Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23 6 Svaret er givet 35 7 Manglende oplysninger 37 8 Regnehistorier 41 9 Undersøgelser 45 10 Modellering 47 11 Nye begreber 49 12 Svaret er givet eksempler 53 13 Manglende oplysninger eksempler 79 14 Regnehistorier eksempler 97 15 Undersøgelser eksempler 113 16 Modelleringsaktiviteter eksempler 129 17 Nye begreber eksempler 141
1 Hvad er åbne opgaver? Åbne opgaver i matematikundervisningen er opgaver, hvor der er flere mulige svar, opgaver, hvor der er valg, der skal træffes, fordi der er noget, der ikke er afgjort endnu. Lad os starte med at se et eksempel på en åben opgave. Tegn en trekant med arealet 6 cm 2 Der er mange forskellige korrekte svar til denne opgave, for eksempel disse tre: Mange af de valg, eleverne har foretaget, er ofte implicitte, hvilket de sandsynligvis har været her. Ved den røde og den blå trekant har eleven implicit valgt, at trekanterne skal være retvinklede. Ved den grønne har eleven formodentlig været mere bevidst om sit valg, netop ikke at løse opgaven ved at tegne en retvinklet trekant. Åben og undersøgende matematik 13
Lukkede opgaver er det modsatte, nemlig opgaver, hvor der kun er ét korrekt svar. Et eksempel på en lukket opgave: Beregn arealet af trekanten Hvad betyder åben? Den mest almindelige betydning af ordet åben er, at man kan komme ind til noget. Det kan man ikke, når det modsatte er tilfældet, altså når der er lukket. Det er for eksempel en åben dør, en åben dåse makrel eller en butik, der er åben. Men det er ikke i denne betydning, ordet bruges i matematikundervisningen. Her bruges åben, når der er forskellige muligheder til stede. Har I besluttet jer for, hvad I skal lave på jeres ferie? Nej, det står helt åbent endnu. Efter et kommunalvalg står det måske helt åbent, hvor borgmesterposten lander. Åbent betyder, at det ikke er afgjort endnu, og lukket betyder det modsatte, at noget er afgjort, det er bestemt. Typer af åbne opgaver I denne bog behandles 6 typer af åbne opgaver: Svaret er givet Manglende oplysninger Regnehistorier Undersøgelser Modellering Nye begreber Der er nogle, som mener, at en opgave er åben, blot fordi der i opgaven lægges op til, at eleven skal forklare sin fremgangsmåde. Til opgaven på næste side kan der være en lang række forskellige svar. En elev skriver et regnestykke som forklaring:18 7 = 11. En anden skriver: Jeg talte fra 7 op til 18, og det var 11. En tredje tegner på en tallinje. 14 Åben og undersøgende matematik
Ole er 7 år og vild med biler. Ole kan få kørekort, når han fylder 18 år. Hvor mange år går der endnu, før Ole kan få kørekort? Skriv svaret: Forklar, hvordan du fandt frem til svaret: For den enkelte elev er sådanne opgaver ikke åbne. Eleven prøver af al magt at skrive dét rigtige svar. Læreren ved godt, at der er mange forskellige måder at komme frem til svaret på, men det fokus har eleven ikke. Der findes andre matematikopgaver, hvor der skal træffes en lang række valg, før matematikken kommer i spil. Valg, som er tæt på virkeligheden, og ofte vanskelige at træffe for eleverne. Hvad koster det at holde hund? Der er nogle rent matematiske valg, der skal træffes, for eksempel om man vil regne på, hvad det koster i gennemsnit pr. år i hele hundens levetid, eller man måske vil dele det op i, hvad det koster 1. år, og i årene derefter for sig selv. Men der er langt flere valg, som har matematiske konsekvenser, og som skal træffes, inden man kan begynde at regne: Hvilken slags hund skal det være? Hvor gammel bliver den slags hund? Hvilken slags hundekurv skal den have, eller skal den sove i seng, eller på et tæppe? Hvilken slags mad skal den spise? Skal den i kennel, når familien er på sommerferie, eller er der venner, der kan passe den? Hvilke vaccinationer skal den have? Hvor tit skal man regne med, at den skal på dyrehospitalet? Skal den have et bur i bilen eller er sele godt nok? Åben og undersøgende matematik 15
Når disse valg er truffet, kan man give sig til at søge på nettet efter, hvad den valgte hund, kurv, mad, dyrlæge, bur osv. koster. Og først nu kan man give sig til at regne på, hvad det koster at holde hund. Ovenstående valg er alle relevante for, hvad det koster at holde hund, men det er valg, som en grundskoleelev typisk slet ikke kender til, og som typisk indebærer mange ikke matematiske overvejelser: Hvilken hunderace er sødest, kan man bedst lide flettede hundekurve eller en af plastik osv. For mange grundskoleelever kommer disse ikke-matematiske valg til at tage langt det meste fokus. Af ren matematik er der ikke meget i denne opgave: Addition og multiplikation af hele tal - og division, hvis vi vil udregne en gennemsnitspris pr. år. I denne bog behandles ikke denne type opgaver, hvor der er stor risiko for at bruge for meget tid på noget, der ikke er matematik eller alene ensformig, simpel matematik. 16 Åben og undersøgende matematik
