Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel.
|
|
- Lucas Ravn
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel. Kapitel Deskriptiv statistik Indhold 1. Generelle forhold... 1 Kapitel : Deskriptiv Statistik... 1 Kapitel 4: Normalfordelingen... 6 Kapitel 5: Konfidensinterval for normalfordelte variabele... 7 Kapitel 6: Hypotesetestning ( 1 normalfordelt variabel) Kapitel 7: Sandsynlighedsregning Kapitel 8: Diskrete fordelinger ) Generelle forhold Forudsætninger. Da ikke alle de anvendte statistiske funktioner er indbygget fra starten, skal man først vælge et tilføjelsesprogram: Vælg Filer Indstillinger Tilføjelsesprogrammer marker Analysis toolpak Udfør Analysis toolpak VBA Udfør Problemløser Udfør. Indlægge rækkenumre og søjlenumre Når man skal forklare ordrer i Excel kan det være godt, at række- og søjlenumre indgår i udskrift: Vælg sidelayout under overskrifter og gitterlinier: marker vis og udskrift. Kapitel : Deskriptiv statistik Eksempel.1 Lagkagediagram Nedenfor er angivet hvordan en kommunes udgifter fordeler sig på de forskellige områder. Udligning 3,1 øvrige 8,4 Socialområdet,øvrige 9,4 Ældre 18,6 Børnepasning 10,4 Bibliotek 1,9 fritid 3,8 Skoler 10,5 Administration 7,3 Teknik,anlæg 6,6 Dan et lagkagediagram til anskueliggørelse heraf. 1
2 Eksempler løst ved Excel Data indsættes i kolonner. Marker udskriftsområde Vælg på værktøjslinien Indsæt Cirkel Cursor på figur Formater dataetiketter Vælg kategorinavn og udenfor. Eksempel. Søjlediagram Følgende tabel angiver mandattallet ved to folketingsvalg. Partier A B C F I O V Ø Mandater A = Socialdemokraterne, B =Radikale venstre, C = Konservative folkeparti, F =Socialistisk folkeparti, I =Liberal alliance, O = Dansk Folkeparti, V = Venstre, Ø = Enhedslisten Anskueliggør disse mandattal ved at tegne et søjlediagram Løsning Som i eksempel.1 blot vælges Søjle
3 Kapitel Deskriptiv statistik Eksempel.4. Kvantitativ variabel: tid Fra statistikbanken (adresse er hentet følgende data ind i Excel, der beskriver hvorledes indvandringer og udvandringer er sket gennem tiden. Excel: Vælg Befolkning og valg Flytning til og fra udlandet Ind- og udvandring på måneder under bevægelse vælges flere valgmuligheder, marker alle under måned vælges flere valgmuligheder år og derefter alle Tryk på tabel Drej tabel med uret Gem som Excel fil Indvandringer og udvandringer efter tid og bevægelse Indvandrede Udvandrede Giv en grafisk beskrivelse af disse data. Løsning Marker udskriftsområde Vælg på værktøjslinien Indsæt Streg Marker ønsket figur 3
4 Eksempler løst ved Excel Eksempel.5. Kvantitativ variabel, størrelse af brintionkoncentrationen ph I menneskers led udskiller den inderste hinde en "ledvæske" som "smører" leddet. For visse ledsygdomme kan brintionkoncentrationen (ph) i denne væske tænkes at have betydning. Som led i en nordisk medicinsk undersøgelse af en bestemt ledsygdom udtog man blandt samtlige patienter der led af denne sygdom en repræsentativ stikprøve ved simpel udvælgelse 75 patienter og målte ph i ledvæsken i knæet. Resultaterne (som kan findes som excel-fil på adressen ) var følgende: Giv en grafisk beskrivelse af disse data. Data indtastes i eksempelvis søjle A1 til A75 ( data findes på adressen ) Vælg Data Dataanalyse Histogram I den fremkomne tabel udfyldes inputområdet med A1:A75 og man vælger diagramoutput.. 