Matematikvejlederprojekt 2016 - gruppe 6

Matematikvejlederuddannelsen på RUC 2014-2016 Matematikvejlederprojekt 2016 - gruppe 6 Ama El-Nazzal Lone Stilling Karlsen Mette Juhl Christensen 1

Abstract Matematikvejlederprojekt 2016 - gruppe 6 er en samling af 3 delprojekter udarbejdet på studiet til Matematikvejleder på Roskilde Universitet august 2014 - januar 2016. Uddannelsens tre semestre har overskrifterne Begreber og Begrebsdannelse, Ræsonnement- og bevisførelse og Modellering. På hvert semester udarbejdes et delprojekt bygget op over uddannelsens tre søjler: Detektion, diagnosticering og intervention. Første delprojekt med titlen Intervention med ligevægtsmodel har fokus på ligningsløsning. Formålet er at etablere et begrebsbillede hos eleverne af ligninger som en ligevægt, og konklusionen er at modellen hjælper eleverne på det niveau interventionen lægger op til. I andet delprojekt med titlen Intervention med Integralregning udarbejdes et længere interventionsforløb, som gennem stilladserede arbejdsark synliggør en mulig arbejdsgang i forhold til ræsonnement- og bevisførelse med det formål at ændre elevernes forestillinger om matematik. Konklusionen er at elevernes problemer med at ræsonnere ikke er løst, men at de er blevet bedre til kortere kæder af ræsonnementer. Desuden ses en ændring i elevernes forestillinger om, hvad der skal til når de arbejder i faget matematik. Tredje og sidste delprojekt med titlen Styrkelse af modelleringskompetencen har fokus på at afhjælpe vanskeligheder med at modellere gennem et interventionsforløb med åbne opgaver, hvor hele modelleringscyklussen kommer i spil. Konklusionen er at undervisningen i modellering kræver en ændring af den didaktiske kontrakt med den positive effekt, at eleverne udviser større selvtillid, selvstændighed og udholdenhed. Matematikvejlederprojektet indledes af en kappe, hvor der reflekteres over kompetencebegrebets kobling til de tre gennemførte interventioner og hvordan den pædagogiske og didaktiske teori om undervisning Realistic Mathematics Education viser sig at være fællesnævner for alle de tre interventionsforløb. 2

Indhold 1. Indledning... 4 2. De otte kompetencer... 4 2.1. At kunne spørge i og om matematik... 5 2.1. At kunne håndtere sprog og redskaber... 6 2.3. Dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau... 6 3. De tre delprojekter... 7 3.1. Intervention med ligevægtsmodel og kompetenceblomsten... 7 3.2. Intervention med integralregning og kompetenceblomsten... 8 3.3. Styrkelse af modelleringskompetencen og kompetenceblomsten... 9 3.4. Sammenfatning... 10 4. Refleksioner over fokus for interventionerne... 10 4.1. Realistic Mathematics Education - hvor og hvorfor?... 11 5. Afsluttende kommentarer... 12 6. Litteraturliste... 13 Bilag 1: Delprojekt 1 Intervention med ligevægtsmodel..........14 Bilag 2: Delprojekt 2 Intervention med integralregning.......87 Bilag 3: Delprojekt 3 Styrkelse af modelleringskompetencen........216 3

1. Indledning Vi har under vores uddannelse til matematikvejledere stiftet bekendtskab med forskning inden for matematikdidaktik, og vi har fået egne erfaringer gennem de forløb, vi har tilrettelagt og gennemført på vores respektive skoler under uddannelsen. Uddannelsen er bygget op af tre forløb med overskrifterne Begreber og begrebsdannelse, Ræsonnement og bevisførelse og Modellering. Bevæggrunden for at udvælge disse tre overordnede emner er beskrevet i artiklen A framework for designing a research-based maths counsellor teaching programme af Uffe Thomas Jankvist og Mogens Niss (2015). Begreber og begrebsdannelse er valgt, fordi forskning viser at det er en stor snublesten for studerende på alle niveauer. Begrebsdannelse er desuden en forudsætning for og et element i udviklingen af alle de otte matematiske kompetencer beskrevet i rapporten Kompetencer og matematiklæring (KOM, 2002). Ræsonnement og Modellering er valgt som to af de otte kompetencer som hver især trækker på de øvrige kompetencer. De tre overordnede emner er valgt fordi de afspejler nøgle aspekter af de otte kompetencer og deres begrebsmæssige fundament. (Jankvist & Niss, 2015, s. 7). I rapporterne over de tre delprojekter nævnes enkelte af KOM-rapportens kompetencer, men i bagklogskabens lys vil vi gerne kommentere på hvordan de enkelte kompetencer kommer i spil i de tre projekter. Undervejs vil vi også trække tråde til den litteratur som vi har stiftet bekendtskab med både under og efter de enkelte projektforløb. Før vi kaster os over vores tre delprojekter, vil vi kort præsentere de otte kompetencer fra KOMrapporten. 2. De otte kompetencer De otte kompetencer kan inddeles i to overordnede kompetencer (KOM, 2002, s. 45): 1. At kunne spørge i og om matematik som rummer kompetencerne inden for tankegang, problembehandling, modellering og ræsonnement. 2. At kunne håndtere sprog og redskaber som rummer kompetencerne inden for repræsentation, symbol- og formalisme, kommunikation og hjælpemiddel. 4

2.1. At kunne spørge i og om matematik For at besidde tankegangskompetencen skal man kunne gennemskue arten af spørgsmål og hvilke type svar som kan forventes inden for et matematisk område. Med dette menes ikke korrektheden af svar, men arten. Herudover er kendetegnet for denne kompetence at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers rækkevidde og være i stand til at generalisere matematiske resultater. Eleven skal også kunne skelne mellem forskellige matematiske udsagn og påstande, f.eks. definitioner, sætninger og formodninger (KOM, 2002, s. 47). For at besidde problembehandlingskompetencen skal eleven både kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer og kunne løse disse (KOM, 2002, s. 49). Med et matematisk problem menes et problem der kræver en matematisk undersøgelse, og derfor kan der sagtens være et matematisk spørgsmål som ikke opstiller et matematisk problem (KOM, 2002, s. 50). At besidde modelleringskompetencen handler om at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter (KOM, s. 1, s. 54). Modelleringskompetencen drejer sig både om at kunne beherske modelleringscyklussens enkelte trin og cyklussen i sin helhed. Modelleringscyklussen beskrives nærmere i delprojekt 3 - Styrkelse af modelleringskompetencen. At besidde ræsonnementskompetencen vil på den ene side sige at man kan følge og bedømme et matematisk ræsonnement, en kæde af argumenter. Det indebærer at man er i stand til at forstå hvad et matematisk bevis er, kan gennemskue de bærende ideer i et bevis og hvordan et bevis adskiller sig fra andre matematiske ræsonnementer. På den anden side vil det også sige at man selv er i stand til at udtænke og gennemføre matematiske ræsonnementer og beviser. Kompetencen er således på banen når det drejer sig om at argumentere for svar på opgaver, problemer eller om spørgsmål er korrekte og fyldestgørende og når sætninger og regler skal retfærdiggøres (ofte bevisførelse). Det kan være en anelse flydende hvilke kompetence der anvendes hos den enkelte. Hvad der for et menneske er en triviel opgave og således blot trækker på vedkommendes rutine er for en anden en vanskelig og kompliceret opgave. At aktivere de operationer der hører til opgaven kan høre under ræsonnementskompetencen fordi det for eksempel kræver analyse mens udførelsen af operationerne hører til symbol - og formalismekompetencen (KOM, 2002, s. 54-56). Selvom problembehandlingskompetencen er tæt forbundet med tankegangs - og ræsonnementskompetencen, så er de ikke sammenfaldende. Fokus i 5

problembehandlingskompetencen er på selve strategierne i løsningen af et matematisk problem, hvor tankegangskompetencen drejer sig om forståelsen for hvilken type spørgsmål der stilles og hvilke svar det kræver. Ræsonnementskompetencen handler om argumentationen for påstande og om korrektheden af en påstand. 2.1. At kunne håndtere sprog og redskaber Til repræsentationskompetencen hører at man er i stand til at forstå - dvs fortolke, afkode og skelne mellem - forskellige repræsentationer af matematiske objekter, matematiske problemer eller situationer. Repræsentationerne kan være symbolske, algebraiske, geometriske, grafiske, diagrammer, tabeller med talmateriale, konkrete materielle objekter, verbale etc. Desuden skal man være i stand til at betjene sig af disse repræsentationer, det vil sige man skal kunne vælge blandt dem og oversætte mellem forskellige former alt efter formål og situation (KOM, 2002, s. 56-58). Symbol- og formalismekompetencen består dels i at man er i stand til at afkode udsagn der indeholder symboler og formler, oversætte mellem symbolholdigt sprog og hverdagssprog. Desuden skal man kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn, udtryk og formler. Det vil sige man skal kunne håndtere symbolsprog og formler, have indsigt i de forskellige regler der gælder ved notation, manipulation og kunne anvende disse (KOM, 2002, s. 58-60). At kunne besidde kommunikationskompetencen betyder at kunne kommunikere i, med og om matematik (KOM, s. 1). Al aktiv skriftlig og mundtlig fremstilling i matematik styrker udtrykssiden af kommunikationskompetencen og læsning, afkodning og fortolkning af andres fremstillinger styrker den modtagende side af kompetencen (KOM, 2002, s. 61). Hjælpemiddelkompetencen handler om at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed, herunder IT (KOM, 2002, s.1). Denne kompetence handler ikke kun om at kunne anvende ITredskaber, men også om inddragelsen af linealer, geometriske figurer, kuglerammer mm. Ud over kendskabet til relevante hjælpemidler handler det også om at have indblik i de muligheder hjælpemidlerne giver, og de begrænsninger de enkelte hjælpemidler har (KOM, 2002, s. 62). 2.3. Dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau I KOM-rapporten beskrives også tre dimensioner i besiddelsen af en kompetence: Dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau. Dækningsgraden handler om hvor mange aspekter af kompetencen som aktiveres (besidder man kompetencen helt eller delvist?). Aktionsradius 6

handler om i hvilke sammenhænge kompetencen bringes i spil (jo flere sammenhænge des større aktionsradius). Det tekniske niveau er niveauet for det indhold der bringes i spil inden for de enkelte kompetencer. Efter gennemgangen af kompetenceblomstens kobling til vores tre delprojekter vil vi forsøge at skabe et overblik over kompetenceblomstens samlede dækningsgrad (hvor mange kompetencer er i spil de enkelte delprojekter), de enkelte kompetenceblades aktionsradius (hvilke kompetencer er mest gennemgående på tværs af de tre projekter) og om nogle kompetencer er mere i spil end andre i de enkelte delprojekter. 3. De tre delprojekter Hvert projekt er bygget op over en detektion, en diagnosticering og en intervention. Gennemgående for alle projekter er at vi har været optagede af at designe interventionsforløbene. Overskrifterne for vores tre delprojekter er: 1. Intervention med ligevægtsmodel (Del 1) 2. Intervention med integralregning (Del 2) 3. Styrkelse af modelleringskompetencen (Del 3) Vi kobler nu kompetenceblomsten til hvert delprojekt for at få et overblik over, hvilke kompetencer der er i spil i det enkelte projekt men også på tværs af de tre projekter. 3.1. Intervention med ligevægtsmodel og kompetenceblomsten I forbindelse med Delprojekt 1 om Begreber og begrebsdannelse fokuserer vi på ligningsløsning. Interventionen er bygget op omkring det at styrke symbol- og formalismekompetencen. Interventionen starter blidt op, og vi vælger bevidst ikke at anvende matematisk formalisme i starten men forklarer matematiske regler ud fra et spil med en ligevægtsmodel. Det at kunne forklare sig på en tilfredsstillende måde i matematik er en sociomatematisk norm (Yackel & Cobb, 1996) som skal tillæres ligesom alt mulig andet. Vi beder eleverne om at referere til spillereglerne 7

og mundtligt forklare hvad de gør under en given spil-operation. Dermed træner vi kommunikation og forklaringsgrad. Koblingen til matematisk notation starter i det øjeblik, ligevægtsmodellen skal oversættes til ligninger og i særdeleshed i forbindelse med arbejdet med ligningsløsning. Vi beder konstant eleverne om at lave mellemregninger. Målet er at opkvalificere det skriftlige arbejde (sociomatematisk norm) og dermed styrke udtrykssiden af kommunikationskompetencen. I forbindelse med ligevægtsmodellen trænes en bevægelse fra vægtmodel til matematisk notation og dermed styrkes repræsentationskompetencen. Registerskiftene (jf. Duval, 2006) frem og tilbage mellem model og notation, mellem den virkelige verden og matematikkens verden svarer til horisontal matematisering, hvor det virkelige ikke behøver at være virkelighedstro så længe eleverne skaber de rigtige forestillinger (Freudenthal, 1991). Vægtmodellen er en elektronisk visualisering, et eksempel på et hjælpemiddel for matematisk virksomhed (KOM, 2002, s. 46) som hjælper eleverne til at skabe et korrekt begrebsbillede (jf. Tall & Vinner, 1981). Vægtmodellen styrker dermed også hjælpemiddelkompetencen. 3.2. Intervention med integralregning og kompetenceblomsten Selvom styrkelsen af ræsonnementskompetencen er central i delprojekt 2, så har vi i interventionen også haft andre kompetencer i spil. Udtrykssiden og den modtagende side af kommunikationskompetencen bliver styrket hele vejen gennem interventionen. Eleverne bliver opfordret til at forklare deres tankegang såvel mundtligt som skriftligt, og eleverne skal søge dokumentation for deres ræsonnementer i undervisningsbogen og henvise til relevante sider i denne. Herudover arbejder eleverne med stilladserede arbejdsark som også aktiverer den modtagende side af kompetencen. Vi lægger hele tiden vægt på at eleverne styrker deres tankegangskompetence ved at gøre dem klar over, hvilke type svar der forventes i forhold til arten af spørgsmål og at de kan skelne mellem de forskellige matematiske udsagn, inden de kan begynde at retfærdiggøre en påstand (ræsonnement). Repræsentationskompetencen bliver berørt hele vejen gennem interventionen, hvor eleverne skal fortolke og afkode forskellige matematiske repræsentationer, algebraiske som grafiske. Eleverne skal bl.a. kunne forstå hvad f (x) og f(x)dx b a betyder grafisk og samtidig skal de kunne 8

afkode betydningen af fortegnslinjen og forklare denne i forhold til grafens forløb. Flere registerskift er altså nødvendige her (jf. Duval, 2006). Symbol - og formalismekompetencen som er nært forbundet med repræsentationskompetencen er også i spil i interventionen. Eleverne skal flere steder i interventionen oversætte symbolsproget til dagligdags sprog. Herudover skal de foretage omskrivninger og forklare symbolernes betydning b a og håndteringen af dem, f.eks. f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) F(a). Eleverne bliver også bedt 8 om at afkode symbol- og formelsprog ved at de f.eks. skal forklare betydningen af f(x)dx = 5 3 Under beviset for arealsætningen hvor de skal opstille en ulighed og sammenholde denne i forhold til arealerne under graferne, kommer kompetencen igen på spil.. En del af interventionen går på at de skal anvende deres lommeregner til et areal-projekt, hvor de skal se sammenhængen mellem integralregning og arealet under grafen for en funktion. Herved styrkes også hjælpemiddelkompetencen, dog ikke i samme grad som de andre ovenfor beskrevet kompetencer. 3.3. Styrkelse af modelleringskompetencen og kompetenceblomsten I delprojekt 3 (Styrkelse af modelleringskompetencen) afslører projektets titel at der er fokus på modelleringskompetencen. Modelleringskompetencen, her eksemplificeret ved lakridsopgaven som er omdrejningspunkt for vores interventionen, trækker på alle de øvrige kompetencer: Eleverne får udleveret en lakridsspiral, lineal og pergamentpapir (hjælpemiddelkompetencen) og skal finde længden af lakridsen uden at rulle den ud og måle den. Der er i interventionen fokus på at løse et problem fra virkelighedens verden (problemløsningskompetencen) ved at oversætte problemet til matematikkens verden (repræsentationskompetencen). Det kræver iværksat foregribelse (tankegangskompetencen) og samtidig er de deltagende elever nødt til sammen at diskutere løsningsstrategier undervejs (ræsonnements- og kommunikationskompetence). Endelig skal de validere deres løsning, og intentionen er at nå frem til en generel formel (symbol- og formalismekompetencen). 9

Alle otte kompetencer rækker ind i hinanden som kompetenceblomsten også illustrerer, og flere kompetencer er i spil i de enkelte faser af modelleringscyklussen. Ovenstående eksempel tjener det formål at argumentere konkret for at alle kompetencerne er i spil i intervention 3. 3.4. Sammenfatning Billedet af de tre farvede kompetence-blomster illustrerer hvilke kompetencer der er i spil i de tre interventionsforløb. De røde blade er kompetencer som ikke direkte kommer i spil. De gule blade illustrerer kompetencer som er i spil, men som ikke styrkes i lige så høj grad som kompetencerne med grønne blade. Dækningsgraden, altså antallet af kompetencer der er i spil, stiger gennem de tre projekter. I delprojekt 1 er fem kompetencer i spil, i delprojekt 2 er seks kompetencer i spil og i delprojekt 3 er alle otte kompetencer i spil. De kompetenceblade der har størst aktionsradius er repræsentationskompetencen, kommunikationskompetencen og symbol- og formalismekompetencen, der i høj grad er i spil i de tre projekter. 4. Refleksioner over fokus for interventionerne Det er interessant, men ikke så overraskende for os at repræsentation, kommunikation og symbol- og formalisme er i fokus i de tre interventionsforløb. Vi har været meget inspirerede af Duvals semiotiske registre og skiftene mellem dem (Duval, 2006) som vi læste om på første semester. I forbindelse med responsen på delprojekt 2 og under vores nylige gennemskrivning af projektet 10

(Intervention med integralregning) har vi fået øjnene op for RME - Realistic Mathematics Education. RME er en samlet betegnelse for en pædagogisk og didaktisk teori om undervisning og læring inspireret af Freudenthals syn på matematik (Freudenthal, 1991 og van den Heuvel- Panhuizen, 2000) og vi vil nu give eksempler på hvor grundprincipperne for Realistic Mathematics Education viser sig i vores interventionsforløb og hvorfor den tilgang til undervisning passer godt til vores elever. 4.1. Realistic Mathematics Education - hvor og hvorfor? Overordnet set handler Realistic Mathematics Education om at matematik er en menneskelig aktivitet (van den Heuvel-Panhuizen, 2000). De fem grundprincipper i RME bliver beskrevet i delprojekt 2, men vi vil her uddybe de pinde der er relevante for vores samlede interventionsforløb. Et af grundprincipperne er at eleverne skal støttes i at skabe intuitive forestillinger, som de kan arbejde videre ud fra når de skal tilegne sig nyt stof eller læring i det hele taget. Mange af vores elever kommer med en kæmpe usikkerhed over for faget og vender derfor naturligt tilbage til deres egne utilstrækkelige begrebsbilleder (jf. Tall & Vinner, 1981). I vores interventionsforløb støtter ligevægtsmodellen i delprojekt 1 en forestilling af ligninger som en ligevægt. På samme måde skaber projektetet om arealet under en graf i delprojekt 2 erfaringer som overbeviser eleverne om, at arealsætningen er sand inden de beviser den (jf. De Villiers, 1990) og samtidig er progressionen i de stilladserede arbejdsark generelt bygget op så eleverne gradvist bliver bekendt med den nye teori inden for emnet. I delprojekt 3 om modellering kan man argumentere for at elevernes intuitive forestillinger er i spil i forbindelse med begrebet iværksat foregribelse (Niss, 2010). Ved at vise dem eksempler på en udfoldet modellering og undervise dem i modelleringens faser støtter vi deres fornemmelse af, hvordan de metodisk skal finde vej når de selv skal til at modellere. Et andet grundprincip i RME, som gennemsyrer vores interventioner er at modeller, skemaer, diagrammer mm. kan styrke progressionen så eleverne bevæger sig fra det intuitive til det formaliserede, svarende til den horisontale matematisering (Freudenthal, 1991). Repræsentationskompetencen og symbol- og formalismekompetencen er for alvor på spil her, 11

som den også er i ligevægtsmodellen (del 1), i f.eks. beviset for arealsætningen (del 2) og i lakridsopgaven (del 3). Et tredje grundprincip er at man lærer ved at interagere med hinanden. Dette princip hænger sammen med vores fokus på kommunikationskompetencen. Afslutningsvis skal siges, at vi på Albertslund Gymnasium og på Høje Taastrup gymnasium har mange elever fra gymnasiefremmede miljøer - både blandt elever med anden sproglig baggrund end dansk og blandt elever hvis baggrund er dansk. Vores elever kommer med et andet begrebsapparat end det gymnasiet møder dem med. I den konstatering ligger ingen vurdering. Men det betyder at det skolesprog og de begreber de bringer med sig kan ligge langt fra det læreren og undervisningsmaterialet anvender. Det kan gøre indlæringen vanskeligere. En måde at forholde sig til det på er så at sige at rulle sproget tilbage til det sprog eleverne har. I klassen kan elever og lærere sammen for eksempel oversætte et matematisk ræsonnement eller en matematisk sætning til vendinger hentet fra elevernes sprog - og begrebsapparat. Det er nødvendigt for os som undervisere at være meget eksplicitte, koble hverdagssprog og fagsprog til hinanden, sætte kendte ord på nye begreber, visualisere og være omhyggelige med at anvende forskellige repræsentationer. Derfor er begreber som sociomatematiske normer (Yackel & Cobb, 1996), beliefs (Op t Eynde, de Corte & Verschaffel, 2002) og den didaktiske kontrakt (Brousseau, 1997) meget relevante i vores daglige arbejde. 5. Afsluttende kommentarer Netop fordi mange af vores elever kommer fra gymnasiefremmede hjem giver det god mening at støtte dem i at skabe de rigtige forestillinger, at inddrage visuelle modeller og at styrke elevernes kommunikationskompetencer. Det appellerer til anvendelse af Realistic Mathematics Education og omvendt appellerer tilrettelagte forløb inspireret af RME til eleverne. For på trods af at en del elever kommer med nederlag i bagagen er de motiverede til at lære, hvis de bliver behandlet på den rigtige måde. Når sådanne elever snubler over en faglig sten, så bliver de liggende. Det handler derfor ikke kun om at lægge stenen på plads så de ikke falder over samme sten igen. Det handler også om at de, i første omgang, skal have hjælp til at rejse sig op - og blive stående. 12

6. Litteraturliste Brousseau, G. (1997). The didactical contract: The teacher, the student and the miliue. I &. M. N. C. Balacheff, Theory of Didactical Situations in Mathematics (s. 225-249). Hingham, USA: Kluwer Acadamic Publishers. de Corte, E., Op't Eynde, P., & Verschaffel, L. (2002). Framing Students' mathematics-related beliefs. I G. Leder, E. Pehkonen, & G. Törner, Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (s. 13-37). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. de Villiers, M. (1990). The role and function of proof in mathematics. Pythagoras, 24, s. 17-24. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in an learning og mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, s. 103-131. Freudenthal. (1991). Revisiting Mathematics Education - China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Niss, M. (2010). Modeling a crusial aspect af students' mathematical modeling. New York, N.Y: Springer. Niss, M., & Jankvist, Uffe Thomas. (29. August 2015). A framework for designing a researh-based "maths counsellor" teacher porgramme. Niss, M., & Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring - Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfte, nr. 18. Pind, P. (2015). Åben og undersøgende matematik. Skødstrup: Forlaget Pind og Bjerre. Tall, D., & Vinner, S. (1981). Conceps image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, s. 151-169. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000). Mathematics education in the Nederlands: A guided tour. Utrecht: Fredenthal Institute Cd-rom for ICME9. Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27, s. 458-477. 13

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Matematikvejlederuddannelsen på RUC januar 2015 Delprojekt 1 - Begreber og begrebsdannelse Intervention med ligevægtsmodel Ama El-Nazzal Lone Stilling Karlsen Mette Juhl Christensen Vejledere: Uffe Jankvist og Sif Skjoldager 1

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Indhold 1. Indledning... 5 1.1 Problemformulering... 5 2. Teoretisk afsæt... 6 2.1 Skemp Instrumental og relationel opfattelse... 6 2.2 Sfard strukturel og operationel opfattelse... 7 2.3 Duval treatments og conversions... 8 3. Identifikation... 11 3.1 Detektionstest... 11 3.2 Kvantitativ analyse... 11 3.3 Elev-udvælgelsen... 12 4. Diagnosticering... 14 4.1 Diagnosticering - didaktiske overvejelser... 14 4.2 Resultatet af diagnosticeringen... 16 4.3 Diagnosticeringsskema... 21 4.4 Konklusion - diagnosticering... 21 5. Ligevægtsmodellen... 22 5.1 Aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger... 23 5.2 Modellers anvendelighed... 25 6. Interventionen... 26 6.1 Ligevægtsmodellen i interventionen... 26 6.2 De fire interventionsforløb... 28 6.3 Intervention 1 - Spillet (didaktiske overvejelser)... 29 6.3.1 Resultatet af intervention 1... 32 6.3.2 Kort sammenfatning af intervention 1... 33 2

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 6.4 Intervention 2.1 - Ligevægtsmodellen som en ligning (didaktiske overvejelser)... 33 6.4.1 Resultatet af intervention 2.1... 37 6.5 Intervention 2.2 - Ligevægtsmodellen som en ligning... 39 6.5.1 Resultatet af intervention 2.2... 40 6.5.2 Kort sammenfatning af intervention 2... 40 6.6 Intervention 3 - Fra ligning til vægt (didaktiske overvejelser)... 41 6.6.1 Resultatet af intervention 3... 42 6.7 Intervention 4 - x på begge sider (didaktiske overvejelser)... 42 6.7.1 Resultatet af intervention 4... 44 6.7.2 Kort sammenfatning af intervention 3 og 4... 45 6.8 Testen... 46 6.9 Konklusion på interventionen... 46 7. Samlet konklusion... 47 8. Litteraturliste... 49 9. Kommenteret litteraturgennemgang... 51 Begrebsdefinition kontra begrebsbillede... 51 Tall & Vinner... 51 Vinner & Dreufus... 52 Empirisk abstraktion (Michelmore & White)... 53 Talbegrebet... 54 Irrationale tal (Fischbein, Jehiam & Cohen)... 54 Kløften mellem intuitiv og formel viden (Sirotic & Zazkis)... 56 Brøker og decimaltal (Markovits & Sowder)... 57 Funktionsbegrebet... 59 Grænseværdier (Cornu)... 59 Om overgangen til avanceret matematisk tænkning (David Tall)... 61 Forståelse af den afledede funktion (Zandieh)... 64 Limits of functions - Traces of students concept images (Kristina Juter)... 67 Kognitive problemer med ligningsløsning (Davis)... 68 3

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 10. Bilag... 70 10.1 Bilag 1 - Inddeling af detektionstestens opgaver... 70 10.2 Bilag 2 - Arbejdsgangen i den kvantitative undersøgelse... 71 10.3 Bilag 3 - Udvalgte opgaver fra detektionstesten... 72 10.4 Bilag 4 - Spilleregler til interventionen... 73 4

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 1. Indledning Jeg underviser i matematik. Uhh, det er et af de fag hører man ofte når man taler med folk om sit virke. Et tegn på at matematik for mange er et fag forbundet med vanskeligheder. I flere årtier har mange matematikdidaktikere forsøgt at komme med bud på hvad der gør matematik svær for mange, og hvilke forudsætninger der kræves for at lære matematik. En af forudsætningerne er begrebsdannelsen som er en individuel proces der kan påvirkes i den forkerte retning af både indre og ydre faktorer. Begrebsdannelsen kræver i høj grad en evne til at få dannet indre mentale billeder, og er dette billede i uoverensstemmelse med selve definitionen på begrebet, vil det give eleven en del vanskeligheder i det videre arbejde med begrebet. For at kunne hjælpe elever med matematikvanskeligheder er man nødt til at vide hvad der skaber disse vanskeligheder. Er det et utilstrækkeligt begrebsbillede (Tall & Vinner, 1981) eleven har fået dannet? Er det sproget der er en hindring? Samtidig skal man også fokusere på hvorfor disse vanskeligheder er opstået. Kan man fjerne nogle af forhindringerne eller mindske barrieren til læring, så er man godt på vej til at få elimineret nogle af de fejlforestillinger eleven går med og som kan være skyld i at vedkommende blokerer. En detektionstest 1 blev afholdt i en stx-klasse fra Albertslund Gymnasium (AG) og to hf-klasser fra Høje-Taastrup Gymnasium (HTG). Detektionen har til formål at fange de elever der har sværest ved matematik, men også at give et fingerpeg om, hvor vanskeligheden ligger. Det blev besluttet at tage hånd om løsning af førstegradsligninger med en ubekendt. Tre elever fra hver skole blev udvalgt til det videre forløb med diagnosticering og intervention. 1.1 Problemformulering Hvilke udfordringer har gymnasieelever i forbindelse med løsning af ligninger og kan et interventionsforløb med en udvidet vægtmodel bidrage til en forståelse af ligningsløsning? 1 57 spørgsmål fra Professoren (fra første internat på matematikvejlederuddannelsen) 5

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Den teori vi inddrager er behandlet i to separate afsnit. Det første afsnit Teoretisk afsæt inddrager generel litteratur, her Skemp, Sfard og Duval, om begrebsdannelse. Det andet afsnit Ligevægtsmodellen inddrager specifik litteratur om ligningsløsning. Sidstnævnte afsnit har to fokuspunkter nemlig hvilke problemer elever typisk har ved løsning af ligninger samt fordele og ulemper ved at bruge modeller til at illustrere og indlære ligningsbegrebet. Afsnittet Ligevægtsmodellen følger efter hovedafsnittene om Identifikation og Diagnosticering og lige før afsnittet Interventionen. Da vi valgte at anvende en udvidet version af ligevægtsmodellen var det naturligt at behandle teorien lige før selve interventionen, så læseren kan have den specifikke litteratur mere present under gennemgangen af interventionen. 2. Teoretisk afsæt 2.1 Skemp Instrumental og relationel opfattelse Richard Skemp kommer i artiklen Relationel Understanding og Instrumental Understanding (1976) med et bud på, hvordan den lærende forstår matematik. Skemp mener der er to tilgange til matematikforståelsen. Enten en instrumental tilgang hvor eleven forstår matematik ved at følge en opskrift uden at vide hvorfor man gør som man gør, eller en relationel tilgang hvor eleven søger en forklaring på det matematiske og ved hvordan og hvorfor opgaven løses på en bestemt måde. Det i sig selv giver den lærende et godt fundament, når det handler om tilegnelsen af et nyt emne. En relationel tilgang gør at eleven bliver i stand til at se koblingerne (relationerne) mellem begreberne. En række faktorer kan skabe barrierer, og som lærer må man være nede på jorden og skabe muligheder for at skabe en instrumental forståelse i særdeleshed hos elever med matematik problemer- til at starte med og samtidig arbejde langsigtet mod en relationel forståelse. En instrumental forståelse kan have en positiv effekt for en elev med problemer i matematik - nemlig en succesoplevelse- en følelse af at kunne mestre noget i faget. For den elevtype vi arbejder med er oplevelser af succes meget vigtig, da de styrker selvtilliden, motivationen og troen på at det nytter noget. Det er efter vores mening matematikvejlederens opgave at lave en form for læreplan en målsætning- i samarbejde med den enkelte elev, så der ikke opstår en mis-match, hvor elevens og lærerens mål er forskellige. Det kan føre til at eleven ikke lærer noget. I 1979 udvider Skemp i artiklen Goal and Learning and Qualities of Understanding sin model med en logisk forståelse samt en skelnen mellem to former for mental aktivitet - intuitiv og refleksiv. 6

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Den logiske forståelse kræver at der i forvejen er etableret matematisk viden (f.eks. sætninger, aksiomer), og derfor ser eleven anvendelsen af denne viden som en logisk nødvendighed når der skal udføres matematiske handlinger. Den intuitive mentale aktivitet sker spontan og ubevidst, hvorimod den refleksive mentale aktivitet sker bevidst og gør eleven i stand til selv at danne sine begreber, og samtidig kan eleven ændre og omforme disse. Denne opdeling af matematikforståelse er nyttig, når man som matematikvejleder skal diagnosticere elevernes matematikvanskeligheder. Set med matematikerens briller så er en relationel forståelse og en refleksiv mental aktivitet at foretrække. Men med den tid og med de ressourcer vi har til rådighed, er det dog ikke altid muligt at bringe eleverne derhen. Undervisning og vejledning må derfor tilpasses efter dette. For at man kan tilpasse undervisning og vejledning er det vigtigt at være bekendt med de forskellige matematikforståelser eleverne kan besidde. 2.2 Sfard strukturel og operationel opfattelse Anna Sfard skelner i artiklen On the Dual Nature of Mathematical Conceptions (1991) mellem concept, selve det matematiske begreb, og conception, opfattelsen af begrebet. I forbindelse med conception opererer Sfard med to opfattelser af matematik. En strukturel opfattelse hvor matematik betragtes som objekter eller en operationel opfattelse matematik som en proces. Det vanskelige ved matematiske begreber er at de kun kan visualiseres for vores indre blik og ikke i fysisk form. Denne visualisering er imidlertid vigtig når man skal tilegne sig forståelsen af sig de uhåndgribelige elementer i matematik. Den strukturelle opfattelse er ifølge Sfard den hyppigst anvendte inden for matematikundervisningen, hun påpeger at det er nødvendigt at understøtte den med den operationelle opfattelse. Sfards pointe er at de to måder at tilegne sig viden på, er uadskillelige. Den strukturelle opfattelse er en abstrakt og svær proces, som kræver en forudgående operationel forståelse. Det at opnå en abstrakt forståelse er en vanskelig proces, som Sfard inddeler i 3 trin: 1. Internalisering 2. Kondensering 3. Reificering (tingsliggørelse) 7

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Første trin, internaliseringen, drejer sig om at blive bekendt med selve processen. På dette trin er processen operationel og skulle gerne føre til et nyt begreb, man får etableret forståelsen af. I andet trin, kondenseringen, handler det om at kunne tænke på processen som en helhed. Denne helhedsopfattelse viser sig ved at man ubesværet kan sammenligne processen med andre processer eller skifte mellem forskellige repræsentationer inden for samme begreb. I tredje og sidste trin, reificeringen, nærmer vi os en strukturel opfattelse af et begreb, nemlig i det øjeblik begrebet bliver tingsliggjort (reificeret). Det sker i det øjeblik, hvor man ikke længere er afhængig af den forudgående proces for at tage begrebet til sig. Reificering af et begreb opstår i virkeligheden samtidig med at en ny internalisering af begrebet starter på et højere erkendelsesmæssigt niveau. På den måde er reificering en dynamisk proces. Det vanskelige i matematikfaget er at de abstrakte objekter som kan være svære at håndtere er en forudsætning for den mentale aktivitet, der fører til at en reificering kan finde sted. Udfordringen for underviseren er at tilrettelægge en undervisning i matematik, der så vidt muligt stimulerer elevernes evne til reifikation. Anna Sfards model for forståelsesprocessen er anvendelig i forbindelse med opbygningen af et interventionsforløb, og vi vil efter interventionsforløbet reflektere over hvor langt vores elever er nået. 2.3 Duval treatments og conversions I artiklen A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics (2006) af Raymond Duval sker begrebstilegnelsen gennem et semiotisk system. Matematikfaget er præget af forskellige semiotiske repræsentationer, som ikke repræsenterer bestemte objekter, men som skal kunne substitueres med andre symboler. Anvendelsen af disse mange forskellige semiotiske repræsentationer kræver derfor, at man kan skifte mellem de forskellige repræsentationsformer. Duval opdeler de semiotiske systemer i: De monofunktionelle, som kun anvendes i forbindelse med matematiske algoritmer, og de multifunktionelle, som ikke kan oversættes til matematiske algoritmer. Inden for hvert af disse to systemer skelnes mellem repræsentationer, der er deduktivt orienterede (det sproglige) og repræsentationer af mere intuitiv karakter, som figurer, diagrammer, tegninger mm (det visuelle). (Duval, 2006, s. 110, figur 1). Duvals pointe er at for at 8

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 fremme den matematiske forståelse skal flere registre være i spil samtidig. Det kræver at man som underviser er bevidst om dette registersamspil. Transformationerne mellem de forskellige repræsentationer er interessante i forbindelse med den matematiske forståelsesproces. Multifunktionelle (ingen algoritmer) Monofunktionelle (algoritmer) Sproglige registre R1: Forklaringer i hverdags sprog, såvel mundtligt som skriftligt. f.eks. definitioner, sætninger R2: Symbolske systemer- kun skriftligt. F.eks. Beregninger, beviser Visuelle registre R3: Ikoniske - tegninger, skitser of mønstre Ikke-ikoniske - geometriske figurer R4: Diagrammer og grafer Transformationer er det begreb, Duval anvender om processer der finder sted på tværs af registrene eller inden for samme register. Disse transformationer er nødvendige for begrebsdannelsen og dermed matematikforståelsen. Duval introducerer to forskellige transformationer, nemlig treatments og conversions (Duval, 2006, s.111). Figur: Vores egen illustration af begrebstilegnelsen ifølge Duval (2006) 9

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Treatments er transformationer, der finder sted inden for det samme register. Når man udfører treatments i det multifunktionelle register tydeliggøres forskellene på almindelig hverdagsagtig argumentation og matematisk argumentation. Matematiklærere har ifølge Duval en tendens til at søge det monofunktionelle register (Duval, 2006, s. 120), men det kan ikke lade sig gøre at undervise uden at anvende et naturligt sprog, så derfor er der nødt til at være flere registre i spil. Conversions er transformationer, der indeholder registerskift. Transformationer mellem registre kræver kendskab til begge registres semiotiske system. Et eksempel på conversion mellem det multifunktionelle og det monofunktionelle register kan være det at opstille en matematisk model ud fra en sproglig formulering, og omvendt vil en sproglig konklusion på en matematisk udregning være conversion den modsatte vej. Disse registerskift svarer til KOM-rapportens repræsentationskompetence og symbol- og formalisme-kompetence. Repræsentationskompetencen svarer netop til at kunne forstå og skelne imellem forskellige repræsentationer af samme matematiske objekt som f.eks. at kunne overføre konkrete repræsentationer af materielle objekter til en symbolsk repræsentation (dvs. conversion mellem R3 og R2 eller mellem R1 og R2). Der står blandt andet i KOM-rapporten at man skal kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål (KOM, 2002, s. 259). Symbol- og formalismekompetencen drejer sig tilsvarende om registerskift, nemlig at kunne oversætte mellem symbolholdigt matematisk sprog og det naturlige sprog (dvs. conversion mellem R1 og R2). Derudover skal man have kendskab til karakteren af og spillereglerne for formelle matematiske systemer (KOM, 2002, s. 261). Disse registerskift er vigtige at indarbejde i et interventionsforløb, og vi har haft Duval i tankerne under konstruktionen af vores interventionsforløb. 10

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 3. Identifikation En af matematikvejlederens opgaver er at kunne identificere hvilke elever der har matematikvanskeligheder for derefter specifikt at diagnosticere eleven. Et godt sted at starte er ved at afholde en detektionstest 2. 3.1 Detektionstest Vi gennemførte detektionstesten i en 1.hf-klasse (mat C), et 2. HF-hold og et 2.g-hold (mat B). Vi havde på forhånd talt om at det kunne være interessant primært at vurdere de to B-niveau hold, fordi vi forstillede os at de elever ville være motiverede til at deltage i et interventionsforløb på grund af deres afsluttende eksamen sommeren 2015. Desuden kunne det være interessant at sammenligne de to hold, som er fra hver sit gymnasium. 3.2 Kvantitativ analyse Vi besluttede derfor at lave en grundig analyse af de to B-niveauholds besvarelser. Vi oprettede et Excel-ark med alle de 57 delopgaver. Hver elevs besvarelse blev herefter rettet og tildelt 0, 1 eller 2 point - 2 point for en korrekt besvarelse. Ud fra elevernes opnåede pointsum lavede vi et boksplot for hvert hold, og her ses tydeligt at eleverne fra Høje Taastrup klarede testen bedst. Det ses at 75 % af eleverne fra Høje Taastrup klarede sig bedre end den bedste elev fra Albertslund. Albertslund Høje Taastrup 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 2 Detektionstesten der er anvendt er 57 spørgsmål fra Professoren 11

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 For bedre at kunne få et overblik over talmaterialet inddelte vi spørgsmålene i 5 kategorier ud fra Mogens Niss kommentarer til detektionstestens opgaver (se bilag 1): Talbegreb/notationskonventioner (A) Begrebs-, konventions- og strukturforståelse (B) Symbol - og formalismekompetence (C) Ligningsbegreb/variable/funktioner/geometri (D) Brøk/decimalbrøk (E) Vi undersøgte, om der var forskel på elevernes opnåede point inden for de enkelte kategorier ved at udregne et pointgennemsnit: Gennemsnittet i de enkelte kategorier A Tal B Begreb C Symbol D Ligning E Brøk 21 16,5 15,8 15,7 21,8 Arbejdsgangen er beskrevet i bilag 3, men pointen er, at vi ikke fik noget signifikant frem gennem vores undersøgelse. Vi tog derefter en beslutning om at tage fat i ligningsbegrebet, for at undersøge, hvilke problemer eleverne kæmper med i den forbindelse. 3.3 Elev-udvælgelsen Albertslundklassen består af 13 elever med biologi som studieretningsfag. I 1.g var holdet en del af en delt studieretning med biologielever som den ene gren og Science-elever som den anden gren. Eleverne i biologistudieretningen er ikke fagligt stærke, og de har i 1.g haft svært ved at følge med de fagligt dygtige science-elever. Biologi-eleverne var (og er) bevidste om at de er bagud, og de var derfor meget motiverede for at deltage i projektet. 10 ud af 13 meldte sig frivilligt til eventuelt at deltage i diagnosticerings - og interventionsfasen. Vi udvalgte herefter 3 elever (N, R og Y), som arbejder godt i timerne og som klarede detektionstesten middelmådigt (men ikke helt skidt) til at deltage i det efterfølgende diagnosticeringsinterview. Eleverne er alle tre middelelever - også i deres øvrige fag. Høje Taastrup holdet består udelukkende af HF-elever (mat B), og de var ikke 12

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 interesserede i at deltage i projektet. Vi besluttede derfor i stedet at bruge elever fra en 1. hfklasse (mat C) fra Høje-Taastrup til projektet, hvor en del viste interesse for projektet. På Høje Tåstrup Gymnasium er der to 1. hf-klasser med mat C. Disse to klasser er blevet niveaudelt i 2 matematikhold på tværs af klasserne. Eleverne der senere blev valgt ud til diagnosticering og interventionen var fra holdet med de elever der har sværest ved matematik. Detektionstesten for 1.hf erne er ikke med i den kvantitative undersøgelse, fordi eleverne havde problemer på alle felter. De forstod ikke spørgsmålene i detektionstesten og alene det at der stod en del på en A4 side var forvirrende for mange. Til gengæld ville flere fra holdet nok få glæde af at arbejde med ligningsbegrebet. Tre elever (A, M og K) blev udvalgt fra dette hold, de er blandt middelelever i matematik på deres hold men har problemer med at løse ligninger. Alle 3 var villige til at forpligtige sig og investere tid. De var seriøse med faget i dagligdagen og havde næsten intet fravær. Så på den led var de gode kandidater til det videre forløb. I den næste fase - diagnosticeringen - går vi videre med den specifikke udredning. Her er det vigtigt at komme frem til hvor vanskelighederne i løsning af ligninger ligger. 13

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 4. Diagnosticering Til denne fase udarbejdede vi nogle opgaver til eleverne. Diagnosticeringen er blevet afholdt individuelt med hver enkelt elev. 2g-holdet fra Albertslund Gymnasium (AG) fik i interviewdelen et udvalg af spørgsmål fra detektionstesten 3 suppleret med opgaverne til højre. Tanken var at 2.geleverne nok havde bedre forudsætninger for at løse vores ligningsopgaver ret hurtigt, og derfor arbejdede de også med opgaver fra detektionstesten. 1.hf klassen fra Høje Taastrup Gymnasium (HTG) fik kun ovenstående opgaver. 4.1 Diagnosticering - didaktiske overvejelser Eleverne fra 1.hf-klassen havde stor modstand ved bare at høre ordet ligning i undervisningen. Eleverne var bevidste om at de havde svært ved ligninger, og vores mål i denne fase var at komme frem til hvilke faktorer der var skyld i vanskelighederne. I flg. Tall & Vinner kan vanskeligheden ligge i at de har fået dannet et begrebsbillede som er i konfrontation med begrebsdefinitionen på mange områder. Problemerne kan ligge flere steder. Hvilket begrebsbillede har de om lighedstegnet eller om negative tal? Forstår de hvad formålet er med en ligning? Hvor klar er deres talforståelse og deres forestilling om tallinjen? Vi starter med iflg. Vlassis 4 (Vlassis, 2002) konkrete aritmetiske ligninger, hvor x optræder et sted og bevæger os mod abstrakte ikke-aritmetiske ligninger, hvor x optræder på begge sider og hvor negative tal indgår. 3 Se bilag 3 4 Se gennemgangen af Vlassis i afsnittet Ligevægtsmodellen, s. 22 14

