. En faktor på mere end niveauer Kontrol af varianshomogenitet: X i = mængden af uønsket stof ved tilsætning af stof T i. hvor i {,,,} 134 X i antages approksimativt normalfordelt med middelværdien µ i og spredning σ i. H 0 : σ = σ = σ = σ H: Mindst en varians er forskellig fra en af de øvrige Sæt cursor på rød pil ved tegningen for Scatterplot, og vælg fra rullemenuen UnEqual Variances. Tests that the Variances are Equal Test F Ratio DFNum DFDen Prob > F O'Brien[.5] 0, ,7694 Brown-Forsythe 0, ,7430 Levene 0, ,6376 Bartlett 0, ,8971 Warning: Small sample sizes. Use Caution. Da P - værdierne alle er over 0.05 accepteres nulhypotesen H 0 : De 4 varianser er ens. b) H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 mod H: mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige. Sæt cursor på rød pil, og vælg fra rullemenuen Mens/Anova. Der fremkommer så følgende tegning og udskrift: Oneway Analysis of urenhed By tilsætninsstof urenhed t1 t t3 t4 tils æt ninsstof Oneway Anova Summary of Fit Rsquare 0,65067 Adj Rsquare 0, Root Mean Square Error, Mean of Response 111,8333 Observations (or Sum Wgts) 1 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Prob > F tilsætninsstof 3 113, ,6667 4,9670 0,0311* Error 8 60, ,5833 C. Total ,66667 Means for Oneway Anova Level Number Mean Std Error Lower 95% Upper 95% t ,000 1, ,33 113,67 t 3 108,000 1, ,33 111,67 t ,333 1, ,67 117,00 t ,000 1, ,33 119,67 40

47 4. Ensidet variansanalyse Af variansanalysetabellen fremgår, at P -værdi (Prob>F) = <0.05, dvs. nulhypotesen H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 forkastes ( svagt) Konklusion: De fire tilsætningsstoffer har ikke samme virkning. Forklaring på de enkelte størrelser i variansanalysetabellen kan man finde i appendix 4.1. b) Konfidensintervaller. Diamanterne på figuren angiver 95% konfidensintervaller. Den midterste vandrette steg angiver gennemsnittet og de to andre vandrette streger angiver LSD -intervaller. Af figuren ses derfor straks, ved at se på LSD intervallerne, at t er signifikant mindre end t4, mens det er vanskeligere at se om t og t3 kan adskilles. LSD-intervaller fås ved at vælge Compare Mens fra rullemenuen students t-test Blandt en række udskrifter findes denne Level Mean t4 A 116,00000 t3 A B 113,33333 t1 B C 110,00000 t C 108,00000 Konklusion: Man får den mindste urenhed, hvis man vælger enten T eller T 1 (de kan ikke adskilles). 41

48 4. En faktor på mere end niveauer 4.3 FULDSTÆNDIGT RANDOMISERET BLOKFORSØG. I forbindelse med planlægningen af et forsøg, kan man blive tvunget til at benytte forsøgsenheder, som er ret uensartede. For at dæmpe støjen kan man inddele forsøgsenhederne i grupper (blokke), hvor de forsøgsenheder der ligger i samme blok er væsentlig mere ensartede end forsøgsenhederne i forskellige blokke. Man siger, at man har et fuldstændigt randomiseret blokforsøg, hvis hver behandling forekommer det samme antal gange (sædvanligvis netop én gang) i hver blok. Eksempler på blokforsøg kan være 1) Af tidsmæssige grunde (forsøget skal udføres indenfor en given tidsramme) må man benytte 4 forskellige apparater. Påvirker apparaterne forsøgsresultaterne, kan det give en stor spredning ( (stor støj ). Dette kan bevirke, at man skal op på et urealistisk stort antal gentagelser for at kunne opnå den ønskede information. I stedet indfører man de 4 apparater som blokke. ) Man er nødt til at benytte 5 forskellige råvareleverancer. Dette kan måske også give for stor spredning. Man indfører så de 5 råvareleverancer som 5 blokke. 3) I et landbrugsforsøg samles tilstødende arealer i blokke. Begrundelsen herfor er naturligvis, at arealer der ligger tæt ved hinanden er mere ensartede end arealer der ligger længere væk. Randomiseret blokforsøg illustreres ved følgende eksempel Ti 89 og SAS.JMP har færdige programmer til beregningerne af randomiseret blokforsøg når man kun har 1 faktor.. Da det er væsentlig at forstå det centrale ved metoden, så man også kan bruge den i de næste kapitler, med mere end 1 faktor, hvor der ikke er et færdigt program, vil de grundlæggende begreber blive gennemgået på basis af det følgende eksempel. Eksempel 4.3 (randomiseret blokforsøg) I nedenstående tabel er anført resultaterne af et fodringsforsøg med svin. Formålet med forsøget var at undersøge, hvorvidt en ændring af vitaminindholdet i foderet gav en forskel i svinenes vægtforøgelse. Vægtforøgelsen afhænger imidlertid også af det enkelte individs genetiske egenskaber. Et fuldstændigt randomiseret forsøg vil derfor sandsynligvis kunne bevirke, at forsøgsfejlens spredning bliver så stor, at intet kan påvises (forsøget drukner i støj). Da grise fra samme kuld må forventes at være mere ensartede, vælger man at lave et randomiseret blokforsøg med kuld som blokfaktor. Lad der findes tre fodertyper A, B og C med forskelligt vitaminindhold. Fra hvert af 4 forskellige kuld grise udtages nu 3 grise. Et kuld vælges, og ved lodtrækning bestemmes hvilke af de 3 grise, der bliver fodret med fodertype A, hvilken med fodertype B og den sidste får naturligvis type C. Et nyt kuld udtages, og man randomiserer igen foderet indenfor kuldet (blokken), osv. Forsøgsresultaterne (vægtforøgelse i kg) var Fodertype A B C Kuld

49 4.3 Fuldstændigt randomiseret blokforsøg a) Test, om der er nogen væsentlig virkning af ændringen i foderets vitaminindhold. b) Hvis der er en forskel, så skal man angive hvilken foderblanding, der giver den største vægtforøgelse. Løsning: a) H 0 : Foderblanding har ingen virkning på vægtforøgelsen H: Foderblanding har virkning på vægtforøgelsen Da vi jo har faktorer, kuld og fodertype, er analysen en speciel tosidet variansanalyse. Metode uden brug af færdigt blokprogram Først foretages en ensidet variansanalyse med de tre fodertyper Man noterer sig under faktor: SS = 54.15, df = og MS= s samt under error : SS error = med df = 9 Derefter en ensidet variansanalyse med de 4 kuld. Man noterer sig SS blok = med df = 3. SS = = df Det blokkene har forminsket støjen (error) findes ved ved SS = SSerror - SS blok = = med df = 9-3 = 6 Resultaterne indtastes i en såkaldt variansanalysetabel Variation SAK=SS df MS= s SS = df F P-værdi Factor: foder FCdf (. 5756,,,) 6 =0.040 = Block: Kuld Error H 0 : Foder = 0 (Foder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 Konklusion: Der sker en væsentlig ændring i vægtforøgelsen ved at ændre foderblanding. Da P-værdi for kuld er mindre end 5% har det haft betydning, at man har opdelt i blokke b) Radius i 95% konfidensinterval er t ( 6) = Radius i LSD-interval er. 653 = Gennemsnit af de 3 foderblandinger er A: B: C: 1.0 Da = > giver foderblanding B den største vægtforøgelse. Da der ser ud til at være en blokvirkning, vil vægtforøgelsen afhænge af hvilket kuld der er det bedste, så konfidensintervaller kan kun bruges til relative sammenligninger 43

50 4. En faktor på mere end niveauer Hurtigere er det at anvende TI89's Anova-program APPS, STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (A) i list1, søjle (B) i list osv. List 1 List LIST F6, ANOVA-Way, ENTER DESIGN=Block, Levls of Col Factor =3, ENTER Næste skema udfyldes med List1, List og LIST3, ENTER Resultatet kan umiddelbart aflæses: Man får for faktor en P-værdi på 0.040, dvs samme konklusion som før. H 0 : Foder = 0 (Foder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 Konklusion: Der sker en væsentlig ændring i vægtforøgelsen ved at ændre foderblanding. Løsning:SAS.JMP Indtastning af data fodertype kuld vægt A k1 7 A k 16 A k3 10,5 A k4 13,5 B k1 14 B k 15,5 B k3 15 B k4 1 C k1 8,5 C k 16,5 C k3 9,5 C k4 13,5 Vælg Analyze Fit Y by X markér Vægt og tryk på Y Response markér Fodertype og tryk på X Factor Marker Kuld og tryk på blok OK Der fremkommer et scatterplot, hvor man kan se afbildet de fire værdier for hver af de 3 fodertyper. Rød pil Means/Anova. Der fremkommer så følgende tegning og udskrift: Oneway Analysis of Vægt By Fodertype 44

51 4.3 Fuldstændigt randomiseret blokforsøg Oneway Anova Samarie of Fit Rsquare 0,83413 Adj Rsquare 0, Root Mean Square Error,16869 Mean of Response 13,375 Observations (or Sum Wgts) 1 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Prob > F Fodertype 54,1500 7,065 5,7563 0,040 Kuld 3 87,7917 9,431 6,01 0,085 Error 6 8,0833 4,7014 C. Total ,0650 Means for Oneway Anova Level Number Mean Std Error Lower 95% Upper 95% A 4 11,7500 1,0841 9,097 14,403 B 4 16,3750 1, ,7 19,08 C 4 1,0000 1,0841 9,347 14,653 Std Error uses a pooled estimate of error variance Block Means Kuld Mean Number k1 9, k 16, k3 11, k4 16, Da P - værdi for fodertype er < 0.05 forkastes nulhypotesen H 0 : Ingen forskel på fodertyper, dvs., at der på et signifikansniveau på 5 % er signifikant forskel på fodertyperne (mindst én afviger fra de øvrige). Vi ser endvidere, at det var fornuftigt at dele op i kuld, da der også er signifikans for kuld. Vi er imidlertid ikke interesseret i at finde ud af hvilket kuld der er det bedste, da vi jo blot har taget nogle tilfældige kuld ud. Af figuren ses, at konfidensintervallerne viser ganske vist et svagt overlap, men det gør LSD-intervallerne ikke, og da variansanalysen har vist at der er en signifikant forskel, må der gælde, at fodertype B giver den største vægtforøgelse. Bemærk: Da der er en blokvirkning vil vægtforøgelsen jo afhænge af hvilket kuld man betragter. Konfidensintervaller kan derfor kun anvendes til relative sammenligninger. 45

52 4. En faktor på mere end niveauer 4.4. Binomialfordelte variable Ved analysen anvendes formlerne i afsnit 4.5., da TI89 og SAS.JMP ikke har noget program hertil. Eksempel 4.4 (binomialfordelt variabel). For hver af 6 leverancer af billige legetøjsbiler udtages en tilfældig prøve på 100 biler, og antallet af defekte biler taltes. Følgende resultater fandtes: Leverance Antal defekte biler Foretag en statistisk analyse af, om procenten af defekte biler i de 8 leverancer kan antages at være den samme. LØSNING: Lad X i være antallet af defekte biler i leverance i. Det antages, at X i er binomialfordelt b (100, p i ). H 0 : p 1 = p =... = p p$ 1 =, p$ =,..., p$ 8 = ; p $ = = = Da ni p$ = 8 [; 595] er forudsætningen opfyldt (se evt. oversigten i afsnit 4.5.) χ = ( ( ) + ( ) +...( ) ) = = ( ) χ er χ - fordelt med frihedsgradstallet f = n - 1 = 7 Da P - værdi = P( χ > ) =chicdf(14.67,,7) = < 0.05 forkastes nulhypotesen (svagt), dvs. vi har et (svagt) statistisk bevis for, at procenten af defekte biler i leverancen ikke er den samme. 46

53 4.5 Poissonfordelte variable 4.5. Poissonfordelt variable Ved analysen anvendes formlerne i oversigt 4.5.3, da TI89 og SAS.JMP ikke har noget program hertil. Eksempel 4.5 (Poissonfordelt variabel) Ved en optælling af hvide blodlegemer i en blodprøve med voluminet v fandtes for 6 personer antallene 14, 8,18, 3,15 og. Viser disse resultater, at den gennemsnitlige antal blodlegemer pr. volumenenhed er forskelligt for de tre personer? Løsning: Lad X 1 vare antallet af hvide blodlegemer i en blodprøve for person 1 Lad X vare antallet af hvide blodlegemer i en blodprøve for person... Lad X 6 vare antallet af hvide blodlegemer i en blodprøve for person 6. X i antages at være Poissonfordelt med middelværdi µ i. Begrundelse: Benyttes en kanyle til udtagning af blodprøven ankommer de hvide blodlegemer tilfældigt i tiden. Det mulige antal blodlegemer er næsten ubegrænset. H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 = µ 6 Antal elementer i hver stikprøve er 1, dvs. i oversigten i afsnit er n 1 = n =... = n 6 = 1 og x1 = x1 = 14, x = x = 8,... x6 = x6 = Vi får x = = Heraf ses, at, dvs. forudsætningen for at benytte oversigten i afsnit er opfyldt. nx i 5 1 ( 14 0) + 1 ( 8 0) ( 0) 0 χ = = 71. χ er χ - fordelt med frihedsgradstallet f = n - 1 = 5 Da P - værdi = P( χ > 71. ) =chicdf(7.1,,5) =0.133 > 0.05 accepteres H 0, det vil sige, at det ikke er påvist, at det gennemsnitlige antal hvide blodlegemer pr. volumenenhed er forskelligt for de 6 personer. 47

54 4. En faktor på mere end niveauer 4.6. OVERSIGT OVER CENTRALE FORMLER I KAPITEL Oversigt over fremgangsmåde ved ensidet variansanalyse TI89 antages benyttet. Givet følgende skema: Faktor Observationer Gennemsnit Spredning R 1 x 11, x 1, x 13,..., x 1n1 x 1. s 1 R x 1, x, x 3,..., x n x. s R 3 x 31, x 3, x 33,..., x 3n3 x 3. s 3 R r x r1, x r, x r3,..., x rn3 x r. s r Idet de r variables middelværdier kaldes µ 1, µ,..., µ r ønsker vi at teste nulhypotesen H0: µ 1 = µ =... = µ r, mod H: mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige. Data indtastes i listerne F6:Anova Udfyld menu ENTER P-værdi aflæses. Hvis P-værdi < α forkastes H 0. Konfidensintervaller findes som ekstra søjler xbar lowlist uplist x 1 a b x osv. Diameter i 95% konfidensinterval d kon = b - a Diameter i 95% LSD-interval d LSD = dkon/ Er x 1 x > d LSD antages faktorerne R 1 og R at være signifikant forskellige (forudsat antallet af faktorer er lille (< ca 6). 48

55 4.6 Oversigt over centrale begreber i kapitel Oversigt over test af parametre p 1, p,... p k for binomialfordelte variable. X 1, X... X k er binomialfordelt henholdsvis bn ( 1, p1), bn (, p),..., bn ( k, pk), hvor n 1, n...n k er kendte og p 1, p..., p k ukendte. Observerede stikprøveværdier x 1, x,..., x k. Signifikansniveau er α. Y er en statistisk variabel, der er χ - fordelt med k - 1 frihedsgrader. Forudsætning: Nulhypotese Beregning P-værdi Aproksimativ metode H 0 : p 1 = p =... = p k k χ 1 = 1 ni( p$ i p$) p$( p$) PY ( > χ ) i= 1 n1 p$ [ 5; n1 5], hvor n p$ [ 5; n 5]... nk p$ [ 5; nk 5] hvor x1 + x x p$ = n + n n 1 k k x1 x x p$ 1 =, p$ =,..., p$ k = n n n 1 k k Oversigt over test af parametre µ 1, µ,..., µ k for Poissonfordelt variable. X 1, X... X k er Poissonfordelt henholdsvis p( µ 1), p( µ ),..., p( µ k ), hvor µ 1, µ,..., µ k er ukendte. Signifikansniveau er α. Der foreligger for hver af de variable X i en stikprøve af størrelsen n i med gennemsnit x i. Y er en statistisk variabel, der er χ - fordelt med k - 1 frihedsgrader.. Forudsætning Nulhypotese Beregning H 0 forkastes k Approksimativ ni( xi x) metode. P - værdi < α n i x 5 χ hvor H0: µ 1 = µ =... = µ i= = 1 hvor k x n1 x1 + n x nk x P værdi = P( Y > χ ) k x =. n + n n 1 k 49

56 4. En faktor på mere end niveauer OPGAVER Opgave 4.1 Fire forskellige typer teknik til blanding af cement ønskes undersøgt med hensyn til resultatets trykstyrke. Følgende data blev opnået: Blandingsteknik Trykstyrke (psi) B B B B Undersøg om forskellen i blandingsteknik har betydning for trykstyrken, og angiv i bekræftende fald den (de) blandingsteknik(er) der har størst trykstyrke. Opgave 4. I følgende tabel er angivet resultaterne af gentagne bestemmelser af blodets alkoholkoncentration (i promille) hos 6 forskellige personer efter indtagelsen af 4 cl. alkohol. Person Vurdér på grundlag af dette materiale en antagelse om, at alkoholkoncentrationen i blodet ikke afhænger af andre faktorer end den indtagne alkoho1mængde. Opgave 4.3 Modstanden af 5 spoler måltes for at kontrollere, om spolerne har samme elektriske modstand. For hver spole måltes 4 uafhængige observationer: Man fandt for hver spole følgende gennemsnit og spredning: Spole nr. Antal gentagelser Gennemsnit Spredning , ) Undersøg om det kan antages, at de 5 spo1ers modstande er ens. ) På alle 5 spoler er angivet, at modstanden er 15.0 Ohm. Undersøg under hensyntagen ti1 besvare1sen af spørgsmål 1) ved opstilling af et eller flere konfidensintervaller, om nog1e af spo1erne kan antages at have modstanden 15.0 Ohm og i bekræftende fald hvi1ke. 50

57 Opgaver til kapitel 4 Opgave 4.4. Følgende resultater blev opnået fra et eksperiment, hvor man ville undersøge om der var forskel på de resultater, som 5 analyseapparater gav, når man analyserede kvælstofindholdet i jordprøver. På hver af 3 dage blev en portion jord udvalgt og delt i 5 dele, som ved lodtrækning blev givet til analyse i hver sin maskine. Resultaterne var: Maskiner P Q R T U Tirsdag Onsdag Torsdag Undersøg på dette grundlag om der er forskel mellem analyseapparaterne, og angiv i bekræftende fald hvilke der er forskellige. Mener du, at det i denne situation var en god ide at foretage forsøget som et blokforsøg? Opgave 4.5. Fire forskellige produktionsmetoder P, Q, R, og T ønskes sammenlignet med hensyn til det procentiske udbytte ved udvinding af et metal fra et bestemt mineral. Da man ved forsøget er nødt til at benytte forskellige råvarepartierer, og er bange for, at det vil give stor spredning, vælger man at lave et fuldstændigt randomiseret blokforsøg med råvarepartier som blokke. Nedenstående skema angiver resultatet af dette forsøg. Metode P Metode Q Metode R Metode T Råvareparti Råvareparti Råvareparti Undersøg på grundlag af disse oplysninger, om der er forskel på metoderne. Opgave 4.6 På en ingeniørskole ønsker man at sammenligne effektiviteten af undervisningen, når man underviser efter tre forskellige undervisningsmaterialer. En række studerende meldte sig frivilligt til forsøget. I det følgende er angivet 1 studerende ordnet efter studentereksamensgennemsnit. Navn JK AL TS BS DT HN MO FD PJ KM SR RA Snit ) Hvordan ville du opdele disse studenter på tre hold med 4 på hver hold? ) Hvordan ville du gøre det, hvis karaktererne gik fra 7.8 til 8.? 51

58 4. En faktor på mere end niveauer Opgave 4.7. I en virksomhed er på hvert af 3 skift arbejdsbetingelser og antal mennesker udsat for risiko tilsyneladende nogenlunde ens. Ikke desto mindre synes følgende optælling at vise, at risikoen på skift og 3 er større end på skift 1. Skift Antal arbejdsulykker På grundlag af denne statistik finder man, at der bør gøres noget for at nedsætte risikoen i skift og 3. Er dette statistisk velbegrundet.? Opgave typer vaccine mod en bestemt sygdom blev undersøgt ved, at 6 grupper på hver 00 forsøgsdyr (mus) blev udsat for smitte. De 5 af grupperne fik hver sin type vaccination, mens den sidste gruppe ikke blev vaccineret. Efter en passende tid undersøgte man hvor mange af de 00 dyr, der havde fået sygdommen. Følgende resultater fandtes: Gruppe nr Antal syge dyr Vi ønsker at foretage en statistisk ana1yse af, om procenten af smittede dyr i de 6 grupper kan antages at være den samme. 5

59 5. Planlægning af forsøg 5 FAKTORER PÅ ELLER FLERE NIVEAUER TOSIDET VARIANSANALYSE 5.1 INDLEDNING. Har man kvalitative faktorer vil det også være naturligt at udføre en variansanlyse, men da man her kan risikere, at de to faktorer spiller sammen på en uventet måde, bliver forholdene noget mere kompliceret. Til gengæld kan begreberne her så umiddelbart generaliseres til forsøg med mere end faktorer. 5. PLANLÆGNING AF FORSØG. I dette afsnit benyttes følgende eksempel som illustration af begreberne. Eksempel 5.1. faktorer. En bilfabrikant ønsker at finde ud af hvorledes 3 olieblandinger O 1, O, og O 3, og karburatortyper K 1 og K påvirker benzinforbruget. Vi har et forsøg med kvalitative faktorer: olieblanding og karburator. Faktoren "olieblanding" er på 3 niveauer O 1, O, og O 3, mens faktoren "karburator" har niveauer nemlig K 1 og K. I alt er der altså 6 behandlinger Een faktor ad gangen I mange forsøgsvejledninger står, at man bør kun variere en faktor ad gangen. Alle andre faktorer end den udvalgte fastholdes på et bestemt niveau. En forsøgsplan efter disse retningslinier kunne eksempelvis være som skitseret nedenfor, hvor hvert delforsøg er markeret med et, hvor man har valgt, at hvert niveau skal gentages mindst 4 gange. Endvidere er det væsentligt, at hver af de indgående behandlinger har lige mange gentagelser. Olieblanding O 1 Karburator K 1 K O O 3 I dette eksempel, hvor der kun er faktorer, vælger vi først at variere olieblandingen, mens den anden faktor fastholdes. Idet vi har valgt først at fastholde karburatoren på niveauet K 1, kan forsøget udføres således: 1 af de 16 biler, som skal anvendes, udstyres med karburator K 1, og derefter (randomiseret) får 4 af disse biler olieblanding O 1, 4 andre biler olieblanding O, og de sidste 4 biler olieblanding O 3. 53

60 5 To faktorer på eller flere niveauer Efter at have kørt en udvalgt strækning måles benzinforbruget. Derefter varieres den anden faktor ( her karburator), mens olieblandingen fastholdes på O, dvs. de sidste 4 biler udstyres med karburator K og olieblanding O. Igen gennemkøres den udvalgte strækning, og benzinforbruget måles. Indtegnes for hver karburator det gennemsnitlige benzinforbrug mod olie-blandingen kunne vi eksempelvis få tegningen på fig Fig 5.1 Skitse af benzinforbrug Umiddelbart ses, at K 1 giver lavest benzinforbrug, og O 1 (eller O 3 ) skal foretrækkes. Hvad nu med benzinforbruget i karburator K, hvis vi anvender olieblanding O 1 eller O 3? Kan man slutte, at benzinforbruget ved olieblanding O 1 og O 3 er lavere, når man bruger karburator K 1, end når man bruger karburator K? Kun, hvis man ud fra tekniske eller andre grunde mener at vide, at "karburatorkurven" for K er parallel med kurven for K 1, så er forsøgsplanen anvendelig, men ikke den bedste. En statistisk set bedre forsøgsplan som endda ofte er mindre ressourcekrævende, er følgende: 5.. Fuldstændig faktorstruktur Denne plan består i, at hvert niveau af den ene faktor kombineres med ethvert niveau af den anden. Planen kan skitseres således: Karburator Olieblanding K 1 K O 1 O O 3 Her er hver af de 6 behandlinger gentaget gange, dvs. i alt er der udført 1 delforsøg. Hermed er kravet opfyldt om at hvert niveau skal gentages mindst 4 gange. Det er vigtigt, at hver behandling har lige mange gentagelser I " en faktor ad gangen" var vi tvunget til at udføre 16 delforsøg, mens vi kun skal lave 1 delforsøg i det "fuldstændige faktorforsøg". Vi kan altså nøjes med færre delforsøg, når vi laver et fuldstændigt faktorforsøg. 54

61 5.3 Formler og metode Indtegnes for hver karburator det gennemsnitlige benzinforbrug mod olie-blandingen, kan det eksempelvis vise sig, at man får figur 5.. Fig 5.. Vekselvirkning Vi ser, i modstrid med hvad vi antog ud fra "en faktor ad gangen forsøget", at kombinationen af katalysator K og olieblanding O 1 giver det laveste benzinforbrug. Det ses, at de to kurver ikke er parallelle. Dette kunne være tilfældigt og blot skyldes forsøgets støj, men det kunne også være signifikant, og derfor være udtryk for en såkaldt "vekselvirkning". En model uden vekselvirkning (kurverne tilnærmelsesvis parallelle) siges at være additiv FORMLER OG METODE Vi vil i det følgende kun analysere forsøg med en fuldstændig faktorstruktur, og hvor hver behandling har lige mange gentagelser (samme antal delforsøg i hver celle ). Et eksempel på et sådant forsøg er Eksempel 5.. faktorer (fortsat fra eksempel 5.1). En bilfabrikant ønsker at finde ud af, hvorledes 3 olieblandinger O 1, O, og O 3, og karburatortyper K 1 og K påvirker benzinforbruget. Forsøgsresultaterne er følgende: Karburator K 1 K O Olieblanding O O Angiv hvilke kombinationer af karburator og olieblanding der giver det laveste forbrug, og giv et estimat for dette forbrug. Symbolik: Lad os kalde rækkefaktoren for R, antal rækkeniveauer r, søjlefaktoren for C, antal søjleniveauer for q og antal gentagelser af hver behandling n. Det totale antal delforsøg er følgelig N = r q n. I eksempel 5.4 er R = olieblanding, r = 3, C = karburator, q =, n = og N = 1. 55

62 5 To faktorer på eller flere niveauer Forudsætninger Disse er de samme som ved den ensidede variansanalyse. Analysen er også her robust overfor afvigelser fra normalitet og varianshomogenitet, blot antallet af gentagelser i hver celle er den samme. Skitse af fremgangsmåde ved testning Først testes om modellen er additiv, dvs. om den er uden en signifikant vekselvirkning. Nulhypotesen skrives kort H0: R C = 0 (faktorerne vekselvirker ikke) og den alternative hypotese HRC : 0 (faktorerne vekselvirker ) For at kunne beregne en P-værdi beregnes først et estimat for den fælles (poolede) varians s 0 på samme måde som det skete i forrige kapitel. Derefter beregnes et estimat for en varians s RC som vil være lig s 0 hvis H 0 er sand, men væsentlig større hvis H er sand src P-værdien beregnes som en F-test ud fra brøken F =. s0 1) Er P-værdi < α (signifikansniveau) forkastes H 0 dvs. faktorerne vekselvirker. Ved hjælp af konfidensintervaller for alle r q celler søger man at finde den optimale kombination af faktorer. ) Er P-værdi > α accepteres H 0 dvs. faktorerne vekselvirker ikke (model er additiv). Man tester nu nulhypoteserne H : R = ( rækkefaktor har ikke en virkning) 0 0 H0: C = 0 (søjlefaktor har ikke en virkning) Da man må antage, at de to varianser og s 0 er nogenlunde ens, pooles de sammen til et nyt (bedre) estimat Variansen s m s m s RC for forsøgsfejlen (error). benyttes nu ved beregning af P-værdierne for de to hypoteser. a) Finder man at såvel H0: R = 0 forkastes, som H0: C = 0 forkastes vil man sædvanligvis opstille konfidensintervaller til bestemmelse af de to faktorers optimale niveau. Hertil benyttes igen s m. b) Finder man at eksempelvis H : R = forkastes, mens H : C = accepteres pooles variansen s c som blev brugt ved beregningen af P-værdien for C sammen med og denne benyttes ved opstillingen af konfidensintervaller for R. Beregninger: Hvorledes man foretager testen ved hjælp af en lommeregner der kun kan beregne gennemsnit og spredning er beskrevet i appendix 5.1. Da specielt beregningerne af SAK erne er temmelig omfattende, og næppe giver en dybere forståelse,vil vi dog sædvanligvis benytte TI-89 eller SAS.JMP hertil. Programmerne dækker dog ikke alle muligheder, så i enkelte tilfælde må man derfor benytte formlerne for eksempelvis konfidensintervaller. Anskuelig forklaring på hvorledes man kan beregne vekselvirkning: Her gives kun en kort forklaring, som kan tjene til at forstå baggrunden for beregningerne, der i øvrigt med fordel kan foretages af et statistikprogram. I nedenstående skema er skitseret et forsøg med faktorer R og C. R er på 3 niveauer, og C er på 4 niveauer. Der er gentagelser af hver "behandling"(treatment). s m 56

63 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse C 1 C C 3 C 4 R R R For hver af de 1 celler kan man udregne et skøn for spredningen. Hvis man forudsætter at spredningen er nogenlunde den samme i alle 1 tilfælde, kan man poole de 1 s sammen til et fælles skøn s 0 for spredningen på forsøgsfejlen (støjen). Den vil have 1 frihedsgrader, da hvert enkelt s har 1 frihedsgrad. I nedenstående skema er beregnet gennemsnit for hver celle, hver række, hver søjle og totalt. C 1 C C 3 C 4 Gennemsnit R R R Gennemsnit Tallene er konstrueret således, at vi har en helt præcis model uden vekselvirkning (R = R 1 + 7, R 3 = R 1 + ). For en sådan model gælder helt præcist, at resultatet i celle (i, j) fås af formlen RC i,j =R i + C j - totale gennemsnit. Eksempel: RC,3 = 10 og R + C 3 - totale gennemsnit = = 10. I praksis vil dette naturligvis aldrig være tilfældet på grund af den tilfældige variation (støj), men udregnes kvadratet på afvigelserne (SAK), og disse afvigelser ikke er større end hvad er rimeligt i forhold til støjen (s 0 ), vil vi kunne konkludere at der ikke kan konstateres nogen vekselvirkning. 5.4 BEREGNING AF TOSIDET VARIANSANALYSE Som nævnt er der hovedtilfælde, nemlig om der konstateres vekselvirkning eller ej. Er modellen additiv er der igen tilfælde, nemlig om begge faktorer har en signifikant virkning eller kun den ene faktor har en signifikant virkning. Vi ser her bort fra den situation, at ingen faktorer har en signifikant virkning. Det kan naturligvis sagtens forekomme, men den situation kræver ingen nærmere forklaring. I afsnit 5.7 er givet en oversigt over hvorledes beregningerne skal udføres med TI89. I det følgende anvendes denne oversigt til at regne 3 eksempler svarende til hver af de tre situationer. Eksempel 5. (fortsat) Model med vekselvirkning. En bilfabrikant ønsker at finde ud af, hvorledes 3 olieblandinger O 1, O, og O 3, og karburatortyper K 1 og K påvirker benzinforbruget. Forsøgsresultaterne er følgende: Karburator K 1 K O Olieblanding O O Det forudsættes at betingelserne om uafhængighed, normalitet og varianshomogenitet er opfyldt. I SAS-løsningen kontrolleres dog om betingelserne for normalitet og varianshomogenitet er rimelig opfyldt Angiv hvilke kombinationer af karburator og olieblanding der giver det laveste forbrug, og giv et estimat for dette forbrug. 57

64 5 To faktorer på eller flere niveauer Løsning: TI89 Først testes H : R* C = mod HR : * C APPS, STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (K 1 søjlen) i list1, søjle (K ) i list. List 1 List F6, ANOVA-Way, ENTER DESIGN= Factor,EqReps, Levls of Col Factor =,Levls of Row Factor =3, ENTER Næste skema udfyldes med List1 og List, ENTER Resultatet kan umiddelbart aflæses Under interaction findes P - værdi = Idet vi som sædvanlig antager at signifikansniveauet er 5 % fås, at da P - værdi = < 0.05 forkastes H 0 (svagt). Konklusion: Begge faktorer har en virkning i form af en vekselvirkning. For at finde den kombination af olieblanding og karburator, der giver det mindste benzinforbrug beregnes gennemsnittene i hver celle Vi finder Gennemsnit Karburator Olieblanding K 1 K O O O Det ses, at det mindste gennemsnit er 85. Beregning af 95% konfidensintervaller og LSD-intervaller (jævnfør afsnit 5.7) Under error findes s = MS = 600 og df = 6 error Radius i 95% konfidensinterval er r = kon t = = ( ) Diameter i 95% konfidens- og LSD - intervaller er r kon = 849. og r kon = = Det ses. at umiddelbart giver K O 1 det laveste benzinforbrug, men da K 1 O 3 og K 1 O 1 begge har et benzinforbrug der afviger mindre end 60 herfra, er der ingen signifikant forskel er mellem K O 1,K 1 O 3 og K 1 O 1. Konklusion: Man får det laveste benzinforbrug ved at vælge en af kombinationerne K O 1,K 1 O 3 og K 1 O 1 Et estimat for det laveste forbrug er 85 liter 58

65 Løsning: SAS.JMP Data indtastes på sædvanlig måde. Karburator olieblanding benzinforbrug k1 o1 830 k1 o1 860 k1 o 940 k1 o 990 k1 o3 855 k1 o3 815 k o1 810 osv. 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse a)varianshomogenitet. Da varianserne i hver af de 6 celler skal være ens, karakteriserer man disse ved at gå ind i regnearket og danne en ekstra søjle celler (og vælg den som character ). Da der er 6 celler med tal i hver bliver søjlen: Karburator olieblanding benzinforbrug celler k1 o k1 o k1 o 940 k1 o 990 k1 o k1 o k o osv. Gå derefter ind i ensidet variansanalyse og vælg celler som faktor og benzinforbrug som Y, ok cursor på rød pil på tegning og vælg Unequal Variances Oneway Analysis of Benzinforbrug By Celler Tests that the Variances are Equal Test F Ratio DFNum DFDen Prob > F O'Brien[.5] 0, ,0000* Brown-Forsythe Levene Bartlett 0, ,984 Warning: Small sample sizes. Use Caution. Da Bartletts test giver en P-værdi= > 0.05 fås en accept af en nulhypotese om at varianserne er ens, så kravet er rimeligt opfyldt. b) Først testes H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) H HR : * C 0 Vælg Analyze Fit Model Indsæt for Y: Benzinforbrug,Indsæt for ADD:Karburator og Olieblanding Indsæt for CROSS: Karburator,Olieblanding (marker begge) Emphasis s rullemenu: vælg Minimal Report Run Model (Minimal report er kun valgt for at undgå nogle i denne forbindelse overflødige figurer) Man får (blandt andet) Summary of Fit RSquare 0, RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 4,4949 Mean of Response 904,1667 Observations (or Sum Wgts) 1 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , ,3 3,747 Error , ,0 Prob > F C. Total ,667 0,

66 5 To faktorer på eller flere niveauer Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F karburator ,000 10,150 0,0190 Olieblanding 58716,667 48,9306 0,000 karburator*olieblanding 6450,000 5,3750 0,0460 Ud for Karburator*olieblanding findes P - værdi = Da P - værdi = < 0.05 forkastes (svagt). Konklusion: Begge faktorer har en virkning i form af en vekselvirkning. For at finde hvilke kombinationer der giver lavest benzinforbrug vælges Vælg Effect Details rød pil ved karburator x olieblanding Vælg LS means Plot Vi får følgende Udskrift+tegning : Karburator*Olieblanding Least Squares Means Table Level Least Sq Mean Std Error k1,o1 845, ,30508 k1,o 965, ,30508 k1,o3 835, ,30508 k,o1 85, ,30508 k,o 1035, ,30508 k,o3 90, ,30508 LS Means Plot H 0 Umiddelbart ses af figuren, at man ikke bør vælge olieblanding O. Derimod er det uklart hvilken af kombinationer (se tabellen) med de mindste means, der giver det laveste olieforbrug. Dette kan afklares ved på ovennævnte rullemenu at vælge LSMeans students t Det giver en stor tabel (som kan fjernes ved med cursor på overskrift, højre musetast at fjerne markeringen ved Crostab Report). Under den findes følgende lille tabel Level Least Sq Mean k,o A 1035,0000 k1,o B 965,0000 k,o3 B 90,0000 k1,o1 C 845,0000 k1,o3 C 835,0000 k,o1 C 85,0000 Levels not connected by same letter are significantly different Heraf ses, at kombinationen K O 1 giver det laveste benzinforbrug (85), men, at der ingen signifikant forskel er mellem K O 1, K 1 O 3 og K 1 O 1. 60

67 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Konfidensintervaller Ønskes fundet 95% konfidensintervaller rød pil i tabellen Least Square Means Table Vælg Columns vælg lower og derefter upper. Karburator*Olieblanding Least Squares Means Table Level Least Sq Mean Std Error Lower95% Upper95% k1,o1 845, , , ,3818 k1,o 965, , , ,3818 k1,o3 835, , , ,3818 k,o1 85, , , ,3818 k,o 1035, , , ,3818 k,o3 90, , , ,3818 Heraf ses, at for kombinationen K O 1 er konfidensintervallet = [78.6 ; 867.4] Ønskes gemt de estimerede middelværdier, error, konfidens- og prædiktionsgrænser gemt i den oprindelige datatabel, så rød pil ved Response på rullemenu vælg SaveColumns Vælg de ønskede størrelser. Eksempel 5.3 Additiv model: To signifikante hovedvirkninger I forbindelse med nogle brudstyrkebestemmelser for Portland-cement udføres et fuldstændigt randomiseret forsøg til undersøgelse af middelbrudstyrkens afhængighed af cementblandere og cementknusere. Med hver af 3 cementblandere udstøbtes efter blanding med vand 1 cementterninger, som efter en uges lagring underkastedes en brudstyrkeprøve ved hjælp af en af 4 cementknusere. Forsøgsresultaterne var: Cementknusere Cementblandere Forudsætningerne for en variansanalyse antages opfyldt. Angiv hvilke kombinationer af cementblander og cementknuser, der giver den største brudstyrke, og giv et estimat og et 95% konfidensinterval for denne største middelbrudstyrke. Løsning:TI89 APPS STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (cementknuser 1) i list1, søjle (cementknuser ) i list osv. F6 ANOVA-Way ENTER menu udfyldes DESIGN= Factor,EqReps, Levls of Col Factor =4,Levls of Row Factor =3 ENTER Næste skema udfyldes med List1, List,List3 og List 4, ENTER Resultatet kan umiddelbart aflæses: Nedenfor er resultaterne angivet for de dele af den sædvanlige variansanalysetabel der kan få betydning 61

68 5 To faktorer på eller flere niveauer Variation SAK=SS df MS= s F P - værdi Column:Cementknuser : C Row: Cementblander : R Interaction:R*C Error a) H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) For interaction findes P - værdi = Da P - værdi = > 0.05 accepteres H 0. Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. b) Da vi lige har konkluderet, at der ingen vekselvirkning er, må et sikrere estimat for variansen være en pooling af de to varianser SAK pool = SAK error + SAK vekselvirkning = = f pool = f error + f vekselvirkning = 4+6 = s pool = = F knuser = = P - værdi =P(F > 18.31) = FCdf(18.31,,3,30) = F blander = = P - værdi =P(F >4.5994) = FCdf(4.5994,,,30) = Det giver følgende tabel: Variation SAK=SS df MS= s F P - værdi Column:Cementknuser : C Row: Cementblander : R Error(pool): H 0 : C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 H 0 : R = 0 (Cementblander har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en (stærk) virkning Cementblandere har en virkning For at finde hvilken cementknuser der giver den største middelbrudstyrke beregnes gennemsnit for blanderne: 1: mean({147,175,130,99,85,75,67,3,35,15,97,180})= : mean({1,155,173,141,110,155,85,55,81,161,167,177}) = : mean({13, 85, 153,137, 143, 8, 67, 5, 83, 135, 91, 19}) = Det ses, at cementblander giver den største brudstyrke 6

69 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Konfidensinterval for de 4 knusere findes ved at benytte de i afsnit 5.7 angivne formler. spool rkon = t0975 f pool = t = = nq ( ) ( ) d kon = = 363. d lsd = = 57. Da = 9.41 > 5.7 ses af LSD-intervallet, at cementblander må foretrækkes Gennemsnit for knuserne findes til 1: : : : 150. spool rkon = t0975. ( f pool ) = t0975. ( 30) = = 0. 9 nr 33 d kon = 09. = 419. d lsd = 09. = 96. Benyttes LSD, ses, at Cementknuser 1 eller 4 må foretrækkes Konklusion: Størst middelbrudstyrke fås i kombinationen cementknuser 1 og cementblander eller cementknuser 4 og cementblander ~ Et estimat µ 1 for største middelbrudstyrke på basis af cementknuser 1 og cementblander : (se oversigt i kapitel 5.7) x1 = x = x = = ~ µ 1 = x 1 + x x = = Radius i konfidensinterval : r = t f s t ( ) = ( 30) = kon m m % konfidensinterval : [ ; ] = [ ; ] Løsning:SAS.JMP Lad starten af indtastningen i regnearket være cementblandere cementknusere brudstyrke c1 k1 147 c1 k1 175 c1 k1 130 c1 k 99 c1 k 85 osv. 1) Variansanalysetabel opstilles. Vælg Analyze Fit Model Indsæt for Y: Brudstyrke,Indsæt for AD:Cementblandere og Cementknusere Indsæt for CROSS: Cementblandere,Cementknusere (marker begge) Run Model Der fremkommer en række figurer og tabeller. 63

70 5 To faktorer på eller flere niveauer Blandt disse er følgende variansanalysetabel Summary of Fit RSquare 0,76157 RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 9,7704 Mean of Response 118,3889 Observations (or Sum Wgts) 36 Analysis of Variance DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Source Model , ,81 6,9570 Error 4 170, ,8 Prob > F C. Total ,556 <,0001* Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F Cementblander 8706,056 4,9116 0,0163* Cementknuser , 19,5557 <,0001* Cementblander*Cementknuser ,611 1,3394 0,787 a) H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) For Cementblandere*cementknusere findes P - værdi = Da P - værdi = > 0.05 accepteres H 0. Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. b) Vekselsvirkningen "pooles" ned i error ". Gå tilbage til starten, og slet vekselvirkningsleddet. Blandt mange tabeller findes Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F Cementblander 8706,056 4,5994 0,0181* Cementknuser , 18,315 <,0001* H 0 : C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 H 0 : R = 0 (Cementblander har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en stærk signifikant virkning, Cementblanderne har en signifikant virkning, Under cementblandere kan på samme måde som i forrige eksempel bl.a. findes følgende tabeller Level Least Sq Mean c A 140,08333 c1 B 110,66667 c3 B 104,41667 Levels not connected by same letter are significantly different. Heraf ses, at cementblander må foretrækkes Under cementknusere fås Level Least Sq Mean k1 A 151,33333 k4 A 150, k B 114,11111 k3 C 57,88889 Levels not connected by same letter are significantly different Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes. Konklusion: Størst middelbrudstyrke fås i kombinationen cementknuser 1 og cementblander eller cementknuser 4 og cementblander 64

71 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Et estimat ~ µ 1 for største middelbrudstyrke på basis af cementknuser 1 og cementblander : Rød pil ved Response Profiler Factor profiling Profiler Ved de fremkomne figurer flyttes linier Rød pil ved Predicter Profiler Confidence Intervals 00 Brudstyrke 173,078 ±5, c1 c c3 c Cementblander k1 k k3 k4 k1 Cementknuser ~ µ 1 = % Konfidensinterval : [ ; ] = [ ; ] Eksempel 5.4 Additiv model: Een signifikant hovedvirkning Samme problem som i eksempel 5.3, blot er tallene for cementblander formindsket med 10. Forsøgsresultaterne var: Cementknusere Cementblandere Forudsætningerne for en variansanalyse antages opfyldt. Angiv hvilke kombinationer af cementblander og cementknuser, der giver den største brudstyrke, og giv et estimat og et 95% konfidensinterval for denne største middelbrudstyrke. Løsning:TI89 1) H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) Beregningerne er ganske analoge til eksempel 5.3. Nedenfor er resultaterne angivet i den sædvanlige variansanalysetabel Variation SAK=SS df MS= s F P - værdi Column:Cementknuser : C Row: Cementblander : R Interaction:R*C Error

72 5 To faktorer på eller flere niveauer For interaction findes P - værdi = Da P - værdi = > 0.05 accepteres. H 0 Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. Test H 0 : C = 0 H 0 : R = 0 Pooling: SAK pool = SAK error + SAK vekselvirkning = = f p00l = f error + f vekselvirkning = 4+6 = s p00l = = F knuser = = P - værdi =P(F > 18.31) = FCdf(18.31,,3,30) = F blander = = 71.. P - værdi =P(F >.71) = FCdf(.71,,,30) = Det giver følgende tabel: Variation SAK=SS df MS= s F P - værdi Column:Cementknuser : C Row: Cementblander : R Error (pool) H 0 : C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 H 0 : R = 0 (Cementblander har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = 0.11 > 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en (stærk) virkning Cementblandere har ingen virkning For at finde hvilken cementknuser der giver den største middelbrudstyrke kunne vi nu beregnes gennemsnit og konfidensinterval for de 4 knusere ved at benytte de i oversigt 5.7 angivne formler. Lettere er det at udnytte, at da vi nu kun har en faktor tilbage, så udnytte programmet for ensidet variansanalyse, med cementknusere som faktor på 4 niveauer. Konfidensintervaller findes som ekstra søjler efter list6 xbar lowlist uplist Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes, selv om man ikke helt kan afvise at cementknuser kan være lige så god. For at afgøre dette beregnes diameter i LSDinterval d kon = = d LSD = = Konklusion: Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes Et estimat for største middelbrudstyrke: % konfidensinterval [16.3 ; 169.7] 66