1) Trykkes på OK fås en tabel med hyppigheder, og en figur, hvor intervalgrænserne er fastlagt af Excel. ) Ønsker man selv at bestemme grænserne, skal man også udfylde intervalområdet. Dette gøres ved at skrive de øvre grænser i en søjle (f.eks. i B1 6.94, i B 7.0 osv. til B10: 7.66) og så skrive B1:B10 i intervalområdet Da et histogram har søjlerne samlet, foretages følgende: cursor på en søjle formater dataserie indstilling mellemrumsbredde = 0 ok I tilfælde 1 fremkommer så følgende udskrift og tegning (efter at have valgt udskrift med decimaler): tryk højre musetast I tilfælde følgende 4
5 Kapitel Deskriptiv statistik Eksempel : Gennemsnit, varians, spredning, median Find gennemsnit, varians, spredning og median af tallene 6, 17, 7, 13, 5, 3 Tast tallene i en kolonne Vælg på værktøjslinien fx Statistisk Middel( A1..A6) tilsvarende vælges varians og stdafv.s og median. Eksempel.9 Kvartil Find kvartiler og median af de 1 tal 7, 9, 11, 3, 16, 1, 15, 8,, 18,, 10 Løsning Data indtastes i eksempelvis søjle A1 til A1 Tryk på f x = statistik På rullemenu vælges Kvartil.medtag Der fremkommer en tabel med anvisning på, hvordan den skal udfyldes. Resultat : 1. kvartil kvartil 15.5 Skal man have mange oplysninger, Data Dataanalyse Beskrivende statistik udfyld inputområde Resumestatistik Det ses bl.a. at spredningen er
6 Eksempler løst ved Excel Kapitel 4 Normalfordeling Eksempel 4.. Beregning af normalfordelte sandsynligheder Lad X være normalfordelt n(, ), hvor = 7.9 og = ) Find P( X 7. ) ) Find P(. 7 X 75.) 3) Find PX ( 76. ) 4) Find 90% fraktilen x 09. Man finder de benyttede sandsynlighedsfordelinger ved På værktøjslinien foroven: Tryk f x Vælg kategorien Statistisk Udfyld menu ) Beregningen sker ved at beregne arealet fra til 7.5 og derfra trække arealet fra til 7. 3) Da arealet under kurven er 1, fås P( X 76. ) 1 P( X 76. ) Eksempel 4.3. Kvalitetskontrol. En fabrik støber plastikkasser. Fabrikken får en ordre på kasser, som blandt andet har den specifikation, at kasserne skal have en længde på 90 cm. Kasser, hvis længder ikke ligger mellem tolerancegrænserne 89. og 90.8 cm bliver kasseret. Det vides, at fabrikken producerer kasserne med en længde X, som er normalfordelt med en spredning på 0.5 cm. a) Hvis X har en middelværdi på 89.6, hvad er så sandsynligheden for, at en kasse har en længde, der ligger indenfor tolerancegrænserne. b) Hvor stor er sandsynligheden for at en kasse bliver kasseret, hvis man justerer støbningen, så middelværdien bliver den der giver den mindste procentdel kasserede (spredningen kan man ikke ændre). Fabrikanten finder, at selv efter den i spørgsmål foretagne justering kasseres for stor en procentdel af kasserne. Der ønskes højst 5% af kasserne kasseret. c) Hvad skal spredningen formindskes til, for at dette er opfyldt? Hvis det er umuligt at ændre, kan man prøve at få ændret tolerancegrænserne. d) Find de nye tolerancegrænser (placeret symmetrisk omkring middelværdien 90,0) idet spredningen stadig er 0.5, og højst 5% må kasseres. En ny maskine indkøbes, og som et led i en undersøgelse af, om der dermed er sket ændringer i middelværdi og spredning produceres 1 kasser ved anvendelse af denne maskine. Man fandt følgende længder: e) Angiv på dette grundlag et estimat for middelværdi og spredning. 6