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Opgaver x + 1 = 5 x 3 = 10 a 3 = 10 2x + 4 = 0 2x = 12 og 2x = 12 2x + 4 = 10 og 2a + 4 = 10 Overvejelser Starte med en forholdsvis nem opgave, som de kan genkende fra folkeskolen, hvor x var en tom boks. Giver dem muligheden for at gætte. Ingen koefficienter foran x (ud over det usynlige 1-tal). Kun positive værdier Simpel ligning, hvor et negativt tal indgår. Kan eleverne se at det er det samme som i b? Er det ligegyldigt, hvilket bogstav den ubekendte har? Opgaven tester lighedstegnets betydning, negative tal og negative løsninger. Betydningen af 0. Forståelsen af negative tal og minus tegnet, forståelsen af begrebet negative. Er der problemer kan det skyldes at eleven forveksler fortegn med negativitet. Har eleven en teknik fra tidligere? Hvordan takles det at den ubekendte skifter navn? 3x + 7 = 2x og 2x = 3x + 7 Den ukendte optræder på begge sider af lighedstegnet (abstrakte ikke-aritmetiske ligninger (Vlassis 2002). Det bliver sværere at gætte. Kan eleven forstå at et resultat kan være negativt? Kan eleven se at der er tale om den samme ligning? (Filloy & Rojano viser nogle eksempler på dette). x + 3 = 4x 6 Er x = 1 løsning til 3x + 2 = 5? Er x = 1 løsning til 5 = 2 + 3x? Kræver et højere abstraktionsniveau. Der indgår nu negative tal. Hvad forstår eleven ved en løsning? Hvordan vil eleven undersøge dette? Opgaven tester om eleven har forstået ligevægtsbegrebet. 15

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 4.2 Resultatet af diagnosticeringen Her kommer en række kommentarer til de gennemførte elevinterviews. Eleverne fra AG (2.g) navngives N, R, Y og eleverne fra HTG navngives A, K, M (1.hf). Y nåede ikke at få vores opgaver, men kun opgaverne fra detektionstesten. Opgave 1 Løs nedenstående ligninger og forklar hvordan du løser dem: a. x + 1 = 5 b. x 3 = 10 Her er der et problem med det underforståede 1-tal foran x. Elev N ender for eksempel i sidste opgave med x =13. Herefter divideres med 13 på begge sider, og facit ender med x = 0. Enkelte elever gætter løsningen uden at tænke ligningsteknisk og enkelte isolerer x rigtigt. De opfatter her ligningerne som en besked om at gøre som lommeregneren. Et lighedstegn ses altså som en kommando der betyder regn ud og følges af et facit. Både A, M og K gætter løsningerne. c. a 3 = 10 Formålet her er at tjekke om eleven forstår at den variable kan hedde noget andet end x. Eleverne kunne godt afkode opgaven. d. 2x + 4 = 0 Denne opgave gav en del problemer. A, M og K blev forstyrret af nullet på højre side af lighedstegnet. A kom frem til, at venstre side af lighedstegnet skulle bevæge sig nedad for at kunne nærme sig nul. A har altså en opfattelse af at hun må gøre noget med venstre side men ikke nødvendigvis med højre. Hun tror at venstre side ligger over højre side altså er større, muligvis fordi der på venstre side indgår lutter positiver mens der på højre står nul. Hun forstår altså ikke at lighedstegnet udtrykker at de to sider er ækvivalente. Den efterfølgende bemærkning antyder problemer med at acceptere negative tal som løsning. Skubbet let i en rigtig retning kommer A frem til at 2x = 4, ellers giver ligningen ikke mening. Efter lidt yderligere snak, spørger A: Kan man godt gange med et negativt tal?. M og K kom ikke igennem opgaven. R genkendte ligningen som en andengradsligning (fordi der stod lig med nul på højre side). I et forsøg på at løse den blev R forstyrret af at hun kun kunne finde 2 koefficienter, og der skal bruges tre, for at kunne løse den. 16

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 e. 2x = 12 f. 2x = 12 Her gætter Y løsningen i begge ligninger, og N løser ligningerne uden problemer (nu hvor koefficienten er synlig). A, K og M løste uden problemer den første ligning ved at gætte, men ligningen med den negative koefficient forstyrrede K og M, så de ikke kunne komme videre. A startede med at sige 2, 0, 2, 4 men gik i stå undervejs. g. 2x + 4 = 10 h. 2a + 4 = 10 Y og N løser dem uden problemer. K skulle bruge lidt tid på at finde ud af at der stod et gangetegn mellem 2 og x, men derefter kommer han frem til løsningen ved at gætte. A og M gætter sig rigtigt frem til løsningen, og alle erkender at opgave h er det sammen som opgave g - bare med en anden variabel. i. 3x + 7 = 2x j. 2x = 3x + 7 N løser ligning i uden problemer. R ender med udtrykket 1 x = 7 og kommer frem til, at x = 7 1. Men det udtryk kan R ikke reducere, fordi det er et brøkudtryk ( det kan jeg ikke finde ud af ). R læser udtrykket som en syvendedel. I opgave j ender R med x = 1. A og K kom ikke igennem opgave i, men begge kunne se at i og j er samme opgave. M er med på at x erne skal samles på den ene side, men hun tager ikke højde for fortegnene. M indser ikke at j er identisk med i. k. x + 3 = 4x 6 R og N løste den uden problemer. A, M og K kan ikke løse den. 7 Opgave 2: l. Er x = 1 løsning til 3x + 2 = 5? m. Er x = 1 løsning til 5 = 2 + 3x? 17

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 N forstår ikke, hvad det vil sige at noget er en løsning. Efter lange overvejelser løser hun ligningen og konstaterer at x = 1 er en løsning. N ser straks at opgave m er den samme opgave. R sætter tallet 1 ind på x s plads og kommer frem til at 5 = 5. Herefter siger R: Så siger jeg 5 op i 5 og det giver 1, så ja, 1 er en løsning. A, M og K gør det rigtige: De sætter tallet 1 ind på x s plads og kommer frem til at x = 1 er en løsning. Men havde de også gjort det, hvis det havde været en mere abstrakt ligning, hvor x optrådte på begge sider af lighedstegnet? AG-eleverne fra 2.g blev derudover bedt om at arbejde med et udvalg af opgaver fra detektionstesten 57 spørgsmål fra Professoren 5. Generelt er der problemer med reduktion i forbindelse med ligningsløsning. Elev R: R løser opgave 15 fra detektionstesten sådan: 0 x = x 0 + x = x x x Som kommentar til det sidste spørgsmål, siger R: Det giver x eller 0. Hvis 1 står i stedet for x, så giver det 0. Ellers giver det x. Et brøkudtryk, hvor tæller og nævner er identiske, reduceres til 0. Flere x-led i samme ligning forstyrrer R, og i opgave 33 siger R om udtrykket (x 3)(x 5) = 0. Det er en andengradsligning [ ] Fordi der står lig med 0 Der er problemer med at reducere, når der indgår negative koefficienter, f.eks. bliver 5x 3x = 2x fordi der er to negative fortegn, så det bliver plus. I opgave 34, hvor n indgår, siger R: Jeg ved ikke, hvad jeg skal gøre. Jeg tror, jeg skal isolere n. Men så ved jeg ikke derefter. Vi skubber på ved at spørge: Hvad med alle de der tal?. Jeg kan samle 5 Se bilag 3 18

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 dem, tror jeg...n skal stå ude i siden, tror jeg (nu står der: n = 7 = 20). Jeg ved det ikke. R har en instrumental kunnen, der gør hende i stand til at løse bestemte typer ligninger, men hun ved ikke hvad en løsning til en ligning er, og hun har store vanskelligheder med negative tal. Elev N: N er i tvivl om a 2 = 2a. Kommer frem til at a 2 = a a ( så er der to a er, siger hun). Og videre: Jeg er i tvivl om der er 2 a er eller kun et a. N har problemer med forstå en minus-parentes. N begynder at gange ind i parentesen og får at a + b (a b) = a + ba + b 2 I opgave 16 fra testen bliver N forstyrret af teksten: Hvad er a5 5 (hvor a ikke er nul). Hvad betyder (hvor a ikke er nul)? Oplysningen om at a skal være forskellig fra nul forstyrrer N i hendes antagelse om at når man forkorter brøker, hvor tæller og nævner er ens, så giver det nul. Så giver det jo fem divideret med fem, og det er nul. I formuleringer som Findes der en værdi, så? eller Bestem n så forstår N ikke, hvad der menes med spørgsmålet og er usikker på hvad der menes med en værdi. I opgaven, hvor der spørges om x = 0 er en løsning til 3x x = 2x, siger N: Det kan være nul, fordi du siger 3 minus x, det er 2x. Lig med 2x. Når du dividerer det, så giver det 0. Eller man kan flytte x over på den anden side. Så får man 3x = 3x, og det giver også 0. Problemerne for N handler om mange ting, men i forhold til ligninger er der store problemer med forståelsen af hvad en løsning til en ligning er. Hun har med undtagelse af de nævnte eksemplerikke de store problemer med at reducere instrumentalt. a Elev Y: Y kan som udgangspunkt godt løse ligninger teknisk, men hun har problemer med tallet 0 og med x som variabel. Et par eksempler: 0 x = x 19

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 fordi nul er som at sige et x. 0 + x = x x kan betegnes som 1 normalt, så det giver x. Men x kan betegnes som en, men det kan også betegnes som nul. Nul gange x giver nul. [Hun retter nu først opgave til 0 x = 0] Opgaven 3x x = 2x volder Y store problemer. Det en normal ligning, så x skal stå alene. Y trækker herefter 3x fra på begge sider og får x = x Enten er der ingen løsning eller også er det 0 igen. De er på hver sin side af ligningen. Jeg ved nu at x = x, men skal finde ud af hvad x er (og ikke minus x). Og hvis jeg plusser med x, så får jeg bare x igen. x + x = x + x x = x Det kan være at jeg har prøvet at isolere den forkerte x? Hun prøver nu at trække 2x fra på begge sider. På højre side får hun, at 2x 2x = x. x x = x (og hun reducerer, og får) x = x Jeg har aldrig set sådan et resultat før. Y har også problemer med ligningen 6x = 24. Hun prøver først at lægge 6x til, men siger: Jeg kan også bare lægge 6 til. Eller dividere det? 6x + 6 = 24 + 6 x = 30 Eller x = 6x = 24 6 6 Her kan hun ikke komme videre. 20

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 4.3 Diagnosticeringsskema Vi har sammenfattet vores observationer og analyser af de gennemførte elevinterviews i nedenstående skema, hvor rød, gul, grøn markering angiver graden af problemer inden for det enkelte udsagn (grøn er forstået ( ja ), rød er ikke-forstået ( nej ) og gul er et sted midt imellem: Opfattes en ligning som et sandt udsagn? Opfattes en ligning som et udtryk for en ligevægt Opfattes lighedstegnet som en kommando? Betydningen af tallet 0 Negative tal som operator Negative løsninger (kan x være negativ) Forstår de, at a kan erstatte x som ubekendt Forstår de, at koefficienten foran x er 1 Opfatter de gangetegn mellem 2 og x i udtrykket 2x Forstår de hvad en løsning til en ligning er? A K M N R Y 4.4 Konklusion - diagnosticering Ud fra diagnosticeringen er vi kommet frem til at vi skal starte helt fra bunden med ligningsløsning. Elev A og M viste ingen former for hverken instrumental eller relationel forståelse. I bagagen havde de et begrebsbillede (Tall & Vinner, 1981) om lighedstegnet som en kommando, hvilket kan hænge sammen med at de i tidligere skoleforløb har udregnet og løst simple aritmetiske opgaver, hvor lighedstegnet er det samme som det giver. Når man trykker på = på en lommeregner regner den jo ud. Robert B. Davis beskæftiger sig i artiklen Cognitive processes involved in solving simple algebraic equations (1975) med kognitive vanskeligheder i forbindelse med at løse ligninger. Ifølge Davis indbefatter de kognitive krav blandt andet evnen til at betragte lighedstegnet på forskellig måde og være i stand til at udvælge den betydning der er passende til hvert tilfælde og ikke lade sig forvirre af øvrige betydninger. I aritmetikken står lighedstegnet for kommandoen regn ud. 21

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Lighedstegnet grundlæggende betydning er at to udtryk er ækvivalente, populært sagt at højre og venstre side er lige store. Indsigt i elevernes begrebsbilleder forud for interventionen er derfor værdifuld viden, da det så er muligt at revidere disse i et interventionsforløb. Eleverne A, M, K og R viste desuden en uklar og utilstrækkelig forståelse af negative tal. De forstod ikke minustegnet som et fortegn og var heller ikke klar over at man kunne få negative løsninger. De forstod at man løser en ligning ved at bestemme den ubekendtes størrelse, men de havde ingen metoder til at løse ligninger ud over gæt. Y og N havde en bedre forståelse af ligningsløsning som en instrumental teknik, men de havde adskillelige problemer med at forstå hvad en løsning til en ligning er. De havde også store problemer med reduktion undervejs (f.eks. omkring tallet 0), og især N havde problemer med at håndtere de ligningstekniske omskrivninger, hun ønskede at udføre. Så selvom eleverne fra 2.g havde et klart billede af, hvad en ligning er, så ville de kunne få glæde af at deltage i et interventionsforløb med ligningsløsning på dagsordenen. 5. Ligevægtsmodellen De elever fra Høje Tåstrup gymnasium, som indgik i interventionen, havde store problemer med at løse ligninger. Vores diagnosticering viste at de oftest gættede sig frem og ingen redskaber havde til at gå i gang med opgaven. Flere af dem havde en stor blokering over for emnet, de ønskede at få hjælp og var villige til at bruge tiden dertil, men var på forhånd af den overbevisning at ligninger det kunne de bare ikke. Vi var overbeviste om at vi måtte anvende modeller I artiklen The balance model: Hindrance or support for the solving of linear equations with one unknown (Vlassis, 2002) undersøger Joëlle Vlassis ligevægtsmodellen og prøver at identificere de punkter, der deler modstandere og tilhængere af modellen. Vlassis bygger sine overvejelser på resultater fra en empirisk undersøgelse med elever der blev undervist i ligningsløsning via ligevægtsmodellen samt analyser af tilhængeres og modstanderes argumenter. Vlassis deler elevernes måde at løse opgaverne i 3 områder: 22

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Ikke- formaliserede metoder: Nogle elever løste opgaverne ved at bruge tegningen af vægten, de var blevet præsenteret for (Vlassis, 2002, s. 346) og bare strege samme antal x er ud på hver side af vægten, så balancen blev opretholdt. Aritmetiske metoder. Andre krydsede x er ud på begge sider til x kun optrådte på en plads og derefter opstillede de en ligning. Algebraiske metoder: En meget lille del af eleverne kunne anvende ækvivalensen mellem ligning og vægt og løste derefter ligningen uden at de dog helt beherskede det formaliserede. I sin undersøgelse fandt Vlassis flere fejltyper. En væsentlig del af fejlene opstod på grund af negative tal i ligningerne. Nogle elever opfatter ikke minus tegnet foran 3x som knyttet til 3x. 3x og minus tegnet opfattes altså som separerede, fx bliver 2 3x + 6 = 2x + 18 til 2 1x + 6 = 18. Andre subtraherer for at neutralisere et negativt udtryk eller et negativt uafhængigt led, fx bliver 8x 5 = 2x + 7 til 6x 5 = 7 der bliver til 6x = 2. De største vanskeligheder havde eleverne når minus tegnet var knyttet til den ubekendte, som for eksempel x = 7. Vlassis peger på 2 mulige forklaringer. Det kan skyldes en overgeneralisering af modellen, elever bruger subtraktion til at eliminere led og udtryk på samme vis som de fjerne lodder fra vægten. En anden forklaring er at nogle elever ikke magter at forestille sig minus tegnet knyttet sammen med tallet, således arbejder de på at eliminere 5,hvor det korrekte er 5. Ifølge Solving Equations: the transition from Arithmetic to Algebra af Filloy og Rojana (Filloy & Rojano, 1989) er disse fejl karakteristiske for elever som ikke formår at distancere sig fra modellen og generalisere deres viden. Filloy og Rojana omtaler desuden den geometriske model der sammenligner arealer. I ligningen Ax + B = Cx ses venstre side som en sum af to arealer den ene af størrelse B, det andet som et rektangel med sidelængderne A og x og dermed arealet A x. På samme vis betragtes højre side som et rektangel med siderne C og x og arealet Cx. Den ubekendte er således den ene sidelængde på rektanglerne. 5.1 Aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger Vlassis konkluderer at negative tal og udtryk løfter ligningen op på et abstrakt niveau, hvor det ikke længere er muligt at vise tilbage til en konkret model eller aritmetik. Det så ud til at den didaktiske grøft i højere grad hang sammen med i hvilken grad ligningen var blevet abstrakt på 23

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 grund af negative udtryk end det skyldtes ligningens struktur (ubekendte på begge sider af lighedstegnet var et mindre problem end negative udtryk). Ligninger med negative udtryk er derfor også en udfordring for elever, som ikke er i stand til at give dem en konkret mening. Vlassis fastholder dog det er nødvendigt at skelne mellem arithmetical equations af formen A(Bx ± C) = D hvor den ubekendte kun optræder på en side af lighedstegnet og nonarithmetical equations af formen Ax ± B = Cx ± D hvor den ubekendte optræder på begge sider. En distinktion skabt af Filloy og Rojana,. Deres studie viste at overgangen fra en operationel løsning af ligninger som x + 3 = 17 til at løse ligninger, hvor det ikke er nok at omvende operationerne som for eksempel 38x + 5 = 46x ikke sker automatisk. Denne didaktiske grøft begrunder deres opdeling af ligninger. Vlassis laver en yderligere inddeling af de to kategorier: Arithmetical equations inddeles i 2 kategorier. 1) De konkrete, aritmetiske ligninger som kun indeholder naturlige tal og hvor den ubekendte kun optræder et sted. For eksempel +4 = 10 2) De abstrakte, aritmetiske ligninger som kræver nogle algebraiske manipulationer, fordi den ubekendte for eksempel optræder i flere led og/eller der optræder negative, hele tal. For eksempel x = 5 ler 3x 4 + 7x = 6 Non-arithmetical equations inddeles i 1) Præ-algebraiske ligninger. Ligninger der er afledt af en model hvor en algebraisk forståelse af lighedstegnet er nødvendig. For eksempel 3a = a3 2) Algebraiske ligninger. Ligninger der er løsrevet fra modeller, de matematiske objekter der indgår, refererer ikke længere til en konkret model og de nødvendige manipulationer giver kun mening i en algebraisk sammenhæng. For eksempel hvilke løsninger har 4x x = 3x? Man kunne forledes til at tro at aritmetiske ligninger er mere tilgængelige end ikke-aritmetiske for eleverne, men det er Vlassis pointe at vanskelighederne ikke så meget ligger i ligningernes struktur som i deres abstraktionsniveau og han finder at spørgsmålet Can the equation be solved by referring to the concrete or not? (Vlassis, 2002, s. 352) mere effektivt fokuserer på mulige, vanskeligheder for eleverne end en skelnen mellem aritmetiske og ikke- aritmetiske ligninger. 24

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 5.2 Modellers anvendelighed Filloy og Rojano kritiserer modeller for at de ikke tillader operationer med den variable. The spontaneous development of the use of a concrete model to operate on the unknown in an equation is not uniform (Filloy & Rojano, 1989, s. 23). Problemer med at abstrahere ud over modellen kan opstå hvis model aspektet understreges meget. Obstacles to the abstraction of the operations exist which do not depend on the particular model being used nor upon the student s personal preferences (Filloy & Rojano, 1989, s. 23). Både fortalere for og modstandere af modeller er enige om at de ikke er effektive, når negative tal kommer på banen. Vlassis peger på at fordi negative tal er abstrakte af natur, så kræver deres tilstedeværelse i en ligning en algebraisk forståelse af bogstaver som er i konflikt med hvad der introduceres i ligevægtsmodellen (Vlassis, 2002, s. 354). Hvis ligningen er baseret på en model bedes eleven om at betragte bogstavet som et kvantificerbart objekt, som for eksempel en ubekendt værdi. Når negative tal og negative koefficienter til x optræder i en ligning, så giver det ikke mening at betragte bogstavet som en vægt i ligevægtsmodellen eller en sidelængde i den geometriske. Det er nødvendigt at foretage et skridt fremad mod en ægte algebraisk notation af bogstaver. Begrænsninger for modellens gyldighed viser sig også her når negative tal kommer i spil. Det giver ingen mening at tale om hverken negative arealer eller sidelængder. Problemet med at abstrahere fra modellen og generalisere gør sig også gældende her. I aritmetik eksisterer bogstaver kun i kraft af deres konkrete mening. En algebraisk forståelse indebærer at eleven i stand til at afstå fra at bogstavet skal have en konkret betydning. Med et bogstav, som repræsenterer en ukendt værdi, ændres betydningen af operationerne og den algebraiske fortolkning og ligningsløsning indebærer generaliseringer, hvor det primære fokus bliver på operationerne frem for komponenterne. Ifølge Vlassis er der et mellemtrin mellem aritmetisk og algebraisk fortolkning af bogstaver, og hankarakteriserer stadiet ved at eleverne kan lave operationer med bogstaver mens de stadig linker til modellen. Det skaber problemer for dem når de skal generalisere deres metode til abstrakte situationer i særdeleshed skabt ved tilstedeværelsen af negative tal, negative koefficienter til x og negative løsninger. En fordel ved modellen er dens selvindlysende karakter den indeholder de principper som den introducerer og beskriver - man taler om et operativt mentalt billede der kan reaktiveres selv efter lang tid uden ny introduktion, hvilket er en af modellens klare og store forcer. Vlassis konkluderer at ligevægtsmodellen kan hjælpe elever til at 25

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 lære metoden med at udføre den samme operation på begge vægtskåle, altså på begge sider af lighedstegnet. Ikke alene giver modellen et konkret billede af ligningen, den også leverer en konkret betydning af manipulationerne, et operationelt mentalt billede. Men løsningen af ligninger, der er løsrevet fra en model, kræver at forhindringer knyttet til processernes abstraktions niveau (den ubekendte, negative tal ) overvindes og til disse er modellen ikke beregnet. 6. Interventionen Med udgangspunkt i Duvals teorier om de semiotiske registre og transformationerne herimellem og Vlassis balancemodel har vi udarbejdet et interventionsforløb som skal lære eleverne at forstå, hvordan de skal løse ligninger. Vi oplever at flere af de udvalgte elever ikke har redskaberne til at kunne løse ligninger, mens andre går i gang med at løse ligninger instrumentalt men uden en relationel forståelse af hvad der sker undervejs, som i dette eksempel: 6.1 Ligevægtsmodellen i interventionen Vi valgte at tage udgangspunkt i ligevægtsmodellen. Den vigtigste grund var at modellen er konkret, det er muligt at gøre den fysisk for eksempel kan vægt og lodder hentes frem eller den kan demonstreres ved en tegning af en vægt. Vi var overbeviste om at vi måtte bruge konkrete modeller på grund af elevernes blokeringer over for ligninger. Modellen er altså blandt andet valgt for at skakmatte blokeringen og så at sige snyde hjernen i begyndelsen af interventionsforløbet, så den ikke var klar over at den løste ligninger og først senere lave en kobling til løsning af ligninger. Vi udvidede modellen og indførte farver, kugler og kasser. Blå kasser var x er med koefficienten +1, røde kasser x er med koefficienten -1, blå kugler var positive tal og røde kugler negative tal. Blå og røde kugler ophæver hinanden, røde og blå kasser ligeså. I begyndelsen af interventionen arbejdede eleverne kun med kasser af en farve og røde og blå kugler. Først et stykke inde i forløbet introduceredes røde kasser. I efterfølgende interventioner blev der også lagt vægt på at eleverne oversatte vægtmodellen og operationerne på vægtene til 26

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 ligninger og algebraisk notation, de kunne også gå den omvendte vej ved at oversætte en ligning til en vægt med det rette antal kugler og kasser i de rigtige farver på henholdsvis venstre og højre vægtskål. Formålet med de 2 farver var den indlysende at liste de 2 fortegn ind i ligningerne og på den måde undgå nogle af de problemer med negative tal og negative ubekendte, som Vlassis kom ind på i sin artikel og et ønske om at gøre negative tal næsten lige så håndgribelige som positive tal. Indførslen af en spilleregel om at blå og røde kugler ophæver hinanden gør at vores model bevæger sig væk fra det realistiske. Det viste sig at eleverne havde meget få problemer med at acceptere reglen, måske fordi der var et element af spil" over interventionen. Spil har - som det er bekendt - deres eget univers og egne regler. Det er en del af spillets natur ligesom det er matematiks. Med vægtmodellen befinder vi os i Duvals visuelle multifunktionelle register 6 (R3). I første intervention er ideen at vi spiller spillet. Der er tale om treatment idet vi bliver inden for samme register. For at vi overhovedet kan spille spillet er vi nødt til at lave en conversion til det sproglige multifunktionelle register (R1), hvor de skriftligt formulerede spilleregler italesættes (treatment). I første intervention udføres altså primært treatment i R3 og conversion mellem R1 og R3. Multifunktionelle (ingen algoritmer) Monofunktionelle (algoritmer) Sproglige registre R1: Forklaringer i hverdags sprog, såvel mundtligt som skriftligt. f.eks. definitioner, sætninger R2: Symbolske systemer- kun skriftligt. F.eks. Beregninger, beviser Visuelle registre R3: Ikoniske - tegninger, skitser of mønstre Ikke-ikoniske - geometriske figurer R4: Diagrammer og grafer I anden intervention ønskes en direkte oversættelse fra vægt til ligningsnotation. Her er der tale om kongruent conversion til det monofunktionelle register (R2). Conversion den anden vej (R2 til 6 Se afsnittet om Duval og modellen på næste side 27

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 R3) er i tredje intervention nødvendig for at det giver mening for eleverne. I fjerde intervention kommer der nye spilleregler til, og vi arbejder stadigvæk med oversættelsen fra ligning til vægt og omvendt. Men treatment i R2 og treatment i R3 er også en del af fjerde intervention, sådan at eleverne bliver fortrolige med spillet. Det er et ønske at eleverne kan navigere flydende frem og tilbage mellem de tre semiotiske registre (R1, R2 og R3). Vi når aldrig en conversion til det visuelle monofunktionelle register (R4), for det vil kræve at ligningerne kan oversættes til f.eks. graf i et koordinatsystem og dette ville kræve en anden form for intervention. 6.2 De fire interventionsforløb Generelt: Alle interventionsforløbene blev forberedt i PowerPoint. Dette kræver at man på forhånd nøje har gennemtænkt hvert enkelt forløb og de tilhørende opgaver. På den måde skal man ikke bruge tid på at tegne vægtmodellen under interviewet, hvilket kan være tidskrævende og forstyrrende for eleven. Hvert interventionsforløb var delt i tre dele. Første del var en kort præsentation af spillet (intervention 1) og en kort præsentation af eksempler fra forrige gang. Her blev der også introduceret eventuelle nye spilleregler. Del to gik ud på at løse opgaver med ligevægtsmodellen, hvor eleven i høj grad deltog. Denne del havde til formål at gøre eleverne fortrolige med spillereglerne og anvendelsen af farverne. Det var forberedt sådan at når eleven bød ind med et løsningsforslag til de forskellige trin, kunne man ved et tryk på tasteturet se trinnet visualiseret på PowerPoint præsentationen. Del tre gik ud på at eleverne fik opgaver printet ud på papir, hvor de så skulle bruge en rød og en blå kuglepen. Den røde kuglepen til røde kugler og kasser, den blå til blå kasser og blå kugler. Nu skulle de selv have styr på spillereglerne og bruge dem. Der var en uge mellem hver intervention. Eleverne fik spillereglerne 7, og det blev forklaret at ideen med spillet var at finde frem til hvor mange kugler der kunne være i én kasse. De blev introduceret til at røde og blå kugler ophæver 7 Se bilag 4 28

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 hinanden på samme side af en vægtskål. Hvis man vil eliminere et antal røde kugler, skal man lægge det samme antal blå kugler til på begge sider af vægtskålen. Gør man ikke det, vil vægten tippe, og systemet vil komme ud af ligevægt. Dette blev visualiseret ved hjælp af en animation. Den skulle hjælpe eleverne med at få etableret en relationel forståelse for hvorfor man var nødt til at lægge det samme til på begge sider. Blå kugler repræsenterer positive tal, røde kugler negative tal. Da den røde farve er en egenskab ved kuglen, håber vi at kunne lægge grunden til en forståelse af at det minus tegn der står foran negative tal er en del af tallets natur og derfor ikke kan løsrives herfra. Fjernes den røde farve fra en rød kugle har man stadig en kugle, dog er det indlysende at den ikke længere er en rød kugle men en anden. Ækvivalent med at når minustegnet fjernes fra 2 og vi står tilbage med 2, så har vi stadigvæk et tal men et andet. Et arbejde med tallinjen kunne gøre meget for forståelsen af negative og positive tal, men det vil rykke opmærksomheden fra interventionens primære formål som er at gøre det nemmere for eleverne at løse ligninger. Interventionen bestod på Høje Taastrup Gymnasium af 4 forløb med varierende tidsforbrug. På Albertslund Gymnasium blev interventionen samlet til 3 forløb med 3 elever efterfulgt af en ekstra intervention med en enkelt elev. 6.3 Intervention 1 - Spillet (didaktiske overvejelser) Interventionen blev afholdt individuelt for elev A, men samtidigt for henholdsvis eleverne K og M fra Høje Taastrup og N, R og Y fra Albertslund. Eleverne blev præsenteret for spillet og spillereglerne uden at det blev fortalt, at det var ligninger det handlede om. Animationen i PowerPoint-præsentationen, en vippende vægt, viste konsekvensen af kun at fjerne kugler på en skål. Dette for at understøtte elevernes forståelse af at det var nødvendigt at udføre den samme operation på begge skåle og dermed forberede en kobling til at det samme er nødvendigt på begge sider af et lighedstegn. Dermed blev betydningen af lighedstegnet som en ligevægt understreget. Herefter blev der i fællesskab talt om opgaver, præsenteret i PowerPoint, hvor eleverne var aktiverede og selv skulle komme med bud på, hvordan man kunne komme frem til antal kugler i kassen. 29

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Eleverne skulle ofte mindes om at spillet gik ud på at kassen skulle være alene på den ene vægtskål, og man derfor var nødt til at lægge nogle kugler (i den anden farve) til for at fjerne de kugler der måtte være på samme vægtskål som kassen. Nedenunder ses opgaverne som eleverne selv skulle arbejde med i tredje del af intervention 1: Opgaverne i intervention 1: For eleverne fra 1. HF var det meget vigtigt at starte helt fra bunden, da flere af dem slet ikke kunne komme i gang med at løse ligningerne i det indledende diagnosticeringsinterview. Eleverne fra 2.g genkendte ret hurtigt ligevægtsmodellen som et billede på ligningsløsning, men de accepterede modellen og blev bedt om at forholde sig til spillereglerne når de udførte en operation. Eleverne skal nu til at tilegne sig en metode, så de opnår en instrumental forståelse, men samtidig får de forhåbentlig også en relationel forståelse, fordi de skal forstå hvorfor man skal tilsætte så mange kugler og hvorfor det skal være samme antal og samme farve på hver vægtskål. Opgave 1, 2 og 3 har alle det til fælles at der er flest blå kugler på den side, hvor kassen befinder sig. Det er vigtigt, de får trænet teknikken uden at der er mange nye metoder da det kan 30

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 medføre forvirring i deres begrebsdannelse. Desuden befinder kassen sig på venstre side. Opgaverne er bygget over ligninger med læsten x + a = b, der er kun anvendt positiver (blå kugler og blå kasser). Opgaverne tager således udgangspunkt i begreber eleverne allerede har tilegnet sig (vægt, kugler, kasser, positive tal, positive koefficienter til den ubekendte og ligevægt), og de befinder sig i den nærmeste udviklingszone (Vygotsky). Opgave 3 og 4 er en og samme opgave 3) x + 8 = 3 og 4) 3 = 8 + x. Ifølge Filloy og Rojano 1989 - og det er også vores erfaring efter mange år i gymnasieskolen kan der være problemer med at se at de to opgaver er ækvivalente. Det kan skyldes problemer med at afkode hvilken betydning lighedstegnet har. Lighedstegnet indikerer både en proces, at efter tegnet kommer resultatet af denne proces og at det der står på hver side af tegnet skal tillægges samme værdi, samme betydning. Intentionen med at bringe opgaver hvor de ubekendte kasser også kan stå på højre vægtskål er at træne eleverne i den sidstnævnte betydning. Opgave 4 og 5 har det til fælles at kuglerne har byttet plads, men kassen er stadigvæk på højre side. Dette betyder at eleverne nu skal tilføje 3 røde kugler på begge sider og ikke 8 røde kugler som i opgave 4. Denne type opgave er med fordi eleverne ofte har svært ved at finde ud af, hvorfor man lægger et bestemt tal til eller trækker et bestemt tal fra når man løser en ligning. Denne type opgave tvinger eleverne til at have fokus på den side hvor kassen befinder sig. Det er antallet af kugler på kassens side der bestemmer hvor mange kugler der skal tilføjes og hvilke farver de skal have. Opgave 6 og 7: Her starter vi opgaverne med røde kugler og eleverne skal mindes om at kassen skal stå for sig selv. Hvad gør de så ud fra de spilleregler, som de har fået? Opgave 8 og 9: Nu er der både røde og blå kugler til at starte med. Hvis eleverne har forstået spillereglerne, så bør der ikke være nogen problemer. Men elever kan muligvis blive forvirrede, for hvilken farve skal nu tilføjes? Oversætter man vægtopgaver til ligninger kan de pågældende ligninger placeres inden for kategorierne aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger. Alle opgaver i intervention 1 falder inden for kategorien arithmetical equations (Filloy & Rojano, 1989). 31

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Opgave 1 til og med 5 indeholder blot naturlige tal, den ubekendte optræder ét sted og således er ligningerne konkrete, aritmetiske ligninger (Vlassis, 2002). Opgave 6 til og med 9 falder indenfor Vlassis kategori abstrakte, aritmetiske ligninger som kræver nogle algebraiske manipulationer, fordi den ubekendte for eksempel optræder i flere led og/eller der optræder negative, hele tal. I dette tilfælde er det negative hele tal, der er tale om. Fokus for intervention 1 er altså: 1. Eleverne skal blive fortrolige med spillereglerne 2. Eleverne skal få fornemmelse af lighedstegnets betydning som en ligevægt 3. Eleverne skal forstå ækvivalensen mellem to ligninger, hvor siderne har byttet plads. 6.3.1 Resultatet af intervention 1 Generelt for alle eleverne, var det nødvendigt i starten at henvise til spillereglerne. Især målet og reglen om at blå og rød ophæver hinanden, skulle der mindes om. Vi vil nu sammenfatte de snublesten, vi observerede undervejs i intervention 1. Opgave 3 og 4 R får problemer i det øjeblik, kassen skifter fra venstre til højre side af vægten. Hun fortsætter med at fjerne kugler på venstre side. Hun har ikke forstået ligevægtsprincippet og problemet fortsætter når kassen skifter tilbage til venstre side i opgave 6. Opgave 4 og 5 4 ud af 6 elever lavede fejl i opgave 5, fordi de opfattede vægtbilledet som identisk med vægtbilledet i opgave 4, selvom kuglerne i de to opgaver har skiftet side på vægten. De mister fokus på den side hvor kassen befinder sig. Opgave 5 er den første opgave hvor der er færrest kugler på den side hvor kassen befinder sig, så måske er de forstyrret af det. Opgave 8 og 9 Elev A tog spillereglerne til sig indtil denne opgave, hvor både blå og røde kugler var i spil. Hun var klar over spillereglen om at kassen skulle stå for sig selv, men i det øjeblik hun skulle tilføje 2 blå kugler på højre side hvor der i forvejen var blå kugler, blev hun i tvivl. Må jeg godt lægge blå 32

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 ovenpå blå? Det troede jeg ikke at jeg måtte. Da hun så fik tegnet de to blå på højre side, så blev hun i tvivl om der var noget, der skulle ophæves, som i den forrige opgave, hvor man tilføjede kugler, hvilket bevirkede at andre blev ophævet. Det var nødvendigt at gå tilbage til spillereglerne for at læse, hvad målet var og hvad der ophævede hinanden. Hun var så optaget af spillereglen om at blå og røde kugler ophæver hinanden, og hun mistede sin intuitive fornemmelse af hvad der sker med flere kugler af samme farve. M tilføjer helt rigtigt 2 blå kugler på begge sider, men hun ophæver derefter de 2 blå kugler med 2 af de blå kugler der i forvejen lå på venstre side af vægten. Reglen om at kugler af forskellige farve ophæver hinanden overføres her til kugler af samme farve. Samme problem har R i opgave 9, hvor hun anvender reglen om, at blå og røde kugler ophæver hinanden til at fjerne 3 kugler på hver side af vægten på trods af deres forskellige farve. 6.3.2 Kort sammenfatning af intervention 1 Det viste sig at enkelte elever havde svært ved de opgaver hvor kassen (x) skifter side, hvilket er i overensstemmelse med Filloy og Rojanos observationer. Opgave 8 var en stor udfordring da begge kuglefarver nu var i spil, og en enkelt elev havde tendens til at strege kugler over på begge sider af vægten hvilket også er en typisk snublesten. Dette tyder på at eleverne ikke helt har forstået betydningen af lighedstegnet, men de har en fornemmelse af at kassen skal isoleres. 6.4 Intervention 2.1 - Ligevægtsmodellen som en ligning (didaktiske overvejelser) Formålet med denne intervention var at indføre flere kasser (flere x-er), og lade eleverne selv formulere hvordan de kom frem til hvor mange kugler der skulle være i én kasse. Herefter indførtes det formaliserede ligningsbegrebet ved at eleverne skulle omforme vægten til en ligning ved hver omformning. Eleverne skulle nu både forholde sig til spillereglen om at blå og røde kugler ophæver hinanden og at der kan forekomme mere end en kasse. 33

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Denne intervention blev afholdt individuelt for eleverne fra HTG. Intervention 2.1 og 2.2 blev afholdt samtidig for eleverne på AGHF. Første del i interventionen var en kort repetition af forrige gang. Anden del var en lærer-elev samtale om nedenstående problemstillinger: Hvor mange kugler kan der være i hver kasse? Da eleverne selv havde formuleret at man deler antal kugler med antal kasser, så indførte vi ligningsbegrebet. Her forklarede vi hvad vi mente med kasser, røde og blå kugler. Vi tog udgangspunkt i den opgave som eleven tidligere havde svaret på. Nedenstående slide blev vist: 34

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 En lignende opgave blev vist og eleverne blev opfordret til selv at skrive ligningen op hvilket gik godt med alle seks. Næste trin var så at stille opgaver hvor man var nødt til at isolere kasserne, før man kunne dividere. Disse slides indeholdt også en animation sådan at eleverne kunne følge med i hvert trin. Dette betød at eleverne kunne se løsningerne visualiseret ved hjælp af vægten samtidig med at vægtmodellen blev omformet til en ligning trin for trin. Positive tal og ubekendte med positiv koefficient blev noteret med blåt og negative med rødt så eleverne visuelt kunne se forskellen og for at lette koblingen til modellens anvendelse af røde og blå kugler og kasser. Det var meget vigtigt at eleverne forstod princippet om at få ophævet alle kuglerne på siden med kasserne før division. 35

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Tredje del i denne intervention var opgaveregning hvor eleverne nu på egen hånd skulle løse opgaver med samme aspekter, som vi havde været igennem i fællesskab. Nedenunder kan opgaverne ses: Vi begyndte med opgave 10 hvor to blå kugler skal ophæves, og derefter skal der divideres med 2. I opgave 11 kommer der en anden farve hvilket kan gøre det mere kompliceret, da eleven nu skal overveje hvilken farve og hvilket antal der skal tilføjes. Herudover er der flest kugler ved kasserne og ikke på den anden side som i opgave 10. I opgave 12 er der kun røde kugler, så denne opgave lægger sig mest op af opgave 10. Opgave 13 minder en del om opgave 11, der er dog her flere kasser og flest kugler på den modsatte side. I opgave 14 og 15 er kasserne på højre side. I opgave 15 er der kun blå kugler som i opgave 1. 36

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Det ses at alle opgaver i intervention 2 falder indenfor aritmetiske ligninger (konkrete og abstrakte) som det var tilfældet i intervention 1. Den ubekendte skifter mellem højre og venstre vægtskål for at understrege ligevægten 8. Fokus for intervention 2 er altså: 1. En ligelig fordeling af kuglerne i kasserne (koefficienten foran x er forskellig fra 1) 2. Conversions mellem model og ligning 3. Reduktion med negative tal 6.4.1 Resultatet af intervention 2.1 Eleverne skulle lige hjælpes i gang med oversættelsen fra model til ligningsnotation. Flere elever tegnede først på modellen og oversatte dernæst til ligningsnotation. På den måde fik de ikke nedskrevet mellemregningerne i ligningsløsningen, og de blev opfordret til at notere mellemregningerne undervejs. Det hjalp utrolig meget at der var farvede kuglepenne tilstede, og de fleste brugte dem konsekvent. Vi vil nu sammenfatte de snublesten, vi observerede undervejs i intervention 2. Reduktion med negative tal I opgave 11 gik M i stå da ligningens højre side endte med 2 4. Her var vi nødt til at gå tilbage til vægten hvor de negative tal er mere håndgribelige, det hjalp. Nu stod der 3x = 6. M skrev efterfølgende x = 6, men hun gik herefter i stå. Vi måtte derfor tilbage til vægtmodellen, hvor 3 det derefter blev tydeligt for M hvad resultatet blev. Det var ikke brøken, der forstyrrede hende men derimod det negative tal i tælleren. K havde også problemer med de negative tal i samme opgave. Han startede med at lægge 2 røde kugler på begge sider, men han opdagede selv at der skulle lægges 4 røde kugler til på begge sider. K fik problemer med udregningen af højre side. 8 Ifølge KOM-rapporten udvides elevernes aktionsradius i det der nu er ubekendte flere steder på samme side af lighedstegnet. 37

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Han fik 4 på højre side, hvor han blev afbrudt. K: Jamen der er to røde kugler til at starte med Lærer: Ja, og hvor mange har du nu? K: Seks K skriver 6 på højre side og glemmer det negative fortegn. Lærer: Det er faktisk 6 K: Hvordan det? Lærer: De røde kugler er jo negative tal og du har seks af dem, derfor minus seks K: Men jeg har to røde i forvejen og putter flere røde Lærer: Du har ikke trukket noget væk. Du har tilføjet flere negative K: Nååh,ja, det er rigtigt K viste at hans forståelse af de negative tal var utilstrækkelig. Han var i denne fase nødt til at forholde sig til vægtmodellens røde kugler for at komme igennem opgaven. Alligevel kunne han ikke slippe forestillingen om at nogle af kuglerne burde ophæve hinanden på højre side, på trods af at alle kuglerne var røde. Det er tydeligt snublestenen ligger i, hvordan man lægger to negative tal sammen. Det sidste trin, hvor der indgår et negativt tal i divisionen, gav ingen problemer. K bad i en senere opgave om at få en ny ligning. Han fik ligningen 3x + 4 = 5 K skrev: 3x + 4 4 = 5 + 4, men rettede det hurtigt til 3x + 4 4 = 5 4. K: 3x = 1 Lærer: Der står minus fem minus fire K: Så er det minus 1 Lærer: Neej, du har fem røde bolde og..(bliver afbrudt af K) 38