73 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Løsning:SAS.JMP 1) H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) Beregningerne er ganske analoge til eksempel 5.5. Blandt disse er følgende variansanalysetabel Analysis o Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , 5765,0 6,5050 Error 4 170, ,8 Prob > F C. Total ,889 <,0001 Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F Cementblander 499,389,455 0,1098 Cementknuser , 19,5557 <,0001 Cementblander*Cementknuser ,611 1,3394 0,787 a) H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) For Cementblandere*cementknusere findes P - værdi = Da P - værdi = > 0.05 accepteres H 0. Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. b) Vekselvirkningen "pooles" ned i error. Gå tilbage til starten, og slet vekselvirkningsleddet. Blandt mange tabeller findes Whole Model Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F Cementblander 499,389,713 0,106 Cementknuser , 18,315 <,0001 H 0 : C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = < 0.05 H 0 : R = 0 (Cementblander har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = 0.11 > 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en stærk signifikant virkning, Cementblanderne ikke har en signifikant virkning, Under cementknusere kan på samme måde som i forrige eksempel bl.a. findes følgende tabeller og figurer Response Brudstyrke Cementknuser Least Squares Means Table Level Least Sq Mean Std Error Lower95% Upper95% k1 148, , , ,7030 k 110, , , ,48008 k3 54, , , ,5785 k4 146, , , ,59119 LSMeans Differences Student's t Level Least Sq Mean k1 A 148,00000 k4 A 146,88889 k B 110,77778 k3 C 54,55556 Levels not connected by same letter are significantly different 67

74 5 To faktorer på eller flere niveauer LS Means Plot Konklusion: Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes. Et estimat for største middelbrudstyrke: % konfidensinterval [16.3 ; 169.7] Grafisk kontrol af kravet om normalitet rød pil Save columns residuals derefter som under ensidet variansanalyse 5.5 FULDSTÆNDIGT RANDOMISERET BLOKFORSØG. Som beskrevet i kapitel 4.3, kan man blive tvunget til at benytte forsøgsenheder, som er ret uensartede. Derved får den tilfældige forsøgsfejl en relativ stor spredning (stor støj ). For at dæmpe støjen kan man inddele forsøgsenhederne i grupper (blokke), hvor de forsøgsenheder der ligger i samme blok er væsentlig mere ensartede end forsøgsenhederne i forskellige blokke. Til illustration heraf, så betragter vi igen forsøget beskrevet i eksempel 5.1. Eksempel 5.5 (randomiseret blokforsøg). En bilfabrikant ønsker at finde ud af, hvorledes 3 olieblandinger O 1, O, og O 3, og karburatortyper K 1 og K påvirker benzinforbruget. Forsøget planlægges som et fuldstændigt faktorforsøg idet hvert niveau skal gentages mindst 4 gange. Dette betyder at der skal udføres 1 delforsøg. Et delforsøg med én bil tager 1 dag.(1 tank = 40 liter: Kører ca. 15 km/l så 40 liter = 600 km, hvilket giver ca. 7 timer med 80 km/time). Af tidsmæssige grunde kan man ikke benytte 1 dage til forsøget. Der benyttes biler med tilhørende chauffør, hvilket forkorter forsøgstiden til 6 dage. Da de to biler (med tilhørende chauffør) kan frygtes at give systematisk forskellige resultater, ønskes foretaget et randomiseret blokforsøg med biler som blokke. 1) Beskriv hvorledes en randomisering kunne tænkes at foregå. 68

75 ) Opdelingen i blokke resulterede i følgende plan med tilhørende benzinforbrug bil 1 dag 1 O 1 K 810 dag O 3 K 910 dag 3 O K 100 dag 4 O 1 K dag 5 O K Fuldstændigt randomiseret blokforsøg dag 6 O 3 K bil dag 1 O 1 K dag O 3 K 930 dag 3 O 1 K 840 dag 4 O K dag 5 O 3 K dag 6 O K 1050 Skitser udseendet af en variansanalysetabel og beregn om man på dette grundlag kan vise, at der er vekselvirkning mellem olieblanding og karburator. Løsning: 1) Randomisering: To dåser mærkes henholdsvis bil1 og bil. Behandlingen O 1 K 1 skrives på sedler som anbringes i hver sin dåse, behandlingen O 1 K skrives på sedler som anbringes i hver sin dåse osv. (se figuren). Man trækker nu først de 6 sedler fra dåse med mærket bil 1. Lad den første seddel der trækkes være O 1 K. Det betyder nu, at bil 1 skal forsynes med karburator og olieblanding 1 og køre dag 1. Lad den næste seddel der trækkes være O 3 K. Det betyder tilsvarende at bil 1 skal forsynes med karburator og olieblanding 3 og køre dag. Således fortsættes indtil alle 6 sedler er udtrukket Derefter fortsættes med at trække sedler fra dåsen med bil. ) Analyse: Der udføres en tosidet variansanalyse med faktorerne olieblanding og karburator Da tallene er de samme som i eksempel5. fås samme resultater. Der udføres en ensidet varaiansanalyse med blokke (biler) som faktor. Resultat: SS = df = 1 MS = Bemærk: Vi antager altid, at blokke ikke vekselvirker med faktorerne, idet vi forudsætter, at den ene blok (eksempelvis bil 1) bidrager med en systematisk højere resultat end den anden blok (eksempelvis at bil 1 på alle dage giver et større benzinforbrug end bil ). Der udføres en tosidet variansanalyse. Resultat: S error = 3600, df = 6 Idet blokvirkningen trækkes fra fås SS = = med df = 6-1 = 5. Resultaterne indskrives i en variansanalysetabel Variansanalyse SAK f MS F P-værdi Blokke (biler) Olieblanding Karburator 1 Olie * karburator FCdf ( ,,, 5) = Error Total 11 Idet vi som sædvanlig antager at signifikansniveauet er 5 % fås, at da P - værdi = 0.31% <5% forkastes H 0 Konklusion: Begge faktorer har en virkning i form af en vekselvirkning. Bemærk: Selv om analysen viser, at blokkene mod forventning ikke kan antages at have betydning, må man ikke poole blokkene ned, da det svarer til, at man analyserer forsøget som om det var et fuldstændigt randomiseret forsøg. SAS.JMP har ikke et program til dette tilfælde. 69

76 5 To faktorer på eller flere niveauer 5.6. To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg. Har man faktorer i en fuldstændig faktorstruktur, og de statistiske variable er enten binomialfordelte eller Poissonfordelte, kan man ikke bruge variansanlyseteknikken, da den kræver, at de variable er normalfordelte. I appendix 5. er vist, hvordan man kan transformere data så det er tilladeligt at bruge variansanlyseteknikken på de transformerede data 70

77 5.7. Oversigt over fremgangsmåde ved tosidet variansanalyse 5.7. OVERSIGT OVER FREMGANGSMÅDE VED TOSIDET VARIANSANALYSE TI89 antages benyttet. Giver følgende skema Søjlefaktor Q Q 1 Q... Q q Rækkefaktor R R 1 x 111 x x 11n x 11 x 1... x 1n x 1q1 x 1q... x 1qn R x 11 x 1... x 1n x 1 x... x n x q1 x q... x qn... R r x r11 x r1... x r1n x r1 x r... x rn x rq1 x rq... x rqn H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) H: R* C 0 Apps Stats Data indtastes: Q 1 søjle i list1 Q søjle i list osv. Q q søjle i listq F6, ANOVA-Way, ENTER DESIGN= Factor,EqReps, Levls of Col Factor =q,levls of Row Factor =r, ENTER Næste skema udfyldes med List1, List,List3 og List 4, ENTER Resultat fremkommer som en lang række tal Under interaction findes P-value 1) P - værdi < α : H 0 forkastes, dvs. Faktorerne R og C vekselvirker Konfidens og LSD intervaller opstilles til afgørelse af hvilken kombination af faktorer, der eksempelvis giver mindst resultat. Man udregner de r q gennemsnit og finder den mindste error Radius r kon = t f, hvor man under ERROR finder og =df x min s. ( error ) s n error 0975 Beregner diameter d kon = r kon og d lsd = r kon De gennemsnit der ligger indenfor en afstand d lsd fra x min er ikke signifikant forskellige. ) P - værdi > α : H 0 accepteres, dvs, der kan ikke påvises en signifikant vekselvirkning For overskuelighedens skyld opstilles en variansanalysetabel ud fra udskrifterne Variation SAK=SS f = df MS=s F Rækkefaktor R : SAK R f = R r 1 Søjlefaktor C : SAK C f = C q 1 Vekselvirkning R*C SAK RC f = ( RC r 1)( q 1) f error Gentagelser (residual, error) SAK error ferror = r q ( n 1) 71

78 5 To faktorer på eller flere niveauer Der foretages en pooling af vekselvirkning ned i Error, og man udregner nye P- værdier. Variation SAK=SS f = df MS=s F P-værdi Rækkefaktor R SAK R f = R r 1 s R = SAK f R R F R = s s R pool FCdf(F R,,f R,f pool ) Søjlefaktor C: SAK C fc = q 1 s C = SAK f C C F C = s s C pool FCdf(F C,,f C,f pool ) Error(poolet) SAK pool = SAK RC +SAK error f pool =f RC +f error a) Begge P-værdier <α H0: R = 0 ( Ingen signifikant virkning af rækkefaktor) H 0 forkastes, dvs. rækkefaktor har en signifikant virkning Konfidens- og LSD intervaller opstilles til afgørelse af, hvilket niveau af rækkefaktor der eksempelvis giver mindst resultat. Man udregner de r rækkegennemsnit og finder den mindste x r,min Radius r kon = t0. 975( f pool ) spool nq Beregner diameter d kon = r kon og d lsd = r kon De gennemsnit der ligger indenfor en afstand d lsd fra x r,min forskellige H0: C = 0 ( Ingen signifikant virkning af søjlefaktor) H 0 forkastes, dvs. søjlefaktor har en signifikant virkning Man udregner de q søjlegennemsnit og finder den mindste x q,min Radius r kon = t. ( f pool ) 0975 s pool nr Beregner diameter d kon = r kon og d lsd = r kon De gennemsnit der ligger indenfor en afstand d lsd fra forskellige For celle i i te række og j te søjle er den estimerede middelværdi ~ µ ij = x i. + x. j x.. (jævnfør betragtningerne i afsnit 5.3) Konfidensintervaller for hver celle: ~ ( r + q 1) µ t ( ) ; ~ α N r q + 1 s µ + t α ( N r q + 1) 1 N 1 x q,min ( r + q 1) s N ij m ij m er ikke signifikant er ikke signifikant 7

79 5.7. Oversigt over fremgangsmåde ved tosidet variansanalyse b) Kun en P-værdi < α. Lad os antage, det er den ud for rækkefaktoren H0: R = 0 ( Ingen signifikant virkning af rækkefaktor) H 0 forkastes, dvs. rækkefaktor har en signifikant virkning H0: C = 0 ( Ingen signifikant virkning af søjlefaktor) H 0 acceptere, dvs. søjlefaktor har ingen signifikant virkning Problemet svarer nu til, at man har en ensidet variansanalyse, og beregningerne fortsætter derfor som sådan 73

80 5 To faktorer på eller flere niveauer OPGAVER Opgave 5.1 I et forsøg undersøgtes, om det kemiske udbytte af en proces afhænger af hvilken af katalysatorer, der anvendes. Endvidere kan man benytte 3 forskellige apparater, og de kunne også tænkes at have indflydelse på resultatet. Der fandtes følgende udbytter: Katalysator K 1 Katalysator K Apparat A Apparat A Apparat A ) Idet det antages at forudsætningerne for at udføre en variansanalyse er tilstede, skal der udføres en test til vurdering af, om middeludbyttets (eventuelle) afhængighed af de benyttede katalysatorer og apparater kan beskrives ved en additiv model. a) Hvis man af økonomiske grund vælger apparat A 1 hvilken katalysator skal man så vælge? b) Hvis man af økonomiske grunde vælger katalysator 1 hvilket apparat skal man så vælge? c) Hvilken (hvilke) kombinationer af apparat og katalysator giver det største udbytte. Opgave 5. Man ønsker at undersøge den virkning som faktorer (typen af glas og fosfor) har på skarpheden af billedet på en TV-skærm. Responsvariablen er den strøm (i microampere) som er nødvendig for at opnå et specifik skarpheds niveau. Data er vist i nedenstående tabel: Fosfortype Glastype Idet de sædvanlige variansanalyseforudsætninger antages opfyldt, ønskes følgende spørgsmål belyst: 1) Har glastype og fosfortype indflydelse på skarpheden? ) Ud fra svaret i spørgsmål skal angives, hvilken glastype og fosfortype der giver den største skarphed (giver den mindste respons) 74

81 Opgaver til kapitel 5 Opgave 5.3 På en fabrik for glasvarer ønsker man at undersøge hvilken blandt 3 typer lim, der er bedst ved sammenlimning af 3 forskel1ige glastyper. Forsøget foregik ved, at man limede to glasplader sammen, og efter en passende tid undersøgte, hvor stor en kraft der skulle til for at trække pladerne fra hinanden. Man valgte at lave et fuldstændigt faktorforsøg med 5 gentagelser af hver behandling. Resultatet af forsøget var: Glastype A Glastype B Glastype C LIM I LIM II LIM III Idet de sædvanlige variansanalyseforudsætninger antages opfyldt, ønskes følgende spørgsmål belyst: 1) Angiv hvilke faktorer der har en virkning. ) Angiv den eller de kombinationer af type lim og type glas, der har den største sammenhængskraft. Angiv et 95% konfidensinterval for de pågældende kombinationer. Opgave 5.4 Fabrikationen af et kemikalium baseres på en bestemt kemisk proces, som forudsætter tilsætning af katalysator og en PH - værdi på ca. 5. Som led i en laboratoriemæssig undersøgelse af mulighederne for at forøge procesudbyttet foretoges bl.a. et forsøg, hvor man dels sammenlignede virkningen af tilsætning af 3 forskellige katalysatorer, dels undersøgte, om udbyttet afhang af, om den nødvendige PH - værdi opnåedes ved tilsætning af HCl i stedet for som hidtil H S0 4. Forsøgsresultaterne var (udbytteprocenter): Tilsat syre HCl H S Katalysatorer ) Foretag en statistisk analyse af forsøgsresultaterne og drag konklusioner. ) Estimer under hensyn til resultatet af den under punkt 1) foretagne analyse procesudbyttet ved benyttelse af katalysator under tilsætning af HCl og opstil et 95% - konfidensinterval for dette udbytte. 75

82 5 To faktorer på eller flere niveauer Opgave 5.5 Hver af tre laboranter har bestemt hydroquinons smeltepunkt ( 0 Celcius) med (de samme) 4 termometre. Resultaterne var: Termometre Laboranter Det antages, at de nødvendige variansanalyseforudsætninger er opfyldt, og at termometre og laboranter ikke vekselvirker. Følgende spørgsmål ønskes belyst: 1. Aflæser laboranterne termometrene på samme måde?. Viser termometrene ens. Opgave 5.6. Ved en tekstilfabrikation måltes for to forskellige vævemetoder og 5 forskellige materialetyper antallet af garnbrud pr m klæde. Resultaterne var følgende: Materialetyper Vævemetoder Foretag efter en passende variabeltransformation en analyse af, om og i bekræftende fald hvorledes middelantallet af garnbrud afhænger af vævemetoder og/eller materialetyper. Opgave 5.7. Ved en undersøgelse af, hvorledes virkningen af forskellige giftstoffcr kunne bekæmpes, foretoges et fuldstændigt randomiseret forsøg, hvorved giftstoffer og 4 vitaminbehandlinger inddroges i undersøgelsen, og overlevelsestiden (timer) af de benyttede forsøgsdyr måltes. Nedenfor er anført en skematisk oversigt over forsøgsresultaterne: Vitaminbehandlinger Giftstoffer Teoretiske overveje1ser i forbinde1se med tidligere lignende forsøg har vist, at variabeltransformationen Y sikrer den for analysen nødvendige varianshomogenitet. 1) Ana1yser forsøgsresultaterne og drag konklusioner med hensyn ti1 faktorernes virkemåde. ) Opstil et 95%-konfidensinterval for den gennemsnitlige middeloverlevelsestid for hver enkelt vitaminbehandling og bestem den vitaminbehandling. som må antages at have bedst virkning. 76 = 1 X

83 6 FLERE END TO FAKTORER, SCREENINGS-FORSØG 6.1 Indledning 6.1 INDLEDNING Vi har i variansanalysen analyseret forsøg med 1 eller faktorer. Imidlertid vil man i praksis ofte have behov for forsøg, hvori der indgår mange faktorer. De følgende eksempler illustrerer dette. Eksempel 6.1. (5 faktorer) Mængden af et uønsket spildprodukt ved en proces kan muligvis afhænge af en eller flere af følgende 5 faktorer: A: Mængden af reaktant B: Syrekoncentrationen C: Katalysatoren D: Reaktionstid E: Reaktionstemperatur. Eksempel 6.. (3 faktorer) Antallet af brud i en stålfjeder er rigelig stor. Følgende 3 faktorer har muligvis betydning: A: Stålets procentiske indhold af kul. B: Temperaturen af det oliebad, som fjederen dyppes ned i under hærdningen C: Fjederens temperatur lige før den nedsænkes i oliebadet. Eksempel 6.3 (over 0 faktorer) Skitsen viser et måleudstyr til måling af emissionen af NO x fra dieselmotorer Da der var for stor variation i målingerne søgte man at forbedre udstyret. Efter "brainstorm" blev foreslået en lang række faktorer, som på figuren er angivet med bogstaverne A, B, C,... 77

84 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Formål med screeningsforsøg Hvordan kan man med det mindst mulige antal forsøg dels finder hvilke faktorer der har en virkning, dels finder hvorledes disse faktorer påvirker resultatet (ændres middelværdien?, ændres spredningen?, øges robustheden overfor påvirkninger fra omgivelserne eller fra "dårlige" komponenter?). Her er det, at de i de følgende afsnit omtalte screeningsforsøg er centrale. Man kan ved denne metode med forholdsvis få delforsøg undersøge mange faktorers virkning på en produktions slutresultat. Ved forsøget får man så afklaret, hvilke af faktorerne der har en væsentlig virkning. De sædvanligvis få faktorer, som viser sig at have en virkning, kan man så studere nøjere ved supplerende forsøg. Der gælder altid den regel, at man bør højst bruge 5% af det planlagte budget på det første forsøg. Den statistiske metode blev i 30-erne udviklet af en berømt statistiker R. Ficher, (F- fordelingen er opkaldt efter ham). Metoden fik imidlertid først sin helt store udbredelse, da en japaner Taguchi formåede at gøre metoden let forståelig og derved sikrede dens udbredelse. Endvidere udvidede han metoden til også at finde hvilke faktorer der bidrog med den største spredning. Dette var bl.a. medvirkende til at sikre japanske bilers overlegne kvalitet i forhold til eksempelvis de amerikanske biler. Hvilke faktorer kan have betydning Man starter med at søge at finde alle de faktorer, som på nogen mulig måde kan tænkes at have en indflydelse på resultatet. Her kan "brainstorm" være værdifuld, idet man "uden hæmninger" skal foreslå mulige faktorer. Ved at lade en gruppe af "sagkyndige" på denne måde inspirerer hinanden, vil mange utraditionelle forslag komme frem. Man må passe på ikke at affærdige foreslåede faktorer som værende helt hen i vejret. Det er trods alt bedre at tage mange faktorer med og så opdage, at de fleste ingen rolle spiller, end at risikere at udskyde en væsentlig faktor. Udførelse af forsøg Det har stor betydning for forsøgets succes, at man er meget omhyggelig med at sammensætte den gruppe af mennesker, som skal planlægge og udføre forsøget. Hvis det drejer sig om udvikling af et nyt produkt vil det ofte være udviklingsafdelingen der både planlægger og udfører forsøget. Hvis det drejer sig om et problem i en eksisterende produktion, som måske er koncentreret om en bestemt maskine (eller del af produktionen), er det vigtigt at gruppen har medlemmer (driftsingeniører, værkførere, opstillere), som arbejder tæt på maskinen (den del af produktionen) til daglig. Det sikrer også, at de forstår ideen i forsøget, og derved sikrer at forsøget bliver udført som planlagt. Man har eksempler på, at hvis man ikke har forklaret metoden, så har man på gulvet strøget nogle forsøg, fordi man fandt dem ganske overflødige, hvilket dermed ødelagde hele screeningen. 78

85 6.1 Indledning Screeningsforsøg Har man mange faktorer der skal undersøges, må man for at begrænse antallet af delforsøg nøjes med at undersøge hver faktor på niveauer lavt niveau og højt niveau. Disse niveauer forsøges valgt som yderpunkter med hensyn til faktorernes formodede virkning. Har man ingen formodning herom, vælges sædvanligvis to faktorniveauer, som afviger mest muligt. For at reducere antallet af forsøg mest muligt antages endvidere, at alle behandlinger kun udføres 1 gang. Har man k faktorer, vil antallet af forsøg være k, deraf navnet k faktorforsøg. Har man 4 faktorer er antallet af delforsøg 4 =16, hvilket jo ikke er mange, men hvis eksempelvis der er 7 faktorer, er antallet af delforsøg 7 = 18, hvilket begynder at være uoverskueligt mange. For at reducere antallet af delforsøg forudsættes derfor yderligere, at der ikke forekommer vekselvirkninger mellem mere end faktorer. Det er en erfaringssag, at der meget sjældent forekomme signifikante vekselvirkninger mellem 3 faktorer, og vekselvirkninger mellem mere end tre faktorer er aldrig forekommet. Man kan derfor poole disse ledige vekselvirkninger sammen til et estimat for spredningen. Har vi eksempelvis 4 faktorer A, B, C og D, og hver faktor er på niveauer, har de alle 1 frihedsgrad. Vi har derfor følgende variansanalysetabel Faktor SAS=SS f s F P-værdi A 1 B 1 AB 1 C 1 AC 1 BC 1 D 1 AD 1 BD 1 CD 1 Error 5 Total 15 Der er følgelig 5 frihedsgrader til rådighed til bestemmelse af den fælles varians. Et forsøg som ovenstående kaldes et fuldstændigt 4 - faktorforsøg, da man er interesseret i at teste alle -faktor-vekselvirkninger. Hvis man har mange faktorer giver det dog stadig alt for mange delforsøg Man kan imidlertid reducere antal forsøg kraftigt ved såkaldte partielle k faktorforsøg. Sædvanligvis ved man (måske fra tidligere forsøg), at visse -faktorvekselvirkninger ikke er signifikante. Dette kan man som der vises i det følgende udnytte til at reducere antallet af delforsøg kraftigt. 79

86 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg 6. NOMENKLATUR Faktorerne omdøbes til A, B, C osv. og de antages alle på niveauer, et højt niveau og et lavt niveau En særdeles bekvem notation er følgende: (1): Alle faktorer er på lavt niveau a: A på højt niveau, alle andre på lavt niveau. b: B på højt niveau, alle andre på lavt niveau. ab: A og B på højt niveau, alle andre på lavt niveau. c: C på højt niveau, alle andre på lavt niveau. ac: A og C på højt niveau, alle andre på lavt niveau osv. Nomenklaturen anvendes i en dobbelt betydning, idet eksempelvis a også betyder forsøgsresultaterne med denne behandling. Faktorerne A, B, C... på lavt niveau benævnes A 1, B 1, C 1... og på højt niveau A, B, C... Nomenklatur og formler anskueliggøres i følgende eksempel. Eksempel faktorforsøg. Ved et fuldstændigt randomiseret laboratorieforsøg undersøgtes, hvorledes udbyttet af en nitreringsproces, hvis resultat ( i udbytteprocenter) indgår i en fabrikation af farvestoffer, afhænger af 3 faktorer Lav Høj A: Den tilføjede salpetersyre kold varm B: Omrøringstiden kort lang C: Resteffekt Renset beholder før delforsøget urenset beholder Forsøgsresultaterne fremgår af følgende skema, hvor også nomenklatur og gennemsnit er anført. C 1 (renset beholder) C (urenset beholder) gennemsnit B 1 (kort) B (lang) B 1 (kort) B (lang) A 1 (kold) (1) 87. b 8.0 c 86.7 bc A (varm) a 88.4 ab 83.0 ac 89. abc a) Angiv faktor A s hovedvirkning og tegn den b) Angiv vekselvirkningen BC og tegn den Løsning (håndregning) Hovedvirkning Ved A s hovedvirkning forstås effekten af en ændring ud fra gennemsnitsniveauet til niveauet, når A er på højt niveau. Et estimat (skøn) for A s hovedvirkning er i eksempel 6.4 ~ A = =0.65. (se figuren). ~ Bemærk: Et estimat for A skrives kort osv. (der sættes A 80

87 6. Nomenklatur en tilde over bogstavet). B og C s hovedvirkning defineres analogt (B s virkning når B er på højt niveau og C s virkning når C er på højt niveau). Vekselvirkning: Lad os betragte vekselvirkningen AB. Vi har AB = = , AB 1 = = AB 1 = = AB 1 1 = = Tegnes forbindelseslinierne (se figuren) ses, at linierne ikke er parallelle (da ). Hældning på B linie = = 1.3 Hældning på B 1 linie = = Vekselvirkningen AB = = SAS.jmp og andre statistikprogrammer tegner disse figurer, som gør det lettere at tolke eksempelvis vekselvirkninger Generelle formler for hoved- og vekselvirkninger Fortegnsmatrix: Et vigtigt hjælpemiddel er de såkaldte fortegnsmatricer: Disse er opbygget således, at 1) A, B og C søjlerne har +, hvis det til faktoren svarende lille bogstav indgår, ellers ) AB, AC, BC og ABC søjlerne er produktet af tilsvarende fortegn i hovedsøjlerne. I A B AB C AC BC ABC Resultat (1) a b ab c ac bc abc For at beregne A s virkning betragtes søjlen under A. Tælleren er så netop tallene i venstre kolonne med det dertil svarende fortegn. ~ () a b ab c ac bc abc Eksempel : A = (nævner er det totale antal delforsøg). 3 ~ A = = = AB = = =

88 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Det ses, at vi får værdierne fra før. Resultaterne kan generaliseres til et vilkårligt antal faktorer. Programmet mol1() i appendix 6.1 beregner såvel virkningerne som varianserne. Det samme gælder SAS.JMP. 6.3 Definitionsrelationer og aliasrelationer. Lad os indledningsvis som eksempel betragte et fuldstændigt - faktorforsøg. Fortegnsmatricen for et sådant forsøg er I A B AB (1) + + a + + b + + ab Ved man, at vekselvirkningen AB er nul, kan man benytte fortegnssøjlen for AB til beregning af et estimat for en ny faktor C. Faktor C kan indføres i den fuldstændige -faktorstruktur på en måde, som vi betegner C = AB. Ved denne lader vi faktor C indgå på sit høje niveau i en behandling, når der i fortegnsmatricen for den fuldstændige - faktorstruktur er et + i AB-søjlen, og vi lader faktor C indgå i behandlingen på sit lave niveau, når der er et minus (se følgende skema). I A B AB C=AB (1) a + + b + + ab Mad 3 faktorer skulle vi normalt have udført 3 = 8 forsøg, I ovenstående skema kan vi se, at netop halvdelen af alle behandlingerne i en fuldstændig 3 - faktorstruktur udføres. Den fremkomne partielle 3 - faktorstruktur kaldes derfor for en 1 -faktorstruktur. 3 Vi opskriver nu i en fortegnsmatrix samtlige virkninger Fortegnssøjlerne bestemmes analogt med tidligere: I A-, B- og C - søjlerne sættes + eller - eftersom det tilsvarende lille bogstav indgår i behandlingsnotationen eller ikke gør det. De øvrige søjler udfyldes efter produktregelen, hvor eksempelvis fortegnene i ABC - søjlen fås ved produkt af fortegnene i A-, B- og C-søjlerne. Underliggende struktur Behandlinger I A B AB C=AB AC BC ABC (1) c a a b b ab abc

89 6.3 Definitionsrelationer og aliasrelationer Af fortegnsmatricen ses, at der følger en række relationer mellem fortegnssøjlerne, som symbolsk kan skrives: A = BC B = AC C = AB I = ABC Det kan vises, at dette betyder, at vi ingen mulighed har for at estimere virkning ABC, og at de linearkombinationer, der benyttes til estimation af virkningerne A, B og C, i virkeligheden estimerer summer af virkninger: A+BC, B+AC og C+AB. Vi benytter den terminologi, at A og BC er hinandens aliaser, B og AC er hinandens aliaser, og at C og AB er hinandens aliaser. Vi siger også, at virkningerne er sammenblandede, og at aliasrelationerne er A = BC, B = AC og C = AB. Vi kalder endvidere I=ABC for den partielle faktorstrukturs definitionsrelation. Vi kunne i stedet have sat C = -AB, dvs. at vi lader C-søjlen være AB - søjlen med modsat fortegn. Det giver følgende fortegnsskema Underliggende struktur Behandlinger I A B AB C = - AB AC BC ABC a ac b bc ab ab Analogt med før ses, at der symbolsk gælder en række relationer: A = - BC B = - AC C = - AB I = -ABC I dette tilfælde er I=-ABC den partielle faktorstrukturs definitionsrelation. Vi kan af relationerne se, at hvis faktoren C vekselvirker med de oprindelige faktorer A og B, så kan vi ikke estimere A og B rent, da de er sammenblandede med disse vekselvirkninger. Da vi naturligvis ønsker at kunne estimere faktorerne, så er den ovenstående forsøgsplan kun acceptabel, hvis alle -faktorvekselvirkninger på forhånd kan antages at være 0. Produktregler Ved betragtning af fortegnssøjlerne i den tilsvarende fortegnsmatrix indses let, at der for multiplikation af fortegnssøjler gælder en række simple "produktregler", hvoraf vi eksempelvis med let forståelig symbolik anfører: A A = B B = C C = I, I A = A I = A, (dvs I svarer til tallet 1 ved normal multiplikation) AB = A B = B A ABC = A B C = B A C = C A B osv. Ved benyttelse af disse produktregler fås aliasrelationerne umiddelbart ud fra definitionsrelationen I=ABC: Ved multiplikation med A: A = BC. Ved multiplikation med B: B = AC Ved multiplikation med C: C = AB. Omvendt kan definitionsrelationen fås ud fra en vilkårlig aliasrelation ved en multiplikation, f.eks. fås ud fra C=AB ved multiplikation med C: I=ABC. 83

90 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Foranstående mønster kan generaliseres, og der kan udarbejdes en fortegnsmatrix for enhver k -faktorstruktur. 6.4 Planlægning af et partielt forsøg Et partielt k faktorforsøg kan opdeles i tre faser 1) Planlægning: Angivelse af hvilke forsøg der skal laves. ) Udførelse: Forsøgene udføres randomiseret 3) Beregning: Beregne P-værdier, angive faktorer med signifikante virkninger, evt. hvilke niveauer faktorerne skal indstilles på for at give maksimal virkning. Vi vil i dette afsnit give et par eksempler på hvorledes man planlægger et partielt forsøg ud fra givne oplysninger, mens vi i afsnit 6.5 vil vise hvorledes man udfører beregningerne. Eksempel 6.5. Planlægning af et partielt k faktorforsøg Virkningerne af 4 faktorer A, B, C og D ønskes undersøgt ved anvendelse af færrest mulige delforsøg. Man kan ikke på forhånd udelukke, at faktoren A vekselvirker med faktorerne B og C, mens det anses for udelukket, at der kan forekomme andre vekselvirkninger. Opstil en forsøgsplan, og angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, og relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Antal frihedsgrader til error (forsøgsfejlens varians) Løsning: a) Der skal undersøges virkningerne af A, B, C, D, AB og AC, dvs. i alt 6 virkninger Man kan derfor muligvis nøjes med at lave 8 delforsøg, dvs. vi vil udføre et partielt 1 4 faktorforsøg, da et sådant forsøg jo har 7 frihedsgrader. Der er dermed 1 frihedsgrad til error. Vi opskriver samtlige hoved- og vekselvirkninger i den underliggende fuldstændige 3 struktur, og sætter x ved de virkninger man foreløbig skal undersøge A B AB C AC BC ABC Beslaglagt virkning x x x x x Derefter indsættes faktoren D i modellen. Sættes D = ABC ses, at AB = DC og AC = BD. Da DC og BD antages at være forsvindende, kan AB og AC estimeres rent. (En anden mulighed var at sætte D = BC, hvilket gav B = CD og C = BD, hvilket også er i orden.) 84

91 Tabellen nedenfor angiver relationen hvormed D er indført. 6.4 Planlægning af partielt forsøg A B AB C AC BC ABC = D Beslaglagt virkning x x x x x b) De behandlinger (forsøg der skal laves) bestemmes af følgende fortegnsskema: A B C D=ABC (1) (1) a + + ad b + + bd ab + + ab c + + cd ac + + ac bc + + bc abc abcd En kontrol er, at alle faktorer skal være 4 gange på højt og 4 gange på lavt niveau. Forsøgene udgøres nu ( randomiseret) efter denne plan. Har man ved lodtrækning fundet, at man først skal lave forsøget ad, så laves altså et forsøg med faktorerne A og D på højt niveau og B og C på lavt niveau. c) Antal frihedsgrader til error : 1 Eksempel 6.6 Konstruktion af forsøgsplan Virkningerne af 7 faktorer T 1, T, T 3, T 4, T 5,T 6 og T 7 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man kan ikke på forhånd udelukke, at faktoren T 6 har -faktorvekselvirkninger med faktorerne T, T 3 og T 4. Endvidere kan faktoren T også tænkes at have -faktorvekselvirkninger med faktorerne T 3 og T 4. Endelig er det ikke utænkelig, at T 5 vekselvirker med T 7. Alle andre vekselvirkninger kan derimod anses for udelukket. Opstil en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg, og angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, samt relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Antal frihedsgrader til error (forsøgsfejlens varians) Løsning a) Den underliggende struktur skal altid indeholde de faktorer, som har flest mulige vekselvirkninger med andre. T 6 og T indgår i 3 vekselvirkninger, T 3 og T 4 indgår i vekselvirkninger mens T 5 og T 7 indgår i 1 vekselvirkning Den mest aktive faktor benævnes med A, den næstmest aktive med B osv. 85

92 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Vi foretager følgelig følgende omdøbning: A = T 6, B = T, C = T 3, D = T 4, E = T 5, F =T 7 og G = T 1. Der skal i alt estimeres 7 hovedvirkninger og 6 vekselvirkninger AB, AC, AD, BC, BD, EF. Disse 13 virkninger kan muligvis estimeres ud fra en underliggende 4 faktorstruktur, da 13 < Vi prøver derfor om det er muligt at konstruere en - faktorstruktur. 7 3 Der opskrives samtlige hoved- og vekselvirkninger i den underliggende fuldstændige 4 - faktorstruktur. Beslaglagt virkning Beslaglagt virkning D A AD B BD AB ABD C CD AC ACD BC BCD ABC ABCD I skemaet er med markeret de beslaglagte virkninger, dvs. virkninger som kan være forskellig fra 0. Vi skal nu indføre E og F så EF ikke er beslaglagt. Efter at have prøvet forskellige kombinationer fandtes, at sættes E = ABC og F = CD er EF = ABD, som ikke er beslaglagt (ses ved, at EF = ABCCD=ABD) Resultatet kan samles i tabellen Beslaglagt virkning Beslaglagt virkning D A AD B BD AB ABD=EF C CD = F AC ACD BC BCD ABC=E ABCD = G 1 Vi har dermed vist, at en - faktorstruktur med ovenstående struktur kan benyttes til 7 3 testning af de mulige hoved- og -faktorvekselvirkninger. 86

93 6.5 Beregning af partielt forsøg b) Strukturens behandlinger bliver Underliggende struktur A B C D E=ABC F=CD G=ABCD Behandlinger (1) + + fg a aef b bef ab abfg c + + ce ac acg bc bcg abc abce d + d ad adeg bd bdef abd abd cd cdefg acd acdf bcd bcdf abcd abcdefg c) Da der i alt skal estimeres 7 hovedvirkninger og 6 vekselvirkninger er der = frihedsgrader til error 6.5 Beregning af et partielt forsøg Planlægningen af et partielt forsøg må foretages manuelt, mens den talmæssige beregning af P-værdier osv. sædvanligvis er så omfattende, at man vil benytte et statistikprogram hertil. I afsnit 6.7 er anført et lille program til TI89, som kan beregne virkninger og SS = s. SAS.JMP kan ligeledes foretage beregningerne. Eksempel 6.7. Beregning af et partielt k faktorforsøg (fortsættelse af eksempel 6.5) Virkningerne af 4 faktorer A, B, C og D ønskes undersøgt ved anvendelse af færrest mulige delforsøg. Man kan ikke på forhånd udelukke, at faktoren A vekselvirker med faktorerne B og C, mens det anses for udelukket, at der kan forekomme andre vekselvirkninger. I eksempel 6.5 udarbejdede man en forsøgsplan. Denne blev anvendt, forsøgene blev udført (randomiseret) Forsøgsresultaterne opført i standardrækkefølge er indsat i nedenstående skema 87

94 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg A B C D=ABC (1) (1) 65.0 a + + ad 30.0 b + + bd 10.0 ab + + ab 85.0 c + + cd 5.0 ac + + ac 80.0 bc + + bc 40.0 abc abcd 60.0 a) Foretag beregningerne, og angiv hvilke faktorer, der har en signifikant virkning. b) Angiv de niveauer faktorerne skal indstilles på, hvis man ønsker det største resultat. c) Beregn et estimat for største middelværdi og angiv et 95% konfidensinterval herfor. Løsning: a) TI89 Resultaterne indtastes i Stat/list i liste a i standardorden (for at undgå eksakte tal vælg i mode approximate) I HOME skrives mol1( ). Enter k = 3 Enter (da den grundlæggende struktur er 3 ) I Stat/list fås liste ss= SAK =s (liste b med virkninger benyttes senere) a ss=sak=s (1) 65 a 30 A= b 10 B= 3.15 ab 85 AB= c 5 C= 8.15 ac 80 AC= bc 40 BC= 3.15 abc 60 D=ABC= 68.1 Vi får nu følgende variansanalysetabel, hvor vi først kun interesserer os for vekselvirkningerne Faktor SAK=SS f s = F= s P-værdi SAK f s error A B C AB P(F>5)=FCdf(5,,1,1)=0.044 AC P(F>49)=FCdf(49,,1,1)= D=ABC BC=error Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at med et signifikansniveau på 5% forkastes H 0 : AC = 0 (svagt), mens AC ikke har nogen signifikant virkning. Vi kan altså foreløbig konkludere, at A og B har en virkning i form af en vekselvirkning. 88

95 Vi vil nu undersøge om C og D skulle have en hovedvirkning. AC pooles ned i Error, og man får Faktor SAK=SS= t 3 f s = SAK f F= s s error 6.5 Beregning af partielt forsøg P-værdi A B C må være over 0.5 da F < 1 AB D=AB P(F>33.65)=FCdf(0,33.64,1,)=0.085 C Error = Total Af P-værdierne ses, at H 0 : D = 0 forkastes (stærkt), men C ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: D har en hovedvirkning, A og B har en virkning i form af en vekselvirkning, og C har ingen virkning c) Vi ser nu på de relevante virkningerne a b=virkning (1) a 30 A= b 10 B= ab 85 AB= c 5 C= ac 80 AC= bc 40 BC= abc 60 D=ABC= Da D har en negativ virkning, må D sættes på lavt niveau for at få det største resultat. Da A har en stor positiv virkning, må A skulle sættes på højt niveau. Da AB også har stor positiv virkning, mens B er lille og negativ, må det give det største resultat, at sætte A på højt niveau og B på højt niveau.. d) Største middeludbytte: µ ab =(1)+A+B+AB-D= (-18.13)=90.63 For at finde radius r kon i 95% konfidensinterval skal først poole C ned SAK pool = = s pool = = med 3 frihedsgrader 3 ms pool Radius rkon = t0. 975) ( f pool ), n hvor m er antal virkninger der indgår i µ ab, dvs 5, og n er det totale antal forsøg, dvs r kon = t =19.7. () 8 95% konfidensinterval: [ ; ] = [70.91 ; ] 89

96 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg SAS-JMP: a) Doe Screening Design Factors, Skriv 4 ved level Catagorical ADD ændre navnene fra x1, x... til A, B,... Continue Vælg 8 Run, Fractional Factorial (uden blokke) Continue I Changing Generating Rules kunne man ændre planen, men da planen er meget simpel passer planen. Apply Vi får planen, og ser den opfylder kravene (ingen betydende virkninger er sammenblandet) Vi går til Output Options Make Tabel Der fremkommer en tabel som skal udfyldes. Den er randomiseret, således at man nu blot kan udføre forsøgene i den rækkefølge der står I vort tilfælde indsætter vi de opgivne tal Pattern A B C D Y L1 L1 L1 L L L L1 L L L1 L L L1 L L L L L1 L1 L L1 L L1 L L1 L1 L L L L L L 60 Rød pil i tabel ved Model Run Script Run Under Emphasis vælg Minimal report (for at slippe for en masse udskrifter Under Construct Model Effects slettes vekselvirkningen AD Run Efter at have trykket på passende røde pile fås følgende: Response Y Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , ,458 75,6667 Error 1 3,150 3,15 Prob > F C. Total ,8750 0,0461* Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 49,375 0,65 79,00 0,0081* A[L1] -14,375 0,65-3,00 0,077* B[L1] 0,65 0,65 1,00 0,5000 C[L1] -1,875 0,65-3,00 0,048 D[L1] 18,15 0,65 9,00 0,019* A[L1]*B[L1] 9,375 0,65 15,00 0,044* A[L1]*C[L1] 4,375 0,65 7,00 0,0903 Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F A ,150 59,0000 0,077* B 1 1 3,150 1,0000 0,5000 C 1 1 8,150 9,0000 0,048 D , ,0000 0,019* A*B ,150 5,0000 0,044* A*C ,150 49,0000 0,0903 Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at med et signifikansniveau på 5% forkastes H 0 : AC = 0 (svagt), mens AC ikke har nogen signifikant virkning. Vi kan altså foreløbig konkludere, at A og B har en virkning i form af en vekselvirkning. AC pooles ned i Error : Rød pil ved Response Y Model Dialog slet AC Run 90

97 6.5 Beregning af partielt forsøg Vi får nu følgende udskrift Response Y Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , ,13 1,8400 Error 156,500 78,13 Prob > F C. Total ,8750 0,0738 Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 49,375 3,15 15,80 0,0040* A[L1] -14,375 3,15-4,60 0,044* B[L1] 0,65 3,15 0,0 0,8600 C[L1] -1,875 3,15-0,60 0,6094 D[L1] 18,15 3,15 5,80 0,085* A[L1]*B[L1] 9,375 3,15 3,00 0,0955 Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F A ,150 1,1600 0,044* B 1 1 3,150 0,0400 0,8600 C 1 1 8,150 0,3600 0,6094 D ,150 33,6400 0,085* A*B ,150 9,0000 0,0955 Af P-værdierne ses, at H 0 : D = 0 forkastes (stærkt), men C ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: D har en hovedvirkning, A og B har en virkning i form af en vekselvirkning, og C har ingen virkning b) Hovedvirkningen C pooles ned i Error :Rød pil ved Response Y Model Dialog Under Prediction Profiles vælges Interaction Profiler (slet evt. markør ved Desirability Functions ) Prediction Profiler 80 Y 63,15 ±19, Interaction Profiles L1 L1 A L L1 L1 B L L1 L1 D L Y Y Y A L1 L L1 L B L L1 L1 L D L L1 L1 L A B D L1 L L1 L L1 L 91

98 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Det største resultat fås ved at vælge faktoren D på lavt niveau (L1) ( ses under Prediction Profiles ). ved at vælge A på højt niveau og B på højt niveau (ses under interaction profiles, ses bl.a. på tegning ved siden af A og over B ) c) Indstilles Prediction profiles på disse niveauer (eksempelvis ved at rykke de røde stiplede linier) fås følgende figur 80 Y 90,65 ±19, L1 L A L L1 L B L Heraf aflæses, at den største værdi er og 95% konfidensinterval: [ ; ] = [70.91 ; ] L1 L1 D L Eksempel 6.8. Beregning af partiel faktorforsøg Virkningerne af 7 faktorer ønskedes undersøgt ved et partielt faktorforsøg. Om 3 af faktorerne kunne forudsættes, at kun hovedvirkninger kunne være forskellige fra nul, medens for de 4 øvrige også -faktorvekselvirkninger eventuelt kunne være forskellige fra nul. De 4 sidste faktorer identificeredes derfor med bogstaverne A,B,C og D og de 3 første med bogstaverne E,F og G. 1 Der udførtes et fuldstændigt randomiseret forsøg med en - faktorstruktur, hvor denne sidste 8 7 er fremkommet ved, at faktorerne E,F og G indførtes i en fuldstændig 4 - faktorstruktur med faktorerne A,B,C og D ved relationerne: E = ABC F = BCD G = ABCD Behandlingerne anføres i standardrækkefølge efter A,B, C og D, og uden gentagelser, var følgende: a) Find, hvilke faktorer, der har virkning b) Find de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det største resultat. c) Angiv et estimat for dette største middelresultat, og angiv et 95% Konfidensinterval herfor. Løsning Vi skal finde hovedvirkningerne + vekselvirkningerne AB, AC, AD, BC, BD, CD Ti89 a) Resultaterne indtastes i Stat/list i liste a i standardorden I HOME skrives mol1( ). Enter k = 4 Enter I Stat/list fås to lister b og ss. Vi anvender først ss-listen 9