7 Kapitel 5 Konfidensinterval for normalfordelt variabel Man finder de benyttede sandsynlighedsfordelinger på samme måde som i eksempel 4. Tryk f x Vælg kategorien Statistisk a) P( 89. X 908. ) P( X 908. ) P( X 89. ) NORMFORDELING(90,8;89,6;0,5;1) - NORMFORDELING(89,;89,6;0,5;1)=0,7799 b) Middelværdien justeres til midtpunktet 90.0 P( X 908. ) P( X 89. ) 1 P( X 908. ) P( X 89. ) 1 -NORMFORDELING(90,8;90;0,5;1) - NORMFORDELING(89,;90;0,5;1) = c) Metode 1: =(-0.8)/NORMINV(0,05;0;1)=0, Metode : I celle A1 skrives en startværdi for eksempelvis 0,5. I celle B1 skrives = f x NORMFORDELING udfyld menu med 89,;90;A1;1 Data What if analyse Målsøgning I Angiv celle skrives B1. I Til Værdi skrives 0,05. I Ved ændring af celle skrives A1. Facit :0, d) P( d X d) P( X d) og P( X d) Vi får nedre grænse =NORMINV(0,05;90;0,5) = 89,000 = 89.0 Øvre grænse =NORMINV(0,975;90;0,5) = 90,97998 = 91.0 e) Ved indtastning af de 1 tal i Excel i cellerne A1 til A1 findes x Middel( A1: A1) og s = STDAFV(A1:A1) = Kapitel 5 Konfidensinterval for normalfordelt variabel Eksempel 5.. Konfidensinterval hvis spredningen er kendt eksakt Lad gennemsnittet af 1 målinger være x 90, og lad os antage, at spredningen kendes eksakt til 0.5. Bestem et 95% konfidensinterval for middelværdien μ. På værktøjslinien foroven: Tryk på = eller f x Vælg kategorien Statistisk Vælg konfidens.norm udfylde menuen Resultat : radius = % konfidensinterval: [ ; ] = [ ; 90.83] 7
8 Eksempler løst ved Excel Eksempel 5.3. Beregning af t-værdier. 1) Find t ( 1) og t 005. ( 1). ) Find P( X 1), hvor X er t - fordelt med 1 frihedsgrader. På værktøjslinien foroven: Tryk på f x Vælg kategorien Statistisk Vælg T.INV Der fremkommer en tabel med anvisning på, hvordan den skal udfyldes. t ( 1) t ( 1) 1) = =, P( X 1) ) = = = -, Eksempel 5.4. Konfidensinterval, hvis spredningen ikke er kendt eksakt. Ved fremstilling af et bestemt levnedsmiddel er det vigtigt, at et tilsætningsstof findes i levnedsmidlet i en koncentration på 8.50 (g/l). For at kontrollere dette udtager levnedsmiddelkontrollen 6 prøver af levnedsmidlet. Resultaterne var: Måling nr koncentration x (g/l) Idet man antager, på baggrund af tidligere lignende målinger, at resultaterne er normalfordelte, skal man besvare følgende spørgsmål:. a) Angiv et estimat for koncentrationens middelværdi og spredning. b) Angiv et 95% konfidensinterval for koncentrationen, og vurder herudfra om kravet på 8.50 er opfyldt. Løsning Excel har indbygget et program, så man ikke behøver at anvende formlerne direkte. Data indtastes i cellerne A1 til A6 Data Dataanalyse Beskrivende statistik udfyld inputområde vælg Resumestatistik og konfidensniveau a) Resultater: x 868. og s b) 95% konfidensinterval: x r r hvor r = 0.53 [ ; ] = [8.0 ; 8.5] 8
9 Kapitel 5 Konfidensinterval for normalfordelt variabel Eksempel 5.5 Konfidensinterval, hvis originale data ikke kendt Find konfidensintervallet for middelværdien, idet stikprøven er på 0 tal, som har et gennemsnit på 50 og en spredning på 1. Har intet færdigt program, så her må man anvende formlen for konfidensinterval I kolonne D er de formler angivet, som er brugt i kolonne E Bemærk, at for overskuelighedens skyld er udskrevet gitterlinier og søjle/række overskrifter 95% konfidensinterval: [44.38 ; 55.6] Eksempel 5.7. Bestemmelse af stikprøvens størrelse. En forstmand er interesseret i at bestemme middelværdien af diameteren af voksne egetræer i en bestemt fredet skov. Der blev målt diameteren på 7 tilfældigt udvalgte egetræer (i 1 meters højde over jorden) På basis af målingerne på de 7 træer sættes s 14. a) Find