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 K: minus 9 Igen viser det sig, at det at lægge et negativt tal til et negativt tal giver problemer. Efterfølgende blev det planlagt at afholde et interventionsforløb mere idet vi på alle tre elever kunne mærke, at der var behov for flere opgaver af samme type. Vi ønskede også at sikre os at de havde forstået det, inden vi begyndte at udvide begrebsdefinitionen og dermed muligvis ændre begrebsbilledet. Herudover blev vi opmærksomme på at vi senere bør indføre kasser på begge sidder. De grå kasser giver ikke mening hvis vi skal bevare systematikken. Efter nøje overvejelser besluttede vi at kasserne skulle have samme farvesystem som kuglerne, altså røde og blå kasser. 6.5 Intervention 2.2 - Ligevægtsmodellen som en ligning 39

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 6.5.1 Resultatet af intervention 2.2 Eleverne fra 2.g-holdet gennemførte intervention 2.1 og 2.2 samtidig. De var tydeligvis mere fortrolige med at løse ligninger, men de kom med hver deres dårlige vaner som viste sig i løbet af interventionen. Et eksempel på det ses i opgave 15 hvor det gik det galt for N, fordi hun arbejdede for hurtigt og ikke brugte vægtmodellen undervejs. Hun oversatte vægtbilledet forkert til 6 + 4 = 2x, og løste opgaven som sådan. Efter læreren gjorde hende opmærksom på afkodningsfejlen, skrev hun ligningen rigtigt op men fortsatte forkert: 6 = 4 + 2x 6 4 = 2x 4 Hun har intentionen om at trække 4 fra på begge sider, og hun vender her tilbage til sin dårlige vane hvor ligningen fungerer som en slags mellemregning, som i dette eksempel fra diagnosticeringsinterviewet: Problemet her er at hun mister den oprindelige ligning undervejs. Selvom højre side efterfølgende er korrekt, reducerer hun venstre side forkert og får: 4 2 = 2x 2 2 = x Nu tvang læreren hende til at forholde hver omskrivning til ligevægtsmodellen, og opgaven blev herefter stille og roligt løst korrekt. Inden facit blev skrevet ned, var det nødvendigt at tegne 2 kasser på den ene vægtskål og 2 kugler på den anden. Herefter blev opgaverne blev løst korrekt. 6.5.2 Kort sammenfatning af intervention 2 Det var indlysende for samtlige elever at man skulle fordele kuglerne ligeligt i kasserne. Intervention 2 afslørede til gengæld store problemer med regneoperationer med negative tal. Vi 40

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 oplevede her at vores vægtmodel blev et redskab til at få eleverne til at opfatte de negative tal som objekter på lige fod med de positive tal. Det krævede på dette tidspunkt i interventionen at vi fik eleverne væk fra den formelle ligningsløsning og tilbage til vores vægtmodel. Denne conversion mellem ligning og model vil vi gerne arbejde videre med i intervention 3. 6.6 Intervention 3 - Fra ligning til vægt (didaktiske overvejelser) Eleverne havde efterhånden forstået modellen, de kunne opskrive en simpel ligning og løse denne. Det var på tide at prøve den anden vej, nemlig at få stillet en ligningsopgave uden vægtmodellen. Eleverne skulle efterfølgende løse ligningen, og de fik muligheden for selv at tegne vægtmodellen hvis de havde behov for det. Vi skrev de positive tal med blåt og de negative tal med rødt. Det var vigtigt at eleverne kunne relatere til vægtmodellen, vores fælles etablerede begrebsbillede. Dog valgte vi at give dem to opgaver til sidst hvor farver ikke blev anvendt. Fokus for intervention 3 er altså at træne løsning af en ligning (treatment) ved hjælp af modellen (conversion). 41

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 6.6.1 Resultatet af intervention 3 M kunne ikke løse ligningerne uden brug af vægtmodellen. Hun havde svært ved at forstå betydningen af løsningen x = 11. Læreren forklarede ud fra vægtmodellen, hvad x = 11 betyder, og løsningen blev herefter accepteret. Både A og K havde problemer hvis x stod på højre side af lighedstegnet, og forbindelsen mellem de røde tal, de røde kugler og de negative tal var endnu ikke helt etableret. 6.7 Intervention 4 - x på begge sider (didaktiske overvejelser) Denne intervention blev af praktiske grunde afholdt med de tre Høje Taastrup-elever samtidigt. Forløbet varede ca. 70 min. Interventionen blev (på grund af tidspres) kun afholdt med en enkelt elev (R) fra Albertslund. Det tog ca. 45 min. Del 1: Kort repetition af forrige gang Eleverne fik nu at vide at der var røde og blå kasser, som man kunne bruge til at komme frem til løsningen. Eleverne blev mindet om hvad at formålet med spillet var at komme frem til hvad der er i én blå kasse. Der blev vist et eksempel hvor man ved en animation kunne se de enkelte trin. Herefter illustreredes hvad det betød at løsningen var 2 røde kugler. 42

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Del 2: Eleverne skulle nu prøve på de forberedte animationer at komme frem til løsningen. Her var der en del variationer, og eleverne var aktive. Del 3: Her skulle eleverne individuelt arbejde med opgaver. Nedenunder ses opgaverne: 43

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Intervention 4 introducerer altså ikke-aritmetiske ligninger hvor den ubekendte står på begge sider af lighedstegnet, dette svarer til at der er kasser på begge vægtskåle. Der er både positive og negative tal og ubekendte med positive (blå kasser) og negative koefficienter (røde kasser). Fokus for intervention 4 er derfor at eleverne skal kunne operere med ubekendte på begge sider og reduktion i den forbindelse. De skal fortsat omskrive vægtmodellerne til formel notation for at styrke koblingen mellem model og ligning (conversion). 6.7.1 Resultatet af intervention 4 De nye røde kasser gav lidt problemer, som her i opgave 7, hvor M lagde en blå kasse til på begge sider. Hun fik lov til at fortsætte og endte med at få x + 1 = 2. Lærer: Vi skal ende med blå kasser M: Blå kasser? Nu er jeg forvirret Lærer: Nu foreslår jeg at du lægger en blå kasse til på begge sider M: Neej nej, det kan jeg ikke. Nu ved jeg ikke hvad jeg skal. 44

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Lærer: Men prøv lige at se, du har tilføjet en blå kasse i starten. Du ender derfor med en rød kasse og det er forbudt. M: Skal jeg så tilsætte en blå kasse her og her? Lærer: Nemlig M tegnede herefter på vægtmodellen og sagde: M: Men der er ikke nogen rød kasse, den kan gå ud med? Lærer: Nej, men så har du jo en blå kasse M fik meget svært ved at omforme til ligningen, fordi der nu var tegnet en del ting på vægtmodellen. I ovenstående tilfælde med M valgte vi at se bort fra modellen og kun se på ligningen og tale blå og røde kugler ud fra det. Det lykkedes at komme igennem. Elev R brugte først vægtmodellen til at finde løsningen og skrev derefter ligningen op. Det gik overvejende godt. I en enkelt opgave vender forvirringen omkring de negative tal tilbage idét hun i opgave 10 får x + 2x til at give 3x. Hun sammenlignede ligningen med modellen og justerede sit svar. 6.7.2 Kort sammenfatning af intervention 3 og 4 Vores vægtmodel er nu efterhånden ved at blive indarbejdet så eleverne kan bruge den til noget. Vi oplevede i intervention 3 at modellen hjalp eleverne i de tilfælde, hvor de negative tal gav problemer. Til gengæld oplevede vi også at arbejdet med modellen blev uoverskueligt i intervention 4. Her kunne eleverne have haft glæde af at kunne fjerne kasser og kugler fra vægtbilledet, så de bedre kunne overskue det der var tilbage efter de havde reduceret. Man kunne have printet flere udgaver af vægtmodellen så eleven havde mulighed for at tegne en ny situation til hvert trin. 45

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 6.8 Testen I denne fase valgte vi at give Høje Taastrup-eleverne den test som vi brugte til diagnosticeringen. Den blev udvidet med en enkelt opgave til sidst. Her følger kommentarer om hver elev der deltog i testen. Elev A: Havde i høj grad brug for selv at tegne vægtmodellen og tage udgangspunkt i denne. Kom igennem opgaverne uden gæt. Ville ikke give slip på vægtmodellen og farverne. A blev i de sidste opgaver i testen opfordret til at løse ligningerne uden brug af vægtmodellen. Det gjorde A helt fejlfrit. Elev M: Tegnede vægtmodellen i starten men kom selv væk fra den. Regnede opgaverne ved at vise alle trin som A. Elev K: Brugte ikke vægtmodellen og heller ikke farverne. K har det med at springe nogle trin over og regner en del i hovedet. Anvendelsen af modeller har den ulempe at eleverne kan blive meget knyttet til dem, jævnfør Filloy & Rojano. Det har vi forsøgt at undgå ved konsekvent at koble modellen til matematisk notation og omvendt. Vores elever havde tydeligvis brug for hjælp til den kobling i starten, men efterhånden kunne de løsrive sig fra modellen uden støtte fra lærerne. Vi mener at det hjalp vores elever, at vi tvang dem til den kobling helt fra starten af interventionsforløbet og videre frem. Vores erfaring fra interventionsforløbet viser vigtigheden af at insistere på koblingen fra starten og senere hen i forløbet støtte eleverne til at slippe modellen igen. 6.9 Konklusion på interventionen Vi har med vores udvidede vægtmodel forsøgt at etablere et begrebsbillede hos eleverne hvor ligninger opfattes som en ligevægt. Operationer med modellen skulle meget gerne føre til en bedre forståelse af de negative tal og af regneoperationer hvor negative tal indgår. Denne proces svarer til det, Anna Sfard kalder internalisering 9. Målet var derefter at eleverne ubesværet skulle kunne skifte mellem vores vægtmodel og den formelle ligningsløsning. Hvis denne conversion lykkedes og eleverne ubesværet kunne skifte mellem de to repræsentationer, ville det svare til en kondensering ifølge Sfard. Flere elever nåede til dette stadie hvor de skiftede mellem model og 9 Se afsnittet om Sfard 46

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 ligning. Men tilegnelsen af ligningsbegrebet bliver først reificeret i det øjeblik eleverne møder ligninger i andre sammenhænge og kan anvende dem til at løse andre problemstillinger med. Det stadie nåede vi ikke til i denne intervention. Vi arbejdede kun med konkrete aritmetiske og abstrakte aritmetiske ligninger og en udvidelse til algebraiske ligninger vil kræve en udvidelse af vores interventionsforløb. 7. Samlet konklusion I projektet har vi været ind på matematikvejlederens tre faser identifikation, diagnosticering og intervention, og vores fokus har været på ligningsløsning. Detektionstesten gjorde os i stand til sammen med vores vurdering at udvælge de elever med de største problemer. Med ligningsløsning som vores fokusområde udførte vi en diagnosticering af eleverne, så vi kunne få et bedre indblik i hvilke faktorer der var skyld i at eleverne havde store problemer med at løse ligninger. Vi kom bl.a. frem til at betydningen af lighedstegnet og negative tal, gav eleverne de største udfordringer. Eleverne fra HTG kunne slet ikke komme i gang med at løse en ligning i diagnosticeringsinterviewet, hvorimod elever fra AGHF gik i gang men afslørede en manglede forståelse for hvad der foregik. De havde indarbejdet rutiner, men den efterfølgende reduktion var fyldt med fejl. Interventionen byggede på en udvidelse af ligevægtsmodellen så den også kunne anvendes til negative tal. Gennem interventionsforløbet er det blevet klart for os at vores udvidede vægtmodel kan bruges, både til elever som endnu ikke har en instrumental kunnen i forhold til ligningsløsning og til eleverne med en instrumental kunnen, de anvender forkert. Men vores model når kun til det helt basale. Vi arbejder ikke med abstrakte ligninger, decimaltal og brøker. Men det er interessant at 2.g-eleverne efterfølgende i den daglige undervisning løser ligninger korrekt. For HTG-eleverne viste det sig at de blev i stand til at løse en ligning trin for trin, og AG-eleverne fik altså luget ud i de dårlige vaner de tidligere havde tilegnet sig i forbindelse med ligningsløsning. 47

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Den største styrke med den udvidede vægtmodel er forsøget på at betragte de negative tal som objekter på lige fod med positive tal. Vores model er jo en abstrakt model på den måde at røde og blå kugler ikke ophæver hinanden i virkelighedens verden, men som et billede på regneoperationer mellem positive og negative tal er den velfungerende. Vores intention var at eleverne både skulle opnå en instrumental- og en relationel forståelse af ligningsløsning. Selv om niveauet i de stillede ligninger er lavt, så tror vi faktisk at eleverne har fået en vis relationel forståelse på den måde, at de enkelte omskrivninger af en ligning nu giver mening og ikke kun er en instrumentalt indlært mekanisme. Udfordringerne undervejs handlede meget om at kunne håndtere de negative tal, og her var vores model anvendelig. Set i bagklogskabens lys burde vi have stillet eleverne eksempler på abstrakte ligninger i den sidste test for at undersøge om de ville være i stand til at overføre teknikken til andre typer af ligninger. På den måde ville vi kunne undersøge om de havde opnået en relationel forståelse på et højere niveau, og vi kunne have undersøgt om det at løse ligninger var reificeret. 48

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 8. Litteraturliste Cornu, B. (1991). Limits. I D. Tall, Advanced Mathematical Thinking, Vol 11 (s. 153-166). Mathmatics Education Librabry. Davis, R. B. (1975, Vol. 1, No. 3). Cognitive Processes Involved in Solving Simple Algebraic Equations. JCMB, s. 7-35. Dreyfus, T., & Vinner, S. (1989). Image and Definitions for the Concept of Function. Journal for Research in Mathmatics, Vol. 20, No.4, s. 356-366. Duval, R. (2004). A crucial issue in mathematics education: The ability to change representation register. ICME. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, s. 103-131. Filloy, E., & Rojano, T. (1989). Solving Equations: the Transition from Arithmetic to Algebra. For the Learning of Mathematics 9, 2. Fischbein, E., Jehiam, R., & Cohen, D. (1995). The concept of irrational numbers in high-school studens and prospective teachers. Educational Studies in Mathematics 29, s. 29-44. Juter, K. (2005). Limits of functions. Traces of students' concept images. Nordic Studies in Mathematics Education, No 3-4, s. 65-82. Markovits, Z., & Sowder, J. T. (1991, Volume 13, Number 1). Students' Understanding of the Relationship Between Fractions and Decimals. Focus on Learning Problems in Mathmatics, s. 3-11. Mitchelmore, M., & White, P. (2004). Teaching mathematical concepts: Instruction for abstraction. ICME, s. 1-15. Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring - Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfte, nr. 18. Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on progress and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22, s. 1-36. Sirotic, N., & Zazkis, R. (2007). Irrational Numbers: The gap between formal and intuitive knowlegde. Educational Studies in Mathematics, 65, s. 49-76. Skemp, R. R. (1976). Relationel Understanding and Instrumental Understading. Mathmatics Teaching, 77, s. 20-27. 49

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Skemp, R. R. (1979). Goal of Learning and Qualities of Understanding. Mathmatics Teaching, 88, s. 44-49. Tall, D. (1992). The transition to advances mathematical thinking: Functions, Limits, Infinity, and Proof. Handbook of research on mathematics teaching and learning, s. 495-511. Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathmatics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12, s. 151-169. Vlassis, J. (2002). The Balance Model: Hindrance or support for the solving of linear equations with one unknown. Educational Studies in Mathematics, 49, s. 341-359. Zandieh, M. J. (2000). A Theoretical Framework for Analyzing Student Understanding of the Concept of Derivative. Mathematics Education, Volume 8, s. 103-127. 50

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 9. Kommenteret litteraturgennemgang Begrebsdefinition kontra begrebsbillede Tall & Vinner skelner mellem begrebsdefinition og begrebsbillede, hvor begrebsbilledet er det billede eleven har af begrebet og definitionen selvsagt er den korrekte angivelse for, hvordan begrebet skal forstås og anvendes. Problemer opstår blandt andet fordi begrebsbilledet hos mange ikke stemmer overens med den korrekte definition af begrebet. Begrebsbilledet er ifølge Tall og Vinner ikke en fast størrelse men kan forandres med nye erfaringer. Det ligger implicit i definitionen af begrebsbillede at det er individuelt, forstået således at hvert individ generer en begrebsdefinition, et billede, som er særligt for dette individ. Der er selvfølgelig (forhåbentlig) visse sammenfald mellem forskellige menneskers begrebsbilleder. Alene det faktum at hver eneste lærende har sit, ikke nødvendigvis korrekte, billede af et begreb peger på den opgave man kan stå overfor som matematiklærer når 30 elever i en klasse opererer med hver deres muligvis lidt skæve billede af hvad sagen i bund og grund handler om. Begrebsbilledet behøver ikke være sammenhængende til alle tider. Forskellige stimuli påvirker forskellige dele af begrebsbilledet og udvikler det i retninger, hvor det ikke nødvendigvis er et sammenhængende hele. Den del af billedet som er aktiveret på et bestemt tidspunkt kalder Tall og Vinner for the evoked concept image (s.152) altså det fremkaldte begrebsbillede. Det samlede begrebsbillede kan indeholde dele der er i konflikt med hinanden eller med begrebsdefinitionen. Kun hvis disse uforenelige dele fremkaldes på samme tid og opleves som ulogisk eller mentalt uforenelige kan de blive til en cognitive conflict factor sætte en proces i gang som revurderer og ændrer begrebsbilledet. Således kan uforenelige komponenter altså godt eksistere samtidig hvis de ikke konfronteres med hinanden, konflikten vil i denne situation være potentiel og en udviklingsproces går ikke i gang. Eleven bliver med andre ord stående på samme trin af forståelse. Tall og Vinner peger på at det kan være risikabelt at indføre matematiske begreber i ukorrekt eller i utilstrækkelig form og have den intention at udbygge og præcisere dem senere, da mange elever bliver stående på dette tidlige trin. Dette tidlige begrebsbillede som eleven har dannet sig og som tjente sit formål den gang kan stå i vejen for dannelsen af et billede der ligger tættere på 51

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 definitionen. Selvom eleven oplever konflikten og den således ikke kun er potentiel kan en sådan udvikling være svær at opnå. Mange læringsvanskeligheder angående begrebsdannelse skyldes en afstand eller konflikt mellem begrebsdefinition og begrebsbillede. Bruners vidensformer den konkrete, den ikoniske og den symbolske inddrages. Tall og Vinner giver eksempler på (kontinuitet og differentiabilitet) hvordan det kan være meget vanskeligt for eleven at bevæge sig fra det ikoniske til det symbolske niveau. Det symbolske niveau er ifølge Bruner mere befordrende for udvikling af ideer. Vinner & Dreufus Artiklen Image and Definitions for the Concept of Function af Vinner & Dreufus handler om begrebsbilleder og begrebsdefinitioner af funktioner blandt gymnasielærere og universitetsstuderende. Forfatterne gennemførte en undersøgelse blandt 271 universitetsstuderende fra forskellige niveauer og 36 gymnasielærere med det formål at undersøge, dels hvad de studerende vidste om definitionen af en funktion på forhånd, og hvilket begrebsbillede de havde med sig i bagagen, og dels om der var forskel på svarerne fra de studerende fra de forskellige niveauer (Dreyfus & Vinner, 1989, s. 357). Undersøgelse skulle desuden belyse, hvor ofte de studerendes begrebsbilleder var forenelige med deres version af en funktionsdefinition. Undersøgelsesresultaterne afslørede 6 forskellige kategorier af funktionsdefinitioner (Dreyfus & Vinner, 1989, s. 380): a. Korrespondance (elementpar) b. Afhængig sammenhæng c. En regel d. En handling (operation) e. En formel f. Repræsentation På samme måde undersøgte de, hvilke kriterier de studerende anvendte, når de skulle argumentere for, hvorvidt forskellige grafer var funktioner eller ej. De aspekter af 52

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 funktionsbegrebet, der afgjorde det, var overvejende en af disse 4 (Dreyfus & Vinner, 1989, s. 361): a. Entydighed (enhver x-værdi har præcis en y-værdi) b. Diskontinuitet (grafen har et hul) c. Opdelt definitionsmængde d. Undtagelsespunkt Nogle studerende anvendte et af ovenstående aspekter til at acceptere en graf som værende en funktion, mens andre anvendte samme aspekt til at forkaste grafen som værende en funktion (Dreyfus & Vinner, 1989, s. 361). Der viste sig en sammenhæng mellem det niveau, de studerende læste matematik på og præcisionen af definitionen af funktionsbegrebet. Pointen i artiklen er, at det har betydning for os som undervisere, hvis elevernes begrebsbilleder er langt fra vores. Hvis vi ikke tydeliggør vores begrebsdefinitioner, så vil der for eleverne opstå en uoverensstemmelse mellem det begrebsbillede de har med sig og den måde, vi italesætter et bestemt begreb på. Man kan med fordel introducere begrebsbillederne for eleverne først (gennem eksempler), og dernæst indføre den formelle definition (Dreyfus & Vinner, 1989, s. 365). Empirisk abstraktion (Michelmore & White) Artiklen Teaching mathematical concepts: Instruction for abstraction af Michael Mitchelmore og Paul White, beskæftiger sig med læring i matematik. If teachers could understand more clearly how their students learn the subject they are attempting to teach, teachers would be able to teach better and students would learn more (Mitchelmore & White, 2004, s. 1). Forfatterne ønsker at sætte fokus på abstraktionen i matematikundervisningen. Empirisk abstraktion bygger på Skemps abstraktionsbegreb og Sfards reificering. Empirisk abstraktion opstår, når det lykkes at genkende bagvedliggende ligheder mellem flere umiddelbart forskellige eksperimenter. Genkendelsen bliver på den måde tingsliggjort/reificeret (Mitchelmore & White, 2004, s. 3). Der findes en masse empirisk abstraktion i vores hverdagsliv, og påstanden i artiklen er, at matematisk abstraktion læres gennem empirisk abstraktion. Mitchelmore og White bakker på den måde op om Duvals idé om, at viden og forståelse om et emne opnås via empirisk 53

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 abstraktion, dvs. en reificering af en erfaring (og genkendelse) skabt gennem eksempler, og som først derefter sættes i forbindelse med en egentlig matematisk definition (Mitchelmore & White, 2004, s. 5). Matematisk læring Ifølge forfatterne udspringer matematiske idéer stort set altid af en empirisk idé - enten direkte eller via et andet matematisk formuleret problem, som er udsprunget af et empirisk problem. I artiklen skelnes efterfølgende mellem to forskellige matematiske erfaringer, nemlig abstractgeneral-erfaringer, der udspringer af et empirisk koncept, og abstract-apart-erfaringer, der udspringer af andre formelle idéer. Problemerne i undervisningen opstår efterfølgende, hvis eleverne udelukkende opnår en abstract-apart forståelse, som de ikke kan relatere til et empirisk koncept, og som dermed ikke giver eleverne en fornemmelse af, om deres facit giver mening. Hvis lærerne skal understøtte elevernes empiriske abstraktionsevne, skal de gøre op med den klassiske ABC undervisning (Abstract Before Concrete) og vende rækkefølgen om, så eleverne først opnår en praktisk erfaring for dernæst at formalisere det matematisk (Mitchelmore & White, 2004, s. 7). Senere i artiklen opstilles oversigt over, hvordan man som lærer kan undervise med udgangspunkt i elevernes abstraktion (s.10): 1. Tilvænning 2. Genkende ligheder 3. Tingsliggørelse (reification) 4. Anvendelse Påstanden er altså, at man på den måde bevidst kan skabe en abstraktion af matematiske begreber i elevernes bevidsthed, som vil kunne understøtte elevernes matematiske læring og forståelse af matematik. Talbegrebet Irrationale tal (Fischbein, Jehiam & Cohen) Artiklen The Concept of Irrational Numbers in High-school Students and Prospective Teachers gennemgår en undersøgelse af, hvordan elever og snart uddannede matematikundervisere forstår irrationale tal. Deltagerne i undersøgelsen var elever fra 9. og 10. klasse og kommende matematiklærere (universitetsstuderende). Forfatternes antagelse er, at der er to intuitive snublesten i forbindelse med de irrationale tal (s.29): 54

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 1. Vanskelligheden ved at indse, at to størrelser kan være inkommensurable 2. Vanskelligheden ved at de rationale tal ikke alene udfylder et interval Forfatterne ønsker derfor at undersøge, om disse snublesten forstyrrer forståelsen for - og anvendelsen af de irrationale tal for nutidens unge, og om ens uddannelsesniveau har indflydelse på om snublestenene er forstyrrende eller ej (s. 31). Opgaverne i undersøgelsen bestod blandt andet af en række tal (π, 22, 0.12122, 16, ). Deltagerne skulle placere det pågældende tal et eller flere steder (se tabel): Et tal Et rationelt tal Et irrationelt tal Et reelt tal 7 Resultater af undersøgelsen var, at eleverne ikke havde nogen idé om, hvad et irrationalt tal er. Mere præcist har eleverne generelt ikke en fornemmelse af hverken de rationale, de irrationale eller de reelle tal. Selv blandt de kommende matematiklærere er der usikkerhed at spore, f.eks. mener 24 % af de universitetsstuderende ikke at 3 8 er ret reelt tal (s. 33). Efterfølgende skulle deltagerne forsøge at definere rationale og irrationale tal - hvilket på baggrund af første del af undersøgelsen virker som en meget svær opgave! Forfatterne påpeger, at eleverne for eksempel opfatter negative tal, som ikke umiddelbart er intuitivt håndgribeligt, som irrationale tal (s. 35). Den originale opfattelse af et tal knytter sig til de positive hele tal (s. 36), og det er måske baggrunden for at eleverne intuitivt kategoriserer uendelige decimaltal som irrationale tal (uanset om de er periodiske eller ej). Derefter betragtes delinger af et linjestykke og sammenhængen mellem de forskellige talmængder, og her står det klart, at der både blandt eleverne og studerende er problemer med både rationale og irrationale tal og især med forholdet imellem dem. Ikke mange af de adspurgte har en fornemmelse af, at der er flere irrationale tal end rationale (s. 38). Deltagerne havde til gengæld ikke lige så problemer med at indse, at der findes uendeligt mange rationale tal i et interval og tilsvarende ikke problemer med at indse, at der også findes uendeligt mange irrationale tal. Det betyder, at forfatternes indledende antagelse om, at det er vanskelligt at forstå, at de rationale tal alene ikke kan udfylde et interval, tilsyneladende ikke volder de store 55

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 problemer (s. 39). Den antagelse om, at det er vanskelligt at indse, at to størrelser kan være inkommensurable, virkede ikke til at overraske deltagerne i undersøgelsen. Så på trods af, at eleverne ikke har styr på de irrationale tal, når de udtrykkes numerisk, så har de alligevel en fornemmelse af dem (s. 40). Konklusionen er, at eleverne ikke har et intuitivt fundament til at opbygge de irrationale tal på. Det er ifølge forfatterne et problem, at skolesystemet ikke beskæftiger sig med talteori på en systematisk måde, så eleverne får en fornemme af de forskellige talmængder (s. 43). Antagelsen om de intuitive snublesten i forbindelse med de irrationale tal kommer åbenbart først, når man når et højere uddannelsesniveau. Kløften mellem intuitiv og formel viden (Sirotic & Zazkis) I en senere artikel beskæftiger Sirotic & Zazkis sig ligeledes med den intuitive opfattelse af de irrationale tal blandt 46 kommende gymnasielærere. Målet er at synliggøre deltagernes forståelse/misforståelse af de irrationale tal og af sammenhængen mellem de rationale tal og de irrationale tal gennem forskellige opgaver (s. 51). I tidligere studier vedrørende de rationale tal tales om tre forskellige forståelsesdimensioner: 1. Den algoritmiske dimension - viden om procedurer, regler og operationer indenfor et matematisk område 2. Den formelle dimension - evnen til at inddrage definitioner og sætninger i forbindelse med problemløsning 3. Den intuitive dimension - når talbegrebet er reificeret 10 Der er overlap mellem disse tre forståelsesdimensioner, og ideelt set skulle alle tre dimensioner være til stede i enhver matematisk aktivitet (s. 52). I undersøgelsen fokuseres der på de kommende gymnasielæreres viden om mægtigheden og tætheden af de rationale og irrationale tal og om effekten af regneoperationer inden for disse talmængder samt hvilken forståelsesdimension, der understøtter den viden, deltagerne har(s.54). Endelig undersøges 10 Se afsnittet om Sfard 56

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 samspillet mellem de forståelsesniveauer, der er i spil. Deltagerne besvarede et spørgeskema og herefter meldte 16 sig til et efterfølgende interview. Det primære fokus var på deltagernes intuitive opfattelse, for ikke alle deltagerne havde fået undervisning i talteori. Fokus var endvidere på, om svarene var konsistente. Undersøgelsen afslørede for eksempel misforståelser, som at den tællelige mængde Q forveksles med at den er endelig, selvom de fleste intuitivt ved, at der er uendeligt mange naturlige tal, og at de naturlige tal er en delmængde af de rationale tal (s. 58). Der er i artiklen eksempler på, at deltagerne svarer rigtigt, men hvor argumenterne er forkerte. Blandt de besvarelser, der mener at mængden af rationale og irrationale tal er lige store er svarene konsistente, men blandt de besvarelser, der mener at mængden af irrationale tal er størst, er svarene inkonsistente - formentlig pga. en kognitiv konflikt mellem det intuitive og det formelle (s.61). Måske har de studerende lært at mængden af irrationale tal er størst, men uden at have forstået hvorfor (s.62). Med hensyn til mængdernes tæthed var der også overraskende svar. Uforholdsmæssigt mange (10 ud af 46) mente, at man kunne finde 2 rationale tal så tæt på hinanden, at der ikke fandtes et rationalt tal imellem dem (s.62). Med hensyn til regneoperationer indenfor de irrationale tal diskuteres det, hvorvidt eleverne oplever et udtryk som 5 + 2 som en proces eller som et objekt (s.72). De fleste svarede intuitivt forkert ( Ja ) på spørgsmålet om summen og produktet af to forskellige irrationale tal altid vil give et irrationalt tal (s.73). Konklusionen på undersøgelsen er, at vi ofte anvender de samme eksempler på irrationale tal (π, e, 2 ), og at vi som undervisere derfor intuitivt modarbejder oplevelsen af de irrationale tals mægtighed (s.74). Vi kan konstatere, at talteori og mængdelære heller ikke direkte er en del af læreplanen i matematik i gymnasiet i dag. I det daglige undervisningsmateriale på HF er der heller ikke særligt fokus på brøker og brøkregning, som ellers kan volde eleverne store problemer. Brøker og decimaltal (Markovits & Sowder) Netop den problematik fokuseres der på i artiklen Students Understanding of the Relationship Between Fractions and Decimals. Artiklen refererer en undersøgelse, der foregår over et halvt år med et indledende og et afsluttende interview 4 uger efter. I løbet af det halve år blev eleverne fra 57

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 6. klasse undervist i både brøker og decimaltal, men med et forholdsvis lille fokus på sammenhængen mellem dem (s. 5). I forbindelse med en gennemgang af undersøgelsen, indføres tre niveauer for forståelsen af sammenhængen (s. 4): 1. En rudimentær (overfladisk) forståelse, hvor det accepteres at brøker og decimaltal kan findes side om side, men uden nødvendigvis at kunne håndtere selve udregningerne. 2. En forståelse af conversion mellem de to symbolske repræsentationer. 3. En fuld forståelse af sammenhængen og evnen til at kunne håndtere udtrykkene i en sammenhæng. Eleverne fik stillet lignende opgaver i de indledende og de afsluttende interviews, og det viste sig i de indledende interviews, at flere elever opfattede brøker og decimaltal som to helt uforenelige størrelser (s.7). En anden interessant pointe var, at der opstod en form for kognitiv konflikt blandt enkelte elever, fordi de anerkendte ligheden mellem decimaltal og brøker, men de havde problemer med at udføre udregningen, fordi fortolkningen af decimaltallet forstyrrede dem. Denne konflikt viste sig hos en elev i det øjeblik han skulle markere halvdelen af 12 æbler (s.9). Hvis spørgsmålet var formuleret som en brøk kunne eleven udføre opgaven uden problemer, men i en formulering, hvor der anvendtes decimaltal, kunne eleven ikke forstå det, fordi han fortolkede decimaltallet 0,5 som 5, men han kunne ikke dele 12 med 10! 10 Mange af eleverne befandt sig under det omtalte forståelsesniveau 1 til det første interview. Forståelsesniveau 2 kræver at man kan overføre en repræsentation til en anden, men det kan ikke lade sige gøre, hvis man ikke forstår symbolernes betydning (s. 10). I en diagnosticeringsfase er det derfor vigtigt at få afkodet, hvor problemet ligger begravet. Hvis man kan opnå forståelsesniveau 3, så man er i stand til at vælge brøker eller decimaltal afhængig af formålet, kan den overførselsværdi muligvis styrke andre conversions længere fremme i den matematiske undervisning (s.11). 58

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Funktionsbegrebet Grænseværdier (Cornu) Spontanous conception: Kommer af billeder dannet ud fra dagligsprog og et begrebsbillede om grænseværdi som at gå henimod har eleverne svært ved at slippe også efter at de har fået en formel definition på grænseværdi. Der er forskellige opfattelser af gå i mod og grænseværdi. En elev kan have flere ideer til betydningen af grænseværdi som varierer med situationen/opgaven. Disse spontane ideer har eleven svært ved at give slip på. Til tider vil modstridende ideer blive fremkaldt samtidig og dette vil iflg. Tall &Vinner (1981) resulterer i et begrebsbillede med en hvis conflict factor. Aline Roberts kommer også frem til at en elev kan have mange begrebsbilleder om begrebet grænseværdi og at dette afspejles i måden hvorpå opgaver løses senere på universitetet. Det viser sig også at tidligere skolegang fokuserer på processen at finde grænseværdier og ikke på begrebsbilledet. For uendelighedsbegrebet og kontinuitet kom Tall & Vinner frem til at elever i begyndelsen har spontane begrebsbilleder som er i konflikt med begrebsdefinitionen. Disse begrebsbilleder om kontinuitet har eleverne fra hverdagssproget, når man f.eks. siger Det regner kontinuert i dag. Eller når eleverne får fortalt at det handler om at tegne en graf uden at løfte blyanten. Kognitiv hindring: En meget vigtig del af læring foregår ved at få ryddet op i de modstridende begrebsbilleder og man er nødt til at få elimineret dem, hvilket kræver kognitiv rekonstruktion. I artiklen kommer Cornu ind på fire forskellige områder om grænseværdi-begrebet gennem historien: 1) Mislykket forsøg på at koble geometrien med tal: Tilbage i 400-300 f.v.t. var grækerne optaget af matematikken og Hippocrates (i 430 f.v.t.) tog udgangspunktet i to cirkler og vil vise at forholdet mellem arealerne af de to cirkler var det samme som forholdet mellem deres diametre i anden. Han tegnede regulære polygoner i hver cirkel og kom frem til, at ved at forøge antallet af siderne for de indskrevne polygoner nærmede man sig cirklens areal. Året efter blev det defineret af en anden græker, som kom frem til denne lighed. 59

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Denne metode er i nær forbindelse med grænseværdi-begrebet for tal, men blev i den tid ikke sat i forbindelse med denne, hvilket har givet en hindring i at forstå grænseværdibegrebet. 2) Opfattelsen af uendelig stor eller uendelig lille: Mange matematikere, såsom Euler, Newton og D Alembert har arbejdet med begrebet, hvilket afspejler sig i nutidens elevers opfattelse af begrebet. F.eks. opfattes 0,999 som det sidste tal før 1. 3) Opfattelsen af grænseværdibegrebet ud fra et metafysisk aspekt: Det var svært at tale om grænseværdi begrebet uden om metafysikken eller filosofi. Lagrange var f.eks. utilfreds med Leibniz formulering af uendelighed med ren algebra, da der ikke var nok metafysisk med. Elevernes citater som Det eksisterer ikke, Det er meget abstrakt mm. viser elevernes hindring i opfattelsen af grænseværdibegrebet, især fordi man ikke kan bestemme en grænseværdi direkte ved brug af algebraiske metoder. 4) Er grænsen nået eller ej? Dette er blevet diskuteret længe bl.a. Robins (1697-1751): En grænse kan ikke nås, ligesom de indskrevne polygoner aldrig vil blive til en cirkel. D Alembert: En størrelse vil aldrig få samme værdi som dens grænse. Disse overvejelser ses stadigvæk hos vores elever: Når n går mod 0 vil den så ikke blive 0? Nedenstående dialog mellem elever, viser en del hindringer: Jo mere n vokser, jo mere vil 1/n gå mod 0 så meget som man vil nej, fordi en dag vil de mødes For at rekonstruerer de matematiske begreber er det ikke meningen at man undgår disse fire forhindringer, men at lade eleverne møde dem og lad dem være en del i undervisningen. Mange begrebsbilleder går langt tilbage i tiden og selv om man har ryddet op i mange gamle fejlopfattelser så ser man at de stadigvæk lever i nutiden. I artiklen nævnes også at visse formuleringer ikke hjælper på at få et begrebsbillede og at formuleringen af en definition eller sætning spiller en rolle. I moderne tider med en computer er interessen mere på at regne ud og det gør begrebsdannelsen svær for mange. 60

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Det pointers at det er vigtigt at give eleverne de rigtige begrebsbilleder og at man som lærer i forsøg på at gøre det nemmere for eleverne kan give uholdbare eksempler på matematiske fænomener og især i matematikbøgerne bør man være opmærksom på dette. Davis & Vinner kommer bl.a. ind på at der er uundgåelige trin, som giver fejlopfattelser og de forsøgte at starte emnet uden at nævneordet grænse. Dette gør processen, om at skabe et begrebsbillede, endnu svære for eleverne. Det er vigtigt ikke kun at fokusere på at lære eleverne om f.eks. grænseværdi, men også at gøre eleverne opmærksomme på deres egne begrebsbilleder og spontane ideer. Det kan f.eks. lade sig gøre ved at lade eleverne tænke over betydningen af selve ordet. Ligeså vigtigt er det at vise eleverne anvendelsen af grænseværdier. Både Tall (1986) og Douady (1986) mener at det er vigtigt at lade eleverne implicit bruge begrebet, altså anvendelsen af begrebet før man eksplicit anvender begrebet som et matematisk objekt. Et pædagogisk redskab kunne være computeren, men det kræver at den lever op til målet med at hjælpe eleverne med deres forhindringer. Om overgangen til avanceret matematisk tænkning (David Tall) Avanceret matematisk tænkning baserer sig på matematiske definitioner og på de logiske deduktioner, man kan udlede deraf. De højere uddannelser i matematik baserer sig dels på den nødvendige stringens i beviser men også på det eksperimentelle arbejde matematikken er udsprunget af. Den intuitive viden, man allerede har opbygget, kan blive udfordret af den deduktive viden, man tilegner sig på et højere matematisk niveau. I kapitlet The Transition to Advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits, Infinity, and Proof beskæftiger David Tall sig med overgangen fra gymnasie til universitet og hvad der sker når vi skal tilegne os koncepter på et højere niveau. Ny matematisk viden opstår tit gennem konflikter mellem nye erfaringer og gammel viden, men i undervisningssammenhænge kan opståede konflikter være en snublesten for læring, og vi er selv med til at skabe disse konflikter hos eleverne ved f.eks. at anvende betegnelsen implicit function i 61

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 lærebøger eller computerprogrammer om udtryk som ikke er funktioner ifølge definitionen (s. 496). Individuelle begrebsbilleder kan skabe en konflikt i forhold til selve begrebsdefinitionen, som tidligere beskrevet i afsnittet om begrebsbilleder kontra begrebsdefinitioner (Tall & Vinner og Vinner & Dreufus), og i forbindelse med matematik på et mere avanceret niveau arbejder man typisk videre ud fra bestemte antagelser som ikke er logisk defineret eller forklaret i ord, og som derfor aktiverer de studerendes individuelle begrebsbilleder. I matematikundervisningen starter man ofte med en definition på et nyt begreb og anvendelser af begrebet på et generelt plan. Det vil næsten uundgåeligt farve elevernes begrebsbillede hvilket senere kan skabe en kognitiv konflikt hos eleven, når dette begrænsede begrebsbillede skal udvides. Tall mener derfor at man - i stedet for at starte med den formelle definition - skal forsøge at introducere et nyt begreb via en cognitive root (s. 497). En kognitiv rod skal helst både vække genklang hos eleverne og skabe grobund for videre matematisk bearbejdelse. Et eksempel på sådan en kognitiv rod er f.eks. at en kurve nærmer sig en ret linje hvis man zoomer nok ind. Funktionsbegrebet Udover Dreufus & Vinners empiriske undersøgelse af elever og underviseres begrebsbilleder og definitioner i forbindelse med funktionsbegrebet 11 refereres også til Markovits studier. Markovits konkluderer, at en moderne funktionsdefinition, der ikke knytter sig til mængdelære men til en regel om sammenhænge mellem to variable også giver problemer for eleverne. Det store fokus på lineære funktioner i begyndelsen af undervisningen i funktioner skaber nogle forkerte billeder af, hvad en funktion er. I undersøgelsen afviser studerende f.eks. af y = 4 er en funktion, fordi den ikke afhænger af x, mens de til gengæld genkender grafen for y = 4 som en funktion, fordi det er en ret linje (s.499). Andre studier påviser samme besværligheder for kommende matematikundervisere, og så er det jo ikke så underligt, at vores elever får svært ved at lære det. I de senere år er der kommet mere fokus på den grafiske repræsentation af funktioner, hvilket også kan give problemer: Grafer ændrer sig hvis man begrænser eller udvider det vindue, man kigger på grafen i 11 Se afsnittet om Vinner & Dreufus 62

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 De fleste programmer kræver en regneforskrift for funktionen for at kunne plotte den (dvs. eleverne skal have et billede af at en funktion kan udtrykkes ved en formel) Ikke alle programmer tillader notationen f(x) Til gengæld kan programmerne give eleverne en større forståelse af funktionsbegrebet ved at tegne, zoome, løse forskellige problemer grafisk osv. Programmer kan derfor styrke elevernes kobling mellem funktionerne og deres grafiske repræsentationer, men faren er, at eleverne kan opfatte en graf som et statisk objekt og dermed miste fornemmelsen af en funktion som en proces (s. 501). Men det at opfatte funktioner som en proces kan, ifølge Dubinskys undersøgelser, styrkes via programmering i ISETL. Ifølge David Tall er dette muligvis den kognitive rod, der kan skabe forbindelsen til at forstå funktionsbegrebet både formelt og intuitivt. Grænseværdi, uendelighed og matematiske beviser Uanset om man taler om grænseværdien af en sekvens eller for en funktion viser det sig, at det er vanskelligheden, der skal overvindes er den samme. Ordet grænse er et hverdagsord, der skaber bestemte billeder som ikke nødvendigvis er anvenderlige i forbindelse med den matematiske forståelse. I forbindelsen med undervisningen viser det sig igen, at de tidlige eksempler, man anvender, kan misfarve eleverne begrebsbillede (s.501), og i forsøget på at simplificere matematiske begreber (som grænseværdi) kan man skabe alvorlige kognitive konflikter (s.502). Samtidig skaber den formelle definition også store problemer. I et forsøg på at nærme sig de studerende begrebsbilleder af grænseværdibegrebet (Robert, 1982) blev 1380 studerende bedt om at forklare konvergens af en sekvens til en målgruppe på 14-15 årige. Dette fokus gjorde, at de fleste undgik den formelle definition. At den formelle definition er svær understøttes af Tall & Vinner, som bad 70 universitetsstuderende om en definition af lim x a f(x) = c. Langt de fleste gav en (korrekt) dynamisk definition af at f(x) nærmer sig c, når x nærmer sig a. Men af dem, der forsøgte sig med den formellem definition, svarede 14 ud af 18 forkert. Den formelle definition af grænseværdi er derfor ikke en anvendelig kognitiv rod i forbindelse med differentialregning (s. 504). Løsningen er at starte med at betragte adskillige funktioner (differentiable såvel som ikkedifferentiable) for at få etableret en kognitiv rod, som kan videreudvikles senere i matematikundervisningen. 63

