3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

Transkript

1 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive lov: kende den distributive lov for division og anvende den til enkle algebraiske udtryk. Potenser og rødder: kunne reducere enkle algebraiske udtryk med potenser og rødder samt have en geometrisk forståelse af sammenhængen mellem potenser og brøker. Flerleddede størrelser: kunne multiplicere flerleddede størrelser ved geometrisk og algebraisk fremstilling. Algebra i anvendelse: kunne danne og anvende algebraiske udtryk i modeller, kunne analysere og undersøge udtryk via ræsonnementer, der bygger på geometriske repræsentationer eller matematikfaglige tekster samt kunne vurdere styrken i at repræsentere en løsning via en samlet formel eller et regneark med opbrudte udtryk for hver del. Kapitlet bygger naturligt videre på de færdigheder og den viden, som eleverne opnåede ved sidste års arbejde med algebra, og derved udbygges således evnerne og kendskab til at udføre omskrivninger og beregninger med variable. Variable og brøker Arbejdet med variable og brøker bygger videre på arbejdet i kapitlet Algebra fra 7. klasse. Eleverne kender til addition, subtraktion og multiplikation med variable og har dermed grundlaget for en udvidelse med den fjerde regningsart, division. Der er fokus på division ved opstilling af brøker. Den distributive lov På forrige side arbejdede eleverne med division af algebraiske udtryk som opstilling af brøker. Her er det division af algebraiske udtryk, der er omdrejningspunktet, men fokus er på opstilling af algebraiske udtryk ved brug af parenteser. Eleverne lærte i 7. klasse om den distributive lov i forbindelse med multiplikation samt reglerne for plus- og minusparenteser. Dette tidligere arbejde bygges der videre på i kraft af, at eleverne introduceres for den distributive lov for division. Potenser og rødder Arbejdet med potenser og rødder bygger videre på arbejdet med reduktion fra 7. klasse. Eleverne har kendskab til reduktion af algebraiske udtryk med addition, subtraktion og simpel multiplikation, og de fik i 7. klasse desuden introduceret det geometriske udtryk for x 2 og x 3. Dette arbejde repeteres, så eleverne bliver i stand til at videreudvikle deres algebraiske forståelse, når brugen af potenser udvides og brugen af rødder introduceres. Eleverne bliver introduceret til brugen af CAS til reduktion af algebraiske udtryk. De kender i forvejen CAS fra arbejdet med ligninger i 7. klasse.

2 Flerleddede størrelser Eleverne arbejder videre med forståelsen af multiplikation i forbindelse med algebra, da de introduceres for multiplikation af flerleddede størrelser. De skal arbejde geometrisk og algebraisk med den distributive lov for to toleddede størrelser, kvadratet på en toleddet størrelse samt to tals sum gange med de samme to tals differens. De forskellige regler for multiplikation af flerleddede størrelser bliver givet til eleverne i de grå bokse, men eleverne skal via arbejdet med opgaverne forsøge at formulere deres egne regler og først dernæst sammenligne med udtrykkene i de grå bokse. De to sidste regler er jo specialtilfælde af den distributive lov for to toleddede størrelser. Algebra i anvendelse Arbejdet med algebra i anvendelse tager udgangspunkt fra Format 7: Undersøgelse af algebraiske udtryk. De algebraiske udtryk er i 8. klasse mere anvendelsesorienteret, og da eleverne arbejder med modeller fra virkelighedens verden, er der bl.a. fokus på udvikling af elevernes modelleringskompetence. Eleverne skal udforme opgaver med udgangspunkt i virkeligheden, og vurdere forskellige matematiske modeller. Hermed bliver modelleringskompetencen sat i spil. Side til side-vejledning Variable og brøker Intro 1 Fangeleg (klasseaktivitet) og kopiark 3.01 Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen. Den indeholder indsætningsøvelser med udtryk, som de skal arbejde med i kapitlet. Eleverne deles i to hold. Kopiarket kopieres i 2 eksemplarer fx grøn og rød. Alle elever får en brik i sin holdfarve, og resten af brikkerne lægges i en bunke. Der vælges en værdi for x og denne skrives et synligt sted. Det kan være på et stort stykke karton, på en tavle med kridt el.lign. Spillerne forsøger at vinde så mange brikker som muligt, hvilket sker, ved at fange en modstander, indsætte værdien for x i sit udtryk, og den spiller med højeste værdi vinder modstanderens brik. Vundne brikker afleveres tilbage, og taberen henter en ny brik fra holdets bunke. Værdien af x ændres løbende i spillet. Forslag til x-værdier: 1, 1, 0, 2, 2 og 1 2 Spillet slutter, når et hold har vundet alle modstanderens brikker. Der kan også spilles på tid, hvor flest antal vundne brikker afgør spillet. 2 Sats (gruppeaktivitet) og kopiark 3.02 I opgaven repeteres ved vurdering om forskellige udsagn er sande eller falske. Eleverne satser mellem 3 og 10 point ved hvert udsagn. Efter at have udfyldt arket kontrolleres parvis hinandens svar og pointene tælles sammen. 3 Kage og brøker (gruppeaktivitet) Eleverne uddyber forståelsen af bogstaver som symbol for variable ved at arbejde i en kendt kontekst. Størrelserne af brøker sammenlignes herved i en konkret sammenhæng. 4 Regn med brøker

