Følgende tabel (fra Fisher) giver forøgelsen af sovetiden i timer fra et eksperiment med 10 patienter vedrørende 2 sovemidler A og B.

Transkript

1 Modul 7: Exercises 7.1 Sovemidler Egetræer Stofs trækstyrke Laboranters titreringsusikkerhed Syreregn og nåletræer Blodtryksmedicin Astma Tvillinger

2 7.1 Sovemidler Følgende tabel (fra Fisher) giver forøgelsen af sovetiden i timer fra et eksperiment med 10 patienter vedrørende 2 sovemidler A og B. Patient X A B B-A Der ønskes dels en vurdering af de to sovemidler hver for sig, dels en sammenligning af midlerne. Følgende elementer kan indgå i analysen: a) Er forøgelsen normalfordelt for hver af de to midler? (Præciser forudsætninger). 2

3 b) Find et 95%-konfidensinterval for middeleffekten af (i) sovemiddel A, (ii) sovemiddel B, (iii) forskellen B A. c) Antag at resultaterne i stedet var fremkommet fra 20 patienter, 10 havde fået middel A og 10 middel B. Ville det få nogen indflydelse på konklusionen, i givet fald hvilken? 7.2 Egetræer Det følgende materiale er en lille del af et større materiale vedrørende væksten af egetræer. Som udtryk for væksten af et træ et år, kan man bruge årringstykkelsen det pågældende år. På et træ målte man på samme side af træet i to forskellige højder, 6.7 m og 10.0 m, årringstykkelserne. Nedenstående tabel angiver for hvert af de 10 år i perioden 1800 til 1809 logaritmen til disse tykkelser målt i tiendedele mm. 3

4 højde m m Undersøg, om årringstykkelserne er forskellige for de to højder. 7.3 Stofs trækstyrke På et laboratorium måles trækstyrken for stof, som har været gennem forskellige vaskeprocesser. Målingerne foretages af to laboranter, og man er nu interesseret i at undersøge, om de udfører forsøget ens. Man har derfor foretaget et kontroleksperiment, idet man har klippet 15 stykker af en rulle stof, hver af disse har man delt i 10 mindre stykker og givet 5 til hver. Som mål for trækstyrken af hvert af de 15 stykker har man for hver person taget gennemsnittet af de 5 resultater. 4

5 Du skal nu på grundlag af disse middeltal vurdere, om resultater af en måling kan antages at være uafhængig af hvilken laborant, der har udført forsøget. A B A B

6 7.4 Laboranters titreringsusikkerhed For at sammenligne to laboranters titreringsusikkerhed har man ladet de to laboranter udføre dobbeltbestemmelser (uden at de ved, hvilke prøver, der hører sammen) af koncentrationen i 15 homogene opløsninger. Er der forskel mellem laboranternes titreringsusikkerhed? 6

7 Laborant A Laborant B Prøve nr Titreringsnr Titreringsnr

8 7.5 Syreregn og nåletræer Følgende forsøg stammer fra Klosterhede Skov mellem Lemvig og Struer, hvor man undersøger syreregns indflydelse på nåletræer. Til måling af forholdene i jordvandet har man hidtil brugt nogle små beholdere lavet af keramik. På beholderen er fæstnet en tynd slange, så man kan suge prøver op. Fordelen ved keramik er, at vandet let trænger ind; mens ulemper er, at det jo er lavet af ler, der selv kan indeholde nogle af de målte stoffer. Derfor har man nu efter 10 år opfundet nogle nye beholdere lavet af teflon. Dette er som bekendt vandskyende (tænk på en stegepande). Teflon til beholderne er behandlet, så der nu kan sive noget vand ind. For at måle, om disse nye beholdere kan afløse de gamle, stikkes beholderne parvis i jorden, og de ønskede parametre måles på de udtagne vandmængder. Det er jo underordnet, om der optages lige store mængder vand i de to typer. Det interessante må være, om de målte koncentrationer svarer til hinanden. Hvis de ikke svarer til hinanden må man enten 8

9 forkaste de sidste 10 års resultater, eller prøve at videreudvikle de nye beholdere. Nedenfor ses de gennemsnitlige månedsresultater for vandmængden (ml) og Na-koncentrationen (µmol/l): Vand Na Par nr. keramik teflon keramik teflon