hvor mange træer der skal måles, hvis et 95% konfidensinterval højst skal have en radius på ca. 5 cm. b) Find hvor mange træer der skal måles, hvis et 95% konfidensinterval højst skal have en radius på ca. 6 cm. a) Først benyttes formlen n z0975. s r Da n > 30 er det rimeligt, at benytte en Z- fordeling frem for en t-fordeling. Der skal altså tilfældigt udvælges ca. 31 egetræer. b) Benyttes samme formel som under spm. a) fås n = 1 Da n < 30 burde man have anvendt en t - fordeling. Formlen omskrives til t0. 975, ( n 1 ) s n 0 r t0975.,( n1) s n r I celle D1 skrives en startværdi for n eksempelvis 1. I celle F1 skrives= (TINV(0,05;D1)*14/6)^-D1 Data Hvad-hvis analyse Målsøgning I Angiv celle skrives F1. I Til Værdi skrives 0. Ved ændring af celle skrives D1 9
10 Eksempler løst ved Excel Resultat: Facit :3,416 Der skal altså tilfældigt udvælges ca. 4 egetræer. Eksempel 5.8. Beregning af - værdier. 1) Find () 8 og () 8. ) Find P( X 5), hvor X er - fordelt med 8 frihedsgrader. På værktøjslinien foroven: Tryk på f x Vælg kategorien Statistisk Vælg CHI.inv Der fremkommer en tabel med anvisning på, hvordan den skal udfyldes. 1) () 8 = () 8 =17.5 ) P( X 5) = 0.4 Eksempel 5.9. Konfidensinterval for varians og spredning af normalfordeling. En virksomhed ønsker at kontrollere med hvilken spredning en bestemt målemetode angiver saltindholdet i en opløsning. Der foretages følgende 1 målinger af en opløsning af det pågældende salt. Resultaterne var: Måling nr % opløsning a) Angiv på basis af måleresultaterne et estimat for opløsningens spredning. b) Angiv et 95% konfidensinterval for variansen og for spredningen. Excel har intet færdigt program, så der må anvendes formel 3 i oversigt 5.5 : ( n1) s ( n1) s ( n 1) ( n 1) 1 Excel: A B C D E 1 6,8 spm. A s= STDAFV(A1:A1) 0, ,4 spm b 4 6,6 Konfidensinterval for varians 5 6,8 Nedre grænse (1-1)*E1^/CHIINV(0,05;1-1) 0, ,1 Øvre grænse (1-1)*E1^/CHIINV(0,975;1-1) 0, ,4 [0.050 ;0.88] 8 6,3 Konfidensinterval for spredning 9 6 Nedre grænse KVROD(E5) 0, , Øvre grænse KVROD(E6) 0, ,8 [0.4 ; 0.537] 10
11 Kapitel 6 Hypotesetest(en normalfordelt variabel) 6 HYPOTESETEST (ÉN NORMALFORDELT VARIABEL ) Eksempel 6.3. Hypotesetest om middelværdi (spredning ikke kendt eksakt). En fabrik har gennem mange år benyttet en metode, der på basis af en given mængde råmateriale gav et middeludbytte af et produceret stof på 0 = 69. kg En nyansat ingeniør får til opgave at søge at forøge middeludbyttet ved en passende (billig) modifikation af procesbetingelserne. Da driftsforsøgene er meget ressourcekrævende, bevilges der kun 1 delforsøg. Der foretages 1 uafhængige delforsøg og udbyttet x måltes: Forsøg n x ) Kan man ud fra disse data bevise på signifikansniveau = 0.05, at middeludbyttet er blevet forøget? ) Hvis svaret i spørgsmål 1 er bekræftende, så angiv et estimat for det nye middeludbytte, og angiv et 95% konfidensinterval herfor. Løsning Her benyttes formlen i oversigt 6.4. ( x n PT ( t), hvor t 0 ) og T er t-fordelt med n -1 frihedsgrader Data indtastes i A1 til A1 s Græske bogstaver findes: Indsæt Symbol Havde der været mere end 30 i stikprøven kunne man tillade sig at bruge Z-test ) Data Dataanalyse Beskrivende statistik udfyld inputområde vælg konfidensniveau Resultat : Konfidensniveau(95,0%) 0,51863 Konfidensinterval [ ; ] = [69.4 ; 70.8] 11