6 Svaret er givet Opgaver: Lav regnestykker med resultatet100. Gennemsnittet af fem børns højde er 115 cm. Giv forskrifter for funktioner, som krydser y-aksen i y = 10. Tegn trekanter med arealet 6 cm 2. Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm. Bestem før og nu-priser, der giver 25% i rabat. Lav ligninger med løsningen x = 2. Lav algebraiske udtryk, der kan reduceres til 3a I et funktionsudtryk får man y = 10 ved x = 2. Arbejdsmetode: Bed eleverne besvare opgaven med en almindelig løsning, en vanskelig løsning og en smart løsning. Man kan lave åbne opgaver ved, at læreren giver et resultat, og eleverne skal finde forskellige måder at opnå resultatet på. Det kan være opgaver med fx regnestykker, geometriske figurer eller statistik. Der er en mangfoldighed af mulige løsninger, og det er nyttigt at rammesætte mangfoldigheden ved at kræve, at opgaven skal besvares med mindst tre forskellige slags løsninger: En almindelig løsning, en vanskelig løsning og en smart løsning. I en almindelig løsning bruger man typisk pæne, realistiske hele tal, få udregninger og få regningsarter - mest addition. Hvis opgaven er geometrisk, bruges nemme figurer som rektangler med hele sidelængder. En almindelig løsning er en løsning, man tror, at sidemanden også finder på. I en vanskelig løsning foretages nogle valg, der giver en selv mere arbejde. I en vanskelig løsning har man for eksempel sat sig for at bruge svære tal som decimaltal eller negative tal, eller i en geometriopgave sat sig for, at trekanten skal være ligebenet og stumpvinklet. Det kan være, at man undervejs får så store problemer, at der skal slækkes på kravene. Her skal læreren træde til og hjælpe med at vurdere hvilke krav, der kan slækkes på. En smart løsning er svær at finde på, men vil ofte være nem at regne på. En smart løsning er der, hvor man prøver at være genial. Måske er man også bange for, at man sprænger rammerne for opgaven. En smart løsning kan være én, hvor man slet ikke regner for at finde svaret. På den måde kan Åben og undersøgende matematik 35
det se nemt ud, men det er alligevel sjældent det, man finder på først. En smart løsning er en, hvor man tror, man måske er den eneste, der har den løsning. Måske fordi det er så indlysende nemt, at ingen andre har tænkt på det. En smart løsning kan også være én, som giver et generelt svar, for eksempel en formel, en ligning, en algoritme, en graf eller en tegning. Eksempler på de tre typer løsninger på opgaven: Lav regnestykker med resultatet 100. En almindelig løsning er 50 + 50. Det er nemme hele tal, kun to af dem, en regneoperation, og regningsarten er addition. En vanskelig løsning for en elev i 5. klasse er 22,3 2 + (555 1):10. Her er decimaltal, flere tal og flere regningsarter. En smart løsning er 100 + 0 eller 100 1. Her er ikke brug for at regne overhovedet. For en elev i 9. klasse er 2 ( 100) en smart løsning, hvor der heller ikke er regnet. En anden smart løsning i overbygningen er: Alle punkter på den her linje har x + y =100. Pointen med de tre kategorier (almindelig, vanskelig og smart) er ikke, at læreren skal være dommer og kategorisere elevernes løsninger, så eleven så kan føle sig dum, fordi læreren ikke synes, de havde en smart løsning. Nej, pointen er at give struktur for den enkelte elevs tænkning. Som en radar skal eleverne prøve at dreje hovedet i tre forskellige retninger og se, hvad der sker i hver af dem. Hver retning har sin fordel. Med de almindelige løsninger lærer eleven at tænke hverdagsagtigt og ukompliceret. Med de vanskelige løsninger lærer eleven, at de selv kan foretage valg, der kræver en arbejdsindsats, de lærer at blive flittige. Med de smarte løsninger lærer eleven at tænke kreativt, og de lærer, at de kreative tanker ofte først opstår efter de almindelige og de vanskelige, selv om de kan se nemme nok ud bagefter. I bogen giver jeg eksempler på svar i de tre forskellige kategorier for at give ideer til, hvordan lærere kan udfordre elever i forskellige retninger. Samme svar kan findes i forskellige kategorier for at minde om, at den løsning som er vanskelig for den ene elev, er almindelig for en anden. 36 Åben og undersøgende matematik