99 6.5 Beregning af partielt forsøg a ss=sak=s (1) 15.3 a 18.4 A= b 6.1 B= ab 6.3 AB= c 13.5 C= ac 15.7 AC= bc 18.8 BC= abc 17.3 E=ABC d 1 D= ad.3 AD bd 18.9 BD.6406 abd 15.5 ABD cd 9.6 CD acd 10.5 ACD bcd 3.1 F=BCD abcd 5 G=ABCD.6406 Vi tester først om der er vekselvirkning, dvs. vi danner følgende variansanalysetabel, hvor vi har poolet de to ledige ABD og ACD ned i Error Faktor SAK=SS f s = F= s P-værdi SAK f AB >0.05 AC <1 >0.05 BC P(F>19.49)=FCdf(19.49,,1,)= AD <1 >0.05 BD >0.05 CD P(F>3.9463)=FCdf(3.95,,1,)=0.185 Error = Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at med et signifikansniveau på 5% forkastes H 0 : BC = 0 (svagt), mens de øvrige ikke har nogen signifikant virkning. Vi kan altså foreløbig konkludere, at B og C har en virkning i form af en vekselvirkning. Vi vil nu undersøge om A, D, E, F og G skulle have en hovedvirkning. AB, AC, AD, BD og CD pooles ned i Error, og man får Faktor SAK=SS f s F P-værdi A <1 B C D <1 E=ABC <1 F=BCD P(F>46.5)=FCdf(46.5,,1,7)= G=ABCD <1 BC Error s error 93

100 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Af P-værdierne ses, at H 0 : F = 0 forkastes (stærkt), mens de øvrige faktorer ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: F har en hovedvirkning, B og C har en virkning i form af en vekselvirkning, de øvrige faktorer har ingen signifikant virkning b) Vi ser nu på de signifikante virkninger.(kolonne b) a b (1) a 18.4 A= b 6.1 B=.7938 ab 6.3 AB= c 13.5 C= ac 15.7 AC= bc 18.8 BC= abc 17.3 E=ABC d 1 D= ad.3 AD bd 18.9 BD abd 15.5 ABD cd 9.6 CD acd 10.5 ACD bcd 3.1 F=BCD abcd 5 G=ABCD Da F har en positiv virkning, må F sættes på højt niveau for at få det største resultat. B har den største numeriske virkning, C den næststørste (numerisk) og BC den mindste. Da B er positiv og C er negativ, må vi have, at den største virkning er B-C-BC (da fortegnet for BC jo er bestemt af fortegnene for B og C. Konklusionen er, at B må sættes på højt niveau og C på lavt niveau. c) Største middelværdi af resultat µ bf =(1)+B-C-BC +F= (-1.894) =4.74 For at finde radius r kon i 95% konfidensinterval skal først poole A, D, E,G ned SAK pool = = = = med 11 frihedsgrader ms pool. )( pool ) t k ( 11) Radius r = t f = kon = s pool 95% konfidensinterval: [ ; ] =[.79 ; 6.69] d) Hvilke kombinationer af faktorer giver højest middelværdi (hører ikke til opgaven) 39. Diameter i konfidensinterval er 1.95 = 3.9 og i LSD interval = 76. Det er klart, at F skal på højt niveau, da en ændring til lavt niveau ændrer middelværdien med 3.03=6 > 3.9 µ bcf =(1)+B+C+BC +F= (-1.894) =4.09 =(1)-B-C+BC +F= (-1.894) = µ f µ cf =(1)-B+C-BC +F= (-1.894) =15.37 Konklusion: F på højt niveau, og alle andre kombinationer end B lavt og C højt. 94

101 6.5 Beregning af partielt forsøg SAS:JMP a) Doe Screening Design Factors, Skriv 7 ved level Catagorical ADD ændre navnene fra x1, x... til A, B,... Continue Vælg 16 Run, Fractional Factorial (uden blokke) Continue Vi ser nu følgende forslag til struktur (efter at have valgt nedenfor nævnte boks) Display and Modify Design Change Generating Rules Factors E F G A X X B X X C X X D X X X Skemaet skal læses E = BCD, F = ACD, G = ABD I Changing Generating Rules ændres nu planen ved at sætte passende krydser. Apply Vi får planen Display and Modify Design Change Generating Rules Factors E F G A X X B X X X C X X X D X X Aliasing of Effects Effects Aliases A = F*G D = E*G E = D*G F = A*G G = A*F = D*E A*B = C*E A*C = B*E A*D = E*F A*E = B*C = D*F B*D = C*F B*F = C*D Det ses, at planen opfylder kravene, idet vi dog skal flytte BC og CD frem Vi går til Output Options Make Tabel Der fremkommer en tabel som skal udfyldes (se nedenfor) Under Emphasis vælg Minimal report (for at slippe for en masse udskrifter Rød pil i tabel ved Design Model Edit Vi flytter nu BC og CD frem ved at skrive B*C fremfor A*E og C*D fremfor B*F. samt sletter de to sidste vekselvirkninger BG og CG Run Vi er nu tilbage ved Model Specifikation, hvor vi ses, at den endelige model stemmer For at kunne udfylde tabellen er vi nødt til at finde ud af behandlingerne 95

102 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Underliggende struktur A B C D E=ABC F=BCD G=ABCD Behandlinger (1) + g 15.3 a + + ae 18.4 b bef 6.1 ab abfg 6.3 c cef 13.5 ac acfg 15.7 bc bcg 18.8 abc abce 17.3 d + + df 1.0 ad adefg.3 bd bdeg 18.9 abd abd 15.5 cd cdeg 9.6 acd acd 10.5 bcd bcdf 3.1 abcd abcdefg 5 Tabellen udfyldes Pattern A B C D E F G Y L1 L1 L1 L1 L1 L1 L 15, L L1 L1 L1 L L1 L1 18, L1 L1 L L L L1 L 9, L1 L L1 L L L1 L 18, L L L L L L L L L1 L1 L L L L, L L L1 L1 L1 L L 6, L1 L L L1 L1 L1 L 18, L1 L1 L L1 L L L1 13, L L L1 L L1 L1 L1 15, L L L L1 L L1 L1 17, L1 L1 L1 L L1 L L L L1 L L1 L1 L L 15, L1 L L L L1 L L1 3, L L1 L L L1 L1 L1 10, L1 L L1 L1 L L L1 6,1 Rød pil i tabel ved Design Model Run Script I Emphasis vælg minimal report Run Blandt mange andre udskrifter fås følgende tabeller: Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , ,464 15,0579 Error 4,0415,006 Prob > F C. Total , ,0639 Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F A 1 1 1,3806 0,6833 0,4954 B , ,8030 0,0158* C , ,3975 0,0335* D 1 1 1, ,9357 0,4354 E 1 1 1,5006 0,747 0,

103 6.5 Beregning af partielt forsøg Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F F , ,3588 0,0134* G 1 1, ,3068 0,3714 A*B 1 1 6,6306 3,815 0,118 A*C 1 1 0,3306 0,1636 0,750 A*D 1 1 0,6806 0,3368 0,603 B*C , ,4869 0,0477* B*D 1 1, ,3068 0,3714 C*D 1 1 7, ,9496 0,185 Heraf ses, at BC er den eneste signifikante vekselvirkning. De øvrige vekselvirkninger pooles ned i Error, ved at slette dem i Design Model Edit Run Run Vi får nu følgende udskrift Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model 8 377, , ,8007 Error 7, ,1863 Prob > F C. Total , ,0010* Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F A 1 1 1,3806 0,4333 0,5314 B , ,195 0,0004* C , ,0083 0,0038* D 1 1 1, ,5934 0,4663 E 1 1 1,5006 0,4710 0,5146 F , ,507 0,000* G 1 1, ,887 0,399 B*C , ,3576 0,0098* Heraf ses, at også F har en signifikant virkning. Konklusion: B, C og F har en virkning B og C i form af en vekselvirkning b) De øvrige hovedvirkninger pooles ned i Error Vælg derefter minimal Report, Run Rød pil ved Response Y Factor Profile vælg Interaction Plots og Profiler Under Prediction Profiler slet kryds ved Desirability Functions Interaction Profiles Af interaction Profiles ses, at man skal vælge C på højt niveau (vigtigt) og B på højt niveau 97

104 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Prediction Profiler Af Prediction profiles ses, at man skal vælge F på højt niveau. c) Rød pil ved Prediction Profiler, Confidence Intervals Placer de røde streger på figuren Y 4,74375 ±, L1 L B L L1 L1 C L L1 L F L Det ses, at den største middelværdi er 4.74, og et 95% konfidensinterval er [ ; ] = [.7 ; 6.76] 6.6 KONFUNDERING AF BLOKKE Blokke dannes som bekendt for at forminske støjen. Eksempelvis kan det være nødvendigt af tidsmæssige grunde at benytte to ovne ved forsøget, og den ene ovn er af ældre dato, tager længere tid at varme op, og man kan derfor risikere, at forsøgsresultaterne generelt er lavere end et tilsvarende forsøg i den anden ovn. Man kan så lave fuldstændige blokke, dvs. alle behandlinger skal være repræsenteret i begge blokke. Uden en sådan balance er det klart ikke muligt at give en fair vurdering af behandlingerne. Imidlertid koster det jo mange forsøg, idet eksempelvis blokke jo så kræver, at alle behandlinger skal udføres gange. Skal antal delforsøg reduceres, er det derfor væsentligt, at have en metode til at lave lave balancerede ufuldstændige blokke. Efter nogenlunde samme teknik som ved indførelsen af faktorer i partielle forsøg, kan dette lade sig gøre. Man siger så, at man har konfunderet blokkene i strukturen. Metoden vises i de følgende to eksempler Eksempel 6.9. Konstruktion af et konfunderet partielt forsøg. Virkningerne af 5 faktorer T 1, T, T 3, T 4 og T 5 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man ved at ingen af faktorerne T og T 4 vekselvirker med andre faktorer. Man er nødt til at lave et blokforsøg, med 4 forsøgsenheder i hver blok. Opstil en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg Løsning: Den underliggende struktur skal altid indeholde de faktorer, som har flest mulige vekselvirkninger med andre. Dette er i dette tilfælde T 1, T 3 og T 5. 98

105 Konfundering af blokke Den mest aktive faktor med A, og de øvrige med B, C osv. Vi foretager følgelig følgende omdøbning: A = T 1, B = T 3, C = T 5, D = T og E = T 4. Der skal i alt estimeres 5 hovedvirkninger og 3 vekselvirkninger AB, AC, BC. Da blokkene er på 4 delforsøg, må vi så også indlægge 4 blokke. Dette koster 3 frihedsgrader, dvs. i alt = 11 frihedsgrader. 1 Vi prøver derfor om det er muligt at konstruere en konfunderet - faktorstruktur. 5 Vi indfører nu eksempelvis den nye faktor E ved aliasrelationen E = ABCD (som jo ikke er beslaglagt).endvidere konfunderer vi ABD og CD (og dermed også ABC). Vi opskriver den beskrevne struktur i følgende skema: x = Beslaglagt virkning k = konfunderet virkning A x AD B x BD AB x ABD k C x CD k AC x ACD BC x BCD ABC k ABCD=E x Vi har dermed vist, at ovenstående model kan anvendes. D x = Beslaglagt virkning k = konfunderet virkning x Eksempel Beregning af et konfunderet partielt 5-1 faktorforsøg Virkningen af 5 faktorer A, B, C, D og E ønskes undersøgt. Man ved, at ingen af faktorerne D og E vekselvirker med andre faktorer. Da man kun kan udføre 4 forsøg pr apparat, indføres blokke på 4 forsøgsenheder. I en fuldstændig 4 struktur med faktorerne A, B, C og D indføres E = ABCD. Endvidere indføres blokkene ved at konfundere ABD og CD. Her vælges (tilfældigt) fortegnene ++ til blok til blok osv. Forsøgsplanen (opskrevet på sædvanlig måde i standardorden ) og forsøgsresultaterne er: A B C D E=ABCD behandlinger ABD CD Blokke Resultat (1) + e a + a b + b ab abe c + c 4 10 ac ace + 14 bc bce + 6 abc abc 4 17 d + d + 11 ad ade 4 14 bd bde 4 7 abd abd + 14 cd cde acd acd bcd bcd abcd abcde

106 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg a) Find hvilke faktorer der har virkning b) Angiv de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det største middelresultat. Løsning TI89 a) Resultaterne indtastes i Stat/list i liste a i standardorden I HOME skrives mol1( ). Enter k = 4 Enter I Stat/list fås to lister b og ss. Vi anvender først ss-listen a ss=sak=s (1) 9 a 16 A= 90.5 b 11 B= 0.5 ab 13 AB= 1.00 c 10 C= 6.5 ac 14 AC= 0.0 bc 6 BC= 4 abc 17 ABC* 0.5 d 11 D= 9.0 ad 14 AD 6.5 bd 7 BD 1.5 abd 14 ABD* 4 cd 9 CD*.5 acd 16 ACD 9 bcd 8 BCD 4 abcd 5 E=ABCD 4.5 Vi danner nu en variansanalysetabel, hvor vi pooler de tre SS for blokvirkning sammen og pooler de fire ledige AD, BD, ACD og BCD ned i Error Faktor SAK=SS f s = F= s SAK f s error P-værdi blok = <1 AB <1 >0.05 AC <1 >0.05 BC <1 >0.05 Error = Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at der ikke er nogen signifikante vekselvirkninger 100

107 6.6 Konfundering af blokke Vi vil nu undersøge om A, B, C, D og E skulle have en hovedvirkning. AB, AC, BC pooles ned i Error, og man får Faktor SAK=SS f s F P-værdi Blok A P(F>17.308)=FCdf(17.308,,1,7)=0.004 B P(F>17.308)=FCdf(17.308,,1,7)= C >0.05 D >0.05 E=ABCD P(F>8.1074)=FCdf(8.1074,,1,7)=0.048 Error = Af P-værdierne ses, at H 0 : A = 0 forkastes (stærkt), og H 0 : E = 0 forkastes, mens de øvrige faktorer ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: A og E har en hovedvirkning de øvrige faktorer har ingen signifikant virkning b) Vi ser nu på de signifikante virkninger.(kolonne b) b 11.5 A=.375 E= Da A har en positiv virkning og E en negativ virkning, må A sættes på højt niveau og E på lavt niveau for at få det største resultat. Løsning:SAS.JMP a) Doe Screening Design Factors, Skriv 5 ved Catagorical ADD ændre navnene fra x1, x... til A, B,... Continue Vælg 16 Run, Fractional Factorial (med 4 blokke) Continue Vi får en udskrift Vælg Change Generating Rules Vi ændrer nu planen ved at sætte og fjerne passende krydser i overensstemmelse med ovenstående plan. Apply Change Generating Rules Factors E Block Block A X X B X X C X X D X X X Aliasing of Effects Effects Aliases Block Aliases C*D = Block C*E = Block D*E = Block Vi ser planen stemmer Output Options Randomize within blocks. Make Tabel Der udskrives nu en tabel, efter hvilken rækkefølgen af forsøgene er bestemt (randomiseret) Vi indsætter nu forsøgsresultaterne: Bloknumrene svarer ikke til dem vi indførte, men da man jo ikke er interesseret i hvilke blokke der er bedst, er det ligegyldigt. Eksempelvis svarer SAS blok 1 til vor nr 4 101

108 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Pattern Block A B C D E Y L1 L1 L L1 L L1 L L1 L L L L L L1 L L L1 L1 L L L1 L1 L1 L L L1 L L L1 L L L1 L L1 L L L L1 L L L1 L1 L1 L1 L L L1 L L L L L L1 L1 L L1 L L L L L1 L1 L L L L L1 L1 L1 L L1 L L1 L1 L L L L L L 5 Analyse af data (variansanalyse) Rød pil i tabel ved Design,Model Edit I den fremkomne tabel fjernes nu alle de vekselvirkninger, man mener der er 0. Rød pil i tabel ved Design,Model Run Script Man ser nu den endelige model. Run model Vi får bl.a. følgende udskrift. Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , ,318,07 Error 4 31, ,8750 Prob > F C. Total 15 11, ,516 Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 11,5 0, ,04 <,0001* A,375 0, ,39 0,076* B -1,15 0, ,60 0,1841 C -0,65 0, ,89 0,433 D -0,75 0, ,07 0,3453 E -1,65 0, ,3 0,0815 Block[1] 0,75 1, ,6 0,5705 Block[] 0 1, ,00 1,0000 Block[3] 0,5 1, ,1 0,8470 A*B -0,5 0, ,36 0,7396 A*C 0 0, ,00 1 B*C -0,5 0, ,71 0,5154 Det ses, at alle vekselvirkninger er 0. De pooles væk. Marker dem under Model Specification og vælg Remove Run Model Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 11,5 0, ,71 <,0001* A,375 0, ,16 0,004* B -1,15 0, ,97 0,0894 C -0,65 0, ,09 0,3098 D -0,75 0, ,31 0,303 E -1,65 0, ,85 0,048* Block[1] 0,75 0, ,76 0,479 Block[] 0 0, ,00 1,0000 Block[3] 0,5 0, ,5 0,8077 Konklusion: A og E har en virkning 10

109 6.7 Sekventiel forsøgsstrategi b) Beregning af estimat for optimal værdi samt konfidensintervaller B, C og D pooles ned i error hvorved vi får den endelige model. Derefter Rød pil ved Response Y Factor Profiling Profiler Rød pil ved Prediction Profiler Der fremkommer en figur hvoraf man ser, at A skal på højt niveau, og E skal på lavt niveau for at give det største middelværdi Sættes tallene under figurerne til ovennævnte niveauer fås følgende figur, hvoraf man kan se, at største middelværdi er Det har imidlertid ikke så megen mening, da tallet jo afhænger af blokkene Man ser iøvrigt af udskrifterne at blokkene ikke har haft nogen betydning. Y 16 ±3, L1 L A L L1 L1 E L 1 1 Block SEKVENTIEL FORSØGSSTRATEGI I en række situationer vil man selv med partielle k - faktorforsøg og med rimelige forhåndsforudsætninger om hvilke vekselvirkninger der er nul få mange behandlinger og dermed mange delforsøg. Er delforsøgene dyre og budgettet begrænset, kan man prøve at formindske antallet ved at udføre færre forsøg end nødvendigt til at estimere alle virkninger, og dog håbe at nå et fornuftigt resultat. Man sammenblander eksempelvis to vekselvirkninger AB=CD uden at vide om en af dem er 0. Hvis man så opdager at den sammenblandede faktor AB+CD ikke er signifikant, så vil den enkleste model være, at ingen af dem har en virkning. Det behøver naturligvis ikke at være tilfældet, men det er en erfaring, at man ofte kan få en korrekt fortolkning af forsøgsresultaterne ved at vælge den, som giver den enkleste model. (den simpleste models princip). 103

110 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg 6.8 OVERSIGT OVER FREMGANGSMÅDE VED PARTIELT k FAK- TORFORSØG. 1) Faktorerne omdøbes, så den faktor der indgår i flest -faktorvekselvirninger kaldes A, næstflest kaldes B osv. ) Antallet af faktorer og -faktorvekselvirkninger, der ønskes testet, optælles. Lad antallet være t. 3) t < 7 : Start med en 4-1 faktorstruktur (8 delforsøg) 7 t < 15: Start med en 5-1 faktorstruktur (16 delforsøg) osv. 4) Den grundlæggende struktur opskrives, og man markerer hvilke af disse der skal undersøges 5) De resterende faktorer indføres, idet man opskriver aliasstrukturerne, og dermed sikrer, at der ikke sker sammenblanding af virkninger. Er det ikke muligt at undgå, må man fordoble antallet af forsøg (eksempelvis gå fra 8 til 16 forsøg). 6) Behandlingerne bestemmes ved at lave et fortegnsskema (kontrol: Alle faktorer skal være lige mange gange på højt og lavt niveau) 7) Forsøgene udføres (randomiseret) I opgaver bliver de opgivet, ofte i standardorden 8) Beregningerne foretages via TI89 eller SAS.JMP (se eksempel 6.6, 6.7, 6.8) 104

111 6.8 Oversigt over fremgangsmåde ved partiel k -faktorforsøg 6.9 TI89-PROGRAM TIL BEREGNING AF k - FAKTORFORSØG. Forberedelser: Var Link F1 Create Folder PRO1 Opret en folder (mappe) til program navn PRO1 Mode Current Folder Vælg PRO1 som mappe APPS Stat/List kald tre liste a, b og ss Var Link Pro1 F4 marker list 1- list6 og slet Opretter 3 lister med navnene a, b og ss Slet eventuelt de øvrige lister Program Ordrer Kommentarer APPS Program editor New Oprette et program.navnet kan man selv vælge I menu vælges Type= Program Variabel= mol1 Der fremkommer en skabelon, hvor ordrer indtastes mellem Prgm og END program F3: Dialog, Request Indtast k,k Skriv mellem. ENTER Efter hver linie trykkes på ENTER, så næste linie starter med : Under udførelsen bliver man bedt om k i k expr(k) STO k expr findes i Catalog, Omdanner tekst til tal ^k STO m STO findes på tastatur F: For i,1,m a[i] STO c[i] a[i] STO d[i] EndFOR 1 STO n LBL top LBL findes i Catalog F: If n<k+1then If... Then... ENDIF Der skrives ordrer mellem delene For i,1,m-1, Udregner hjæpestørrelser og placerer dem i liste d c[i]+c[i+1] STO d[(i+1)/] c[i+1]- c[i] STO d[(i+m+1)/] ENDFOR For i,1,m d[i] STO c[i] EndFOR n+1 STO n Goto TOP Goto findes i Catalog EndIf For i,1,m c[i]/m STO b[i] c[i]^/m STO ss[i] EndFOR EndPrgm Programudførelse Indtast tallene fra opgaven i liste a i standardrækkefølge (Efter at have lavet forsøgsplan) I HOME skrives mol1() ENTER Man bliver nu bedt om at indtaste k Hvis et 3 faktorforsøg, så indtast 3 Programmet svarer Done Nu ligger estimaterne i b og SAK=SS = s (da frihedsgraderne er 1 i ss). 105

112 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg OPGAVER Opgave 6.1 Som led i en serie forsøg med henblik på optimering af styrken af et plastprodukt ønskedes ved et fuldstændigt 4 faktorforsøg virkningen af følgende faktorer undersøgt: Lavt niveau Højt niveau A: Materialetype Type 1 Type B: Fabrikationsmetode Metode 1 Metode C: Kemisk farvestof Ikke tilsat Tilsat D:Opbevaring Kort tid Lang tid Ved forsøget måltes styrken af produktet Forsøgsplan og forsøgsresultater (kodede tal) var følgende (i randomiseret rækkefølge): a b ab bcd ac bc -1 ad abc acd bd c cd abd abcd d Det forudsættes, at kun hovedvirkninger og -faktorvekselvirkninger kan være forskellig fra nul. a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Bestem, idet man ønsker den størst mulige middelværdi, de(n) optimale kombination(er) af de 4 faktorers niveauer. Opgave 6. Udbyttet ved en biokemisk fabrikation kunne tænkes at afhænge af, om der blev tilsat en bestemt stabilisator (faktor A), om der blev tilsat et bestemt konserveringsmiddel (faktor B), hvilken syre der blev tilsat (faktor C) for at opnå den for fabrikationsprocessen nødvendige surhedsgrad, samt af driftstemperaturen (faktor D). Faktorniveauerne var A: Ingen stabilisator (lavt niveau) Stabilisator (højt niveau) B: Intet konserveringsmiddel (lavt niveau) Konserveringsmiddel (højt niveau) C: Syrekoncentration (lavt niveau) Syrekoncentration (højt niveau) D: Temperatur (lavt niveau) Temperatur (højt niveau) Forsøgsplanen var et fuldstændig randomiseret 4 faktorforsøg uden gentagelser. Forsøgsresultaterne (% udbytte) var følgende (i randomiseringsrækkefølge): (1) c 5.94 ab ad 4.0 d 4.3 ac 4.9 abd bc.54 a 9.06 b 35.1 abcd acd cd 6.85 bd 1.13 bcd 7.38 abc 3.34 a) a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Angiv de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det største middeludbytte. c) Angiv et estimat og et 95% konfidensinterval for dette største middeludbytte. 106

113 Opgaver til kapitel 6 Opgave 6.3 Virkningerne af 6 faktorer T 1, T, T 3, T 4, T 5 og T 6 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man kan på forhånd udelukkes, at faktorerne T 4 og T 5 vekselvirker indbyrdes eller med de andre faktorer. Derimod skal det være muligt at teste alle øvrige -faktorvekselvirkninger, ligesom alle 6 hovedvirkninger skal kunne testes. Foretag en hensigtsmæssig omdøbning til A, B osv. og opstil derefter en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg. Angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, og relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Angiv antal frihedsgrader for forsøgsfejlen (error) Opgave 6.4. Virkningen af 8 faktorer T 1,T, T 3, T 4, T 5, T 6, T 7,T 8 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Det vides på forhånd, at faktoren T muligvis vekselvirker med faktorerne T 1, T 3 og T 7 samt at T 4 muligvis vekselvirker mad T 7. Alle andre vekselvirkninger er 0. Foretag en hensigtsmæssig omdøbning til A, B osv. og opstil en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg. Angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, samt relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur. b) Forsøgets behandlinger c) Angiv frihedsgraden for forsøgsfejlen (error) Opgave 6.5 Virkningen af 5 faktorer A, B, C, D og E, som ikke vekselvirker, skal undersøges ved et fuldstændigt randomiseret forsøg. Faktorerne D og E indføres ved aliasrelationerne D = ABC og E = BC. Forsøgsresultaterne (opskrevet på sædvanlig måde i standardorden) er: a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Angiv de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det mindste middeludbytte, og angiv et 95% konfidensinterval for dette middeludbytte. 107

114 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Opgave 6.6. Virkningen af 5 faktorer A, B, C, D og E påtænkes undersøgt ved et fuldstændigt randomiseret forsøg med en partikulær k faktorstruktur. Det antages, at bortset fra hovedvirkninger, kan der kun tænkes at forekomme -faktor vekselvirkningerne AC og BC. Da der skal estimeres 7 virkninger, ville man normalt være nødt til at 5-1 faktorforsøg, men da vi fra tidligere forsøg har kendskab til forsøgsfejlens spredning: σ,, nøjes man med at udføre et 5- faktorforsøg med aliasrelationerne D = AB og E = ABC. Opstillet i standardrækkefølge (efter den underliggende fuldstændige faktorstruktur i faktorerne A, B og C) er forsøgsresultaterne på responsvariablen Y: d 77. ae 84.4 be 80.9 abd 70.3 cde 75. ac 75.0 bc 6.1 abcde 86.7 a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Bestem, idet man ønsker den størst mulige middelværdi, de(n) optimale kombination(er) af de 4 faktorers niveauer. Opgave 6.7 Virkningerne af 6 faktorer T 1, T, T 3, T 4, T 5 og T 6 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man har kun råd til at lave 16 delforsøg, og det er af tidsmæssige grunde nødvendigt at arbejde med 4 blokke på 4 forsøgsenheder. Det vides at kun hovedvirkninger og - faktorvekselvirkningerne T 4 T 1, T 4 T, T 4 T 3 og T 4 T 5 kan være forskellig fra nul. Foretag en hensigtsmæssig omdøbning til A, B osv. og opstil derefter en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg. Angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, samt relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Angiv antal frihedsgrader for forsøgsfejlen (error) Opgave 6.8 Virkningen af 6 faktorer A, B, C, D, E og F ønskes undersøgt. Man ved, at ingen af faktorerne vekselvirker med andre faktorer. Da man kun kan udføre 4 forsøg pr. apparat, indføres blokke på 4 forsøgsenheder. I en fuldstændig 4 struktur med faktorerne A, B, C og D indføres E = ABCD og F = ACD. Endvidere indføres blokkene ved at konfundere ABC og CD. Opstillet i standardrækkefølge (efter den underliggende fuldstændige faktorstruktur i faktorerne A, B, C og D) er forsøgsresultaterne på responsvariablen Y: a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Bestem, idet man ønsker den størst mulige middelværdi, de(n) optimale kombination(er) af de 4 faktorers niveauer. 108

115 7.1 Indledning 7. ENKELT REGRESSIONSANALYSE 7.1 INDLEDNING I dette kapitel betragtes forsøg, hvor man har målt sammenhørende værdier af to kvantitative variable. Det følgende eksempel demonstrerer et sådant tilfælde. Eksempel 7.1. I et spinderi udtrykkes garnets kvalitet bl.a. ved en norm for den forventede trækstyrke. Kvaliteten anses således for at være i orden, hvis middeltrækstyrken mindst er lig med 10 måleenheder (me). Ved uldgarn opfylder garnets naturlige trækstyrke ikke det nævnte kvalitetskrav, hvorfor der tilsættes en vis mængde kunstfibre, hvilket forøger trækstyrken. Herved sker der dog det, at andre kvalitetsegenskaber, såsom elasticitet og isoleringsevne, forringes. Man har eksperimenteret med forskellige tilsatte mængder kunstfibre x og registreret garnets trækstyrke y ved disse forskellige mængder. Herved fremkom følgende observationsmateriale: Mængde x (i gram) af kunstfibre pr. kg uld Trækstyrke (me): Y Mængden af kunstfibre x er blevet bestemt på forhånd (har fået ganske bestemte værdier), så den er ikke en statistisk variabel. Trækstyrken Y synes derimod udover mængden af kunstfibre også at være påvirket af andre ukendte og ukontrollable støjfaktorer. Y må derfor opfattes som en statistisk variabel. I andre situationer er både X og Y statistiske variable. Dette gælder eksempelvis, hvis man ønsker at undersøge om der er en sammenhæng mellem personers højde Y og vægt X, og derfor for en række personer måler sammenhørende værdier af højde og vægt. Målet med en regressionsanalyse er at finde en funktionssammenhæng mellem den uafhængige variabel y og de afhængige variable. I eksempel 7.1 ville man umiddelbart sige, at da man har 15 punktpar, så vil et polynomium af fjortende grad y = a14 x + a13x a1x + a0 gå igennem alle punkter, og det må derfor være en god model. Dette er imidlertid ikke tilfældet, da y - værdierne jo er resultater af forsøg der er påvirket af ukontrollable støjkilder. Polynomiets koefficienter vil derfor afspejle disse tilfældige udsving, og det giver derfor en ganske meningsløs model. Endvidere er modellen alt for matematisk kompliceret til at kunne bruges i praksis. Vi søger derfor i regressionsanalysen en enklere model, som tager rimeligt hensyn til støjen ved målingerne. Er den ene variabel som i eksempel 7.1 en (kontrolleret) ikke statistisk variabel, så har man mulighed for hver x- værdi, at foretage gentagne målinger af den statistiske variabel Y (randomiseret). Dette giver mulighed for at beregne et estimat for den spredning der skyldes støjen, hvilket (som det vises i afsnit 7..3) kan udnyttes ved testning af den foreslåede model. 109

116 7. Regressionsanalyse Lineær model. Ved en lineær model forstås her en model, der er lineær med hensyn til parametrene. Eksempelvis er såvel funktionen y = f ( x) = a+ bx+ cx som y = g( P, T) = a+ b P+ c T lineære i de 3 parametre a, b og c. Som et eksempel på en model der ikke er lineær i parametrene kan nævnes y = a + bx c. Vi vil i dette kapitel betragte det ved anvendelserne meget ofte forekomne tilfælde, som kaldes enkelt regressionsanalyse, og hvor modellen er lineær i parametre, eller kan gøres lineær ved en passende transformation.. Som eksempler herpå kan nævnes y = a + bxog ln y = a + b ln x. 7.. BESTEMMELSE AF REGRESSIONSLIGNING Vi betragter igen eksempel 7.1 Regressionslinie og regressionskoefficienter. Afsættes de målte punktpar ( x 1, y i ) i et koordinatsystem for at få et overblik over forløbet, fås følgende tegning: 1,5 Plot of styrke vs kunstfibre 10,5 styrke 8,5 6,5 4, kunstfibre Punkterne ligger ikke eksakt på en ret linie, men det synes rimeligt at antage, at afvigelserne fra en ret linie kan forklares ved den tilfældige variation (støjen). Derfor er det nærliggende at antage, at middelværdien af den statistiske variable Y er en lineær funktion af x af formen EYx ( )= β + β x. (1) 0 1 EYx ( ) skal læses middelværdien af Y for fastholdt x. Vi vil i det følgende ofte i ligningen (1) kort skrive Y eller µ fremfor EYx ( ). koefficienten β 1 kaldes regressionskoefficienterne. Ligning (1) kaldes regressionsligningen (eller den teoretiske regressionsligning), grafen kaldes for regressionslinien (eller den teoretiske regressionslinie), og konstantledet og hældningsβ 0 110

117 7. Bestemmelse af regressionsligning Mens middelværdien af Y ligger på regressionslinien, kan den aktuelle observerede værdi af Y ikke forventes at ligge på den. For et punktpar ( x 1, y i ) gælder derfor, at yi = β0 + β1xi + εi, hvor ε i kaldes den i te residual. Bestemmelse af regressionslinien ved mindste kvadraters metode. På basis af en række sammenhørende værdier af x og y bestemmes estimater 0 $β og β1 $ for regressionskoefficienterne β 0 og β 1 ved mindste kvadraters metode. Værdierne β0 $ og 1 $β kaldes de empiriske regressionskoefficienter. Kan det ikke misforstås, så kort blot regressionskoefficienterne. Det følgende eksempel viser metoden anvendt på et lille taleksempel. Man benytter hertil et matrixprogram. De angivne metoder kan umiddelbart generaliseres til mere komplicerede eksempler. Eksempel 7.. Bestemmelse af regressionskoefficienter ved mindste kvadraters metode. I et medicinsk forsøg måles på en forsøgsperson sammenhørende værdier af en bestemt medicin i blodet (i %) og reaktionstiden. Resultaterne var: x y Bestem ved mindste kvadraters metode et estimat for regressionslinien. Residual. Ved et punkts residual til en linie forstås den lodrette afstand fra punktet til linien (se tegningen). På figur 7.1 er afsat de 5 punkter, og indtegnet en ret linie. Figur 7.1 Residualer Mindste Kvadraters metode. Regressionslinien y$ = $ β $ 0 + β1x bestemmes som den af alle mulige rette linier, for hvilket summen af kvadratet af residualerne til linien er mindst. I eksempel 7. er kvadratsummen r1 + r + r3 + r4 + r5. Løsningen af dette optimeringsproblem er angivet nedenfor (med petit). 111

118 7. Regressionsanalyse Bestemmelse af regressionsligningen ved mindste kvadraters metode LØSNING: I vort tilfælde hvor vi har 5 punkter, indsættes vi disse i ligningen y$ = $ β $ 0 + β1x. Dette giver: = $ β0 + $ β1 1, 1= $ β0 + $ β1, 4= $ β0 + $ β1 3, 9= $ β0 + $ β1 6, 7= $ β0 + $ β1 8. De 5 ligninger med ubekendte β0 og $ β1 kan i matrixnotation skrives: Y = X B hvor Y = X = og B = $ β 0 4, 1 3 $ β De søgte værdier af $ β0 og $ β1 findes som den løsning til dette overbestemte ligningssystem som giver den mindste RMS - fejl. Løsningen er (se evt. Matematik for ingeniører bind 3 eller Matricer og lineære ligninger afsnit 10) bestemt ved løsningen B X T = ( X) X Y. I vort taleksempel er 1 1 B = = Regressionsligningen bliver følgelig y$ = x 1 I praksis vil man benytte et færdigt program til bestemmelse af regressionskoefficienterne. Dataene indtastes enten i et statistikprogram som SAS-JMP, eller i en lommeregner med regressionsprogram som TI VURDERING AF OM REGRESSIONSLIGNING BESKRIVER DATA GODT. Vi vil i dette afsnit se på det tilfælde, hvor der for hver x - værdi kun er målt én y - værdi. Det er altid muligt ved mindste kvadraters metode at finde en sådan mindste kvadraters linie. Det betyder ikke nødvendigvis, at linien så også er en rimelig model, som kan anvendes til at beskrive sammenhængen. Til vurdering heraf vil man 1) se på en tegning. Mindste kvadraters linie tegnes i et koordinatsystem sammen med punkterne. Hvis den lineære model beskriver dataene godt, skal punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien I mere komplicerede tilfælde, er det nødvendigt i stedet at afsætte residualerne (i et såkaldt residualplot). Residualerne bør så fordele sig tilfældigt omkring den vandrette 0 - linie 11

119 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt ) Se på størrelsen af forklaringsgraden r (også kaldet determinationskoefficient). Den angiver et talmæssigt mål for hvor tæt punkterne ligger på linien. Sædvanligvis finder man, at den fundne model på tilfredsstillende måde beskriver data, hvis forklaringsgraden er på over 70% samtidig med, at tegningen viser, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring den fundne regressionskurve. Selv om forklaringsgraden er lav, kan der dog godt være en vis afhængighed mellem de to variable. Eksempelvis, hvis man måler sammenhørende værdier af højde og vægt for alle værnepligtige mænd, vil forklaringsgraden være lav (under 50%). Ser man på den såkaldte korrelationskoefficient ρ vil den dog være positiv. Hvis det ved en test viser sig at være signifikant større end 0 (svarer til at man tester om liniens hældningskoefficient er større end 0), har vi vist, at i middel vil der gælde, at jo højere man er jo mere vil man i middel veje. Målepunkterne ligger imidlertid så spredt, at dette blot afspejler en tendens. Man kan ikke benytte regressionslinien til at forudsige noget med blot en rimelig sikkerhed. 3) Undersøge om der er outliers. Outliers er en betegnelse for enkelte målinger som afviger så kraftigt fra den almindelige tendens, at det kan skyldes fejlmålinger. Sådanne punkter kan i uheldige tilfælde på grund af et stort bidrag til residualsummen få regressionslinien til at dreje. Det er dog klart, at man ikke blot kan stryge sådanne ubehagelige punkter. Det må kun ske, hvis man er sikker på, at punktet skyldes en fejl af en eller anden art ved målingen. Definition og beregning af forklaringsgrad. I praksis vil lade en lommeregner eller en PC med et statistikprogram beregne de enkelte statistiske størrelser. Ved tolkningen af de fremkomne størrelser vil en anskuelig forståelse af størrelserne dog være nyttig. I det følgende vil vi derfor definere nogle fundamentale definitioner, og søge at anskueliggøre dem dels på figur 7.3 dels ved at foretage beregningeren på tallene i eksempel 7.. Figur 7.3. SAK - størrelser 113

120 7. Regressionsanalyse Definitioner: SAK total = sum af kvadrater af residualerne til den vandrette linie y = y Data i eksempel 7. giver: y = = De 5 punkters residualer til den vandrette linie y = y. r = 46. = 6., r = = 36., r = = 06., r = = 44., r = = SAK total = r1 + r + + r5 = = Vi får SAK residual = sum af kvadrater på de enkelte punkters afstand fra den fundne regressionslinie. Af eksempel 7. fås følgende residualer til den fundne regressionslinie y = x: r1 = ( ) = 04., r = 1 ( ) = 16., r3 = 4 ( ) = 04., r = 9 ( ) = 4., r = 7 ( ) = SAK residual = r + r r5 = ( 16. ) ( 16. ) = 11. SAK model = sum af kvadrater af regressionsliniens afstand fra det totale gennemsnit y. Af eksempel 7. fås residualerne for regressionslinien y = x s afstand fra det totale gennemsnit y =4.6. r1 = = 30., r = = 0., r3 = = 10., r4 = = 0., r5 = = 40.. SAK model = r1 + r r5 = ( 30.) + ( 0.) + ( 10.) = 34 Der gælder generelt, at SAK total = SAK residual + SAK model (jævnfør, at 45. = ) Forklaringsgraden r er bestemt ved SAK r model SAK total SAK residual SAK residual = = = 1 ( r ) SAK SAK SAK 34 = = total total total Anskuelig forklaring: Ligger punkterne tæt ved linien, er residualerne små, og SAK residual lille. Nu er lille jo et relativt begreb, så man sammenligner med SAK total, dvs. med residualerne til den vandrette linie y = y. Hvis der ingen sammenhæng er mellem y- og x- værdierne (Y er uafhæn- gig af x) vil regressionslinien stille sig næsten vandret, dvs. y y. Måler man eksempelvis sammenhørende værdier af personers højde, og deres IQ (intelligenskvotient) vil man uden tvivl få en ret linie der er praktisk taget vandret, og en forklaringsgrad der ligger tæt på 0. SAKresidual Det betyder igen at SAK residual SAK total og dermed at r = 1 0. SAKtotal Hvis derimod der er en sammenhæng (Y er lineært afhængig af x ) vil regressionslinien have en hældning forskellig fra nul. Det betyder igen at SAK < < SAK. r 1 residual Heraf følger, at. Man siger også, at den fundne model forklarer r 100% af den totale variation I eksempel 7. forklarer den fundne model således 75.% af den totale variation. Transformation. Hvis man ikke finder, at en ret linie beskriver data godt nok, så er det jo muligt, at en anden kurve bedre beskriver sammenhængen. Eksempelvis er det jo velkendt fra matematikken, at graferne for eksponentialfunktioner og potensfunktioner ved en passende logaritmisk transformation kan blive til rette linier. Det giver naturligvis lidt mere komplicerede regninger, men statistikprogrammer og også en del lommeregnere kan dog let foretage en regressionsanalyse også i sådanne tilfælde. I eksempel 7.5 er et sådant eksempel gennemgået. total 114

121 1,5 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt At man ikke alene kan stole på forklaringsgraden illustreres ved følgende eksempel. Eksempel 7.3.Grafisk vurdering af model. De følgende 4 figurer afspejler forskellige muligheder. Plot of Fitted Model 10,5 styrke 8,5 6,5 4, kunstfibre Figur 7.a: r = r = 91.9% Figur 7.b: r = 0.96 r =9.6% Figur 7.c: r = 0.78 r = 7.73% Figur 7.d: r = 0.9 r = 5.4% I figur 7.a synes den lineære model at kunne beskrive dataene godt, idet punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien, og forklaringsgraden r = 91.9% er høj. I figur 7.b er forklaringsgraden også høj, og punkterne ligger da også tæt ved linien. Imidlertid ligger punkterne ikke tilfældigt omkring linien. Yderpunkterne ligger over og de midterste punkter under linien, så det er næppe rimeligt at anvende en ret linie som model. I stedet kunne man overveje en eksponentialfunktion eller et andengradspolynomium. I figur 7.c er regressionslinien er næsten vandret, og forklaringsgraden ringe. En test må afgøre om hældningen er signifikant forskellig fra 0. Er dette ikke tilfældet, er der ingen relation mellem x og y (de er uafhængige)y. Er x og y uafhængige vil punkterne fordele sig tilfældigt omkring gennemsnitslinien y = y, og forklaringsgraden være 0. I figur 7.d er forklaringsgraden også lille, men alligevel må vi antage at der er en sammenhæng mellem x og y. Den er blot ikke lineær, men muligvis en parabel. 115

122 7. Regressionsanalyse Sammenhæng mellem korrelationskoefficient og forklaringsgrad. Hvis både X og Y er normalfordelte statistiske variable (som eksempelvis når man aflæser sammenhørende værdier af højde og vægt for en række personer) angiver korrelationskoefficienten ρ en størrelse mellem -1 og 1 som kan anvendes til at angive, om der er en sammenhæng (korrelation) mellem X og Y. Er korrelationskoefficienten positiv har punkterne en voksende tendens, hvis den er negativ har de en aftagende tendens. Et estimat for ρ er størrelsen r. Kvadreres den er r den samme som forklaringsgraden. Ekstrapolation. Selv om modellen synes på tilfredsstillende måde at beskrive data, så er det jo faktisk kun sikkert indenfor måleområdet. Man skal være yderst forsigtig med at ekstrapolere, dvs. på basis af modellen for x - værdier udenfor måleområdet beregne hvad y er. Årsagssammenhæng. Selv om man finder, at der er en sammenhæng mellem x og y, er det ikke sikkert, at der er en årsagssammenhæng. Der findes en god korrelation mellem antallet af storke i Sønderjylland i 1930-erne og antallet af børnefødsler (de faldt begge i samme takt), men det ene er nok ikke årsagen til det andet. Man kender det også fra sammenhængen mellem kræft og tobaksrygning, hvor der i mange år var en diskussion om der ene bevirkede det andet, eller om det var en hel tredie faktor, der fik antallet af lungekræft til at stige. Eksempel 7.4 Vurdering af model Tilsætning af en vis mængde kunstfibre forøger et garns trækstyrke. Man har eksperimenteret med forskellige tilsatte mængder kunstfibre x og registreret garnets trækstyrke y ved disse forskellige mængder. Herved fremkom følgende observationsmateriale: Mængde x (i gram) af kunstfibre p. kg uld Trækstyrke : Y ) Find r og anvend denne samt en figur på lommeregnerens grafiske display eller residualer- nes fortegn til vurdering af modellen. ) Opskriv regressionsligningen. Løsning TI89 1) APPS STAT/LIST x-værdier indtastes i list1, og y-værdier indtastes i list F4, 3:Regressions lin reg ax+b Udfyld lister Da vi ønsker at tegne regressionslinien så StoreReqn to: y1(x), ENTER, Der fremkommer konstanterne a = , b = og = Man kan nu tegne linien ved at vælge GRAPH. Vi ønsker imidlertid punkterne tegnet med, så vi vælger ESC, F: Plots,,1: Plot Setup,F1: Define, Behold Scatter og Box, indsæt listerne, ENTER, ENTER, F5 Linien vises sammen med punkterne. r 116