12 Eksempler løst ved Excel Eksempel 6.4 Tosidet hypotesetest om middelværdi (spredning ikke kendt eksakt). Ved fremstilling af et bestemt levnedsmiddel er det vigtigt, at et tilsætningsstof findes i levnedsmidler i en koncentration på 8.40 (g/l). For at kontrollere om tilsætningsstoffet har en koncentration på ca. 8.40, udtager levnedsmiddelkontrollen 6 prøver af levnedsmidler. Resultaterne var: Måling n Koncentration x (g/l) Det ønskes på denne baggrund undersøgt om koncentrationen har den ønskede værdi. Signifikansniveau sættes til 5%. Lad X være koncentrationen af tilsætningsstoffet i levnedsmidlet. Det antages, at X er normalfordelt n(, ) Da det både er uønsket, at koncentrationen er for lille og at den er for stor, bliver nulhypotesen H 0 : = 8.4 mod H: 84., dvs. vi har en tosidet test. Benytter formler i oversigt 6.4, og beregningerne foregår derfor som i eksempel 6.3. Her får vi P-værdi til Da vi har valgt T.Fordeling.T er det en tosidet test, dvs. vi får en accept da p-værdi > 0.05 I de tilfælde, hvor man har en tosidet test, kunne man i stedet beregne et konfidensinterval, hvilket er lettere i Excel s tilfælde. Eksempel 6.5. Test af spredning En fabrikant af læskedrikke har købt en automatisk påfyldningsmaskine. Ved købet af maskinen har man betinget sig, at rumfanget af den påfyldte væske i middel skal have en spredning, der ikke overstiger 0.0 ml. Efter kort tids anvendelse får man mistanke om, at spredningen er for stor. Mange klager over underfyldte flasker. Derfor foretages en kontrol, hvor man tilfældigt udtager 0 flasker med læskedrik, og måler rumfanget af væsken i flasken. Det viser sig, at stikprøvens spredning er s = 0.4 ml. Med et signifikansniveau på 5% er det da et statistisk bevis for, at den nye maskine ikke opfylder det stillede krav? 1
13 Kapitel 6 Hypotesetest(en normalfordelt variabel) Lad X = rumfang af drik i flaske. X antages normalfordelt n(, ), hvor såvel som er ukendte. H o : 0. imod H: > 0., ( n1) s ( se oversigt 6.4) dvs. i det foreliggende tilfælde ( 0 1) Da P-værdi=9.65% > 5 %, accepteres H 0, dvs. det er ikke påvist, at spredningen ved påfyldningen er for stor, men der er dog nær ved at være signifikans. Eksempel 6.8. Dimensionering, (ukendt spredning) En virksomhed bliver af miljøkontrollen pålagt at formindske indholdet i sit spildevand af et stof A, der mistænkes for at kunne forurene grundvandet. Indholdet af stoffet A i spildevandet skal under 1.7 mg/l, og miljøkontrollen henviser til en ny metode, som burde kunne formindske indholdet til det ønskede niveau. For at vurdere den nye metode ønskes foretaget en række delforsøg. Hvor mange forsøg skal der mindst foretages, hvis = 5%, = 10%, = 0.10 mg/l og et overslag over hvor stor er sætter denne til 0.15 mg/l. Lad X = indhold af A (i mg/l) efter benyttelse af den ny metode. X antages normalfordelt n(, ), hvor såvel som er ukendte. Da indholdet af stoffet A ønskes formindsket, bliver nulhypotesen H 0 : 17. mg/l mod H: 17. mg/l, dvs. vi har en ensidet test. Da ikke er kendt (kun et løst skøn kendes), er testen en t - test. Formlen i oversigt 6.4 anvendes: z Først beregnes n z ((NORMINV(0,95;0;1)+NORMINV(0,9;0;1))/(0,1/0,15))^ Resultat n = 19.7 ((invnorm(0.95)+invnorm(0.90))/(0.10/0.15))^ Resultat n = 19.7 Da n < 30 bør man nu løse en ligning (se nedenfor) Da spredningen jo var usikker, så vil man nok nøjes med at sætte n = 30 Præcis beregning: Løs ligningen n t ( n1) z Resultatet 19.7 anbringes i celle A1 I celle B1 skrives som startværdi for n tallet 19. I celle C1 skrives =A1*(TINV(0,10;B1-1)/NORMINV(0,95;0;1))^-B1 Data Hvad-hvis analyse Målsøgning I Angiv celle skrives C1. I Til Værdi skrives 0. Ved ændring af celle skrives B1 Resultat: I celle B1står 1,1853 dvs. n = Den ønskede dimensionering kræver altså forsøg. 13