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Uendelighedsbegrebet er også en svær størrelse at håndtere. Adskillige studier beskæftiger sig med kløften mellem formel og intuitiv forståelse 12 - særligt i forbindelse med Cantors kardinaltal og uendelighedsbegrebet. Men i forbindelse med avanceret matematisk tænkning er det vigtigt at påpege, at der findes mere end et uendelighedsbegreb (s.505), nemlig potentiel uendelighed (symbolet ), kardinal uendelighed (sammenhængen mellem mængder og ikke-standard uendelighed (målbar-uendelighed). Et eksempel på denne målbare uendelighed er, at hvis man har et uendeligt antal punkter på et linjestykke og man forlænger linjestykket til dobbelt længde, så vil man intuitivt have dobbelt så mange punkter. Beviser i matematik handler ikke kun om en formel præsentation af argumenter, men også om at aktivere elevernes egen overbevisning og om at kunne overbevise andre (s.507). Elevaktivering - også i forbindelse med bevisførelse - fremmer forståelsen af nødvendigheden af præcise definitioner og logiske deduktioner. Det ser vi også i vores daglige undervisning, hvor eleverne har stor glæde af at filme hinandens beviser eller skrive beviser på tavler eller med smartpens. Forståelse af den afledede funktion (Zandieh) Formålet med artiklen A Theoretical Framework for Analyzing Student Understanding of the Concept of Derivative af Michelle Zandieh 2000 er at opstille et teoretisk stillads til brug for at undersøge studerendes forståelse af begrebet afledede. Michelle J. Zandiehs indledende præmis er at hun ønsker at beskrive elevers forståelse af begrebet, hvilke aspekter af begrebet eleven kender til og hvilke relationer vedkommende ser mellem disse aspekter. Med hensyn til forståelse af et begreb bygger hun på Tall og Vinner (1981) der beskriver en person begrebsbillede for et bestemt begreb som the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes alle the mental pictures and associated properties and processes. Det teoretiske stillads er udviklet ved at undersøge hvordan begrebet afledede beskrives i matematikbøger samt ved at følge undervisere i matematik, matematikere og studerende og lytte til hvordan de diskuterer og omtaler begrebet. Det er ikke udviklet så det forudser hvilke forståelser der vil opstå eller i hvilken rækkefølge men opererer med et bredt felt af mulige forståelser. 12 Se afsnittet Kløften mellem intuitiv og formel viden (Sirotic & Zazkis) 64

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Stilladset består af to hovedkomponenter multiple repræsentationer eller kontekster og lag af proces-objekt par. Mange tekster om calculus anvender multiple repræsentationer. For eksempel kan den afledede repræsenteres a) grafisk som hældningen til tangenten i et punkt på kurven eller som hældningen på den linje som kurven nærmere sig gennem forstørrelse b) verbalt som den øjeblikkelige væksthastighed c) fysisk som hastighed eller fart og d) symbolsk som grænseværdien for differenskvotienten. En række andre fysiske eksempler kan hentes frem og de grafiske, verbale og symbolske beskrivelser kan varieres. Den afledede f af en funktion f er selv en funktion og defineret som grænseværdien af en brøk (differenskvotienten) disse 3 brøk, grænseværdi og funktion udgør 3 lag. Hver af lagene brøk, grænse og funktion kan betragtes som processer men også som objekter. En brøk kan betragtes som en division (operationelt) eller strukturelt som et par af hele tal i en struktur. Grænser kan ses som en dynamisk proces der nærmer sig grænseværdien eller statisk gennem epsilon- delta definitionen. Funktioner kan betragtes som den proces der tager et element fra definitionsmængde, virker på elementet for at producere et element i værdimængden. Eller en funktion kan betragtes statisk som sæt af ordnede par. Der er 3 proces-objekt par involveret. I begrebet om afledede indgår 3 proces-objekt par som er knyttet sammen i en kæde. Brøk-processen har to objekter (2 differenser) og virker ved division. Brøken bliver nu genstanden i den næste proces at finde grænseværdien og den fundne grænse bruges til at definere hver eneste værdi for den afledede funktion. Den afledede selv kan betragtes som et objekt, som enhver funktion kan det. I det tilfælde at en studerende ikke har udviklet en strukturel forestilling om et af lagene er en simpel løsning ifølge Zandieh at bruge et pseudostrukturel forestilling/objekt (Sfard,1992) der kan betragtes som et objekt uden en indre struktur. Begrebet skal ikke forstås negativt det peger på at det objekt personen ikke bruger refererer til den underliggende struktur under det rigtige objekt. For eksempel vil en pseudo strukturel opfattelse af grænseværdi kun beskæftige sig med værdien af grænsen ikke med den proces der leder til resultatet. En pseudo strukturel opfattelse af et ratio kan være at brøken 1 4 betragtes som en enkelt værdi (0.25) eller en plads på tallinjen men ikke at forholdet også kan repræsenterer en division. Pseudo strukturelle forestillinger tænker ofte i enkle helheder under nogen underliggende struktur. Overgangen fra pseudo strukturel opfattelse til en operationel eller proces opfattelse kan ske når den studerende genkender de underliggende strukturer. 65

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 Zandieh udfører 5 interviews med 9 studerende om deres forståelse af emnet. Interviewene strækker sig fra begyndelsen af skoleåret til efter eksamen i slutningen af året. De studerende tog alle matematik på avanceret niveau og flere var blandt finalister til nationale konkurrencer. Det er sandsynligt at de vanskeligheder disse studerende havde, ville deles af elever med færre kvalifikationer. De involveredes forståelse skulle beskrives i forhold til de 3 lag og beskrivelse søgte at fokusere på spørgsmål som følgende b1) Hvilke lag af strukturen er tilgængelig for personen? 2) Med hvilke repræsentationer er lagene tilgængelige? 3) Forstår personen både objekt og proces laget for hvert lag? 4) Kan personen koordinere alle 3 lag samtidigt? 5) Genkender personen det parallelle i hvert lag inden for det symbolske, det grafiske etc.? 6) Foretrækker personen en speciel repræsentation som model for begrebet afledede? 7) Indbefatter personens forståelse ideer der ikke falder inden for strukturen med de 3 lag? Inkluderer personens forståelse begrebsbilleder der betragtes som ukorrekte? I dette resume skal blot bringes et sammendrag af de konklusioner Zandieh drager af interviewene. Studerende på begynderniveau inden for emnet har individuelle præferencer. Forståelse af den afledede som en hældningskoefficient er dog den mest nævnte. I takt med at deres viden om begrebet tager til bliver deres præferencer mere ens. Ved det 5 te og sidste interview nævner de fleste hældning og væksthastighed som deres fortolkning. Selvom eleverne følger samme hold, altså modtager præcis den samme undervisning, læser samme bog og laver samme opgaver foretrak de forskellige repræsentationer i begyndelse men alle fik en mere sammenhængende forståelse i løbet at året. Begrebet hældning var central i deres forståelse og blev fortrukket frem for den formelle definition som var mindre integreret i deres forståelse. Brugen af pseudo objekter og multiple repræsentationer tillod de studerende at opbygge hver deres begynder forståelse der kunne være ganske forskellige (en holder et øre, en anden hale, en tredje en fod men ingen aner det er en elefant). På trods at deres forskellige udgangs forståelser udviklede hver studerende en mere sammenhængende forståelse og deres forståelse blev mere ens. Anvendelsen af pseudo objekter kan hjælpe svagere elever til at overleve et kursus i differentialregning uden at skulle fokusere på de underliggende strukturer. På den anden side bidrager pseudo objekter til den didaktiske udfordring det er at give elever erfaringer der gør det muligt for dem at opnå en fuld forståelse af de tre proces-objekt lag. En anden udfordring er at en studerende ikke automatisk forbinder en proces i en sammenhæng med den samme proces i 66

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 en anden sammenhæng, der skal gøres ekstra ud af at pege på det parallelle i processernes natur. Fuld forståelse kræver at den studerende kan genkende og konstruere de 3 processer, der er involveret i begrebet afledede, i relevante sammenhænge. Stilladset med proces-objekt par kan ikke blot anvendes til at undersøge studerendes forståelse af begrebet men også til at undersøge om en lærebog leverer muligheder for at lære de underliggende strukturer, om diskursen i klasserummet befordrer en sådan forståelse med mere. Proces-objekt par kan bruges til at beskrive forståelse af andre begreber med denne struktur eksempelvis begreber som differential ligninger og integraler. Limits of functions - Traces of students concept images (Kristina Juter) (Udvikling af elevernes begrebsbillede) I denne artikel har man fokuseret på matematikstuderende på 1. semester på et universitet i Sverige. Det er her eleverne skal udvikle og udbygge deres begrebsbillede af grænseværdi for funktioner. 1. Hvordan opfatter eleverne funktioners grænseværdi? 2. Danner de studerende et logisk sammenhængende billede? 3. Vil studerende med høje karakterer ræsonnere anderledes end studerende med middel karakterer? Forståelse og viden: Et begrebsbillede kan blive repræsenteret på forskellige måder afhængigt af konteksten. Kan den studerende se forbindelsen mellem de modstridende repræsentationer af begrebet, vil det være nemt at forbinde dem. Hvis de er usammenhængende kan de resultere i en konflikt. Det er nemmest for eleverne at forstå begrebet, når forbindelsen mellem de mentale repræsentationer er tydelig. Opfattelser af grænser for funktioner: Der er mange måde at forklarer begrebet om funktioners grænser og sproget spiller også en rolle for opfattelsen af begrebet. Dagligdagssproget kan være meget forskelligt fra matematiksproget, hvilket kan have betydning for hvordan eleverne opfatter et begreb. Det kan være flertydigt hvordan man opfatter begrebet. Nogle fokuserer på processen at bestemme grænseværdien andre tænker på grænseværdien som en statisk størrelse, som funktionerne kan sammenlignes med. En undersøgelse (Williams 2001) viste denne flertydige 67

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 opfattelse af grænseværdien for en funktion. Problemet opstår hvis de ikke kan se anvendelsen af definitionen, da de så ikke kan implementer definitionen til deres begrebsbilleder. I så fald vil de studerende ikke acceptere definitionen. I stedet for vil eleverne opstille deres egen definition, som passer med deres begrebsbillede. I dette tilfælde er det bedst at fokusere på processen end objektet. Undersøgelsen bygger på nogle interviews med de studerende, hvor man bl.a. spurgte ind til hvad de forstår ved funktioners grænse. I artiklen lister man en del elevbesvarelser, som bl.a. viser at definitionen ikke er klar for eleverne og en tydelig fejlopfattelse er at man ikke kan nå grænseværdien. Som tidligere nævnt spiller sproget en rolle for opfattelsen af begreber og det er derfor vigtigt de studerende får opbygget deres matematiske sprog så de bliver i stand til at skelne det fra hverdagssproget. Funktioners grænseværdi kan både ses som en proces og som en statisk egenskab, men eleverne i undersøgelsen var ikke kommet til det trin, hvor kan begge dele og var lidt forvirrede. Eleverne er forvirrede over hvad der sker ved grænseværdien og en del elever var i tvivl om en funktion har en grænseværdi eller ej. Mange kunne ikke koble teori til opgaverne og eleverne bør være opmærksomme på deres usammenhængende mentale repræsentationer. Kognitive problemer med ligningsløsning (Davis) Robert. B Davis beskæftiger sig i artiklen Cognitive processes involved in solving simple algebraic equations (1975) med kognitive vanskeligheder i forbindelse med at løse ligninger. Davis pointerer at det der kognitivt er nødvendigt for at løse ligninger er noget helt andet (og mere) end de nødvendige matematiske redskaber. En elev interviewes i forbindelse med løsning af ligningen 3 = 6. Eleven er bekendt med regler for omformning af ligninger, ved hvordan man x 3x+1 udfører regneoperationer og kender til brøker. Han ønsker at blive brøker kvit men mister forbindelsen til det oprindelige udsagn når han opererer på den ene side af lighedstegnet. Han kører fast i en mental Catch 22 position. Han kan ikke komme videre fordi han ikke kan regne ud da han ikke kender x og han kan ikke finde x da han ikke kan regne ud (!). Han er helt og aldeles låst fast af lighedstegnets betydning som en kommando. Ifølge Davis indbefatter de kognitive krav blandt andet evnen til at betragte lighedstegnet på forskellig måde og være i stand til at udvælge lige præcis den betydning der er passende til hvert tilfælde og ikke lade sig forvirre 68

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 af de øvrige betydninger. I aritmetikken betyder lighedstegnet regn ud det er en kommando. Lighedstegnets grundlæggende betydning er at to udtryk er ækvivalente, populært sagt at højre og venstre side er lige store. En anden konflikt opstår ved udtryk som 6x. Eleven har meget svært ved at acceptere at 6x er svaret til spørgsmålet Hvad får man når man ganger 6 med x?, han kan kun se udtrykket som en opgave der betyder at det er meningen at 6 skal ganges med x. 69

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 10. Bilag 10.1 Bilag 1 - Inddeling af detektionstestens opgaver Talbegreb/notationskonventioner (A) 1 2 3 4 5 14 36 41 42 48 49 Begrebs-, konventions- og strukturforståelse (B) 7 8 9 11 12 13 17 18 19 51 52 Symbol - og formalismekompetence (C) 6 10 15 16 32 34 35 43 53 54 57 Ligningsbegreb/variable/funktioner/geometri (D) 20 21 22 23 24 25 29 31 33 37 44 45 46 47 50 Brøk/decimalbrøk (E) 26 27 28 30 38 39 40 55 56 70

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 10.2 Bilag 2 - Arbejdsgangen i den kvantitative undersøgelse 1. Indtastning af de enkelte elevers opnåede point i detektionstestens 57 opgaver. 2. Detektionstestens opgaver inddeles i kategorier, og de enkelte kategoriers opgaver farvelægges 3. Der sorteres efter de enkelte kategorier og der udarbejdes forskellige boksplots 4. Der sorteres efter det samlede antal opnåede point (se uddrag) 5. Der indskrives kort beskrivelse af de enkelte opgaver i Excel-arket 6. Der undersøges igen efter det samlede opnåede antal point. 7. Vi tager en beslutning om at arbejde med ligninger. Tabel 1 - uddrag af Excel-arket 71

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 10.3 Bilag 3 - Udvalgte opgaver fra detektionstesten Opgaverne fra kategori C (symbol- og formalismekompetence) suppleret med opgaver, der indeholder ligninger. Opgave Hvad handler opgaven om 3 symbol (er a 2 lig 2a) 4 symbol (er 3a = a3) 5 symbol (4b = 4 + b?) 6 brøk forkortes (teksten forstyrrer) 7 symbol (hvad er fortegnet for a) 10 brøk udtryk - forkortes 14 symbol (0 x) 15,1 reduktion (0 + x) 15,2 reduktion (x x) 15,3 reduktion 15,4 reduktion 16 brøk 17 ligning (er a 2 lig a) 18 ligning - findes værdier af b, så 19 ligning isoler k 20 ligning (3x - x = 2x) 21 ligning (den med c og d) 23 reduktion (parentesregneregler) 25 ligning (er x en løsning) 32 ligning (a + b - c = a - b + c) 33 ligninger/nulreglen 34 ligning - find n 35,1 ligning - løs 35,2 ligning - find x 35,3 ligning - er 10 en løsning 36 ligning - løs 37 ligning 38x + 72 = 38x 50 ligning (a = b er så b = a) 72

Begreber og begrebsdannelsen - DEL 1 10.4 Bilag 4 - Spilleregler til interventionen Spillets regler Du skal finde ud af hvor mange kugler, der skal være i kassen, sådan at der stadigvæk er ligevægt. Mål: Du skal ende med at kassen er på den ene vægtskål og kuglerne er på den anden vægtskål. Spillereglerne er: 1. Blå og røde kugler på samme vægtskål ophæver hinanden. 2. Den farve kugle, du tilføjer på den ene vægtskål SKAL du også tilføje på den anden vægtskål. 3. Det antal kugler du tilføjer på den ene vægtskål SKAL du også tilføje på den anden vægtskål. TIP: Forsøg altid at få ophævet kuglerne på den vægtskål, hvor kassen befinder sig. 73

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Matematikvejlederuddannelsen på RUC maj 2015 Delprojekt 2 - Ræsonnement og bevisførelse Intervention med Integralregning Ama El-Nazzal Lone Stilling Karlsen Mette Juhl Christensen Vejledere: Uffe Jankvist og Mogens Niss 1

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Indhold 1. Indledning... 5 1.1 Problemformulering... 6 2. Videnskabeligt afsæt... 6 2.1 Matematikforestillinger (beliefs)... 7 2.2 Socio-matematiske normer... 9 2.3 Didaktisk kontrakt... 10 3. Identifikation... 11 3.1 Detektionstest... 11 3.2 Kvantitativ analyse... 11 3.3 Udvælgelsen... 13 4. Diagnosticering... 15 4.1 Didaktiske overvejelser... 15 4.2 Resultatet af diagnosticeringen... 17 4.3 Konklusion - Diagnosticering... 22 5. Interventionen... 25 5.1 Realistic Mathematics Education (RME)... 25 5.2 Oversigt over interventionsforløbet... 26 5.3 Modul 1 og modul 2 Grundighed og argumentation... 27 5.3.1 Resultatet af modul 1 +2... 30 5.4 Modul 3 + 4 Ræsonnement og bevisførelse... 31 5.4.1 Eksistens og entydighed... 33 5.4.2 Regneregler... 34 5.5 Modul 5 og 6 Projekt om arealer, integraler og stamfunktioner.... 36 5.5.1 Resultatet af modulerne 5 og 6... 38 5.6 Modul 7 Bevis for Sætningen om arealfunktionen... 39 5.6.1 Resultatet af modul 7... 41 2

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 5.7 Konklusion Interventionen... 42 5.8 Interventionens kobling til litteraturen... 43 6. Testen... 45 6.1 Terminsprøven... 45 6.2 Rekonstruktion af bevis test af klassen... 46 6.2.1 Observationer og resultater... 47 6.3 Individuel test... 48 6.4 Elev-interviews... 51 7. Samlet konklusion... 53 8. Litteraturliste... 55 9. Kommenteret litteraturgennemgang... 58 Kategorisering af elevers bevis-besvarelser (Bell, 1976)... 58 Hvad er et bevis og hvad bruger vi det til? (De Villiers, 1990)... 60 Bevisskemaer (Harel & Sowder, 2007)... 63 Lærerne og læring... 66 Hvorfor kan elever ikke bevise - hvad forventer vi af dem? (Dreyfus, 1999)... 67 Bevis for spørgsmålet om hvorfor (Dreyfus & Hadas, 1966)... 69 Tillader teoremer undtagelser? Solide resultater i Mathematics Education om Empiriske bevisskemaer (EMS, 2011)... 73 Pædagogiske aspekter ved at bevise (Hanna, 1990)... 75 Om indirekte beviser (Leron, 1985)... 78 Matematisk modellering og bevisførelse (Mogens Niss, 2005)... 79 Logisk implikation (Hoyles og Küchemann, 2003).... 82 Argumentationer i klassen (Knipping, 2008)... 85 Matematikkens lærer (Epp 1998)... 86 Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics (Alan H. Schoenfeld, 1992)... 90 3

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 10. Bilag... 99 Bilag 1.A - Arbejdsark til modul 3... 99 Bilag 1.B - Arbejdsark til modul 3... 101 Bilag 1.C - Arbejdsark til modul 3... 103 Bilag 1.D - Arbejdsark til modul 4... 106 Bilag 1.E - Opgaver til modul 5 og 6... 108 Bilag 1.F - Modul 7 - Arealsætningen... 112 Bilag 2 Gennemgang af terminsprøvebesvarelserne... 116 Bilag 3 - Interview med elev S... 120 Bilag 4 - Interview med elev M... 126 4

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 1. Indledning Dette delprojekt handler om ræsonnement og bevisførelse. Vi oplever ofte i vores daglige arbejde elevernes frustrationer over problemer de har med faget. Men hvad betyder det? Matematik er jo ikke bare en disciplin som man enten mestrer eller ikke mestrer. Faget har været en del af elevernes dagligdag i skolesystemet og føres nu over i en gymnasial kontekst hvor der i højere grad fokuseres på matematikkens logiske og deduktive væsen. Overgangen fra folkeskolen til gymnasiet indebærer at elevernes forestillinger om matematik bliver udfordret. Det er vores opfattelse at overgangen fra mat C til mat B også er en udfordring, og springet mellem de to niveauer opleves som meget stort. Om matematik i hf står der i undervisningsvejledningen at det optræder på to niveauer: 1. Et almendannende C-niveau, der skal give alle kursister bedre muligheder for at forstå og forholde sig til problemstillinger fra omverdenen, i andre fag, fra samfundsdebat eller privatliv. 2. Et B-niveau med hovedvægt på modellering og anvendelser af matematik med sigte på at opnå kompetencer til at kunne gennemføre videregående uddannelser, hvor matematik indgår. De enkelte niveauers karakteristika afspejles i undervisningens tilrettelæggelse. I bekendtgørelsen og undervisningsvejledningen for mat C betones at matematik kan anvendes: Anvendelsesorienteringen betyder ikke, at matematisk teori ikke indgår, men kursisterne på hf C niveau bør så vidt muligt altid kunne få et klart svar på spørgsmålet: Hvad kan man bruge dette til? (Mat C - Hf, Vejledning/Råd og vink, 2010, s. 4) Anvendelsesorienteringen er også i spil på mat B. Da mat B skal give eleverne mulighed for at opnå kompetencer så de kan tage videregående uddannelse hvor matematik indgår, så er emnekreds og abstraktionsniveau øget. På mat B udvides stoffet inden for funktioner og desuden kommer differential og integralregning i spil. Under de faglige mål står der blandt andet at eleverne skal kunne gennemføre simple matematiske ræsonnementer og beviser 1 samt at dette mål ikke kan nås alene gennem kernestoffet men at supplerende og sammenhængende forløb med vægt på ræsonnement og 1 Bekendtgørelsen hf, mat B, punkt 2.1, Faglige mål 5

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 bevisførelse inden for udvalgte emner (punkt 2.3 Supplerende stof). Til den mundtlige eksamen lægges der blandt andet vægt på at eksaminanden har indsigt i matematisk teori og selvstændigt kan redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser 2. Vi oplever gennem vores daglige undervisning at mange elever har uhensigtsmæssige matematikforestillinger, som står i vejen for deres indlæring. Vi kunne tænke os at blive klogere på hvad disse forestillinger indebærer. I dette projekt vil vi fokusere på at ændre uhensigtsmæssige forestillinger om faget og forhåbentlig gøre eleverne bedre til at argumentere, ræsonnere og bevise. 1.1 Problemformulering Hvordan kan elevernes forestillinger om matematik forbedres gennem et interventionsforløb i integralregning med fokus på ræsonnement og bevisførelse? 1. Hvilket indblik vil Detektionstest 2 give i de udfordringer eleverne har med ræsonnement og argumentation. 2. Hvad kan vi udlede om elevernes forestillinger om matematik og deres evne til at ræsonnere ud fra en klasserumsbaseret diagnosticering? 3. I hvilket omfang vil vanskeligheder i forbindelse med ræsonnement og bevisførelse kunne afhjælpes med et klasserumsbaseret interventionsforløb baseret på en struktureret og stilladseret tilgang? Med en struktureret og stilladseret tilgang, mener vi et stramt styret forløb med arbejdsark som skal guide eleverne igennem nyt matematisk stof (inspireret af RME Realistic Mathematics Education 3 ) samtidig med at arbejdsgangen i forhold til ræsonnement og bevisførelse synliggøres. 2. Videnskabeligt afsæt Vi vil nu introducere de begreber, vi inddrager i forbindelse med vores diagnosticering og intervention, nemlig matematikforestillinger, socio-matematiske normer og den didaktiske kontrakt. 2 Punkt 4.3 - Bedømmelseskriterier 3 RME beskrives i afsnit 5 (Interventionen) 6

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 2.1 Matematikforestillinger (beliefs) Artiklen Framing Studens s Mathematics-related Beliefs af Op Eynde, de Corte og Verschaffen (2002) sætter fokus på hvordan elevernes forestillinger (beliefs) påvirker deres indlæring i matematik. Forfatterne forsøger at kategorisere forskellige beliefs ved at opstille modeller over disse forestillinger, ikke kun i forhold til matematik men også i forhold til en selv og den sociale kontekst man er en del af. Læring er i denne sammenhæng ikke kun en kognitiv proces men i høj grad en social aktivitet. Begreber som motivation og vilje er derfor en vigtig del af læringsprocessen og ikke bare brændstoffet (s. 14). Ens egen forestilling om hvad der er vigtigt i en matematisk sammenhæng, har derfor stor betydning for hvad man kan lære. Med afsæt i tidligere bidrag til kategoriseringer af beliefs 4 og egne studier opstiller forfatterne en definition på matematik-relaterede forestillinger: Students mathematics-related beliefs are the implicitly or explicitly held subjective conceptions students hold to be true about mathematics education, about themselves as mathematicians, and about the mathematics class context. These beliefs determine in close interaction with each other and with students prior knowledge their mathematical learning and problem solving in class (Op Eynde, de Corte og Verschaffen, s.15). I en senere artikel Solid Findings in Mathematics Education: Living with Beliefs and Orientations- Underestimated, Nevertheless Omnipresent, Factors for Mathematics Teaching and Learning (EMS, 2013) fokuserer Günter Törner på beliefs og deres betydning for undervisning og læring. Törner anvender begrebet I følgende betydning: Beliefs are mental constructs representing the codification of people s experiences and understandings (EMS 2013, s.42). Beliefs er ikke isolerede og vilkårlige subjektive konstruktioner men del af et større system, de klumper sig så at sige sammen. Man taler for eksempel om mathematical worldviews, matematiske verdensbilleder. I enhver kommunikation hvor der formidles viden formes adfærd. Undervises der for eksempel i matematik vil processen hvor der instrueres og undervises altid blive ledsaget af at beliefs genereres og formes. Ud over de rent kognitive mekanismer følges 4 Artiklen gennemgår Underhill (1998), McLeod (1992), Kloosterman (1996) og Pehkonen (1995) 7

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 indlæring og undervisning også af mentale og subjektive strukturer som beliefs er. Det betyder at vores elever muligvis ikke bliver bedre til matematik med mindre de ændrer deres beliefs i forhold til faget. Vi oplever ofte at mange elever kommer med fejlforestillinger om hvad der kræves af dem og om hvad matematikfaget i bund og grund handler om. Nogle elever tror matematik udelukkende handler om at regne opgaver der skal kunne løses hurtigt og uden for mange besværligheder. Andre elever kommer med en fejlforestilling om at de ikke kan finde ud af matematik. Desuden forventer enkelte elever at læreren skal skabe den logiske sammenhæng for dem og at de ikke selv skal være aktive i den forbindelse. Matematiske forestillinger er rodfæstet i det sociale liv, og man fortolker og agerer ud fra den praksis, man oplever f.eks. blandt sine kammerater og lærere. Matematikrelaterede forestillinger eksisterer i kraft af spændingsfeltet mellem ens forestillinger om klassen (den sociale sammenhæng, man er en del af), ens forestillinger om sig selv og ens forestillinger om matematisk uddannelse. Vi vender nu tilbage til artiklen af Op Eynde, de Corte og Verschaffen (2002) hvor der opstilles følgende rammer for matematikforestillinger: 1. Forestillinger om matematikuddannelse i forhold til a) emnerne b) læring c) undervisningen 2. Forestillinger om en selv i forhold til a) effektivitet b) kontrol c) opgaverne d) målsætning 3. Forestillinger om den sociale kontekst i forhold til a) de sociale normer i klassen (elevernes rolle, lærerens rolle) b) de socio-matematiske normer i klassen 8

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Her er der interessante pointer i forhold til at vi lærere måske ikke altid teach as we preach (s. 30) 5, men samtidig viser adskillige studier (ifølge Törner) at lærere underviser som de gør i klasserummet på grund af deres egne beliefs om hvad der skal gøres og hvordan elever lærer. I artiklen, Changing students images of mathematics as a discipline af Uffe Thomas Jankvist (2015), udvides modellen til også at omfatte forestillinger om matematik som disciplin, og det undersøges om det er muligt at ændre elevernes forestilling om netop det. Vi vil i vores projekt fokusere på elevernes forestillinger om undervisningen, de socio-matematiske normer i klassen og den didaktiske kontrakt mellem lærer og elever. 2.2 Socio-matematiske normer Begrebet socio-matematiske normer blev indført af Erna Yackel og Paul Cobb i 1996 og handler om matematikforståelsen (matematikopfattelsen) hos eleverne i en social kontekst. Sociomatematiske normer defineres således: focusing on normative aspects of mathematical discussions specific to students mathematical activity (Yackel & Cobb, 1996, s. 461). Hvor sociale normer i klassen går på elevers indbyrdes interaktion i klasserummet, så handler de sociomatematiske normer om kvaliteten af matematikken i forbindelse med et bevis eller et argument. Det er en normativ forståelse af hvad der er matematisk anderledes, acceptabelt, elegant og effektivt i et klasserum. Selvom udviklingen af de sociomatematiske normer er en individuel proces, så skabes disse i fællesskab ved forhandling mellem lærer og elever i klasserummet. De vil tage udgangspunkt i en taken-as-shared - forståelse, det vil sige at man tager fat i allerede etablerede forestillinger og skaber nye. Selve forhandlingerne påvirker både lærerens og elevernes sociomatematiske normer og giver ikke kun en læringsmulighed for eleverne men også for læreren får denne mulighed, idet han/hun får indsigt i elevernes matematiske aktivitet og begrebsapparatets udvikling (s. 466). Selve forhandlingerne om de sociomatematiske normer vil også være med til at udvikle elevernes intellektuelle autonomi (s. 473). 5 Og der kan være uoverensstemmelser mellem det vi forventer af eleverne, det vi italesætter at vi forventer af dem og det de tror, vi forventer af dem. 9

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Læreren har den centrale rolle i etableringen af kvalitetsrige sociomatematiske normer, men interaktionen i klassen har også betydning og derfor vil man opleve at normerne kan variere fra klasse til klasse. Herudover påpeges vigtigheden af at eleverne sammenligner og forsøger at forstå andres argumenter og metoder, da det fører til refleksion hos den enkelte. 2.3 Didaktisk kontrakt En didaktisk kontrakt er et udtryk for spillereglerne i et klasserum. Herunder hører de forventninger eleverne har til læreren, og de forventninger læreren har til eleverne i en didaktisk sammenhæng. Kontrakten er derfor et udtryk for den gensidige forståelse der udvikles over tid mellem lærer og elever, og kontrakten er til forhandling. Brousseau skelner i bogen Theory of Didactical Situations in Mathematics (1997) mellem didaktiske situationer og ikke-didaktiske situationer i klasserummet. En didaktisk situation giver eleverne mulighed for at udøve matematik så de rent faktisk lærer noget (og ikke bare lærer noget udenad). En ikke-didaktisk situation er når eleverne kan bruge det de har lært i andre sammenhænge end i matematikundervisningen. I den didaktiske kontrakt ligger der en form for aftale-fordeling mellem lærer og elev. Læreren skal give noget af ansvaret fra sig, og eleverne skal tage noget af ansvaret på sig. Lærerens paradoks er at han eller hun gerne vil have eleverne til selvstændigt at finde frem til løsningen på et problem samtidig med at det helst skal løses korrekt. Elevernes paradoks er at de ved, at læreren kender det rigtige svar (selvom han eller hun ikke vil sige det) (Brousseau, 1999). Hvis eleverne reagerer anderledes (ræsonnerer anderledes) end læreren forventer, kan det - hvis det italesættes - skabe en kognitiv konflikt som kan føre til læring og måske også til en genforhandling af den didaktiske kontrakt. De socio-matematiske normer er også en forhandling, men forskellen er at de sociomatematiske normer omhandler kvaliteten i svarene hvorimod den didaktiske kontrakt omhandler arbejdsopgavernes indhold (hvem gør hvad). Læring handler derfor ikke om at overholde den didaktiske kontrakt men om at bryde den og genforhandle den. Den didaktiske kontrakt er i spil i det enkelte klasserum, men det er også en kontrakt der handler om matematikundervisning i det hele taget, og som derfor bliver yderst relevant i overgangen fra folkeskolen til gymnasiet eller i overgangen fra matematik på C-niveau til B-niveau. Vores elevgruppe er særligt udfordret i forbindelse med denne overgang, fordi de på HF 10

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 typisk bevæger sig væk fra deres 1. hf-stamklasse og til et blandet valghold på B-niveau med elever fra forskellige klasser. Eleverne oplever ofte et lærerskift og samtidig bliver de faglige krav øget. Vi vil senere i projektet komme med vores overvejelse i forbindelse med dette skift. 3. Identifikation En af matematikvejlederens opgaver er at kunne identificere elever med matematikvanskeligheder for derefter at diagnosticere eleverne og komme nærmere hvad de har svært ved. 3.1 Detektionstest Detektionstesten 23 spørgsmål fra professoren blev afviklet i to klasser: En 1.g stx-klasse fra Albertslund og et 2. HF valghold fra Høje Taastrup Gymnasium. Albertslundklassen er en klasse hvor halvdelen af eleverne går på en science-studieretning med matematik (A), fysik (B) og kemi (B). Den anden halvdel går på en biologistudieretning med biologi (A), matematik (B) og psykologi (C). HF-klassen har valgt matematik på B-niveau, og holdet består af en blanding af elever fra to HF-klasser. 3.2 Kvantitativ analyse Vi har tildelt opgaverne i detektionstesten henholdsvis 0,1 og 2 point for hvert delspørgsmål. De kunne i alt score 64 point. Opgaver tildeles point på denne måde: Spørgsmål 1-4, 6-8, 11, 13-14, 18-20, 22-23 giver højst 2 point hver Spørgsmål 9-10, 12, 15-17, 21 giver højst 4 point hver Spørgsmål 6 giver højst 6 point 11

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Vi sammenlignede pointtallene fra de to grene af Albertslundklassen: Albertslund - science Albertslund - biologi Det er ret tydeligt at science-eleverne klarede sig bedre end biologieleverne. Medianen for science-eleverne ligger over øvre kvartil for biologieleverne, og 25 % af biologieleverne får færre point end den dårligste science-elever, men de to studieretninger har også hver sin profil som tiltrækker helt forskellige elev-typer. Sammenligner man Albertslundklassens samlede resultat med resultatet fra Høje Taastrup ser det sådan ud: Høje Taastrup Albertslund Høje Taastrup 12

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Den store spredning i Albertslundklassen ses her tydeligt i sammenligning med Høje Taastrupklassen. Samtidig ses det at der er en større bund i Albertslundklassen, idet nedre kvartil for Høje Taastrup-klassen er sammenfaldende med medianen for Albertslund. 3.3 Udvælgelsen På HF-holdet gennemførte kun 10 af holdets 12 elever detektionstesten. Af de 10 elever er der især en elev (elev Z) der springer i øjnene. Det interessante ved elev Z er at hun er en ret dygtig elev i den daglige undervisning, men hun har sproglige vanskeligheder som medvirker til at hun har klaret testen skidt. Elev O, T og V scorer mellem 20 og 22 point men har ikke et særlig stabilt fremmøde. Vi sætter grænsen til 25 point og får to elever mere med i feltet (M og S) der møder stabilt til timerne. Point-fordeling ser sådan ud: 40 35 30 25 20 15 10 5 0 A C M Na Ni O S T V Z HTG Grænsen Hvis vi kigger på gymnasieklassens pointfordeling med angivelse af den samme grænse på 25 point, ser det sådan ud: 13

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 60 50 40 30 STX Grænsen 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Rigtig mange af Albertslund-eleverne falder under 25 points-grænsen. Albertslund-klassen skiftede lærer efter jul. Da testen blev taget havde vi endnu ikke det store kendskab til eleverne, og den didaktiske kontrakt var endnu ikke forhandlet. Den gruppe af elever, der ligger under de 25 point, er en gruppe fagligt svage biologi-elever hvor enkelte også har sproglige vanskeligheder. I en diskussion af hvordan vi skulle bearbejde elevernes besvarelser og fremadrettet arbejde videre med projektet, snakkede vi om muligheden for at arbejde med en klasserumsbaseret intervention. En klasserumsbaseret intervention vil kunne gennemføres i den almindelige undervisning. Spredningen på HF-holdet er ikke lige så stor som i Albertslund-klassen, og HF-holdet deltog også i detektionstesten i forbindelse med delprojekt 1 om begreber og begrebsdannelse som den klarede ret godt. Ved en klasserumsbaseret intervention undgår vi at trække på eleverne efter skoletid og derudover virker eleverne motiverede til at være med. Vi besluttede os derfor for at arbejde videre med hele HF-holdet. Vi lavede en klasserumsbaseret, statisk diagnosticering med særligt fokus på de to elever S og M. Formålet er at blive klogere på elevernes evne til at ræsonnere og på deres forestillinger om matematik. 14

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 4. Diagnosticering Diagnosticeringen bestod af en række opgaver i differentialregning. Målet var at observere hvordan eleverne diskuterer, reflekterer og ræsonnerer i forhold til et emne, de har arbejdet med i en længere periode. Vi har forholdt os til de steder, hvor der potentielt kan opstå vanskeligheder ifølge Mogens Niss kommentarer til detektionstest 2: 1. Opgaveformuleringens logik 2. Den matematiske substans i opgaven 3. Den logiske struktur i de ræsonnementer, der benyttes i opgavebehandlingen 4.1 Didaktiske overvejelser Alle tre opgaver er vejledende eksamensopgaver på HF B-niveau. Opgaverne arbejder med forskellige aspekter af differentialregning, så vi håber på at eleverne er klar over den matematiske substans (ad 2). De tre opgaver har forskelligt fokus. Opgave 1 En funktion f er givet ved f(x) = x 3 + 1,5x 2 + 6x 1 a) Bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet P(3, f(3)) b) Gør rede for, at grafen for f har en anden tangent med samme hældningskoefficient som tangenten t, og bestem koordinatsættet til røringspunktet for denne tangent. Den matematiske substans i opgave 1 er tangentens ligning. Det kræver kendskab til at tangenten er en ret linje, ligningen for en ret linje og notationen af det angivne punkt. Opgaven kræver en kæde af ræsonnementer der inddrager betydningen af f(x) og f (x) og hvordan disse informationer skal indgå i tangentens ligning. Opgave b kræver desuden at eleverne er eksplicitte omkring deres ræsonnementer. 15

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Opgave 2 En funktion f er bestemt ved f(x) = e x 2x. a) Skitsér grafen for f, og benyt differentialregning til at argumentere for grafens forløb. Den matematiske substans i opgave 2 er differentialkvotientens sammenhæng med grafens forløb. Det kræver kendskab til hvordan man laver en skitse, hvordan man anvender CAS-værktøj til at tegne grafen og overfører den til papir/tavle 6. Argumentation indgår eksplicit i opgaveformuleringen. Ifølge Duval (2006) skal eleverne kunne navigere mellem de forskellige registre (conversion) for at kunne løse opgaven. De skal bevæge sig rundt mellem det visuelle monofunktionelle register (skitsen), det sproglige monofunktionelle register (inddragelse af f (x)) og det sproglige multifunktionelle register (argumentationen). Opgave 3 Den matematiske substans er stadig differentialkvotientens sammenhæng med grafens forløb, men i denne opgave vendes problemstillingen. Eleverne får udleveret en fortegnslinje for f (x) og skal så angive monotoni-intervallerne og skitsere grafen for f(x). Opgaven tester om de kan afkode tabellen og oversætte den til informationer om grafens forløb. 6 Eleverne arbejder med håndholdte CAS-værktøjer 16

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 En funktion f opfylder følgende: Dm(f) = R f er differentiabel Nulpunkter og fortegn for f er som i skemaet nedenfor: x 1 1 3 f (x) 0 + 0 + 0 a) Angiv monotoniintervallerne for funktionen f b) Skitsér grafen for f (Der er mange muligheder for hvordan en sådan graf kan se ud. Der ønskes blot tegnet én mulig graf) Det er igen nødvendigt at foretage registerskift, og disse registerskift styrker den matematiske forståelse, jf. Duval (2006). 4.2 Resultatet af diagnosticeringen Til diagnosticeringen var 8 ud af 13 elever til stede, og eleverne blev delt i to tilfældige grupper, som blev filmet. Eleverne skulle samarbejde om opgaverne og fik udleveret A3 ark og whiteboards. Eleverne fik at vide det var vigtigt de tænkte højt. Vi ville have eleverne til at indgå i en videnskabelig debat, inspireret af artiklen Towards New Customs in the Classroom af Daniel Alibert (1988). Vi fokuserer i diagnosticeringen på klassen som helhed og bruger de enkelte elevers bidrag som antydninger af, hvad der er på færde. Visse elever har en særlig status i klassen som dygtige til matematik. Det betyder at der lyttes mere til dem end til andre. I nogle situationer lyttes der endda til dem selvom det er noget vrøvl de fremfører, og gruppen ignorerer relevante og korrekte indvendinger fra et gruppemedlem der ikke har samme status. 17

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Et eksempel på det finder vi, i forbindelse med opgave 1, hvor ligningen for tangenten skal bestemmes. En af grupperne diskuterer hvad de kender og hvad de skal finde. De er nået frem til at de skal have kendskab til x, f(x) og f (x). De har en idé om den matematiske substans (jf. s. 15 punkt 2). De har fundet f(3) = 3,5 og f (3) = 12. Z Vi har fundet x og y. Z peger [forkert] på f (x) og f(x). Tre af de fire elever i gruppen mener nu at f (x) er lig y. Der er altså problemer med begrebsforståelsen. O Det giver ikke mening Når x = 3 må f(3) = 3,5 være lig y. Der bliver diskuteret frem og tilbage, selvom O insisterer ender det med at ingen lytter til O på trods af hendes ræsonnement er rigtigt (jf. s. 15 punkt 3), og gruppen går i stå. Elevernes beliefs omkring den sociale kontekst er i spil. I den anden gruppe, der arbejder med samme opgave, sidder en elev (K) med høj status og arbejder lidt for sig selv. En anden elev (S) med lavere status spørger hvad K har fået. S Hvis du har fået det samme som os, så er det rigtigt [det vi har gjort, red.] Her er et eksempel på et ekstern overbevisende bevisskema, som ifølge artiklen Toward Comprehensive Perspectives on the Learning and Teaching of Proof af Harel & Sowder (2007) betyder, at det der står i bogen eller det som læreren (eller en anden elev med højere status) siger opfattes som rigtigt. Eleverne har svært ved at oversætte opgaverne til et indhold og et sprog der giver mening for dem. Selvom de har matematiske værktøjer til at løse opgaven, kan de ikke komme i gang. De kan ikke koble opgaven til noget de forstår. Et eksempel er denne opgave: b) Gør rede for, at grafen for f har en anden tangent med samme hældningskoefficient som tangenten t, og bestem koordinatættet til røringspunktet for denne tangent. 18

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Gruppen forstår ikke opgaveformuleringens logik (jf. s. 15 punkt 1). V Er det ikke baglæns? Vi har en hældning og den er minus 12 og det skal være den samme. Skal vi så proppe den ind i [x ets plads, red.]? De andre er ikke rigtig med på ideen. V Vi skal finde en anden tangent med samme hældning, som er minus 12. De er på sporet af hvad de skal ( Er det ikke baglæns ), men de er ikke i stand til at skabe den rette sammenhæng. De tror de skal finde en anden tangents ligning og overser at det er røringspunktet de skal bestemme. De har svært ved at læse opgaven korrekt og sammenholde oplysningerne hvilket stemmer overens med Bells undersøgelse af typiske fejlkilder blandt elever i artiklen A study of Pupil s proof-explanations in mathematical Situations (1976) 7. Når de skal argumentere for en grafs forløb ved hjælp af differentialregning i opgave 2, har de svært ved at få hul på opgaven. Eleverne forstår ikke logikken i opgaven (jf. s. 15, punkt 1), så læreren (Ama) sætter dem i gang. Ama Hvad skal I? K Skitsere en graf M vil lave et sildeben og derefter tegne grafen. Læreren henviser til lommeregneren. K Det er noget med a og man skal finde ud af om det er plus eller minus M skitserer grafen og siger at a er positiv fordi den er glad. M tænker på andengradspolynomier og tager ikke stilling til funktionsudtrykket. K tegner herefter den vandrette tangent og siger den er 0. Lone Hvorfor er det 0? K Fordi det er en ret linje. M Fordi den er vandret. Er det ikke det med monotoniforhold? 7 Se den kommenterede litteraturliste 19