123 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt Tegningen på lommeregnerens display viser, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien. Da lommeregnerens display er lille kan man ofte ikke rigtig se om punkterne fordeler sig tilfældigt om linien. I stedet kan man tegne et residualplot F: Plots, 1: Plot Setup F1: Define Behold Scatter og Box indsæt list1,og RESID (findes under VAR-LInk i folderen STATVARS ) ENTER F5 Hvis man ikke har mulighed for at vise tegningen kan man (hvis x-værdierne står i stigende rækkefølge) betragte fortegnet for residualerne, som står i sidste kolonne under navnet resid. Fortegnene er , dvs. de fordeler sig rimelig tilfældigt på begge sider af linien. Outliers: Af tegningen ses, at ingen af punkterne afviger kraftigt fra linien. En mere sikker metode er de såkaldte Studentized Residuals Vælg F6 MultRegTtest udfylder menu Enter Nu dukker en række nye lister op, og sresid er Studentized Residuals Hvis ingen af disse transformerede residualer numerisk er større end 3 (det er tilladt, at nogle få er større end ) er der ingen outliers. Vi ser, at ingen er større end, så konklusionen er, at der ikke er nogen outliers. Da forklaringsgraden er tæt på 1, punkterne fordeler sig tilfældigt om linie, og der ikke er nogen outliers er den lineære model acceptabel. ) Regressionskoefficienterne ses i den ovennævnte udskrift eller ved at vælge Y= hvoraf man finder y = x Løsning:SAS.JMP 1) Data indtastes kunstfibre styrke 40 4,5 50 6,5 osv. Man kan ved analysen vælge modeller, enten fit Y by X som giver en forholdsvis simpel og overskuelig analyse, eller Fit model som er nødvendig ved mere specielle analyser. 1) Vælg Analyze Fit Y by X markér Styrke og tryk på Y Response markér kunstfibre og tryk på X Factor OK Der fremkommer et scatterplot, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Rød pil vælg fra rullemenuen Fit Line. Der fremkommer så følgende tegning og udskrift: 117

124 7. Regressionsanalyse Bivariate Fit of Styrke By Kunstfibre Linear Fit Styrke = 1, , Kunstfibre Summary of Fit RSquare 0, RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 0, Mean of Response 8, Observations (or Sum Wgts) 15 Af udskriften ses, at forklaringsgraden RSquare er 91,93 %., hvilket er tilfredsstillende, da modellen altså forklarer 91,93% af variationen. Af figuren ses, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien. Outliers. Af ovenstående figur ses, at der næppe er nogen outliers (punkter der afviger så kraftigt fra det generelle billede, at man kunne frygte de var fejlmålinger). En undersøgelse af om der er outliers er vigtigt. En (lidt usikker) metode er, at få tegnet såkaldte 95% predikationskurver, og se om praktisk taget alle punkter ligger indenfor disse. Rød pil under tegningen ved linear fit vælg Confid. Curves indv Det resulterer i følgende figur Bivariate Fit of Styrke By Kunstfibre Styrke Kunstfibre Da alle punkter ligger indenfor grænserne, tyder det ikke på, at der er outliers. En lidt sikrere metode er, at lade SAS-JMP beregne såkaldte Studentized Residuals, som tager i betragtning, at spredningen er mindre ved midtpunktet end langt fra det. 118

125 7.4 Test og bestemmelse af konfidensintervaller Vælg Analyze Fit model markér Styrke og tryk på Y markér kunstfibre og tryk ADD I Emphasis vælg Minimal Report (for at begrænse udskrifterne) Run Vi får tegninger og udskrifter nogenlunde magen til før. Rød pil vælg Save Columns Studentized residuals Der bliver nu tilføjet en ekstra kolonne til data Kunsfibre Styrke Studentized resid styrke 40 4,5-0, ,5 1, ,4-1, , , 1, , ,1-1, ,9 0, , -1, ,3 1, ,6-0, ,8 0, ,5-0, , -0, , Heraf fremgår, at da ingen Studentized Residuals, numerisk er større end 3 (det er tilladt, at nogle få er større end ) er der ingen outliers. Et residualplot ( tegning af de sædvanlige residualer) kan ses nederst, og af den kan man (måske lettere) se at residualerne, og dermed at punkterne, fordeler sig tilfældigt omkring linien. Konklusion: Modellen synes tilstrækkelig godt at beskrive data indenfor måleområdet. 7.4 TEST OG KONFIDENSINTERVALLER De foregående betragtninger kræver ingen statistiske forudsætninger, idet man jo altid ved mindste kvadraters metode kan beregne regressionskoefficienterne, beregne forklaringsgrad, tegne kurver og punkter ind i et koordinatsystem og så herfra vurdere om modellen er acceptabel. Forudsætninger for regressionsanalyse. Ønsker vi at foretage en nøjere statistisk analyse som eksempelvis at teste om Y er uafhængig af x, dvs. af om β 1 = 0", eller opstille konfidensintervaller for β 1 må observationerne opfylde de samme krav som ved variansanalyser, dvs. 1) Uafhængige målinger: De enkelte observationer y i er indbyrdes uafhængige (eksempelvis hvis der udføres flere målinger for samme mængde medicin skal de være indbyrdes uafhængige, ligesom det også skal gælde målinger baseret på forskellige mængder medicin. Kravet kan opfyldes ved en hensigtsmæssig forsøgsplan. I eksempel 7. skal man således være sikker på at den foregående dosis medicin er ude af blodet inden man foretager en ny indsprøjtning, ligesom forsøgene skal være randomiseret. Man kan nok i dette tilfælde betvivle uafhængigheden, hvis man udfører forsøgene på samme person. ) Residualerne skal være rimelig normalfordelt. Analysen er robust overfor afvigelser, men er man i tvivl kan man indtegne residualerne på et normalfordelingsplot. 119

126 7. Regressionsanalyse 3) Varianshomogenitet. Variansen af residualerne (eller af Y) Y skal være den samme uafhængig af x s værdi. Igen er analysen robust overfor afvigelser, så man vil sædvanligvis nøjes med at se på et residualplot, og deraf se, ar residualerne fordeler sig jævnt uden store udsving. Test af om Y er uafhængig af x Lad os antage, at forudsætningerne er opfyldt, og at vi har fundet (ved at betragte tegning + forklaringsgrad og manglende outliers), at modellen EYx ( )= β0 + β1xgælder. Hvis Y er uafhængig af x betyder det, at regressionslinien er vandret, eller at hældningskoefficienten β 1 er 0. Vi får altså: H 0 :Y er uafhængig af x H : Regressionslinien er vandret H : β =. Metode 1: F - test Ifølge definitionen af SAK model angiver denne kvadratsummen af punkter på regressionsliniens afstand til det totale gennemsnit y (se side 117) Det er derfor klart, at hvis regressionslinien er næsten vandret, vil SAK model SAK residual SAKmodel SAK residuall Man kan vise, at smodel = har frihedsgraden 1 og sresidual = har frihedsgraden N -1 1 N 1 smodel Idet F model = kan vises, at en test for om linien er vandret er en sædvanlig F-test. s residual Metoden er forklaret mere udførligt i appendix 7.1. H 0 forkastes, hvis P - værdi = PF ( > Fmodel ) < α, hvor F model er F- fordelt med en tællerfrihedsgrad på 1 og en nævnerfrihedsgrad på N -. Metode. t - test. Metoden er forklaret mere udførligt i appendix 7.1. $β $ 1 β1 sresidual t = s s β = 1 β s 1 model Lad, hvor er et estimat for spredningen på. Det kan vises, at t et t - fordelt med N - frihedsgrader. H 0 forkastes, hvis P - værdi = PT ( > t) <α På tilsvarende måde kan man teste H 0 :β 1 0 og H 0 :β 1 0 ved ensidede test. Endvidere kan man analogt teste nulhypotesen H 0 : β = k hvor k er en konstant Konfidensintervaller og prædistinationsintervaller. Et led i analysen kan være, at udregne et 95% konfidensinterval for β 1. Endvidere vil man ofte være interesseret i en speciel værdi for x, for hvilken man ønsker beregnet såvel den tilsvarende forventede y - værdi (predicted value ) som et 95% -konfidensinterval for middelværdien ~ µ og et 95% prædistinationsinterval for én ny observation. β 1 10

127 7.4 Test og bestemmelse af konfidensintervaller Plot of Fitted Model På figur 7.4 er her tegnet 95% konfidensintervaller for middelværdierne (de inderste buede kurver), og 95% prædistinationsintervaller (de yderste to kurver). Man ser tydeligt, at konfidensintervallerne er smallest omkring centrum ( x, y). y x Figur 7.4. Konfidensintervaller og prædistinationsintervaller I appendix 7.1 er angivet formler for bl.a. disse konfidensintervaller. I eksempel 7.5 vises hvorledes man kan foretage beregningerne ved anvendelse af TI89 og SAS- JMP. Eksempel 7.5 (fortsættelse af eksempel 7.4) Test Tilsætning af en vis mængde kunstfibre forøger et garns trækstyrke. Man har eksperimenteret med forskellige tilsatte mængder kunstfibre x og registreret garnets trækstyrke y ved disse forskellige mængder. Herved fremkom følgende observationsmateriale: Mængde x (i gram) af kunstfibre p kg uld Trækstyrke : Y Det forudsættes, at forudsætningerne for regressionsanalyse er opfyldt. I eksempel 7.4 fandt man at ligningen y = x var en god model for data. 1) Test om y er uafhængig af x ) Find 95% konfidensinterval for hældningen β 3) Find den til x = 65 svarende værdi for y, samt et 95% konfidensinterval for y. 4) Find 95% prædistinationsinterval for 1 ny observation svarende til x - værdien 65. Løsning:TI89 1) H 0 :Y er uafhængig af x H0: Regressionslinien er vandret H0: β1 = 0. Da vi skal teste, vælges nu APPS STAT/LIST F6, A: Lin Reg T-Test menu udfyldes herunder Alternate Hyp= β& ρ 0 Vi får samme værdier af regressionskoefficienterne som i eksempel

128 7. Regressionsanalyse Endvidere ses, at P - værdi = 10 8 svarende til t = Da P - værdi < 0.05 forkastes H 0 :β = 0 (stærkt) Konklusion:. Y er ikke uafhængig af x. Andre udskrifter: df = f residual = 13,SE Slope = s ~ = β 1 ) 95% konfidensinterval for β 1 : F7: LinRegTInt: Udfyld menu bl.a Interval = Slope: Resultat: [0.0657; ] ~ Andre udskrifter der kan være af interesse: ME =radius i konfidensinterval for = ) Konfidensinterval for y svarende til x = 65: Som under punkt ) men Interval=Response, x Value = 65 y s værdi for x = 65: y_hat = 7.00, 95% konfidensinterval: [6.548 ; 7.456] Andre udskrifter der kan være af interesse:me = radius = , SE = s ~ µ = ) 95% Prædistinationsinterval for 1 ny observation svarende til x - værdien 65. Som under punkt 3. Se nederst i udskrift Resultat: [5.53 ; 8.474]. Løsning SAS.JMP Data er indtastet som i eksempel 7.4 1) H 0 :Y er uafhængig af x H0: Regressionslinien er vandret H0: β1 = 0. Vælg Analyze Fit model markér Styrke og tryk på Y markér kunstfibre og tryk på Add Run Der fremkommer så blandt andet følgende udskrift: Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model 1 6, , ,0919 Error 13 5, ,400 Prob > F C. Total 14 67, <,0001 Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 1, , ,13 0,0080 Kunstfibre 0, , ,17 <,0001 Det ses, ud for Model, at F - Ratio = og at P-value = (kan også ses ud for kunstfibre Heraf fås, at H 0 forkastes Y er ikke uafhængig af x. ) Konfidensinterval for hældningskoefficienten β 1 : Cursor placeres i tabel for Parameter Estimates, højre musetast Columns Lower 95% Upper 95% Man får bl.a. følgende tabel: Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Lower 95% Upper 95% Intercept 1, , ,13 0,0080 0, , Kunstfibre , <,0001* Heraf aflæses [ ; ] β 1 1

129 7.5 Transformation af data 3) 95% konfidensinterval for middeltrækstyrken svarende til x - værdien 65. rød pil ved Response, styrke vælg Factor Profiling Profiler sæt cursor på tallet i bunden og skriv 65 og aflæs 1 Styrke 7, ±0, x = 65 Y = Kunstfibre 95% konfidensinterval [ ; ]= [ ;. ] 4) Indsæt 65 nederst i x-kolonne i tabel rød pil ved response save Columns Individ Confidence Interval I tabel fremkommer nu prædistinationsintervaller [5.50 ; 8.47] Ønsker man at vurdere om forudsætningerne om normalitet og varianshomogenitet er opfyldt, gøres det på samme måde som beskrevet under ensidet variansanalyse 7.5. TRANSFORMATION AF DATA. Da man altid vil foretrække den simplest mulige model, er modellen y = ax+ b altid den, man starter med at anvende. Hvis man ser, at punkterne ikke ligger tilfældigt omkring linien, men dog synes at følge en krum kurve, så må man anvende en anden model. Blandt de oftest forekommende modeller er 1) Eksponentialmodellen y = a b x Tages logaritmen på begge sider fås ln( y) = ln( a) + ln( b) x som er en normal retlinet model, hvis man erstatter ln(y) med z ) Potensmodellen y = a x b Tages logaritmen på begge sider fås ln( y) = ln( a) + b ln( x) som er en normal retlinet model, hvis man erstatter ln(y) med z og ln(x) med v. 3) Logaritmemodellen y = a+ b ln( x) som er en normal retlinet model, hvis man erstatter ln(x) med v. Generelt gælder, at man så vidt mulig foretrækker modeller med kun parametre a og b (som (1), () og (3) ), fremfor modeller som eksempelvis andengradsmodellen y = ax + bx+ c der indeholder 3 parametre, da de mest stabile (set fra et statistisk synspunkt). I appendix 7.3 er angivet en liste med kommentarer over de mest almindelige transformationer. Har man på forhånd en viden om, at en bestemt transformation skal anvendes, kan man uden større besvær foretage den pågældende transformation på dataene og så udføre regressionsanalysen på de transformerede data, på samme måde som vist i eksempel

130 7. Regressionsanalyse Dette illustreres ved følgende eksempel. Eksempel 7.6. Valg mellem lineær og eksponentiel model I et forsøg undersøgtes et ventilationsanlægs effektivitet. Målingerne foretoges ved at fylde et lokale med gas og vente til koncentrationen var stabil. Herefter startedes ventilationsanlægget og gaskoncentrationen C t måltes til forskellige tidspunkter t. Følgende resultater fandtes: t (min. efter anlæggets start) C [ppm] Følgende modeller for funktioner overvejes: Model l (lineært henfald): C = a+ b t Mode1 (eksponentielt henfald): C = a e bt 1) Vurder hvilken model der er bedst. ) Opskriv regressionsligningen for den model du finder bedst. 3) Beregn ud fra den valgte model den værdi af C, for hvilken t = 1 minutter, og opskriv et 95% konfidensinterval for C. Løsning TI89: 1) APPS, STAT/LIST data indtastes i to tomme lister (kan eventuelt give dem navne som t og c) F4: Calc, 3. Regressions, 1:linReg(a+bx), Udfylder lister, Af udskriften fås umiddelbart =0.993 Endvidere tegner vi kurve og linie (sker som i eksempel 7.4) r Forklaringsgraden er høj, men punkterne ligger ikke tilfældigt om linien, så modellen kan næppe anvendes udenfor måleområdet. Vi kunne i stedet betragte residualernes fortegn: Vi gentager nu ovenstående, idet vi nu vælger ExpReg (eksponentialmodel) (PowerReg er potensmodellen) Bemærk, at det kan være klogt at slette Statsvar kataloget inden man begynder forfra, da gamle udskrifter kan forvirre. Af udskriften fås umiddelbart = r Af tegningen ses, at punkterne som forventet ligger tæt omkring kurven, og de ligger vist tilfældigt om kurven. 14

131 Da det kan være svært at se tegnes nu et residualplot 7.5 Transformation af data F: Plots, 1: Plot Setup F1: Define Behold Scatter og Box indsæt list1,og RESID (findes under VAR-LInk i folderen STATVARS ) F5 alternativt vælge Y = og slet alle andre markeringer end Plot1 GRAPH Gå ind i Windows og sæt fornuftige grænser Hvad man sætter grænserne til afhænger naturligvis af residualernes størrelse Det ses, at punkterne ligger tilfældigt omkring den vandrette linie, og der næppe er nogen outliers. Alternativt kan man betragte residualernes fortegn: Da forklaringsgraden er højere, og residualerne ligger tilfældigt omkring linien vælges model t ) Af udskriften ses, at modellen er C = ) Da vi nu skal til at beregne konfidensintervaller må vi transformere ligningen t C = a b ln( C) = ln( a) + ln( b) t Vi må nu danne en søjle for ln ( C) APPS, STAT/LIST en søjle navngives z F3:4:Attach list Formula udfyld Formula med ln(c) Formula Name = z ENTER F7: linregtinteg(a+bx), Udfylder lister med t og z Interval: Vælg Response x-value =1 Vi får y-hat =.807, dvs. for t = 1 er c = e. 807 = (Kontrol= Indsættes t = 1 i regressionsligningen fås det samme) e ; e = ; % konfidensinterval [ ] [ ] Løsning SAS.JMP: Data indtastes t c, ,59 8 6,75 6 osv. 1) Analyze Fit Y by X markér c og tryk på Y Response markér t og tryk på X Factor OK Der fremkommer et scatterplot, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Rød pil Fit line ok Der fremkommer følgende figur og udskrift: 15

132 7. Regressionsanalyse Bivariate Fit of c By t Linear Fit c = 33, ,710444*t Summary of Fit RSquare 0,9931 RSquare Adj 0,91914 Root Mean Square Error, Mean of Response 18,88889 Observations (or Sum Wgts) 9 Forklaringsgraden 91.9% er høj, men punkterne fordeler sig ikke jævnt om linien. Vi gentager nu, idet vi nu vælger Fit special Marker Natural logarithm for y OK Bivariate Fit of c By t Transformed Fit Log Log(c) = 3, ,07567*t Summary of Fit RSquare 0,98891 RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 0, Mean of Response, Observations (or Sum Wgts) 9 Vi ser, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring kurven, og at RSquare =0.988 er høj, så model (eksponentiel model) må være den bedste model. 16

133 7.6 Enkelt Regressionsanalyse med flere y-værdier for hver x-værdi ) Af Log(c) = 3, ,07567*t fås c= e t = e t 3) Danner en ny kolonne med navnet logc cursor på navn, højre musetast, Formula vælg c trancental log ok Skriv nederst i tabel under t tallet 1. Analyze Fit model Marker logc og vælg y marker t og vælg add Run Rød pil ved "Response logc" Save Columns predicted values mean Confidence interval Der fremkommer følgende tabel t c logc Lower 95% Mean Upper 95% Mean Predicted logc logc logc, , , , , ,59 8 3, , , , osv. 18,5 10, ,886303, , ,09 8, , , , , ,85747, Heraf ses, at for t = 1 er log(c) =.807 c = e 807 = % konfidensinterval: [ e ; e ] = [ ;. 33] 7.6. ENKELT REGRESSIONSANALYSE MED FLERE y -VÆRDIER FOR HVER x - VÆRDI. Hvis man selv fastlægger sine x - niveauer, er det ofte muligt for hver x -værdi, at foretage flere målinger af y - værdien. Vi siger kort at analysen er med gentagelser. Sædvanligvis er det bedre at nøjes med en y-værdi for hver x-værdi, og så til gengæld have flere forskellige punkter, men i tilfælde, hvor man er i alvorlig tvivl om forudsætningen om varianshomogenitet gælder, eller hvor man vil teste om en lineær model gælder, kan det være relevant med eksempelvis to gentagelse for hver x-værdi. Dette er således tilfældet i følgende eksempel: Eksempel 7.7 (regressionsanalyse med gentagelser) Metalpladers overflader oxideres i en ovn ved 00 0 C. Med henblik på en undersøgelse af sammenhængen mellem det oxiderede lags tykkelse y (i ångstrøm) og tiden t ( i minutter) foretog man følgende målinger: Tiden t Tykkelse y

134 7. Regressionsanalyse Fordelen herved er, at man nu kan få et estimat for forsøgsfejlens spredning ( støjen ), som kan anvendes til at teste, om den lineære model kan accepteres, når man tager støjen i betragtning. Endvidere kan man, hvis man finder det nødvendigt, teste om der er varianshomogenitet. Alle andre test udføres på samme måde som beskrevet i forrige afsnit. Forklaring af metode og formler Test af model. For hver x - værdi beregnes gennemsnittet af de dertil hørende y - værdier. Disse gennemsnitspunkter bør ligge tæt på linien hvis modellen er god. Hvis modellen er den rigtige, så er den eneste grund til at gennemsnitspunkterne ikke ligger eksakt på linien, at der er støj. Vi kan derfor beregne et estimat (kaldet ) for variansen af denne støj ud fra de afvigelser s lack of fit som gennemsnitspunkterne har. Hvorledes denne beregnes ses i appendix 7,. Da vi samtidig ud fra gentagelserne kan beregne et andet estimat for støjen (kaldet s error ), har vi mulighed for at teste de to varianser mod hinanden, ved en sædvanlig F - test F lack of fit s = lack of fit s error Får vi her en forkastelse, kan gennemsnitspunkternes afvigelser fra linien ikke forklares alene ved støjen, og vi må derfor forkaste modellen. Test af varianshomogenitet. Som tidligere nævnt, er analysen robust overfor afvigelser fra kravet om varianshomogenitet (konstant varians σ ), hvis der er lige mange gentagelser (som i dette forsøg). Man vil derfor kun foretage en vurdering af dette krav, hvis man ud fra forsøgets natur mener, at varianserne kan tænkes at være voldsomt forskellige. Testen kan foretages præcist som beskrevet under ensidet variansanalyse (se appendix 4.1). Eksempel 7.7. Regressionsanalyse (med gentagelser) Givet følgende målinger Tiden t Tykkelse y ) Foretag (kun i SAS) en testning af forudsætningen om varianshomogenitet. ) Det formodes på forhånd, at der er en lineær sammenhæng mellem x og y. a) Vurder ud fra en tegning og forklaringsgraden om dette er tilfældet. b) Undersøg ved en lack of fit test, om formodningen kan accepteres. 3) Bestem i bekræftende fald ligningen for den fundne regressionslinie. 4) Det påstås i litteraturen, at hældningskoefficienten β 1 er 0.15 Test om dette på et signifikansniveau på 5% kan være sandt. 5) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af tykkelsen y, når t = 110 minutter. 18

135 7.6 Enkelt Regressionsanalyse med flere y-værdier for hver x-værdi Løsning TI89: Data indtastes vandret, ved at man opretter 10 lister med navnene t1, t osv. Tiden t t1 t t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 Tykkelse y ) Test af nulhypotesen : σ = σ =... = σ sker kun i SAS H ) H 0 : Lineær model gælder H 0 :( x i, µ i ) ligger på en ret linie a) Gennemsnittene beregnes, og punkterne tegnes F6, C:ANOVA, Data Input : Data Antal grupper = 10,ENTER, Udfyld listnavne t1, t osv. ENTER. Der fremkommer en liste x-bar med gennemsnittene. Man noterer sig til senere brug (under error) df =10, SAK error = SS= 9.81 og s error =MS = Vi laver en liste t osv F4, 3:Regressions lin reg ax+b Udfyld lister med t og xbar Da vi ønsker at tegne regressionslinien så StoreReqn to: y1(x), ENTER, Der fremkommer konstanterne a = , b = og = Man kan nu tegne linien ved at vælge GRAPH. Vi ønsker imidlertid punkterne tegnet med, så vi vælger ESC, F: Plots,,1: Plot Setup,F1: Define, Behold Scatter og Box, indsæt listerne t og xbar, ENTER, ENTER, F5 Linien vises sammen med punkterne. Hvis dette er svært at se, kan man eventuelt tegne et residualplot i stedet. F: Plots,,1: Plot Setup,F1: Define, Behold Scatter og Box, indsæt listerne t og resid, ENTER, ENTER, F5 r Det ses, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien. Da samtidig forklaringsgraden er høj, er den lineære model acceptabel 19

136 7. Regressionsanalyse b) Test af model, ved en Lack of Fit test. Data indtastes lodret APPS, STAT/LIST hvorefter data indtastes i list1(x- værdier) og list (y-værdier) list1 list osv. osv. Laver regressionstest på de to lister list 1 og list APPS, STAT/LIST F6, A:LinRegTest Udfyld list1 = list 1 og list = list, Alternate Hyp= β& ρ 0 ENTER Heraf: s= s r esidual = , df = f residual = 18 og SAK residual = ( ) 18 = SAKlack of fit = SAK residual SAK error = =. 78 Vi kan nu udfylde variansanalysetabellen Variation SAK f SAK s = s f F = s lack 0 P-værdi Lack of P(F>.896) = FCdf(.896,,8,10) = fit Error Residual Da P - værdi = > 0.05 accepteres H 0, dvs. vi vil i det følgende antage, at den lineære model gælder. 3) Den empiriske regressionslinie bliver: y$ = $ β $ 0 + β1 t = t. 4) H 0 : β 1 = 015. F7: LinRegTInt Udfyld menu: Interval=Slope 95% konfidensinterval for : [0.160 ; 0.186] β Da 0.15 ikke ligger i intervallet forkastes H 0, dvs. data giver ikke den i litteraturen angivne hældningskoefficient.. 5) 95% konfidensinterval for middelværdien af tykkelsen y, når t = 110 minutter. F7: LinRegTInt Udfyld menu: Interval=Response, x Value = 100 y_hat = y s værdi for x = 110 = % konfidensinterval [19.98 ; 1.38] 130

137 7.6 Enkelt Regressionsanalyse med flere y-værdier for hver x-værdi Løsning SAS.JMP:. Data indtastes på sædvanlig måde: t y 0 4, 0 4,9 30 7,4 30 6,9 40 8, , ,4 1) Undersøgelse af varianshomogenitet. Test af nulhypotesen H 0 : σ 1 = σ =... = σ10 Man gør som beskrevet under ensidet variansanalyse, dvs. vi vælger at gøre t til character Sæt cursor på t s hoved, tryk på venstre musetast og vælg column Info Vælg Analyze Fit Y by X markér y og tryk på Y Response markér t og tryk på X Factor OK Sæt cursor på overskrift, højre musetast vælg fra rullemenuen UnEqual Variances. Tests that the Variances are Equal Test F Ratio DFNum DFDen Prob > F O'Brien[.5] 0, ,0000 Brown-Forsythe -1,896e Levene -1,896e Bartlett 0, ,8763 Warning: Small sample sizes. Use Caution. Da vi kun har gentagelser for hver t-værdi kan kun Bartletts test anvendes. Da P - værdien= > 0.05 accepteres H 0, dvs. vi vil i det følgende antage, at kravet om varianshomogenitet er opfyldt. ) H 0 : Lineær model gælder H 0 :( x i, µ i ) ligger på en ret linie Man sørger nu for, at t er numeric, og vælger nu forfra Analyze Fit Y by X markér y og tryk på Y Response markér t og tryk på X Factor OK Der fremkommer et scatterplot, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Sæt cursor på overskrift, højre musetast vælg fra rullemenuen Fit Line. Tryk på pil ud for Lack of Fit på den røde pil under tegningen ved linear fit vælg Confid. Curves indv Der fremkommer følgende udskrift: Bivariate Fit of y By t 131

138 7. Regressionsanalyse Linear Fit y = 1, ,17975 t Summary of Fit RSquare 0, RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 1, Mean of Response 16,53 Observations (or Sum Wgts) 0 Lack Of Fit Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Lack Of Fit 8,7889,84104,8961 Pure Error 10 9, ,98100 Prob > F Total Error 18 3, ,0591 Max RSq 0 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model , ,44 8,94 Error 18 3,5383 1,81 Prob > F C. Total ,980 <,0001 Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 1, ,59958,76 0,019 t 0, , ,68 <,0001 Af figuren ses, at gennemsnitspunkterne ligger tilfældigt omkring linien, og der næppe er outliers, da punkterne næsten alle falder indenfor prediction linierne Af udskriften for Lack of fit ses, at P - value er På et signifikansniveau på 5%, ses, at H 0 må accepteres, dvs. vi kan antage, at indenfor måleområdet giver førstegradsmodellen en rimelig god beskrivelse af resultaterne, 3) Af udskriften ses, at regressionsligningen bliver y$ = x 4) H 0 : β 1 = 015. Sæt cursor på et vilkårligt tal under " Parameter estimates", højre musetast Columns vælg "lower" gentag men vælg "Upper" Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Lower 95% Upper 95% Intercept 1, ,59958,76 0,019* 0, ,91381 t 0, , ,68 <,0001* 0, , Heraf ses, at et 95% konfidensinterval for β ikke indeholder dvs. data giver ikke den i litteraturen angivne hældningskoefficient.. 5) Find det til t = 110 svarende 95% konfidensinterval for tykkelsen y. Skriv nederst i tabel under t tallet 110. Analyze Fit model Marker y og vælg y marker t og vælg add Run Rød pil ved "Response y Save Columns predicted values mean Confidence interval Der bliver nu tilføjet ekstra søjler. Vi får y s værdi for x = 110 = % konfidensinterval [19.98 ; 1.38] 13

139 7.7 Multipel Regressionsanalyse 7.7 MULTIPEL REGRESSIONSANALYSE Indledning Vi vil i dette afsnit behandle det tilfælde, hvor der indgår mere end 1 kvantitativ variabel. Vi vil begrænse os til at se på modeller, hvor de variable indgår lineært. Et eksempel herpå er modellen Y = α0 + β1x1 + βx, hvor parametrene er α 0, β1og β. I appendix 7.4 findes de nødvendige matrixformler til beregningerne. Det er dog langt lettere at have et statistikprogram til rådighed, så eksemplerne er regnet med Ti - 89 og med SAS-JMP Multipel regressionsanalyse med én y - værdi for hver x - værdi. Man vurderer om modellen er acceptabel ved 1) at se på forklaringsgraden r et residualplot. Residualerne bør ligge tilfældigt omkring 0. ) at se om der er outliers (se om "studentized residuals" alle numerisk er under 3, og kun få er over ) Vi vil illustrere metoden ved følgende eksempel. Eksempel 7.8 (multipel regressionsanalyse uden gentagelser) Det månedlige elektriske forbrug Y på en fabrik formodes at være afhængig af den gennemsnitlige udendørs temperatur x 1, antal arbejdsdage x i måneden, den gennemsnitlige renhed x 3 af det fremstillede produkt og det antal tons x 4, der produceres i den pågældende måned. Det formodes, at Y er en lineær funktion af x 1, x, x 3 og x 4, dvs. på formen Y = α0 + β1x1 + βx + β3x3 + β4x4. Følgende observationer fra det forløbne år foreligger x 1 x x 3 x 4 Y ) Vurder ud fra forklaringsgraden og "studentized residualer" om ovennævnte model er rimelig. Det antages i det følgende, at ovenstående model gælder. ) Undersøg om modellen kan reduceres, dvs. kan nogle af koefficienterne antages at være 0. 3) Angiv regressionsligningen i den endelige model. 4) Angiv 95% konfidensintervaller for de regressionskoefficienter der indgår i ovenstående model 133

140 7. Regressionsanalyse 5) Angiv et 95% konfidensinterval for Y i punktet ( x1, x, x3, x4) = ( 0, 0, 90, 100) Løsning TI89: 1) APPS, STAT/LIST indtast data x1 i list 1 osv., x4 i list 4 og y i list 5 F4: Calc 3. Regressions D:MultReg Num of ind Vars = 4, Udfylder lister ENTER, ENTER Vi får regressionskoefficienterne og r = Outliers: APPS, STAT/LIST F6:Test B:MultRegTests Udfyld menuen(er nok allerede sket), ENTER, I listen (efter inddata) findes listen sresid, som indeholder Studentized residuals. Da kun en enkelt værdi numerisk er større end og ingen er over 3, antages, at der ikke er outliers Da yderligere forklaringsgraden er tæt ved 1 vurderes modellen at være rimelig god. ) H 0 :β 1 = β = β 3 = β 4 = 0, H: Mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. I Udskriften fra MultRegTests findes en P -værdi på Da P -værdi = < 0.05 forkastes H 0 (stærkt), dvs. mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. I P-list findes P - værdierne for de enkelte regressionskoefficienter. Denne findes også i Stat/list, hvor man ser, at nr. 3 giver den største P-.værdi på Da den første P - værdi svarer til konstantleddet svarer nr. 3 til x. H 0 : β = 0 accepteres, da P -værdien = > x - leddet bortkastes. Bemærk, at man kun eliminerer én variabel ad gangen Vælg F6:MultRegTests, og udfyld menuen med kun 3 variable. Man ser, at nu er den største P - værdi ud for x3 og P -værdien = H 0 : β 3 = 0 accepters da, da P -værdien = > 0.05 x3 slettes nu af modellen. Vælg F6:MultRegTests, og udfyld menuen med kun variable. Nu ses, at alle P - værdier er mindre end 0.05, dvs. modellen kan ikke reduceres mere. 3) I listen blist findes koefficienterne, dvs. $y = x x4. 4) 95% konfidensinterval for β 1 : $ β ( ) ; $ 1 t fresidual s $ β1 + t ( fresidual ) s 1 1 I Statvar findes i selist = f residual = df err = 9 s $β1 [ t t ] α β α β ( 9) ; ( 9) = [ ;. ] Tilsvarende findes s β4 $ i selist = og dermed 95% konfidensinterval for β 4 [ t0975. t0975. ] 494. ( 9) ;. + ( 9) = [ ;. ] 5) F7:Ints, 8: MultRegInt, Udfyld menuer heraf x Value List={0,100}, ENTER Man finder 95% konfidensintervallet : [80.34 ; ] 134

141 7.7 Multipel Regressionsanalyse Løsning SAS.JMP: Data indtastes x1 x x3 x4 y ) Vælg Analyze Fit model markér y og tryk på Y Response markér x1, x, x3.x4 og tryk ADD Emphasis: Miniimal report Run Der fremkommer bl.a. følgende udskrift Summary of Fit RSquare 0, RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 7,90936 Mean of Response 839 Vælg rød pil Save Columns Studentized residuals I datatabel kan man nu yderligere finde følgende x1 x x3 x4 y Studentized Resid y , , , , , , , , , , , , Da kun en enkelt værdi numerisk er større end og ingen er over 3, antages, at der ikke er outliers Da yderligere forklaringsgraden= er tæt ved 1 vurderes modellen at være rimelig god. ) Mulig reduktion af modellen H 0 :β 1 = β = β 3 = β 4 = 0, H: Mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. I samme udskrift som under "Summery of Fit" fandtes Response y Summary of Fit Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model 4 136, ,0 48,8990 Error 7 437,906 6,56 Prob > F C. Total ,000 <,0001* Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 175, ,866 1,54 0,1671 x1 1, ,6819 4,53 0,007* x -0,793015,1084-0,37 0,7195 x3 1, , ,67 0,1393 x4 4,9866 0, ,10 <,0001* 135

142 7. Regressionsanalyse Af ovenstående udskrift ses for model, at P - Value < < Heraf følger, at H 0 forkastes (stærkt), dvs. mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. Vi ser nu regressionskoefficienterne Den β størrelse, der har størst P-værdi er β. H 0 : β = 0 accepteres, da P -værdien = > x-leddet bortkastes. Bemærk, at man kun eliminerer én variabel ad gangen. Vi eliminerer nu x : (slettes under ADD ) Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F x ,177,816 0,0014 x ,715 3,8636 0,0849 x , ,3764 <,0001 Da P-værdien for x3 er > 0.05 eliminerer vi nu x3. Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F x ,97 14,785 0,0040 x , ,6814 <,0001 Det er nu ikke muligt at reducere modellen mere. 3) For at kunne angive regressionsligningen betragtes følgende udskrift. Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 335, ,6796 8,34 <,0001 x1 0, , ,84 0,0040 x4 4, ,4045 1,8 <,0001 Ligningen bliver y$ = x x 1 4 4) Cursor i tabellen ovenfor, højre musetast Columns Upper 95% lower 95% Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Lower 95% Upper 95% Intercept 335, ,6796 8,34 <, , ,74479 x1 0, , ,84 0,0040 0, , x4 4, ,4045 1,8 <,0001 4, , Konfidensintervallerne bliver β 1 :[ ; ], β 4 :[ ; ] 136

143 7.8 Polynomial Regressionsanalyse 5) Cursor på rød pil"response Y" vælg Factor Profiling Profiler cursor på det røde tal forneden ved x1, skriv 0, Cursor på rødt tal ved x4, skriv 100 Prediction Profiler Vi har derfor, at y $ = og et 95% konfidensinterval er [80.35 ; ] 7.8 POLYNOMIAL REGRESSIONSANALYSE Indledning Ved en polynomial regressionsanalyse er den statistiske model p Y = β + β x+ β x + β x β x p hvor den variable Y skal opfylde de sædvanlige regressionsforudsætninger. Som det ses, er den i afsnit 7. betragtede enkelte regression et specialtilfælde. Den statistiske analyse da også meget beslægtet hermed. Det man søger er altid den enkleste model der giver en tilstrækkelig god beskrivelse af Y indenfor det foreliggende variationsområde for x. Ud fra et statistisk synspunkt, vil man altid foretrække den model med de færreste parametre, da de på samme datamateriale giver en sikrere bestemmelse af parametrene. At andet lige vil man derfor foretrække de i afsnit 7.3 nævnte transformerede modeller som alle kun har parametre fremfor eksempelvis et andengradspolynomium Y = β0 + β1x+ βx hvor man skal bestemme tre parametre β 0, β 1 og β. Blandt polynomierne vil man naturligvis foretrække et af lavest grad. Såvel TI89 som SAS.JMP tegner let polynomier af. grad, 3 grad og 4 grad og regner forklaringsgraden ud. Derved kan man få et indtryk af hvilket polynomium, af lavest grad, der giver en rimelig beskrivelse af data. Imidlertid er man altid nødt til at teste modellen, og derfor er fremgangsmåden den, at polynomiet omskrives og man går over til multipel regression. 3 Eksempelvis omskrives polynomiet T = a0 + b1x+ bx + b3x 3 til T = a0 + b1x1 + bx + b3x3 ved at sætte x = x, x = x, x = x 1 Vi vil i dette kapitel kun betragte tilfældet hvor der til hver x-værdi svarer en y-værdi

144 7. Regressionsanalyse Modificeret forklaringsgrad (adjusted) Et 17-gradspolynomium vil gå eksakt gennem de 18 punkter, og r = 100%. Det er imidlertid klart, at en sådan model dels er alt for komplicerede til de fleste praktiske formål, dels følger kurven alle de tilfældige variationer, som vi netop ikke bør tage hensyn til. Betragter man nu eksempelvis polynomiet Y = β + β x+ β x, beregner forklaringsgraden r 0 1, derefter betragter et polynomium af tredie grad, og beregner igen forklaringsgraden, så er den steget, selv om trediegradsmodellen måske ikke er væsentlig bedre. Det er altid muligt at øge r ved at addere flere led til modellen. For hvert led der tilføjes mistes der en frihedsgrad i "error", og hvis SAK for det nye led ikke giver et væsentligt bidrag kan det betyde, at den nye model er ringere end den gamle model. For at tage hensyn til dette, betragtes ofte et modificeret r (R-squared (adjusted for d.f. 1 )) Når r ikke stiger væsentligt, og R-squared (adjusted for d.f.) næsten er konstant, eller begynder at falde, er man tæt ved den bedste model. Fremgangsmåde Man starter med at tegne punkterne, eventuelt sammen med en lineær model af første grad y = α + β 1 x (se eksempel 7.4) Er punkterne i et interval stigende og i et andet interval faldende så de eksempelvis kunne beskrive en parabel, så vil det være rimeligt at se på et polynomium af anden eller højere grad. Der er i princippet to fremgangsmåder: Forward: Man ser på en model af anden grad y = α + β x+ β x og sammenligner den med en af tredie 1 grad y = α + β1x+ βx + β x Dette sker ved at man sammenligner de to "adjusted forklaringsgrader ", samt teste nulhypotesen H 0 :β 3 = 0 Hvis man får en accept af H 0 og endvidere at "adjusted r " for trediegradspolynomiet ikke er væsentlig højere end den af anden grad, så vil man vælge andengradspolynomiet. Man vil dog så for andengradspolynomiet også se om der er outliers (studenticed residuals). Hvis man omvendt får en forkastelse af H 0 :β 3 = 0 vil man sammenligne trediegradspolynomiet med et polynomium af fjerdiegrad. Backward 3 4 Her starter man med en model af fjerde grad y = α + β1x+ βx + β3x + β4 x Man tester nulhypotesen H 0 :β 4 = 0 Får man en accept af nulhypotesen ser man nu på en model af trediegrad, og tester analogt H 0 :β 3 = 0 Endvidere sammenligner man de to "adjusted r " for at se om der er sket en væsentlig ændring Således fortsættes indtil man får en forkastelse af nulhypotesen, samt ser, at "adjusted r " ikke har ændret sig væsentlig. 3 3 ( n 1) r + 1 k s 1 r total s0 (adjusted) = =, hvor k er antal parametre i modellen(incl konstantled). n k s0 138

145 7.8 Polynomial Regressionsanalyse De to metoder kan godt give forskelligt resultat, da der jo er et element af personlig vurdering i konklusionen. For det polynomium man ender med, ser man derfor på outliers, og residualplot for at være sikker på, at modellen er acceptabel Beregning af polynomial regressionsanalyse Eksempel 7.9. Polynomial regressionsanalyse uden gentagelser. Et forsøg udføres, for at finde hvordan størkningstiden T (i minutter) afhænger af antal gram x af et additiv. Man fik følgende forsøgsresultater: x g/l T min ) Vurder på basis af ovennævnte observationer, hvilket polynomium 3 p T = α 0 + β1x + βx + β3x β p x af lavest mulig grad p, der indenfor måleområdet [ 0 ; 8.5 ] giver en tilfredsstillende beskrivelse af T s variation. ) Angiv regressionsligningen for den model, man i spørgsmål 1 har fundet frem til. 3) Beregn værdien af T for x = 6., og angiv et 95% konfidensinterval for T for x = 6.. Løsning: TI89 1) Først betragtes en tegning af punkterne samt en ret linie (jævnfør eksempel 7.4). APPS STAT/LIST x-værdier indtastes i list1, og y-værdier indtastes i list F4, 3:Regressions lin reg ax+b Udfyld lister Da vi ønsker at tegne regressionslinien så StoreReqn to: y1(x), ENTER, Der fremkommer r =0.435 ESC, F: Plots,,1: Plot Setup,F1: Define, Behold Scatter og Box, indsæt listerne, ENTER, F5 Det ses tydeligt, at punkterne viser både en opadgående og nedadgående tendens, så et polynomium må være den rette model Vi vælger "Backward"-metoden, dvs. vi starter med et polynomium af fjerde grad y = α + β1x+ βx + β3x β4 x For at teste må man omforme regressionslignngen til en lineær funktion i de variable T = α + β x + β x + β x + β x ved at sætte x = x, x = x, x = x, x = x APPS, STAT/LIST dan nye lister x = x^, x3 = x^3, x4=x^4 F6:tests B: MultRegIn Udfyld menuer Vi får "adjusted" r = 0.799, H 0 :β 4 = 0 I P-list fås P-værdierne for koefficienterne. Vi ser, at P-værdien for β 4 = 0.5 Da P-værdi > 5% accepteres H 0, dvs vi bortkaster fjerdegradsleddet. Vi ser nu på tilsvarende måde på et trediegradspolynomium y = α + β x+ β x + β x

146 7. Regressionsanalyse Vi får "adjusted" r = 0.807, dvs lidt højere Vi tester nu nulhypotesen H 0 :β 3 = 0 Vi finder, at P-værdi = Da P-værdi < 5% forkastes H 0, dvs vi kan ikke bortkaste trediegradsleddet. (vi er dog tæt på) Man må nu se på et residualplot F,1:Plot Setup F1:Define Vælg VARLINK list1 varlist og resid F5:ZoomStat Heraf ses, at punkterne (residualerne) fordeler sig rimelig tilfældigt omkring den vandrette linie. For at sikre os, at der ikke er outliers, ses på listen sresid Den viser, at ingen numerisk er over 3, og kun en enkelt på.05 er numerisk over Konklusion: Trediegradsmodellen er den bedste model ) Af b-list fås koefficienterne 3 T = 169. x x x ) Beregn værdien af T for x = 6., og angiv et 95% konfidensinterval for T for x = 6.. F7:Ints 8: MultRegIn Udfyld menuer heraf x Value List={6., 6.^, 6.^3}, ENTER Man får T = og 95% konfidensinterval [40.0;500.9] Løsning SAS.JMP: 1) Data indtastes a) Analyze Fit Y by X markér T og tryk på Y Response markér x og tryk på X Factor OK Der fremkommer et scatterplot, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Bivariate Fit of T By x T x Cursor på overskrift, højre musetast Fit Polynomial Man kan nu vælge, hvilken grad polynomiet skal have. Ud fra scatterplottet synes en andengradsmodel ikke at være en god model 140