14 Eksempler løst ved Excel 7. SANDSYNLIGHED, KOMBINATORIK n fakultet (n udråbstegn) Beregning af 5! : f x Matematik og trigonometri fakultet (5) Beregning af permutation P(n,m) n=10, m=4: f x Statistisk PERMUT(10;4) Beregning af kombination K(m,n) n=10, m=4 f x Matematik og trig KOMBIN(10;4) 8. VIGTIGE DISKRETE FORDELINGER Hypergeometrisk fordeling Eksempel 8.3: Stikprøveudtagning (kvalitetskontrol) En producent fabrikerer komponenter, som sælges i æsker med 600 komponenter i hver. Som led i en kvalitetskontrol udtages hvert kvarter tilfældigt en æske produceret indenfor de sidste 15 minutter, og 5 tilfældigt udvalgte komponenter i denne undersøges, hvorefter det foregående kvarters produktion godkendes, såfremt der højst er én defekt komponent i stikprøven. Hvor stor er acceptsandsynligheden p, hvis æsken indeholder i alt 10 defekte komponenter, såfremt udtrækningen sker uden mellemliggende tilbagelægninger? X = antal defekte blandt de 5 komponenter X er hypergeometrisk fordelt med N = 600, M=10, og n = 5 P(X 1) Vælg f x Statistik HYPGEOFORDELING Udfyld menu P(X 1) = Bemærk, at skrives 1 til sidst fås summen, skrives 0 eller intet skrives punktsandsynligheden 8.3 BINOMIALFORDELING Eksempel 8.4. En binomialfordelt variabel. En drejebænk producerer 1 % defekte emner. Lad X være antallet af defekte blandt de næste 5 emner der produceres. Vi ønsker at finde sandsynligheden for at finde netop defekte blandt disse 5, det vil sige P( X ). Løsning X er binomialfordelt b(n,p) hvor n = 5 og p = 0.01 P(X=) : Vælg f x Statistik BINOMIALFORDELING Udfyld menu P(X=) =
15 8 Vigtige diskrete fordelinger Eksempel 8.8. Ensidet binomialtest. Hver ekspertsmager fik 3 ens udseende portioner, hvoraf en portion var af det ene levnedsmiddel og de to andre portioner var af det andet levnedsmiddel. Hvilket af de 3 portioner der skulle indeholde et andet levnedsmiddel end de to andre, og om det skulle være levnedsmiddel A eller B, afgjordes hver gang ved lodtrækning. Kun forsøgslederen havde kendskab til resultatet. Hver ekspertsmager fik besked på, at de skulle fortælle forsøgslederen hvilken af de tre portioner der smagte anderledes. Hvis man ikke kunne smage forskel, skulle man gætte. Resultatet viste, at af de 4 svar var 13 svar rigtige. 1 Ved ren gætning kunne man forvente ca. 3 dvs. ca. 8 rigtige svar. 13 rigtige svar er betydeligt flere, men kan det alligevel tilskrives tilfældigheder ved gætning? Kan der på et signifikansniveau på 5% statistisk påvist, at ekspertsmagerne kan smage forskel på smagen af A og B? Lad X = antallet af rigtige svar. X er binomialfordelt b (n, p), hvor n = 4 og p er ukendt. 