Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Ved påfyldning af tabletter på glas anvendes en maskine, der optæller 100 tabletter automatisk og efterfølgende fylder dem på glas. Af erfaring ved man, at ca. 5% af alle glas indeholder en eller flere tabletter, der har afskaldninger og småfejl. Spørgsmål I.1 (1): Antag, at du har købt en æske indeholdende 20 glas. Hvad er sandsynligheden for, at højst 2 af de 20 glas indeholder ikke-fejlfri tabletter? 1 0.0755 2 0.9245 3 0.1887 4 0.8113 5 0.2642 Spørgsmål I.2 (2): Vægten af 1 tablet kan antages at være normalfordelt med middelværdi µ = 1 gram og standard afvigelse σ = gram. Hvad er sandsynligheden for at en tablet vejer mellem 0.95 og 1.05 gram (når Φ(x) betegner sandsynligheden P (X x), hvor X følger en standard normalfordeling): 1 1 Φ( 1.05 1.00 )+Φ( 0.95 1.00 ) 2 Φ( 1.05 1.00 ) Φ( 0.95 1.00 2 ) 2 3 2 Φ( 1.05 1.00 ) 2 4 Φ( 1.05 1.00 ) Φ( 0.95 1.00 ) 5 Φ( 1.05 0.95 ) Fortsæt på side 2 1
Spørgsmål I.3 (3): Idet vægten af 1 tablet kan antages at være normalfordelt med middelværdi µ = 1 gram og standard afvigelse σ = gram, fås middelværdi, µ 100,ogvarians, σ100 2, for den samlede vægt af de 100 tabletter i ét glas: 1 µ 100 = 100 1ogσ100 2 = 1002 2 2 µ 100 = 100 1ogσ100 2 = 1002 3 µ 100 = 100 1ogσ100 2 = 100 2 4 µ 100 = 100 1ogσ100 2 = 100 5 µ 100 = 100 2 1ogσ100 2 = 100 For at overholde et kvalitetskrav forsøger man at holde den samlede vægt af en æske, indeholdende 20 glas, mellem 4450 og 4550 gram (inklusiv glas, tabletter og pakning). Der bliver sendt et stort antal pakker hver dag, men man har erfaring for, at der i gennemsnit udsendes λ = 4.8 pakker/dag, der ikke overholder kvalitetskravet. Spørgsmål I.4 (4): KaldnuXdet antal pakker, der på en tilfældigt valgt dag ikke overholder kvalitetskravet. Vælg derefter den mest almindeligt benyttede fordeling for X og bestem sandsynligheden for, at X er højst 10. Resultatet er 1 P {X 10} =0.009 2 P {X 10} =0.090 3 P {X 10} =0.900 4 P {X 10} =0.990 5 P {X 10} =0.999 Fortsæt på side 3 2
Opgave II Spørgsmål II.1 (5): Ihvilkeafnedenstående situationer kan en undersøgelse, der resulterer i et parret t-test, være rimelig med henblik på at sammenligne af de stokastiske variable X og Y : a Forlænget søvntid X for 10 kvinder ved indtagelse af et sovemiddel sammenlignet med normal søvntid Y. b Blodsukker X for 10 personer med type I diabetes, og blodsukker Y for 10 personer med type II diabetes. c Knoglebiopsi X fra 10 personer udsat for aluminium sammenlignet med 10 kontroller Y, ikke udsat for aluminium. d Præstation (mængde af ilt tilført til lungerne) for 10 personer X ved brug af næseplaster sammenlignet med præstation Y uden næseplaster. 1 aogb 2 bogc 3 aogc 4 a, b og d 5 aogd 6 Ved ikke Fortsæt på side 4 3