147 7.8 Polynomial Regressionsanalyse Vi vælger en fjerdegradsmodel Der fremkommer blandt andet følgende udskrift: Summary of Fit RSquare 0, RSquare Adj 0, Root Mean Square Error 45,41548 Mean of Response 510,5556 Observations (or Sum Wgts) 18 Vælges en trediegradsmodel fås tilsvarende Summary of Fit RSquare 0,84156 RSquare Adj 0,80739 Root Mean Square Error 44,48109 Mean of Response 510,5556 Observations (or Sum Wgts) 18 Vi ser, at R-squared (adjusted) nu er steget svagt fra 80,7% til 79,90%. Heraf må sluttes, at fjerdegradsmodellen ikke har givet et væsentligt forbedret bidrag til forklaring af data. For at lave tests, konfidensintervaller m.m. må man indføre nye kolonner x = x og x3=x 3 og gå over i multipel analyse. Hertil benyttes formula (Cursor på kolonneoverskrift højre musetast formula) Vælg Analyze Fit model markér T og tryk på Y Response markér x, x, x3 og tryk ADD Run Man får bl.a. Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob> t Intercept 770, ,501,3 <,0001* x -179,699 36,1048-4,95 0,000* x 31, , ,11 0,0077* x3-1, , ,18 0,047* Da vi ser, at P-værdien for β 3 = < 0.05 forkastes H 0 : β 3 = 0, dvs. Vi kan ikke bortkaste trediegradsleddet. Heraf sluttes, at en trediegradsmodel må være det foreløbig bedste bud Grafen for trediegradsmodellen blev følgende Bivariate Fit of T By x Da punkterne ligger tilfældigt omkring kurven finder vi, at trediegradsmodellen er en acceptabel model 141

148 7. Regressionsanalyse For at vurdere om der er outliers, vælges studentized residuals Vælg rød pil(ved response) Save Columns Studentized residuals Resultat blev følgende tabel x T x x3 Studentized Resid T , , ,5 0,15 0, , ,5 650,5 3,375, , , ,5 15,65 1, , ,5 40 1,5 4,875-0, , , ,5 91,15 0, , , ,5 166,375 0, , , ,5 74,65 0, , , ,5 41,875 0, , , ,5 614,15 0, Den viser, at ingen numerisk er over 3, og kun en enkelt på.05 er numerisk over Konklusion: Trediegradsmodellen er den bedste model ) Regressionsligningen ses under punkt Polynomial Fit Degree=3 T = 464, ,60743 x + 9, (x-4,5)^ - 1, (x-4,5)^3 3 eller T$ = x x 169. x.(udregnet på lommeregner) 3) Beregn værdien af T for x = 6., og angiv et 95% konfidensinterval for T for x = 6.. Skriv 6. nederst i datatabel cursor på overskrift på x, højre musetast Nu kommer automatisk i kolonnerne 6.^ osv. Rød pil ved Response T Save Columns Predicted value Mean Confidence Interval Nu dannes i tabellen tre nye kolonner op, hvoraf man aflæser det ønskede x T x x3 Lower 95% Mean T Upper 95% Mean T Predicted T , , , , ,5 0,15 638, , , , , , ,5 650,5 3,375 57, , , , , ,968008, ,5 15,65 451, , , , , ,346 3,5 40 1,5 4, , , , , , , , ,5 91,15 410, , , , , ,0485 5, ,5 166,375 41, , , , , ,6159 6, ,5 74,65 44, , , , , , , ,5 41, , , , , , , , ,5 614,15 397, , , ,. 38,44 38,38 40, , ,43878 Man får T = og 95% konfidensinterval [40.0;500.9] 14

149 7.9 Oversigt over fremgangsmåde ved regressionsanalyse 7.9. OVERSIGT OVER FREMGANGSMÅDE VED REGRESSIONSANALYSE TI89 antages benyttet Lineær model: Valg af model Punkter + ret linie tegnes F4 regression lin- Reg(a+bx) 1) Punkter ligger tilfældigt om den rette linie a) Se på forklaringsgrad r a1) r høj (over ca. 70%), så ok a) r lav, så test om hældning er 0. F6 LinRegTTest Hvis ja, så er y uafhængig af x (ingen sammenhæng) Hvis nej, så viser data en stigende / faldende tendens. b) Se på Outliers. Se evt. på Studized Residuals F6 MultReg- Tests se på slist b1) Ingen outliers, så ok b) Outliers : Forsøgsomstændighederne ved dette forsøg undersøges. ) Punkter ligger ikke tilfældigt om linie a) Se på forklaringsgrad r a1) r meget høj (over 90%) :Model måske accepteres indenfor måleområdet. a) r ikke så høj, eller en sikrere model ønskes undersøgt: I: Punkter ligger krummer monotont op eller ned : Se på modeller med parametre (eksponentiel, potens, logaritme) Model skal opfylde krav om: Punkter ligger tilfældigt om kurve, r høj, Ingen outliers II: Punkter ligger ikke monotont Se på polynomier. Model vælges af lavest grad. Quadreg, CubicReg, beregne r (adjusted), se på residualplot evt. teste om koefficient til højestegradsled 0 Test 1) Ret linie y = β0 + β1x a) H 0 : Y er uafhængig af x H : Regressionslinien er vandret H : β = F6, A: Lin Reg T-Test Alternate Hyp= β& ρ 0 b) Konfidensinterval for β 1 : F7: LinRegTInt: Interval = Slope: c) Konfidensinterval for y svarende til x =t: F7: LinRegTInt: Interval = Response, x Value = Slope: d) Prædistinationsinterval for 1 ny observation Som under punkt c). Se nederst i udskrift ) Andre modeller i parametre: Ligningen transformeres til et lineært udtryk (se side 16) Indsætter nye lister med de transformerede variable Derefter som under punkt 1) 143

150 7. Regressionsanalyse 7.9. Multipel regression Model acceptabel Residualplot tegnes F4: Calc 3. Regressions D:MultReg Punkter ligger tilfældigt om den vandrette linie Forklaringsgrad r høj (over ca. 70%) Outliers kun få (ingen). Se på Studentized Residuals F6 MultRegTests se på slist Test 1) Reduktion af model: Find det led hvis koefficient har den største P-værdi >5% se under P-list Vælg F6:MultRegTests Fjerner leddet Gentag med næste P-værdi Der elimineres én variabel ad gangen ) Regressionskoeficienter : Findes i blist 3) 95% konfidensinterval for β 1 : $ ( ) ; $ β t f s β + t ( f ) s I Statvar findes s $β1 i selist f residual = df err 1 α residual $ β 1 α residual β ) Man finder 95% konfidensintervallet for y for given x-værdi F7:Ints, 8: MultRegInt 144

151 Opgaver til kapitel 7 OPGAVER Opgave 7.1 Nedenstående tabel angiver sammenhørende værdier af den "radiale" afbøjning X (i milliradianer) og den totale energiflux Y ( i kilowatt) på et solvarmeanlæg. x y x y Det oplyses, at korrelationskoefficienten er Punkterne er afsat på nedenstående figur Plot of y vs x y ) Begrund i ord på baggrund af figuren og forannævnte oplysninger, om du finder det sandsynligt, at der er uafhængighed mellem X og Y. ) Find r og anvend denne, ovenstående figur samt residualernes fortegn og størrelse til vurdering af om en lineær model kan antages at gælde. I det følgende antages, at forudsætningerne for en regressionsanalyse er opfyldt, og at den lineære model gælder. 3) Opskriv regressionsligningen. 4) Angiv et 99% konfidensinterval for hældningen β 1. (Bemærk, der ønskes et 99% interval). 5) Beregn er 95% konfidensinterval for middelfluxen y i det tilfælde, hvor den radiale afbøjning x er 16.5 milliradianer. x 145

152 7. Regressionsanalyse Opgave 7. Man ønskede på et universitet at undersøge om der var en sammenhæng mellem de point de studerende fik ved en indledende prøve i matematik, og de point de fik ved den afsluttende prøve i matematik. Resultaterne var Student Indledende prøve x Afsluttende prøve y ) Find en ligning for regressionslinien m, og tegn i et koordinatsystem såvel punkterne som linien m. ) Man forventer en positiv korrelation mellem x og y. Finder du at dette er tilfældet? Det antages i det følgende at forudsætningerne for en regressionsanalyse er opfyldt. 3) Test om y er uafhængig af x (signifikansniveau α =0.01) 4) Find er 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten β 1. 5) En student har opnået 50 point ved den indledende prøve. Forudsig indenfor hvilket interval denne student pointtal vil ligge ved den afsluttende prøve. (signifikansniveau α =0.05) 6) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af det pointtal som studenter opnår ved den afsluttende prøve, når de alle ved den indledende prøve har opnået 50 point. Opgave 7.3 Ved en kemisk proces vides reaktionshastigheden v at afhænge af mængden x af et bestemt additiv, som virker som katalysator. Ved et fuldstændigt randomiseret forsøg fandtes følgende observationer: Tilsat mængde additiv x Reaktionshastighed v ) Foretag en vurdering, ud fra forklaringsgrad og graf, hvilken af de fire standardmodeller, der bedst bedst approksimerer data. ) Angiv regressionsligningen for den valgte model 3) Find ved en additivtilsætning på 1.75, middelværdien af reaktionshastigheden og angiv et 95%~konfidensinterval herfor. Opgave 7.4 Man mener der er en sammenhæng mellem en bilists alder og antallet af alvorlige færdselsulykker, der skyldes for stor hastighed. Man har fra USA, hvor aldersgrænsen for erhvervelse af kørekort er 16 år, følgende data indsamlet gennem en periode: Alder x Antal fart-relaterede ulykker y Det fremgår klart, at antallet af ulykker falder med alderen. a) Giv en vurdering af, om modellen y = a + bx (antal ulykker aftager lineært med alderen) på rimelig måde kan beskrive denne sammenhæng. b) En trafikekspert mener, at modellen y = α e bx (antal ulykker aftager eksponentielt med alderen) giver en bedre beskrivelse af modellen. Har vedkommende ret? c) Bestem ligningen for den model du finder bedst. 146

153 Opgaver til kapitel 7 d) Angiv ud fra ovennævnte ligning det forventede antal fart-relaterede ulykker som 50 - årige i middel vil forårsage i den givne periode. e) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af ulykker for 50-årige. Opgave 7.5 I et organisk-kemisk laboratorium undersøgte man forskellige reaktionskinetiske processer. Ud fra teoretiske overvejelser har man fundet frem til, at "middeludbyttet" (angivet i %'-enheder) af en bestemt kemisk forbindelse for t > 5 er approksimativt bestemt ved et udtryk af formen (1) β1 y = 100 α e t 0, hvor t angiver reaktionstiden og y procesudbyttet. For at efterprøve rigtigheden af de teoretiske overvejelser udførte man et forsøg med følgende resultater: t y ) Omskriv ovennævnte udtryk for modellen således, at regressionsmodellen kan gøres lineær i parametrene ved en logaritmisk transformation. ) Foretag den logaritmiske transformation og vurder såvel grafisk som ud fra forklaringsgraden om den formodede model (1) kan accepteres. 3) Foretag, idet det forudsættes, at modellen (1) gælder, en estimation af parametrene α 0 og β 1. 4) Opstil et 95% - konfidensinterval for middelværdien af udbyttet y svarende til t = 0. Opgave 7.6 Ved en standardisering af et bestemt hormonpræparat behandler man et mindre antal mus med doser af forskellig størrelse og registrerer i hvert tilfælde tiden t, indtil musen dør. Fra tidligere undersøgelser ved man, at t er normalfordelt med konstant varians og med en middelværdi, som er en lineær funktion af logaritmen til dosis, dvs. t = a+b ln(dosis). Til brug for standardiseringen af et produktionsparti af præparatet blev foretaget 5 delforsøg, som gav følgende resultater: dosis (antal enheder) t (timer) ) Angiv et estimat for regressionslinien, hvor t er en funktion af 1ogaritmen ti1 dosis. ) Opsti1 et 95% - konfidensinterval for koefficienten til logaritmen til dosis. 3) Opsti1 et 95% - konfidensinterval for midde1værdien af t for en dosis på 6300 enheder. 147

154 7. Regressionsanalyse Opgave 7.7 Man har erfaring for, at jerns viskositet Y under smeltning afhænger af jernets siliciumindhold x. Man besluttede sig ti1 at foretage et forsøg med henblik på at undersøge denne sammenhæng nærmere. Ved forsøget foretoges 3 viskositetsmålinger for hver af 5 forskel1ige værdier af siliciumindholdet. Forsøgsresu1taterne var: x Y ) Angiv forudsætningerne for at kunne udføre en regressionsanalyse. Det antages i det følgende, at forudsætningerne er opfyldt. ) Test om der er en lineær sammenhæng mellem jerns viskositet og siliciumindholdet, og angiv i bekræftende fald ligningen for den empiriske regressionslinie. Det antages i det følgende, at der er en lineær sammenhæng mellem x og y. 3) Foretag en testning af om regressionslinien er vandret. 4) Angiv et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten 5) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af middelviskositeten y, når x = Opgave 7.8 Koncentrationsbestemmelse af stoffet aprindin kan foretages ved hjælp af en gaskromatograf. Ved denne metode indsprøjtes en del af prøven indeholdende aprindin i gaskromatografen, og den såkaldte tophøjde bestemmes. Såfremt de laboratorietekniske procedurer er korrekt udført, skal tophøjden, bortset fra tilfældige udsving, være proportional med koncentrationen i prøven. I et eksperiment fremstillede man 1 prøver med kendte koncentrationer af aprindin og målte tophøjderne. Resultaterne fremgår af nedenstående tabel. Koncentration x ( µg/ml) Tophøjde Y ) Bestem den lineære regressionslinie for Y på x ) Test, om en sådan lineær regression kan beskrive data. 3) Test, om tophøjden y kan antages at være proportional med koncentrationen x, dvs.. y = a x 148

155 Opgaver til kapitel 7 Opgave 7.9 Den tid (y) det tager inden en bestemt maskinkomponent svigter kan tænkes at afhænge af den spænding (x 1 ), den temperatur (x ) som komponenten udsættes for under kørslen, samt motorens omdrejningshastighed pr. minut (x 3 ) Det forløbne år har givet de data, som er vist i følgende tabel: (x 1, x, x 3 ) (110,60,750) (110,8,850) (110,60,1000) (110,8,1100) (10,60,750) y (x 1, x, x 3 ) (10,8,850) (10,60,1000) (130,8,1100) (115,66,840) (115,66,880) y Det forudsættes, at regressionsforudsætningerne er opfyldt. 1) Vurder ud fra forklaringsgraden, grafisk, og ud fra en vurdering af om der er outliers, om en lineær model i de tre variable,dvs. af formen Y = α0 + β1x1 + βx + β3x3 er rimelig. Det antages i det følgende, at ovenstående model gælder. ) Undersøg om modellen kan reduceres, dvs. om nogle af koefficienterne kan antages at være 0. 3) Angiv regressionsligningen i den endelige model. 4) Bestem et estimat for Y i tilfældet x 1 = 15, x = 70 og x 3 = 900, og angiv et 95% konfidensinterval for denne værdi. Opgave 7.10 Ved en given produktion ønskes undersøgt, hvorledes mængden Y af et uønsket biprodukt afhang af mængderne x 1, x og x 3 af tre tilsætningsstoffer. Følgende forsøg blev foretaget (kodede tal): (x 1, x, x 3 ) (1,1,1) (,9,4) (3,3,9) (4,7,5) (5,5 7) (6,3,3) (7,6,) (8,9,6) Y Det forudsættes, at regressionsforudsætningerne er opfyldt. 1) Vurder ud fra forklaringsgraden, grafisk, og ud fra en vurdering af om der er outliers, om en lineær model i de tre variable,dvs. af formen Y = α0 + β1x1 + βx + β3x3 er rimelig. Det antages i det følgende, at ovenstående model gælder. ) Undersøg om modellen kan reduceres, dvs. om nogle af koefficienterne kan antages at være 0. 3) Angiv regressionsligningen i den endelige model. 3) Bestem et estimat for Y i tilfældet x 1 = 4, x = 5 og x 3 = 6, og angiv et 95% konfidensinterval for denne værdi. 149

156 7. Regressionsanalyse Opgave 7.11 Det formodes, at den producerede mængde Y af et stof ved en given produktion er en lineær funktion af de anvendte mængder x 1, x, og x 3 af tre råvarer. Følgende ikke særligt systematiske observationer foreligger: x x x ) Vurder på basis af disse observationer, om en lineær model i x 1, x og x 3 er rimelig. ) Foretag så vidt mulig en reduktion af modellen, og angiv tilsidst regressionsligningen for den endelige model. 3) Beregn et 95% konfidensinterval for regressionskoefficienterne i den endelige model. 4) Beregn et 95% konfidensinterval for middelværdien af Y hvis x 1 = 0.3, x = 0.4 og x 3 = 0.1. Opgave 7.1 En fabrik fremstiller salpetersyre ved oxidering af ammoniak med luft. I løbet af processen ledes kvælstofoxider under afkøling ind i en absorptionskolonne, idet absorptionen i gennemstrømmende salpetersyre afhænger af kølevandstemperaturen x 1 ( C), lufttemperaturen x ( C) og salpetersyrekoncentrationen x 3 Man ønsker at teste, om sammenhængen mellem mængden Y af ikke-absorberede kvælstofoxider i et givet tidsrum og x 1, x og x 3 (aproksimativt) var lineær, og ønskede i bekræftende fald at estimere denne sammenhæng. Følgende observationer af Y (kodede tal) fandtes: x x 3-5 x x ) Vurder på basis af disse observationer, om en lineær model i x 1, x og x 3 er rimelig. ) Undersøg, om modellen kan reduceres, dvs. om nogle af regressionskoefficienterne kunne være 0. 3) Opskriv regresionsligningen. 4) Angiv et 95% konfidensinterval for β 1. 5 Angiv et estimat for Y i tilfældet x 1 = 8, x = 0 og x 3 = 4, og angiv et 95% konfidensinterval for denne værdi. 150

157 Opgaver til kapitel 7 Opgave 7.13 Følgende sammenhørende data er 5 målinger mellem den jævnstrøm (y) en vindmølle udvikler og vindhastigheden (x). x y x y ) Vurder på basis af ovennævnte observationer ud fra forklaringsgraden, hvilket polynomium 3 p y = α0 + β1x+ βx + β3x βp x af lavest mulig grad p, der indenfor måleområdet [0 ; 10 ] giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y s variation. ) Vurder ud fra residualerne, om det i 1) fundne polynomium indenfor måleområdet [0 ; 10 ] giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y s variation. 3) Angiv regressionsligningen for den model, man i spørgsmål har fundet frem til. 4) Skitser grafen indenfor intervallet [0;10], og beregn værdien af y svarende til en vindhastighed på x = 7 Opgave 7.14 Ved et fuldstændigt randomiseret forsøg foretoges følgende observationer mellem den ikkestatistiske variabel x og den statistiske variabel Y: x Y ) Bestem ved en polynomial regressionsanalyse det polynomium i x af lavest mulig grad, der giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y s variation. Betragt såvel forklaringsgrader som residualer ) Opskriv regressionsligningen for den i spørgsmål 1 fundne model 3) Find middelværdien af Y, når x = 45. 4) Find den værdi x m som giver den største y - værdi. Angiv endvidere den til x m svarende estimerede middelværdi $Y m Opgave 7.15 Ved nogle forsøg med målinger af det tryk, som udgår fra jetmotorer, måltes for udvalgte værdier af ændringen i udstødningsdysens vinkel x værdier af ændringen i trykket Y. Resultaterne var: x Y(i%) Bestem ved en polynomial regressionsanalyse det polynomium af lavest grad, der giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y s variation.. Benyt den fundne model til at bestem middelværdien af Y, når x = 6 og beregn det dertil svarende 95% konfidensinterval. 151

158 8 STATISTISK PROCESKONTROL 8.1.Indledning 8.1. INDLEDNING Formålet med det meget omfattende begreb kvalitetsstyring (også kaldet kvalitetskontrol 1 ) er at kontrollere, styre og forbedre kvaliteten af et produkt. Endvidere at nedsætte virksomhedens samlede styrings- og fejlomkostninger. Forskellige undersøgelser antyder, at mange virksomheder ved overgang til kvalitetsstyring kan nedsætte deres samlede kvalitetsomkostninger fra størrelsesordenen 10-15% af omsætningen til 3-5% af denne. Der er på international basis opstillet krav, som skal opfyldes for opnåelse af en " kvalitetscertificering" af virksomheders kvalitetsstyring, bl.a. anført i serien af ISO 9000-standarder. Virksomheder, som opfylder de pågældende krav, kan opnå et såkaldt ISO certifikat. Vi begrænser os i nærværende kapitel til omtale af statistisk proceskontrol ( SPC = Statistical Process Control) i egentligt materialeproducerende virksomheder. Formålet med denne er at styre produktionsprocesserne således, at fejlproduktion forebygges. En industriel produktionsproces kan formelt betragtes som en talfrembringende proces. Eksempler herpå er angivet i det følgende skema: nr Produktion af Frembragte tal 1 Kunstgødning Kvælstofindhold Jernbjælker Trykstyrke, Siliciumindhold 3 TV-apparater Antal loddefejl pr. apparat 4 Patroner Antal defekte patroner i en stikprøve 5 Leverpostej 0:Dårlig smag,1: Mindre god smag, : God smag,3: Særdeles god smag 6 Vin Alkoholprocent 7 Flasker Rumindhold 8 Film 0: defekt, 1: ikke defekt 9 Tekstil Antal fejl pr. m 10 Aksler Diameter 1 På engelsk kaldet Quality Control eller Quality Management. 151

159 8.Statistisk Proceskontrol 8. PROCES I STATISTISK KONTROL. Ved enhver proces vil de frembragte tal udvise en "naturlig" variation, uanset hvor godt processen er planlagt og hvor omhyggeligt den bringes til udførelse og vedligeholdes. Denne "naturlige" variation der i praksis ikke kan kontrolleres, er et resultat af talrige små påvirkninger/variationsårsager ("common causes"). Hvis en proces kun er påvirket af tilfældige variationsårsager, siges den at være i statistisk kontrol. Fig 8.1. Proces i statistisk kontrol De producerede tal er uafhængige observationer fra en population med en bestemt sandsynlighedsfordeling. Den dertil svarende statistiske variabel kaldes procesvariablen. Er en proces i statistisk kontrol kan man derfor på basis af en stikprøve estimere dens parametre, og kan eksempelvis beregne størrelsen af en kommende fejlproduktion. Proces ude af statistisk kontrol. Udover den tilfældige variation kan der forekomme en variation, som kan tilskrives bestemte årsager, f.eks. maskiner, operatører eller råvarer; maskiner kan være indstillet forkert, en operatør kan være træt eller uopmærksom, et råvareparti kan være af dårlig kvalitet. Man taler i disse situationer om væsentlige, specielle eller påviselige variationsårsager ("assignable causes") Hvis en proces i løbet af et givet tidsrum går fra at være i statistisk kontrol i en procestilstand til at være i statistisk kontrol i en anden procestilstand, har processen været ude af statistisk kontrol indenfor det pågældende tidsrum. Fig.8.. Proces ude af statistisk kontrol 15

160 8.3.Opbygning og alarmkriterier for kontrolkort 8.3 OPBYGNING OG ALARMGRÆNSER FOR KONTROLKORT. Kontrolkort (også kaldet Shewhart kontrolkort efter opfinderen) er baseret på, at man af den løbende produktion med regelmæssige mellemrum udtager stikprøver af størrelsen n. Figur 8.3 viser en normalfordeling sammen med et enkelt kontrolkort. Fig 8.3. Kontrolkort med øvre og nedre kontrolgrænser Hvis en på basis af stikprøven beregnet parameter eksempelvis gennemsnittet holder sig indenfor nogle kontrolgrænser, antager man at processen er i kontrol med hensyn til denne parameter. Hvis den beregnede størrelse ligger udenfor kontrolgrænserne vil man slå alarm fordi så kan det tænkes at processen er kommet ud af kontrol. Da sandsynligheden for, at et punkt falder udenfor kontrolgrænser på µ ± 3 σ er ca er processen muligvis ude af statistisk kontrol, hvis dette faktisk sker. Man må så undersøge tilfældet nærmere, og muligvis justere på processen. Det kan naturligvis være en falsk alarm, men erfaringen viser, at ved valg af 3 σ grænser er dette sjældent. Stikprøvernes størrelse n. Generelt gælder det, at det er bedre at tage små stikprøver på 4-5 emner ud med korte mellemrum end at tage store stikprøver på 0-5 emner ud med lange mellemrum. Formålet er jo, at man ønsker hurtigt at opdage, hvis processen er ved at komme ud af kontrol (fordi eksempelvis en maskine er ved at gå i stykker). Bruger man store stikprøver vil man kunne opdage selv forholdsvis små forskydninger i niveauet, men på grund af at der går temmelig lang tid mellem man tager stikprøverne, kan en stor katastrofal forskydning blive opdaget for sent. Alarmkriterier. Man finder der er grund til at tro at processen er ude af kontrol (at slå alarm), hvis der sker et af følgende (se også de følgende figurer). 1) 1 punkt (mindst) udenfor 3 σ - kontrolgrænserne ) 9 på hinanden følgende punkter alle over /under centerlinien 3) 6 på hinanden følgende punkter stiger i værdi eller falder i værdi. 4) af 3 på hinanden følgende punkter falder udenfor en σ - grænse 5) 4 ud af 5 på hinanden følgende punkter falder udenfor en 1 σ - grænse. x 153

161 8.Statistisk Proceskontrol 1) Fig 8.4. Mindst 1 punkt udenfor 3 σ - kontrolgrænser ) Fig på hinanden følgende punkter over centerlinien eller 9 på hinanden følgende punkter under centerlinien 3) Figur på hinanden følgende punkter stiger i værdi eller falder i værdi. 154

162 8.4.Kontrolkortsanalyse 4) Fig 8.7. Mindst punkter ud af 3 på hinanden følgende punkter udenfor en σ - grænse 5) Fig 8.8. Mindst 4 punkter ud af 5 på hinanden følgende punkter falder udenfor en 1 σ - grænse KONTROLKORTANALYSE. Anvendelsen af kontrolkort kræver, at processen fra starten er i statistisk kontrol. Indførelsen af proceskontrol i en ny produktion kræver derfor, at man ved en såkaldt kontrolkortanalyse får undersøgt og om nødvendigt justeret processen således, at den kommer i statistisk kontrol. Først når dette er tilfældet, kan man estimere de ukendte parametrene og konstruere kontrolkortet. Ved en kontrolkortanalyse foretages en række målinger af procesvariablen. Samtidig med en måling registreres en række oplysninger, f.eks. observationstidspunkt, temperatur, råmaterialeparti, arbejdshold m.v., samt hvilke personer der har foretaget målingerne. På grundlag heraf inddeles måltallene i rationelle undergrupper, inden for hvilke de formodes at være produceret under samme væsentlige betingelser. Endvidere tilstræber man, at antal målinger er det samme i hver undergruppe. Indsamling og opdeling af et observationsmateriale i rationelle undergrupper kræver ofte en betydelig teknisk indsigt i den betragtede produktionsproces. Alle de i praksis uundgåelige variationsårsager skal bidrage til den faktiske variation indenfor undergrupper, hvorimod alle de variationsårsager, som man mener kan være væsentlige variationsårsager, ikke må bidrage til variationen indenfor undergrupper. 155

163 8.Statistisk Proceskontrol De variationsårsager, som måske er væsentlige, må altså kun indvirke fra undergruppe til undergruppe. Mener man således, at tal produceret af forskellige maskiner kan være en væsentlig variationsårsag, så må disse tal ikke være placeret i samme undergruppe. På basis af undergrupperne konstrueres så kontrolkort som beskrevet i eksempel 8.1. Falder en undergruppe udenfor de beregnede kontrolgrænser, så må man undersøge nærmere hvad årsagen kan være. Er det eksempelvis en gruppe hvis tal er produceret af en bestemt maskine, så må man ofre en hovedreparation på maskinen eller kassere den. På den måde får man ikke alene processen i kontrol, men man øger også kvaliteten af den igangværende proces. Der udarbejdes forskellige typer kontrolkort afhængig af sandsynlighedsfordelingen for procesvariablen X. I afsnit 8.6 behandles tilfældet hvor X approksimativt er en kontinuert normalfordelt variabel (jævnfør tilfældene 1,,6, 7 og 10 i skemaet på side ), mens afsnit 8.7 ser på de tilfælde, hvor X approksimativt er binomialfordelt (tilfældene 4 og 8) eller Poissonfordelt (tilfældene 3 og 9). Det er i alle tilfælde væsentligt, at observationerne er uafhængige, mens mindre afvigelser fra den forventede sandsynlighedsfordeling ikke vil give nogen væsentlig forøgelse i falske alarmer. 8.5 TOLERANCEGRÆNSER OG KAPABILITET I forbindelse med en fabrikation er der ofte fastsat tolerancegrænser eller specifikationsgrænser (jævnfør eksempel 8.1). Det kan enten være en nedre tolerancegrænse NTG x og/eller en øvre tolerancegrænse ØTG x,idet man ved fabrikationen ønsker/forlanger, for procesvariablen X, at X NTG x henholdsvis X ØTG x. Produktion, for hvilken X falder udenfor tolerancegrænsen/tolerancegrænserne, betragtes altså som fejlproduktion. Bemærk, at der her ikke er tale om stikprøvens gennemsnit, men om den enkelte værdi af procesvariablen. I det følgende forudsætter vi, at der er fastsat såvel en nedre som en øvre tolerancegrænse. Ved kapabiliteten af en proces (proceskababiliteten) forstås processens evne til at producere inden for et specificeret toleranceinterval. Som omtalt, er det naturlige variationsområde for en proces en variation på 6σ, nemlig fra 3σ til + 3σ. Når der ved en given fabrikation er fastsat et toleranceinterval [ NTGx; ØTGx] er det derfor nærliggende at sammenligne dette med intervallet for den naturlige variation [ 3σ ; 3σ ]. ØTGx NTGx Hertil udregnes et kapbilitetsindeks Cp = 6σ er et mål for processens evne til produktion indenfor toleranceintervallet. C p Der foreligger herved i en kontrolsituation en af flere muligheder: Hvis C p 1 dvs ØTG NTG 6σ skulle man tro, at dette ville være en proces med lille fejlproduktion. x x 156

164 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Imidlertid er det med en stor løbende produktion svært hele tiden at holde middelværdien midt mellem de to tolerancegrænse. Man vil derfor sædvanligvis først sige, at man har en produktion med en lille fejlproduktion, hvis C p > Det afhænger naturligvis af produktionen og hvilke krav man stiller. hvor man sætter grænsen, og i den såkaldte 6 sigma proces kræves et C ØTG NTG 6σ p x x 1) C p stor ( større end eksempelvis 1.33 eller ) I dette tilfælde kan fejlproduktion (næsten) helt undgås; en processtyring er fortsat anbefalelsesværdig, men kontrollen kan foretages relativt afslappet ) C p lille (under 1.33 eller ) I dette tilfælde udøves sædvanlig processtyring, f.eks. med anvendelse af x - kort og R - kort. En (for stor) fejlproduktion kan ikke undgås, men den kan søges minimeret ved stram styring ØTGx NTGx af processen, hvorved procesniveauet søges fastholdt på midterværdien. Eventuelt foretages en totalinspektion; eventuelt gennemføres en produktionsforbedring, hvorved processens spredning formindskes; eventuelt aftales nye tolerancegrænser og/eller en ny pris for det fremstillede produkt osv. Som et mål for den aktuelle kapabalitet indføres et centreringsindeks (performanceindeks) ØTGx x x NTG x C pk = min, 3σ 3σ Hvis C C er processen meget godt centreret, mens C < C viser, at dette ikke er tilfældet. p pk pk p 8.6 PROCESVARIABLEN ER NORMALFORDELT Lad os antage at processen er i kontrol med en middelværdi på µ og en spredning på σ. Vi kender ikke de eksakte værdier, men ønsker at beregne estimater herfor. ~σ For at kunne beregne kontrolgrænserne for x -kortet: x ± 3 må man kende et estimat for n spredningen σ. Man starter derfor altid med at lave et kontrolkort for spredningen. Man udtager i produktionen løbende ( af folk på gulvet ) stikprøver. Da det tidligere var besværligt at beregne estimatet s, foretrak man ofte, at benytte variationsbredderne R i som et mål for spredningen. Derfor vil man stadig møde mange R -kontrolkort selv om s - kontrolkort er blevet mere almindelige. Sædvanligvis vil man benytte et statistikprogram som SAS.JMP til beregning af kontrolgrænser m.m., men som eksempel 8.1 viser, kan man godt beregne dem ved håndkraft ved hjælp af de formler og konstanter, der findes i nedenstående tabeller. En nærmere forklaring på formlerne findes i oversigt

165 8.Statistisk Proceskontrol Tabel 8.1: Kontrolkort. x - R - kontrolkort. Procesvariablen X er normalfordelt n( µ, σ). Procestilstand Kendt: Ukendt: Kendt Ukendt x -kort R - kort x -kort R - kort Centerlinie µ d σ x R Nedre kontrolgrænse µ A 1 σ D 1 σ x A R D R 3 Øvre kontrolgrænse µ + A 1 σ D σ x + A R D R x - s - kontrolkort. Procesvariablen X er normalfordelt n( µ, σ). x -kort s - kort x -kort s - kort µ c 4 σ x s µ A 1 σ B 5 σ x A3 s B s 3 4 µ + A 1 σ B 6 σ x + A3 s B s 4 Estimater $ σ R d $ σ s c 4 Tabel 8.. Konstanter til fastlæggelse af kontrolgrænser ved hjælp af x - kort, R - kort og s-kort. n x - kort R - kort s - kort A 1 A A 3 d d 3 D 1 D D 3 D 4 c 4 B 3 B 4 B 5 B ,

166 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Eksempel 8.1. Kontrol af stof i levnedsmiddelprodukt. En levnedsmidddelvirksomhed har problemer med at holde koncentrationen af et skadeligt stof A i et konservesprodukt nede under en øvre tolerancegrænse på 1 enheder pr. gram. Man vælger derfor at få foretaget en kontrolkortanalyse. På basis af tidligere erfaringer inddeles målingerne i 30 undergrupper, som hver har deres karakteristika:(råvarecharge, apparatur, tidspunkt på dagen osv.). For hver undergruppe (som er på 5 målinger) er der af hensyn til de følgende beregninger også beregnet gennemsnit x i, variationsbredde R i og spredning s i. Gruppe Målinger x i R i s i Gruppe Målinger x i R i s i SUM ) Foretag ved hjælp af x og R - kort en kontrolkortanalyse og opstil kontrolkort, der kan benyttes til en løbende kontrol af indholdet af det skadelige stof. ) Idet der er fastsat en øvre tolerancegrænse på 1, skal man finde sandsynligheden for at én måling falder udenfor, når processen antages i kontrol med de i punkt 1 fastsatte kontrolgrænser. Løsning (håndregning). 1) Først foretages en R - kort analyse. 81 Idet R = = er grænserne for R - kortet ifølge tabel 8.1 (og tabel 8.): 30 NKGR = D3 R = = 0og ØKGR = D4 R = = Det ses, at alle grupper pånær gruppe 8 falder indenfor grænserne. Man foretager nu en nærmere undersøgelse af hvilke forhold i gruppe 8 der kan tænkes at bevirke dette. Hvis det eksempelvis skyldes et bestemt apparat, kan man kassere dette eller reparere det. Vi vil i det følgende udskyde gruppen, revidere grænserne og se om de resterende grupper nu falder indenfor de nye grænser. 81 Vi får R * = = og dermed 9 NKG = D * R = = * og. R ØKGR = D4 R = =

167 8.Statistisk Proceskontrol Nu falder alle grupper indenfor kontrolgrænserne, og vi konkluderer derfor at processen er i kontrol med hensyn til spredningen, og at denne estimeres ved ~ * R σ = = = d. 36 Dernæst foretages en x - kort analyse x * = = 5676., og dermed 9 * * NKGx = x A R = = 058. * * ØKGx = x + A R = = Det ses, at alle grupper pånær gruppe 16 falder indenfor grænserne. Man foretager nu en nærmere undersøgelse af hvilke forhold i gruppe 16 der kan tænkes at bevirke dette. Vi vil i det følgende udskyde gruppen, revidere grænserne og se om de resterende grupper nu falder indenfor de nye grænser x ** = = Strengt taget burde vi også revidere R - kortet, men da en udskydelse af punkt 16 kun vil give en ubetydelig ændring af R - grænserne beholdes disse. ** * NKGx = x A R = = ** * ØKGx = x + A R = = Vi antager herefter at processen også er i kontrol med hensyn til middelværdien. De to kort med de reviderede grænser kan nu benyttes til den løbende proceskontrol. ) X = koncentrationen af stoffet A ved en enkelt måling. X antages normalfordelt n(5.407, 3.840). PX ( > 1. 0) = normcdf ( 1,, , 384. ) = Løsning SAS.JMP. Data indtastes på sædvanlig måde: gruppe osv indhold af A 1) Vælg Graph Control Chart X Bar I menu vælg Process = Indhold af A Sample Label = gruppe Marker Xbar, R, ksigma OK Vi får følgende udskrift 160

168 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Variables Control Chart XBar of Indhold af A 15 Mean of Indhold af A UCL=11,17 Avg=5,77 LCL=0, gruppe Note: The sigma was calculated using the range. R of Indhold af A 30 Range of Indhold af A UCL=19,81 Avg=9, 37 LCL=0, gruppe Det ses, at gruppe 8 er udenfor kontrolgrænserne på R-kortet. Det kan somme tider være svært umiddelbart at se om et punkt falder indenfor eller udenfor kontrolgrænsen Det er ikke tilfældet her, men ellers kan man gøre følgende Rød pil ved R-kort Test beyond limits Nu bliver alle punkter udenfor markeret Synes man figuren er for lille og uoverskuelig, så Højre musetast på figur Size/Scale Y-axis Angiv Min, Max og Incrediment. Gruppe 8 udskydes. Cursor placeres på gruppe 8 på R-kort venstre musetast, I datatabel markeres nu gruppe 8 med blåt Cursor på gruppen Højre musetast Exclude Gentag med det nye datasæt Control Chart X Bar I menu vælg Process = Indhold af Sample Label = gruppe Marker Xbar, R, ksigma OK Vi får nye kontrolkort med nye grænser For R-kortet er UCL =

169 8.Statistisk Proceskontrol Vi ser, at nu er der ingen udenfor R-kortet, men stadig en gruppe (gruppe 16) udenfor kontrolgrænserne på x - kortet. Vi udskyder nu dette punkt efter samme metode som før, Derefter er der ingen punkter på hverken - kortet eller R- kortet, der er udenfor grænserne De to kort kan nu benyttes til den løbende proceskontrol. XBar of Indhold af A R of Indhold af A x Mean of Indhold af A UCL=10,56 Avg=5,41 LCL=0,6 Range of Indhold af A UCL=18,88 Avg=8,93 LCL=0, gruppe gruppe Kontrolgrænserne kan aflæses på kortet. Spredningen σ kan findes på følgende måde: Vælg rød pil ved Variable Control Chart Save sigma ok Cursor på søjleoverskrift Indhold af A højre musetast Column Info Man kan nu aflæse spredningen til ) Rød pil ved Variable Control Chart Capability Upper Spec Limit = 1 OK Control Chart Sigma -3s Mean +3s USL Sigma = 3,83871 Capability Index Lower CI Upper CI CP... CPK 0,57 0,485 0,659 CPM... CPL... CPU 0,57 0,485 0,659 Portion Percent PPM Sigma Quality Below LSL... Above USL 4, ,037 3,17 Heraf ses, at P(X>1) = 0 4.9% 16

170 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Eksempel 8.. Kontrol af stof i levnedsmiddelproduktion. Samme spørgsmål som i eksempel 8.1, men udarbejd i stedet for R - kortet et s- kort. Løsning: Først foretages en s - kort analyse Idet s = = er grænserne for s - kortet: 30 NKG = B s s = = og ØKGs = B4 s = = Det ses, at alle grupper pånær gruppe 8 falder indenfor grænserne. Denne gruppe udskydes og grænserne revideres. Vi får s * = = og dermed 9 NKG = B * s s = = og *. ØKG B s. s = 4 = = Nu falder alle grupper indenfor kontrolgrænserne, og vi konkluderer derfor at processen er i * kontrol med hensyn til spredningen, og at denne estimeres ved ~ s σ = = = c Dernæst foretages en x - kort analyse. x * = = 5676., og dermed 9 * * NKGx = x A3 s = = ØKG = * x + x A * s = + = Det ses, at alle grupper pånær gruppe 16 falder indenfor grænserne Denne gruppe udskydes og grænserne revideres: x ** = = Strengt taget burde vi også revidere R - kortet, men da en udskydelse af punkt 16 kun vil give en ubetydelig ændring af R - grænserne beholdes disse. ** * NKGx = x A3 s = = ** * ØKGx = x + A3 s = = Vi antager herefter at processen også er i kontrol med hensyn til middelværdien. De to kort med de reviderede grænser kan nu benyttes til den løbende proceskontrol. Eksempel 8.3. Løbende kontrol. De i eksempel 8.1 fundne kontrolkort er i de følgende dage blevet benyttet til løbende kontrol af processen. 1) I de første 30 dage gav det følgende resultat: Range Range Chart for indhold af A 0 X-bar Chart for Indhold_af_A 16 CTR = 8,93 1 LCL = 0, Subgroup Er processen stadig i kontrol? UCL = 18,89 X-bar Subgroup UCL = 10,55 CTR = 5,40 LCL = 0,5 163

171 8.Statistisk Proceskontrol Man har nu en mistanke om, at koncentrationerne af A har ændret sig. Kan dette bekræftes af kontrolkortene for de følgende 30 dage? Range Range Chart for Indhold_af_A Subgroup UCL = 18,89 CTR = 8,93 LCL = 0,00 X-bar X-bar Chart for indhold af A Subgroup UCL = 10,55 CTR = 5,40 LCL = 0,5 Løsning (håndregning) 1) Det ses, at processen er i kontrol med hensyn til R - kortet, da punkterne fordeler sig tilfældigt omkring centerlinien, og ingen af alarmkriterierne er overtrådt. For x - kortets vedkommende er alarmregel (9 punkter i træk over centerlinie) tæt ved at være opfyldt, men da dag 17 lige er placeret på centerlinien, så anses processen også her at være i kontrol ) Det ses, at for R - kortets vedkommende er alarmregel 3 opfyldt ( 6 på hinanden følgende punkter nemlig dagene 3,4,5,6,7,8 falder i værdi For - kortets vedkommende er alarmregel 5 (mindst 4 punkter ud af 5 falder udenfor en x σ 1 grænse nemlig dagene 1,13,14,15,16,17). Vi må derfor konkludere, at der er grund til at formode, at en nøjere undersøgelse er påkrævet. Løsning (SAS.JMP) Der oprettes på sædvanlig måde en ny datatabel. Lad første søjle få navnet målinger.indsæt de første målinger.vælg som før Control Chart X Bar I menu vælg Process = målinger Sample Size Constant Vælg stikprøvestørelse (eksempelvis 3) Specify Stats indsæt eksempelvis mean(range) = 8,4 og mean(stdv)= 9 OK Der fremkommer nu nogle kontrolkort for xbar og R (hvis det er valgt) og man kan nu løbende sætte sine måleresultater ind i datatabellen. Vælg rød pil ved overskrift xbar tests alle test Man kan nu løbende se om der sker en overtrædelse af alarmkriterierne Nedenfor er givet et eksempel, hvor der også er indtastet de tre Zoner 0 Mean of Column A B C C B A 1 UCL=16,11 Avg=9, 89 LCL=3, Sample 164

172 8.7 Procesvariablen er diskret 8.7 PROCESVARIABLEN X ER DISKRET. Vi vil her behandle den situation, hvor X enten er binomialfordelt eller Poissonfordelt : X er binomialfordelt Procesvariablen X er bestemt ved : X = antal enheder med fejl ud af en stikprøve på n. X er binomialfordelt b(n,p). Sædvanligvis benyttes ved kontrol af fejlprocent ikke p, men middelværdien for binomialfordelingen µ = n p som parameter, og man siger man laver et np - kontrolkort. Som beskrevet i forrige afsnit foretages en kontrolkortanalyse, ved at man opdeler i k undergrupper, som hver er karakteriseret ved en bestemt egenskab. For hver undergruppe i på n enheder findes antallet af fejlenheder. k 1 Beregnes nu gennemsnittet y = y k i, fås hermed et estimat for µ = n p. i= 1 y Et estimat for p er derfor $p = og da spredningen for en binomialfordeling er n p ( 1 p) n forklarer dette formlerne i oversigt 8.3 y i Oversigt 8.3 np - kontrolkort. Procesvariablen X er binomialfordelt b(n,p) Forudsætning Centerlinie Nedre kontrolgrænse Der udtages k undergrupper hver på n enheder. For hver undergruppe i findes antallet af fejlenheder. y i k y i y = = 1 k i y y 3 y 1 n (dog altid mindst 0) Øvre kontrolgrænse Estimater y y y + 3 y 1 $p n n Eksempel 8.4 (np - kort) En fabrikant af nogle specielle typer keramikfliser som er beregnet til at kunne klare høje temperaturer ønsker udarbejdet et kontrolkort. Ved en løbende produktion af fliser udtoges 40 gange en stikprøve på 100 fliser. De blev undersøgt om de levede op til de forventede kvalitetsmål. Fliser der ikke opfyldte disse krav blev klassificeret som defekte Resultatet var følgende: Gruppe Antal defekte Gruppe Antal defekte

