Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2018/2019 Institution Campus Vejle Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik A niveau MASL (Maja Harborg Slot) Hold 3.G mat hold 1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Titel 6 Titel 7 Titel 8 Titel 9 Introduktion til matematik og funktioner Lineære funktioner Ekspotentielle funktioner Andengradspolynomier Potensfunktioner Rentesregning Beskrivende statistik Differentialregning og tangentbestemmelse Trigonometriske funktioner Titel 10 Integralregning Titel 11 Differentialligninger Titel 12 Kvadratisk optimering Titel 13 Vektorregning Side 1 af 17
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Titel 1 Introduktion til matematik og funktioner Matematik C (4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime), side 58-63 og eget materiale 1. Regnearternes hierarki 2. Fortegn 3. Forståelse for egen matematiske intuition 4. Repetition af reduktion Omfang 2 lektioner à 45 minutter Side 2 af 17
Titel 2 Lineære funktioner Matematik C(4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime) 4.1-4.8, 4.11 1. Den rette linje som sammenhængen mellem to variable (x og y). Grafisk aflæsning af den ene variabel ud fra den anden. 2. Indtegning af lineære funktioner. 3. Bestemmelse af forskrift ud fra to punkter. Beviser af formler for hældningskoefficienten a = y 2 y 1 x 2 x 1 og skæring med y-aksen b = y 1 ax 1 = y 2 ax 2 4. Løsning af førstegradsligninger 5. Løsning af enkeltulighed ved beregning og grafisk aflæsning. 6. x-y plot af datamateriale og lineær regression 7. Løsning af ligning med to lineære funktioner (beregning og grafisk) 8. Løsning af dobbeltuligheder 9. Løsning af to ligninger med to ubekendte (beregning og grafisk) 10. Løsning af ligning i TI-N spire Omfang 32 lektioner af 45 min. Lineær regression er anvendt i SO1 mat-samf. Side 3 af 17
Titel 3 Ekspotentielle funktioner Matematik C(4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime) 6.1-6.3, 6.6-6.8 1. Forskrift og graf for en eksponentiel funktion: f(x)= b a x. 2. Kendetegn ved denne funktion (konstant procentvisstigning i funktionsværdierne) 3. Bestemmelse af regneforskrift ud fra to punkter. Beviser for formlerne x2 x1 fremskrivningsfaktoren: a = y 2 y 1 Begyndelsesværdien: b = y 1 At r er den relative tilvækst b som skæring med y-aksen = y 2 a x 1 a x 2 4. Løsning af eksponentielle ligninger af typen: b a x = c og b a x = c d x 5. Logaritmefunktioner og regneregler for logaritmer - dog primært regnereglen ln(ax) = x ln(a). 6. Fordoblings- og halveringskonstanter med beviser 7. til problembehandling af eksponentielle opgaver. 8. Anvendelse af eksponentielle funktioner. Omfang 26 lektioner af 45 min. Eksponentiel regression er anvendt i SO1 mat-samf. Side 4 af 17
Titel 4 Andengradspolynomier Andengradsfunktioner Omfang Matematik C (4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime), kap. 5.1-5.7 1. Forskriften og grafen for en andengradsfunktion. 2. Betydningen af konstanterne a, b, c og d for parablens beliggenhed. 3. Beregning af diskriminant, nulpunkter og toppunkt vha. formler. Beviser for nulpunktsformlen og toppunktsformel 4. Skitsering af grafen ud fra viden om toppunkt, nulpunkter og fortegn på konstanten a. 5. Løsning af andengradsuligheder (beregning og grafisk) 6. Anvendelse af andengradsfunktioner 7. Programmering af skyderfunktioner i Nspire 14 lektioner à 45 minutter Gruppearbejde med fremlæggelser. Side 5 af 17
Titel 5 Potensfunktioner Matematik C 4.udgave ( Hans Henrik Hansen m.fl. Systime ) 9.1, 9.3-9.5 1. Forskrift og kendetegn for potensfunktioner. 2. Bestemmelse af forskrift ved brug af formlerne for a og b. Beviser for formlerne for a = ln (y 2 /y 1 )/ln (x 2 /x 1 ) b = y 1 x 1 a = y 2 x 2 a 3. Ligninger med potensfunktioner. 4. At bruge TI-Nspire til at lave regression med data der er tilnærmelsesvist en potensvis udvikling. Omfang 6 lektioner af 45 min. Side 6 af 17