1 Nulhypotese H0: p mod den alternative hypotese Hp : Bemærk, at da fordelingen altid regner nede fra, må man benytte P( X13) 1 P( X1) Eksempel 8.9. Konfidensinterval for parameteren p i binomialfordeling. En plastikfabrik har udviklet en ny type affaldsbeholdere. Man overvejer at give en 6 års garanti for holdbarheden. For at få et skøn over om det er økonomisk rentabelt, bliver 100 beholdere udsat for et accelereret livstidstest som simulerer 6 års brug af beholderne. Det viste sig, at af de 100 beholdere overlevede de 85 testen. Idet antallet af overlevende beholdere antages at være binomialfordelt, skal man 1) Angive et estimat for sandsynligheden p for at en beholder overlever i 6 år. ) Angive et 95% konfidensinterval for p. 1) Lad X være antallet af overlevende beholdere. X forudsættes binomialfordelt b (100, p). Ifølge oversigt 9.8 er et estimat for p: ~ x 85 p 085. n 100 ) Eksakt løsning: Benyttes formel i oversigt 9.8. Øvre grænse: Løs ligningen P( X 85) = 0.05 med hensyn til p. I celle A1 skrives en startværdi for p eksempelvis 0,5. I celle B1 skrives =BINOMIAL.FORDELING(85;100;A1;1) Data What if analyse Målsøgning I Angiv celle skrives B1. I Til Værdi skrives 0,05. I Ved ændring af celle skrives A1. Resultat p =
16 Eksempler løst ved Excel Nedre grænse: : Løs ligningen P( X 85) = med hensyn til p. Samme metode, men nu skrives fremfor 0.05 Resultat p = POISSONFORDELINGEN Eksempel 8.10: Antal revner p. meter i et tyndt kobberkabel. På en fabrik fremstilles kobberkabler af en bestemt tykkelse. Mikroskopiske revner forekommer tilfældigt langs disse kabler. Man har erfaring for, at der i gennemsnit er 1.3 af den type revner p. 10 meter kabel. Beregn sandsynligheden for, at der 1) ingen ridser er i 1 meter tilfældigt udvalgt kabel. ) er mindst ridser i 1 meter tilfældigt udvalgt kabel. 3) er højst 4 ridser i meter tilfældigt udvalgt kabel Fabrikken går nu over til en anden og billigere produktionsmetode. For at få et estimat for middelværdien ved den nye metode måltes antallet af revner på 1 kabelstykker på hver 10 meter. Resultaterne var Kabel nr Antal revner ) Angiv på basis heraf et estimat for middelværdien af antal revner pr. 10 m kabel. X = antal revner i 1 meter kabel. X antages Poissonfordelt p ( ). (idet vi med tilnærmelse kan antage, at betingelserne i sætning 8. er opfyldt (impuls er her ridser) Da det gennemsnitlige antal revner pr. 1m kabel er 13. fås: 1) P(X=0)= POISSON(0;1,3;0) =0,993 = 0.9 ) P( X ) 1 P( X 1) 1 - POISSON(1;1,3;1) = 0, ) Y = antal revner i meter kabel. Da der i gennemsnit er,46 revner i meter kabel, er.46 et estimat for. Vi har derfor P( X 4) =POISSON(4;,46;1) = 0, ) Der er i alt 94 revner i 1 kabelstykker på hver 10 meter. Et estimat for er derfor ~
17 8 Vigtige diskrete fordelinger Eksempel Ensidet Poissontest. I eksempel 8.10 betragtede vi mikroskopiske revner i et kobberkabel. Fabrikken gik over til en anden og billigere produktionsmetode. 1) Test, om den nye metode giver færre revner end den gamle metode. ) Forudsat, den nye metode giver signifikant færre revner end den gamle metode, skal man a) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af antal revner pr. 10 meter kabel b) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien 1 af antal revner pr. 10 meter kabel. 1) P - værdi = PY ( 94) Poisson(94;147,6;1) = 1,5403E-06 a) Excel kan ikke regne de exakte grænser ud, men da m = 94 >10 kan approksimeres med normalfordelingen (se oversigt 9.8) m z m m z m % Konfidensinterval: [75.0; 113.0] Formlen er indtastet direkte (starte med = og hente Kvrod fra Formler, matematik og geometri 17
Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af regnearket Excel.
Kapitel Deskriptiv statistik Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af regnearket Excel. Indhold 1. Generelle forhold... 1 Kapitel : Deskriptiv Statistik... 1 Kapitel 4: Normalfordelingen...