10 Undersøg med en ikke-parametrisk test, om der er forskel på vandoptagelsen og Na-optagelsen i de to typer beholdere. Kan man bruge de nye beholdere i stedet for de gamle? 7.6 Blodtryksmedicin Nedenstående data angiver det systoliske blodtryk og det diastoliske blodtryk i mmhg for 15 patienter med for højt blodtryk. Både det systoliske blodtryk og det diastoliske blodtryk er for hver patient målt lige før og 2 timer efter indtagelse af et stof captopril. 10

11 Patient før indtagelse efter indtagelse før indtagelse efter indtagelse Systolisk Systolisk Diastolisk Diastolisk blodtryk blodtryk blodtryk blodtryk nummer af captopril af captopril af captopril af captopril

12 Følgende udregninger kan benyttes: Systolisk blodtryk før indtagelse af captopril: x i = 2654, SS = Systolisk blodtryk efter indtagelse af captopril: x i = 2370, SS = Diastolisk blodtryk før indtagelse af captopril: x i = 1685, SS = Diastolisk blodtryk efter indtagelse af captopril: x i = 1546, SS = a) Kan det antages at data er normalfordelte? b) Har captopril nogen virkning på det systoliske blodtryk? Hvis det har en virkning, ønskes denne angivet tillige med usikkerheden på estimatet. 12

13 c) Angiv 95%-konfidensintervallet for captoprils virkning på det diastoliske blodtryk. Hint For at benytte formlerne i bogen skal der også gælde, at data er uafhængige. 7.7 Astma Tabellen nedenfor viser antallet af nye anmeldte astmatilfælde pr 1000 indbyggere i 30 amerikanske byer i 1980 og Der er også vist hhv. uparret og parret t-test mellem de to år. For hver by er forholdet mellem tallene beregnet (1990tal/1980tal), og et t-test er lavet på disse tal. Scatterdiagrammer er vist i figur 7.1. Undersøg, om antallet af nye astmatilfælde er steget fra 1980 til Begrund dit valg af test. 13

14

15 t-test Hypothesis: H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 µ 2 Variable rate1980 rate1990 Mean Std. Deviation Observations t-statistic Standard Error Deg. of Freedom 58 Significance

16 Parret t-test Hypothesis: H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 µ 2 Variable rate1980 rate1990 Mean Std. Deviation Observations 30 t-statistic Deg. of Freedom 29 Significance

17 Parret t-test for forholdet Hypothesis: H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 µ 2 Variable 1990/1980 Constant Mean Std. Deviation Observations 30 t-statistic Deg. of Freedom 29 Significance Tvillinger Ved en lang række undersøgelser har man søgt at fastlægge arveligheden af forskellige karakterer ved mennesket, ud fra studiet af tvillinger. En af forudsætningerne for sådanne undersøgelser 17

18 er en grundig forståelse af samvariationen mellem måleværdier for tvillinger. Nedenfor er angivet rådata og visse mellemregninger for et datasæt med 20 tvillingepar. Parrene er opdelt i førstefødte og andenfødte. Den variabel man har målt er kropsvægt i ca. 75-årsalderen. Man vil nu gerne vide om kropsvægten afhænger af om man er født som nummer et eller nummer to. Figur 7.2 viser et scatterplot for tvillingeparrenes vægte. Mean N Std. Deviation Std. Error Mean Vægt af førstefødte Vægt af andenfødte Vægtdifference

19 Vægt af Vægt af Rang af førstefødte andenfødte Difference difference

20 Med x = vægt af førstefødte tvilling og y = vægt af andenfødte tvilling har vi følgende standardberegninger: x 2 = xy = y 2 = a) Hvilke parametriske metoder kan anvendes til at undersøge den skitserede problemstilling? b) Test om der er forskel mht kropsvægt mellem første- og andenfødte tvillinger. c) Angiv et 99%-konfidensinterval for vægten for hver af de to slags tvillinger. d) Fra tidligere undersøgelser har man grund til at antage, at i 75- årsalderen vejer førstefødte tvillinger 10 kg mere end andenfødte. Test denne hypotese med en parametrisk test. 20

21 e) Test spørgsmål b), nu med anvendelse af en non-parametrisk metode. 21

22 22

23 Figure 7.2: Vægt (i kg) af andenfødte tvilling plottet mod vægt af førstefødte tvilling. 23