Titel 6 Rentes- og annuitetsregning Matematik C (4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime), kap. 7.1-7.6 1. Benytte renteformlen i alle dens omvendinger 2. Bevise hver af renteformlens omvendinger fra fremskrivningsformlen. 3. Beregne den gennemsnitlige rente. 4. Beregne den effektive rente. 5. Beregne både fremtids- og nutidsværdi af en annuitet. 6. Isolere hvert element (bortset fra r) i annuitetsformlerne. 7. Kendskab til låntyperne annuitetslån, serielån og fast lån 8. Afkode og opstille grafiske profiler for kendte låntyper 9. Udlede og benytte formlen for restgæld 10. Opstille amortisationsplaner i Excel 11. Forståelse for ÅOP Omfang 20 lektioner à 45 minutter og excel Side 7 af 17
Titel 7 Beskrivende statistik Matematik C (4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime), kap. 2.2-2.4 1. Afkode og beregne kvartilsæt, middeltal, typetal og fraktiler for diskrete variable. 2. Opstille data grafisk i pindediagram og trappediagram. 3. Afkode og beregne kvartilsæt, middeltal, typeinterval og fraktiler for diskrete variable. 4. Opstille data grafisk i histogram og sumkurve. 5. Indekstal (i forbindelse med SO1) 6. Beregne og fortolke SAK, varians og standardafvigelse for diskrete variable. 7. Beregne og fortolke SAK, varians og standardafvigelse for grupperede variable. 8. Indsamle og systematisere data fra virkeligheden og bearbejde det statistik. 9. Udledning af formlerne for r, n og K o ud fra K n formlen 10. Udledning af formlerne for alle variable på nær r i formlerne for A 0 og A n samt udledning af A 0 ud fra A n Omfang 14 lektioner á 45 minutter og Excel Side 8 af 17
Titel 7 Differentialregning og tangentbestemmelse Matematik B (4. udgave Hans Henrik Hansen m.fl. Systime) 3.1-3.9 4.1-4.5 5.1-5.7 1. Begreberne differentialkvotient og afledt funktion f 2. Sammenhængen mellem fortegnet for f og monotoniforholdene for f 3. Sammenhængen mellem nulpunkter for f og ekstrema for f 4. Sammenhængen mellem fortegn for f og krumning for f. 5. Bestemmelse af ligningen for en tangent Når vi kender et røringspunkt (eller en x-værdi ) Når vi kender hældningen på tangenten 6. Bestemmelse af a. definitionsmængde b. nulpunkter i hånden og ved hjælp af TI-Nspire c. fortegnsvariation d. monotoniforhold e. ekstrema f. vendetangenter g. værdimængde For følgende funktionstyper: - Polynomier - Nogle irrationelle funktioner - Sinus og cosinus 7. Beviser: - Differentialkvotienten generel f (x) = f(x + x) f(x) x - Differentialkvotienten for lineære funktioner f (x) = a - Differentialkvotienten for det generelle andengradspolynomium f (x) = 2ax + b - Tangentens ligning y = f (x) (x x 0 ) + f(x 0 ) - Differentiation af sumfunktionen h (x) = f (x) + g (x) - Differentiation af differensfunktionen h (x) = f (x) g (x) - Differentiation af en funktion ganget med en konstant h (x) = k f (x) Omfang 35 lektioner af 45 min. Side 9 af 17
Side 10 af 17
Titel 8 Sandsynligheder i binomial og normalfordelinger, Konfidensintervaller for sandsynlighedsparameteren p Konfidensintervaller for middelværdien μ Konfidensintervaller for en andel Chi-i-anden-test for uafhængighed mellem 2 variable Matematik B (Søren Antonius m.fl. Systime ) Kapitel 7, kapitel 8.1-8.10 og 9.2 1. Binomialfordelingen - Pindediagram for fordelingen (diskret fordeling) - Beregning af sandsynligheder vha. Nspire - Beregning af middelværdi og standardafvigelse vha. formlerne: - Middelværdi: μ = E(x) = n p - Standardafvigelse: σ= n p (1 p) - Beregning af konfidensinterval for andelen / sandsynlighedsparameteren p 2. Normalfordeling - Tæthedfunktionen ( kontinuert fordeling ) - Beregning af sandsynligheder vha. Nspire ( fortolket som areal under tæthedsfunktionen ) - Beregning af middelværdi og standardafvigelse i Nspire - Beregning