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 De har ingen ide om hvad et argument er og ved derfor ikke om de er færdige med at argumentere eller om de overhovedet er i gang. Det er både tydeligt i forbindelse med denne opgave som specifikt beder om argumentation, men også i andre opgaver hvor ræsonnementer er mere implicitte. Det eleverne opfatter som en argumentation og et ræsonnement er langt fra lærerens opfattelse, og de har svært ved at skabe logisk sammenhæng i deres egne ræsonnementer (jf. s. 15, punkt 3). Men når eleverne forstår spørgsmålet (jf. s. 15 punkt 1), så kører der parallelle samtaler eller argumentationskæder, som Christine Knipping kalder dem i artiklen A method for revealing structures of argumentations in classroom proving process (Knipping, 2008). Under disse prøver eleverne at ræsonnere og argumentere sig frem til hvorledes en oplysning skal tolkes og anvendes, dele af opgaven skal løses og hvordan denne del indgår i opgaven som helhed, men de møder snublesten på vejen. Et eksempel er opgave 1 med tangenten hvor de går i stå, fordi de ikke skelner korrekt mellem f, f og x. Et andet eksempel er opgave 3 hvor oplysninger om fortegn for f skal oversættes til en mulig graf. En del af elevernes argumentation og ræsonnementer er ulogiske og matematisk set noget vrøvl, simpelthen fordi de ikke har færdige argumenter men er ved at danne dem. V (læser op): Dm(f) = R. Dm(f) er jo det der er differentiabelt. N ræsonnerer sig frem til grafens udseende. N tegner i luften og da han bliver bedt om at tegne en skitse, viser det sig at han har en forkert forestilling. Der er altså problemer med at gennemføre det påkrævede registerskift fra det multifunktionelle (fortegnstabellen) til det monofunktionelle visuelle register (grafen) jf. Duval. To elever styrer skitseringen af grafen. Da N tegner den første del indtil x = 1, siger V at den bør gå opad men ramme x-aksen igen fordi der står 0. N ender med at tegne en ret linje fra x = 1 til x = 3. De roder rundt i tangentens hældning (f (x)) og grafens nulpunkter og har altså ikke fat i den matematiske substans (jf. s. 15, punkt 2). De diskuterer om den skal gå nedad fordi der er et minus og opad pga. plus - tegnet. Til en vis grad forbinder de altså minus- og plus - tegnet med monotoniforhold men ikke med tangentens hældning. Der er problemer med logikken i deres ræsonnementer (punkt 3). 20

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 De har igen brug for hjælp til at oversætte opgaven (jf. s. 15, punkt 1), og de har store problemer med at skelne f (x) = 0 fra f(x) = 0. Eleverne har vanskeligt ved at oversætte fra en repræsentationsform til en anden og begrebet differentiation er ikke kondenseret (ifølge Sfard, 1991). Gruppen går tilbage til spørgsmål a hvor der bliver bedt om monotoniintervaller: N siger: Er det ikke at den vokser her, så aftager den og så vokser den igen? Lærer (Lone): Prøv at se i bogen, hvad der menes med monotoniintervaller I er nødt til at fortælle hvor den vokser og aftager. Det viser sig her at eleverne har en forståelse af, hvad fortegnene for f (x) betyder i forhold til grafens forløb, men de har problemer med den matematiske notation af monotoniintervaller og anvender derfor ord i stedet for. En anden gruppe kan ikke komme i gang. De knytter begrebet differentialregning til det at skulle differentiere en funktion: K S M Vi ved at den er differentiabel. Vi kender nulpunkterne. Vi skal igen lave det der monotoniforhold. Vi skal finde tal mellem Men vi har ikke en funktion. De arbejder ud fra en instrumentalt indlært rutine indenfor opgaver i differentialregning, hvor man får udleveret en funktion, differentierer den, finder fortegnene for f (x) og herefter angiver monotoniintervallerne for f(x). De bliver derfor forstyrret af at opgaven bryder med rutinen, hvilket igen viser at begrebet differentialregning ikke er kondenseret (jf. Sfard, 1991 ). Der er også tale om et brud med den didaktiske kontrakt, og eleverne er forvirret over den nye type opgave. Eleverne samtaler løbende om matematik men har problemer med at skabe sammenhæng i opgaven. 21

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 K: Vi ved hvornår den er vandret og hvad x er, når den er vandret. K tegner tre skitser for at vise hvad han mener dog uden at tage hensyn til plus og minus-tegnene i opgaven: Da læreren (Ama) gør K opmærksom på at han har tegnet som om der er tre forskellige funktioner, så tegner K skitsen (venstre hjørne) hvor han forbinder dem. M siger så at den skal starte med at aftage. Her kvalificerer M K s svar (socio-matematisk norm), og hun viser hun har forstået forbindelsen mellem fortegnene og grafens forløb. M er dog stadig forvirret over hvordan man skal angive monotoniintervallerne, når man ikke kender regneforskriften. M Skal vi så udregne værdier for forskellige x er? M kobler igen opgaven til en anden type opgave hvor man kender regneforskriften og skal finde monotoniforholdene. Læreren afbryder og hentyder til at de skal angive og ikke udregne. Problemet er i høj grad at opgaven er vendt om som tidligere beskrevet. De har sværere ved at afkode sammenhængen mellem fortegnet for f og grafens forløb når de udelukkende kigger på fortegnslinjen. Den logiske tråd, som skal udgøre et ræsonnement eller et argument, skal de selv skabe og den sammenhæng som er underforstået i opgaven, er de først ved at danne. De prøver at skabe den i samarbejdet om at løse opgaven hvor de oversætter opgaven til konkret og begribeligt indhold. 4.3 Konklusion - Diagnosticering En stor del af elevernes argumentation er ufuldstændig og deres påstande begrundes ikke. De kan være på rette spor men forklarer ikke hvad de tænker. De har meget svært ved at danne og følge en hel kæde af ræsonnementer hvilket stemmer overens med konklusionen i artiklen Why Johnny Can t Proove (Dreufus, 1999) 8. 8 Se den kommenterede litteraturliste 22

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 I vid udstrækning læser eleverne ikke en opgave, forstået på den måde at de ikke påtager sig at skabe logik i den og som sådan ikke påtager sig det hverv som opgaven stiller. De typebestemmer opgaverne og putter dem ind i et system, som for eksempel at sætte f (x) = 0 eller de vil anvende solve ligegyldigt hvad opgaven beder om. Schoenfeld er inde på selv-regulering og monitorering som nødvendig (metakognitiv) adfærd når mere komplicerede problemer skal løses. De har svært ved at monitorere deres egen proces (Schoenfeld, s. 354) og regulere det de er i gang med. Hvis man er låst fast, er det fornuftigt at stoppe op og finde en anden vej. Måske skal opgaven læses en gang til. Når man løser en opgave, er monitorering og relevant handling i forhold til opgaven kerneelementerne i selvreguleringen. Mange gange er det svært og næsten umuligt for elever at anvende en selvregulerende praksis, og i værste fald fremturer de ad et forkert spor. Det tyder på at eleverne ikke ved hvor de skal hen, og derfor er de ikke i stand til at vurdere om det de laver er meningsfyldt. Diagnosticeringen viser også at eleverne har svært ved og mangler motivationen til at skabe sammenhæng og logik i en opgave. De er ikke klar over hvilke krav der stilles til en argumentation og et ræsonnement. De har førhen kunnet klare sig udmærket i matematik uden argumentation og ræsonnement, men på mat B skal de nu stå til regnskab for om der er hoved og hale i det de foretager sig. På Høje Tåstrup Gymnasium er hf B et valgfag. Alle hf eleverne har mat C der afsluttes i 1. hf, og de beslutter i løbet af forårssemesteret i 1 hf om de vil fortsætte på mat B. Et mat B hf niveau opnås altså ved strukturelt set at følge to enkeltfag. Det har den konsekvens at der på mat C niveauet ikke nødvendigvis bygges op til fortsættelsen på mat B, blandt andet på grund af store faglige forskelle på de enkelte hold og tidsnød. Mat C er af den grund præget af en mere instrumental tilgang. Mat B holdene har typisk været af størrelsen 12-15 elever, de kommer fra begge hf klasser og har fået ny lærer. De er stødt på mindre beviser på mat C men opfatter det ikke som en dominerende del af faget og undervisningen. Eleverne udtrykker at matema10k B bogen er mere kompliceret end den tilsvarende til C niveauet. De synes den er sværere at læse, forstå, bruge og hente hjælp i. Generelt laver eleverne meget få lektier derhjemme og er åbenlyst ude af træning med at anvende den hjælp de har for hånden i form af lærebog, formelsamling, materiale produceret og udleveret af læreren osv. En enkelt elev anvender i forbindelse med 23

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 diagnosticeringen et retteark til et tidligere stillet opgavesæt. De øvrige sætter deres lid til deres egen og kammeraternes hukommelse. Elevernes forestillinger om dem selv og de andre afspejles i den gruppedynamik der udspiller sig i klasserummet. Elevernes har en tillid til at de dygtige elever har ret, og der bliver ikke lyttet til elever med lav status. Ud fra diagnosticeringen er det tydeligt at elevernes forestillinger om matematikundervisning skal ændres. Under diagnosticeringen erfarede vi at eleverne forestiller sig, at opgaver skal kunne løses hurtigt og uden alt for mange besværligheder. De betragter ikke opgaveløsning som en proces. Mange af dem har gennem 1hf fået opbygget en forventning om at de kan klare sig igennem uden at lave lektier. Deres forventninger er at læreren skal skabe en sammenhæng og levere en form for model for, hvordan en opgave skal løses. Den didaktiske kontrakt skal derfor genforhandles, og de socio-matematiske normer skal revideres. Klasserumsdiagnosticeringen passer på elev S, men elev M viser en større forståelse for det matematiske indhold og for logikken i opgaverne. På grund af tidspres fik vi ikke lavet et diagnosticeringsinterview med de to udvalgte elever, men vores viden om dem og det efterfølgende interview beskrevet under Testen indikerer at de to elevers forestillinger om faget er forskellige. Vi mener at de problemer S og M har, generelt repræsenterer klassens problemer med at følge og skabe en kæde af ræsonnementer. Derfor vælger vi en klasserumsintervention baseret på en struktureret og stilladseret tilgang hvor vi samtidig følger og filmer S og M s arbejde undervejs. Alle transskriptioner fra interventionen er derfor fra den gruppe hvor S og M er med. Da der er begrænset tid og kernestoffet ikke er nået, er der ikke frit valg med hensyn til emnevalg. Holdet mangler at gennemgå integralregning som derfor vil være på dagsordenen i interventionen. Interventionen er derfor tilrettelagt som et forløb i integralregning med vægt på ræsonnement og bevisførelse (jf. bekendtgørelse og vejledning). 24

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 5. Interventionen Den klassebaserede intervention strakte sig over 7 moduler ud af et samlet undervisningsforløb på ca. 15 moduler. Et af ønskerne med interventionen var at rykke på elevernes beliefs angående matematik. Vi producerede en del materiale selv fordi eleverne synes bogen er svær. Opgaverne og progressionen er søgt formet så sammenhænge og (logiske) strukturer kan synliggøres, og nødvendigheden af et bevis sandsynligøres for eleverne. Vi opfylder til en vis grad deres ønske om at gøre det nemt og overskueligt i et forsøg på at flytte holdninger og forestillinger om hvad der er matematik og hvad der kræves af en redegørelse og argumentation i matematik. Det er vores håb at eleverne tager mere ansvar for at skabe deres egen logik i opgaver og beviser og ændrer deres forestillinger om faget. 5.1 Realistic Mathematics Education (RME) Det pædagogiske fundament i interventionen er inspireret af Realistic Mathematics Education RME som er formet af Freudenthals syn på matematik. Vendingen realistic betyder at de problemer og opgaver, som elever stilles overfor i undervisningen skal opleves som virkelige eller realistiske. De kan arbejde med problemer fra hverdagslivet eller fra den abstrakte matematik så længe problemet er meningsfuldt for dem. En af pointerne hos Freudenthal, og i RME, er at matematik er en menneskelig aktivitet, og det betyder at mathematics lessons should give students the guided opportunity to re-invent mathematics by doing it (van den Heuvel- Panhuizen, 2000, s. 3). Gennem matematisk aktivitet skabes der mulighed for at eleverne kan genopfinde matematik under vejledning af deres lærer og/eller det designede lærermateriale. Der er 5 grundsætninger der karakteriserer RME 9 : a. Eleverne skal støttes i at skabe intuitive forestillinger som et fundament de kan bygge videre på, når de skal tilegne sig et nyt emne b. Modeller, skemaer, diagrammer mm. kan styrke progressionen så eleverne bevæger sig fra det intuitive til det formaliserede c. Eleverne skal have frihed til selv at komme med konstruktioner og strategier når de arbejder med matematiske problemer 9 Her refereres til forelæsningsnoter af Marja van den Heuvel-Panhuizen til NORMA-konference, Kristiansand, Norge, June 1998 25

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 d. Man lærer ved at interagere med hinanden. Individuelt arbejde kombineres med blandt andet diskussioner i grupper og på klassen, refleksioner over forskellige strategier, lærerens forklaringer etc. e. Koblingen til andre emner er vigtig. I interventionen er hovedvægten på punkterne a, b og d. Der er elementer af de andre punkter under de forskellige aktiviteter eleverne arbejder med. Fokus for vores intervention er netop at det er eleverne der skal være aktive, og at læring finder sted når eleverne taler og formulerer sig sammen (punkt d). Samtidig gennemsyres hele interventionen af de stiliserede arbejdsark (punkt b), der gerne skulle ændre elevernes sociomatematiske normer for hvordan de skal arbejde i og med faget matematik. Der er indtænkt en progression i alle arbejdsarkene så eleverne gradvist bliver bekendt med den nye teori (punkt a) og kan prøve sig frem for efterfølgende at kontrollere. 5.2 Oversigt over interventionsforløbet Ved modul 1 og 3 var 2. hf holdets lærer (Lone) alene i klassen, til modul 2 deltog Lone og Ama, ved modul 4, 5, 6 og 7 deltog vi alle tre. Grundene er rent praktiske, da Ama og Mette ofte havde undervisning samtidig med at 2 hf holdet havde matematik. De 7 interventionsmoduler havde følgende overskrifter: Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4 Modul 5+6 Modul 7 Opstart til integralregning At bestemme en stamfunktion (opstart) Eksistens og entydighedssætningen Bevise regneregler for stamfunktioner Projekt om sammenhæng mellem arealer, integraler og stamfunktioner Bevis af arealsætningen 26

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Da eleverne synes bogen er svær og ikke læser mange lektier, foregår læsningen i klassen. Diagnosticeringen viste også med al tydelighed at de har svært ved at forstå en opgavetekst med mange informationer og ved at danne sammenhænge selv. Gennemgangen af den læste tekst det være sig ny teori, et eksempel, en opgave, et ræsonnement eller et bevis følger overordnet samme struktur som punktet Before på Schoenfelds liste over Teacher Actions for Problem - Solving (Schoenfeld, s.358) 1. Teksten læses højt. Ord, fraser og vendinger eleverne ikke forstår endevendes. 2. Klassesamtalen fokuserer på at forstå sammenhængen i opgaven, beviset eller ræsonnementet og fokuserer således på, at det er vigtigt. 3. Ved et bevis eller et ræsonnement analyseres med henblik på at se hvad der er forudsætninger, hvorfor et lighedstegn/ en slutning er korrekt og eleverne får sidehenvisninger hvor de kan finde de relevante argumenter. Ved opgaver diskuteres løsningsforslag. Eleverne havde whiteboards til rådighed og på disse tavler kunne de forsøge sig frem, let fjerne fejlslagne forsøg og prøve igen. Det var med til at understøtte at det at lære matematik og løse problemer af enhver art (f.eks. knække nøden i et bevis) er en proces. Holdet var vant til at anvende tavlerne og erfaringen er at aktivitetsniveauet stiger når de arbejder på tavlerne. Der tales mere om matematik, der er flere der taler om matematik og alle har mulighed for at formulere sig om det aktuelle emne, problem eller bevis. Matematik er her en social, erkendelsesmæssig og skabende aktivitet i tråd med Schoenfelds betragtninger af matematik som an inherently social (as well as cognitive) activity and an essentially constructive activity instead of an absorpative one (s. 340). Når en acceptabel løsning er fundet i sidste ende afgør læreren om gruppens produkt er acceptabelt - affotograferes den og fotografen deler facit foto med de andre eller det føres over på papir eller arbejdsark. Efter gennemgangen af modulerne vil vi knytte yderligere litteratur til sammenhængen i forløbet. 5.3 Modul 1 og modul 2 Grundighed og argumentation Gennem de to første moduler i interventionen forsøger vi at bygge bro mellem det empiriske bevisskema og det deduktive bevisskema (jf. Harel & Sowder, 2007). Vi har udarbejdet arbejdsark så eleverne gennem eksempler skal erfare en sammenhæng mellem differential- og 27

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 integralregning og efterfølgende argumentere for, at den sammenhæng gælder generelt. Vi trækker dermed på flere af grundidéerne i RME idét vi skaber en progression (punkt b), styrker elevernes samarbejde med hinanden (punkt d) og giver dem en smule plads til selv at se den ønskede sammenhæng (punkt c). Herudover er koblingen til andre emner, her differentialregning, også vigtig (punkt e). Til 1. modul i interventionen er holdets lærer (Lone) alene med dem. Eleverne sidder og arbejder sammen om de udleverede opgaver. Dokumentationen fra modulet er Lones noter og noter fra den digitale tavle. Der er en kort introduktion hvor Lone fortæller, at integralregning (blandt andet) handler om at bestemme f når man har f med andre ord om at gå den anden vej. Ad opgave 1 og 2: 28

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 De kan bruge den udfyldte tabel til at gå tilbage til den oprindelige funktion når de i opgave 2 sammen skal finde nogle simple stamfunktioner og pege på sammenhængen mellem differential og integralregning. Samtidig listes notationen (x) og f(x) dx ind (punkt a). Herefter indføres integrationsprøven med henblik på at træne argumentation. I de næste arbejdsark er funktionerne valgt så eleverne er (burde være) fortrolige med funktionens differentialkvotient og med at differentiere funktionen. Et håb er at eleverne opnår nogle succesoplevelser ved at bestemme en rigtig stamfunktion. Kompleksiteten øges ved at eleverne selv skal ræsonnere sig frem til et forslag (jf. punkt c i RME). 29

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 I opgave 3 skal de benytte sig af regneregler for differentiation og viden om hvordan et n te grads polynomium differentieres, hvilket bør være kendt viden for dem. Eleverne skal anvende integrationsprøven på hver eneste løsning de kommer frem med dels for at træne dem i at kontrollere men også for at betone betydningen af at have et gyldigt argument for et svar. Det at kunne argumentere for et svar er et væsentligt aspekt af at arbejde deduktivt i matematik 10 og hvis vi gerne vil træne eleverne i at få et deduktivt bevisskema 11 (hvad de ikke har), må vi træne dem i at opbygge den nødvendige logik. 5.3.1 Resultatet af modul 1 +2 Det volder vanskeligheder at skelne mellem f,f, F og F. Selvom de i opgave 1 skal komme med et forslag til en stamfunktion begynder de i stedet at differentiere. Her griber læreren Lone ind, peger på den vej eleverne har valgt og holder dem fast på opgaven for at få dem til at forholde sig til hvad der reelt står og ikke hvad de tror der står. Hermed demonstreres også arbejdsrutinen: Læs opgaven igennem flere gange også mens du arbejder på en løsning. Lone Flere: Lærer S I skal finde en stamfunktion. Hvis man skal finde en stamfunktion, skal man så differentiere? Ja (en enkelt pipper efterfølgende nej) Nej, det er den anden vej. Stamfunktionen, det er store F! De skriver f(x) = 3 x 2 og derefter f (x) = 6x Lone Er det store F? En elev M-m (som i nej ) Lone Hvad er lille f? En elev Store F mærke Lone Skriv det - så hvad svarer de 3 x 2 til? Z Til store F Lone Ej, ikke til store F, til store F mærke. Skriv det ned. 10 Se for eksempel Bells kategorisering af elevbesvarelser i artiklen A Study of Pupil s proof-explanations in Mathematical situations (1976) i den kommenterede litteraturliste. 11 Jævnfør Harel & Sowder (2007) 30

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Her forsøger læreren Lone at hjælpe med at skabe orden i forvirringen over det nye begreb, stamfunktion. Læreren opfordrer til at de skriver hver gang de har en information eller en del af en argumentation. Det er et forsøg på at give dem en struktur så de kan følge tankegangen i det de laver, men det er også et forsøg på at opkvalificere deres argumentation og dermed udvikle en socio-matematisk norm. I et forsøg på at få eleverne på rette spor siger Lone på et tidspunkt: det er den anden vej. Her reagerer S og siger: Jeg forstår ikke, hvad du mener med den anden vej?. Sammenhængen mellem differentialregning og med integralregning er stadig ikke tydelig for S. I opgave 2 er de selvkørende med S som den styrende: Der bliver skrevet f(x) = 4x 3 + 5 og nedenunder skrives F(x) = [en begynder at differentiere igen] S Elev Det skal være x 4 + 5x, for hvis du differentierer det, så får du det her [peger] Nu forstår jeg det. De laver integrationsprøve og ser at det giver f(x) S M Se, nu fatter jeg det. Har I forstået det nu? [Henvendt til de andre] Ja, jeg har forstået det nu. Nu efterbearbejder gruppen hvad de har lavet, hvilket er en god socio-matematisk norm. Samtidig viser transskriptionen at opgavens ordlyd eller de sproglige formuleringer kan forstyrre eleverne i at fastholde fokus. Men vi aner også et spinkelt tegn på at det rutineprægede arbejde i forbindelse med stilladseringen begynder at bære frugt når eleverne spontant udbryder, at de forstår hvad de laver. 5.4 Modul 3 + 4 Ræsonnement og bevisførelse Vi fortsætter vores arbejdsmetode (inspireret af RME) fra modul 1 og 2, men bevæger os over til at arbejde med bevisførelse. Vi ønsker fortsat at træne dem i at ræsonnere så de kan nærme sig et deduktivt bevisskema (Harel & Sowder, 2007). Vi forsøger at udvikle elevernes sociomatematiske normer inden for bevisførelse og deres forestillinger om hvordan man arbejder i faget. I modulerne pointeres relationen mellem stamfunktioner, integral- og differentialregning (RME, 31

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 punkt e). Arbejdsarkene (som ses i bilag 1A) udleveres til holdet og læreren henviser til relevante sider i holdets grundbog (Matema10k). Første arbejdsark har form af fill-ins. Pointen med dette er at målrette elevernes søgen i bogen og styre repetitionen af stamfunktionsbegrebet. Næste arbejdsark handler om 3 parabler, der er parallelforskudt i forhold til hinanden langs med y aksen (se bilag 1.B): Formålet er her at have fokus på skiftet til den grafiske repræsentation (jf. RME, punkt b). I modul 1+2 blev der fokuseret på treatment inden for det monofunktionelle register i arbejdet med eksistensen (jf. Duval, 2002). I dette modul skal eleverne udføre conversion til det monofunktionelle visuelle register hvor de skal skabe en kobling til graferne for funktionerne. Formålet er selvfølgelig at pege på sammenhængen men også at fremme forståelsen og bane vejen for at eleverne selv kan bevæge sig mellem registrene. Feltet af funktioner bliver med denne øvelse også udvidet. Arbejdsspørgsmålene 12 tvinger eleverne til at præcisere hvad de ser. Spørgsmålet Hvordan kan du bevise det? har det formål at få eleverne til at argumentere for deres påstand om at de tre polynomier alle er stamfunktioner til f(x) = 2x. Vi ønsker at træne dem i at påstande kræver argumentation/bevisførelse og at man ikke er færdig før man har argumenteret for sin påstand. 12 a) Beskriv hvad du kan se. b) Hvilke funktioner er der tale om? c) Hvilken funktion er alle 3 funktioner stamfunktioner til? 32

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bagtanken med denne del af modulet var at bane vejen for beviset af eksistens og entydighedssætningen, så formålet er altså at styrke elevernes progression (jf. RME, punkt b). 5.4.1 Eksistens og entydighed Læreren (Lone) argumenterer for det fornuftige i at bevise sætning 1, som lyder: Hvis F(x) er en stamfunktion til funktionen f, vil alle funktioner af formen G(x) = F(x) + k, hvor k er en konstant, også være en stamfunktion til f. Det accepteres som et gyldigt argument, der er trods alt stordriftsfordele ved at kunne bruge sætningen fremfor at skulle udføre integrationsprøven hver gang. Arbejdsarkene (se bilag 1C) er udformet så eleverne skal formulere indholdet af sætningen med deres egne ord, da det er med til at skabe forståelse for hvad der foregår. Der er fokus på forudsætninger, antagelser, regneregler og sætninger der anvendes. Målet er at hjælpe eleverne til at skabe intuitive forestillinger om opbygningen af et bevis (jf. RME, punkt a). Eleverne havde åbenlyst forstået ideen med integrationsprøven og at den anvendes til at argumentere for at en funktion er stamfunktion. At vi i modul 2 insisterede på at de skulle udføre integrationsprøven hver gang de kom med et forslag til en stamfunktion, og i begyndelse af modul 3 repeterede begreberne har i hvert fald haft denne positive effekt. Det var svært for eleverne at formulere betydningen af en sætning med deres egne ord. Oversættelsen mellem deres egne konkrete eksempler og sætningens symbolladede sprog magtede de ikke. Især i forbindelse med sætning 2 var der vanskeligheder. Sætning 2 lyder: Hvis funktionen f er defineret i et interval og har stamfunktionen F(x) så er alle stamfunktioner til f givet ved: G(x) = F(x) + k, hvor k er en konstant. Eleverne forholdt sig til forskellen i de sproglige formuleringer i de to beviser, men ingen kunne præcisere den indholdsmæssige forskel. 33

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 5.4.2 Regneregler Som nævnt før læser eleverne ikke lektier, så modulet er lagt an på at sætningen og beviset læses i timen. Matema10k beviser kun regel 1: F(x) + G(x) er en stamfunktion til f(x) + g(x), dvs. f(x) + g(x)dx = F(x) + G(x) Beviset for den første regel gennemgås og analyseres af holdet og læreren (Lone) i fællesskab. Arbejdsarkene kan ses i bilag 1D. Herefter får holdet udleveret stilladserede arbejdsark til bevisførelse for de sidste to regneregler. Alle arbejdsark er bygget op over samme læst. Måske kan dette minde om rutediagrammer, men det er vores erfaring at de aldrig kommer igennem på egen hånd uden stilladser. Samtidig prøver vi med det stilladserede ark at pege på og synliggøre en mulig arbejdsgang når der arbejdes med bevisførelse og ræsonnementer. De stilladserede ark peger også på de nødvendige led i kæden af ræsonnementer. Til hvert ark er tilføjet en faktaboks med henvisninger til sætninger, definitioner etc. som de får brug for, når de skal argumentere. Som det ses af arbejdsarket bliver eleverne igen bedt om at skrive sætningen med egne ord. Til dette må de have lidt hjælp, det går dog bedre end i forrige modul under arbejdet med eksistens og entydigheds sætning. Selvom eleverne i fællesskab med Lone lige har gennemgået beviset for regneregel 1, så viser det sig at de helt går i stå, når de nu selv skal i gang med regel 2. Allerede når de skal skrive reglen ned ved at kigge i bogen, så skriver de fejlagtigt: F(x) G(x) = f(x) g(x). Mette S Z Lone S Z Er det det samme som i bogen? Hvad mener du? Nej det er en stamfunktion. Nej, I skal skrive det rigtigt. Skal vi skrive det med ord. Nej, skriv det som det står. S skriver det rigtigt op men siger efterfølgende: Ok, jeg giver op. Z peger og forklarer at F(x) er en stamfunktion til lille f. Lone griber ind og opfordrer til at de ser på et eksempel fra tavlen for at belyse regnereglen: Lone Nu skal I vise det. Har I skrevet det op, vi lavede før? Kig på papiret, kig i bogen eller find noterne på Lectio. 34

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 S Har du lagt den ind på Lectio, Lone? 13 Her ser vi forskellige holdninger til den didaktiske kontrakt. Lærerens og elevernes opfattelse af den didaktiske kontrakt er langt fra hinanden. Første del af modulet indeholdt repetition af begreber samt en meget grundig gennemgang af indholdet af sætning 3 samt 1. regel, samt beviset for det. Eleverne har ikke taget noter. De har ikke købt at de skal stå til ansvar for de efterfølgende beviser, i hvert fald ikke via deres handlinger. De har intet gjort af det, de er blevet bedt dem om. S M Lone Man skal bruge integrationsprøve. Har vi ikke lige gjort det? JO. Hvad er næste spørgsmål? De tager ikke initiativ til at gå videre med næste arbejdsspørgsmål, de skal skubbes og trækkes derhen af læreren. Det er altså deres opfattelse at de ikke selv skal tage ansvar eller initiativ. Det er ikke gået op for dem eller også køber de ikke den præmis at de selv skal være med til at skabe logik og sammenhæng i det der kræves. De påtager sig i begyndelsen ikke opgaven velvilligt. På trods af at beviset er stærkt stilladseret, volder det dem enormt besvær. Der ligger noter på Lectio fra det forrige bevis, men dem har de ikke set på. De har overhovedet ikke lyttet. Den didaktiske kontrakt er i den grad på spil igen. Tanken var at en grundig gennemgang af beviset med F(x) + G(x) kunne ruste dem til at gennemføre for F(x) G(x) og c F(x) på de stilladserede ark. Den del af modulet hvor de skulle arbejde på egen hånd ville så være en art TEST. Da gruppen ikke har taget noter eller fulgt med ved gennemgangen, bliver testen en ny form for intervention. Læreren (Mette) opfordrer eleverne til at argumentere for hvad de har gjort: Mette M Hvordan ved I hvad F (x) giver? Det bruger vi, altså vi antager at store F differentieret er lille f. Der ses her en begyndende forståelse af hvordan et bevis er opbygget, men det er endnu ikke klart for alle. 13 Her refereres til Pdf-filen med noterne fra den digitale tavle. 35

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 5.5 Modul 5 og 6 Projekt om arealer, integraler og stamfunktioner. Eleverne arbejder i grupper, både Mette, Lone og Ama er til stede. Elevernes arbejde dokumenteres ved hjælp af videooptagelser. Formålet med projektet er at give eleverne mulighed for at opnå en erfaringsmæssig forståelse af sammenhængen mellem arealet under en funktion og stamfunktioner. Progressionsmæssigt er projektet er tænkt som optakt til at bevise arealsætningen. De skal erfare at sætningen er sand, inden de beviser den, jf. De Villiers (1990), som taler om at det at overbevise og det at bevise er en cyklisk proces. Man er måske først motiveret til at bevise noget når man er overbevist om at det er rigtigt, i modsætning til først at være overbevist når man har bevist noget. Eleverne kan ikke klare sig med geometriske betragtninger når de skal beregne arealer under f.eks. krumme kurver. Der er derfor behov for at kunne beregne arealer på en anden måde. Vi prøver at skabe motivationen til at bevise arealsætningen (jf. RME, punkt a). Eleverne blev først introduceret til begrebet arealfunktionen A(x) ved hjælp af simple funktioner hvor de selv var i stand til at beregne arealet under grafen ved hjælp af geometriske betragtninger. Her er et eksempel på et af arbejdsarkene (opgave 1) som eleverne arbejdede med. Alle opgaverne findes i bilag 1. E og er bygget op efter samme princip. 36

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Ideen var at gøre dem bekendte med begrebet og notationen ved hjælp af velkendte funktioner før de skulle arbejde med beviset for arealsætningen. Desuden var det håbet at de ved hjælp af disse opgaver fik en række succes oplevelser, der kunne være med til at motivere dem. Progressionen i opgaverne er som følger: Opgave 1+2 Opgave 3+4 Vi arbejder med at finde arealer under en vandrette linjer (fra det konkrete til det generelle tilfælde) Vi arbejder med at finde arealer under skrå linjer (fra det konkrete til det generelle tilfælde) Resultaterne fra eksemplerne blev samlet i en tabel med f(x) i den ene kolonne og A(x) i den anden. Håbet var da at eleverne kunne se sammenhængen med definitionen af en stamfunktion. b Notationen for den bestemte integral f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) F(a) blev indført. a Integral eksperimentet 14 : Vi ønsker fortsat at opbygge en forståelse af sammenhængen mellem areal og stamfunktion, som motivation for at skulle bevise sætningen senere. Eleverne introduceres til hvordan arealet under en funktion kan bestemmes ved hjælp af et CAS-værktøj (TI-Nspire). 14 Integral-eksperimentet er en bearbejdet version fra Gyldendals gymnasiematematik - B2 af Flemming Clausen 37

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Eleverne skulle udregne arealet under en funktion i givne intervaller mellem 0 og x. Efterfølgende skulle sammenhængende værdier mellem x (interval endepunktet) og arealerne indtastes, og eleverne skulle finde den regression der passede bedst og således nå frem til et funktionsudtryk for A(x). Igen skulle de overveje om der var (og hvilken) en sammenhæng mellem f(x) og A(x). 5.5.1 Resultatet af modulerne 5 og 6 Opgaverne er bygget over samme læst: Først en vandret linje, dernæst en anden vandret linje og til sidst en skrå linje. Metoden, der introduceres i den første opgave, skal genbruges i de to næste opgaver. Eleverne ser ikke mønsteret men skal hver gang hjælpes til at vende tilbage til det de lige har lavet, før de er i stand til at komme videre. Der er ingen problemer i den første del (opg. 1.c), hvor de skal finde arealet. S er meget hurtig. Da hun kommer frem til løsningen udbryder hun selvsikkert: Hvor er jeg klog i dag. Da en anden elev siger: Men hvad nu hvis det er forkert?, holder S fast: Jeg var også klog i går. Det er de første moduler, hvor jeg er klog. Kort tid efter bliver hun i tvivl og siger: Ok, jeg er ikke sikker på, at det er rigtigt. Der opstår hurtigt tvivl om arbejdsgangen hvis eleverne ikke har tiltro til egne evner, altså når deres forestillinger om dem selv ikke svarer til hvad de reelt kan. Så snart tvivlen melder sig, brydes ræsonnementskæden og arbejdet går i stå. Vi vender tilbage til elevernes forestillinger om matematik i forbindelse med den afsluttende test hvor de to involverede elever interviewes som en afslutning på interventionen. Efter de første tre opgaver hvor de bliver spurgt om sammenhængen mellem funktionen og arealet, kan eleverne godt se det er stamfunktionen der er i spil, men det var ikke helt indlysende 38

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 at stamfunktionen var arealfunktionen. Selvom de er gået gennem de tre opgaver, havde de svært ved at generalisere. I areal- og integraleksperimentet får de muligheden for at blive mere fortrolige med begrebet stamfunktioner, det bestemte integral og arealfunktionen og hvilken sammenhæng der er mellem de tre begreber. Det bemærkes at de fleste er ved at acceptere sammenhængen, men for nogle elever er sammenhængen mellem areal og stamfunktion stadig diffus. Vi observerer at der stadig er problemer med at holde styr på hvornår man integrerer og hvornår man differentierer. Herudover har eleverne ikke styr på hvordan et logisk argument skal bygges op. Vi fortsætter derfor med stilladseringen i arealsætningen. 5.6 Modul 7 Bevis for Sætningen om arealfunktionen I modul 7 arbejdes med bevisførelse for arealsætningen. Både Mette, Lone og Ama er til stede. Eleverne arbejder i grupper, der dokumenteres via videooptagelser. I begyndelsen af timen repeteres tretrinsreglen som skal anvendes i beviset. En række illustrationer med relevante arealer skal hjælpe eleverne igennem beviset - se opgaverne i fuld størrelse i bilag 1.F. De første tre viser A(x), A(x + h)og A. Eleverne skal selv forklare forskellen mellem arealerne og ræsonnere sig frem til hvordan A kan beregnes ved hjælp af de to andre. Opgaven træner også elevernes evner til at analysere grafiske fremstillinger og ræsonnere ud fra dem. Vi fokuserer her på treatment inden for det monofunktionelle visuelle register. De efterfølgende tre illustrerer 39

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 A, f(x + h) h og f(x) h. Eleverne skal selv ræsonnere sig frem til de sidste to udtryk ved at analysere de grafiske fremstillinger. Når eleverne skal vurdere størrelserne af de 3 arealer med deres egne ord, fokuseres der på conversion fra det visuelle til det sproglige register. Eleverne skal derefter notere størrelsesforholdene som en ulighed, og fokus er nu på conversion fra det multifunktionelle til det monofunktionelle sproglige register. 40

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Efterfølgende guides de igennem de forskellige trin med division med h og anvendelse af tretrinsreglen. De sidste spørgsmål skal få eleverne til at overveje om, de er færdige og hvorfor. Spørgsmålene henvender sig til elevernes overbevisningsskema og er et forsøg på at få dem til at formulere sig om dette. 5.6.1 Resultatet af modul 7 På trods af de forberedende moduler til arealsætningen, viste det sig at eleverne havde svært ved på egen hånd at fastholde bevisets logik. Det var nødvendigt at holde dem fast på alle delelementerne i argumenterne og ræsonnementerne. Eleverne har svært ved at opskrive arealet for rektanglet når symbolerne indgår. Lærer Mette er hos M s gruppe og griber ind ved at lave et eksempel med tal. Herefter går der lang tid med at få dem frem til, hvordan man finder bredden af rektanglet ved at trække de to x-værdier fra hinanden. M vender tilbage til figuren og oversætter til det generelle tilfælde uden problemer. I opskrivningen af tretrinsreglen viser M at hun til en vis grad har forstået at arbejde med symboler. Dette er tegn på at hun har bevæget sig væk fra de empiriske overbevisnings-skemaer og er på vej til at kunne gennemføre en simpel matematisk argumentation. Til tretrinsreglen siger M: M Mette M Mette M f(x + h) f(x). Ja, og hvad hedder jeres funktion nu? Hedder den f? Nej. Hvad hedder den så? A. De går i stå ved vurderingsdelen af sidste trin i tretrinsreglen hvorefter Mette beder dem om at læse spørgsmålet højt. En fra gruppen læser højt: Anvend uligheden til at vurdere delta A delt med h. Mette spørger til den opstillede ulighed og om hvad de skal vurdere ved den. Gruppen taler om, at delta A bliver mindre, når h går mod nul. M Mette M Så skifter de to pladser. Prøv at forklar, hvad du mener. Hvis h er nul (Mette korrigerer: Går mod nul ), så bliver det der [det midterste led] mindre end det der [det venstre led] og så skifter de pladser. 41

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Ovenstående viser at M er i gang med at ræsonnere, uden det dog er helt klart hvor hun vil hen med det. Til spørgsmålet om de er færdige med beviset nu, svarer M: M Mette M Mette M Mette M Mette M Mette M Ja, fordi vi har bevist at A (x) er lig f(x). Vi kom frem til at A(x) er differentiabel, nej vent, vi har undersøgt om A(x) er differentiabel ved at sende den gennem tretrinsreglen. Og vi finder grænseværdien til f(x) i trin 3. Hov ja, det er ikke grænseværdien til men vi finder at grænseværdien er f(x) [ ] det er vores facit. Så A(x) er differentiabel. Og A (x) er lig med. f(x). Vi sender arealfunktionen gennem tretrinsreglen for at se om den er differentiabel, og vi kommer frem til at det er en stamfunktion. Ja. Og hvorfor er det nu at det er en stamfunktion? Fordi stamfunktionen er lig arealfunktionen. Hvad er det nu der er argumentet for at noget er en stamfunktion? Hvis du påstår at arealfunktionen er en stamfunktion, hvordan vil du så bevise at det er rigtigt? Ved at differentiere. Og hvor gør I det? I tredje trin i tretrinsreglen Mette peger på Ms papir, hvor hun har skrevet A (x) = f(x): Mette Denne her ligning beviser at arealfunktionen er en stamfunktion. Vi ser her endnu et eksempel på hvor svært det er for eleverne at fastholde en kæde af ræsonnementer og at formulere sig sprogligt omkring det de laver. Samtidig ser vi små tegn på at de er blevet bedre til at ræsonnere. 5.7 Konklusion Interventionen Som det fremgår af beskrivelserne af de enkelte moduler i interventionen er det for eleverne en vanskelig disciplin at argumentere og bevise. Vi ser eksempler på den forvirring nye begreber skaber. De nye begreber er endnu ikke kondenseret (jf. Sfard, 1991), og eleverne kan ikke inddrage begreberne i deres argumenter i forbindelse med små opgaver (i modul 1+2) og beviser (modul 3+4). Vi ser eksempler på hvordan elevernes forestillinger om matematik (det skal helst ikke være alt for besværligt) påvirker den didaktiske kontrakt mellem lærer og elev (modul 3+4). Herudover oplever vi at oversættelsen mellem de konkrete eksempler og sætninger med symbolladet sprog stadig volder problemer (modul 3), og vi oplever hvordan elevernes forestillinger om sig selv er en snublesten der får arbejdet til at gå i stå. 42

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Interventionen viser at eleverne har problemer med at generalisere resultater (f.eks. modul 1,5 og 6) og med at holde styr på en kæde af ræsonnementer (modul 7). Vi forsøger igennem interventionsforløbet at opdrage eleverne til en mere hensigtsmæssig måde at arbejde med faget på. Vi prøver at ændre deres forestillinger om faget og få skabt et fundament så de kan udvikle et deduktivt bevisskema (jf. Harel & Sowder). Vi forsøger at hjælpe dem til at se hvad et argument er og hvordan de skal argumentere. 5.8 Interventionens kobling til litteraturen Vi vil nu skabe et overblik over vores intervention og koblingen til litteraturen. I slutningen af modul 1 når holdet frem til den konklusion at f(x) = a har stamfunktioner af formen F(x) = ax + k og at integrationsprøven kan anvendes som argument for, at F(x) er stamfunktion til f(x). Modul 2 bygger videre på denne opdagelse idet de skal undersøge om, dette også gælder for andre funktionstyper. Eleverne anvender integrationsprøven om og om igen. Regnereglerne for integration anvendes ved flere af opgaverne. I det 3. modul er undersøgelserne af parablerne sammen med konklusionerne fra modul 1 og modul 2 med til at begrunde og belyse (jf. Bells matematiske betydninger af et bevis) at det tilsyneladende er rigtigt, at hvis F(x) er stamfunktion til f(x) så er F(x) + k det også. Et af formålene med de 3 moduler var at motivere at det var nødvendigt at bevise eksistens og entydighedssætningen. Ifølge De Villiers 15 er det svært at arbejde med bevisførelse hvis ikke eleverne kan se det er nødvendigt at føre beviset. Modulerne har givet eleverne erfaringer med en række funktioner. Det er indlysende at det nu er rart at vide om de erfaringer er generelle dvs. om det altid gælder, at når F(x) er stamfunktion til f(x) så er F(x) + k det også? Og hvorfor gælder det? Beviset kommer således til at begrunde, kaste lys over og systematisere holdets erfaringer og trækker dermed på 3 af de 5 funktioner som De Villiers nævner i artiklen The Role and Function of Proof in Mathematics (de Villiers, 1990). De samme overvejelser gælder senere i forløbet mellem modul 5+6 (projektet) og modul 7 (arealsætningen). Samtidig kommer bevisførelsen til at fjerne 15 Se artiklen The role and Function of Proof in Mathematics, De Villiers, 1990 43

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 tvivlen om hvorvidt påstanden er sand. Elevernes undersøgelse af forskellige funktioner, af de 3 parabler (modul 3) og det eksperimentelle arbejde (i modul 5+6) skabte en begrundet formodning. Bevisførelsen viser at deres formodning er rigtig, og den er nu blevet et faktum (jf. Harel & Sowder). En ekstra gevinst ved opbygningen er at eleverne nu har en række fælles erfaringer, som de kan bruge. Når indholdet i en sætning skal forstås, kan læreren og holdet trække på de funktioner de har arbejdet med som eksempler, og sætningen kan oversættes til et konkret indhold de forstår. Deres empiriske overbevisningsskema, dannet ud fra konkrete eksempler, kobles til deres eksternt overbevisende bevisskema der er præget af symbolmanipulation og formalisme (Harel & Sowder, 2007). Der er mulighed for at danne en bro mellem 2 taksonomiske niveauer inden for overbevisningsskemaer blandt andet ved at eleverne også prøver at formulere sætningen med egne ord. I lærebogen er eksistens og entydighedssætningen delt i 2 sætninger og forskellene mellem de 2 er i fokus i modul 3. Det er vores erfaring at eleverne har meget svært ved at se forskellen på et hvis så udsagn og det omvendte udsagn. Denne erfaring understøttes af litteraturen, f.eks. Harel &Sowder (2007) og Hoyles & Küchemanns undersøgelser (Hoyles & Küchemann, 2002). Som nævnt andets steds analyseres beviset bid for bid. Spørgsmålene nedenfor udgør sammen med svarene en stor del af holdets og lærerens samtale: Hvad er forudsætningen og hvor står den? Hvad er en forudsætning? Hvad er ideen i beviset? Hvor kan du se det? Hvorfor er det lighedstegn rigtigt? Hvor står den sætning/den regneregel, der er anvendt. Ifølge bogen er beviset færdigt. Hvorfor er vi færdige? Der absorberes ikke kun matematik, der er også samtaler om matematik. Samtidig gødes grunden for nye sociomatematiske normer for hvornår et bevis er færdigt. Hvor megen argumentation skal der til? Hvad er et gyldigt argument? I Modul 4 læses sætningen, der skal bevises, op i fællesskab. Eleverne har allerede anvendt regnereglerne i de forrige moduler under arbejdet med at finde stamfunktioner. Så de har konkrete erfaringer med hvor og hvordan reglerne anvendes. Bevisførelsens rolle er altså at begrunde (de Villiers) de regler vi allerede har anvendt og at træne eleverne i at se hvordan beviser kan være opbygget. Kun beviset for F(x) + G(x) er en stamfunktion til f(x) + g(x), dvs. f(x) + g(x)dx = F(x) + G(x) står i bogen. Det gennemgås over samme læst som eksistens og entydighedssætningen. Derefter skal eleverne selv med de stilladserende arbejdsark til hjælp 44