3 Opgaven tager udgangspunkt i elevernes viden omkring brøker fra kapitel 2. I opgave a beregnes fællesnævneren og herefter summen. I opgave b beregnes differens, produkt og kvotient. 5 Ræsonnement (paraktivitet) Eleverne arbejder i denne opgave med mere komplicerede udtryk med variable i brøker. De ræsonnerer sig til løsningerne ved hjælp af indsættelse af konstanter, omskrivning og beregning. Den distributive lov 6 Håndboldmenuer Eleverne finder de 3 udtryk, som beskriver, hvor mange penge der er til hver spiller. De har således fundet 3 forskellige udtryk med den samme værdi, hvilket ses ved at gennemføre reduktionen. Division, parentesregler samt opstilling på brøkstreg bliver anvendt i opgaven. 7 Parenteser og CAS (paraktivitet) og kopiark 3.03 Først arbejder eleverne i par omkring reduktion af udtrykkene i elevbogen samt kontrol i CAS. Kopiarket er et træningsark, hvor eleverne får flere opgaver af samme slags. De skiftes til at anvende CAS og reducere med papir og blyant. Den elev, som er hurtigst efter hver opgave, får et point. 8 Domino (paraktivitet) og kopiark 3.04 Kopiarket forstørres til A3. Brikkerne klippes ud og lægges med bagsiden opad på bordet. Hver spiller trækker 9 brikker. Den yngste starter med at lægge en brik på bordet. På skift lægges en brik i forlængelse af de øvrige brikker. Brikken kan lægges ned hvis værdierne, som støder op til hinanden, er lige store. Kan der ikke lægges ned, trækkes en ny brik. Vinderen er den spiller, som først kommer af med alle sine brikker. 9 Dan udtryk Eleverne skriver udtryk med variablen x, som indeholder de krav, som er beskrevet. 10 Faktor- og divisorjagt (gruppeaktivitet) I denne opgave skal eleverne finde en faktor og en divisor, som kan sættes uden for en parentes. Der er givet et eksempel i illustrationen. Med dette arbejde ledes eleverne over i ræsonnementer omkring reglerne bl.a.. sammenhængen mellem 2 og 1 2, 3 og 1 3 osv. Potenser og rødder 11 Reducer og kopiark 3.05 Indledningsvis arbejder eleverne med reduktion af udtryk indeholdende potenser. Illustrationen hjælper eleverne til at huske tidligere lært stof fra 7. klasse. Kopiarket indeholder lignende opgaver. 12 Divisorer Som optakt til elevernes arbejde med opgaven, kan der tales om betydningen af divisorer samt eksempler på divisorer i forskellige typer af tal og variable. Opgaven giver en øget forståelse af potenser, og dette lægger til grund for det efterfølgende arbejde. 13 Byt opgaver (klasseaktivitet) og kopiark 3.06 Først løser eleverne individuelt eller i par opgaverne a og b i bogen. Dernæst får alle i klassen udleveret et kopiark. Hver elev udarbejder opgaver, som ligner opgaverne i opgave a. Resultaterne på opgaverne tjekkes i CAS, og de to bedste opgaver skrives på kopiarket. Eleverne går rundt og løser hinandens opgaver. Hver gang en elev har løst en andens opgave, skal denne elev også skrive under på den anden elevs ark. 14 Potens og parenteser (paraktivitet) Eleverne arbejder med reduktion af udtryk med opløftning at potens til ny potens. 15 En tung model (paraktivitet)