af konfidensinterval for middelværdien μ - Kendskab til z-fordeling og t-fordeling 3. Chi-i-anden test for uafhængighed vha. Nspire og Excel - Optælling af data i pivottabel i Excel - Beregning og fortolkning af forventede værdier og bidrag - Beregning af antal frihedsgrader - Fortolkning af testværdien i fht. signifikansniveau - Kendskab til kritisk værdi i fht. χ2 - teststørrelsen Med særlig vægt på 1) Anvendelse af IT-værktøjer ( TI-Nspire) 2) Fortolkning af de beregnede resultater Beviser for 1) Udledning af beregningsformlen for sandsynligheder i binomialfordelingen f(x i ) = P(X = x i ) = K(n, x i ) p x i (1 p) n x i 2) Udledning af omskrivningsformlen for variansen Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 3) Hypotesetest vha. a. Konfidensintervaller b. Kritisk-værdi-metode c. Signifikanssandsynlighed 4) Udledningen af stikprøvestørrelsen ud fra længden af et konfidensinterval for en andel Omfang 30 lektioner af 45 min. Fortolkning af de beregnede resultater Side 11 af 17
Side 12 af 17
Titel 9 Trigonometriske funktioner Matematik A ( Søren Antonius, Robert Clausen, Hans Henrik Hansen Systime ) Kapitel 4.1-4.3 7 lektioner af 45 min Side 13 af 17
Titel 10 Integralregning Matematik A ( Søren Antonius, Robert Clausen, Hans Henrik Hansen Systime ) Kapitel 6.1-6.10 1. Bestemmelse af stamfunktioner o Konstanter o Potenser o Kvadratrodsfunktionen o Eksponentialfunktionen (den naturlige) o Logaritmefunktionen (den naturlige) o Sinus o Cosinus 2. Sammenhængen mellem differentiation og integration - integrationsprøven 3. Regneregler for integraler. Sum- differens og multiplikation med en konstant (beviser heraf vha integrationsprøven) 4. Bestemmelse konstanten c 5. Integration ved hjælp af substitution 6. Sammenhængen mellem integration og summer (højre-, venstre- og trapezsum) 7. Bestemte integraler herunder beviset for integralregningens hovedsætning 8. Regneregler for bestemte integraler. Sum- differens og multiplikation med en 9. konstant samt substitution 10. Indskudsreglen 11. Bestemmelse af arealer over og under x-aksen samt mellem funktioner 12. Anvendelse i forhold til økonomi 12 lektioner af 45 min Side 14 af 17
Titel 11 Differentialligninger Matematik A (Søren Antonius, Robert Clausen, Hans Henrik Hansen Systime) Kapitel 7.1-7.3 1. Sammenhængen mellem integralregning og differentialligninger 2. Separable differentialligninger og deres løsninger Type I: dx dy = g(x) Type II: dy dx = g(y) Type III: dy = h(x) g(y) dx 3. Lineære differentialligninger af første grad og deres løsninger 6 lektioner af 45 min Side 15 af 17
Titel 12 Kvadratisk optimering Matematik A (Søren Antonius, Robert Clausen, Hans Henrik Hansen Systime Kapitel 2.1, 2.3, 2.4., 2.5 og kapitel 3 1. Formlen for et keglesnit 2. Cirkler, ellipser og parabler som keglesnit 3. Kvadratiske funktioner 4. Kvadratiskprogrammering -oversættelse mellem virksomhedsøkonomiske problemstillinger og matematik 5. Sammenhængen mellem konkurrenceformer på markeder og løsningskurvernes former 6. Indtegning af polygonområde 7. Løsninger med centrum indenfor og udenfor polygonområdet 8. Løsninger med toppunkter, differentialregning og Lagrange metoden 9 lektioner af 45 min Side 16 af 17
Titel 13 Vektorregning Matematik A ( Søren Antonius, Robert Clausen, Hans Henrik Hansen Systime ) Kapitel 1.1-1.11 1. Vektorer og deres repræsentationer 2. Vektorkoordinater og vektorer mellem to punkter 3. Regneregler for vektorer både med og uden koordinater 4. Stedvektorer og basisvektorer 5. Længden af en vektor (herunder bevis) og afstanden mellem to punkter 6. Skalarprodukter og regneregler for denne 7. Vinklen mellem to vektorer herunder parallelle og ortogonale vektorer 8. Tværvektorer 9. Vektorprojektioner 10. Arealet af et parallelogram a b og arealet af en trekant 10 lektioner af 45 min Retur til forside Side 17 af 17