Opgave III Man ønsker at undersøge, om der er en sammenhæng mellem indtagelse af kalk og blodtryk. I et studie har man over en længere periode givet 7 forsøgspersoner en forhøjet dosis kalk, mens 7 andre forsøgspersoner modtog placebo. Følgende resultater for de 14 forsøgspersoner haves: patient behandling blodtryk ved blodtryk ved ændring nr. forsøgets start forsøgets slut (slut - start) 1 kalk 100 107 7 2 placebo 123 124-1 3 kalk 110 114-4 4 placebo 109 97 12 5 kalk 123 105 18 6 placebo 112 113-1 7 kalk 129 112 17 8 placebo 102 105-3 9 kalk 112 115-3 10 placebo 98 95 3 11 kalk 111 116-5 12 placebo 114 119-5 13 kalk 107 106 1 14 placebo 119 114 5 Spørgsmål III.1 (6): En eventuel sammenhæng mellem indtagelse af kalk og blodtryk, undersøges mest hensigtsmæssig ved 1 Et parret t-test 2 Et test i Poissonfordelingen 3 Et almindeligt t-test 4 En regressionsanalyse 5 Ovenstående situation kan ikke analyseres med de viste data Fortsæt på side 5 4
Opgave IV Et laboratorium har fået til opgave at analysere en ny type fødevare, der er mistænkt for at være beriget med vitaminer og mineraler, dvs. såkaldt functional food. I denne opgave betragtes indholdet af C-vitamin i fødevaren. Spørgsmål IV.1 (7): Det antages, at middelværdi og standard afvigelse for måling af indhold af C vitamin i 100 gram af fødevaren normalt er henholdsvis µ =0.06 gram og σ =0.01 gram. Baseret på disse oplysninger, skal stikprøvestørrelsen (n) bestemmes, således at den maksimale fejl på estimatet af middelværdien er højst 0.002 gram med 95% konfidensgrad: 1 n>1.96( 0.01 0.002 )2 n =49 2 n>( 1.645 0.01 0.002 ) 2 n =68 3 n>( 1.960 0.01 0.002 ) 2 n =97 4 n>( 1.645 0.012 0.002 2 ) 2 n = 1692 5 n>( 1.960 0.012 ) 2 n = 2401 0.002 2 Spørgsmål IV.2 (8): Uanset resultatet af foregående spørgsmål besluttes det at måle C- vitamin indholdet i 16 prøver af den pågældende fødevare. Fra disse 16 målinger har man fundet gennemsnittet x =0.058 gram og spredningen s x =0.004 gram. Et 99% konfidensinterval for middelindholdet bliver: 1 0.058 ± 2.602 0.004 15 2 0.058 ± 0.004 1 16 t(15) 0.05 3 0.058 ± 2.576 0.004 16 4 0.058 ± 2.921 0.004 15 5 0.058 ± 2.947 0.004 16 Fortsæt på side 6 5
Spørgsmål IV.3 (9): Fra en undersøgelse af et større antal prøver har man fundet et 95% konfidensinterval for middelværdien til I(µ) 0.95 =[0.057, 0.061]. Man ønsker nu ved hjælp af dette konfidensinterval at teste hypotesen H 0 : µ =0.06 mod alternativt H 0 : µ 0.06 For dette test gælder nu 1 at H 0 forkastes med 95% sandsynlighed 2 at H 0 accepteres på etα= 5% signifikansniveau 3 at H 0 forkastes på etα= 5% signifikansniveau 4 at H 0 accepteres på etα= 95% signifikansniveau 5 at H 0 forkastes på etα= 95% signifikansniveau Fortsæt på side 7 6
Opgave V Nedenstående tabel viser en kvalitetsinddeling (A-D) af 160 batche af tabletter, som er produceret to forskellige tabletmaskiner (Maskine I og II). De 28 af batchene stammede fra maskine I, og de resterende 132 stammede fra maskine II. Batche af Kvalitetsklasse tabletter Kvalitet A Kvalitet B Kvalitet C Kvalitet D ialt Maskine I 8 7 6 7 28 Maskine II 27 28 36 41 132 ialt 35 35 42 48 160 Endvidere har man beregnet følgende tabel Kvalitetsklasse Kvalitet A Kvalitet B Kvalitet C Kvalitet D Maskine I 0.57 0.13 0.25 0.23 Maskine II 0.12 0.03 0.05 0.05 hvor hver celle er beregnet som (observeret antal forholdsvist antal) 2 forholdsvist antal Eksempelvis er øverste venstre celle i den sidste tabel beregnet ved at beregne forholdsvist antal 35 28 (8 6.125)2 160 =6.125, og derefter celleværdien som 6.125 =0.57. Spørgsmål V.1 (10): Man vil nu teste en H 0 -hypotese om, at kvalitetsfordelingen er den samme for de to maskiner, og signifikansniveauet α = 5% benyttes. Den sædvanlige teststørrelse bliver 1.43, og konklusionen bliver herefter: 1 Forkast ikke H 0,da1.43 < 7.815 2 Forkast H 0,da1.43 < 13.277 3 Forkast ikke H 0,da1.43 > 1.960/2 4 Forkast H 0,da1.43 < 9.348 5 Forkast H 0,da1.43 < 7.815 Fortsæt på side 8 7