173 8.Statistisk Proceskontrol Løsning (håndregning): Procesvariablen X er bestemt ved : X = antal enheder uden fejl af en produktion på 100 fliser X er binomialfordelt b(100, p) Der er i alt 37 defekte fliser fordelt på 40 stikprøver, dvs. i gennemsnit 37 y = = pr. 100 fliser.. Af oversigt 8.3 fås derfor kontrolgrænserne ØKG = y + 3 y y n = = NKG = = = dvs. NKG = 0 Da punkt 37, falder udenfor kontrolgrænserne, foretoges en nærmere undersøgelse af produktionsforholdene på det pågældende tidspunkt, men der blev herved ikke afsløret nogen tegn på væsentlige variationsårsager, jævnfør også, at punkt 37 ikke ligger meget over ØKG. Man sluttede nu, at processen indtil videre kunne betragtes som værende i kontrol med en y procestilstand på p$ = = Løsning SAS.JMP: Data indtastes i en kolonne antal defekte Vælg Control Chart NP I menu vælg Process = antal defektemålinger Constant Size = 100 OK Vælg rød pil på øverste overskrift Tests = ALL tests Show Zones Der fremkommer følgende kort Control Chart NP of antal defekte Number for antal defekte UCL=13,01 Avg=5, 93 LCL=0, Sample Heraf ses, at der kun er et punkt, hvor alarmkriterierne overtrædes. σ σ Ved indførelse på kortet af - grænser og l - grænser ses, at ingen af de alarmgrænser vi omtalte tidligere bliver overtrådt 166

174 8.7 Procesvariablen er diskret 8.7.: X er Poissonfordelt Procesvariablen X er bestemt ved : X = antal fejl i en stikprøve på n enheder. X antages Poissonfordelt p( µ ) Middelværdien af Poissonfordelingen er c= n µ Som beskrevet i forrige afsnit foretages en kontrolkortanalyse, ved at man opdeler i k undergrupper, som hver er karakteriseret ved en bestemt egenskab. For hver undergruppe i på n enheder findes antallet af fejlenheder. k 1 Beregnes nu gennemsnittet c = c, fås hermed et estimat for middelværdien. k i c= n µ i= 1 Vi har derfor, at et estimat for µ er ~ c µ =, og da spredningen for en Poissonfordeling er n forklarer dette formlerne i oversigt 8.4 c i µ Oversigt 8.4 c - kontrolkort. Procesvariablen X er Poissonfordelt P( µ ) Forudsætning Centerlinie Nedre kontrolgrænse Der udtages k undergrupper hver på n enheder. For hver undergruppe i findes samlet antal fejl. c i c k c i = = 1 k i c 3 c (dog altid mindst 0) Øvre kontrolgrænse Estimater c + 3 c $µ = c n Eksempel 8.5.(c - kort) Ved en tekstilproduktion taltes anta1 fejl pr. 100 m klæde. Følgende resultater fandtes (tidsmæssig rækkefølge for produktionen) : nr antal fejl Med henblik på en kontrolkortanalyse skal konstrueres et c-kort for processen Løsning (håndregning) k c = ci i= 1 9 = = k NKG = < 0, dvs. NKG = 0 ØKG = = Punktet (1,10) falder uden for kontrolgrænserne, dvs. processen formodes at have været ude af statistisk kontrol på det pågældende tidspunkt. Fjernes den pågældende undergruppe, fås følgende reviderede kontrolgrænser ud fra den reviderede estimerede procestilstand: 9 10 c 1 = = NKG = 0 (som før), ØKG = = Ingen af de resterende punkter falder uden for de reviderede kontrolgrænser. 167

175 8.Statistisk Proceskontrol Løsning SAS.JMP Hvis den variable er Poissonfordelt dannes et c-kort på samme måde som np-kortet. Kortet med indførelse af σ - grænser og l σ - grænser ses nedenfor. c Chart for Antal fejl c UCL = 8,96 CTR = 3,4 LCL = 0, Observation Da ingen af de alarmgrænser vi omtalte tidligere bliver overtrådt antages derfor, at det reviderede c-kort kan benyttes til løbende kontrol. 168

176 Opgaver til kapitel 8 OPGAVER Opgave 8.1 Ved en fabrikation af solbærsyltetøj tilstræbtes et gennemsnitligt nettoindhold af ca. 455 g solbærsyltetøj pr. glas. På glasetiketten anførtes: Nettoindhold 450 g. Man havde på fabrikken mistanke om, at en af de automatiske fyldemaskiner havde svært ved at fastholde den ønskede nettovægt, og overvejede at foretage et hovedeftersyn af maskinen. For at afgøre, om et sådant burde foretages, udtog man med 5 minutters mellemrum i alt 18 gange 4 successivt producerede glas fra den omhandlede maskines produktion, og nettoindholdet af solbærsyltetøj bestemtes. Følgende resultater fandtes: Stikprøve nr Nettoindhold x Stikprøve nr Nettoindhold x x R 1) Foretag ved hjælp af - kort en kontrolkortanalyse og drag konklusioner med hensyn til, om maskinen synes at trænge til et hovedeftersyn (indsæt punkterne i et kontrolkort med alarmgrænser). ) Estimér, hvor stor en del af produktionen der ville være fejlproduktion (underfyldte glas), såfremt maskinen i statistisk kontrol med den i 1) konstaterede variation producerede med et middelindhold på 455g. Opgave 8. Med henblik på indførelse af en proceskontrol for en løbende produktion er observeret følgende data: Maskine nr Data l l l l1.4 l Foretag en kontrolkortanalyse med opstilling af - kort og s - kort. Udarbejd på basis heraf kontrolkort med alarmgrænser. x 169

177 8 Kvalitetskontrol Opgave 8.3 Ved en fabrikation af gips på basis af kalksten ønskedes indført en løbende proceskontrol med x s - kort. Produktets kvalitet vurderedes bl.a. ved måling af DOP - absorptionen (g DOP/100 g pulver).. Ved den indledende kontrolkortanalyse benyttedes successive råvareleverancer som undergrupper, idet der af hver råvareleverance udtoges en stikprøve af størrelsen 5. Herved opnåedes følgende resultater: Gruppe Sum x i s i ) Udfør en sædvanlig kontrolkortanalyse og vurdér, om processen kan antages at være i kontrol. I det næste spørgsmål forudsættes, at processen under indkørselen var i statistisk kontrol i den i henhold til 1) estimerede procestilstand, og at de udarbejdede kontrolkort derfor benyttes til den løbende kontrol. ) Hvilket middelniveau bør processen ideelt søges indstillet og fastholdt på, hvis der er fastsat følgende tolerancegrænser for produktionen: NTG = 1.0 ØTG = 5.0 Hvilken fejlprocent vil fabrikationen have med dette middelniveau, når spredningen fortsat antages at være den i henhold til 1) estimerede? 3) Angiv kapabilitetindeks Opgave 8.4 På en papirfabrik fabrikeredes en bestemt papirtype ved en af virksomhedens maskiner. Under fabrikationen måltes løbende værdien af en bestemt egenskab G (vægt/arealenhed). Man tilstræbte et gennemsnitligt niveau på 86.0 og havde ved produktionens påbegyndelse fastsat nedre og øvre tolerancegrænser NTG = 85.5 og ØTG =86.5. Produktionsniveauet kunne reguleres op eller ned ved manuel betjening af maskinen. En betroet formand havde instruks om at søge at holde det anførte gennemsnitlige niveau og at regulere på maskinindstillingen, hvis han skulle finde tegn på at produktionsniveauet var faldet under NTG eller over ØTG. Virksomheden besluttede sig i forbindelse med en eksportaftale til at indføre statistisk kvalitetskontrol og foretog indledningsvis en kontrolkortanalyse af G-værdier fra den omtalte maskine. Da man ikke havde nogen tekniske gruppeinddelingskriterier, lod man tidsmæssig nærhed være kriterium og valgte rationelle undergrupper på to på hinanden følgende observationer. Herved fremkom følgende gruppeinddeling: 170

178 Opgaver til kapitel 8 Gruppe G-værdi Gruppe G-værdi ) Opstil som led i kontrolkortanalysen R - kort og vurder om processen efter eventuel fjernelse af enkelte punkter på kortet har været i statistisk kontrol med hensyn til spredning. ) Estimer på grundlag af R - kortanalysen processens spredning σ. 3) Opstil som led i kontrolkortanalysen x - kort og vurder, om processen efter eventuel fjernelse af enkelte punkter på kortet har været i statistisk kontrol med hensyn til niveau. 4) Beregn. idet processen antages indstillet på et gennemsnitligt niveau på 86.0, og processen på det pågældende tidspunkt antages at være i statistisk kontrol med den under punkt estimerede σ - værdi, sandsynligheden p for, at den undersøgte procesvariabel antager en værdi uden for det anførte toleranceinterval. Efter kontrolkortanalysen bestemte driftsledelsen sig til at fortsætte med at føre kontrol med produktionen ved hjælp af x - og R - kort. I forbindelse hermed fastsatte man nye tolerance- grænser for produktionen (de tidligere grænser var blevet fastsat ret tilfældigt af driftsledelsen). 5) Angiv med motivering, hvilke tolerancegrænser du på grundlag af den foretagne kontrolkortanalyse ville fastsætte, såfremt man fortsat ønskede et gennemsnitligt niveau på 86.0 og ikke ønskede at gøre toleranceintervallet bredere, end den pågældende produktion nødvendig- gjorde. Opgave 8.5 Fra en fyldeproces er udtaget 5 stikprøver af størrelsen 400. En enhed siges at være underfyldt, hvis enheden er påfyldt mindre end 95g. Antallet af underfyldte enheder i hver stikprøve er optalt. Følgende data fandtes: Stikprøve nr Antal underf enh. Sum 69 Foretag en kontrolkortanalyse og opstil kontrolkort, der kan benyttes til løbende kontrol. 171

179 9.Statistisk godkendelseskontrol 9. STATISTISK GODKENDELSESKONTROL 9.1 INDLEDNING. Vi vil i dette kapitel betragte problemer af følgende type: Eksempel 9.1. Problemstilling Fra en leverandør til en aftager kommer varer i partier bestående af N emner. Hvert parti kan karakteriseres ved en ukendt procent af fejlemner, som kan variere fra parti til parti. Hvis denne fejlprocent er stor, vil aftageren ikke godkende partiet. Hvorledes afgøres, om et parti skal godkendes eller forkastes? I visse tilfælde er fejlene ved produktionen så uvæsentlige (måske kun skønhedsfejl) at aftagerne ud fra økonomiske overvejelser i en periode har foretrukket helt (eller næsten helt) at undlade en godkendelseskontrol, dvs. leverancerne accepteres uden inspektion. Omvendt kan der være situationer, hvor konsekvenserne af godkendelse af fejlproduktion er så alvorlige, f.eks. helbredsmæssige konsekvenser for forbrugere af medicin (kritiske fejl), at l00%- kontrol principielt er nødvendig. Produktionen må tilrettelægges, så kritiske fejl ikke forekommer. Sædvanligvis vil det imidlertid hverken være økonomisk rentabelt ikke at have nogen godkendelseskontrol (mange fejl giver mange klager og store erstatningsomkostninger) eller have en 100% - inspektion af hvert parti (inspektionsomkostningerne bliver for store). Inspektion af alle emner i et parti stammende fra en massefabrikation af ens artikler vil erfaringsmæssigt alligevel sjældent giver 100% sikkerhed. Der hævdes at være erfaringer om, at en 100% inspektion af et meget stort antal emner kan være ned til kun 80% effektiv, dvs. at op til 0% af de defekte emner kan slippe igennem kontrollen ved en sådan 100% inspektion (på grund af kedsommeligt rutinearbejde). Hvis kontrollen er destruktiv (bevirker at emnet ødelægges), er en total inspektion naturligvis umulig. Det mest økonomiske er sædvanligvis at foretage en stikprøvekontrol, udtage nogle emner fra partiet og på grundlag af en vurdering af disse at afgøre, om partiet skal godkendes eller forkastes. Dette medfører naturligvis, at uanset at kontrollen i gennemsnit fungerer godt, løber aftageren en vis risiko for, at et parti af dårlig kvalitet bliver accepteret, og leverandøren tilsvarende en risiko for, at et parti af god kvalitet bliver forkastet. Indirekte kan godkendelseskontrollen i høj grad påvirke kvaliteten af en produktion gennem det pres, der lægges på producenten, om at forbedre kvaliteten af det fremstillede produkt, såfremt mange leverancer bliver forkastet ved kontrollen. Hvis vurderingen af de udtagne emner baseres på en bedømmelse af hvert emne som fejlfrit eller defekt, taler man om partikontrol ved alternativ variation. Hvis vurderingen baseres på en måling af en kvantitativ egenskab ved hvert emne såsom diameteren af en aksel,, taler man om partikontrol ved kontinuert variation. Vi vil i det følgende kun gennemgå partikontrol ved alternativ variation. Med hensyn til kontrol med andre egenskaber, f.eks. middelværdi og spredning, henvises til egentlige bøger om kvalitetskontrol. 17

180 9.. Enkelt stikprøveplan 9.. ENKELT-STIKPRØVEPLAN Denne stikprøveplan er den mest benyttede i praksis på grund af, at den er så let at administrere. Definition af enkelt stikprøveplan. Lad n være et positivt helt tal, og lad c være et ikke-negativt helt tal, hvor c < n. Ved en enkelt - stikprøveplan (n,c) udtages tilfældigt en stikprøve af størrelsen n, og antallet x af defekte i stikprøven optælles. Partiet godkendes, såfremt x c ; partiet forkastes, såfremt. x > c n kaldes stikprøvestørrelsen. c kaldes godkendelsestallet. Eksempel 9.. Enkelt stikprøveplan Et legetøjsfirma modtager leverancer bestående af billige dukker, og ønsker at kontrollere disses kvalitet ved stikprøveplanen ( nc, ) = ( 100, 3). Angiv hvorledes kontrollen skal foregå. Løsning: Af hver leverance (på dukker) udtages en stikprøve på 100. Hvis 3 eller færre af disse er defekte godkendes hele leverancen, ellers forkastes det. OC-kurve for en stikprøveplan For en given stikprøveplan kan man beregne sandsynligheden for at et parti bliver godkendt (acceptsandsynligheden p a ) som funktion af partiets fejlprocent. Grafen for denne funktion kaldes funktionens OC-kurve. Beregning af acceptsandsynlighed. Der udtages en stikprøve på n emner uden tilbagelægning ud af en leverance på N emner. Lad c være godkendelsestallet. X = antal fejlemner blandt n emner. Lad sandsynligheden for fejl i leverancen være p. Acceptsandsynligheden er pa ( p ) = P ( X c ). Der er M = N p Sædvanligvis vil det gælde, at b(n, p). fejlemner i partiet, dvs. X er hypergeometrisk fordelt h (N, M, n). n, og derfor kan approksimeres med binomialfordelingen N 1 10 Eksempel 9.3. Beregning af OC - kurve. Et legetøjsfirma modtager leverancer bestående af N = dukker, og ønsker at kontrollere disses kvalitet ved stikprøveplanen ( nc, ) = ( 100, 3). Beregn acceptsandsynligheden p a for fejlprocenterne 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, og tegn på grundlag heraf stikprøveplanens OC - kurve. Løsning: X = antal fejlemner blandt n = 100 emner. Er sandsynligheden for fejl p i leverancen er der M = N p = p fejlemner i partiet. X er derfor hypergeometrisk fordelt h(10000, p, n) 173

181 9.Statistisk godkendelseskontrol n Da kan fordelingen for X approksimeres med binomialfordelingen b(100, p). N = Vi finder da eksempelvis, at Pa P X binomcdf(100, 0.0, 0, 3) = På tilsvarende måde findes de øvrige værdier. 100p% P ( p) % a Acceptsandsynlighed 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 OC kurve n=100, c= Fejlprocent 100 p Valg af parametre i enkelt-stikprøveplan. Til bestemmelse af stikprøvestørrelsen n og godkendelsestal c vælger de to parter, leverandør (producer) og aftager (consumer) to risikopunkter som på OC - kurven skal gå igennem. 1) den tilfredsstillende kvalitet AQL (Acceptable Quality Level), og den tilsvarende acceptsandsynlighed P ( AQL ) = 1 α a, hvor α kaldes leverandørens risiko. (AQL,1 - α ) kaldes leverandørens risikopunkt. ) den utilfredsstillende kvalitet LQ (Limiting Quality), og den tilsvarende acceptsandsynlighed P ( LQ ) = β a, hvor β kaldes aftagerens risiko. ( LQ, β) kaldes aftagerens risikopunkt. De to risikopunkter må altid vælges ud fra de konkret foreliggende forhold (tekniske, økonomiske m.v.), idet AQL sættes lig en lille" fejlandel p G, og LQ sættes lig en noget større fejlandel p K. (jævnfør den følgende figur) Traditionelt vælges næsten altid α = 5% og β =10%. Undertiden vælges dog β = 5%.. 174

182 9.. Enkelt stikprøveplan En enkelt stikprøveplan er i princippet fastlagt ved disse specifikationer og kan approksimativt bestemmes ved hjælp af tabel 9.1. Eksempel 9.4. Bestemmelse af stikprøveplan. Ved levering af et partier på dukker træffer en leverandør og en aftager aftale om at vælge en enkelt - stikprøveplan bestemt ved, at acceptsandsynligheden i tilfælde af 0.6% defekte dukker i partiet skal være 95%, og i tilfælde af 3,1% defekte skal være ca. 10%. Bestem stikprøvestørrelsen n og godkendelsestallet c. Løsning: LO p Idet AQL =0,6% og LQ = 3,1% er R =. AQL = k p = 31. = G 06, I tabel 9.1 i kolonnen for α = 5% og β =10% fås, at det største tal mindre end 5.17 er n p g Dette svarer til, at godkendelsestallet c = 3. I kolonnen for og α = 5% findes 137 n pg = 137 n = = Vi finder derfor c = 3 og n = 9 Beregning af stikprøveplan I stedet for at benytte tabellen kan man da p-værdierne er små (forhåbentlig højst 10%) approksimere binomialfordelingen b(n,p) med Poissonfordelingen P( µ ) hvor µ = n p. Benyttes tallene fra eksempel.4 haves LO pk 31. IdetAQL =0,6% og LQ = 3,1% er R = = = = , eller R n p k k = µ = = AQL pg 06, n p µ Vi har nu: P( Y c) = 010. PoisCdf ( y, 0, c) = 010. og P( X c) = 095. PoisCdf ( x, 0, c) = 095. Gæt på c: c = 5: solve(poiscdf(x,0,5)=0.10,x) x>0 Resultat x = 9.7 solve(poiscdf(y,0,5)=0.95,y) y>0 Resultat y = R = = c = 4: x =7.99 y = 1.97 R = 4.05 G g 175

183 9.Statistisk godkendelseskontrol c=3: x = 6.68 y= 1.37 R = 4.87 c= x = 5.3 y= 0.8 R = 6.49 Vi vælger nu det nærmeste tal under den ønskede værdi for R = , dvs c = Vi har nu for c = 3: n pk = x n= = 0031 Konklusion: (n,c) = (9,3) n pg = x n = = REKTIFICERENDE KONTROL. Undertiden aftales, at stikprøvekontrollen skal udføres på den måde, at leverandøren underkaster alle kasserede partier 100% - inspektion og renser" disse partier, dvs. erstatter fejlemner med fejlfrie emner. En sådan kontrol kaldes for rektificerende kontrol (rensende kontrol). En sådan aftale kan eksempelvis ske ved leverancer inden for samme virksomhed (intern kontrol) eller hvis en (dominerende) storaftager ikke er sikker på, at en leverandør kan overholde aftagerens krav til AQL - værdi. I forbindelse med fastlæggelse af en enkelt stikprøveplan med rektificerende kontrol spiller følgende begreber en stor rolle. AOQ (Average Qutgoing Quality): Fejlandelen af de udgående partier når de indkommende partier produceres af en proces, der med en sandsynlighed på p frembringer fejlemner. Der gælder formlen AOQ = p P ( p). Bevis: Det modtagne parti har en fejlsandsynlighed på p, og sandsynligheden for at dette parti bliver godkendt er P ( a p ). Det udgående parti (efter den rektificerende kontrol), vil derfor have en fejlsandsynlighed p u på enten p eller på 0 afhængig af om det blev godkendt eller ej. Vi får derfor: AOQ = E( p ) = p P ( p) + 0 ( 1 P ( p) = p P ( p) u a a a AOQL (Average Outgoing Quality Limit): Den maksimale værdi af AOQ. ATI (Average Total Inspection): Den gennemsnitlige totale inspektionsstørrelse når de indkomne partier produceres af en proces, der med en sandsynlighed på p frembringer fejlemner. Der gælder formlen ATI = n + ( N n) ( 1 Pa ( p)) Bevis: Lader vi n T betegne det totale antal inspicerede emner ved en rektificerende kontrol, må det gælde, n med sandsynligheden Pa ( p) at nt = N med sandsynligheden 1 Pa ( p) Middelværdien bliver E( n ) = n P( p) + N ( 1 P( p)) = n+ ( N n) ( 1 P( p)) Det følgende eksempel illustrerer beregningerne. T a a a a Eksempel 9.5 Rektificerende kontrol. Vi betragter atter den i eksempel 9.4 omtalte situation, med kontrol af dukker, idet man har valgt enkeltstikprøveplanen (n,c) = (9, 3). Vi antager nu, at der yderligere er aftalt, at kontrollen udføres som rektificerende kontrol. Beregn acceptsandsynligheden AQL og ATI for p = %. Løsning: Da vi har et stort parti kan approksimeres med binomialfordelingen b(9, 0.0) Pa (. 00) = P( X 3) = binomcdf(9, 0.0, 0, 3) = og dermed og ATI = 9 + ( ) ( ) =

184 9.4.Dobbelt stikprøveplan 9.4. DOBBELT STIKPRØVEPLAN Anvendelsen af dobbelt-stikprøveplaner er administrativt noget besværligere end benyttelsen af enkelt-stikprøveplaner. Er det imidlertid meget dyrt (besværligt) at kontrollere emnerne, er det væsentligt at stikprøvestørrelsen bliver så lille som muligt og man kan i sådanne situationer se en fordel i at gå over til en dobbelt-stikprøveplan. Den gennemsnitlige stikprøvestørrelse vil derved ofte kunne formindskes i forhold til stikprøvestørrelsen n for en enkelt stikprøveplan (n,c), som går igennem de samme risikopunkter. Definition af dobbelt stikprøveplan. Lad n 1 og n være positive hele tal, og lad c1, c og c 3 være ikke- negative hele tal, hvor c1 < c < n1og c c3 < n1 + n. Ved en dobbelt-stikprøveplan ( n1, n, c1, c, c3) udtages tilfældigt en stikprøve af størrelsen n 1 og antallet x 1 af defekte i stikprøven optælles. Partiet godkendes, såfremt x1 c1; partiet forkastes, såfremt x1 > c. Såfremt c1 < x1 c udtages en ny stikprøve af størrelsen n og antallet x af defekte i den anden stikprøve optælles. Partiet godkendes, såfremt x + x c ; partiet forkastes, såfremt x + x > c 1 3 Skematisk kan en dobbelt stikprøveplan fremstilles på følgende måde: 1 3 Som det fremgår, forudsætter fastlæggelsen af en bestemt dobbelt-stikprøveplan valg af stikprøvestørrelserne n 1 og n og de tre tal c1, c og c 3. Hvorledes dette valg påvirker beslutningen om accept eller forkastelse af modtagne varepartier, som underkastes kontrol i henhold til en dobbelt-stikprøveplan, illustreres som ved enkelt- stikprøveplaner af den til planen hørende OC-kurve. 177

185 9.Statistisk godkendelseskontrol Bestemmelse af en dobbelt-stikprøveplan OC-kurven for den valgte plan skal på samme måde som ved enkelt-stikprøveplan så vidt muligt gå gennem de risikopunkter ( p G, 1 α ) og ( p k, β). Dette er imidlertid ikke tilstrækkeligt til en entydig bestemmelse af en dobbelt-stikprøveplan. En sådan bliver derimod mulig ved valg af ekstra bånd mellem parametrene. Sædvanligvis forlanger man, at n = n1 eller n = n1. Endvidere vælges ofte c3 = c, hvilket har vist sig ikke at hindre, at man i praksis altid kan bestemme en velegnet dobbelt-stikprøveplan. På samme måde som for enkelte stikprøveplaner er der for dobbelte stikprøveplaner udarbejdet tabeller. Tabel 9. er en sådan tabel, hvor, n = n1 eller n = n1, c3 = c, α = 5% og β = 10%. ASN (Average Sample Number):Værdien af den gennemsnitlige stikprøvestørrelse for en given værdi af produktionskvaliteten p. Der gælder formlen ASN = n + n P( c < X c ) n 1 n Formlen fremgår af, at der altid udtages en stikprøve på og der så yderligere udtages med en sandsynlighed på Pc ( < X c). 1 1 Ækvivalente stikprøveplaner er stikprøveplaner, der går gennem de samme risikopunkter. Som nævnt er fordelen ved de dobbelte stikprøveplaner i forhold til de enkelte stikprøveplaner, at for ækvivalente stikprøveplaner, vil den gennemsnitlige stikprøvestørrelse være mindre for de fleste (alle) værdier af p. Eksempel 9.6 Bestemmelse af en dobbelt-stikprøveplan. Ved levering af et partier på dukker træffer en leverandør og en aftager aftale om at vælge en dobbelt - stikprøveplan ( n1, n, c1, c, c3) som er ækvivalent med den i eksempel 9.9 angivne enkelte stikprøveplan, dvs. at acceptsandsynligheden i tilfælde af 0.6% defekte dukker i partiet skal være 95%, og i tilfælde af 3.1% defekte skal være ca. 10%. 1) Bestem stikprøveplanens parametre, idet vi ønsker, at n = n1, og c3 = c. ) Skitser OC-kurven på basis af de 4 støttepunkter man kan beregne ud fra tabellen 3) Find acceptsandsynligheden for p = % ved aflæsning på kurven. 4) Find acceptsandsynligheden for p = % ved direkte beregning. 5) Find ASN for de to risikopunkter, samt for p = 4 %. LØSNING: LO p 1) Idet AQL =0,6% og LQ = 3,1% er. AQL = k p = 31. = G 06, I tabel 9. ud for række 9 fås, at det største tal mindre end 5.17 er Dette svarer til, at c1 = 1og c = 4. Endvidere fås n1 pg = 77 n1 = = Vi finder derfor ( n, n, c, c, c ) = (19, 58,1, 4, 4)

186 ) P () 0 = 100% a 9.4.Dobbelt stikprøveplan P a ( ) = 95% :Leverandørens risiko må være ca. 5%, da vi her beregnede n 1 ud fra p G = Af række 9, fås, at pa( pk) = 10% for n1 pk = 39 pk = = 304%., dvs. 19 P a ( ) = 10%. Aftagerens risiko på 10% opnås for p = 3.0%, altså lidt mindre end den aftalte på 3.1%. Dette skyldes, at tabellen ikke indeholder forholdet Af række 9, fås, at p ( p ) = 50% a for n p p = 197 = = 153%., dvs. 19 P a ( ) = 50%. Vi har altså fundet følgende tabel: 100 p % Pa ( p) % )Af kurven fås, at P a (. 00) 31% 4) X 1 =antal fejlemner blandt n 1 = 19 emner X = antal fejlemner blandt n = 58 emner n X 1 og X er hypergeometrisk fordelt, men da kan approksimeres med en N 1 10 binomialfordeling. Man får en accept på måder: Ved 1. stikprøve på 19, at få højst 1 defekt. eller Ved 1. stikprøve på 19 at få over 1 og mindre end eller lig 4, og i alt på 1. og. stikprøve højst at have fået 4. P ( 00. ) a = P ( X 1) P ( X ) P ( X ) P ( X 3) P ( X 1) P ( X 4) P ( X 0) = + 1 = + 1 = = PX ( ) = binomcdf(19, 0.0, 0, 1) =

187 9.Statistisk godkendelseskontrol P( X1 = ) P( X ) + P( X1 = 3) P( X 1) + P( X1 = 4) P( X = 0) = binompdf(19, 0.0, ) binomcdf(58, 0.0, 0, ) +binompdf(19, 0.0, 3) binomcdf(58, 0.0, 0, 1) +binompdf(19, 0.0, 4) binomcdf(58, 0.0, 0,0) = P a (. 0 0) = = ,% 4 5) ASN = P( 1 < X 4) p % P( 1< X1 4) 0 binomcdf(19, 0.06,,4) = binomcdf(19, ,,4) = binomcdf(19, 0.04,,4) = ASN = =6.0 Det ses som forventet, at for meget gode partier og for meget dårlige partier, vil den gennemsnitlige stikprøvestørrelse blive mindre end de 9 vi fandt ved den ækvivalente enkelte-stikprøveplan. 180

188 Tabel 9.1. Bestemmelse af enkelt - stikprøveplaner c Tabel 9.1.Bestemmelse af enkelt - stikprøveplaner pk R = pg og p p α g k regnes i procenter 1% 5% 10 α β β β 1% 5% 10% 1% 5% 10% 1% 5% 10% 1% 5% 10% n p G

189 9.Statistisk godkendelseskontrol Tabel 9.: Bestemmelse af dobbelt stikprøveplan. α =5%, β =10%; c3 = c. p regnet i %. P a p Plan pk n c 1 c 95% ( p G ) 50% 10% ( p K ) nr pg n 1 p n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

190 Opgaver til kapitel 9 Opgaver Opgave 9.1 En fabrik fremstiller billige disketter. Disketterne pakkes i kasser, som hver indeholder 100 disketter. Produktionen er i statistisk kontrol, og det vides, at der i gennemsnit er 1 defekt diskette ud af 15 disketter. 1) Angiv øvre og nedre kontrolgrænse for et kontrolkort, baseret på, at man hver time udtager en kasse på 100 disketter, og optæller antallet af defekte disketter. En forretningskæde med 5 forretninger køber hver måned et stort antal disketter fra fabrikken. Kæden træffer aftale med fabrikanten om at benytte en enke1t-stikprøveplan med følgende specifikationer: Ved den tilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 0.8, skal leverandørens risiko være 10%. Ved den utilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 3, skal aftagerens risiko være 10%. ) Bestem stikprøvestørrelsen n (afrund til nærmeste med 100 delelige tal) og godkendelsestallet c. 3) Beregn aftagerens risiko ved en fejlprocent på 3. 4) Hver af de 5 forretninger foretager ovennævnte stikprøvekontrol. Hvis produktionen er i statistisk kontrol således, at der som nævnt i gennemsnit forekommer 1 defekt diskette ud af 15 disketter, beregn da sandsynligheden for, at fabrikanten får et parti godkendt, a) i forretninger ud af de 5, b) i alle 5 forretninger. Opgave 9. Ved en statistisk partikontrol ved alternativ variation fastsættes en enkelt-stikprøveplan ved følgende specifikationer: Ved den tilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 3, skal leverandørens risiko være 5%. Ved den utilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 8, skal aftagerens risiko være 5%. 1) Bestem stikprøvestørrelsen n (afrund til nærmeste med 10 delelige tal) og godkendelsestallet c. ) Beregn for den valgte stikprøveplan acceptsandsynlighederne Pa(. 004), Pa(. 005), Pa(. 006), Pa(. 007), Pa(. 010). 3) Skitsér stikprøveplanens OC-kurve. Opgave 9.3 En kemisk fabrik bestemte sig for at indføre kontrol med kvaliteten af en produktion, som virksomhedens halvfabrikatafdeling leverede til færdigvareafdelingen. Kontrollen udførtes som partikontrol ved alternativ variation med en enkelt-stikprøveplan fastlagt ved følgende specifikationer: Ved den tilfredsstillende kvalitet, fejlprocent, skal leverandørens risiko være 1%. Ved den utilfredsstillende kvalitet, fejlprocent 10, skal aftagerens risiko være 1%'. 1) Bestem stikprøveplanens parametre. stikprøvestørrelsen n (der rundes op til et med 10 deleligt tal) og godkendelsestallet c. 183

191 9.Statistisk godkendelseskontrol Halvfabrikatafdelingen havde en dagsproduktion på 500 emner. og stikprøvekontrollen foretoges én gang daglig på den samlede dagsproduktion. Efter nogen tids forløb bestemte man sig til med bibeholdelse af den valgte enkelt-stikprøveplan at udføre kontrollen som en rektificerende kontrol. ) Idet l00p' angiver de til kontrollen indgående partiers fejlprocent og l00p u de fra kontrollen udgående partiers fejlprocent, ønskes E(p u ) bestemt for følgende værdier af p': p' ) Angiv grafisk E(p u ) som funktion af p'. 4) Bestem, idet n T betegner det totale antal emner, som inspiceres ved den rektificerende kontrol, E(n T ) for den værdi af p', for hvilken E(p u ) er størst. Opgave 9.4 En enkelt -stikprøveplan ønskes fastlagt ved følgende specifikationer: Tilfredsstillende kvalitet AQL: p G = 10%.. Leverandørens risiko: α = ca 5%. Utilfredsstillende kvalitet LQ: p k = 70%.. Aftagerens risiko: β = ca 10%. 1) Bestem stikprøveplanens parametre. ) Bestem den ækvivalente dobbelte stikprøveplans parametre, idet der yderligere er givet, at stikprøvestørrelserne: n = n1, og godkendelsestallene: c3 = c 3) Skitsér OC - kurven på basis af de 4 støttepunkter man kan beregne på basis af tabellen, samt for p = 4%. 4) Beregn den gennemsnitlige stikprøvestørrelse ASn for de to risikopunkter, samt for p = 4% og for p = 10% og afbild resultatet grafisk. 5) Giv på basis heraf en vurdering af om det ville være en fordel at gå over til den dobbelte stikprøveplan. Opgave 9.5 Ved en kontrol af en bestemt type installerede husholdningsgasmålere udførtes en stikprøvekontrol af disse ved anvendelse af en dobbelt-stikprøveplan. Man valgte en procedure, hvorved målere fra samme årgang (partistørrelse ca. 000) med 4 års mellemrum kontrolleredes ved stikprøveudtagning. En dobbelt-stikprøveplan ønskes fastlagt ved følgende specifikationer: Stikprøvestørrelserne: n = n1, Godkendelsestallene: c3 = c Tilfredsstillende kva1itet AQL: p G = 4%.. Leverandørens risiko: α = ca 5%. Utilfredsstillende kvalitet LQ: p k = 90%.. Aftagerens risiko: β = ca 10%. 1) Bestem dobbelt-stikprøveplanens parametre. ) Skitsér OC - kurven på basis af de 4 støttepunkter man kan beregne på basis af tabellen. 3) Bestem den gennemsnitlige stikprøvestørrelse for de ovenanførte p -værdier. 4) I praksis udførtes kontrollen som rektificerende kontrol, således at alle målere af den undersøgte årgang udskiftedes med nye målere, såfremt partiet" kasseredes. 5) Beregn for hver af de oven anførte p -værdier den gennemsnitlige fejlprocent efter kontrollen og angiv approksimativt den maksimale gennemsnitlige fejlprocent AOQL. 184

192 10 ANTALSTABELLER 10.1.Indledning INDLEDNING Vi vil i dette kapitel betragte observationer, som bliver katalogiseret i klasser (categorical data). Et eksempel herpå er følgende: Eksempel 10.1.(antalstabel) Et ministerium planlægger en oplysningskampagne om de fysiske og psykiske virkninger af at ryge hash. Før kampagnen viste en undersøgelse at 7% af indbyggerne ønskede at hash blev legaliseret, 65% at man beholde det nuværende forholdsvis liberale straffepolitik, 18 % ønskede strengere straffe og 10 % havde ingen mening. Efter kampagnen spurgte man 500 personer (repræsentativt udvalgt), og svarene fremgik af følgende tabel. Legalisering Efter eksisterende lov Strengere straf Ingen mening Efter kampagnen Kan man på dette grundlag vise på et signifikansniveau på α = 001.,at kampagnen har betydet en ændring af folks mening? Af central betydning for testning af sådanne spørgsmål er begrebet multinomial eksperiment. Definition af et multinomialt eksperiment. 1) Lad et eksperiment have k mulige udfald. Disse udfald kaldes klasser, kategorier eller celler ) Eksperimentet gentages n gange uafhængigt af hinanden. 3) Sandsynligheden for de k udfald er p 1, p,..., p k (hvor p 1 + p p k =1) er de samme ved de n gentagelser. 4) De statistiske variable der er af interesse er antallet n 1, n,..., n k i hver af de k klasser. Betragter vi eksempel 10.1 ses, at betingelserne er opfyldt: Eksperimentet består i tilfældigt at udtage n = 500 personer af en stor population og spørge dem om strafferammen for besiddelse af hash 1) Udfaldene er svar på spørgsmålet, og der er k = 4 (og kun 4) svarmuligheder (4 klasser). ) Resultatet af hvad en person svarer vil være uafhængigt af hvad de øvrige svarer. 3) Sandsynligheden for udfaldene i de 4 klasser vil være p 1, p, p 3 og p 4, hvor disse sandsynligheder er ukendte. 4) De statistiske variable X i er antal personer blandt 500 som har en af de i meninger om straffen for hash. Den test der anvendes kaldes en χ test. Kort beskrevet bygger testen på, at man under forudsætning om at nulhypotesen er sand for hver klasse beregner en forventet værdi E i. Kaldes den tilsvarende observerede værdi for O i så beregnes summen χ k = O i= 1 ( E i i) E i Det er klart, at ligger de observerede værdier tæt ved de forventede værdier, så er summen lille, mens den bliver stor hvis de ligger langt fra hinanden. Man kan vise, at størrelsen χ er χ -fordelt, med et frihedsgradstal på f = k 1 m, hvor k er antal klasser og m er det antal parametre der må benyttes til beregningen af de forventede værdier. 185

193 10 Antalstabeller En forudsætning for denne test er, ingen af klasserne har en forventet værdi under 1, og at mindst 80% af klasserne har en forventet værdi over 5. χ testen er nøjere beskrevet i oversigt 10.1 og 10.. Sædvanligvis vil man benytte et program til beregningerne Metoden belyses i de følgende eksempler EN-VEJS TABEL Eksempel 10.1.(fortsat) Kan man på det i eksempel 10.1 angivne grundlag vise på et signifikansniveau på α = 001.,at kampagnen har betydet en ændring af folks mening? Løsning: Lad X 1 = antal personer blandt 500, der går ind for legalisering. P(X 1 ) = p 1. X = antal personer blandt 500, der går ind for den nuværende straffepolitik. P(X ) = p. X 3 = antal personer blandt 500, der går ind for en strengere straf. P(X 3 ) = p 3. X 4 = antal personer blandt 500, der ingen mening har. P(X 4 ) = p 4. Vi ønsker at teste nulhypotesen H0: p1 = 007., p = 065., p3 = 018., p4 = 010. mod den alternative H: Mindst én af sandsynlighederne afviger fra den angivne værdi i nulhypotesen. Vi beregner nu de forventede værdier, forudsat nulhypotesen er sand. Resultatet opstilles i det følgende skema: nr Før kampagnen 7% 65% 18% 10% E i = Forventet antal = = = = 50 O i = Observeret antal Da alle de forventede værdier er større end 5 er forudsætningerne for at kunne foretage en χ - test opfyldt. Da vi ikke har anvendt nogle parametre ved beregningerne af de forventede værdier, er χ - fordelt med frihedsgradstallet f = k - 1 = 4-1 = 3 TI 89: APPS, STAT/LIST Indtast observeret antal i list1 og forventet antal i list F6:Test 7: Chi GOF ENTER Udfyld menuen ENTER P - value =

194 10.3 Todimensional tabel Beregning ved formel ( ) χ = O E i i ( ) ( ) ( ) ( ) = E i χ er χ - fordelt med frihedsgradstallet f = k - 1 = 4-1 = 3 P - værdi = P( χ > ) = chicdf(13.49,,3) = = Da P - værdi = < 0.01 forkastes nulhypotesen, dvs. kampagnen har haft en betydning for meningen om legalisering af hash. SAS.JMP har intet egentlig program hertil, så her må man benytte formlerne til at beregne P- værdien Testning af fordelingstype. Er der data nok, er der ved ovennævnte metode muligt at teste om en statistisk variabel har en forventet fordeling (som eksempelvis normal- binomial- eller Poisson-fordeling). Det følgende eksempel hentet fra eksempel 1.1 i kapitel 1 viser fremgangsmåden. Eksempel 10.. (Testning af om data er normalfordelt). En fabrik der fremstiller plastikprodukter ønsker at evaluere holdbarheden af rektangulære støbte plastik blokke som anvendes i møbelfabrikationen. Der udtages tilfældigt 50 blokke, og deres hårhed måles (i Brinell enheder). Resultaterne var følgende Lad X = holdbarheden af plastblokke Vi antog dengang, at X var normalfordelt n( x, s) og sandsynliggjorde det grafisk ved bl.a. et normalfordelingsplot Foretag en χ - test af denne påstand. Løsning: Vi fandt i eksempel 1.1, at gennemsnittet x = 66. og et estimat for spredningen er s = Vi ønsker at teste nulhypotesen H 0 : X er normalfordelt med middelværdi 66. og spredning Vi deler nu intervallet fra den mindste værdi til den største værdi op i en passende mængde intervaller, og tæller op, hvor mange resultater der falder i hvert interval. Resultatet ses i nedenstående skema som de observerede værdier. Under forudsætning af, at nulhypotesen er sand, kan man nu beregne det forventede antal i hvert interval. Som et eksempel på beregnes den forventede værdi i intervallet ]40 ; 60]: Ei = 50 ( P( 40 < X < 60) = 50 normcdf( 40, 60, 66., 5. 09) = = Da ingen forventede værdier må være under 1 slås de yderste klasser sammen. Endvidere må højst 0% være under 5, men det ses nu at være opfyldt. 187

195 10 Antalstabeller Klasser Observerede værdier Forventede værdier Klasser sammenlægges ]- - 0] ]0-40] ]40-60] ]60-80] ]80-300] ]300-30] ]30 - [ Da vi har brugt to værdier (gennemsnit og spredning) til at udregne de forventede værdier, er f = k = 5-3 =. TI 89: APPS, STAT/LIST Indtast observeret antal i list1 og observeret antal i list F6 Test, 7: Chi GOF ENTER Udfyld menuen ENTER Vi får P - værdi = Beregning ved formel: χ ( ) ( ) ( ) = = P-værdi = P( χ > 3.95) = chicdf(3.45,, ) = Da P - værdi =17.8% > 5% accepteres nulhypotesen, dvs. vi kan ikke på det grundlag afvise, at X er normalfordelt To-vejs tabel I dette afsnit betragter vi eksperimenter, hvor data er karakteriseret ved to kriterier. Eksempel Test af uafhængighed Ved et universitet indstillede et år 500 studerende sig til en årsprøve, der bl.a. omfattede matematik og fysik. De opnåede karakterer i de to fag inddeltes i 4 grupper: Fysikkarakterer Observerede værdier - 3, 0, 4 7, 10 1 Total -3, , Matematikkarakterer 7, Total Undersøg om der er en sammenhæng mellem de opnåede fysikkarakterer og de opnåede matematikkarakterer. 188

196 10.3 To-vejs tabel Forventede værdier Løsning: X 1 = antal studerende med opnået matematikkarakter X = antal studerende med opnået fysikkarakter H 0 : X 1 og X er statistisk uafhængige. Håndregning: Beregning af forventet værdi. Et estimat for sandsynligheden for, at man i matematik får 0 eller 3 er Et estimat for sandsynligheden for, at man i fysik får 0 eller 3 er Hvis X 1 og X er statistisk uafhængige er sandsynligheden får både en dårlig matematik- og fysik karakter Den forventede værdi er derfor = Resultatet ses i følgende skema. Matematikkarakterer -3, = , = Fysikkarakterer - 3, 0, 4 7, = = = = = = , = = = = = = = = Da alle de forventede værdier er over 1, og kun 1 klasse af 16 ligger under 5 er betingelserne for en χ - test opfyldt. I en tosidet tabel er frihedsgradstallet f = (antal søjle - 1) (antal rækker - 1) = (4-1) (4-1)= 9. ( ) ( ) ( ) χ = = P - værdi = P( χ > ) = chicdf(108.9,,9) = TI 89: APPS DATA/MATRIX 3:New Data = Matrix, Variable = a,row Dimension=4, Col dimension = 4 ENTER, Indtast de observerede tal i matricen. APPS STAT/LIST Enter F6, 8:Chi way ENTER Observed Mat = a. ENTER Vælg Varlink StatsVar expmat F6 Man kan nu se de forventede værdier, og konstatere, at kun 1 ligger under 5. Man kan derfor stole på den fremkomne P - værdi = Da P - værdi = < 0.05 forkastes nulhypotesen (stærkt ) dvs. der er ikke uafhængighed mellem fysikkaraktererne og matematikkaraktererne. 189