4 I denne opgave arbejder eleverne med en given model og denne models begrænsning. Derved er det den kritiske del af modelleringskompetencen, som eleverne arbejder med. 16 Elsker, elsker ikke (paraktivitet) Eleverne indsætter værdier for a, b og c i et algebraisk udtryk indeholdende kvadratrod og potens, og de aflæser værdierne i intervallerne. Tal med eleverne om betydningen af indholdet i disse intervaller. Testen kan bruges til hvad som helst. Eleverne kan selv vælge om den skal teste, om de bliver millionær eller ej, om de får et bestemt ønske opfyldt eller ej eller noget andet. 17 Rødder og sidelængder Arbejdet med kubikrødder tager i denne opgave udgangspunkt i en geometrisk fremstilling af begrebet. 18 Reduktion af rødder Eleverne træner færdigheder i reduktion af algebraiske udtryk indeholdende rødder og potenser. 19 Kend din CAS (paraktivitet) Udtrykkene i opgave 18 indtastes i CAS, og eleverne konstruerer en opgave, som kan løses med og uden CAS. 20 Særlige tilfælde Eleverne undersøger hvilke x-værdier, som gør udtrykkene sande. Flerleddede størrelser 21 Begrebskapløb (gruppeaktivitet) og kopiark 3.07 Individuelt eller i par indsættes de korrekte ord på linjerne, så teksten bliver rigtig. Dernæst skal hver elev skrive en forklaring på begreberne, som står nederst på kopiarket. De kan hente hjælp i indsætningsteksten, de lige har udfyldt. I gruppen på 3-4 personer udvælges den bedste forklaring. Brikkerne fra kopiarket klippes ud og lægges i en bunke med bagsiden opad. Forklaringerne renskrives på brikker, og disse fordeles på et større område. Der vendes en brik med begrebet, og alle løber rundt og leder efter den rigtige forklaring. Der er 1 point til den, der først finder forklaringen. Sådan fortsættes til alle brikker og forklaringer er fundet. Hvis aktiviteten foregår udendørs, kan brikkerne med fordel lægges under kegler, så de ikke blæser væk. 22 Algebradiktat (gruppeaktivitet) og kopiark 3.08 Brikkerne på kopiarket klippes ud. En i gruppen trækker en brik og læser højt for de andre, hvad de skal gøre. De skriver et udtryk, som opfylder kravene. Udtrykkene tjekkes i fællesskab. Den næste elev trækker en brik, og aktiviteten fortsætter, indtil alle brikker er brugt. 23 Toleddede størrelser (paraktivitet) Ved hjælp af geometriske repræsentationer ræsonnerer eleverne sig frem til, hvordan man multiplicerer toleddede størrelser. I den grå boks kan de efterfølgende se den algebraiske repræsentation. 24 Erobringsspillet (paraktivitet) og kopiark 3.09 Hvert par får udleveret et kopiark. Det faglige indhold er reduktion og optælling af led. De tre spilleplader har stigende sværhedsgrad, så efter, at alle har spillet den første bane, kan de springe ned til bane 3, hvis det er for nemt. De kan også få udleveret et nyt kopiark og spille på bane 1 igen, hvis det var svært for dem. 25 Anettes indkomst I opgaven arbejder eleverne med faglig læsning, og ved løsning af opgaven får eleverne et konkret billede på, hvad multiplikation af to toleddede størrelser kan bruges til i hverdagen. 26 Regn reglen ud (paraktivitet) I opgave 23 arbejdede eleverne med en geometrisk repræsentation af toleddede størrelser. Denne tilgang fortsættes i denne opgave, hvor eleverne skal formulere reglen for kvadratet på en toleddet størrelse. De kan finde hjælp i den grå boks under opgaven.

5 27 Krydsogtværs Eleverne løser krydsogtværs ved at arbejde med reduktion af udtryk, som indeholder kvadratet på en toleddet størrelse. Opmærksomheden skal være på elevernes forståelse af, at fx (2b) 2 = 4b 2 28 Flere slags toleddede størrelser (paraktivitet) I denne opgave arbejder eleverne med to tals sum gange med de samme to tals differens. Der er meget tekst i opgaven, så hvis eleverne har svært ved at gennemskue, hvad de skal i opgave b, kan denne danne grundlag for en klassesamtale, hvor det algebraiske udtryk opstilles i fællesskab. Som i de foregående undersøgende opgaver, formulerer eleverne også her en generel regel og sammenligner med den grå boks. Algebra i anvendelse 29 LivKro (paraktivitet) Eleverne formulerer opgaver ud fra en tekst med informationer omkring opholdet på en kro. 30 Gavlen I denne opgave arbejder eleverne med algebraiske udtryk, som beskrivelser for hverdagsfænomenet. De rigtige udtryk identificeres, og det forkerte udtryk ændres til det rigtige ved at eleverne enten reflekterer over tegningen eller reducerer udtrykkene og finder det manglende element. 31 Renovation af gavlene Eleverne arbejder med at formulere opgaver til teksten i mailen. Dernæst arbejder de med regneark, og fokus er på programmering af cellerne. 32 Vandforbrug (paraktivitet) Modelleringskompetencen er i fokus i denne opgave, hvor eleverne vurderer to matematiske modellers anvendelighed i den virkelige verden. 33 Stikstafet (klasseaktivitet) og kopiark 3.10 Eleverne spiller stikstafet, som beskrevet på kopiarket. Eleverne må ikke lede efter et bestemt svar, når de løber efter en brik. De skal blot vælge en brik, løbe tilbage til holdet, og sammen kontrollere, om der er stik. Skriftlig problemløsning 1 Kondital Den faglige tekst danner grundlag for besvarelsen af opgaven. Eleverne reducerer udtrykkene og anvender udtrykkene til beregning. 2 Regneopskrifter Eleverne arbejder med beregning ud fra regneopskrifter samt opstilling af algebraiske udtryk ud fra regneopskrifter.