Spørgsmål V.2 (11): I ovenstående test har man valgt at benytte signifikansniveau α = 5%. Det vil medføre, 1 at der er 5% sandsynlighed for at begå en type I fejl 2 at der er 95% sandsynlighed for at begå en type I fejl 3 at H 0 accepteres med 5% sandsynlighed i alle tilfælde 4 at der er 5% sandsynlighed for, at H 0 er falsk 5 at der er 5% sandsynlighed for at begå en type II fejl Opgave VI Man er interesseret i at vurdere kalorieindholdet i 3 forskellige typer pålæg, henholdsvis af fisk, fjerkræ og oksekød. Nedenstående tabel viser 6 målinger i (kcal/100 gram) for hver type pålæg fisk fjerkræ oksekød total 173 129 186 191 132 181 182 102 176 190 106 149 172 94 184 147 102 190 sum: 1055 665 1066 2786 Det oplyses, SST=(173 2 + 129 2 +.. + 190 2 ) 27862 18 = 21051.11 SS(Tr)= (10552 +665 2 +1066 2 ) 6 27862 18 = 17390.11 og 21051.11 17390.11 = 3661.00 Spørgsmål VI.1 (12): Hvilken af de følgende metoder, mener du, er egnet til at undersøge, om de tre typer pålæg i middel har det samme kalorieindhold : 1 Et χ 2 -test for uafhængighed 2 En variansanalyse af et faktorforsøg 3 Et parret t-test 4 En énsidet variansanalyse 5 Analyseafetrandomiseretblokforsøg 6 Ved ikke Fortsæt påside 9 8
Spørgsmål VI.2 (13): Den sædvanlige teststørrelse for, at der er ikke er forskel på de3typer pålæg bliver: 1 17390.11/2 3661.00/15 2 17390.11/3 3661.00/15 3 3661.00/15 17390.11/3 4 17390.11 21051.11 5 ±1.96 Opgave VII I et amerikansk studie ønskede man at sammenligne indhold af arsenik i drikkevandet ved 8 forskellige lokaliteter. For at evaluere andre (og evt. billigere målemetoder) blev der også udført målinger af indhold af arsenik i tånegle hos personer, der havde anvendt vandet som drikkevand. Følgende målinger blev registreret : lokalitet vandprøve (ppm) tånegl (ppm) 1 2.2 0.44 2 4.1 0.51 3 2.1 0.29 4 0.8 0.73 5 0.1 0.38 6 3.2 0.19 7 2.9 0.81 8 2.2 0.78 x =2.2ogs 2 x =1.64 ȳ =0.516 og s2 y =0.0548 Iovenstående tabel angiver x gennemsnit og s 2 x stikprøve-varians af vandkvalitets målingerne x, mensȳer gennemsnit og s 2 y er stikprøve-varians af indholdet af arsenik i personernes tånegle. Fortsæt på side 10 9
Spørgsmål VII.1 (14): En eventuel sammenhæng mellem indhold af arsenik i vandprøve og indhold i tånegle analyseres mest hensigtsmæssigt (blandt følgende muligheder) ved 1 en regressionsanalyse 2 en variansanalyse 3 et parret t-test 4 et almindeligt t-test 5 test i Poissonfordelingen Nu betragtes udelukkende vandprøverne, hvor man ønsker at teste følgende hypotese om middelindholdet H 0 : H 1 : µ =2.0 ppm µ 2.0 ppm Spørgsmål VII.2 (15): Ved test med signifikansniveau α = 5% findes 1 teststørrelse t = 2.2 2.0 1.64 8ogH0 forkastes 2 teststørrelse t = (2.2 2.0)2 1.64/ 8 og H 0 accepteres 3 teststørrelse t = 2.2 2.0 1.64/8 og H 0 forkastes 4 teststørrelse t = 2.2 2.0 og H 0 accepteres 1.64/8 5 teststørrelse t = 2.2 2.0 og H 0 forkastes 1.64/8 Slut på opgavesættet. 10