197 10 Antalstabeller Når vi ser på tallene er det tydeligt at gode karakterer i det ene fag også har en tendens til at bevirke gode karakterer i det andet fag. Løsning SAS.JMP: Data indtastes som vist nedenfor, idet man sørger for at kolonnerne Matamatik og Fysik ændres til typen Nominal Cursor på navn, højre musetast Modelling Type Nominal Matematik Fysik Antal Vælg Analyze Fit Y By x sæt Matematik som XY sæt Fysik som X sæt antal som Freq ok I den fremkomne tabel sæt cursor på tabel, højre musetast markering ved expected ok slet markeringer ved Total, Col og Row, og sæt Resultat: Contingency Analysis of Fysik By Matematik Freq: Antal Contingency Table Matematik By Fysik Count Expected ,148 54,484 10,388 34, ,48 66,306 1,64 4, ,466 39,578 7,546 5, ,904 96,63 18,44 6, Tests N DF -LogLike RSquare (U) , ,1008 Test ChiSquare Prob>ChiSq Likelihood Ratio 110,981 <,0001* Pearson 108,917 <,0001* Man kan nu se de forventede værdier, og konstatere, at kun 1 ligger under 5. Man kan derfor stole på at Pearson s P - værdi Da P - værdi < 0.05 forkastes nulhypotesen (stærkt ) dvs. der er ikke uafhængighed mellem fysikkaraktererne og matematikkaraktererne. 190

198 Opgaver til kapitel 10 OPGAVER Opgave 10.1 For en støvfyldt gasart ønskede man at bestemme antallet af støvpartikler pr. volumenenhed. Til brug herfor sendte man 500 gange en lysstråle gennem et volumen. der var så lille (10-6 cm 3 ), at det kun indeholdt få støvpartikler. Man iagttog hver gang volumenet gennem et ultramikroskop og optalte antallet af støvpartikler. Forsøgsresultaterne var: Antal partikler I alt Antal gange ) Angiv hvilken fordelingstype du vil benytte for antallet X af støvpartikler pr cm 3. ) Estimer parameteren/parametrene i den formodede fordeling. 3) Foretag en testning af den opstillede model. 4) Estimer middelantallet af støvpartikler pr. cm 3. Opgave 10. Ved måling af 100 akslers diametre fandtes følgende grupperede empiriske fordeling: Intervalinddeling Antal observationer Nedre grænse Øvre grænse χ I alt 100 Udfør en - testning af, om akseldiameteren kan antages at være normalfordelt. (Vink: Ved beregningen af estimater for middelværdi og spredning tænkes alle observationer i et interval samlet i midtpunktet af intervallet) Opgave 10.3 En terning kastedes 10 gange, hvorved følgende resu1tater fandtes: Antal Øjne Antal gange Test nulhypotesen: Terningen er en ærlig" terning. 191

199 Antalstabeller Opgave 10.4 En kemika1iefabrik har påbegyndt en fabrikation af kunstgødning. Ved fabrikationen hældes gødningen i sække af 5 "ens" maskiner, idet det tilstræbes, at nettoindho1det i sækkene er 5 kg i hver. Ved indkørselen af produktionen fandt man, at der var mange overvægtige og undervægtige sække. Fø1gende antalstabel indeholder produktionsresultatet ved første prøvekørsel: Maskiner Nettovægt Under 4 kg Mellem 4 og 6 kg Over 6 kg Foretag en testning af, om det kan antages, at vægtfordelingen er den samme for de 5 maskiner. Opgave 10.5 Ved start af en stor amerikansk industrivirksomhed underkastedes alle 173 ansøgere til et bestemt job på fabrikken en psykoteknisk prøve. Idet ansøgerne grupperedes efter, om de var medlemmer af en fagforening eller ikke, er nedenstående anført resultaterne af den pågældende prøve. Resultat af prøven godt middel dårligt Medlem af en fagforening Ikke medlem af en fagforening Hvad kan der sluttes om sammenhæng mellem præstation ved prøven og medlemskab af en fagforening? Opgave 10.6 En fabrik, der arbejdede i 3 - holdskift, fremstillede b1.a. en bestemt maskindel i massefabrikation. For at undersøge, om kvaliteten af denne maskindel påvirkedes af omstændigheder, der afhang af, inden for hvi1ket tidsrum af døgnet fabrikationen fandt sted (træthed, belysningsforhold m.v.), lod man et bestemt arbejdshold arbejde på hvert af de 3 skift en uge ad gangen. Man regnede med, at produktionsbetingelserne fra uge ti1 uge var i det væsentlige uændrede. Arbejdsholdets ugentlige produktion var: Skift Antal ikke - defekte emner Antal defekte emner kl kl kl Foretag en statistisk ana1yse af, om produktionens kvalitet må antages at afhænge af produktionsperioden. 19

200 Opgaver til kapitel 10 Opgave 10.7 Et forsikringsselskab har i løbet af et kalenderår undersøgt bilkaskoskaderne og registreret antallet af skadesanmeldelser og forsikringstagerens (førerens) alder. Resultatet blev: Forsikringstagerens alder Antal skader ) Man havde en forhåndsformodning om, at aldersgruppen 18-7 år skadesmæssigt adskiller sig fra de øvrige grupper. Bekræftes denne forhåndsformodning? ) Tillader det ovennævnte materiale en antagelse om, at der er uafhængighed mellem antallet af skader og forsikringstagerens alder for de sidste 4 aldersgrupper? 193

201 11 Rangtest (fordeling ukendt) 11. RANGTEST (Fordeling ukendt) 11.1 INDLEDNING De testprocedurer vi har benyttet i kapitlerne 3,4 og 5 har alle været baseret på, at i det mindste approksimativt kendte fordelingen (normal-, binomial- eller Poisson-fordelt) og testen vedrørte parametre i fordelingen såsom µ, σ eller p. Denne form for statistik kunne kaldes parametrisk statistik. Kendes fordelingen ikke, og kan man heller ikke approksimere den til en kendt fordeling, så må man benytte de såkaldte ikke- parametriske test. Disse forudsætter ikke, at fordelingen er kendt, og kunne derfor også kaldes fordelingsfri test. Da det ligger udenfor denne bogs centrale emner, er beskrivelsen i det følgende kun oversigtsmæssigt og skrevet med petit. Rangtest Disse test har som forudsætning at observationerne afspejler mindst en ordning, samt at de foreliggende observationer er baseret på (eventuelt underliggende ) kontinuerte statistiske variable, jævnfør det følgende eksempel 3.6 Eksempel Smagsprøveeksperiment. En levnedsmiddelproducent overvejede at introducere et nyt konservesprodukt i stedet for et hidtil produceret. I disse overvejelser indgik resultatet af en smagsprøvning foretaget af et panel bestående af 15 smagsdommere. De smagte hver på det nye produkt og gav dette en "karakter" ved afsættelse af et kryds på et standardliniestykke, hvis ene endepunkt svarer til værst mulig smag, det andet endepunkt til bedst mulig smag. Med henblik på den statistiske analyse af resultaterne transformeredes disse til tal, idet hvert af de 15 standardliniestykker inddeltes lineært efter en skala fra 0 (værst mulig smag) til 100 (bedst mulig smag), og krydsenes placering aflæstes. De transformerede forsøgsresultater var: 75, 90, 66, 8, 75, 88, 55, 80, 83, 75, 70, 80, 68, 86, 84. Ved et stort antal tilsvarende smagsprøvninger af det hidtil producerede konservesprodukt var medianen 70. Producenten ønsker at få at vide, om forsøgsresultaterne giver et eksperimentelt bevis for, at det nye produkt smager bedre end det hidtidige. Tallene i eksempel 11.1 er ikke sædvanlige måletal. Betragtes eksempe1vis de 3 første observationer 75,90 og 66, så kan vi kun slutte, at smagsdommer synes produktet smager bedre end nr. 1 som igen synes det smager bedre end nr. 3. Differensen mellem de to første er 15, mellem nr. 1 og 3 er 9. Vi kan derfor muligvis også slutte, at der vil være større smagsforskel i det første tilfælde end i det sidste. Derimod kan vi næppe slutte, at smagsforskellen i det første 15 9 tilfælde er 100 = 40% større end i det sidste. Det har ingen fysisk realitet at foretage procentiske 15 sammenligninger mellem smagsforskelle. Sådanne sammenligninger ville derimod have mening, hvis der forelå sædvanlige måletal, jævnfør eksempel 1.1, hvor, hvor procentiske forskelle mellem hårheden umiddelbart kan fortolkes. En forsigtig fortolkning af de transformerede resultater af smagsprøvningen er derfor, at de kun afspejler en ordning med hensyn til smag. Da man afsatte punkter på en standardliniestykke hvorved i princippet ethvert tal mellem 0 og 100 kunne tænkes, er kravet om kontinuitet opfyldt. Forudsætningerne for at kunne udføre en rangtest er dermed opfyldt. En diskret skala må altså i princippet ikke anvendes. Man kunne dog godt have anvendt en skala fra 0 til 100 da den ville være tilstrækkelig finmasket i forhold til antallet af smagsdommere. En skala fra 0 til 3 ville derimod ikke kunne bruges (der ville blive alt for mange ens målinger). Man ser undertiden nogle som for en sikkerheds skyld anvender en Rangtest, selv om de faktisk med rimelighed kunne have udført en parametrisk test. Hvis man derved får en forkastelse af nulhypotesen er konklusionen korrekt. Hvis derimod man får en accept, kunne det være at en parametrisk test ville give en forkastelse (da de parametriske test har størst styrke). Derfor skal parametriske test naturligvis foretrækkes, hvis man som tidligere beskrevet har en rimelig formodning om fordelingen. Har man således en stor stikprøve, så kan man i følge den centrale grænseværdisætning være sikker på, at gennemsnittet er normalfordelt, selv om fordelingen ikke er det. De forskellige typer rangtest blive forklaret i forbindelse med passende eksempler. x 194

202 11. Wilcoxons rangtest for 1 stikprøve I den forbindelse får vi brug for følgende oplysninger: Definition af rangtal: Lad os antage vi har givet n forskellige tal. Det mindste af disse tal gives rangtallet 1, det næstmindste tal gives rangtallet osv. Eksempel: Observationer Tilhørende Rangtal n ( n + 1) Sum af Rangtal: Sum af tal fra 1 til n kan vises at være S = n =. Bevis: S = ( n ) + ( n 1) + n S = n+ ( n 1) + ( n ) + ( n 3) Heraf fås S = ( n+ 1) + ( n+ 1) + ( n+ 1) ( n+ 1) = n ( n+ 1) 6 ( 6+ 1) Eksempel S = = = 15 Median : Observationerne ordnes i rækkefølge: Ulige antal observationer: median = midterste tal, Lige antal observationer: median = gennemsnit af de to midterste tal Eksempel: Observationer 6, 17, 7, 13, 5,. Ordnet i rækkefølge:, 5, 6, 7 13, 17. Median 6, WILCOXONS RANGTEST FOR 1 STIKPRØVE Eksempel 11. (fortsættelse). Wilcoxons rangtest for 1 variabel Det hidtidige produkt havde en median på 70. Producenten ønsker at undersøge på et signifikansniveau på 5% om det nye produkt smager bedre end det gamle. Løsning: Lad m betegne fordelingens median. Nulhypotese: H 0 : m = 70 Alternativ hypotese H: m > 70 Differenserne i forhold til medianen på 70 beregnes. x i x i Den numeriske værdi af differenserne tilordnes rangtal, således at den mindste værdi får rangtallet 1, den næstmindste rangtallet, osv. Hvis flere værdier er ens tilordnes de alle gennemsnittet af de rangtal de skulle have haft. Er en differens 0 tilordnes intet rangtal. Rangtallene forsynes derefter med fortegnet for de tilsvarende differenser. Dette giver følgende tabel x i x i Rang af x i , Fortegn Lad w + være summen af rangtallene med positivt fortegn og w summen af rangtallene med negativt fortegn. Da vi udskød en værdi, her vi, at summen af rangtallene er S = = 105. Da w - = +11+1=14 følger heraf, at w + = =

203 11 Rangtest (fordeling ukendt) Hvis nulhypotesen er sand ville vi forvente at der lå nogenlunde lige mange tal over og under medianen på 70, og at summen af rangtallene for de med positivt fortegn ville være nogenlunde lig med summen af dem med negativt 105 fortegn dvs. omkring 5, 5. Man kan vise, at hvis antallet n af tal i stikprøven er større end 10, så vil fordelingen af summen af rangtallene med negativ fortegn og dem med positivt fortegn begge være approksimativt normalfordelt med middelværdi W W + µ = n ( n+ 1) n ( n+ 1) ( n+ 1) og spredning σ =. 4 4 Metode 1: Da antallet i stikprøven er større end 10 kan man approksimere med en normalfordeling med n middelværdi µ = ( n + 1) n ( n+ 1) ( n+ 1) = = 5. 5 og spredning σ = = = Vi har P - værdi = Pw ( ) = (,,.,. ) =., 14 normcdf ( eller P - værdi = Pw ( ) (,,.,. ). ) + 91 = normcdf = Da P-værdi < 0.01 forkastes H 0 ( stjernet), dvs. vi har vist, at det nye produkt smager bedre end det gamle. Metode : Hvis n 10 er det nødvendigt at benytte nedenstående tabel. Benyttes denne i dette tilfælde findes, at for n = 14 er w 005. = 5 og w 001. = 15 (da testen er ensidet) Idet w = min{ w, w+ } = min{ 14, 91} = 14 ses, at w < w001.. H 0 forkastes ( stjernet), dvs. vi har igen vist, at det nye produkt smager bedre end det gamle. TABEL Rang test vedrørende 1 statistisk variabel (Wilcoxons teststørrelse). Tabel over kritiske værdier af Wilcoxons teststørrelse w α α n to-sidet test én-sidet test Idet w min{ w, w } forkastes nulhypotesen H 0 hvis w w (jævnfør eksempel 15.). = + < α 196

204 11.3 Wilcoxons rangtest for to uafhængige stikprøver 11.3 WILCOXONS RANGTEST FOR UAFHÆNGIGE STIKPRØVER Hvis de i de første afsnit angivne metoder (t - test m.m.) ikke kan anvendes, fordi forudsætningerne ikke er opfyldte, så kan man sædvanligvis anvende denne metode. Nulhypotesen er, at de to stikprøver er taget fra den samme population med samme medianer. Hvis vi nu danner en rækkefølge for de samlede observationer under et, så burde rangtallene fra de to stikprøver fordele sig tilfældigt i forhold til hinanden. Summen for hver stikprøve burde derfor være nogenlunde den samme. Hvis de afviger meget fra hinanden må nulhypotesen kunne forkastes. Lad antallet i den ene stikprøve være n 1 og summen af rangtallene være w 1. Lad tilsvarende antallet i den anden stikprøve være n og summen af rangtallene være w. Er n1 > 5, n > 5 og n1 n gælder, at fordelingen af summerne W 1 og W er approksimativt normalfordelt med n1 ( n1 + n + 1) n1 n ( n1 + n + 1) middelværdi µ = og spredning σ = 1 Metoden demonstreres i følgende eksempel Eksempel Wilcoxons rangtest for uafhængige stikprøver Man ønsker at sammenligne reaktionstiden for mænd, som har taget én type medicin A, med reaktionstiden for de mænd, der har taget en anden type medicin B. Forsøg har imidlertid vist, at disse reaktionstider ikke er normalfordelte, men fordelingen er skæv mod højre. Man kan derfor ikke benytte en t-test, men måtte benytte en rangtest. Blandt 14 mænd udvalgte man tilfældigt 7 som indtog medicin A mens de øvrige 7 indtog medicin B. Efter en passende tid måltes reaktionstiden for de 14 personer. En person måtte desværre udgå på grund af specielle omstændigheder. Resultaterne var: Medicin A Reaktionstid Medicin B Undersøg om der er signifikant forskel på reaktionstiden. Løsning: Lad m A og m B betegne de to fordelingers medianer. Nulhypotese: H 0 : ma = mb Alternativ hypotese H: ma mb Vi tildeler de samlede observationer rangtal. Medicin A Reaktionstid Medicin B Rangtal A B Vi beregner nu summen w A og w B af rangtallene. w A = = 5 ( na + nb)( na + nb + 1) ( 7 + 6)( ) Idet wa + wb = = = 91 er w B = 91 5 = 66 Da summen af og er et fast tal, vil en lille værdi af den ene delsum betyde en stor værdi af den anden, og w A w B dermed en stor forskel på de to summer. Der gælder derfor, at jo mindre en af delsummerne er, jo større er muligheden for at stikprøverne er udtaget af forskellige fordelinger. Tabelmetode I tabel 11. er for forskellige værdier af antal observationer n 1 og n angivet et interval. I vort tilfælde er na = 6 < nb = 7, og teststørrelsen altså w A = 5.Ved opslag i tabellen under den tosidet test for signifikansniveau 5% fås, at intervalgrænserne er 8 og 56. Da w A 8 forkastes nulhypotesen, dvs. der er signifikant forskel på reaktionstiderne. 197

205 11 Rangtest (fordeling ukendt) Aproksimation med normalfordeling Da de to stikprøver er større end 5 er det tilladeligt at approksimere med en normalfordeling med middelværdi n + + µ = = ( n1 n 1) 6 ( 6 7 1) n1 n ( n1 + n + 1) 67 ( ) = 4 og spredning σ = = = Vi har P - værdi = Pw ( A 5) = normcdf(, 5, 4. 7) = Da P - værdi < 0.05 forkastes H 0, dvs. vi har vist, at der er en signifikant forskel på reaktionstiderne. TABEL 11.. Rang test vedrørende uafhængige statistiske variable (Wilcoxons teststørrelse). I: Tosidet test: α = 005. Ensidet test: α = n n w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø II: Tosidet test: α = 010. Ensidet test: α = 005. n n w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø w n w ø n n : H 0 forkastes hvis w < w eller w > w (ligger udenfor intervallet [ w ; w ] 1 n1 n n1 ø n1 ( n1 + n + 1) Hvis n 1 10 og n 10 er teststørrelsen approksimativt normalfordelt med middelværdi µ = og n1 n ( n1 + n + 1) spredning σ = 1 n ø 198

206 11.4 Kruskal Wallis test Da det kan være ret besværligt at rangordne tallene, kan man få TI 89 til at gøre det på følgende måde: APPS STAT/LIST, slet indholdet i alle gamle listet. Indtast i list 1 først de 6 tal fra medicin A og derefter de 7 tal fra medicin B Indtast i list tallet 1 6 gange og tallet 7 gange (se skemaet nedenfor) list1 list Cursor i list 1 F3 -Ops : Sort list, Adjust all Enter ENTER Man ser nu at LIST 1 er sorteret i stigende rækkefølge, og man kan nu udfylde skemaet KRUSKAL WALLIS TEST. Erstatter ensidet variansanalyse Er forudsætningerne for en ensidet variansanalyse ikke opfyldte, så kan vi benytte nedenstående rangtest (kaldet Kruskal-Wallis test), der som tidligere nævnt kun kræver at observationerne mindst afspejler en ordning, og at den bagved liggende fordeling er kontinuert. Eksempel Kruskal-Wallis test for mere end variable. Et levnedsmiddels smag kan tænkes at afhænge af hvilken af 3 produktionsmetoder der anvendes. For at undersøge om det er tilfældet planlægges følgende forsøg: Med hver af de 3 metoder fremstilles i en forsøgsproduktion 6 prøver. En ekspertsrnager vurderer de i alt 18 smagsprøver enkeltvis og i tilfældig rækkefølge uden kendskab til, hvilken metode der er anvendt i det enkelte tilfælde. Efter hver smagning markeres resultatet ved afsætning af et kryds på et standardliniestykke, hvis ene endepunkt svarer til værst mulig smag, det andet endepunkt til bedst mulig smag. Ved den statistiske analyse af resultaterne transformeres disse til tal, idet hvert af de 18 standardliniestykker inddeles lineært efter en skala fra 0 (værst mulig smag) til 100 (bedst mulig smag). De transformerede resultater er de tal, som angiver krydsernes placering, og kan betragtes som stikprøveværdier af q (=3) kontinuerte statistisk uafhængige variable med ukendte fordelingstyper. De transformerede forsøgsresultater blev: Metode M Metode M Metode M Det bemærkes, at der ved forsøget kun fremkom 5 observationer for metoderne M l og M 3 på grund af tekniske fejl ved fremstillingen af prøver. Idet m 1, m og m 3 betegner de 3 fordelingers medianer, ønsker vi på grundlag af stikprøveværdierne at teste nulhypotesen H 0 : De 3 fordelinger er ens (hvilket indebærer, at m l = m = m 3 ) imod den alternative hypotese H: De 3 fordelinger er ikke ens. 199

207 11 Rangtest (fordeling ukendt) Løsning:TI89 Observationerne tilordnes rangtal som om de kom fra samme population (som ved Wilcoxons test), Da det kan være ret besværligt at rangorden tallene, kan man få TI 89 til at gøre det på følgende måde: APPS STAT/LIST, slet indholdet i alle gamle lister. Indtast i list 1 først de 5 tal fra metode M1 og derefter de 6 tal fra metode M og tilsidst de 5 tal fra metode M3 Indtast i list tallet 1 5 gange og tallet 6 gange og tallet 3 5 gamge(se skemaet nedenfor) list1 list osv Cursor i list 1 F3 -Ops : Sort list, Adjust all Enter ENTER Man ser nu at LIST 1 er sorteret i stigende rækkefølge, og man kan nu udfylde skemaet. Metode M Sum af rangtal R i Rangtal Metode M Metode M Da alle stikprøvestørrelser er større end eller lig 5 gælder det, at teststørrelsen 1 ni( Ri R) χ 1 = nn ( + 1) er χ - fordelt med frihedsgradstal f = 3-1 = Som det ses af formlen vil χ være tæt ved nul hvis nulhypotesen er sand, mens den får en stor værdi hvis de gennemsnitlige rangtal afviger meget fra hinanden, så testen er ensidet. Beregningsteknisk er det lettere at anvende den i appendix 11.1 angivne omskrivning: k R i χ i= 1 n i = 3 ( n + 1) = 3 ( 16+ 1) = 60. n ( n + 1) 16 ( ) ( ) Da P - værdi = P χ > 60. = chicdf ( 60.,, = < 0.05 forkastes nulhypotesen (tæt ved accept), og vi må derfor konkludere, at de 3 fordelinger ikke er identiske. Ud fra de fundne summer må man kunne slutte, at metode 1 giver en bedre smag end metode

208 11.4 Kruskal Wallis test Løsning: SAS.JMP Data indtastes som vist nedenfor metode Smag m1 61 m1 69 m1 79 m1 61 m1 59 m 6 m 58 osv m3 54 m3 57 Vælg Analyze Fit y by x Indsæt smag i Y og metode i X ok rød pil " Non-parametric Wilconson test ENTER Man får bl.a. følgende udskrift Wilcoxon / Kruskal-Wallis Tests (Rank Sums) Level Count Score Sum Score Mean (Mean-Mean0)/Std0 m1 5 6,500 1,5000,14 m 6 47,500 7,9167-0,36 m3 5 6,000 5,000-1,817 1-way Test, ChiSquare Approximation ChiSquare DF Prob>ChiSq 6,0484 0,0486* Small sample sizes. Refer to statistical tables for tests, rather than large-sample approximations. Da P - værdi = < 0.05 forkastes nulhypotesen (tæt ved accept), og vi må derfor konkludere, at de 3 fordelinger ikke er identiske. Ud fra de fundne summer må man kunne slutte, at metode 1 giver en bedre smag end metode 3. 01

209 11 Rangtest (fordeling ukendt) OPGAVER Opgave11.1 Et mellemprodukt ved en kemisk proces bliver med mellemrum undersøgt for urenheder. Urenhedsniveauet (i ppm) blev ved sidste måling målt til Kan du ved en rangtest vise, at urenhedsniveauet er mindre end.5 ppm ( ). α = 005. Opgave 11. Ved en psykologisk undersøgelse ønskede man at undersøge om den førstefødte af to tvillinger har en tendens til at blive mere aggressiv end den sidstfødte. Man gav 1 tvillingpar den samme psykologiske test. Resultaterne af testen ses nedenfor. Et større pointtal viser tegn på en større aggresivitet. Tvillingepar nr førstfødte sidstfødte ) Hvorfor er en rangtest rimelig at anvende i dette tilfælde. ) Foretag en testning af om man på grundlag heraf konkludere at den førstfødte er mere aggressiv end den sidstfødte. Opgave 11.3 Ved en udgravning på Cypern fandt man bl.a. Byzantinske mønter fra to perioder af Manuel I's regering ( ). Der var 9 mønter fra den 1. udmøntning og 7 mønter fra den 4. udmøntning. Mønterne blev analyserede for indholdet af sølv, og man fandt følgende resultater (i %): 1. udmøntning udmøntning Test, om der er forskel på sølvindholdet for de to udmøntninger 1) ved en rangtest, idet man er usikker på om forudsætningerne for en parametrisk test er opfyldt. ) ved et parametrisk test. Opgave 11.4 Et støberifirma har købt nye maskiner som producerer stempler af en anden type end de hidtidige maskiner. Efter nogen tids produktion begyndte der at komme klager over, at de nye stempler ikke har samme holdbarhed som de hidtidige. For at teste dette udtager man tilfældigt stempler fra såvel den nye som den gamle type og måler på en testmaskine, hvor længe det varer inden de går i stykker. Man fandt (i timer): Gamle stempler Nye stempler Undersøg ved en ikke-parametrisk test på et signifikansniveau på 5% om de gamle stempler holder længere end de nye stempler. Opgave 11.5 Ved forskellige metoder til syntetisering af et stof fandtes følgende udbytter (%) Metode Metode Test, om middeludbyttet er forskelligt ved de metoder. Da man ikke er sikker på, at forudsætningerne for en parametrisk test er opfyldt, så vælges at udføre en rangtest. 0

210 Opgaver til kapitel 11 Opgave 11.6 Med henblik på markedsføring af dansk Feta-ost i et mellemøstligt land gennemførtes en prøvesmagningsundersøgelse i det pågældende land. Som et led i undersøgelsen medvirkede 3 smagsdommere ved en bedømmelse af 4 ostetyper, hvoraf var bestemte ostefabrikater fra det pågældende land (Feta-typerne l og ), medens de andre var danske, henholdsvis UF-Feta-ost og traditionel dansk Feta-ost. De 3 dommere inddeltes tilfældigt i 4 grupper a 8. Hver af dommerne i samme gruppe fik en prøve af samme ostetype, jfr. nedenstående skema, idet osteprøverne præsenteredes, så smagerne ikke havde mulighed for at identificere de enkelte fabrikater og heller ikke fik oplyst deres oprindelsesland. Ved hver prøvesmagning markeredes vurderingen af osteprøven ved afsætning af et kryds på et standardliniestykke hvorefter krydset på sædvanlig måde "oversattes" til en 0 - l00 - skala. Herved fremkom følgende forsøgsresultater: Udenlandsk Feta-type 1 (gruppe l) Udenlandsk Feta-type (gruppe ) Dansk UF-Feta (gruppe 3) Traditionel dansk Feta (gruppe 4) Foretag en statistisk analyse af forsøgsresultaterne. Opgave 11.7 En å er blevet kraftigt forurenet. For at få et indtryk af, om forureningen påvirker de tre vigtigste fiskearter i samme grad, fangedes nogle fisk, som anbragtes i passende bassiner. En ekspert iagttog fiskene og gav en vurdering af deres helbredstilstand ved for hver fisk at afsætte et kryds på et standardliniestykke, hvis ene endepunkt svarer til meget sygeligt udseende og unormal opførsel, og hvis andet endepunkt svarer til rask udseende og normal opførsel. Derefter opdeltes hvert standardliniestykke efter en skala fra 0 til 5. Idet de tre arter kaldes A, B og C fremkom følgende tabel: A B C Test på grundlag af ovenstående, om det kan antages. at de tre fiskearter lider lige meget under forureningen. 03

211 Appendix APPENDIX APPENDIX 4.1. Formler til beregning af ensidet variansanalyse I denne oversigt vises hvorledes man kan beregne en ensidet variansanalyse, blot man har en lommeregner der kan beregne gennemsnit og spredning. For hvert observationssæt udregnes gennemsnit og spredning. Faktor Observationer Gennemsnit Spredning R 1 x 11, x 1, x 13,..., x 1n1 x 1. s 1 R x 1, x, x 3,..., x n x. s R 3 x 31, x 3, x 33,..., x 3n3 x 3. s 3 R r x r1, x r, x r3,..., x rn3 x r. s r Forudsætning: x ij - værdierne er uafhængige observationer af statistisk uafhængig normalfordelte variable X i med middelværdi µ i og samme varians σ. Beregninger: Lad N = n1 + n + n n r Der beregnes et vægtet gennemsnit af varianserne (vægtet efter frihedsgraderne) ( n1 1) s1 + ( n 1) s + ( n3 1) s ( nr 1) sr SAK1 + SAK SAKr se = = ( n1 1) + ( n 1) + ( n3 1) ( nr 1) N r SAK Sidste omskrivning følger af, at s = n 1 s e er variansen for forsøgsfejlen eller på engelsk error. s e har N - r frihedsgrader. Vi har nu SAK = ( N r) s e Man indtaster alle N målinger og beregner variansen s total e Heraf fås SAK = ( N 1) s total total Man kan vise, at SAK R + SAK e = SAK total og at det tilsvarende gælder for frihedsgraderne Tallene indsætes nu traditionelt i en såkaldt variansanalysetebel, og P-værdien beregnes. Variansanalysetabel: (ANOVA = ANalysis Of VAriance) Variation SAK f SAK (Source) (SS) (df) s = F P - værdi f Behandlinger (Between groups) SAK R r - 1 Gentagelser (Within groups) (error) SAK e N - r Total SAK total N - 1 s R s SAKR = r 1 SAK = N r e 0 F R s = s R 0 04

212 Testprocedure. Nulhypotese: H0: µ 1 = µ =... = µ r H0: R= 0 Ladα være signifikansniveau. H 0 forkastes, hvis P - værdi = PZ ( > FR ) < α, hvor Z er F - fordelt ( ft, f N ) = ( r 1, N r). Konfidensintervaller: Lad rkon = t α ( N r) Konfidensinterval for : 1 se n µ i [ xi. rkon ; xi. + rkon] rkon rkon LSD Konfidensinterval for µ i : xi. ; xi. + Varianshomogenitet. H0: σ1 = σ =... = σk Test for, at de variable Y i har samme varians σ a) Simplificeret F-test. Lad den største værdi af de k estimerede varianser være og den mindste være. s max s Beregn teststørrelsen F = max. smin Lad Y være F - fordelt med frihedsgraderne f = f = n 1 tæller nævner s min Appendix 4.1 H 0 forkastes, hvis P - værdi = PY ( > F) < α. Hvis nulhypotesen accepteres, så antages kravet om varianshomogenitet at være opfyldt. Hvis nulhypotesen forkastes, må anvendes en test med større styrke såsom Bartletts test eller Levines test. b ) Bartletts test. Denne test er beregningsmæssigt vanskelig, og har den svaghed, at den er særdeles følsom overfor afvigelser fra normalitet. k ( ni 1) si 1 i= ( N k) ln ( ni 1) ln( si ) N k Beregn teststørrelsen χ = k 1 1 N k i= 1 ni 1 1 3( k 1) Lad Y være χ - fordelt med frihedsgrade k - 1. H 0 forkastes, hvis P - værdi = PY ( > χ ) < α. c) Levines test. God test, som imidlertid kræver mere end gentagelser. Lad d y y hvor i = 1,,..., k ij = ij $ i, hvor $y er medianen af de gentagelser af i te behandling. Man udfører j = 1,,..., n i n i i en sædvanlig ensidet variansanlyse på tallene d ij Median af en række tal Tallene ordnes i voksende rækkefølge: Ulige antal tal: median = midtertal blandt de ordnede tal, Lige antal tal: median = genemsnit af de to midterste blandt de ordnede tal Eksempel: $y i d ij T 1 108, 110, , 0, T 105, 110, , 1, 0 T 3 108, 111, , 0, En ensidet variansanlyse på giver F = 0.15, og dermed P -værdi = 0.985, dvs. en accept af nulhypotesen. d ij T 4 117, 119, ,, 5 05

213 Appendix Forklaring på konstruktion af normalfordelingsplot. Et koordinatsystemet har en lodret akse, hvor inddelingen er normalfordelt, dvs fordelingsfunktionen for en normeret normalfordeling vil i dette koordinatsystem blive en ret linie. I dette koordinatsystem placeres residualerne som vist: Lad residualerne (fra eksempel 4.1) -, 0,, -3,, 1,.7,-.3, -0.3,1, 3, -4 De ordnes i rækkefølge og man beregner deres komulative frekvens i Residualer x i % Hvis residualerne er aproksimativt normalfordelt burde punkterne (x,y) afsat i koordinatsystemet tilnærmelsesvis de ligge på en ret linie. Normal Probability Plot for RESIDUALS percentage 99, , RESIDUALS 06

214 Appendix 5.1 APPENDIX 5.1. Formler til beregning af tosidet variansanalyse I denne oversigt vises hvorledes man kan beregne en tosidet variansanalyse, blot man har en lommeregner med gennemsnit og spredning. Som taleksempel benyttes eksempel 5.. Forsøgsresultaterne er følgende: Karburator Olieblanding K 1 K O O O Beregning af gennemsnit. Karburator K 1 K Rækkegennemsnit O Olieblanding O O Søjlesum Antal rækker r = 3, Antal søjler q =, Antal delforsøg i celler n = Antal delforsøg i række = n q = = 4. Antal delforsøg i søjle n r = 3 = 6 Antal celler r q = 3 = 6, Totalt antal forsøg N = r q n = 3 = 1. Spredning på de r rækkegennemsnit: s xr = Spredning på de q søjlegennemsnit: s xq = Spredning på de r q cellegennemsnit: s celler = Beregninger: SAK = ( N n q) s = ( 1 4) = , f = r 1 = rækker xr xq SAKsøjler = ( N n r) s = ( 1 6) = , f C = q 1 = 1 SAKceller = ( N n) s celler = ( 1 ) = , f celler = r q 1 = 5 SAK = SAK SAK SAK = , f = f f f = vekselvirkning celler rækker søjle R RC celler R C SAKtotal = ( N 1) stotal = ( 1 1) = , f total = N 1 = 11 SAK = SAK SAK = f = f f = 6 e(=error=residual) total celler 0 total celler (alternativt: SAK SAK SAK søjler celler rækker = n q SAK x rækker, hvor SAK x rækker = ( r 1) sxr = n r SAK x søjler, hvor SAK = ( q 1) s x søjler xq = n SAK x celler, hvor SAK = ( r q 1) s ) x celler celler 07

215 Appendix Opstilling af variansanalysetabel: Variation SAK=SS f s = SAK f F Rækkefaktor R : Olieblanding SAK R = f = R r 1= s R = Søjlefaktor C : Karburator SAK C = f = C q 1= 1 s C = Vekselvirkning R*C SAK RC = f = ( RC r 1)( q 1) = = s RC F RC = s RC e s =5.38 Gentagelser (residual, error) SAK e = fe = r q ( n 1) = 6 s e = Total ftotal = N 1= 11 Test: Lad α være signifikansniveau. 1) H0: R* C = 0 ( Ingen signifikant vekselvirkning) H 0 forkastes, hvis P - værdi = PZ ( > F RC ) < α, hvor Z er F - fordelt ( ft, f N) = ( frc, fe). a) Hvis H 0 forkastes, så opstilles konfidensintervaller til nærmere vurdering af faktorernes virkning. b) Hvis H 0 accepteres, antages, at der ikke er nogen signifikant vekselvirkning, og man pooler de to varianser sammen, til et nyt estimat for forsøgsfejlens variation (støjen). SAK SAK s RC + e m = frc + fe med fm = frc + fe Dette estimat benyttes så til en samtidig vurdering af hovedvirkningerne. b.1) H : R = ( Ingen signifikant virkning af rækkefaktor) Lad F 0 0 sr R = sm H 0 forkastes hvis P - værdi = PZ ( > F R ) < α, hvor Z er F - fordelt ( ft, f N) = ( fr, fm). Hvis H 0 forkastes, så opstilles konfidensintervaller til vurdering af faktorerens virkning. b.) H : C = ( Ingen signifikant virkning af søjlefaktor) Lad F 0 0 sc R = sm H 0 forkastes, hvis P - værdi = PZ ( > F C ) < α, hvor Z er F - fordelt ( ft, f N) = ( fc, fm). Hvis H 0 forkastes, så opstilles konfidensintervaller til vurdering af faktorerens virkning. Opstilling af konfidensintervaller og drage konklusion. Lad være gennemsnittet af værdierne i cellen i i te række og j te søjle. Lad Lad x ij x i. x. j være gennemsnittet af værdierne i den i te række. være gennemsnittet af værdierne i den j te søjle. 08

216 R* C 0 1 1) Konfidensintervaller for hver celle: x t r q n, sn x t r q n s 0 0 ij α ( ( 1)) ; ij + α ( ( 1)) 1 1 n ) R* C = 0 R 0 C 0: For celle i i te række og j te søjle er den estimerede middelværdi ~ = x. + x. x.. (jævnfør betragtningerne i afsnit.3.. side 59.) µ ij i j Konfidensintervaller for hver celle: ~ ( r + q 1) µ t ( ) ; ~ α N r q + 1 s µ + t α ( N r q + 1) 1 N 1 ( r + q 1) s N ij m ij m Appendix 5.1 Det giver et bedre overblik, hvis man udregner de marginale konfidensintervaller: s Konfidensintervaller for hver række: x t N r q n q x t N r q s m m i. α ( + 1) ; i. + α ( + 1) 1 1 n q s Konfidensintervaller for hver søjle: x t N r q n r x t N r q s m m. j α ( + 1) ;. j + α ( + 1) 1 1 n r 3) R* C = 0, R 0 C = 0: For hver række i beregnes et rækkegennemsnit x i. s m1 SAKe + SAK RC + SAK = f + f + f 0 RC C C, fm1 = fe + frc + fc = N r s Konfidensintervaller for hver række: x t N r n q x t N r s m1 m1 i. α ( ) ; i. + α ( ) 1 1 n q 4) R* C = 0, R = 0 C 0: For hver søjle j beregnes et søjlegennemsnit x j s m SAKe + SAK RC + SAK = f + f + f 0 RC R R., fm = fe + frc + fr = N q Konfidensintervaller for hver søjle: x t N q sn r x t N q s m m. j α ( ) ;. j + α ( ) 1 1 n r 1 Kort skrivemåde for, at H : R* C = forkastes. 0 0 Kort skrivemåde for, at H : R* C = accepteres

217 Appendix Appendix 5.. Transformation af Binomialfordelte eller Poissonfordelt variable To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg. Har man faktorer i en fuldstændig faktorstruktur, og de statistiske variable er enten binomialfordelte eller Poissonfordelte, kan man ikke bruge variansanlyseteknikken, da den kræver, at de variable er normalfordelte. Transformeres data som angivet nedenfor er det imidlertid tilladeligt at bruge variansanlyseteknikken på de transformerede data Endvidere får man så den fordel, at man får en eksakt værdi for forsøgsfejlens varians (støjen), som bevirker, at selv om man ikke har gentagelser, så kan man dog teste om der er vekselvirkning. Det skal bemærkes, at testresultaterne er vanskelig at fortolke, så finder man der er vekselvirkning eller hovedvirkninger, så kan man sædvanligvis kun konkludere, at faktorerne har en virkning, men ikke komme nærmere ind på hvorledes denne virkning ytrer sig. Tabel 1 Variabel Relativ hyppighed H H binomialfordelt b(n, p) X X Poissonfordelt p( µ ) Transformation før tosidet variansanalyse Y Forsøgsfejlens varians s 0. Tilhørende frihedsgrad = Arcsin H 1 4n Y = X 1 4 Eksempel : Variabeltransformation. Fire forskellige metoder til anvendelse af et møldræbende middel på uldklæde ønskes sammenlignet ved et forsøg. For hvert af fire forskellige fabrikater uldklæde udtoges 4 ens stykker klæde (0 0 cm), som blev behandlet med hver sin af de fire metoder. På hvert af de 16 stykker uldklæde anbragtes 5 møllarver, hvorefter man observerede det møldræbende middels virkning på larverne i løbet af et givet tidsrum. Resultaterne var (målt i antal døde larver): Klædefabrikat Metode Det antages, at antallet af døde larver ved metode i anvendt på klædefabrikat j er binomialfordelt b(5,p ij ) Foretag en statistisk analyse af om det møldræbende middels virkning afhænger af metoderne, og af klædefabrikatet. Løsning TI89: Da antallet af dræbte larver anses for at være binomialfordelt, foretages den i ovennævnte tabel nævnte variabeltransformation. De relative hyppigheder beregnes ved at alle tal i skemaet divideres med 5. Derefter beregnes Y = Arcsin. Eksempelvis for metode 1 klæde 1: 19 h 11 = = 076. Y = Arcsin h11 = Arcsin = Klædefabrikat Metode Vi kan nu foretage en sædvanlig tosidet variansanalyse. De transformerede tal for klædefabrikat 1 gemmes i list1, klædefabrikat gemmes i list osv. F6 ANOVA-Way ENTER DESIGN=Block, Levls o Col Factor =4 ENTER Næste skema udfyldes med list1, list, list3, list4 og list5 ENTER h ij 10

218 Appendix 5. Resultatet kan umiddelbart aflæses: Nedenfor er de relevante resultater angivet i den sædvanlige variansanalysetabel Variation SAK=SS df MS= s F P-værdi Factor: klædefabrikat Block: Metoder Error Her svarer Error en sum af støj + vekselvirkning. 1 1 Da vi fra ovennævnte tabel kender den eksakte støj til 001 kan tabellen udbygges 4n =. 45 Variation SAK=SS df MS= s F Factor A: klædefabrikat Block B: Metoder Vekselvirkning AB Error 0.01 H 0 : AB = 0 (Model har ingen vekselvirkning) accepteres, da F - værdi er mindre end 1 I det følgende antages, at der ikke er vekselvirkning. Vi pooler ikke, da vi har et eksakt værdi for støjens varians. H 0 : A = 0 (Klædefabrikat har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = P(F > 1.9) =FCdf(1.9,,3, 1000)=0.1 Konklusion: Klædefabrikat har ingen virkning H 0 : B = 0 (Metoder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = P(F >.68)=FCdf(.68,,3, 1000) = < 0.05 Konklusion: Metoder har en (svag) virknng Skal vi finde ud af hvilken virkning der er størst, kan vi udregne konfidensintervaller for de transponerede tal. Metode Klædefabrikat Gennemsnit Radius i konfidensintervallet er s rkon = t = ( ). = nq 14 Konklusion: Metode er ringere end metode 4, mens de øvrige ikke kan adskilles. Løsning SAS.JMP: Antallet af dræbte larver anses for at være binomialfordelt b (5,p) For hver tal x foretages transformationen Y = Arcsin x. 5 Data indtastes på sædvanlig måde: klædefabrikat metode larver k1 m1 19 k1 m 17 k1 m3 19 k1 m4 0 k m1 18 osv. Placer cursor på næste kolonne,og omdøb på sædvanlig måde navnet til transform. Placer cursor i transform s hoved og marker denne ved tryk på venstre musetast tryk på højre musetast Vælg Formula Trigonomeric Arcsine Brug lommeregnertastatyret til resten ok Man ser nu, at søjlen transform er udfyldt med de transformerede tal. 11

219 Appendix klædefabrikat metode larver transform k1 m 17 0, k1 m1 19 1, k1 m3 19 1, k1 m4 0 1, k m1 18 1, osv. På de transformerede tal foretages så en tosidet variansanalyse. Vælg Analyze Fait Model Indsæt for Y: Benzinforbrug,Indsæt for AD:Karburator og Olieblanding Indsæt for CROSS: Karburator,Olieblanding (marker begge) Run Model Det giver følgende resultat Response transform Whole Model Samarie o Fait RSquare 1 RSquare Adj. Root Mean Square Error. Mean of Response 1, Observations (or Sum Wgts) 16 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Ratio Model 15 0, , Error 0 0, Prob > F C. Total 15 0, Effect Tests Source Nparm DF Sum of Squares F Ratio Prob > F klædefabrikat 3 3 0, Metode 3 3 0, klædefabrikat*metode 9 9 0, Da vi fra tabel 1 kender den eksakte støj til 001 kan tabellen udbygges 4n =. 45 Variation SAK f s F Metoder Klæde Vekselvirkning < 1 Gentagelser 0.01 H 0 : AB = 0 (Model har ingen vekselvirkning) accepteres, da F - værdi er mindre end 1 I det følgende antages, at der ikke er vekselvirkning. Vi pooler ikke, da vi har et eksakt værdi for støjens varians. H 0 : A = 0 (Klædefabrikat har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = P(F > 1.9) =FCdf(1.9,,3, 1000)=0.1 > 0.05 Konklusion: Klædefabrikat har ingen virkning H 0 : B = 0 (Metoder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = P(F >.68) =FCdf(.68,,3, 1000) = < 0.05 Konklusion: Metoder har en (svag) virkning For at få et overblik over hvilken metode, der kan anbefales, beregnes 95% konfidensintervaller ud fra en ensidet variansanalyse på metode og transform Oneway Analysis o transform By Metode Oneway Anova Means for Oneway Anova Level Number Mean Std Error Lower 95% Upper 95% m1 4 1, ,0373 1,0035 1,1657 m 4 0, ,0373 0,879 1,0415 m3 4 1, ,0373 1,093 1,1916 m4 4 1,1500 0,0373 1,0689 1,311 Heraf kan sluttes, at metode er dårligere end metode4. Konfidensintervallerne er ikke korrekte, da de ikke er baseret på den eksakte spredning. Mere præcist er radius i konfidensintervallet rkon t ( ) s = = nq 14 1