12 Svaret er givet eksempler Lav regnestykker med resultatet 100 Klassetrin: 1. 10. Varighed: ½ lektion. Kontekst: Ren matematik. Indgangstærskel: Lav. Hjælpemiddel: Lommeregner. Organisering: Individuelt. Forudsætning: Kende til nogle regningsarter. Fokus: Udforskning af tal og regningsarter, herunder regningsarternes hierarki. Matematisk pointe: Eleverne erfarer sig til, hvilke tal, der passer godt sammen, når man for eksempel adderer eller multiplicerer. Elever opnår fornemmelse for tal og regningsarter, hvilket er noget andet end beherskelse af tal og regningsarter. Almindelige svar 50 + 50 Summen af to nemme naturlige tal, gerne tal 10 går op i, fx 60 + 40. 10 10 200-100 200 : 2 Vanskelige svar 60 + 40 37 + 63 99,5 + 0,5 100,01-0,01 5 20 8 12,5 0,1 1000 30 + 30 + 10 + 10 + 10 + 10 Åben og undersøgende matematik 53
(500 + 50 + 5 1) 22,3 2 + 10 3 125 20 Smarte svar 100 + 0 100 0 100 1 100 :1 2 100 Funktionen y = 100 x med denne graf. For punkterne på linjen er x + y = 100. Udfordringer Nedenfor er en liste over håndtag, man kan skrue på, når man vil udfordre eleverne. Regningsarter Man kan foreslå nogle elever at bruge en anden regningsart end den de indtil nu har brugt, for eksempel hvis de kun har brugt addition, kan man opfordre til at prøve subtraktion. For nogle elever er det en god udfordring i første omgang at bruge den samme regningsart flere gange, og dernæst at skulle bruge flere forskellige regningsarter i samme regnestykke. Endelig er der nogle elever, der kan bruge andre knapper på lommeregneren end tallene og de fire regningsarter. Så kan kvadratrodstasten og 54 Åben og undersøgende matematik
potensopløftning komme i sving. Og de helt vilde kan tage de trigonometriske funktioner i brug. Tal Man kan udfordre ved at stille krav om at alle de benyttede tal skal være etcifrede, tocifrede eller trecifrede, eller at der skal være en blanding. Man kan stille krav om brug af decimaltal, eventuelt kan kravet udvides til decimaltal med mindst et bestemt antal decimaler. Negative tal er også en god udfordring. Brøker er også en mulig udfordring i denne opgave. Grafer for funktioner I overbygningen kan man udfordre de dygtige til at udtrykke sig gennem formler, ligninger og grafer. Kan du tegne en graf, hvor alle punkter på grafen har koordinatsæt med summen 100, eller hvor alle koordinatsæt har differensen 100? Variationer Man kan vælge at bruge variationer som selvstændige opgaver, men man kan også bruge dem som udfordringer til enkeltelever. Andre resultater end 100 For børn i 0.-1. klasse kan opgaven ændres til Lav regnestykker med resultatet 10. De særlige tal 0 og 1 er også gode, En opgave som Lav regnestykker med resultatet 1 er dog så svær, at den først egner sig fra starten af mellemtrinnet. Åben og undersøgende matematik 55
Fra ca. 5. klasse og op kan resultatet vælges til at være et negativt tal, decimaltal eller en brøk (for eksempel -10, -1, 4,25, 0,5 eller ¾), for eksempel Lav regnestykker med resultatet ¾. Tilføj enhed Man kan ændre ordlyden ganske lidt til for eksempel Lav regnestykker med resultatet 100 cm. Elevernes svar skal stadig være regnestykker, men konteksten kan sætte nye tal ind i tankerne, for eksempel kunne 100 cm give anledning til 0,9 m + 0,1 m. Andre enheder er kr., g og cm 3. Gennemsnittet af fem børns højder er 115 cm. Hvor høje er børnene? Klassetrin: 6. 10. Varighed: ½ lektion. Kontekst: Realistisk. Indgangstærskel: Høj. Eleverne har typisk kun mødt gennemsnit som noget, hvor man lægger en række tal sammen og bagefter dividerer med antallet af tal. Nu skal de den anden vej og det kan volde store vanskeligheder for nogle elever. Hjælpemiddel: Lommeregner eller regneark. Organisering: Individuelt eller par. Forudsætning: Erfaring med gennemsnit. Fokus: Eleverne udforsker begrebet gennemsnit, forskellige måder at beregne gennemsnittet og forskellige fordelinger, der giver samme gennemsnit. Matematisk pointe: Forskellige fordelinger af et datasæt kan have samme gennemsnit. Man kan selv designe et datasæt med bestemte egenskaber. Almindelige svar 115 cm, 114 cm, 116 cm, 113 cm og 117 cm. 115 cm, 110 cm, 120 cm, 105 cm og 125 cm. Vanskelige svar 100 cm, 102 cm, 101 cm, 100 cm og 172 cm. 95 cm, 105 cm, 115 cm, 125 cm og 135 cm. 109 cm, 113 cm, 116 cm, 118 cm og 119 cm. 56 Åben og undersøgende matematik