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 bevise regnereglerne for F(x) G(x) og c F(x). De efterfølgende beviser som foregår på whiteboards, bliver en social og kognitiv aktivitet (jf. Schoenfeld). Det kan synes at der ikke er meget skabende over processen med mængden af noter og stilladsets omfang. For eleverne var der udfordring nok. Gennemgangen af beviset for den første regneregel (modul 4) og arbejdet med arealsætningen (modul 7) er med til at vise hvordan beviser er bygget op samt hvilke andre regneregler og sætninger der anvendes (modul 4). Vi tvinger dem til at sætte ord på hvad de har bevist og hvorfor de har bevist det (modul 7). Vi forsøger herved at opbygge nye forestillinger og normer for hvad der er god matematik og hvordan man forklarer sig. 6. Testen De 12 hf-elever har haft tre lærere til rådighed i forbindelse med interventionen, så det er interessant at undersøge om forløbet har båret frugt. Interventionen var et komprimeret forløb over 3 uger, og vi lavede ikke en dynamiske diagnosticering med enkelte elever inden vi gik i gang. For at få et mere præcist billede af effekten har vi valgt både at evaluere hele klassen og også trække de to elever S og M ud til opgaveløsning og interview. 6.1 Terminsprøven Kort efter interventionsforløbets afslutning havde holdet terminsprøve. Til terminsprøven blev sættet fra sygeeksamen august 2014 anvendt. Gennemsnittet for terminsprøven var 4,4. Spørgsmålet er hvad man så kan tolke ud af prøven. Holdet er 2. årgang af hf hold med matematik på B niveau. Mat B holdet der gik til eksamen i sommer 2014 fik et gennemsnit på 02 i skriftlig matematik. Det er selvfølgelig ikke de samme elever men både læreren (Lone) og bogen matema10k går igen. Så muligvis kan det tages som et tegn på at undervisningen inklusive interventionen er begyndt at ramme eleverne på hf mere præcist. Sammenligner man snittet fra terminsprøven på 4,4 med elevernes snit fra skriftlig mat C (2014) på 8,2 så er springet (3,8) stort. Som nævnt før læser eleverne ikke mange lektier. I 2. hf har der været en del fravær og sjældent har hele holdet været til stede. Det er indlysende ikke optimalt for indlæring. Er det så holdet, læreren, bogen eller forskellene mellem mat C og mat B? Vender man blikket mod det forrige mat B hf hold som fik 02 i snit til den skriftlige eksamen i 2014 og sammenligner med disse elevers snit i skriftlig mat C (2013) på 6,45, så er springet (4,45) mellem snittet på mat C og mat B endnu mere markant. Det tyder på at de førnævnte vanskeligheder ved overgangen fra mat C til mat B er store 45

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 og at der er stor forskel på de to niveauer. Dette underbygges af de 2 interviews der er lavet med elever fra holdet. Eleverne er også inde på at bogen er vanskelig at læse (se afsnit 6.4). De to elever klarede detektionstesten lige skidt, men fik henholdsvis 10 og 4 til terminsprøven. Eleven der fik 10 har holdt sin karakter fra mat C hvor hun også fik 10 til skriftlig eksamen, hun har det mest stabile fremmøde af alle og afleverer opgaver. Den anden elev med 4 til terminsprøven fik 7 til skriftlig mat C og er altså gået en karakter ned. Betragter man alle eleverne så viser det sig at elever med et nogenlunde stabilt fremmøde holder karakteren fra mat C eller går et trin ned. De øvrige går 2 eller flere trin ned. Eleverne oplever det ikke nødvendigvis som et nederlag at gå en karakter ned. De er meget bevidste om, at matematik på B-niveau er betydeligt sværere end matematik på C-niveau, så at gå en enkelt karakter ned på nuværende tidspunkt tyder på at de kan arbejde sig op inden det endelige eksamensresultat. Det tyder på at de elever der har deltaget i interventionsforløbet har klaret sig bedre end de elever, der ikke har. De elever der har deltaget i forløbet opnår flere point i de opgaver, der har relation til interventionen, end de elever der ikke har (se bilag 2). Det bemærkes også at eleverne stadig har svært ved at formulere deres ræsonnementer på skrift. Ud over at kigge på terminsprøvebesvarelserne har vi gennemført en bevis-test i klassen hvor klassen skal rekonstruere beviser, der er klippet i stykker. 6.2 Rekonstruktion af bevis test af klassen Bevis-puslespillet blev (af rent praktiske årssager) først lagt i et modul ca. 4 uger efter afslutningen af interventionsforløbet. Beviserne for Sætning om arealfunktionen og Sætning om areal under grafen for en funktion blev klippet i stykker og udleveret som puslespil til eleverne. Papir-brikkerne til de to sætninger, bevisførelsen og argumentationen for dem blev lagt i samme konvolut. Sætningernes ordlyd stod i sin helhed på hver sin brik. Eleverne skulle nu samle beviserne i den rigtige rækkefølge og argumentere for rækkefølgen. Eleverne skulle både skille de to beviser fra hinanden og skabe logik i hvert af de to beviser. Desuden har holdet kun arbejdet med Sætning om areal under grafen for en funktion gennem konkrete funktioner, så selve den formalistiske bevisførelse er ikke nået. De skal selv forstå den og skabe mening i bevisførelsen under forberedelsen og under arbejdet i grupperne. 46

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Eleverne blev bedt om at medbringe deres projekt om sammenhængen mellem arealfunktionen, integraler og stamfunktioner samt arbejdspapirerne Arealsætningen samt deres bog Matema10k. De fik 25 minutters forberedelsestid. I den skulle de genlæse deres projekt og arbejdspapirer samt læse beviserne for Sætning om arealfunktionen og Sætning om areal under grafen for en funktion (s.136-137 i Matema10k B niveau). Projektet og arbejdspapirerne dækker de to sætninger, men argumentation og bevisførelse er langt mere stilladserende og uddybende her end i bogens fremstilling af beviset. Et par af eleverne brokkede sig da også højlydt mens de læste i bogen. Jeg forstår det når jeg læser mine egne papirer. Men det her, det er sort snak. I de 25 minutter forberedelsen varede, kunne eleverne stille spørgsmål hvis de ønskede det. Efter forberedelsestiden blev bøger og egne papirer pakket væk, eleverne samlede sig i 4 grupper der fik udleveret en konvolut med beviserne klippet i stykket samt en whiteboard tavle og tuscher. Grupperne skulle så samle beviserne. De måtte ikke kigge i bogen før til sidst. Hvis de blev i tvivl undervejs kunne de henvende sig til Lone og Ama og få vejledning. Grupperne skulle kunne argumentere for den rækkefølge de havde valgt. 6.2.1 Observationer og resultater Det volder ikke vanskeligheder at placere bevis stumper ved de rigtige sætninger. Eleverne har lært noget om strukturen i et bevis. De finder begyndelse og slutning af sig selv uden større vanskeligheder. Forudsætninger blev placeret i begyndelsen. De støttede sig både til om det matematiske og det sproglige indhold på to på hinanden følgende bevis-brikker hang sammen. De forsøgte at skabe mening det er jo fordi den går mod 0. Den skal være her. Giver det ikke mening? De fleste har ganske godt styr på tretrins reglen: Nu divideres der med h, det er andet trin. Punkt 2 volder dog i denne sammenhæng vanskeligheder for nogle. Skiftet fra at betragte konkrete arealer under kurver (og størrelser på disse) til at betragte arealet som en funktion af x skaber vanskeligheder. De kan godt forstå at arealet afhænger af x og i den forstand er en funktion af x. Men forståelsen er (måske) mere intuitiv end formel. Under 2. punkt i tretrinsreglen, hvor funktionstilvæksten deles med h og sekanthældningen findes udtrykker den ene gruppe højlydt sine tvivl. Grafen for f kan anvendes til at illustrere forskellige arealer under kurven og vi 47

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 kan dermed betragte A(x), men hvordan kan man illustrere sekanthældningen A h? Eleverne har førhen kunnet støtte sig til illustrationer hvor sekanten kunne tegnes. Den anden gruppe har også sproglige problemer. Gruppen består udelukkende af elever med en anden sproglig baggrund en dansk. Flere steder er det ord i sætningerne der skaber forvirring. Linjen klemt inde mellem to størrelser der begge snævrer sig om.. (Matema10k s. 136 nederst) er uklar for gruppen. Hvad betyder det at noget indsnævres? Læreren Lone forsøger at støtte med spørgsmål der kan være med til at skabe et stillads ( Hvor er der noget der er klemt inde? og I skal også få sproget til at hænge sammen ). Der er flere ord i bogens tekst end på de arbejdspapirer og i det projekt som de har arbejdet med, og formuleringerne er på et højere abstraktionsniveau. Det volder vanskeligheder, også for de dygtigste elever på holdet. Når de ikke kunne komme videre, greb de til at betragte papirstumperne som et puslespil. De så hvordan papiret var klippet og hvilke kanter der passede sammen. Efterfølgende måtte de så forsvare rækkefølgen for enten Ama eller Lone. Det er flere positive erfaringer ved denne test: De er gode til at skabe sammenhæng. Hvis der står hvis ved de at det skal stå først. De anvender ikke ordet forudsætning men har en fornemmelse for hvordan opbygningen er. Der var ingen modvilje mod at lave det. Bevisforskrækkelsen er blevet mindre, og de går mere positivt til værks. Det er bogens bevis der klippes i stykker, så de har ikke arbejdet med ordlyden af beviset før, men det lykkedes (med lidt hjælp til det sidste trin) at skabe sammenhæng i beviset. Man kan sige at de har rykket sig i den forstand, at de selv kan skabe logikken. Modviljen mod at skulle skabe den logik er væk. Vi har i vores intervention arbejdet mere visuelt med beviset, hvor bogens bevis er mere sprogligt formuleret, hvilket kan være barriereskabende for vores type elever. Den stilladserende tilgang vi har anvendt har bevirket at de nu bedre kan forstå ordlyden i beviset, end da de arbejdede med beviserne for regnereglerne (i modul 4). De er umiddelbart blevet bedre til selvregulering på den måde at de forsøger at holde øje med om, der er logik og sammenhæng i det de laver. 6.3 Individuel test Vi stiller tre opgaver med nogenlunde samme ordlyd som opgaverne i diagnosticeringen med det formål at undersøge om eleverne er blevet bedre til at ræsonnere. Opgaverne stilles til de to 48

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 udvalgte piger, S og M, og løses individuelt. Terminsprøven viste at eleverne generelt havde svært ved at få deres ræsonnementer formidlet skriftligt. For at vi kan få et større indblik i de to pigers tankegang, sidder de med deres lærer Lone så de kan indgå i en dialog omkring opgaverne. Vi havde desværre et teknisk problem med optagelsen af S og har derfor ingen transskriptioner af hendes løsning men kun hukommelsen at støtte os til. En af opgaverne lyder: En funktion f er givet ved f(x) = x 3 + x 2 Grafen for f har i punktet (1,2) en tangent med ligningen y = 5x 3. Hvilket af nedenstående tre punkter er røringspunktet for den tangent der er parallel med y = 5x 3? a) (1, 5) b) ( 5 3, 50 27 ) c) ( 2 3, 4 27 ) M tegner på eget initiativ grafen for funktionen ved hjælp af TI Nspire. Hun forkaster det første punkt ved at argumentere ud fra grafen: Det kan ikke være dette punkt da jeg kan se på grafen at x skal være negativ. Hun er altså selv i stand til at skabe en logik og sammenhæng i opgaven. Det som volder hende problemer er kæden af ræsonnementer. Hun er i tvivl om, det er nødvendigt at finde ligningen for den nye tangent. Læreren (Lone) spørger om hun bliver bedt om dette, M svarer benægtende. Lone spørger ind til hvilke oplysninger, hun får (de er parallelle) og hvad det betyder. På lærerens opfordring overføres en skitse af grafen til papir, og M indtegner de to tangenter. Hun tegner og svarer korrekt at det er a som er fælles for de to tangenter. Da Lone spørger om der er andet der giver oplysninger om a, svarer hun hurtigt at det gør f mærke, så jeg skal differentiere. Det gør hun korrekt og skriver a = 5 = f (x). Lone spørger derefter: Kan 49

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 du udnytte et eller andet? M løser derefter ligningen 5 = f (x) ved hjælp af solve funktionen på Nspire og forklarer korrekt hvordan hun ville finde y koordinaten. S kommer ikke igennem opgave. Hun kunne ikke på eget initiativ finde på noget, der kunne hjælpe hende til at få hul på opgaven. En anden opgave lyder: Hvilken fortegnslinje passer til grafen for f? M analyserer grafen korrekt med hensyn til monotoniforhold. Hun forklarer der er 2 vendepunkter og nævner fejlagtigt at x er 0. Læreren udbryder: Hvad er 0? Nå, nej f (x) = 0. Derefter kører det. Hun kobler de x værdier hvor f (x) = 0 i følge fortegnslinjen med de steder 50

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 hvor grafen vender og indskrænker svarmulighederne til de to i første kolonne. Derefter ser hun på fortegn for f (x) og kobler det til grafens forløb. Hun bliver spurgt om der er flere argumenter end dem, hun allerede har nævnt. Hun nævner at de 2 fortegnslinjer i anden kolonne, har flere steder hvor f (x) = 0 end grafen har og henviser også til at monotoniforholdene ikke stemmer overens. S ræsonnerer sig frem til det rigtige facit med tilsvarende argumenter som M. Begge elever kan koble grafens forløb til fortegnslinjen i den sidste opgave, og de kan argumentere for hvad de gør. De skaber selv logikken og sammenhængen i opgaven hvilket er et fremskridt i forhold til diagnosticeringen. Den første opgave kræver flere kæder af ræsonnementer, og det kommer M fint igennem. S kunne ikke komme igennem opgaven. M har derfor rykket sig også på det felt. 6.4 Elev-interviews Vi besluttede at vi ville gennemføre elev-interview med S og M. Formålet var at blive klogere på de udvalgte pigers forestillinger om faget og om dem selv. Vi burde have lavet et interview inden vi gik i gang med interventionen så kunne vi have et mere præcist billede af om, vi havde rykket elevernes forestillinger undervejs. I vores iver efter at komme i gang med den statiske klasserumsdiagnosticering og den efterfølgende klasserumsintervention fik vi det ikke gjort. Men det er afgørende at få indblik i hvad de enkelte elever selv har at sige. Vi har valgt at stille spørgsmålene ud fra de rammer for matematikforestillinger som vi har præsenteret tidligere (de Corte, Op't Eynde, & Verschaffel, 2002). Overskrifterne for interviewspørgsmålene er derfor: 1. Forestillinger om matematikundervisningen 2. Forestillinger om dem selv 3. Forestillinger om det sociale Desuden spørger vi lidt ind til forløbet om integralregning. De to interviews findes i fuld længde i bilag 3 og 4. De to interviews viser tydeligt, at de to elever har forskellige forestillinger om matematik. Vi mener at elev S stadig opfatter matematik som på C-niveau, hvorimod elev M tænker beviser ind som en naturlig del af faget på B-niveau. Begge elever mener at overgangen fra matematik C til B 51

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 har været vanskelig, men de begrunder det hverken med lærerskift eller skiftet væk fra deres stamklasse men udelukkende med at niveauet er steget og især at bogen er vanskelig at læse. Elev S udtrykker at det er irriterende at skulle bruge så meget tid på at arbejde med faget. S [...] jeg sidder nogle gange med en matematikopgave og tænker: Hvad er det her? Jeg kan overhovedet ikke huske det, og så begynder jeg at bladre rundt i bogen for at finde ud af hvordan jeg skal lave opgaven, og det irriterer mig at jeg ikke kan finde ud af det. Så skal jeg bruge ekstra tid på det, og sidste år der kunne jeg det bare. Det var nemmere sidste år. De to elever har forskellige forestillinger om dem selv og om det sociale. De forestillinger er begrundet af i hvor høj grad de forstår, hvad de laver. På spørgsmålet Stoler du på dig selv, når du laver opgaver i matematik? svarer de begge to Ja, men på spørgsmålet Tror du de andre betragter dig som en autoritet svarer elev S instinktivt Nej og elev M Ja. Elev S siger: Nej. For der har været tidspunkter hvor jeg har taget fejl, og det har jeg ikke noget problem med. Jeg forventer heller ikke at de andre har gjort det rigtigt. Jeg vil gerne have et bevis for at det er rigtigt, for det er jo ikke sikkert at det er. Vi spørger ind til hvordan man kan finde et bevis på at det er rigtigt, og elev S fortsætter: Man kan spørger hvordan de er kommet frem til det. Har du tastet på lommeregner? osv. Hvis man får et forkert svar, kan man spørge de andre hvad de har gjort. Har jeg lavet det forkert? Det er det første jeg tænker hvis de andre har fået et andet svar. Hvad har du gjort? Hvad har jeg gjort? Det er sådan man kommunikerer. Det er tydeligt at elev S ikke tænker på ordet bevis som et logisk opbygget kæde af ræsonnementer men som en slags facitliste i forbindelse med opgaveløsning. Elev M begrunder ligeledes sit svar: 52

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Ja. De har set at jeg godt kan. Men jeg siger selv til dem at de ikke skal stole på mig nu, hvor det er matematik på B, for det er blevet sværere, og jeg stoler heller ikke altid på mig selv. Elev M udtaler sig om det at lave beviser: Sidste år elskede jeg beviser, men i år er det lidt sværere. Når jeg ikke forstår noget, så kan jeg ikke lide det. Jeg kan godt lide at komme frem til hvordan formler kommer frem. Hvordan de er opfundet eller hvad man nu skal kalde det. Jeg synes, det er meget sjovt Deres interesse for beviser hænger sammen med deres forestillinger om matematik. Vi ser her eksempler på to forskellige elevtyper der klarede detektionstesten lige skidt, men som viser sig at have helt forskellige holdninger til faget og til den vægt beviser har i undervisningen. 7. Samlet konklusion Detektionstesten viste at rigtig mange af vores elever har svært ved at ræsonnere. 60 % af eleverne opnåede under 25 point hvilket svarer til ca. 40 % af det samlede antal mulige point. I den efterfølgende diagnosticering viste det sig at eleverne havde svært ved at skabe logik i opgaver, hvor sammenhængen ikke var indlysende. De havde svært ved at læse opgaver og typebestemte dem i høj grad. Derudover havde de svært ved at udføre kæder af ræsonnementer og den dominerende forestilling var at det var lærerens ansvar at skabe logikken, de skulle ikke selv bidrage til processen. Eleverne havde svært ved at monitorere deres egen arbejdsproces og kom med forventninger om at matematik og opgaver (af enhver art) skulle kunne forstås og løses hurtigt. Vi har i vores interventionsforløb anvendt stilladserede arbejdsark for at pege på og synliggøre en mulig arbejdsgang når der arbejdes med bevisførelse og ræsonnementer. De stilladserede ark peger på de nødvendige led i kæden af ræsonnementer, og de er samtidig et støttende supplement til den bog de har svært ved at læse. Det optimale er selvfølgelig at man også i den daglige undervisning sørger for at være meget eksplicit omkring ræsonnementer. Ulempen ved 53

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 stilladserede arbejdsark er at vi kan komme til at fastholde dem i overbevisningen om, at vi som lærere leder vejen for dem. Men hvis de ikke ved i hvilken retning de skal gå, så kommer de ingen vegne. Vi brolægger en del af vejen for dem og vi mener det er nødvendigt for vores elevgruppe i lyset af at de har svært ved at følge længere kæder af ræsonnementer. Rekonstruktion af beviset via et puslespil viste at eleverne var i stand til at genkende forudsætning og konklusion, omend det ikke var de termer de selv anvendte. De var i vid udstrækning i stand til at ræsonnere sig til sammenhængen og dermed lægge bevis-puslespillet rigtigt. Vi mener det er en udpræget hjælp for vores elever med stilladser der også er visuelle, jævnfør vores observationer af arbejdet med regnereglerne og arealsætningen. Den generelle angst for beviser er blevet mindre. Terminsprøven og de individuelle opgaver viste at opgaver hvor eleverne selv skal skabe sammenhæng og logik er blevet nemmere for de elever der har haft et stabilt fremmøde. Interventionen har haft den effekt at eleverne er blevet bedre til at ræsonnere, men de kan stadig have problemer med lange kæder af ræsonnementer og de har svært ved at formulere deres ræsonnementer på skrift. Vi ville gerne ændre elevernes forestillinger om matematik. Vi synes vi har ændret deres forestilling om hvilken indsats de selv skal yde. Lone, holdets daglige lærer, oplever at de arbejder anderledes i timerne nu. Der er et større fokus på selv at skabe sammenhæng i opgaver eller hvad der nu er på dagsordenen, og de gør brug af bog og formelsamling i højere grad end før interventionsforløbet. Den didaktiske kontrakt er med andre ord blevet revideret. 54

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 8. Litteraturliste Alibert, D. (Juni 1988). Towards New Customs in the Classroom. The Learning of Mathematics, 8, s. 31-35. Bell, A. (1976). A study of pupil's proof-explanations in mathematical situations. Educational Studies in Mathematics, 7, s. 23-40. Brousseau, G. (1997). The didactical contract: The teacher, the student and the miliue. I N. (. Balacheff, & M. S. Cooper, Theory of Didactical Situations in Mathematics (s. 225-249). Hingham, USA: Kluwer Acadamic Publishers. Cornu, B. (1991). Limits. I D. Tall, Advanced Mathematical Thinking, Vol 11 (s. 153-166). Mathmatics Education Librabry. Davis, R. B. (1975, Vol. 1, No. 3). Cognitive Processes Involved in Solving Simple Algebraic Equations. JCMB, s. 7-35. de Corte, E., Op't Eynde, P., & Verschaffel, L. (2002). Framing Students'mathematics-related beliefs. I G. Leder, E. Pehkonen, & G. Törner, Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (s. 13-37). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers (Kap. 2). de Villiers, M. (November 1990). The role and function of proof in mathematics. Pythagoras, s. 17-24. Dreyfus, T. (1999). Why Johnny can't proof. Educational Studies in Mathematics, 38, s. 85-109. Dreyfus, T., & Hadas, N. (1996). Proof as answer to the question why. ZDM, 96, s. 1-5. Dreyfus, T., & Vinner, S. (1989). Image and Definitions for the Concept of Function. Journal for Research in Mathmatics, Vol. 20, No.4, s. 356-366. Duval, R. (2004). A crucial issue in mathematics education: The ability to change representation register. ICME. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, s. 103-131. EMS. (December 2011). Do Theorems Admit Exceptions? Solid Findings in Mathematics Education on Empirical Proof Schemes. EMS Newsletter, s. 50-54. Epp, S. S. (November 1998). A unified framework for proof and disproof. The Mathematics Teacher, 91, s. 708-713. Filloy, E., & Rojano, T. (1989). Solving Equations: the Transition from Arithmetic to Algebra. For the Learning of Mathematics 9, 2. 55

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Fischbein, E., Jehiam, R., & Cohen, D. (1995). The concept of irrational numbers in high-school studens and prospective teachers. Educational Studies in Mathematics 29, s. 29-44. Hanna, G. (1990). Some Pedagogical Aspects of Proof. Interchange, Vol.21, No. 1, s. 6-13. Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward compreshensive perspectives on the learning and teaching of proof. I F. (. Lester Jr., Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 805-842). Greenwich: Charlotte, NC: Information Age Publishing (kap. 18). Healy, L., & Hoyles, C. (Juli 2000). A Study of Proof Conceptions in Algebra. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 31, No. 4, s. 396-428. Hoyles, C., & Küchemann, D. (2002). Students' understanding of logical implication. Educational Studies in Mathematics, 51, s. 193-223. Jankvist, U. T. (2015). Changing students' images of "mathematics as a discipline". The Journal of Mathematical Behavior, 38, s. 41-56. Juter, K. (2005). Limits of functions. Traces of students' concept images. Nordic Studies in Mathematics Education, No 3-4, s. 65-82. Knipping, C. (Maj 2008). A method for revealing structures of argumentations in classroom proving process. Mathematics Education, 40, s. 427-441. Leron, U. (1985). A direct approach to indirect proofs. Educational Studies in Mathematics, 16, s. 321-325. Markovits, Z., & Sowder, J. T. (1991, Volume 13, Number 1). Students' Understanding of the Relationship Between Fractions and Decimals. Focus on Learning Problems in Mathmatics, s. 3-11. Mat C - Hf, Vejledning/Råd og vink. (2010). Mitchelmore, M., & White, P. (2004). Teaching mathematical concepts: Instruction for abstraction. ICME, s. 1-15. Niss, M. (u.d.). Modelling and Proving as Forms of Justification - an analytic essay. IMFUFA, Roskilde Iniversitet, Danmark, s. 1-9. Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring - Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfte, nr. 18. Schoenfeld, A. (1992). Learning from instruction. I D. (. Grouws, Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 334-370). New York: Macmillian Publishing Company (kap. 15). 56

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on progress and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22, s. 1-36. Sirotic, N., & Zazkis, R. (2007). Irrational Numbers: The gap between formal and intuitive knowlegde. Educational Studies in Mathematics, 65, s. 49-76. Skemp, R. R. (1976). Relationel Understanding and Instrumental Understading. Mathmatics Teaching, 77, s. 20-27. Skemp, R. R. (1979). Goal of Learning and Qualities of Understanding. Mathmatics Teaching, 88, s. 44-49. Tall, D. (1992). The transition to advances mathematical thinking: Functions, Limits, Infinity, and Proof. Handbook of research on mathematics teaching and learning, s. 495-511. Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathmatics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12, s. 151-169. Törner, G. (Marts 2013). Solid Findings ind Mathematics Education: Living with Beliefs and Orientations - Underestimated, Nevertheless Omnipresent, Factors for Mathematics Teaching and Learning. EMS, s. 42-44. van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000). Mathematics educatiion in the Netherlands: A guided tour. ICME9, s. 1-31. Vlassis, J. (2002). The Balance Model: Hindrance or support for the solving of linear equations with one unknown. Educational Studies in Mathematics, 49, s. 341-359. Yackel, E., & Cobb, P. (Juli 1996). Sociomathematical norms, argumentations, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 27, No. 4, s. 458-477. Zandieh, M. J. (2000). A Theoretical Framework for Analyzing Student Understanding of the Concept of Derivative. Mathematics Education, Volume 8, s. 103-127. 57

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 9. Kommenteret litteraturgennemgang Kategorisering af elevers bevis-besvarelser (Bell, 1976) I artiklen A study of Pupil s proof-explanations in Mathematical Situations af A.W. Bell analyseres elevers forsøg på at lave beviser og hvordan det afviger fra matematikeres metoder. På baggrund af disse analyser gives der desuden anvisninger til, hvordan man som underviser kan fremme elevernes forståelse inden for bevisførelse. Artiklen bygger videre på en tidligere undersøgelse fra samme år, hvor 160 elevers forståelse i forbindelse med beviser blev inddelt i 3 faser, fra abstaction (første fase, hvor sammenhænge genkendes men uden forklarende argumenter) til proof (tredje fase, hvor deduktive argumenter er i spil) og vejen mellem dem (anden fase). Hvad er et bevis? At bevise er at overbevise, mener nogle lærere, men hvis man forstår et bevis sådan, så beskæftiger man sig ikke med selve bevisets natur, der bygger på logiske slutninger. Der præsenteres tre matematiske betydninger af et bevis: 1. Verifikation/begrundelse (noget er sandt) 2. Illumination/belysning (hvorfor er det sandt) 3. Systematisering (det deduktive system af aksiomer, teoremer og udledninger af disse) Eleverne skal indse behovet for at argumentere og bevise før de bliver i stand til at sætte pris på bevisførelse som disciplin. Det behov kan stimuleres gennem mere undersøgelsesbaseret klasserumsundervisning, fordi den konflikt der opstår, når de enkelte elever kommer frem til forskellige konklusioner, kan løses ved netop at argumentere og bevise. Beviset for at en centervinkel er dobbelt så stor som periferivinklen leder frem til følgende definition af et bevis: A proof is a directed tree of statements, connected by implications, whose end point is the conclusion and whose starting points are either in the data or are generally agreed facts or principles. 16 16 Bell, side 26 58

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Herefter følger forskellige eksempler på elevers fejlagtige forsøg på at udlede et bevis, som ikke lever op til ovenstående definition. Opgaverne og besvarelserne inddelt i kategorier De stillede opgaver i undersøgelsen kræver forklaringer og retfærdiggørelse af at kunne generalisere, og de er stillet på en sådan måde, at det er muligt at observere, hvordan eleverne spontant forklarer sig i en given situation. Der blev stillet ti opgaver i alt, og i artiklen uddybes besvarelserne tre opgaver: One and the Next, Triangles og Add and take. Besvarelserne inddeles først efter, om det er en empirisk eller en deduktiv tilgang, og inden for hver tilgang (empirisk eller deduktiv) findes 6-7 overskrifter, som dog groft kan samles til 4 indenfor hver tilgang (gradueret oppefra og ned): Empirisk F Her tjekkes alle muligheder (full finite set) S Systematisk, delvis systematisk eller mangel på samme X Fra eksempel til generalisering uden forklaringer (Extrapolation) O Uden korrekte eksempler Deduktiv E Indeholder sammenhængende komplette/ikke komplette forklaringer (Explanations) R Relevante overvejelser D Bygger på deduktion (forsøger at generalisere) D Opstiller enkelte eksempler, men kommer ikke videre (ikke-deduktivt) Undersøgelsens resultater og konklusioner Resultatet af undersøgelsen viser, at de færreste besvarelser når op til de øverste niveauer. En af de største fejlkilder er, at eleverne læser opgaverne forkert eller de kan ikke sammenholde alle 59

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 oplysningerne i opgaverne - der er for mange informationer. Denne fejllæsning af opgaverne forstyrrer selvfølgelig forståelsesfaktoren, for det er svært at vide, om de ville kunne komme videre med opgaven, hvis problemstillingen blev tydeliggjort for dem. Hvis man skal sikre sig, at eleverne forstår opgaverne, kan de med fordel skrive dele af opgaven ned (eller læse det højt), for eksempel kan de skrive opgavens oplysninger ind i en tabel/diagram. Men hvordan får man bygget bro mellem de empiriske erfaringer og heraf følgende generaliseringer og den deduktive forståelse? Man kan forsøge at systematisere eksemplerne især med fokus på, hvordan de adskiller sig fra hinanden. Man kan blive ved med at forsøge at finde et nyt udgangspunkt for sin undersøgelse (en ny vinkel). Men det er præcis evnen til at kunne generalisere ud fra et antal eksempler og en forståelse af, hvornår denne generalisering er gyldig, som er en kæmpe udfordring. Hvad er et bevis og hvad bruger vi det til? (De Villiers, 1990) Et af problemerne ved at arbejde med bevisførelse i matematik er, at eleverne har svært ved at forstå, hvorfor vi gør det. Hvis eleverne ikke oplever et behov for at bevise, er det svært at motivere dem til at gøre det. I artiklen The Role and Function of Proof in Mathematics beskæftiger Michael de Villiers sig med bevisets rolle i undervisningen. Han kritiserer den mest fremherskende opfattelse af et bevis, nemlig at et bevis skal bekræfte at et matematisk udsagn er sandt. I stedet foreslår han en model, der rummer fem forskellige funktioner af et bevis, hvoraf verifikationen er en af de fem funktioner. Andre forfattere har beskæftiget sig med bevisførelse, og her refereres blandt andet til David Talls beskrivelse af et overbevisende arguments tre stadier: Overbevis dig selv, overbevis en ven, overbevis en fjende. Men ved kun at beskæftige sig med bevisførelse som det at verificere matematiske udsagn, så mister man bevisets egentlige natur, som Bell (1976) udtrykker det artiklen A study of Pupil s proof-explanations in Mathematical Situations, hvor han opererer med tre betydninger (funktioner) af et bevis: Verifikation, illumination og systematisering. Denne model videreudvikles nu til at omfatte fem funktioner: Verifikation Forklaring 60

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Systematisering Opdagelse Kommunikation I forbindelse med uddybelse af betydningen verifikation kritiserer de Villiers opfattelsen af et bevis som en absolut sandhed. Han mener ikke, som Davis & Hersh (1976), at alle teoremer bygger på en sekvens af logiske transformationer, som bevæger sig fra en hypotese til en konklusion (som er sand). Han mener ikke, at et bevis nødvendigvis er forudsætningen for at blive overbevist om, at noget er sandt, tværtimod så mener han, at det at være overbevist om, at noget er sandt i lige så høj grad er forudsætningen for overhovedet at give sig i kast med at bevise noget. At være overbevist At bevise Så overbevisningen om, at noget er sandt kan altså være selve motionen for at bevise det [regneregler mm]. I sådan et tilfælde er det ikke verifikationen, der er bevisets funktion. Hvis man undersøger gyldigheden af noget, søger man ikke kun efter at bevise, men man søger i høj grad også efter modeksempler, fordi man i den forbindelse kan opdage modsigelser eller uudsagte nødvendige antagelser. Det deduktive bevis er altså ikke altid tilstrækkeligt i sig selv, når man som matematiker arbejder med bevisførelse. Men det deduktive bevis er altafgørende i forbindelse med verifikationen af ikke-intuitive resultater. Tilbage står så spørgsmålet om hvorfor en given matematisk sætning er sand, og her kommer den forklarende funktion af beviset ind 17. Et godt bevis indeholder gode forklaringer, hvilket også er et succeskriterie hos Bell (1976). Beviser er også et uundværlige redskab til at systematisere kendte resultater i en deduktiv sammenhæng af aksiomer, definitioner og teoremer, og her skelnes mellem global systematisering og lokal systematisering. En lokal systematisering kan identificere eventuelle inkonsistente argumenter, simplificere matematiske teorier og sammenholde forskellige teoremer og andre matematiske udsagn. En global systematisering er det overblik og den indsigt, den 17 Som svarer til Bells Explanation (Bell, 1976) 61

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 aksiomatiske struktur skaber over et givent emne 18. Systematiseringen bidrager altså til at samle sande, individuelle og ikke-relaterede udsagn til et samlet hele. Matematiske undervisningsbøger er ofte bygget op på den måde, at en sætning bliver præsenteret og herefter bevist. Dette bygger formentlig på en opfattelse af, at matematiske teoremer opstår intuitivt eller via empiriske observationer og herefter bevises. Men historisk set er der masser af eksempler på, at den deduktive systematisering genererer nye resultater og det er et eksempel på opdagelsesfunktionen af beviset. [Vores bog er anderledes] Ud over de nævnte bevisfunktioner, så muliggør et bevis også matematisk kommunikation - en social interaktion. Matematiske argumenter og beviser er henvendt til læsere, som har en forudsætning for at forstå afsenderens intentioner, og beviser kan derfor skabe en kritisk debat. I undervisningen er den traditionelle rolle og funktion af beviser ifølge De Villiers, at vi skal beskæftige os med dem, fordi det står i pensum eller fordi vi gennem et bevis kan verificere at noget er rigtigt. Den generelle holdning blandt undervisere er, at det deduktive bevis (og dermed beviset i en verificerende funktion) er den eneste måde til at blive overbevist om, at noget er sandt. Det er det billede De Villiers vil bryde med, fordi bevisførelse i så fald ikke vil give mening for eleverne - specielt ikke i de tilfælde, hvor vi vil bevise noget, som empirisk ret åbenlyst er sandt. Vi bør derfor som undervisere trække på bevisets forskellige funktioner i et forsøg på at gøre det meningsfyldt for eleverne. De Villiers skriver sidst i artiklen: [ ] pupils basically have the same need for meaningful activities as mathematicians, which include knowing, understanding or experiencing the functionality (usefulness) of the activities they are involved in. 19 18 Det minder om Bells Illumination(Bell, 1976) 19 De Villier, s. 23 62

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bevisskemaer (Harel & Sowder, 2007) I artiklen Toward Comprehensive Perspectives on the Learning and Teaching of Proof af Harel og Sowder undersøges det matematiske bevis. Harel og Sowder fortolker ordet bevis subjektivt sådan: A proof is what establishes truth for a person or a community. (Harel & Sowder, s. 806). Undersøgelsen bygger på årtiers studier af hvordan man beviser og hvordan man underviser i bevisførelse. Den subjektive fortolkning af begrebet bevis understøtter erkendelsen af, at elever tilegner sig ny viden ved at bygge videre på den viden, de allerede har. Som underviser er det derfor afgørende, at identificere elevernes forhåndsviden for at kunne videreudvikle den. Målet er, at få eleverne til at udvikle en forståelse af bevisbegrebet, som svarer til den praksis, der er i dag. Der er mange faktorer, der spiller ind når man gerne vil prøve at definere hvad et bevis er, og hvorfor eleverne har så svært ved bevisbegrebet, f.eks. matematiske og historiskepistemologiske 20 faktorer, kognitive faktorer og socio-kulturelle faktorer. Det at bevise noget handler om at fjerne tvivlen om, hvorvidt en påstand er sand eller ej - både ens egen tvivl (ascertaining) og andres (persuading) ((Harel & Sowder, s. 808). Der skelnes i den sammenhæng mellem formodning og faktum. Hvis man bliver overbevist om sandheden af en formodning, bliver den til et faktum. Hvordan man opfatter bevisbegrebet afhænger af, hvem man er og hvor man er i sit uddannelsesforløb, og til det formål indføres bevisskemaer. Bevisskemaer defineres sådan: A person s (or a community s) proof scheme consists of what constitutes ascertaining and persuading for that person (or community). (Harel & Sowder, s. 809) 20 Note til mig selv: Erkendelsesteoretisk/videnskabsteoretisk 63

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 På trods af definitionens subjektive karakter er målet for underviseren (som nævnt) at udvikle elevernes bevisskemaer så de svarer til det der praktiseres i dag. Bevisskemaerne inddeles herefter i 3 taksonomiske niveauer, der baserer sig på: 1. Ekstern overbevisende bevisskemaer (afhænger af bogen/læreren, af den måde argumentet fremlagt på i bøgerne eller af symbolmanipulation som ikke relateres til elevernes virkelighed eller til problemstillingen i sig selv 21 ) 2. Empiriske bevisskemaer (baserer sig på eksempler eller andre iagttagelser) 3. Deduktive bevisskemaer (bygger på logiske omskrivninger ud fra en generel antagelse) Elevernes bevisskemaer befinder sig hovedsagligt inden for de to første niveauer, så udfordringen ligger i at udnytte deres eksisterende bevisskemaer til at udvikle det deduktive (s. 817). Hvordan får vi eleverne til at se nødvendigheden af at udvikle deres bevisskemaer? Ekstern overbevisende Empirisk Deduktiv Autoritet (bog/lærer) Induktivt Omskrivninger Rituelt (hvordan det præsenteres) Perception (iagttagelser) Kausalitet Uden referencer Græsk aksiomatisk Moderne aksiomatisk Den skelnen, der ligger bag opdelingen mellem græsk og moderne matematik kræver en kort historisk forklaring. I den ældre før-græsk matematik arbejdede man ud fra en empirisk erfaring. 2121 Der refereres også til et andet bevisskema (referential symbolic proof scheme), hvor de symbolske manipulationer opfylder intentionen med at føre til nye informationer om en given problemstilling (Harel & Sowder, s. 811). 64

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Grækerne løftede matematikken fra en praktisk til en abstrakt videnskab. Logisk deduktion stod centralt i bevisførelsen, og i den forbindelse indførte grækerne aksiomer og postulater - påstande som ikke skulle bevises. De deduktive ræsonnementer dominerede matematikken i den vestlige verden op til slutningen af 1800-tallet og er for så vidt stadig aktuelle i dag (Harel & Sowder, s. 812). Kernen i grækernes beviser er indholdet og ikke formen (i modsætning til moderne matematik). Det var da der senere indførtes symbolsk notation, algebra og endnu senere analytisk geometri (i 1600-tallet) at fokus skiftede fra resultatet af de matematiske operationer (indholdet) til selve operationen (formen) ((Harel & Sowder, s. 817). I forbindelse med en uddybning af bevisskemaerne ovenfor inddrages De Villiers fem forskellige betydninger af et bevis (De Villiers, 1990): Verifikation, Systematisering og Opdagelse Det svarer her til et aksiomatisk bevisskema Forklaring Det svarer her til kausalitets-bevisskema Kommunikation Det indgår i selve definitionen af et bevisskema, nemlig at det handler om at fjerne ens egen tvivl (ascertaining) og andres tvivl (persuading) om sandheden af en antagelse (Harel & Sowder, s. 809). Harel & Sowder gennemgår nu forskellige studier som de fortolker ud fra bevisskemaer. Pointen er, at deduktive beviser i form af logiske omskrivninger fylder ret meget i matematikundervisningen i dag, og det deduktive skal derfor gerne blive en del af elevernes bevisskemaer. Omskrivningerne (The Transformational Proof Scheme) kan karakteriseres ved det almen gyldige, det operationelle og de logiske følgeslutninger. Det er især følgeslutninger i forbindelse med hvis-så -udsagn, som ifølge undersøgelserne volder problemer (Harel & Sowder, s. 826). Problemet er, at mange mener, at hvis man vender hvis-så-udsagnet om, så der det stadig det samme udsagn (sådan en opgave findes også i detektionstesten). Det er også rigtigt i forbindelse med mange især geometriske teoremer, så måske er det et forstyrrende element i forbindelse med en logisk måde at tænke på. En anden snublesten kan være, at logiske udsagn fra 65

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 dagligdagen kan afvige væsentligt fra den måde, vi anvender logik i matematik. Et eksempel er ordet eller som i en sproglig kontekst betyder enten-eller (men ikke begge dele) men som i en matematisk kontekst (x = 4 eller x = 6) betyder at begge dele kan gælde. Lærerne og læring Lærerne spiller en stor rolle i forbindelse med at få etableret deduktive bevisskemaer hos eleverne. I forbindelse med udviklingen af elevernes bevisskemaer spiller de socio-matematiske (og socio-kulturelle) normer ind (beliefs). Viden skal forstås ud fra den sociale kontekst, den udvikles i. Læring er altså et produkt af en social interaktion, og den didaktiske kontrakt må betyde noget i forhold til, hvordan man får eleverne til at arbejde med matematik og matematisk bevisførelse. I dag findes mange tekniske hjælpemidler, og Harel & Sowder undersøger, om brugen af tekniske hjælpemidler har en indflydelse på forståelsen af beviser. Ved at generere mange eksempler (nemt og hurtigt) kan man i hvert fald understøtte elevernes empiriske bevisskemaer og siden måske skabe et behov for et deduktivt bevis 22 (Harel & Sowder, s. 833). Hvis man gerne vil have eleverne til at tænke på den måde, må man i sin undervisning sammenligne de to forskellige tilgange til det at bevise. Problemet med de deduktive beviser kan være, at eleverne ikke kan gennemskue den generelle gyldighed og derfor ikke føler sig sikre på, at beviset i sig selv er tilstrækkeligt til at validere at et givet udsagn er sandt, eller at det ikke er muligt at komme med et modeksempel. Andre undersøgelser peger på, at man for at styrke elevernes deduktive bevisskemaer skal undertrykke de autoritative bevisskemaer (for at få eleverne til at tænke selv), men uden at ignorere de empiriske skemaer (som stadig er vigtige for forståelsen). Så tekniske hjælpemidler kan ikke alene forbedre bevisskemaerne, men brugt på den rigtige måde kan de understøtte og udvikle de empiriske skemaer hen mod de deduktive, som involverer logik. Spørgsmålet, som Harel & Sowder stiller, er om det fremmer elevernes deduktive bevisskemaer at vi underviser i eksplicit i logik. Svaret er, at det gør det umiddelbart ikke, men at der muligvis er en positiv sammenhæng mellem hvor ofte læreren anvender og italesætter logiske slutninger i den daglige undervisning og elevernes evne til at tænke logisk selv. 22 Det vil vi forsøge at gøre i vores intervention 66

