EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2010 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner BEMÆRKNINGER Besvar de fire obligatoriske opgaver Sæt kryds på det udleverede ark for at markere, hvilke to af de tre valgfri opgaver du har valgt Skriv kun én opgave på hvert ark. Side 1/8 DA
OPGAVE 1 ( Obligatorisk) Funktionsundersøgelse En funktion f er givet ved 2 x 1 f ( x). 2 x a) i. Bestem definitionsmængden for f, monotoniintervallerne for f, samt en ligning for hver af asymptoterne til grafen for f. ii. Skitsér grafen for f. b) i. Tangenten til grafen for f i punktet ( 1,2) skærer x-aksen i punktet A og y-aksen i punktet B. Bestem længden af linjestykket AB. 5 point 1 point ii. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen og linjerne x 1 og x 2 et område, der har et areal. Beregn arealet af dette område. Side 2/8
OPGAVE 2 ( Obligatorisk) Differentialligninger Ved en bestemt kemiske reaktion dannes der et nyt stof. Efter t sekunder er der dannet massen m gram af dette stof. Funktionen mt () tilfredsstiller følgende differentialligning: dm (50 m) dt 500 2. a) Løs denne differentialligning, idet det oplyses, at m 0, når t 0. 6 point b) i. Bestem massen af det stof, der er dannet efter 100 sekunder. ii. Bestem det tidspunkt, hvor der er dannet 40 gram af stoffet. iii. Gør rede for, at massen af det stof, der dannes, aldrig kan komme over 50 gram. Side 3/8
OPGAVE 3 (Obligatorisk) Geometri side 1/1 I et koordinatsystem i rummet er givet punkterne O(0, 0, 0), P (1, 1, 3), Q (1, 5, 2), R (0, 3, 1) og S (1, 4, 1). a) i. Gør rede for, at linjen gennem O og P er vinkelret på linjerne OQ og OR. ii. Bestem en ligning for planen bestemt ved QOR, og vis derefter, at punktet S ligger i denne plan. b) i. Bestem afstanden mellem punktet P og planen QOR. ii. Bestem arealet af trekant SPR. 4 point Side 4/8
OPGAVE 4 (Obligatorisk) Sandsynlighedsregning Ti spillekort er nummereret fra 1 til 10. Et efter et trækkes der uden tilbagelægning fire af disse kort. a) i. Beregn sandsynligheden for, at alle de udtrukne kort viser tal, der mindre end eller lig med 6. ii. Beregn sandsynligheden for, at produktet af de fire tal på de udtrukne kort er et lige tal. b) i. Beregn sandsynligheden for, at det andet, tredje og fjerde udtrukne tal er 1 større end det foregående. ii. Det oplyses, at de første to udtrukne kort viser et lige tal. Beregn sandsynligheden for, at alle fire udtrukne kort viser et lige tal. 4 point Side 5/8
VALGOPGAVE I Funktionsundersøgelse Funktionen f er givet ved 2 f ( x) ( 2x 4 x)e x. a) i. Bestem nulpunkterne for f, monotoniintervallerne for f, koordinatsættet til hvert af de punkter på grafen for f, der svarer til et ekstremum. 7 point ii. Undersøg, hvordan funktionen f ( x ) opfører sig for x og for x. Angiv en ligning for grafens asymptote(r). b) i. Gør rede for, at ligningen for tangenten t til grafen for f i det punkt, hvor 2 4 x, kan skrives på formen y x. e e ii. Beregn den spidse vinkel mellem t og x-aksen. c) i. Tegn grafen for f og tangenten t i samme koordinatsystem. ii. Bestem tallene b og c, således at funktionen F x x 2 bx c en stamfunktion til f ( x ). 2 e x er iii. Grafen for f afgrænser sammen med tangenten t et område, der har et areal. Bestem dette areal. 4 point Side 6/8
VALGOPGAVE II Sandsynlighedsregning side 1/1 En undersøgelse af populationen U af brugere af den offentlige transport i en stor by har vist, at 40 % af U er mænd, og 60 % af U er kvinder. 25 % af mændene i U og 50 % af kvinderne i U har månedskort. a) På tilfældig måde udvælges en person fra U. i. Gør rede for, at sandsynligheden er 0,4 for, at denne person har månedskort. ii. Det oplyses, at denne person ikke har månedskort. Bestem sandsynligheden for, at det er en mand. b) På tilfældig måde udvælges 10 personer fra U. i. Bestem sandsynligheden for, at netop 6 af de 10 personer har månedskort. ii. Bestem sandsynligheden for, at mindst 2 af de 10 personer har månedskort. c) Der udvælges på tilfældig måde en stikprøve på 200 personer fra U. Den stokastiske variabel X betegner antallet af personer i denne stikprøve, der har månedskort. i. Angiv sandsynlighedsfordelingen for X, og beregn middelværdi og spredning for X. ii. Beregn P(60 X 100) ved at benytte en passende approksimation. Forklar, hvorfor denne approksimation kan anvendes. iii. Benyt den samme approksimation til at beregne den mindste værdi af det hele tal k, hvor PX ( k) 0,90. 5 point 5 point Side 7/8
VALGOPGAVE III Geometri I et koordinatsystem i rummet er givet planen : x 2y 3z 12, kuglen S : 2 2 2 x y z x y z 12 6 4 0 og punkterne A(12, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) og P(5, 1.5, 5). a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem og koordinatakserne. b) Punkterne A, B, C og koordinatsystemets begyndelsespunktet O er hjørnerne i en tresidet pyramide. Beregn rumfanget af denne pyramide. c) i. Bestem en ligning for den kugle, der går gennem de fire hjørner i pyramiden OABC. Eftervis, at denne kugle er S. ii. Gør rede for, at centrum for S ligger uden for pyramiden OABC. iii. Planen skærer kuglen S i en cirkel. Bestem centrum og radius for denne cirkel. d) i. Gør rede for, at punktet P ligger inden for kuglen S. ii. Q er det punkt på kuglen S, der ligger tættest på punktet P. Bestem koordinatsættet til punktet Q. iii. Planen har kun punktet Q fælles med kuglen S. Bestem en ligning for planen. 5 point 4 point Side 8/8