220 Appendix 7.1 APPENDIX 7.1. Formler til beregning af enkelt regressionsanalyse uden gentagelser. I dette apendix vises hvorledes man kan beregne en enkelt regressionsanalyse uden gentagelser, blot man har en lommeregner med regressionsprogram. I eksempelet er formlerne anvendt på et konkret eksempel. Forudsætning: Data : x x 1 x x 3... x N y y 1 y y 3... y N De N-værdier er uafhængige observationer af stokastisk uafhængig normalfordelte variable Y i med samme varians σ. Det antages endvidere at man har fundet, at data kan beskrives ved en lineær model. Vi har derfor at middelværdien af den statistiske variable Y er en lineær funktion af x af formen EYx ( )= β + β x 0 1 Beregninger: 1) De N punktpar indtastes i lommeregner. Regressionsprogram aktiveres, og blandt beregnede størrelser findes estimater for regressionskoefficienter: $ β $ β, korrelationskoefficient r, gennemsnit, spredning. og x s y 0 1 ) Udfylder variansanlysetabel: Udregner SAK total = ( N 1) s y, SAK = r SAK og SAK = SAK SAK. model total residual total model Variation (Source) SAK (SS) f (df) SAK s = F f Model SAK model 1 s mod el SAKmod el = 1 F model = s s model residual Residual SAK residual N - Total SAK total N - 1 s residual SAK = N residual Test: Lad α være signifikansniveau. 1) H0: Regressionslinien er vandret H0: y er uafhængig af x H0: Model = 0 H0: β1 = 0 Metode 1. Hvis modellen gælder så burde punkterne (uanset om H 0 er sand eller ej) ligge eksakt på en ret linie (og dermed = 0 ), hvis ikke forsøgsresultaterne havde været påvirket af støjen. s residual Et estimat for forsøgsfejlens (støjens) varians er derfor. σ Er H 0 sand, så burde (jævnfør definitionen af SAK model ) s model s residual være nul. Når det ikke er tilfældet skyldes det, at forsøgsresultaterne har været påvirket af støjen. Af samme grund som før må derfor også s model være et estimat for σ. smodel Vi har følgelig, at hvis H 0 er sand, så er Fmodel = 1. s residual 13

221 Appendix Det kan vises, at hvis nulhypotesen ikke er sand, så vil F model > 1, og at F model er F- fordelt med en tællerfrihedsgrad på 1 og en nævnerfrihedsgrad på N -. Testen bliver følgelig en ensidet F - test, dvs. H 0 forkastes, hvis P - værdi = PZ ( < Fmodel) < α, hvor Z er F - fordelt ( ft, fn ) = ( 1, N ). $ $β β 1 1 sresidual Metode. Lad t =, hvor sβ = er et estimat for spredningen på β. 1 sβ s 1 1 model Det kan vises, at t et t - fordelt med N - frihedsgrader. Lad T være t - fordelt med N - frihedsgrader H 0 forkastes, hvis P - værdi = PT ( > t) < α. En fordel ved denne metode er, at man også kan teste H 0 :β 1 > 0 og H 0 :β 1 < 0 ved ensidede test. Hvis begge variable X og Y er statistiske variable kan man tilsvarende teste korrelationen ρ ved ovennævnte t - test. ) H0:β 1 = a, hvor a er en given konstant. $ $β a β 1 1 sresidual Lad t =, hvor sβ = 1 s s β 1 model H 0 forkastes, hvis t > t α ( N ) (for a = 0 svarer det til ovennævnte metode ). 1 Konfidensinterval for β : $ 1 ( ) ; $ $ β1 sresidual β $ β ( ) $ hvor. 1 t α N s β 1 + t α N s sβ = β smodel Lad $ µ = EYx ( = x 0 ) være et estimat for middelværdien µ for Y for en given værdi x = x 0. Konfidensinterval for µ $ µ t ( ) $ ( µ ) ; $ µ ( ) $ α N V + t α N V( µ ) 1 1 hvor $ µ = $ β + $ β x, ( β1) ( x x) $ V$ ( ) 1 0 µ = sresidual + N SAKmodel Prædistinationsinterval: (Konfidensinterval) for 1 ny observation for en given x - værdi: x x $ µ t ( ) ; $ µ ( ), hvor α N Q + t α N Q 1 ( ) ( Q = sresidual $ β1) N SAK model 14

222 APPENDIX 7.. Appendix 7. Beregning af enkelt regressionsanalyse med lige mange gentagelser Forudsætning: Data : x x 1 x x 3... x k y y 11 y 1... y 1n y 1 y... y n y 31 y 3... y 3n... y k1 y k... y kn y ij - værdierne er uafhængige observationer af statistisk uafhængig normalfordelte variable Y i. For hver af de k x - værdier er der lige mange gentagelser n af y - værdier, dvs. i alt N=n k observationer. Der antages, at der er varianshomogenitet (ønskes dette testet se under punkt b) Lad α være signifikansniveau. Beregninger: a) Lack og fit test: H 0 : Lineær model gælder H 0 :( x i, µ i ) ligger på en ret linie H 0 : Residual for gennemsnitspunkter = 0. x i 1) For hver x - værdi indtastes de n y-værdier, og man beregner spredningen s i. s1 + s sk Der beregnes et estimat for den fælles varians se =. k s har k( n 1) = N k frihedsgrader. e ( x, y ) ) De N=n k punktpar indtastes i lommeregner. i ij Regressionsprogram aktiveres, og blandt beregnede størrelser findes estimater for: regressionskoefficienter: $ β $ β, korrelationskoefficient r, gennemsnit, spredning. og x s y 0 1 3) Man udregner SAK total = ( N 1) s y, SAK = r SAK og SAK = ( N k) s SAKlack of fit = SAKtotal SAKmodel SAKe 4) Udfylder variansanlysetabel: Variation (Source) SAK (SS) f (df) Model SAK model 1 Lack of fit SAK lack of fit k - Gentagelser (error) SAK e N - k Total SAK total N - 1 s s mod el lack of fit s model total SAK s = F f SAK = 1 e = model SAK = k SAKe N k lack of fit e F F model lack of fit s = s = e model residual lack of fit s0 5) H 0 forkastes, hvis P - værdi = PZ ( > Flack of fit ) < α, hvor Z er F - fordelt ( ft, fn ) = ( k, N k). Såfremt H 0 accepteres (og et residualplot også virker rimelig) fortsætter testningen: Da såvel se som s lack of fit nu er et udtryk for forsøgsfejlens varians σ, foretages en pooling: ( N k) se + ( k ) slack of fit SAKe + SAK lack of fit s, residual = = N N og F model beregnes (se variansanalysetabel. 6) Formlerne for de forskellige test svarer nu fuldstændig til formlerne i afsnit b) Varianshomogenitet (se appendix 4.1) s 15

223 Appendix Appendix 7.3. Transformation til lineær model. Nr Model Kommentar 1 Linear model: Y = a + b*x Exponential model: Y = exp(a + b*x) a+ bx Y = e a bx = e e ln( Y) = a + bx Sættes Z =ln(y) fås Z= a+b X 3 Reciprocal-Y model: Y = l/(a + b*x) 1 1 Y = = a+ b X a + b X Y 4 Reciprocal-X model: Y = a + b/x 5 Double reciprocal model: Y = l/(a + b/x) Sættes Z = 1 fås Z= a+b X Y b Y = a+. Sættes W = 1 fås Y= a+b W X X Y = = a+ b b a + Y X X Sættes Z = 1 ogw = 1 fås Z= a+b W Y X 6 Logarithmic-X model: Y = a + b*ln(x) Sættes W = ln(x) fås Y= a+b W 7 Multiplicative model: Y = a*x^b b Y = a X ln( Y) = ln( a) + b ln( X) Sættes Z = ln(y) og W = ln(x) fås Z= a+b W 8 Square root-x model: Y = a + b*sqrt(x) 9 Square root-y model: Y = (a + b*x)^ ( ) 10 S-curve model: Y = exp(a + b/x) 11 Logistic model: Y = exp(a + b*x)/(l + exp(a + b*x)) 1 Log probit model: Y = normal(a + b*ln(x)) Y = a + b X. Sættes W = X fås Y= a+b W Y = a+ b X Y = a+ b X Sættes Z = Y fås Z= a+b X a+ b b X Y = e ln( Y) = a+ X Sættes Z = ln(y) og W = 1 fås Z= a+b W X a+ bx e 1 Y = + a bx + a bx = + + ln 1 1 e Y Sættes Z = fås Z= a+b X Y + ln 1 1 Y = a+ b X 1 Φ( ln( )) Φ ( Y) = a+ b ln( X) Sættes Z = Φ 1 ( Y) og W=ln(X) fås Z= a+b W 16

224 APENDIX 7.4. Formler til beregning af multipel regressionsanalyse. Appendix 7.4 I dette appendix vises hvorledes man kan beregne en multipel regressionsanalyse, blot man har en matematiklommeregner med et matrixprogram. Lad der være givet k uafhængige variable og N observationer ( x, x,..., x, y ), i = 1,,..., N og N > k. i1 i ik i x 1 x... x k y x 11 x 1... x N1 x 1 x... x N x 1k x k... x Nk y 1 y... y N Lad regressionsligningen være Y = β0 + β1x1 + βx βkxk, (1) hvor β0, β1, β,..., βk er regressionskoefficienterne Bestemmelse af estimater for regressionskoefficienterne Modellen kan i matrixnotation skrives y = X β y y. y =.. 1 hvor,,. y N X 1 x11 x1... x1 1 x1 x... x = x 1 x... x N N Nk k k β0 β 1. β =.. βk $β β Vi ønsker ved mindste kvadraters metode, at finde en vektor, der er et estimat for vektoren. Løsningen til et sådant overbestemt ligningssystem X β = y er (se eventuelt M. Oddershede Larsen: Matricer og lineære ligninger) bestemt ved T ~ T X X β = X y (kaldet normalligningssystemet). (3) Matricen X T X er en kvadratisk symmetrisk matrix, som sædvanligvis ved regressionsproblemer ikke er singulær. Der eksisterer derfor en invers matrix ( X T 1 X), hvorved løsningen til normalligningssystemet (3) bliver $ T 1 T β = ( X X) X y (4) Herved er regressionskoefficienterne bestemt.. 17

225 Appendix Beregning af variansanalysetabel. Variation (Source) SAK (SS) f (df) Model SAK model k Residual SAK residual N - k - 1 Total SAK total N - 1 s s model residual SAK s = F f SAKmodel = F k SAKr = n k 1 esidual model s = s model residual Som ved den ensidede regressionsanalyse, er residualerne forskellen mellem en observeret værdi tilsvarende værdi $y i beregnet ud fra modellen, dvs. r = y y$. n r i i=1 SAK residual =. Sættes r = r1 r... kan vi foretage følgende omskrivning r N n SAK residual = ri T = r r = T ( y X $ β) ( y X $ β). i=1 i i i og den y i SAK total = ( n 1) s y hvor.er spredningen på y - værdierne SAK model. = SAK total - SAK residual. s y Vurdering af model Har man ikke gentagelser kan man beregne forklaringsgraden r = SAK model SAK total (se vurdering i eksempel 7.4) Har man gentagelser kan man foretage en lack of fit test (se hvordan i eksempel 7.7) Undersøgelse af om modellen kan reduceres. 1) H0: β1 = β =... = βk = 0 mod H: Mindst en af koefficienterne er forskellig fra 0. Teststørrelse F model er F - fordelt med tællerfrihedsgrad k og nævnerfrihedsgrad N - k - 1. Hvis P - værdi = P(F > F model ) < α forkastes H 0, dvs. y er ikke uafhængig af x - værdierne. ) Forkastes H 0 vil man dernæst undersøge om nogle af koefficienterne kunne være 0, dvs. teste nulhypoteserne H 0 :β i = 0 mod den alternative hypotese H:β i 0 $ β Teststørrelsen er i t, som kan vises at være t - fordelt med n - p frihedsgrader, hvor p er antal i = s( $ βi ) regressionskoefficienter H 0 forkastes, hvis P - værdi = PT ( > t i ) < α. Beregningen af s( $ β ) (kaldet standard error for ) beregnes på følgende måde. i For den såkaldte kvadratiske symmetriske p p kovariansmatrix σ T ( X X) 1 (p er antal regressionskoefficienter) gælder, at a) diagonalelementerne er varianserne for regressionskoefficienterne og b) elementerne udenfor diagonalen C ij angiver kovariansen mellem β i og β j $ βi 18

226 Appendix 7.4 Vi beregner derfor σ T residual ( X X) 1, idet vi erstatter σ med sit estimat s residual Af diagonalelementerne fås V( $ β ), V( $ β ), V( $ β ), V( $ β ) osv. Konfidensintervaller $ 100( 1 α )% konfidensinterval for β i. β ( ) ( $ ) $ ( ) ( $ i t α N p s βi βi βi + t α N p s βi). 1 1 Konfidensinterval for et til punktet x 0 svarende værdi $y 0. Lad x0 1 x 01 x0 =.. x0 k y$ t ( N p) s x T ( X T 1 X) x ; y$ t ( N p) s x T ( X T X) x α residual α residual Forklaring på formlen Forklaringen bygger for simpelheds skyld på det enkle regressionspolynomium Y = β0 + β1x1 + βx. Er $ β, $, $ 0 β1 β de estimerede værdier, og indsættes punktet ( x01, x0) i ligningen, fås den dertil svarende estimerede y - værdi y$ $ $ $ 0 = β0 + β1x01 + βx0. Ifølge reglerne for varians af en linearkombination fås V( $ β0 + $ β1x01 + $ βx0) = V( $ β0) + x01 V( $ β ) + x V( $ β ) + x V( $ β, $ β ) + x V( $ β, $ β ) + x 01 x 0 V( $ β 1, $ β ). 1 V( $ β0) V( $ β0, $ β1) V( $ β0, $ β) Sættes x x og idet kovariansmatricen er ses, at 0 = T 1 σ ( X X) = V( $ β β β β β 01 1, $ 0) V( $ 1) V( $ 1, $ ) x0 β β0 β β1 β V( $, $ ) V( $, $ ) V( $ ) V( $ β ) V( $ β, $ β ) V( $ β, $ β ) V( $ $ x $ x ) [ x x ] V( $ 0, $ 0 ) V( $ 1 ) V( $ 0, $ 1 β0 + β1 01+ β 0 = σ β β β β β ) x V( $ 1 β, $ 0 β ) V( $ 1 β, $ 1 β ) V( $ β) x0 V + x + x = x T T ( $ $ $ 1 β β β ) σ ( X X) x Konfidensintervallet bliver følgelig y$ t ( n p) s x T ( X T X) x0; y$ 0 t ( n p) s x T ( X T X) x α residual α residual

227 Appendix Appendix 8.1. Begrundelse for grænserne for kontrolkort Vi danner k undergrupper hver med n observationer. Gruppe Observationer Gennemsnit Variationsbredde Spredning 1 x 11, x 1,,..., x 1n x 1 R 1 s 1 x 1, x,,..., x n x R s k x, x,,..., x x k R k s k k1 k kn Total x R s Grænser for R - kort. Det kan bevises, at E( R) = dσ og σ( R) = d σ, hvor og kun afhænger af 3 d d 3 stikprøvestørrelsen n. Disse konstanter samt alle de i det følgende nævnte konstanter kan aflæses i tabel 4. Et R - kort med 3σ - grænser er derfor bestemt ved : NKG = ( d 3 d ) σ og ØKG = ( d + 3 d ) σ. R 3 R 3 Idet et estimat for E( R) R, fås σ R. d R R Indsættes dette, fås NKGR = ( d 3 d3) = D3 R og ØKGR = ( d + 3 d3) = DR 4 d d. Grænser for s - kort. Selv om der gælder, at Es ( ) = σ, gælder det ikke, at E() s = σ. Man kan imidlertid vise, at Es () = c σ og σ() s = 1 c σ. 3σ 4 4 Følgelig er et s - kort med - grænser bestemt ved : NKG = c 3 1. c = B og ØKG = c c = B s ( 4 4 ) 5 s ( 4 4 ) σ σ σ 6 σ. Es () s σ s Idet et estimat for, fås. c 4 3 Indsættes dette, fås NKGs = c s = B s ØKGs = og c4 s = B5 s c c. 4 x E( x) = µ ogσ( x) = Grænser for - kort. Idet, er et - kort med - grænser: NKG x σ σ = µ 3 = µ A1 σ og ØKGx = µ + 3 = µ + A1 σ n n σ n x 4 3σ Benyttes et R - kort er σ = R d, og dermed R R NKGx = x 3 = µ A R og ØKGx = x + 3 = µ + A R d n d n Benyttes et s kort er σ s, og dermed NKG x c 4 s s = x 3 = µ A3 s og ØKGx = x + 3 = µ + A3 R. c n c n 4 4 0

228 Appendix 10.1 APPENDIX χ - test af hypotese om multinominale sandsynligheder (1 variabel). H : p = c, p = c,..., p = c k k mod den alternative H: Mindst én af sandsynlighederne afviger fra den angivne værdi i nulhypotesen. Lad Oi = ni være den observerede værdi i den i te klasse, n = n1 + n n k den totale stikprøvestørrelse og Forudsat H 0 er sand beregnes de forventede værdier Ei = n ci (E =expected values) i den i te klasse Resultatet opstilles i det følgende skema: Klasse nr 1... k Observerede værdier O i n 1 n n k Forventede værdier E i E1 = n c E n c 1 = Ek = n c ( E ) k Teststørrelse: χ = O i i i= 1 Ei Forudsætning: χ er approksimativt χ - fordelt med et frihedsgradstal på k - 1, hvis ingen af klasserne har en forventet værdi under 1, og mindst 80% af klasserne har en forventet værdi over 5. χ Lad Q være - fordelt med et frihedsgradstal på f = k - 1, H 0 forkastes hvis P - værdi = PQ ( > χ ) < α Hvis man for at kunne beregne de forventede værdier først må benytte de observerede værdier til at beregne m parametre, så bliver f = k m. jævnfør eksempel 10.. k 1

229 Appendix Appendix 10.. χ - test af hypotese i -vejs tabel. Som illustration af metoden benyttes en generalisation af det i eksempel 10.3 omtalte forsøg med at undersøge om der er uafhængighed mellem opnåede matematik- og fysik-karakterer. X 1 = antal studerende med opnået matematikkarakter X = antal studerende med opnået fysikkarakterer Vi ønsker at teste nulhypotesen: H 0 : X 1 og X er statistisk uafhængige. Lad n ij angive antal studerende, der har opnået den til klassen k ij svarende karakter. Observerede Søjlefaktor C (Fysikkarakterer) Marginalt værdier Opdeling 1... q antal 1 n 11 n 1... n 1q d 1 Rækkefaktor R n (Matematikkarakterer) n... n q d r n r1 n r... n rq d r Marginalt antal c 1 c... c q n Tilsvarende angiver p ij den tilsvarende sandsynlighed for at få den til cellen k ij svarende karakter. Observerede værdier Søjlefaktor C (Fysikkarakterer) Opdeling 1... q Marginal sandsynlighed 1 p 11 p 1... p 1q p 1d Rækkefaktor R p (Matematikkarakterer) p... p q p d r p r1 p r... p rq p rd Marginal sandsynlighed p c1 p c... p cq 1 Vi ser således, at de marginale sandsynligheder er pid = pi 1 + pi piq og pcj = p1j + p j prj. Det antages, at udfaldene er uafhængige. At dette så er et multinomialt eksperiment ses af, at der er n udfald, r q klasser og sandsynligheden for hver klasse er vist i ovenstående tabel. Forudsat nulhypotesen er sand, vil der ifølge sandsynlighedsregningens produktsætning gælde, at pid pcj = pij. Det forventede antal i klasse k ij er derfor Eij = n pid pcj d Nu kendes de sande marginale sandsynligheder ikke, men vi kan estimere dem med p$ $. Vi har n og p c i j id = cj = n derfor E n d c d c i j i j (række i total) (søjle j total) ij = = =. n n n totalantalistikprøven χ q r ( Oij Eij ) Teststørrelse: = E j= 1 i= 1 ij Da antallet af klasser er r q og vi primært har estimeret q - 1 marginale rækkesandsynligheder og r - 1 marginale søjlesandsynligheder (da summen af rækkesandsynlighederne = summen af søjlesandsynlighederne = 1) er frihedsgradstallet f = r q 1 ( r 1) ( q 1) = r q r q + 1= ( r 1)( q 1) Forudsætning: χ er approksimativt χ - fordelt med et frihedsgradstal på f = ( r 1) ( q 1),hvis ingen klasser χ - fordelt har en forventet værdi under 1,og mindst 80% af klasserne har en forventet værdi over 5. Lad Q være med et frihedsgradstal på f = k - 1, H 0 forkastes hvis P - værdi = PQ ( > χ ) < α, hvor f = ( r 1) ( q 1)

230 Appendix 10. APPENDIX Kruskal-Wallis rangtest for to eller flere statistiske variable Lad der være givet k stikprøver, og lad den samlede population være rangordnet (se eventuelt nedenstående skema hentet fra eksempel 11.3) Antal Gennemsnit R i Sum af rangtal Metode M Rangtal n 1 = 5 R R 1 = = 6.5 Metode M Rangtal n = 6 R R = = 47.5 Metode M Rangtal n 3 = 5 R R 3 =5.0 3 = Metode M k Rangtal n k R k R k Total n R k k R i 1 n 1 i( Ri R) Teststørrelse: χ i= 1 i= 1 ni = = 3 ( n + 1) nn ( + 1) n ( n + 1) Hvis stikprøvestørrelserne alle er større eller lig med 5 gælder, at teststørrelsen er χ -fordelt med k - 1 frihedsgrader. Hypotesen H 0 : De k fordelinger er ens. H 0 forkastes, hvis χ > χ 1 α ( k 1) eller P - værdi = PY ( > χ ) < α, hvor Y er χ -fordelt med k - 1 frihedsgrader. 3

231 Grundlæggende operationer på Ti89 Grundlæggende operationer på TI Indledning. Sædvanligvis vil man i statistik skulle analysere en eller flere kolonner af tal. I sådanne tilfælde benyttes Statistikmetoden : Vælg APPS, Stats/List, indtast data i eksempelvis list1", og vælg en relevant F- knap. Der fremkommer nu en menu, som er næsten selvforklarende. Ønskes et resultat indsat på indtastningslinien: HOME, Var-Link. I StatsVar mappen markeres den ønskede størrelse, ENTER. Som eksempel se under afsnit 3: Beregning af gennemsnit m.m. Skal man beregne sandsynligheder f.eks P(X < 0.87), hvor X har en kendt sandsynlighedsfordeling, så er der fremgangsmåder: Statistikmetoden: Vælg APPS, Stats/list, F% og vælg den ønskede fordeling Sandsynlighedsmetoden : Vælg HOME, CATALOG,, F3, vælg den ønskede fordeling (benyt evt. ALPHA,+ forbogstav for hurtigt at komme til det ønskede navn). ENTER bevirker at funktionen indsættes på indsætningslinien. Man indsætter nu parametrene (nederst på skærmen kan man se rækkefølgen af parametrene), og ved et tryk på ENTER fås resultatet. Oprette og vælge en mappe ( Folder ): Det kan være praktisk at oprette én eller flere mapper til at have sine data gemt i. VAR-Link, F1, 5: Create Folder, Skriv navn på folder. Vælg F: View, og under Folder vælg den mappe som du vil arbejde i Vælg en mappe som den aktuelle mappe: MODE, Current Folder,. Sandsynlighedsfordelinger. Normalfordeling n( µ, σ ) a) Find p = P( a X b), hvor a,b, µ, σ er givne konstanter. HOME, Catalog, F3,vælg normcdf, ENTER normcdf( ab,, µ, σ) b) Find fraktilen x p : P( X x ) = p, hvor p, µ, σ er givne konstanter. p HOME, Catalog, F3 x p =invnorm( p, µ, σ ) t - fordeling. Lad T være t - fordelt med frihedsgradstallet f. a) Find p = P( a T b), hvor a og b er givne konstanter. tcdf(a,b,f) b) Find fraktilen tα ( f ): P( T tα ( f )) = α ( α given konstant). invt( α,f ) 4

232 3. Beregning af gennemsnit, varians og spredning F-fordeling. Lad F være F - fordelt med tællerfrihedsgradstallet og nævnerfrihedsgradstallet. a) Find p = P( a F b), hvor a og b er givne konstanter. FCdf(a, b, f T, f N ) b) Find fraktilen Fα ( ft, f N): P( F Fα ( ft, f N)) = α invf( α, ft, f N ) 3 Beregning af gennemsnit, varians og spredning APPS, Stats/List, Data indtastes i list1", F4, 1: 1-Var Stats, I menu sættes List til List1" (Benyt evt. Var-Link til at finde List1) Eksempel: Forsøg nr x Udskriften består af en række statistiske størrelser, blandt hvilke man må finde det ønskede resultat. Man finder x = , s x = Skal man regne videre med et resultat, f.eks finde variansen, skal resultatet indsættes på indtastningslinien: Vælg Home og Var-Link. I StatsVar-mappen markerer man den ønskede størrelse. Tryk på ENTER indsætter så størrelsen på indsætningslinien. Ønskes beregning af en enkelt størrelse f.eks gennemsnit = mean, spredning= stddev eller varians = Variance HOME, CATALOG,, F3, Eksempel : Variance(list1) Resultat: f T f N 5

233 Vejledning i SAS-JMP Grundlæggende operationer i SAS-JMP 1. Generelle forhold ved opstart. Efter at have startet SAS-JMP, står man med en typisk Windows skærm med nogle menubjælker og ikoner. Øverst er en hovedmenubjælke med navnene File, Edit, Wiew, osv. Trykkes på en af disse fremkommer en rullemenu, som man skal vælge fra. Trykkes på Wiew JMP-starter, fremkommer en menu hvori nogle af de oftest forekomne anvendelser er angivet..indtastning, redigering og udskrift af data. Man starter sædvanligvis med at analysere nogle data (tal). Disse indtaster man enten selv i et regneark eller man importerer dem fra eksempelvis et Excel- regneark. Eksempel 1. Indtastning af data Indtast følgende data x y Løsning: Dobbeltklik på øverste felt i første søjle (Column 1) og skriv x Indtast tallene søjlevis, dvs. placer cursor på cellen i første række og første søjle, og skriv 1. Tryk ENTER hvorved man kommer til næste række og skriv osv. Gentag proceduren med søjle. Resultatet ser således ud: x y Import af data Findes data i en Excel fil, så vælges fra hovedmenuen File OPEN Filtype: vælg Excel Files (*.xls) fra den fremkomne liste Find den ønskede excel-fil på din harddisk open. Gemme datatabeller Data tabeller kan på sædvanlig måde gemmes i en passende mappe. File SAVE AS osv. Datatabeller overføres pænest ved at vælge Edit Journal hvorefter denne kopieres over i WORD 6

234 5. Sandsynlighedsfordelinger Oprette dele af given datatabel som ny tabel Rows Rows Selection Select Where marker navnet på kolonnen der ønskes over i ny tabel ok Tables Subset OK Vælg hjælp hvis du vil have sætte mere specifikke krav 3. Redigering af udskrifter. Udskrifterne er delt op i afsnit, og over hvert afsnit er der en blå pil. Trykker man på den, vil afsnittet forsvinde. Da udskrifterne sædvanligvis indeholder mange flere oplysninger end man har brug for, er det også nødvendigt at flytte udskriften over i WORD (benyt sædvanlig copy og redigere den her. 4 Eksempel på beregning. Eksempel : Beregn gennemsnit, spredning og varians af x-søjlen i eksempel 1 Løsning: Vælg i hovedmenu Tables Summary Vælg x Statistics Fra listen vælg Mean, Standard diviation og Variance OK I reportvinduet fås følgende udskrift: N Rows Mean(x) Std Dev(x) Variance(x) 5 4, ,5 Alle eksempler er jo også løst i SAS JMP, så der kan man se nogle af mulighederne 5. Sandsynlighedsfordelinger Fremgangsmåden for de forskellige fordelinger er stort set ens, så den beskrives kun udførligt for normalfordelingen Normalfordeling n( µ, σ ) a) Find p = P( a X b), hvor a,b, µ, σ er givne konstanter. Vi har p P X b P X a Normal Distribution b µ = < = Normal Distribution a µ ( ) ( ) σ σ Eksempel: Find p = P( X ) hvis µ = 1133., σ = 56.. Kald Column 1 for p Placer Cursor i p s hoved og marker denne ved tryk på venstre musetast tryk på højre musetast Vælg Formula Den fremkomne menu for Formula indeholder 3 elementer: 1) Table Columns ( hvor søjlernes navne står), ) Lommeregnertastatur (med operatorer for +, - /, potensopløftning, osv.) og 3) Function Groups (hvor forskellige funktioner står, bl.a. Probability) Probability Normal Distribution ( skriv (bemærk decimalpunktum) vælg - fra lommeregnertastaturet skriv cursor udenfor parantes og vælg/ fra lommeregnertastatur 5.6. Bemærk: Benyt kun lommeregnertastaturet ved +, -,/ potensopløftning osv. 7

235 Vejledning i SAS-JMP Vi har nu skrevet Normal Distribution( ) / 5.6) Sørg for at komme udenfor rammen og vælg igen - på lommeregnertastatur Normal Distribution( ) / 5.6) (kopier eventuelt fra før, og ret til 11) ok Resultat: Hvis man ønsker ar se formlen skrevet i tekst (Java) så dobbeltryk på formlen, så fremkommer følgende: Normal Distribution((( ) / 5.6)) - Normal Distribution(( ) / 5.6) b) Find fraktilen x p : P( X x ) = p, hvor p, µ, σ er givne konstanter. x p = µ + σ Normal Quantile ( p ) p Eksempel: Find x p af P( X x p ) =0. 71, hvis µ = 11,, 4 σ = 6. 7 Kald søjle 1 for xp Placer Cursor i xp s hoved tryk på højre musetast Formula Skriv * Probability Normal Quantile(0.71) ok Resultat: χ fordeling. Lad Q være χ fordelt med frihedsgradstallet f. a) Find p = P( a Q b), hvor a og b er givne konstanter ChiSquare Distribution(b, f) - ChiSquare Distribution(a,f) Eksempel:Find, med f = 19 p = P( Q > 7. 36) Kald søjle 1 for p.s Placer Cursor i p s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability 1 - ChiSquare Distribution(7.36,19) ok Resultat: b) Find fraktilen χ α ( f ) : PQ ( χ α ( f)) = α ( α given konstant). qchisq( α,f) Eksempel:Find fraktilen χ () 8. Kald søjle 1 for xp. Placer Cursor i xp s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability ChiSquare Quantile(0.05,8) Resultat: t - fordeling. Lad T være t - fordelt med frihedsgradstallet f. a) Find p = P( a T b), hvor a og b er givne konstanter. t-distribution(b,f) - t-distribution(a,f) Eksempel: Find p= P( T 131. ), med f = 14 Kald søjle 1 for p Placer Cursor i p s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Vælg t-distribution(-1.31,14) Resultat: b) Find fraktilen tα ( f ): P( T tα ( f )) = α ( α given konstant). qt( α,f) Eksempel: Find fraktilen t ( 1) Kald søjle 1 for xp. Placer Cursor i xp s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability t Quantile(0.975,8) Resultat:

236 5. Sandsynlighedsfordelinger F-fordeling. Lad F være F - fordelt med tællerfrihedsgradstallet f T og nævnerfrihedsgradstallet f N. a) Find p = P( a F b), hvor a og b er givne konstanter. F distribution(b, f T, f N ) - F distribution(a, f T, f N ) Eksempel: Find p = P( F ) med f T = 7 og f N = 9 Kald søjle 1 for p. Placer Cursor i p s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Skriv 1-F distribution(1.811,7,9) Resultat: b) Find fraktilen Fα ( ft, f N): P( F Fα ( ft, f N)) = α F Quantile( α, f T f N ) Eksempel: Find fraktilen F ( 78, ) Kald søjle 1 for xp. Placer Cursor i xp s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability F Quantile(0.975,7,8) Resultat Binomialfordeling. Lad X være binomialfordelt b(n,p) Find Pl ( X m), 0 l < m m n, l og m hele tal. Binomial Distribution(p, n, m) - Binomial Distribution(p,n,l-1) Eksempel : P( 3 X 35) hvor n = 100 og p = 0.3 Kald søjle 1 for m. Placer Cursor i m s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Binomial Distribution(0.3,100,35) - Binomial Distribution(0.3,100, 31). Resultat: Poissonfordeling. Lad X være Poissonfordelt p( µ ) Find Pl ( X m), hvor 0 l < m og l og m er hele tal. Poisson Distribution( µ, m) - Poisson Distribution( µ, l-1) Eksempel: Find P( X 119 ) hvor µ = Placer Cursor i m s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Skriv Poisson Distribution(147.6,119) Resultat:

237 Statistiske tabeller TABEL over fraktiler u p i U-fordelingen n( 01, ). PU ( up ) = p. TI 89 : u =invnorm (0.975,0,1) =1.960 p u p p u p

238 Facitliste FACITLISTE KAPITEL (1) P-værdi = 0.48% () [1.186; 1.445] 1.3 P - værdi = (1) P - værdi = () 3,5% [5% ; 40%] 1.5 P - værdi = 0, KAPITEL P - værdi = (1) P - værdi = () [0.70 ; 3.1] 3.3 P - værdi = P - værdi =0.047, [ ; 1.87] 3.5 (1) P - værdi = () P - værdi = (1) 18 () P - værdi = , [11.9 ; 15.0] 3.7 (1) () 4 (3) - (4) P - værdi = P - værdi = P - værdi = (1) P - værdi =0,0479 () P - værdi = P - værdi = (1) P - værdi = () P - værdi = (1) P - værdi = () (1) P - værdi = () P - værdi = KAPITEL P - værdi = , B 4. P - værdi = (1) P - værdi = () S, S4 4.4 (1) P - værdi = , R forskellig fra de øvrige, ja 4.5 (1) P - værdi = () T må foretrækkes. 4.6 (1) - () - 4.7, P - værdi = χ = χ = 1.64, P - værdi =0.07 KAPITEL (1) nej, P - værdi = , (a) K1 (b) frit valg (c) ikke A1 K 5. (1) P - værdi = () ja (3)glas og enten fosfor 1 eller (1) limtyper () II: [3.76 ; 8.10], III: [.69 ; 7.04] 5.4 (1) Kun syrer har virkning, Svovlsyre størst. () 6.45, [5.17 ; 7.73] 5.5 (1) Nej, P - værdi = () ja, P - værdi = Begge har signifikant virkning, vælge vævemetode, og ikke matrialtype Begge, Vitaminbehandling 1 eller 3. 31

239 Facitliste KAPITEL (a) Fabrikationsmetode og farvestof vekselvirker (b ) Fabrikationsmetode, Farvestof ikke tilsat 6. (a) Stabilisator vekselvirker med syrekoncentration og med temperatur (b) Stabilisator skal tilsættes, temperatur på højt niveau. (c) [4.64 ; 49.68] (1) - () B, C D E har virkning (3) , [-1.39 ; 4.64] 6.6 (1) - () - (3) ja (4) - (5) - (6) - (7) - (8) E højt, A og C på alle andre niveauer end A lavt og C højt (1) - () - (3) A, E og F har virkning (4) A højt, F højt, E lavt (5) [5.17 ; 54.15] KAPITEL (1) nej () (3) y= x (4) [-8.5 ; ] (3) [49.1 ; 58.8 ] 7. (1) 70.5% () y = x (3) P - værdi = 0.04 (4) [0.36 ; 1.170] (5) [57.91 ; 100.1] (6) [7.50 ; 85.6] 7.3 (1) r = 0.99 () y = x (3) 54.9 [53.36 ; ] 7.4 (a) r = (b) r =0.994, Punkter ligger mere tilfældigt om kurve, Ja (c ) y = t (d) (1) - () r = (3) ~ ~ α0 = β1 = (4) [91.7 ; 93.7] 7.6 (1) t = ln( dosis) () [-7.55 ;-0.76] (3) [0.656 ; 6.99] 7.7 (1) - () P - værdi = 0.08 (3) P(lack of fit) = 0.753, y = x (4) P - værdi = (5) [5.77 ; 40.76] (6) [56.9 ; 6.69] 7.8 (1) Y = x () P - værdi = (3) ja 7.9 (1) - () - (3) Y = x x, Y =. 036, [1.959 ;.114 ], 7.11 (1) - () Y = x x, (3) y = (4) (37.14, 79.4) 7.1 (1) 3 Y = x x x, () y = 53,45, [47.85;59.05] 7.13 (1) ja () ja (3) Y = x x (4) 66.91, [6.74 ; ] (1) - () y = x x 3 (3)[ 9.64 ; 10.9 ], [ 1.07 ;.31 ] (4) 8.357, [8.0 ; 8.513] 7.15 (1) - () - (3) y = x x (4) [1.93;.57] (5) 56.88, [55.33; 58.44] KAPITEL (1) NKG R =0, ØKG R = 10.14, 451.4, 437.8, tvivlsomt, () 1.03 %. NKG x = ØKG x = NKG x = ØKG x = NKG x = ØKG x = NKG x = ØKG x = 8. NKG s =0, ØKG s = 1.48, 11.36, (1) NKG s =0, ØKG s = 4.45, 18.90, 4.98 (3) 18.5, 0.4% (4) (1) NKG R =0, ØKG R = 1.0, () 0.77 (3) 85.46, NTG x = ØKG x = 8.5 NKG = 0.8, ØKG = (4) 7.1% (5) 85.17, 86.83, 3

240 Facitliste KAPITEL (1) NKG = 0, ØKG = 3.47 () c = 4, n = 300, (3) 5.4 (4a) 0.70% (4b) 61% 9. (1) n = 30, c = 11, () 78.7%, 51.8%, 7.0%, 11.3%, 0.3% (3) (1) n = 180, c = 8, () - (3) - (4) ca (1) (60, 10,1,3,3) () - (3) (1) (78,78,3,6,6) () - (3) (4) AOQL= ca.6% KAPITEL (1) Poisson () 1.64 (3) P - værdi = (4) P - værdi = P - værdi = P - værdi = P - værdi = P - værdi = (1) P - værdi = () P - værdi = KAPITEL , forkastelse w + = w = 4. 5, accept 11.3 (1) w=9.5, forkastelse () P-værdi = w = 8, accept 11.5 w = 33, forkastelse 11.6 =15.60, P - værdi = χ 11.7 χ =5.61, P - værdi =

241 Stikord STIKORDSREGISTER A acceptsandsynlighed 173 Aceptable Quality Level AQL 174 additiv model 55, 61, 65 aftagerens risiko 174 alarmkriterier 153 aliasrelationer 8 antalstabel 185 en-vejs 186, 1 to.vejs 188, Appendix 04 Average Outgoing Quality, AOQ 176 Average Outgoing Quality Limit, AOQL 176 Average Sample Number, ASN 178 Average Total Inspection, ATI 176 B bagatelgrænse 1 Bartletts test 35, 05 behandlinger 9, 53 binomialfordeling kontrolkort 165 test een variabel 5 to variable 0, 6 mere end variable 46, 49 faktorforsøg 70, 10 blokforsøg, randomiseret 4, 68 boxplot 3 C centreringsindex 157 chi-i anden test 185 c - kontrolkort 167 consumers risk 174 D definitionsrelation 8 delforsøg 9 dimensionering 1, 17 dobbelt stikprøveplan 177 tabel 18 E ekstrapolation 116 én faktor ad gangen 53 enkelt regressionsanalyse 109 med gentagelser 17 formler 15 uden gentagelser 11 formler 13 eksponentiel model 13 enkelt stikprøveplan 173 tabel 181 ensidet variansanalyse 33 beregninger-formler 34, 48, 04 en-vejs antalstabel 186, 1 F facitliste 31 faktorer 9 1 faktor på niveauer normalfordelte 13, 3 binomialfordelte 0, 6 Poissonfordelte 1, 6 1 faktor på mere end niveauer 3 faktorforsøg k, fuldstændigt 79 k, partielt 8 fejl af type I 1, 18 fejl af type II 13, 17 F - test 16 simplificeret 35, 05 fordeling, tabel over fraktiler for normalfordeling 30 forklaringsgrad 113 adjusted 138 formler til beregning af test af differens mellem og i normalfordelte prøver 3 µ 1 µ p 1 og p i binomialfordelte prøver 6 og i Poissonfordelte prøver 6 µ 1 µ ensidet variansanalyse 33 tosidet variansanalyse 53, 71, 07 enkelt regressionsanalyse 109 multipel regressionsanalyse 133, 17 fortegnsmatrix 81 forudsætninger for variansanlyse 34 regressionsanalyse 119 fraktiltabel for normalfordeling 30 34

242 Stikord Facitliste fuldstændig faktorstruktur 54 k faktorstruktur 79 fuldstændig randomiseret blokforsøg 4, 68 G gentagelser 9 godkendelseskontrol 17 godkendelsestal c 173 grænser for kontrolkort 0 H histogram 1 hovedvirkning 36 hypotesetest middelværdi :1 normalfordelt stikprøve 1 middelværdi: normalfordelte stikprøver 13 varians: normalfordelte variable 0 I,J ikke-parametrisk test, 188 K kapabilitet 156 kapabilitetsindeks 156 klasser 185 konfidensinterval 1 normalfordelt variabel 4 1 binomialfordelt variabel 5 differens, normalfordelte variable 3 differens, binomialfordelte variable 0, 6 differens, Poissonfordelte variable 1, 6 i ensidet variansanalyse 37, 05 i tosidet variansanalyse 59 LSD 38 regressionskoefficient 10, 14 formler 14 for den til x svarende værdi af Y 10 formler 14 konfunderet partielt k - faktorforsøg 98 kontrolkortanalyse 155 kontrol af binomialfordelt variabel 165 af fejlprocent 165 af normalfordelt variabel 157 af Poissonfordelt variabel 167 løbende 163 rektificerende 176 kontrolkort 153, 0 kvalitetskontrol 151 kvalitetsstyring 151 kvalitet tilfredsstillende 174 utilfredsstillende 174 korrelationskoefficient 111 Kruskal- Wallis test 199, 3 kvalitativ faktor 53 kvantitativ faktor 109 kvartilplot 3 L lack of fit test 18 leverandørens risiko 174 Levines test 05 Limiting Quality LQ 174 lineær model 110 logaritme model 13 LSD (Least Signifikant Difference) 38 M median 3 mindste kvadraters metode 111 multipel regression 133, 17 N nedre kontrolkortgrænse 153 niveau for faktor 53 NKG 156 normalfordeling boxplot 3 histogram plot, 3, 06 test, 1 variabel 3 variable af middelværdi 13, 3 af varians 16, 5 np - kontrolkort 156 O OC-Kurve 173 opgaver kapitel 1 6 kapitel 3 7 kapitel 4 50 kapitel 5 74 kapitel

243 Stikord kapitel kapitel kapitel kapitel kapitel 11 0 outliers 113, 118 oversigter over centrale formler i kapitel 3 3 centrale formler i kapitel 4 48 fremgangsmåde: tosidet variansanalyse 71 fremgangsmåde: partielt k faktorforsøg 104 fremgangsmåde: regressionsanalyse 143 P partiel k - faktorforsøg 84 parvise observationer 18 planlægning af forsøg 8, 10 Poissonfordeling kontrolkort 167 test variable 1, 6 mere end variable 47, 49 faktorforsøg 10 polynomial regressionsanalyse 137 poolet estimat for varians 36 potens model 13 proces i statistisk kontrol 15 proceskontrol 151 proces ude af statistisk kontrol 151 procesvariablen 151 producers risk 174 prædistinationsinterval 10 Q Quality Control 151 Quality management 151 R randomisering 10 randomiseret forsøg 10 randomiseret blokforsøg 4, 68 rangtal 195 rangtest, variabel 195 variable, 197 mere end variable 199, 3 regressionsanalyse enkelt med gentagelser 17 formler 15 uden gentagelser 11 formler 13 transformation 117 forudsætninger 119 multipel 133, 17 polynomial 137 regressionskoefficienter 110 regressionsligning 110 regressionslinie 110 rektificerende kontrol 176 repræsentativ 9 risikopunkter 174 R - kontrolkort 157 residual 111 plot 16 studentized 119 rækkefaktor 55 S SAK = SS 6 SAS.JMP : Grundlæggende operationer 6 Satterthwaites test 14, 3 screeningsforsøg 77 sekventiel forsøgsstrategi 103 Shewart kontrolkort 153 s - kontrolkort 157 specifikationsgrænser 156 SPC 151 SS = Sum of squares 6 statistisk gyldigt forsøg 10 statistisk uafhængige 9 stikprøveplan enkelt 173 dobbelt 177 ækvivalente 148 statistisk godkendelseskontrol 17 statistisk proceskontrol 151 stikord 34 stikprøvestørrelse n 173 studentized residualer 119 styrke af test 13 søjlefaktor 55 T Tabeller Bestemmelse af enkelt stikprøveplan

244 Stikord Facitliste Bestemmelse af dobbelt stikprøveplan 18 Fraktiler i U-fordeling 30 kontrolkort 158 Wilcoxons rangtest for 1 variabel 196 Wilcoxons rangtest for variable 198 tilfredsstillende kvalitet 174 TI89 : Grundlæggende operationer 4 tolerancegrænser 156 tosidet variansanlyse 53, 71 to-vejs tabel 188, transformation 13, 16 U uafhængige statistiske variable 9 utilfredsstillende kvalitet 174 V variabeltransformation 10 variansanlyse ensidet 33 beregninger, formler 34 tabel 6 tosidet 53, 71 beregninger, formler 54 med vekselvirkning 65 additiv 55, 61 varianshomogenitet 35 vekselvirkning 55 W Wilcoxons rangtest for 1 variabel 195 Wilcoxons rangtest for variable 197 X x - streg kontrolkort 157 Æ ækvivalente stikprøveplaner 178 Ø ØKG 156 øvre kontrolgrænse