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Faren ved at arbejde med empiriske bevisskemaer er, at eleverne baserer deres forståelse og argumentation på egne billeder i stedet for at argumentere ved hjælp af induktive og deduktive argumenter. Der mangler en forståelse af funktionen af beviser, så det ikke kun opfattes som en verifikation af noget, de allerede ved. Mange undervisere anvender ikke beviser med fokus på deres forklarende funktion. Hvorfor kan elever ikke bevise - hvad forventer vi af dem? (Dreyfus, 1999) Artiklen Why Johnny Can t Prove af Tommy Dreyfus handler om, at evnen til at bevise afhænger af en bestemt måde at tænke på, som eleverne sjældent dyrker i undervisningen. I matematikundervisningen er der de seneste år fokuseret mere på, at eleverne skal kunne forklare sig og det kræver argumenter og muligvis endda beviser. Artiklen fokuserer på skriftlige forklaringer til opgaver stillet af en lærer eller opgaver fra en bog, og der stilles en række spørgsmål i forbindelse med, hvad vi som undervisere så forventer os af elevernes besvarelse og forklaringer. Hvornår accepterer vi elevernes forklaringer og ud fra hvilke kriterier? Hvornår forventer vi et bevis? Skal eleverne overbevise en ligesindet, en lærer eller en matematiker? Og er elevens svar tilfredsstillende for eleven selv og samtidig for læreren 23? Der gennemgås en række eksempler på opgavebesvarelser fra første års universitetsstuderende. Opgaverne er en del af en skriftlig aflevering, og eleverne har fået at vide, at det er vigtigt, at de forklarer, hvad de gør og hvorfor de gør som de gør, og at forklaringsgraden indgår som en væsentlig del af bedømmelsen af opgaven. Der fokuseres i artiklens gennemgang af besvarelserne på manglende eller mangelfulde forklaringer til rigtigt forståede opgaver frem for at fokusere på de opgaver, som eleverne ikke kunne løse. Fokus er altså på forklaringsdelen. Efter gennemgangen af forskellige besvarelser, der indeholdt mangler på forskellig vis (manglende matematiske argumenter, manglende tekst, sproglige matematisk upræcise formuleringer, ufuldstændige besvarelser, hvor kun en del af opgaven er besvaret), opstilles nye spørgsmål til videre undersøgelse, f.eks.: Hvad er vigtigst i en besvarelse, og hvordan ved eleverne, hvad læreren vil have? (Udregninger, relationen mellem udregning og facit, proceduren osv.) 23 Hænger sammen med elevens bevisskema - hvornår er elev selv overbevist 67

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Hvordan vurderer man matematiske forklaringer? Hvor dybdegående skal en forklaring være? (Skal man trække tråde tilbage til de bagvedliggende definitioner? Skal det være ligeså stringent som et matematisk bevis?) Kan vi afgøre om en elevs problemer er sprogligt forankret frem for matematisk forankret? Dreyfus efterlyser mere forskning på området og han konstaterer, at det at forklare sig er rigtig svært (s.93). Han konstaterer ud fra tidligere forskning på området, at rigtig mange elever - både i gymnasiet og videre i uddannelsessystemet ikke ved, hvad er bevis er (f.eks. Fischbeins undersøgelse, 1982) og hvad man kan bruge det til. De har svært ved at følge en kæde ræsonnementer (f.eks. Finlow-Bates, Lerman og Morgan, 1993) og de accepterer induktive argumenter som gyldige beviser i højere grad end deduktive argumenter (f.eks. Martin og Harel, 1989). Målet med Dreyfus undersøgelse er at forsøge at identificere, hvorfor det forholder sig sådan (s. 94). I en tidligere undersøgelse i en 5. klasse (Lampert, 1990) konkluderes det, at man kan opdrage en klasse til, at samtalen om matematik (forklaringerne og deduktive argumenter) er det primære når en idé skal indarbejdes og forstås (og ikke læreren eller bogen). Men det viser sig, at det ikke bliver dyrket videre frem i gymnasiet. Det at kunne forklare sig på en matematisk acceptabel måde er en socio-matematisk norm, som etableres i klasserummet i samspillet med læreren. Det gælder om, at påvirke elevernes forestilling (belief) om det matematiske argument, så de med tiden kan få et deduktivt bevisskema. Der er desværre ikke så meget fokus på de sociomatematiske normer på universitetsniveau (og nok heller ikke i gymnasiet). Men eleverne spejler sig i deres underviseres måde at italesætte matematik og matematiske argumenter, og det påvirker således de socio-matematiske normer i klassen. Efter en gennemgang af forskellige opgavers anvendelse af formelle argumenter eller mangel på samme, pointerer Dreyfus, at de ræsonnementer der præsenteres i klasserummet ofte er mindre formelle end bøgernes præsentation (s. 99). Så hvordan definerer man en acceptabel forklaring fra eleverne? Skal den være på niveau med bøgernes formelle argumentation, lærerens simplificerede version eller er elevernes måske knap så matematisk korrekt formuleret sproglige argumenter nok? 68

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Der skelnes i forskningen mellem begreber som forklaring, argument og bevis, og vi bør som undervisere tydeliggøre over for eleverne, hvad vi forventer af dem, hvis de bliver bedt om at forklare, argumentere eller bevise. Bevis for spørgsmålet om hvorfor (Dreyfus & Hadas, 1966) Elevernes behov for at bevise afhænger meget af deres læseplan og aktiviteterne som eleverne bliver udsat for samt på hvilke måder spørgsmål bliver stillet på. Det viser sig at empiriske tilgange til geometri kan anvendes til at opnå didaktiske situationer, hvor eleverne kræver beviser. 1. Behovet for beviser Et bevis er en vigtig del i mange skolers læseplan især inden for emnet geometri. Det afhænger ikke af om hensigten med beviset er at overbevise eller forklare (jf. Hanna 1990). Et bevis som forklarer hjælper eleven med at blive overbevist og omvendt hvis eleven bliver overbevist så er det fordi det har en forklarende værdi. Man har længe oplevet elevernes sværhed inden for beviser og man har lavet forskellige former for interventioner for 9.klasses elever i Israel. Det der har en altovervejende status er at eleverne ikke mærker behovet for at bevise og at de ikke kan se den overbevisende og forklarende rolle for et bevis. Grunden til det er at eleverne bliver bedt om at bevise Euklids geometry, som er meget uklar for dem. I de seneste år har computer og programmer som anvendes til geometri blevet meget udviklet. Dette har medført en empirisk tilgang til geometri, hvor eleverne eksperimenter med geometriske størrelser. Dette har medført at elevernes vilje og evne til at undersøge, generalisere og gætte er blevet styrket. Disse redskaber har en vigtig rolle i klasserummet, men styrker ikke nødvendigvis elevernes forståelse af bevisets rolle. Der henvises til bl.a. Laborde(1993), som har lavet en teoretisk analyse om computerens rolle i undervisningen og advarer med at computeren meget nemt kan blive en sejr af induktivismen. Andre (Chazan, 1993) hentyder til at den empiriske tilgang vil føre til en yderligere svækkelse af bevisets rolle i undervisningen og man er kommet frem til at eleverne ikke vil kunne skelne imellem empiriske beviser og beviser. I denne artikel påstås at elevernes forståelse af bevisets rolle afhænger af læseplanen, men i høj grad af de spørgsmål der stilles og på hvilke måder de stilles. Man vil vise at man vha. 69

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 empiriske tilgange kan skabe didaktiske situationer, hvor eleverne indser betydningen af at bevise. Interventionen i denne artikel tager brug af geometriprogrammet Inventor og transparenter. Alle aktiviteter er blevet afholdt i klassen og læreren krævede intet bevis, men eleverne efterspurgte en forklaring. Sommetider gik de selv i gang med at bevise og eleverne havde i nogle tilfælde svært ved at tro på resultatet af de empiriske beviser. 2. Behovet for bevis i klasserumssituationer 2.1 Hvor mange elementer skal der til for entydigt at bestemme en trekant? Eleverne bliver bedt om at vise kongruensen af forskellige trekanter. Eleverne bliver sjældent bedt om at afbilde for at se 1-1-overensstemmelse mellem elementerne af trekanterne eller om at undersøge under andre betingelser, da disse metoder vil ødelægge både den overbevisende og den forklarende effekt af beviset. For at udvide emnet om kongruens bliver der stillet flere uddybende spørgsmål. f.eks. kan to trekanter have tre ens elementer og stadig ikke være kongruente? Hvad med fire? fem? På denne måde blev der skabt en del aktivitet for klassen og resultatet bliver både forklarende og overbevisende. Som en sidebemærkning så blev der anvendt formuleringen: To trekanter er kongruente hvis i stedet for En trekant er entydigt bestemt ved. Selvom formuleringerne lyder ens logisk set, så er de forskellige kognitiv set. For ikke at skabe en barrier for eleverne så valgtes den første formulering. Denne tilgang til undervisningen gjorde at man kunne stille åbne spørgsmål til eleverne og på denne måde lade eleverne undersøge og blive overrasket, sådan at de kom op med sætninger, som de var nødt til at bevise. For at eleverne skal opnå forståelse af begrebet kongruens blev de altså udsat for en række computerbaserede eksperimenter, hvor eleverne får givet to trekanter og at de så skal ændre på nogle parametre. I artiklen s. 2-3 har man altså beskrevet nøje de instruktioner, man har givet eleverne. Eleverne kom frem til at to givne størrelser ikke er nok til at afgøre kongruens, men tre er. Eleverne bliver så bedt om at opbygge to ikke-kongruente trekanter med tre opgivne størrelser. Typisk får eleverne given en trekant og bliver bedt om at tegne en anden trekant, hvor en side og to vinkler er ens med den opgivne trekant. Mange elever indså at de var nødt til at gøre noget anderledes. Ved at prøve sig frem lykkedes det eleverne at løse problemet, dog ikke nødvendigvis fra første forsøg. Sådan blev man ved, 70

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 ved at lade eleverne prøve sig frem med fire, fem og seks og til sidst afsluttedes med en opsamling i klassen. 2.2 Skal det være et parallelogram? Eleverne bliver bedt om at konstruere en firkant, hvor de modståede vinkler er ens og de modstående sider er lige lange. Hertil blev der brugt transparenter i stedet for computer. Det lykkedes eleverne meget hurtigt at komme frem til at sådan en firkant er et parallelogram. De argumenterede for deres gæt ved at brug af kongruens mellem de to trekanter, hvilket er forkert. Læreren viste så et andet eksempel, som ikke er et parallelogram. Nogle elever blev frustreret over at resultatet, men dette gav anledning til behovet for et bevis. 3. Andre didaktiske situationer 3.1 Trekantens højde Det er nemt at konstruerer en trekant, hvor en af højderne falder uden for trekanten. Men er det muligt for to højder? tre? For nogle elever var det indlysende at det ikke var muligt med tre. Men de var overbevist om at det godt kan lade sig gøre med en. Vha. interventionen med computerprogrammet blev de forbavsede. 3.2 Indskreven vinkel af en cirkel Her blev computeren ikke anvendt men transparenter blev anvendt i stedet. 71

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Ideen var de skulle undersøge muligheden for at have vinkelspidsen i cirklen og samtidig sørge for at siden passere gennem punkterne A og B. Selvom de i forvejen havde haft om sætningen, så brugte de den ikke. Det lykkedes for eleverne at indse at alfa-vinklen kan placeres på uendeligt mange positioner og stadigvæk opfylde betingelserne. Da de så prøvede med beta-vinklen blev de skuffede over at det ikke lykkedes. Dette motiverede dem til at finde forklaringen. De tog udgangspunkt i sætningen for at forklarer, på den måde blev de mere opmærksomme på sætningen og gør brug af den når der er behov for det. 3.3 Firkanten diagonaler Hvad kan du sige om en firkant, hvor diagonalerne er lodrette og ens? ikke noget i starten, men man kan så lade eleverne udfører noget eksperimentelt på computeren, hvor det bliver til et kvadrat, så bliver de mere modtagelige over for et bevis. 3.4 Vinklen som halverer en firkant Beviset for at vinkelhalveringen for en trekant rammer i et punkt er en standard inden for enhver Euklid geometri og for 9.klasses elever som har prøvet en del med computerprogrammet føler ikke et behov for et bevis. Derfor kan de alligevel bruges, hvis man udvider den og stiller eleverne spørgsmål som for eksempel på hvor mange punkter kan fire linje gå igennem? Her bør eleverne indse at e fire linjer skærer tre steder. Så stilles det samme spørgsmål, men nu med en firkant. Eleverne vil så komme frem til at der er en mindre og dette vil så lade dem søge efter en forklaring. 4. Situationer som fremkalder behovet for bevis I denne artikel har man forsøgt at fremkalde et behov hos eleverne for at bevise. Det gælder generelt om at overbevise dem om nogle fænomener inden for geometri ved at stille dem åbne spørgsmål. Man har både anvendt et computerprogram og transparenter, hvor det har været mest hensigtsmæssigt. Man konkludere at man sagtens kan anvende computer til formålet. Det vigtigste er at eleverne bliver overraskede, sådan at de for behov for at vise såvel et forklarende bevis som et overbevisende bevis. 72

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Tillader teoremer undtagelser? Solide resultater i Mathematics Education om Empiriske bevisskemaer (EMS, 2011) Et af målene med at undervise matematik er, at frembringe formålet med matematiske beviser. For mange er det ikke klart hvad et universelt gyldigt bevis vil sige. Kilden til problemer som mange lærere støder på i forbindelse med beviser er at eleverne ikke kan skelne imellem hverdags tænkning og matematisk tænkning. Forud for denne artikel har man undersøgt mange elevers begrebsopfattelse af bevis og man er kommet frem til at mange elever viser eksempler, når de bliver bedt om at bevise en universel påstand. I denne artikel ser man nærmere på dette fænomen. [K viser tegn på dette under diagnosticeringen] En matematisk påstand er kun gyldig hvis den gælder uden undtagelser, hvilket er i modsætning til hvad eleverne møder i hverdagen. Selvom eleverne får instruktioner i hvad et matematisk bevis er, så har de svært ved at give slip på at bevise ud fra eksempler. Det siges at eleverne har et empirisk bevisskema, når de benytter sig af vise at påstanden gælder ud fra nogle beviser. Harel og Sowder har studeret elevers forståelse af matematiske beviser. Eleverne har været matematik studerende på universitetet. Det viste sig at de studerende havde meget svært ved at give slip/ændre på disse empiriske bevisskemaer også efter at de er blevet instrueret i det. Men nogle matematiklærer benytter sig også af empiriske bevisskemaer. Martin og Harel (1989) præsenterede fire påstande, som hver især bestod af et generelt bevis og bevis ved eksempler. En af påstandene var: Hvis c er delelig med b med 0 i rest og b er delelig med a med 0 i rest, så er c delelig med a med 0 i rest. Færre end 10 % af de studerende så at det var ugyldigt at anvende eksempler. 50 % til 80 % af lærerene accepterede beviserne med eksempler. Flere matematikdidaktikere har studeret elevernes bevisskemaer. Balacheff (1987) inddelte bevisskemaerne i to underkategorier: godtroende empirisme og afgørende eksperiment. Med godtroende empirisme menes at man tjekker specifikke cases (systematisk). På den anden side så menes der med det afgørende eksperiment, at man anvender et stort tal og hvis udsagnet er sandt for det store tal, så gælder det for alle tal. Fischbein (1982) undersøgte også elever på et israelsk high school i forhold til det universelle bevis, hvor han kom frem til at selvom eleverne var kommet frem til det korrekte bevis, så havde de behov for at vise det ved et eksempel. Tyske elever viste også en svaghed, hvor 46 % erkendte at denne metode var utilstrækkelig. Elever fra 73

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 U.S kunne heller ikke skelne mellem et empirisk og deduktiv bevis. Andre viste at 70 % af eleverne fra grundskolen (udskolingen) anvendte eksempler. De empiriske bevisskemaer er en konsekvens af andre videnskaber inkl. naturvidenskab og hverdagssituationer. Det formuleres således Begrebsbilledet af det formelle bevis er helt uden for traditionel tænkning. Det er vigtigt for os lærere at være dybt opmærksomme på at lade eleverne opnå en forståelse (belief), når de bliver bedt om at bevise. Et andet studie (London) viste at størstedelen af eleverne anvendte empiriske bevisskemaer. Nogle anvendte deduktive ræsonnementer og andre forklarende argumenter. En anden vigtig pointe er uklarheden om logiske slutninger, som er en basal ingrediens i bevisførelsen. Man har stillet eleverne følgende to syllogistiske argumenter: a) Ingen retvinklet trekant er ligesidet og nogle ligebenede trekanter er ligesidet. Det følger at nogle retvinklede trekanter er ikke ligebenede b) Ingen hund er en drøvtygger og nogle firbenede dyr er drøvtygger. Det følger heraf at nogle hunde ikke er firebenede. Opbygningen af de to ovenstående eksempler er logiske, men den sidste i b) er selvfølgelig forkert. Igen viser ovenstående at deres forklaringer bygger på empiriske bevisskemaer. Dette rejser et mere generelt problem i forhold til matematiske undersøgelser: Er få eller mange eksempler tilstrækkeligt til at gøre et solidt resultat? Eller begår vi en fejl ved anvendelsen af empiriske bevisskemaer til opbyggelse af et solidt matematisk resultat? At argumentere i samfundsvidenskab er ikke det samme som at bevise i matematik. I matematikvidenskab spiller andre faktorer en rolle, såsom pædagogiske, psykologiske, sociale og kulturelle spørgsmål. Som tidligere beskrevet så skyldes disse empiriske skemaer at eleverne har svært ved at skelne mellem de to verdener- den matematiske og den daglige. Fordi vi er mere erfarende, så kan vi nemt skelne. Skal eleverne ikke have lov til at tage udgangspunkt i noget de kender til? Gør vi ikke også det? Et andet eksempel som bliver nævnt er Der er 6 gange flere studerende som der er lærere. Eleverne skriver 6S=P, hvilket igen viser at eleverne betragter S og P som objekter og ikke som variable. På samme måder skriver vi 1 euro = 100 cent (IKKE matematisk korrekt), men bør skrive 74

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 100E=C, som betyder at vi bliver nødt til at gange antal euro med 100, for at få antal cent. Disse eksempler er igen bevis på at hverdags tænkning har stor betydning for at man ikke helt kan forstå matematikken og finder den abstrakt. En af måderne kunne være at gøre forskellen, mellem de på måder at tænke på, mere synlig for eleverne. Dette kræver at vi foreslår bevis metoder, der gør eleverne i stand til at overføre empiriske argumenter til gyldige beviser og til at undersøger, hvad sådan en proces kræver. Denne overførsel kræver at eleverne kan se meningen med et bevis. Eleverne bør også se, hvorfor det ikke er nok med eksempler. Harel (1998) fokuserede på det at opfostre elevernes intellektuelle behov og Dreyfus og Hadas (1996) opstillede problemstillinger, som generede et psykologisk behov for et bevis. Andre lærere har taget udgangspunkt i et specifikt tilfælde for derefter at fremtvinge et behov for at bevise hos eleverne. Til sidst bliver der i artiklen nævnt metoden med et videnskabeligt debat i klasserummet, som det er blevet afprøvet i Frankrig. Det viste sig at denne metode også gav gode resultater i forhold til at eleverne fik behov for et bevis. Pædagogiske aspekter ved at bevise (Hanna, 1990) I denne artikel skelner Gila Hanna mellem tre begrebsopfattelser af bevis i matematik. 1) Det formelle bevis består af en endelig sekvens af formler. Det formelle bevis tager udgangspunkt i et eller flere aksiomer og hvor de efterfølgende udledninger fremkommer af de foregående formler i sekvensen. Man anvender en slutningsregel i de enkelte trin. Hanna 1990 kommer ind på historien om det formelle bevis og drager i sin artikel paralleller til grækerne (Aristoteles og Platon). Leibniz(1646-1716) mål var også at udvikle et symbolsk skrift, som vil fjerne al tvivl og uklarhed omkring sand og falsk. Udviklingen af det formelle bevis fortsatte af Frede(1848-1925), som udtænkte et formel begrebsskrift. Hilbert (1862-1943) arbejdede videre på det formelle dog inden for geometrien, hvor det nogle gange var nødvendigt at kende til objekter uden for matematikken. Men nye begreber om geometriske regler skulle udspringe fra aksiomer og definitioner inden for systemet. Dette medfører at en metafysisk tilgang var udelukket. Gödel viste i 1931 at nogle teorier ikke kan bevises inden for det formelle system og at der findes sætninger i et formelt system som hverken kan bevises eller modbevises. Set fra et filosofisk synspunkt er Tymoczko(1986) enig og mener at de formelle beviser (systemer) vil 75

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 gøre matematikken til en begrænset videnskab. Alligevel er der institutioner (der gøre brug af denne formalisme, da denne indeholder deduktion og grundighed, som har bidraget til en blomstring af matematikken ved årsskiftet og havde også en varig effekt på matematisk praksis. Lærerene er også blevet påvirket af denne formalisme, som anvendes til forberedelsen til ny matematik. Det interessante er at lærerene har opnået en opfattelse af at det formelle bevis i sig selv er et hjælpemiddel til at forstå og dermed udgøre en anvendelig didaktisk metode. 2) Det acceptable bevis: De sidste årtier er matematikere begyndt at revurdere det formelle bevis. Der er bred enighed om at der kan være forskellige grader af formalitet og stadigvæk have den samme grad af accept. Dette leddede hen til tanken om hvad det ideelle bevis er og hvad man bør undervise i på skolen. Matematikere kom frem til at et bevis vil være meningsløst hvis det kun er formen der er gyldig og ikke indholdet. Når et matematisk bevis bliver accepteret er det betydningen af hvad der vises snarere end korrektheden af beviset der bære vægten. Alligevel insisterede matematikere i at følge deres egen vurdering, når de skulle tage stilling til om de skal acceptere et bevis. Er det form eller indhold? Det viste sig for matematikere, bevidst eller ubevidst, at det er nogle kriterier, som skal være opfyldt for at acceptere et bevis. Et bevis skal tage udgangspunkt i accepterede forudsætninger og præsentere fejlfrie argumenter, som leder hen til et resultat som giver mening i en matematisk kontekst. Et bevis skal gennem disse punkter for at blive accepteret, men at teste formaliteten af et bevis tager man nogle gange ikke hensyn til. Fetzer (1988) argumenterer for at det der gøre et bevis til et bevis er mere gyldigheden end accepten (af os). Derfor er den sociale behandling af et bevis ikke nødvendig for at et bevis kan blive gyldigt. Alligevel vælger mange matematikere at fortsætte deres arbejde uden at bekymre sig om formaliteten af deres beviser. For at få sit arbejde publiceret er der nogle forudsætninger, men beviserne behøver ikke at være grundige eller færdige. En betydende faktor i accepten af et bevis er selvfølgelig værdien i beviset set med matematikerenes briller. Det samme gælder sandheden af et bevis. Matematikere værdsætter et bevis som har interessante implikationer inden for grene af matematikken, 76

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 hvor det giver indsigt i relaterede områder. Et bevis er værdsat for at bringe matematiske forhold mere end for at demonstrerer korrektheden af et resultat. 3) At underviser i beviser: I de seneste år er man begyndt at revurdere betydningen af det matematiske bevis i læseplanen. Man bevæger sig væk fra de hidtil definerede formuleringer, som viste afhængigheden af det formelle bevis og man er begyndt at tale om troværdige argumenter. Man har også sat fokus på måder til at demonstrere gyldigheden af matematiske resultater i klasserummet, hvilket har ledt hen til flere studier om det at undervise i matematiske beviser. Leron (1983) mener at de formelle beviser i lærebøgerne gør lidt ud af forklaringer at de matematiske ideer i de enkelte trin. Han mener derfor at et bevis bør deles op i selvstændige/uafhængige sekvenser, hvor hver sekvens har sin særlige idé. Volmink (1988) argumenterede for at matematiske studier vil have gavn af at lægge vægten på forståelsen/accepten af et bevis på bekostning af de formelle beviser. Der var forskellige tiltag til hvordan man skulle gøre beviser mere forståelige. F.eks. foreslog Balacheff (1988) vigtigheden er at udsætte eleverne i et klasserum for komplekse opgaver, så de kan mærke nødvendigheden i udforme gyldige argumenter. Flere matematikere kom med bud på didaktiske metoder til at undervise i bevisførelse og de havde primært fokus på et bevis som et gyldigt argument og ikke at det både skal være gyldigt og forklarende. Hanna pointerer vigtigheden af at præsentere over for eleverne beviser der forklarer end beviser der kun beviser. Hanna skelner tydeligt mellem disse to former for beviser. Et bevis der kun beviser: Beviser at en sætning er sand og bygger på Rationes cognoscendi ( Hvorfor det forholder sig sådan. Herudover bygger denne type beviser på induktion eller syntaktiske overvejelser alene. Et bevis der forklarer: Viser ud over dette hvorfor en sætning er sand og bygger på et sæt af rationelle forklaringer deraf Rationes essendi ( hvorfor det er sådan ). Der gives i artiklen eksempler på de to former for beviser: 77

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Summen af de første n hele tal er lig n(n+1) 2 bliver bevist på to (tre) forskellige måder. Her viser hun et konkret eksempel, som viser forskellen på de to former for beviser. Hun viser også et geometrisk bevis, som hun også mener vil falde ind under beviser der forklarer. Om indirekte beviser (Leron, 1985) Uri Leron fokuserer i sin artikel A direct approach to indirect proofs, 1985, på den frustration som studerende ofte møde indirekte beviser med. Hans observationer bringer ham til følgende refleksioner. Der er psykologisk faktorer på spil når det angår matematisk tænkning i forbindelse med modstridsbeviser. De fleste ikke-trivielle beviser bygger på en matematisk konstruktion (af et tal, en funktion, et punkt). I bedste fald konstruerer den lærende en mental enhed der korresponderer med beviset, et billede måske som der kan manipuleres med i bevidstheden. Dette giver en følelse af at vi arbejder med en matematisk virkelighed. Ved indirekte beviser begynder vi med at antage at det modsatte af hvad der ønskes bevist gælder, hvorefter vi gør os anstrengelser for at vise at denne antagelse er forkert og sætningen derfor korrekt. Dette involverer en handling af matematisk destruktion, vi begynder med en falsk, umulig verden og bagefter river vi den ned ved at bevise dens umulighed. Formelt er alt i orden men psykologisk mener Leron at iagttage at den studerende føler sig snydt og bedraget. Vedkommende sidder tilbage med en følelse af at intet er blevet vist og at være spillet et puds. Uri Leron foreslår en alternativ tilgang. I mange indirekte beviser er hoved konstruktionen uafhængig af den negative antagelse og de to kan adskilles, hvorefter beviset så at sige falder på plads. Han eksemplificerer med beviset for at der er uendelig mange primtal som jo klassisk vises ved hjælp af en modstrid. Selv en meget omhyggelig, skridt-for-skridt gennemgang af modstridsbeviset fra Lerons side havde efterladt hans elever i forvirring. Han valgte en ny tilgang og begyndte således: We first introduce a construction (an algorithm) whereby given any list of primes, say p1, p2, p3 pn, a new prime can be obtained. The construction and its proof are as before, namely produce the number M = p 1 p 2.. p n + 1 and pick up any of its prime factors. (Leron, s.322, 1985) Citatet indeholder en konstruktion men ingen antagelse om at det modsatte af hvad der ønskes bevist gælder. De studerende følger sig på nogenlunde kendt grund. De kan oveni købet bruge 78

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 algoritmen og finde flere primtal. Klassen vender sig nu mod sætningen der ønskes bevist og der spørges: Kan antallet af primtal være endeligt? Hvor konklusionen er, selvfølgelig ikke da konstruktionen garanterer dette. Leron observerede at denne tilgang til beviset var langt mere oplysende og mindre frustrerende og mystisk for de studerende. I sin konklusion opsummerer han følgende fordele ved denne tilgang: De fleste beviser kan udføres i positive mode hvilket gør de studerende i stand til at skabe og manipulerer mentale objekter på den sædvanlige måde. En konstruktiv procedure bliver indlært hvilket sjældent sker af sig selv, når de studerende lærer indirekte beviser. Den konstruktive procedure giver mulighed for aktiviteter der ikke var til stede når der blev opereret med negative antagelser. Aktiviteterne er værdifulde i den proces der skaber de nødvendige mentale billeder der skal manipuleres med under beviset. De giver de lærende en følelse af ejerskab. Udskillelsen af hovedkonstruktionen var en fordel blandt andet fordi den blev skilt fra den negative antagelse. Ofte var den negative antagelse ikke nødvendig og frustrationerne over at skulle operere med en umulig verden formindskes. Beviset fremstår mere struktureret og forståeligt. Matematisk modellering og bevisførelse (Mogens Niss, 2005) I artiklen Modelling and Proving as Forms of Justification- an analytic essay, 2005 argumenterer Mogens Niss for at matematisk modellering og bevisførelse har en del tilfælles specielt når det vedrørende begrundelser for fordringer og erklæringer med et matematisk indhold. Synspunktet er at i undervisning og læring af matematik bør dette tildeles fremtrædende opmærksomhed. Matematisk modellering optræder i lærerplanerne af hovedsagligt 2 årsager. For det første er det et nyttigt værktøj til at styrke elevernes læring af matematik og opnåelse af matematiske kompetencer generelt. For det andet har matematisk modellering en social betydning ved at beskæftige sig med en stor vifte af emner uden for den matematiske verden. I anvendelsen af matematik uden for matematik har modellering af mange årsager den dominerende rolle. Mogens 79

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Niss fokuserer på Mathematical modelling as a mean of justifying claims, and, further down the road, decisions or actions. (Mogens Niss, s.1, 2005) Bevisers og bevisførelses roller I undervisning opsummeres. Studerende forventes at reproducere beviser fra en lærebog eller når det drejer sig om at bevise påstande fra en opgave at de kan levere en kæde af tilstrækkelige argumenter. Meget sjældent bliver beviser og bevisførelse anvendt som et værktøj hvor eleven skal begrunde egne påstande eller fordringer. Traditionelt betragtes matematisk modellering som en udadvendt og nyttig aktivitet der understreger relevansen af matematik. Derimod ses beviser og bevisførelse som den mest indadvendte, teoretiske og rene beskæftigelse inden for faget. Mogens Niss hævder at denne opdeling er uheldigt og potentiel skadelig. Modeller bygges blandt andet med det formål at beskrive et fænomen så dets opførsel kan forudsiges eller afdække mekanismer der kan forklare fænomenets opførsel. Modeller som beskrivelse har til formål at forstå ting. Modeller med det formål at vejlede konstrueres til at lave en billig og sikker undersøgelse en eller anden virtuel enhed for at guide den efterfølgende omgang med den tilsvarende fysiske enhed. Adskillelsen mellem de to former for modellering er baseret på det primære formål med modellen, begge kan være til sted på en og samme tid. Et synspunkt i artiklen er at det er nødvendigt at være opmærksom på denne skelnen når der undervises i matematiske modeller og modellering. Begrundelse har en betydelig rolle i modelleringscyklen ved dokumentation af de matematiske resulter der opnås når spørgsmål stilles inden for det matematiske domæne. Skaberen af modellen laver beregninger osv. der er baseret på matematiske antagelser om objekterne og relationerne mellem disse udelukkende ved hjælp af de værktøjer til begrundelser som er karakteristisk for matematik. Heraf følger at beviser og bevisførelse er afgørende værktøjer for begrundelser inden for modellering. En anden betydelig rolle angår selve den proces hvor fænomenet matematificeres. Her idealiseres fænomenet, antagelser gøres og data indsamles. Alle disse komponenter er essentielle når de slutninger der drages på baggrund af modellen skal 80

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 begrundes. Disse begrundelser er hovedsageligt men ikke alene af en ikke-matematisk natur. Ændres nogle af komponenterne vil modellen ofte give anledning til nye konklusioner måske endda fordre at matematificeringen selv ændres hvilket betyder at de matematematiske begrundelser også må ændres. Hvor modellering således producerer begrundelser til påstande vedrørende forhold uden for matematikken er det bevisers formål at frembringe begrundelser til påstande inden for det matematiske domæne. To forskellige situationer gør sig gældende her. En person beslutter sig for at undersøge og vurdere en andens forsøg på at begrunde et matematisk udsagn ved hjælp af et bevis. I den anden situation kommer en person med et matematisk udsagn og foreslår et bevis der skal begrunde udsagnet. Umiddelbart er det let at identificere hvad der skal undersøges. Er de matematiske slutninger der indgår i beviset korrekte under de givne omstændigheder og antagelser? Mogens Niss pointe er at dette ikke er det eneste betydningsfulde spørgsmål der kan rejses i den forbindelse. Ethvert matematisk udsagn kan bevises hvis konklusionen er en del af antagelse for eksempel hvis enhver trekant antages at være ligebenet, så er enhver trekant ligebenet. Dette er logisk korrekt men fuldkomment ligegyldigt og irrelevant. Hans konklusion er at relevansen og styrken af de antagelser der gøres i forbindelse med et udsagn har en afgørende betydning for betydningen og styrken af udsagnet. De didaktiske konsekvenser der bør drages af dette er ifølge Mogens Niss: I såvel skolen som på universitet bør undervisning i og læring af modellering understrege at begrundelser spiller en stor rolle både når modelleringen foregår og når modellen studeres. Det involverer en blanding af begrundelser der er matematiske i deres natur og hvor beviset er en nøglekomponent og begrundelser der rækker ud over matematikken. Dernæst bør matematiske beviser og bevisførelse ikke først og fremmest fokusere på studerendes passive tilegnelse af færdige og tilrettelagte beviser. Derimod bør fokus ligge på at undervise de studerende i at opfatte bevisførelse og beviser som den fremherskende måde at begrunde udsagn på. Undervisning og læring bør fokusere på de forhold, antagelser og forudsætninger der er karakteristiske i den sammenhæng som er på spil samt på hvilken måde disse betinger øvelsen i bevisførelse og gør de beviste udsagn afhængige af hele opsætningen. 81

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Logisk implikation (Hoyles og Küchemann, 2003). Hoyles og Küchemann beskæftiger sig med elevers forståelse af logiske implikationer. Fokus er på How students learn to move between mathematical proving and those that are rooted in everyday thinking (s.194). Selv når elever forstår formålet med og funktionen af et bevis og har erkendt det er generelt kan de forfalde til empirisk kontrol. Mange synes det øger deres tillid til beviset. Det kan skyldes at eleverne har størst erfaring med empiriske beviser og deres rødder i dagligdags tænkning (Fischbein, 1982). I en undersøgelse af Healy og Hoyles (2000) havde de fleste studerende ikke behov for at verificere empirisk hvilket til dels modsvarer den forrige undersøgelse. Healy og Holyes fandt også at forståelsen for den generelle anvendelighed af en sætning der var bevist hang sammen med elevens samlede score i bevis testen. Studier i forståelsen af implikationer har fokuseret på situationer hvor implikationen anvendes til at drage en konklusion. Generelt har både børn og voksne tendens til at betragte et betinget udsagn og dets omvendte som ækvivalente. De skelner mellem material implication og hypothetical proposition fra Mitchell ( 1962):.material implication, represented by p q", which is part of propositional logic, and hypothetical proposition, represented by if p, q" that asserts only what is the case if its antecedent is realized ( Hoyles og Küchemann, s.196). Det er Hoyles og Küchemanns opfattelse at den sidste tolkning logiske implikationer (hypothetical proposition) er mere passende end den første (material implication) når det drejer sig om matematik i skolen, da eleverne her skal forstå konsekvensen af en implikation når forudsætningen anses for sandt. Nogle forskere har påstået at der med alderen sker en udvikling fra induktivt ræsonnemt mod deduktivt ræsonnemt og mod et højere niveau af generalitet. Holyes og Küchemann mener at der ikke er en evidens for dette blandt andet fordi en systematisk undersøgelse af elevers forståelse af logiske implikationer i skolematematik og hvordan den udvikles over tid mangler. De påtager sig en sådan undersøgelse, der skal fokusere på tre spørgsmål (Hoyles og Küchemann, s.197): 1. How do students who are not taught about the structural meaning of logical implication determine whether a statement of logical implication is true or not true and do their approaches change over time? 82

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 2. Are students aware of the general applicability and logical necessity of the consequent in a statement of logical implication if both the statement and the antecedent are true? 3. How do students conceptualise the relationship of logical implication and its converse and does the conceptualisation change over time? I undersøgelse følges de samme elever over 8. og 9. skoleår så en eventuel forskel i tilgang kan spores. I artiklen analyseres elevernes svar på påstandene i boksen: Joe and Fred are thinking of numbers 3 and 11. They notice that the sum (3+11) is EVEN. They notice that the PRODUCT (3 x 11) is ODD. Joy says: If the SUM of two whole numbers is EVEN, their PRODUCT is ODD. Fred says: If the PRODUCT of two numbers is ODD, their SUM is EVEN. o Are Joe s and Fred s statements saying the same thing? o The PRODUCT of two numbers is 1271. Suppose Fred is right which one of these most also be right? Tick one box. o o o You can be sure that the SUM of the two numbers is EVEN. o You can be sure that the SUM of the two numbers is ODD. o You can t be sure whether the SUM is ODD or EVEN until you know what the two numbers are. Is Joe s statement true? Explain your answer? Is Fred s statement true? Explain your answer Question L1, which concerns a statement of logical implication and its converse Angående spørgsmål 1 viser analysen at elevernes svar på L1c og L1d at de vælger mellem tre strategier en empirisk (X), en fokuseret-empirisk (Y) og en fokuseret-deduktiv strategi (Z). Elever der anvender den rent empiriske strategi X indsætter mere eller mindre vilkårlige tal som ikke nødvendigvis opfylder forudsætningen for at generere data vedrørende summer og produkter. Dernæst prøver de at sammenholde deres data med den påstand de skal evaluere. De har tendens til at anvende specifikke begyndelsesværdier, selvom nogle måske reducere antallet 83

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 af data ved at betragte dem mere generelt som enten lige eller ulige. Nogle anvender en ekskluderende tilgang ved kombination af lige og ulige. Disse ekstra strategier øger chancen for at de kan bruge den empiriske strategi med succes. Ved brug af strategi Y som er fokuseret- empirisk begynder eleverne kun med at vælge tal der opfylder forudsætningen. De forsætter med at producere summer og produkter af tallene for at afgøre sandhedsværdien af følgeslutningen og her fra påstanden som helhed. Igen er der nogle elever der anvender en mere generel tilgang. Under strategi Z, den fokuseret-deduktive, begynder eleverne med at spørge sig selv hvilke typer af tal der opfylder forudsætningen. Det vil sige de udnytter deres vide om eller indsigt i det første forslag til at deducere mulige begyndelses tal eller typer af begyndelses tal. Derefter producerer de summer og produkter for at afgøre sandhedsværdien af følgeslutningen og her fra påstanden som en helhed som det var tilfældet med strategi Y. Derefter søger de at forklare deres konklusion ved at referere til de originale tal typer. Forfatterne konstaterer også at der sker en beskeden udvikling fra 8. til 9. skoleår idet cirka 10 % flere i 9.klasse svarer korrekt på L1c og L1d og at det er muligt at noget af forklaringen skyldes et skift fra strategi X til Y eller Z. Angående undersøgelsens spørgsmål 2 så knytter det sig hovedsageligt til elevernes svar på spørgsmål L1b og det er svarene på dette der analyseres. Ideen er at undersøge om eleverne kan løsrive sig fra det empiriske og betragte implikationen af en påstand fra et strukturelt niveau. Det lykkedes en forholdsvis stor del af eleverne at operere på et generelt niveau. Andelen af elever der kunne operere på det generelle niveau under spørgsmål L1b var lang større end den andel der kunne operere generelt ved spørgsmål L1c og i særdeleshed L1d. Det ser altså ud til at mange elever kan forstå den logiske nødvendighed af en implikation når forudsætningen er sand. Angående spørgsmål 3. I analysen af elevernes svar fokuserer forfatterne i højere grad på hvordan elever afgør om de to påstand siger det sammen end på om de svarer rigtigt. Svarene samlede sig i 4 hovedtyper. Type A svarene referer ikke til nogen data angående sandheden af forudsætning og følgeslutning, de betragter simpelthen en logisk implikation og dens omvendte som værende det samme. Forudsætning og følgeslutning kan altså bytte plads. 84

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Type B når til samme konklusion som type A nemlig at en logisk implikation og dens omvendte er det samme men ved at referere til data. Forudsætning og følgeslutning kan altså bytte plads. Type C svarene anser ikke en logisk implikation og dens omvendte for at være ækvivalente. Eleverne er noget til konklusionen ved at teste påstanden med data og bruger dette til at retfærdiggøre deres konklusion. Type D hvor den logiske implikation og dens omvendte betragtes som udgangspunkt ikke som ækvivalente. Eleverne tester med data, denne test anvendes til at bekræfte konklusion fremfor at retfærdiggøre den. Argumentationer i klassen (Knipping, 2008) Christine Knippings ærinde er, som titlen peger på, en metode til at afdække strukturen af argumentationen i klasserummet under processer med bevisførelse. Logiske analyser til at analysere strukturen er ikke tilstrækkelig af flere årsager. Lærere følger ikke the patterns of formal mathematics når de underviser i beviser men lader pædagogiske og praktiske overvejelser forme deres praksis. For det andet er de studerende i gang med en proces hvor de udvikler logiske tankemønstre og når de udtrykker deres tanker i klasserummet vil de indeholde mange elementer en logisk analyse ville karakteriserer som ulogiske. Da læring er baseret på de studerendes tanker er det nødvendigt med en analyse metode der kan andet og kan gå videre end at rubricere tankemønstrene som ulogiske. Christine Knipping inddrager blandt andet Toulmins argumentationsmodel (belæg, hjemmel, påstand) og terminologien lokale og globale argumenter. Toulmin har anført at an argument is like an organism. It has both a gross, anatomical structure and a finer, as-it-were physiological one (Knipping, s.430). Knipping anvender Toulmins model til at analysere den fine struktur, en del af et argument. Disse dele af et argument kalder Knipping for argumentation steps eller lokale argumenter. Argumentet som en helhed, argumentationsstrukturen i processen med bevisførelsen den anatomiske struktur- kalder Knipping for det globale argument. I løbet af et bevis kan der være en kæde af argumenter. I det øjeblik en påstand er etableret som en konklusion, så fungerer den nu som en kendsgerning i det næste skridt. Hun henviser til Duval Recyclage (Duval, 1995) for nærmere beskrivelse af dette. Knipping understreger at denne typer af argumenter, condensed mathematical proofs, er 85

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 fundamentalt forskellige fra den argumentationsproces der foregår i et klasserum under bevis processen. For at rekonstruere argumenter fra klasserummet følger Knipping en proces i 3 trin: Sekvenseringen og betydningen af samtalen i klassen rekonstrueres Argumenter og argumentationens struktur analyseres. Trin med lokale argumenter, sekvenser af skridt der danner en strøm og globale argumenter hører til den overordnede struktur Sammenligning mellem lokale argumentationer og sammenligning af globale argumentations strukturer, afdækning af deres logik. Artiklens fokus ligger på det andet trin og hovedvægten her vil også ligge på det andet skridt. Argumentationer i klasserummet er hovedsageligt udtrykt mundtligt og bliver til i fællesskab. Læreren og eleverne producerer i fællesskab den samlede argumentation. Betydningen af de enkelte argumenter er afhængig af hvad der ellers er sagt, da argumenter skabes som en respons på hvad der ellers er sagt og argumenteret for. Udtryk har ikke en eviggyldig betydning for deltagerne, i løbet af klassesamtalen når deltagerne frem til en fælles forståelse. Generelt er klasserummets samtaler karakteriseret ved at være ufuldstændige, tvetydige og deiktiske vendinger. I sin analyse af processerne fokuserede Knipping i første omgang på at identificere konklusioner. Det var virkningsfuldt at forstå hvilke erklæringer deltagerne prøvede at retfærdiggøre og hvilke der allerede havde status som eller fungerede som en konklusion. Knipping anvender observationer fra et tysk og et fransk klasselokale og analyserer et eksempel fra en tysk time hvor beviset for Pythagoras sætning er i spil. En af hendes konklusioner er at det var typisk for de rekonstruerede argumenter fra processerne i klasserne at de ofte var ufuldstændige. Hjemmel og rygdækning blev ofte ikke nævnt. I de fleste tilfælde kunne hjemmel antages eller blev underforstået eller de blev antaget Matematikkens lærer (Epp 1998) I denne artikel giver Susanne S. Epp eksempler på hvordan man træner elever i at tænke abstrakt og dermed bedre til at bevise. Udgangspunktet har været Theroem A: kvadratet af et ulige tal giver et ulige tal. Typiske spørgsmål fra elever: 86