Læs mereInstalla on af Analysis Toolpak og KeHaTools
Installa on af Analysis Toolpak og KeHaTools Installa on af Analysis Toolpak Denne er nødvendig for at kunne lave optællinger, variansanalyse (kap. 12) og regressionsanalyser (kap. 15 pg 16). Analysis
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 15.b udgave 015 FORORD Der er i denne bog søgt at give letlæst og anskuelig fremstilling af
Læs mereHuskesedler. Anvendelse af regneark til statistik
Huskesedler Anvendelse af regneark til statistik August 2013 2 Indholdsfortegnelse Aktivere Analysis Toolpak... 4 Dataudtræk fra Danmarks Statistik... 4 Kopiering af formler... 4 Målsøgning... 5 Normalfordeling...
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereBilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen
Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs merec) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereFormler og diagrammer i OpenOffice Calc
Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mere2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:
Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mered Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.
KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2007
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. VIDEREGÅENDE STATISTIK med Excel
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN VIDEREGÅENDE STATISTIK med Excel. udgave 004 i FORORD Denne bog er en fortsættelse af lærebogen M. Oddershede Larsen : Statistiske grundbegreber. Det forudsættes, at man har rådighed
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereValgkampens og valgets matematik
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereRegneark II Calc Open Office
Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1
! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. VIDEREGÅENDE STATISTIK I Sammenligning af to eller flere kvalitative variable (TI 89 og Statgraphics)
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN VIDEREGÅENDE STATISTIK I Sammenligning af to eller flere kvalitative variable (TI 89 og Statgraphics) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 6. udgave 005 FORORD Dette notat kan læses på
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereOvenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder
Læs merea) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?
Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs merematematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1
33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mere2 Gennemsnitligt indhold af aktivt stof i en tablet fra et glas med 200 tabletter
Ekstraopgaver uge 2-02402 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereT A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C
T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et
Læs mereSøren Christiansen 22.12.09
1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereVærktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:
Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab
Læs mereGrundlæggende STATISTIK (med anvendelse af Excel)
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Grundlæggende STATISTIK (med anvendelse af Excel) Hyppighed 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 6,94 7,02 7,1 7,18 7,26 7,34 7,42 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed 1. udgave 2007 FORORD Notatet
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereSpørgeskemaundersøgelser og databehandling
DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereFagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereStatistik i GeoGebra
Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen
Læs mereAt lave dit eget spørgeskema
At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-
Læs merefs10 1 Jordvarme 2 Solenergi 3 Elpærer 4 Vindmøller 5 Papirfoldning Matematik 10.-klasseprøven Maj 2013
fs0 0.-klasseprøven Matematik Maj 0 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt Jordvarme Solenergi Elpærer 4 Vindmøller 5 Papirfoldning Jordvarme På familien Petersens grund er et jordstykke,
Læs merefor gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs merePeter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.
Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereFlertal for offentliggørelse af skoletests men størst skepsis blandt offentligt ansatte
Af forskningschef Geert Laier Christensen Direkte telefon 61330562 5. marts 2010 Flertal for offentliggørelse af skoletests men størst skepsis blandt offentligt ansatte En spørgeskemaundersøgelse, gennemført
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereLINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL
LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere
Læs mereBeregning af usikkerhed på emissionsfaktorer. Arne Oxbøl
Beregning af usikkerhed på emissionsfaktorer Arne Oxbøl Fremgangsmåde for hver parameter (stof) Vurdering af metodeusikkerhed Datamaterialet er indsamlede enkeltmålinger fra de enkelte anlæg inden for
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereOpgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)
Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt
Læs mereLektion 4 Brøker og forholdstal
Lektion Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Hvad er brøker - nogle eksempler... Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal...
Læs mereLøsninger til kapitel 1
Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 10/11 Institution Campus Vejle Handelsgymnasie Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Statistik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2013 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Lene Thygesen
Læs mereSchweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.
Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske
Læs mereDiagrammer visualiser dine tal
Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for effektive måder til at indtaste data på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereLars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.
Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt
Læs mereVejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger
Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger April 2015 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 1 Indledning... 3 1.1 Metode til anvendelse af kuber med
Læs mereStatistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul
Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mere