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 1) Jeg har tjekket 32, 52, 72, 92 og 112 er ulige. Er det ikke nok? 2) Pludselig kommer den variabel x. Hvor kommer den fra? 3) Hvorfor starter et bevis med at antage noget? 4) Hvad prompts disse trin? Hvordan vil jeg kunne vide hvordan jeg udfører dem? 5) Hvorfor ender et bevis hvor det gør? Spørgsmål 1 For elite eleverne er det ikke noget problem, men erfaringerne har vist at elever som har svært ved det har i virkeligheden mangler accepten, på et intuitivt niveau, af få basale logiske principper. Derfor har Epp i sine klasser forsøgt at udfylder de huller eleverne har sådan at spørgsmål 1-5 virker naturlige. Formålet er at finde et fælles fodslag for elevernes egne erfaringer og logiske principper, som Epp forsøger at formidle. Det var praktisk at anvende logiske symboler til at forklarer nogle grundprincipper. Herudover var der kun fokus på det engelske sprog, da det i de fleste tilfælde handlede om at eleverne skulle tage stilling til om en påstand er sand/ falsk og derfor var det nødvendigt at eleverne havde styr på konteksten. For hver påstand Epp, var det vigtigt at eleverne i introduktionen kan svarer om et udsagn er sandt/ falsk uden problemer. Epp startede med at stille spørgsmålet: er det korrekt eller forkert at alle elever i klassen er over 20. Eleven siger så at han ved at det er forkert. Det bliver så forklaret med at han selv ikke er over 20. Ah! Så hvis én fra klassen ikke er over 20, så er påstanden falsk. Den var eleverne med på. Hvad med påstanden alle elever i klassen er over 15 Er påstanden sand eller falsk? Hvordan kan vi være sikre? Tage en stikprøve fra klasen og den skal holde hver gang. Det kræver at påstanden skal gælde for enhver elev. Ja, den var de med på. Dette var så svaret for spørgsmål 1: Det er altså ikke nok at prøve sig frem med et par ulige tal og derefter konkludere at påstanden er sand. Spørgsmål 2 Tidligt i indførelsen af algebra træner vi vores elever i at manipulere med bogstaver. For at give eleverne en praktisk anvendelse af variabler i sætninger, bliver der i klassen taget udgangspunkt i 87

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 enhver elev i klassen er over 15. Typiske vendinger vil være Alle elever i klassen er over 15 eller Enhver elev i klassen er over 15. I matematik siger vi ting på andre måder og eleverne bliver præsenteret for Givet enhver elev, hvis eleven er i klassen, så er eleven over 15. Betyder denne sætning det samme som de andre? Ja, men denne lyder mærkelig. Hvad med For enhver elev x, hvis x er i klassen, så er x over 15 eller for alle elever x, hvis x er i denne klasse, så er x over 15? Også mærkelig, men ja disse sætninger har samme betydning som de øverst nævnte. Herefter formuleres For alle x i D, hvis H(x), så C(x), hvor x er en variabel og an tager værdier i D og hvor H(x) og C(x) har egenskaber som enten kan være falske eller sande.. Egenskaben HH(x) er hypotesen og C(x) er konklusionen på sætningen. I eksemplet ovenfor så er D mængden af alle eleverne; H(x) er egenskaben x er i klassen ; og C(x) er egenskaben x er over 20 eller x er over 15. Vi så i eksemplet at for at denne antagelse skal være sand C(x) skal være sand for enhver x i D for hvilket H(x) er sand. Hvis påstanden skal være falsk, så for mindst et x i D skal H(x) være sand men C(x) er falsk. Mao. Der eksistere et x i D sådan at H(x) er sand og C(x) er falsk. Eleverne fik flere lignende opgaver, hvor de skulle træne formuleringerne begge veje: a) Omskriv For alle reelle tal x, hvis x >2, så er x^2>4 på forskellige måder uden at bruge variable. b) Omskriv Kvadratet af et ulige tal er ulige til formen For alle tal x, hvis så Spørgsmål 3 og 5 Skal man eftervise at noget er sandt inden for et område, skal man vise at den gælder for ethvert x. Dog kan det være umuligt hvis denne mængde indeholder flere elementer. For at vise påstanden: For alle elementer x i D, hvis H(x) så C(x): a) Antag at x er et hvilket som helst element i D for hvilken H(x) er sand, og b) Vis at x gør C(x) sand. Eleverne bliver i denne forbindelse trænet i at finde ud af hvad man bliver bedt om og hvad der antages. EN metode som giver svaret på sp. 3 og 5. 88

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Spørgsmål 4 Først når eleverne har fået styr på strukturen i et bevis bliver det næste at stille dem spørgsmålet: Hvordan fik jeg vist det eller Hvordan kom jeg fra start til en konklusion? For at eleverne kan svare på disse spørgsmål stiller Epp. Spørgsmålet Hvad betyder definitionen og konklusionen? Det vigtigste i en definition er at der både er en hvis eller kun hvis retning: Et tal x er ulige hvis og kun hvis x=2k+1 for et tal k. Hver gang vi har et ulige tal, så ved vi at det er formen kun hvis. Hver gang man havde et tilfældigt tal, som var ulige, så var det formen hvis. Hvad med modbeviser? Epp mener at det er lige så vigtigt at lære eleverne at modbevise og giver et eksempel på de førnævnte med at tallet -3: her vil (-3)^2=9 og 9>4, men -3>2. Hvad med modstridende bevis? Denne metode finder eleverne sværere end et direkte bevis. Antag at en påstand er falsk og bevis at den logisk medfører modstrid. Begge type beviser starter med at man antager og derefter beviser, det er derfor vigtigt at eleverne spørger sig selv. Hvad er jeg i gang med at vise. Det viser sig at det er meget svært for eleverne at antage den forkerte ting. Epp giver et eksempel på dette. Se s. 7. Fælles rammer: Ved at præsentere eleverne for beviser og modbeviser er med til at danne en fælles ramme til løsning af matematiske problemstillinger. Udvidelse af anvendelsen af beviser i gymnasiet: Epp mener at matematiske beviser bør indgå i højere grad i elevernes læreplan. Hun mener bestemt at der skal være progression i indførelsen, så man kan sagtens starte med at eleverne tæller sig frem. Derefter kan man stille spørgsmål, hvor det kræver lidt flere manipulationer med tal. Dernæst hvor det kræver et bevis og til sidst modstridende bevis. Hun pointere hvor vigtigt det 89

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 er for eleverne at det giver mening og derfor må man stille opgaver der har relevans for deres daglige liv. Herudover bruger Epp fill-in-beviser så eleverne lære opbygningen af et bevis før de selv bliver sat til det. Herefter nævnes eksempler: (x + y) 2 = x 2 + y 2 : gælder det for alle tal x og y? for nogle x og y? For ingen tal x og y? Forklar Egenskaber for lige og ulige tal, hvor de skal forklare. Produktet af enhver rationelle tal og irrationelle tal giver et irrationelt tal. m.fl. (se s. 8) Epp giver et forslag til den rette linje: Hvad gør en ret linje ret er at uanset hvilke to punkter du vælger på det, så vil det ende med en linje med samme hældning Vi ønsker at bestemme forskriften for den rette linje, der går gennem (1, 3) og (x, y) og har hældningen -2. Eleverne vil så se at enhver to punkter på linjen vil opfylde at hældningen er -2. I denne type opgave skal eleverne eksperimentere og deduktivt komme frem til resultatet. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics (Alan H. Schoenfeld, 1992) Schoenfeld har 3 formål med artiklen. For det første er det hans intention at redegøre for og underbygge en bred forståelse for hvad det vil sige at tænke matematisk. Dernæst vil han opsummere litteratur der er relevant for forståelsen af hvad det vil sige at tænke matematisk og matematisk problemløsning. For det tredje ønsker han at pege på nye retninger inden for forskning, udvikling og vurderinger der sammen med en spirende forståelse for matematisk tænkning og mål for instruktion der bliver gjort rede for her. I den ene ende af spektret anses matematisk viden for at bestå af fakta, procedurer der beskæftiger sig med antal, størrelser og former og relationerne imellem dem. At kende til 90

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 matematik forstås her som at mestre disse procedurer. I den anden ende af spektret er matematik begrebsmæssigt forstået som the science of patterns en næsten empirisk disciplin. Forfatterens definition af matematisk virksomhed er at det i sagens natur er en social aktivitet hvor et fællesskab af praktiserende (matematiske videnskabsfolk) er optaget af videnskaben om mønstre. De søger systematisk, via observationer, studier og forsøg at bestemme principper eller regelmæssigheder i systemer der er defineret aksiomatisk eller teoretisk (den rene matematik) eller i modeller af systemer der repræsenterer (dele af) virkelige objekter (anvendt matematik). Matematiske værktøjer er abstraktion, symbolsk repræsentation og symbolsk manipulation. At lære at tænke matematisk vil sige a) at man udvikler et matematisk synspunkt hvor man påskønner processer med matematificering og abstraktion og at man har en tilskyndelse til at bruge dem b) udvikler kompetencer med matematiske værktøjer og anvender dem med det formål at forstå strukturer (Schoenfeld, s. 335). Artiklen er delt i 3 hovedafsnit: 1. Toward an understanding of mathematical thinking 2. A framework for exploring mathematical cognition 3. Issues I det følgende opsummeres hovedtræk I hver af de tre afsnit. Toward an understanding of mathematical thinking : Immediate Background: Curricular Trends in the Latter 20th Century I perioden omkring tidspunktet hvor artiklen forfattes (1992) er den amerikanske matematikuddannelse under lup og granskes med det formål at reformere matematik undervisningen. Årsagerne er mange men vigtige er blandt andet at a) amerikanske elever og studerende scorer lavt i matematik i en international sammenligning. Efter de obligatoriske år og kurser i matematik fortsætter for få på videregående uddannelser med matematisk indhold. B) En uforholdsmæssig stor del af dem der dropper ud er kvinder og folk fra minoritetsgrupper. C) Demografiske. 8 % af arbejdsstyrken består af videnskabsfolk og ingeniører, disse er hovedsagelige hvide mænd selvom hvide mænd kun udgør 15 % af den samlede arbejdsstyrke. Det er ikke første gang at uddannelsen inden for matematik udråbes til at være i krise. Omkring 1957 hvor det lykkes USSR at sende Sputnik ud i rummet blev ingeniører, videnskabsfolk og matematikere involveret i 91

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 at skabe nyt undervisningsmateriale. Denne ny matematik havde en kort opblomstringsperiode i 1960erne hvorefter den blev udråbt til en fiasko. Opfattelsen var at de studerende ikke tilegnet sig de nye abstrakte ideer og havde problemer med basale matematiske færdigheder. Kritikken resulterede i en back- to BASICs bølge. Slutningen af 1970erne viser at denne bevægelse heller ikke har heldet med sig. Et årti med studieplaner der har fokuseret på mekaniske færdigheder har udklækket en generation af studerende som på grund af ringe erfaring og eksponering er dårlige til problemløsning og matematisk tænkning og desuden ikke er blevet bedre til de basale færdigheder, hvilket havde været hele formålet. Pendulet svinger nu mod problemløsning og metakognition og problemløsning bliver buzz - words for 1980erne. On Problems and Problem Solving: Conflicting Definitions Schoenfelds opfattelse er at meget af det som blev kaldt problemløsning i 1980erne var overfladisk, men at man siden Sputnik-krisen har fået større forståelse for matematisk tænkning, læring og problemløsning. Begreberne problem og problemløsning har begge haft adskillige og modstridende betydninger. Med hensyn til problem kan polerne illustreres ved følgende to definitioner, her refererer Schoenfeld til Webster (1979). Definition 1. In mathematics anything required to be done or requiring the solving of something. Definition 2. A question.that is perplexing or difficult (Schoenfeld, s.337). Den første definition peger på den betydning af problem som traditionelt er blevet anvendt ved matematisk instruktion stort se så langt tilbage som der er vidnesbyrd på anvendelser om matematik. Sådanne opgavesamlinger er ofte rutine øvelser der er organiseret så den studerende kan øve og praktiserer en teknik der just er gennemgået. De har intet med den anden definition at gøre. Den typiske struktur er at a) en opgave anvendes til at introducere en teknik, b) teknikken illustreres og c) flere opgaver, så den studerende kan øve de illustrerede teknikker. a) Antagelsen bag denne form er at den studerende efter arbejdet med en bunke af disse opgaver har tilegnet sig teknikken, og at summen af teknikker indeholder vedkommendes matematiske viden og færdigheder. Schoenfeld refererer til Stanic og Kilpatrick (1988) der 92

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 identificerede tre hovedtemaer inden for den traditionelle problemløsning. Problemløsning som kontekst, som færdighed og som kunst a) Problemløsning som kontekst anvender problemløsning til at tjene andre formål i curriculum. Fem roller er blevet identificeret: 1. Til at retfærdiggøre at der skal læres matematik. 2. For at levere motivation til et bestemt emne. 3. Som rekreation, her beskæftiger man sig med sjov matematik. Problemernes formål er at vise at matematik kan være sjov. 4. Til at udvikle nye færdigheder 5. Så den studerende har noget at øve sig på. Problemløsningen er altså ikke et mål i sig selv, den skal understøtte tilegnelsen af andre mål. b) Problemløsning som færdighed anser problemløsning som et mål i sig selv, men en del af de problemer der løses vil være de samme som under a. c) Problemløsning som en kunst står i stærk kontrast til de to forrige. Her betragtes virkelige problemer der skal løses som en kerne i matematik, hvis ikke hele matematikken. Ved et problem forstås A question.that is perplexing or difficult. (Definition 2). Det følgende fokuserer på punkt c. Matematikere har ikke en og samme opfattelse af begrebet problemløsning. Men mange er fælles om det synspunkt at det at udøve matematik er at løse problemer som er perplexing or difficult, altså problematiske. Schoenfeld henviser til Halmos der argumenterer for at studerende skal involveres i at løse virkelige problemer, så de under deres akademiske uddannelse lærer at håndtere problemer af betydelig sværhedsgrad og kompleksitet. Schoenfeld inddrager desuden Polya der så tidligt som i 1947 beskæftigede sig med problemsolving as art. Polya betragter matematik som en aktivitet og hands on matematik har en central rolle. En del af denne aktivitet går ud på at opdage. Matematik anses for sammenlignelig med andre videnskaber (fx fysik), således må den matematiske opdager også gætte sig frem for derefter bevise, verificere eller forkaste. Matematisk erkendelsesteori og pædagogik ses som snævert forbundne af Polya. Hvis studerende skal have en ide om, en følelse af hvad der er matematisk virke er det nødvendigt at deres oplevelse med matematik er konsistente med den måde matematik udøves på. 93

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Enculturation and Cognition og Epistemology, Ontolgy and Pedagogy Intertwined : I 1980erne udgives en del litteratur der beskæftiger sig med hvordan man lærer matematik og hvad det vil sige at tænke matematisk. Et grundlæggende synspunkt i litteraturen og hos Schoenfeld er at det at lære matematik ses som an inherently social (as well as cognitive) activity and an essentially constructive activity instead of an absorpative one (s. 340), altså en social, erkendelsesmæssig og skabende aktivitet. Matematik ses som en social aktivitet i den forstand at man lærer at arbejde og tænke matematisk ved at arbejde i fællesskaber der har matematik som beskæftigelse. Her tilegner man sig arbejdsvaner, færdigheder, måder at betragte verden med matematiske briller på og man socialiseres så at sige til at tænke og arbejde matematisk. De matematiske briller vil blandt andet have en forkærlighed for at kvantificere, modellere og anskue fænomener via matematiske udtryk. Schoenfeld sammenligner med hvad det vil sige at være skrædder. Det inkluderer mere end at besidde skrædder færdigheder, for eksempel en måde at tænke og se på, et sæt af værdier og et bestemt perspektiv. Indlæring er altså formet og defineret kulturelt. Mennesker udvikler deres forståelse for en hvilken som helst aktivitet ved at praktiserer den i et fællesskab hvor den udøves. Det betyder også at den viden som studerende tilegner sig i matematiktimerne er, bredt forstået, kulturel og strækker sig ud over de matematiske og facts og procedurer (pensum) som de beskæftiger sig med. Ligegyldigt om underviseren er eksplicit omkring det eller ej, vil det vedkommende betragter som matematik forme det matematiske miljø der skabes i klasserummet og dermed også hvilke slags forståelser for matematik eleverne vil udvikle. Schoenfeld illustrerer synspunktet med en fortolkning af opgaver fra en ældre matematik bog (Milner, 1897) og påpeger at opgavetypen stadigvæk trænes flittigt. Opgaven lyder: How much will it cost to plow 32 acres of land at 3.35 pr. acre?. Bogen demonstrerer en og kun en måde at løse opgaven på, intentionen er da at elever tilegner sig denne metode og anvender den på alle de efterfølgende opgaver. Schoenfeld fremhæver først det fornuftige der kan læres ved metode og fremhæver derefter 4 problemstillinger. 1) Der er andre og lige så lette måder at løse opgaven på end den der demonstreres i bogen. 2) Eksemplet anvendes til at illustrere en bestemt matematisk metode. Tallene i eksemplet er valgt så eleverne med succes kan anvende den algoritme der skal indøves i lektionen. Det gør det let for eleverne at øve sig på teknikken men samtidig bliver eksemplet usandsynligt 94

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 og kunstigt. Opgavernes realistiske indpakning (priser på får, uld, træ etc.) bliver til pynt i stedt for indhold. Det kunstige i eksemplerne flytter opgaverne fra en praktisk og plausibel sfære til en kunstig. 3) Den underliggende holdning i næsten al matematisk pædagogik er at ens matematiske viden og kundskaber består af de matematiske facts og procedurer som man kan anvende korrekt og pålideligt. Det vil sige fokus er på volumen frem for substans. At lærer matematik forstås som de facts og procedurer der tilsammen udgør pensum. En konsekvens er at emner inddeles i små og afgrænsede bidder og en eksplicit instruktion med øvelser til hver af disse dele for at eleverne kan mestre øvelserne. 4) Elevernes primære erfaringer med matematik er det de udsættes for i klassen og vil danne den grund de bygger deres forståelse for matematik på. En kumulativ effekt af at gentage sådanne øvelser er at eleverne oplever der er kun en måde at løse et problem på (stik imod hvad der sandt). En konsekvens af at inddele curriculum i stumper og bidder er at eleverne erfarer at svar og metoder vil blive stillet til rådighed for dem. Det forventes ikke at de selv finder ud af eller udvikler en metode. Hen ad vejen accepterer de deres passive rolle og opfatter matematik som noget der leveres oppefra. De forledes til at tro at man i matematik skal have en metode parat når man skal løse et problem og at denne skal producere et hurtigt svar. Metoderne der præsenteres kan forekomme eleverne vilkårlige og er måske i modsætning til de metoder eleverne selv har prøvet at udvikle. The Mathematical Enterprise og Goals for instruction and a Pedagogical Imperative. I 1970erne og 80erne ses et skift i synet på hvad der er matematisk virke. Fokus er ikke længere kun på den matematik man kender og mestrer men også på at det at udøve matematik er en proces hvor der søges efter mønstre. Der er en gryende opfattelse af matematik som en empirisk videnskab og matematik virke ses i stigende grad som en social handling hvor man samarbejder. Centrale aspekter ved matematisk viden og kundskab er at se med matematiske briller og deltage i fællesskaber med andre hvor man samarbejder om matematik. Et sådant skift betyder at mål for undervisningen i matematik og den pædagogiske praksis må ændres. Schoenfeld lister en række undervisningsmål fra Source book for College Mathematic teaching (Schoenfeld, 1990). Matematikundervisningen bør 95

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Give eleverne en fornemmelse for fagets rækkevidde, historie, styrke og anvendelse Stræbe efter begrebsmæssig frem for instrumentel forståelse Udsætte eleverne for et bredt felt af problemer, der strækker sig fra øvelser til åbne problemer hvor metoderne ikke leveres på forhånd og situationer der kræver undersøgelser Hjælpe dem med at udvikle præcision i både mundtlige og skriftlige præsentationer Udvikle deres evne til at læse og bruge andet matematiske materiale end lærebogen, forberede dem på at blive uafhængige brugere og studerende af matematik. Hvis dette betragtes som rimelige mål er spørgsmålet så hvilke former for undervisning der er befordrende for at man nærmer sig disse mål. A framework for exploring mathematical cognition Et hovedargument, der går tilbage til Platon, for at lære matematik er at det er en mental disciplin og de som trænes i matematik har en tenens til at blive gode tænkere. Thorndikes (1901) eksperimentelle arbejde leverede evidens for at denne transfer var minimal. Det var snarere den omvendte vej. Studerende med gode evner til at ræsonnere havde en tendens til at vælge matematik. På det tidspunkt hvor Schoenfeld har forfattet artiklen er der ikke en sammenhængende beskrivelse af hvordan de forskellige aspekter af matematisk tænkning og problemløsning passer sammen. Der er en tendens til at følgende kategorier er vigtige: Knowledge base elevens fundament af viden Strategier angående problemløsning Monitorering og control Forestillinger Praksis Knowledge base. Schoenfeld stiller to spørgsmål a) hvilke informationer har den studerende til rådighed som er relevant for det matematiske problem b) hvordan er denne information til rådighed og hvordan anvendes den. Den studerende kan ligge inde med en viden der ikke er sand eller misforstået. De fakta, definitioner, rutiner og algoritmer som den studerende anvender for at løse problemer kan være korrekte eller fejlagtige. De kan anvendes med alt fra absolut sikkerhed 96

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 (korrekt/fejlagtigt) til stor usikkerhed (korrekt/fejlagtigt). Mennesker resumere og kodificerer deres erfaringer og dette former hvad de ser og hvordan de opfører sig i nye situationer. Det betyder at man efter at have læst de første ord i en opgave allerede er i gang med at danne sig en mening om den. Der henvises til Hinsley, Hayes og Simon (1977) der fandt at folk kan a) kategorisere problemer i typer, b) kategorisere problemer uden fuldkommen at formulere en løsning for dem, c) havde en klump af viden om hvert problem type som var potentiel brugbar og nyttig når de skulle have opmærksomheden vendt mod vigtige elementer, relevante ligninger etc. d) bruge kategorier til at identificere for at formuleringer problemer med det formål at løse dem. Strategier angående problemløsning. De erkendelser og strategier som studerende tilegner sig og lærer kan de ikke (nødvendigvis) overføre til andre områder, selvom metoderne er generelle. I klasseværelset er det en kæmpe opgave at beskæftige sig med problemløsning som Polya forstår den. Problemløsning og problemløsnings strategier bliver ofte mere til retorik end til substans. At undervise i problem løsning med substans er mere udfordrende og krævende for læreren på følgende måder: Matematisk: læreren skal forstå alle betydninger af elevernes forskellige tilgange til problemet, om de er en frugtbare eller ej. Pædagogisk: læreren må beslutte hvornår hun skal intervenerer og hvilke forslag der vil hjælpe eleverne og overlade selv løsningen i deres hænder Personligt: læreren vil komme i den situation at hun ikke kender alle svarene. Monitorering: I arbejdet med et matematisk problem indser man måske at det er mere kompliceret end først troet. Måske skal opgaven læse opgaven en gang til. Hvis det ser ud til at gå vel, fortsætter man ad samme spor. Hvis man er låst fast, stopper man (måske) op og finder en anden vej. Monitorering og relevant handling i forhold til den når man løser en opgave er kerne elementer i selv regulering. Mange gange er det svært/umuligt for elever at anvende en selvregulerende praksis og i værste fald fremturer de ad et forkert spor. En frugtbar måde at få eleverne til at reflektere over deres egen praksis fandt en lærer der fra begyndelsen af et kurset og gennem hele semesteret på sin vej gennem klasselokalet spurgte eleverne: What (exactly) are you doing? (Can you describe it precisely?) 97

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Why are you doing it? (How does it fit into the solution?) How does it help you? (What will you do with the outcome when you obtain it?) Denne intervention viste sig at være frugtbar: Eleverne kom hurtigere frem til en løsning. At udvikle en selv- regulerende adfærd er vanskeligt i forbindelse med problemløsning. Studier har vist at ovennævnte praksis har en effekt. En udvidet model fra Schoenfeld m.fl. ses i artiklen s.358. Forestillinger-beliefs: De studerende danner deres forestillinger om matematik og deres forståelse for disciplinen stort set ud fra hvad der foregår i klasserummet. Deres forestillinger former deres adfærd på er har ekstraordinær store (og ofte negative) konsekvenser. Lærerens forestillinger om faget har enorm indflydelse på hvilke forestillinger der formidles bevidst som ubevidst. Lærerens egne forestillinger er præget af vedkommendes møde med faget gennem skolegang og studietid. Praksis: Her gennemgås og diskuteres forskellige konkrete forløb blev designet til fremme et miljø der understøtter elevernes evne til at tænke matematisk, arbejde på problem løsninger og gøre dette i et fællesskab. For nærmere beskrivelse henvises til artiklen s.360-366 98

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 10. Bilag Bilag 1.A - Arbejdsark til modul 3 Repetition og fyld de tomme pladser. Hvorfor kaldes F(x) for en stamfunktion til f(x)? Definition: F kaldes en stamfunktion til f hvis F er og =. Symbolet f(x)dx kaldes det f(x)dx = TJEK STAMFUNKTION: Hvis man skal gøre rede for at / tjekke om/ påvise at funktionen F er stamfunktion til en anden funktion f skal man bruge. Når man F for at undersøge om F (x)= f(x) kaldes det at udføre. 99

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Kom med et eksempel hvor du anvender integrationsprøven: Sætning 3 side 134 i Matema10k: Angående beviser: Husk at det der kommer lige efter hvis er det man antager, er rigtigt. Det vil sige at det der kommer efter hvis er det man ved. Man kan også sige at det som kommer efter hvis er forudsætningen for at sætningen gælder S.134 Sætning 3: s. 134 beviser man den første regel i sætning. Skriv den første regel op her: 1): Bevis: Forudsætning Jeg ved at I det næste står beviset i venstre side, i højre side skal du forklare hvorfor lighedstegnet er rigtigt, altså hvilke regneregler/sætninger der er brugt eller om du har brugt noget af det man VED fordi man antager det (F(x) + G(x)) = (F(x)) + (G(x)) (F(x)) + (G(x)) = f(x) + g(x) Så er beviset ikke længere. Skriv neden for en konklusion på beviset der forklarer, hvorfor sætningen nu er bevist 100

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 1.B - Arbejdsark til modul 3 101

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 102

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 1.C - Arbejdsark til modul 3 103

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 104

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 105

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 1.D - Arbejdsark til modul 4 Sætning 3 side 134 i Matema10k: S.134 Sætning 3: s. 134 beviser man den første regel i sætning 3 Skriv den første regel op her: 1): Hvad betyder sætningen med dine egne ord? Kom med et eksempel og/eller en tegning der viser hvordan sætningen kan bruges: Angående beviser: Husk at det der kommer lige efter hvis er det man antager, gælder. Det vil sige at det der kommer efter hvis er det man ved. Man kan også sige at det som kommer efter hvis er forudsætningen for at sætningen gælder. Forudsætningen står altid som en del af sætningen. Forudsætning: Hvad er forudsætningen til sætning 3 s.134? Jeg ved at 106

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 I det næste står beviset til venstre. I højre side er der plads til at skrive og her skal du forklare hvorfor lighedstegnet er rigtigt. Du skal altså skrive hvilke sætninger om regneregler eller definitioner der er brugt eller om du har brugt forudsætningen det man VED fordi man antager det i sætningen. I fakta boksen står henvisninger til sætninger og definitioner. (F(x) + G(x)) = (F(x)) + (G(x)) (F(x)) + (G(x)) = f(x) + g(x) Så er beviset ikke længere. Men hvorfor er man egentlig færdig? Skriv nedenfor en konklusion på beviset der forklarer, hvorfor sætningen nu er bevist. Konklusion: FAKTA BOKS: Her kommer henvisninger til sætninger omregneregler og definitioner du kan få brug for. Det hele står i Matema10k Sætning om regneregler for differentiation. S.98 Definition på stamfunktion, s.132 Integrationsprøven, s.132 107

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 1.E - Opgaver til modul 5 og 6 108

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 109

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 110

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 111

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 1.F - Modul 7 - Arealsætningen Arealsætningen Om f(x) gælder der at: f(x) er kontinuert f(x) er positiv f(x) er defineret i intervallet [a; b] A(x) er arealet under grafen for f mellem a og x A(a) =? Hvad sker der med arealet hvis x bliver større? Sætningen om arealfunktionen A(x) Hvis funktionen f(x) er kontinuert og har positive funktionsværdier i et interval [a; b], vil den tilhørende arealfunktion A(x) være differentiabel, og der gælder: A (x) = f(x) Med andre ord er arealfunktionen for f også en stamfunktion til f. 112

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Forklar forskellen mellem de tre billeder og opstil en formel for, hvordan man kan beregne ΔA ved hjælp af A(x) og A(x + h). Opstil et udtryk for arealet af det gule område: Opstil et udtryk for arealet af det røde område: Vurdér det gule areal, det røde areal og ΔA i forhold til hinanden, og fyld hullerne ud i denne ulighed: uligheden igennem med h: Dividér 113

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Skriv tretrinsreglen op for A(x): 1. 2. 3. 114

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Anvend den opstillede ulighed til at vurdere grænseværdien af ΔA h når h gående mod 0. Er vi færdige med beviset nu? Hvorfor/hvorfor ikke? Hvorfor er det smart at anvende tretrinsreglen? Er du overbevist? Hvorfor/ Hvorfor ikke? Prøv kort at forklare ideen bag beviset 115

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 2 Gennemgang af terminsprøvebesvarelserne Besvarelserne af udvalgte opgaver fra terminsprøven inddrages her. I prøven uden hjælpemidler skal eleverne i opgave 3 bestemme (3x 2 1 ) dx.5 ud af de 12 elever scorer 0 point i opgaven, x og af disse 5 har de 4 haft et stort fravær under interventionen. De 7 som har et bud på opgaven er ikke i tvivl hvad opgaven går ud på. De scorer mellem 4 og 9 ud af maksimum 10 point. Den typiske fejl er at stamfunktionen til 1 x bestemmes forkert, 2 af de 7 bestemmer den korrekt. En anvender integrationsprøven for at tjekke sit resultat. Opgave 4 (stadig uden hjælpemidler) lyder: En parabel er givet ved ligningen y = x 2 2x + c, hvor c er et negativt tal. a) Bestem førstekoordinaten til parablens toppunkt. Tegn en skitse af parablen. (Der er mange muligheder for, hvordan parablen kan se ud. Der ønskes kun tegnet én mulig parabel) Kun 3 elever opnår ingen point i opgaven, de øvrige fra 1 til 10. Flere elever indsætter en konkret værdi for c og udregner støttepunkter, derefter tegnes parablen. En elev læser ikke opgaven ordentligt, hun vælger en konkret værdi for c, finder støttepunkter og rødder men ikke x koordinaten til toppunkter. Derefter tegner hun en graf der ikke stemmer overens med hendes udtryk for 2.gradspolynomiet. Generelt er der vanskeligheder med at tegne en skitse af parablen som stemmer overens med oplysningerne i opgaven eller de beregninger der er foretaget. En god besvarelse af opgaven kræver at eleven kan lave en kæde af ræsonnementer der hænger sammen, og det volder problemer i denne opgave. Opgave 5 neden for (stadig uden hjælpemidler) har 5 elever et bud på. 116

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Løs ved hjælp af grafen ligningen f (x) = 0. For hvilke x er f (x) negativ? De elever der har et bud på en besvarelse er alle blandt dem med størst fremmøde under interventionen. De scorer mellem 1 og 6 point i opgaven. Der gives 5 point for hver del af opgaven. Ingen har problemer med at finde hvor f (x) = 0. Flere angiver ekstremums - punkterne (altså både x og y værdi) som svar. En enkelt argumenterer yderligere og forklarer at f (x) = a tangent. Alle har problemer med at angive et korrekt svar på den sidste del af opgaven og skriver en og kun en værdi som svar. Alle har valgt et x hvor f (x) < 0. Det volder altså vanskeligheder at anvende x værdierne fra første del af opgaven til at angive intervallet. Eller også skaber det forvirring at der er flere løsninger. De 2 efterfølgende opgaver er alle fra prøven uden hjælpemidler. 117

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Figuren viser grafen for funktionen f givet ved f(x) = 0,2x 4 + 1,6x 3 3,2x 2 + 1,6x 3 a) Løs ligningen f(x) = 0, og gør rede for, hvad løsningerne fortæller om grafen. Det røde område på figuren er begrænset af grafen for f og førsteaksen b) Bestem arealet af det røde område. 2 elever har intet bud på opgaven overhovedet. Angående spørgsmål a så fejllæser en opgaven og sætter x = 0, en anden differentierer og læser ligningen f (x) = 0, en tredje løser ligningen f(x) = 0 ok men laver så en fortegnsanalyse af f(x) og anvender den til at sige noget om monotoniforholdene. Halvdelen af holdet løser ligningen korrekt, laver en tilfredsstillende redegørelse og får fuldt point. Af disse 6 får 4 fuldt point i sidste spørgsmål. Den næste opgave lyder: En funktion er givet ved f(x) = x 3 x, x > 0 a) Bestem f (x) og gør ved hjælp heraf rede for, at funktionen er voksende. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f(1)). Vi koncentrerer os her især om elevernes besvarelse af delspørgsmål a. De 5 elever der havde et bud på opgaven har problemer med redegørelsen. De kommenterer alle at hvis f(x) skal være voksende, så må f (x)være positiv, men de har problemer med at argumentere for det. To går i 118

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 gang med fortegnsundersøgelse af f (x), desværre får den ene lavet nogle fortegnsfejl så f (x) ikke er positiv hele tiden. Den anden har besvær med at få formuleringerne ordentligt på plads. En tredje differentierer fint og betragter hvert led i udtrykket f (x) = 1 + 3 x2 og får indirekte, kluntet og ikke helt præcist formidlet at det handler om at hvert led er positivt. Ingen opnår fuld point i spørgsmål a, i spørgsmål b opnår 3 af de 5 fuldt point. Der ses samme tendens som beskrevet før. 119

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 3 - Interview med elev S Forestillinger om matematikundervisningen Hvad er matematik? Et fag hvor man regner tal ud, forskellige længder og mængder og tal. Det at man regner. Kan bedst lide geometri eller differentialregning og hvorfor? Geometri. Det er lidt nemmere, fordi vi har haft det længe siden 7.klasse. Det sidder godt fast. Differentialregning har vi lige lært. Det er spændende, men man skal lige forstå ordentlig og lige lave nogle flere opgave - vænne sig. Kan du bedst lide geometri eller integralregning og hvorfor? Integralregning er svær Kan du bedst lide differentialregning eller integralregning og hvorfor? Differentialregning. Fordi jeg er blevet god til at differentiere. Jeg er god til ligninger og det er næsten det samme. Integralregning er lidt indviklet i forhold til differentialregning. Hvordan oplevede du overgangen fra matematik C til matematik B? Det var hårdt. Jeg var god til matematik sidste år. Men nu er jeg bange for at det ikke kommer til at gå så godt til den rigtige prøve. Der er nogle nye emner, som har været lidt svære i forhold til dem sidste år. På C-niveau skulle igennem de samme ting, som vi havde været igennem i folkeskolen (bare på et højere niveau), men på B-niveau der er det noget, vi slet ikke har haft. Når du siger du var god til matematik - hvordan oplevede du det? Der kunne jeg godt sidde og lave lektier og sådan. Jeg kunne godt sidde og lave lektier en hel time. Er det så anderledes i år? Ja, det synes jeg, fordi jeg sidder nogle gange med en matematikopgave og tænker: Hvad er det her? Jeg kan overhovedet ikke huske det, og så begynder jeg at bladre rundt i bogen for at finde ud af, hvordan jeg skal lave opgaven, og det irriterer mig, at jeg ikke kan finde ud af det. Så skal jeg bruge ekstra tid på det og sidste år der kunne jeg det bare. Det var nemmere sidste år. Så du tænker at det faglige stof er blevet sværere, eller er det mest fordi det er nyt? Jeg tænker at det er blevet sværere. Også fordi det er nyt, så er det jo svært starte fra nul af. [ ] Det er svært. Hvad synes du om matematikbogen? 120

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bogen er sværere end sidste år. Det er lidt hårdt. Hvordan brugte bogen sidste år og hvorfor er det anderledes i år?. Jeg brugte ikke bogen sidste år, fordi det var nemt. Jeg har boet i udlandet og haft matematik på et helt andet niveau (et meget højere niveau), så det er grunden til, at jeg var så god til matematik, men i år synes jeg, det er meget svært. Men bruger du din bog i år? Ja, det gør jeg. Hvis jeg sidder med en hjemmeopgave og jeg ikke kan huske, hvordan jeg skal lave den, så bladrer jeg rundt og går tilbage og starter op igen - hvordan jeg skal gøre det fra trin til trin. Og kan du så finde den information i din bog? Ja, jeg slår bare op i indholdsfortegnelse Er der forskel på bogen fra sidste år og i år? Hvis ja, hvilken? Der er flere detaljer i den i år i forhold til sidste år. Da var det bare sådan her, sådan her, sådan her. Nu er der måske to sider fra det ene trin til det andet, med eksempler der forklarer det. Så teksten er sværere? Der er mere tekst. [Det er sværere], ja. Kan du lide at lave beviser? Ja, hvis jeg kan finde ud af dem. Hvis jeg kan huske dem Der er rigtig mange og det er svært at huske dem alle sammen. Der er tidspunkter hvor jeg bliver i tvivl - er det lineær, eksponentiel eller potens. Så bliver jeg forvirret. Der er så mange, man skal kunne. Til delprøven uden hjælpemidler, der skal man kunne. Det er funktioner. Men jeg tænker bevis, der tænker jeg Pythagoras. Det er lidt svært at huske dem fra trin til trin. Har du tænkt over at man ikke behøver at kunne det hele udenad? Jeg tænker, at hvis man kan det udenad, så er det jo altid bonuspoint, ikk? Men hvis man går i gang og tænker: Det var sådan her, men jeg er ikke sikker på, om det er rigtigt, så tror jeg også det er fint nok, men jeg kan bedst lide at kunne det udenad [måske mangler jeg lige et par trin] men det er ok. Hvad kan man bruge beviser til? Tavs det ved jeg ikke. Bare bevis. Giv eksempler på beviset, du lavede sidste år. 121

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Pythagoras, den kan jeg huske fordi jeg var op i den. Jeg kan ikke huske de andre. Jeg tror ikke, der var andre. Giv eksempler på beviser, du har lavet i år. Differentialregning: Hvordan man differentierer, hvordan man går fra den almindelig graf til den differentierede, også integral og stamfunktion. Vi har faktisk ikke haft om Pythagoras. Jeg kan ikke huske flere. Hvad med i forbindelse med det her forløb vi har lavet om integralregning? Ja, det har vi lavet mange om stamfunktioner. Hvordan man gik fra lille f til store F, jeg kan ikke rigtig huske det. Kan du lide at arbejde i grupper? Ja, det hjælper hvis man går i stå og man ikke kan huske hvad det er man tænker. Man bliver helt blank. Så kan man spørge. Så diskuterer vi. Man får hjælp af gruppen. Hvordan bruger I hinanden i gruppen? Det er det, du siger med, at I kan større hinanden? Ja Forestillinger om dem selv Tager du initiativ i gruppearbejdet? Det plejer jeg, fordi jeg gerne vil øve selv. For eksempel når vi øver beviser, så plejer vi at dele det og sige: Lad os lige prøve alle sammen. Ja, det går jeg meget op i. Stoler du på dig selv, når du laver opgaver i matematik? For det meste ja, men hvis der er nogle jeg ikke kan, så skriver jeg et spørgsmålstegn. Så prøver jeg at lave dem eller spørger nogle andre. Oplever du at du tit bliver i tvivl? Ja, det gør jeg. Hvad gør du så, hvis du bliver i tvivl? Jeg plejer at tage en lille pause - køle lidt af og så starter jeg op igen. Sletter det hele, tager et nyt stykke papir og starter igen. Arbejder du koncentreret i undervisningen? Hvornår, hvornår ikke? 122

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Ja. Men ikke hvis det er en lang dag, f.eks. i 4. modul, så er jeg meget træt og irriteret. Om mandagen er jeg aktiv, har jeg lagt mærke til. Jeg plejer at sove tidligt søndag, så op og så er jeg frisk. Men om tirsdagen, så er jeg helt færdig. I dag for eksempel var jeg rigtig træt. Hvad skal du bruge matematik B til? Det ved jeg ikke rigtigt, men jeg tænker at jeg har flere muligheder for uddannelse når jeg har matematik på B, så kan man altid supplere hvis man vil have det på A-niveau. Hvilken karakter vil du gerne opnå til sommer? Bliver glad for et 12, men tror det ikke. 7 skriftligt og 10-12 mundtlig. Håber jeg. Hvad vil du gøre, for at opnå den karakter? Repetere det hele. Starte om igen. Forestillinger om det sociale (De sociale normer) Hvad kendetegner en god matematikelev? Stærk bund, dvs. man skal kunne finde ud af at gange og plus, sådan noget. Hovedregning. Man skal kunne lide matematik. Jeg kan godt lide matematik. Man skal være god til basistingene. Kan du lide matematik? Ja, det kan jeg godt. Jeg kunne ikke lide matematik til at starte med. Da jeg boede i udlandet var jeg rigtig dårlig til matematik, men så kom jeg tilbragte til 10. klasse og så var jeg god, fordi jeg havde haft det på et helt andet niveau, men Oxford-bøger. Det var sindssygt. Meget svært. Så kom jeg tilbage til Danmark, og da var det på et lavere niveau. Så var jeg god til det og tænkte: Ok, jeg er god til det her. Så må jeg tage det mere seriøst og få noget ud af det. Kan du også lide matematik i år? Nogen gange. Når jeg forstår det og når jeg kan finde ud af det og tænker: OK, jeg har styr på det her. Så kan jeg godt lide matematik, men når jeg er helt forvirret og blank, så tænker jeg Åhhh. Hvordan kan din lærer hjælpe dig til at forstå matematik? Forklarer med ekstra eksempler. Med nogle eksempler, som vi forstår. Ja, eksempler. Flest eksempler [ forklare de enkelte trin.]. Ikke kun skrive på tavlen, for så koncentrerer man sig om at skrive og så kan man ikke høre. Så glemmer man at høre, hvad det er læreren er i gang med at forklare. Så måske skrive det op på tavlen og så forklare det igen. Hvad hvis det er et bevis? 123

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Hvis vi ikke forstår det, så skal vi op til tavlen og prøve at skrive det. Øve.. Hvis man leger puslespil [hvis man skal lære om et begreb]: Her er et begreb - vend den om og skriv, hvad det betyder. I matematik har vi lavet noget hvor vi skal sætte begreber sammen - hvad tilhører hvad, og så lave en lille stjerne ud af det. Få det til at passe sammen. Kan du lide det? Ja, hvis jeg kan det. Men nogen gange hvis jeg ikke kan, så er det lidt irriterende. Så er det godt at sidde i en gruppe. Hvilken undervisningsform kan du bedst lide? (Gruppearbejde, individuelt arbejde, tavleundervisning, andet) Kan godt lide tavlearbejde, hvis jeg forstår det godt (hvis jeg ikke er træt og irriteret). Hvis man sidder i grupper kan man godt komme til at snakke om noget, der ikke har med matematik at gøre. Ja, det er også det, jeg mener. Jeg kan også godt lide individuelt arbejde. Eller hvis læreren forklarer mig noget individuelt. Er det svært at koncentrere sig ved tavleundervisning? Ja, hvis der er nogle der larmer. (De socio-matematiske normer) Tror du, de andre betragter dig som en autoritet? Nej. For der har været tidspunkter hvor jeg har taget fejl, og det har jeg ikke noget problem med, jeg forventer heller ikke at de andre har gjort det rigtigt. Jeg vil gerne have et bevis for, at det er rigtigt, for det er jo ikke sikkert, at det er. Hvordan kan man finde et bevis på, at noget er rigtigt? Man kan spørger hvordan de er kommet frem til det. Har du tastet på lommeregner? osv. Hvis man får et forkert svar kan man spørge de andre, hvad de har gjort. Har jeg lavet det forkert - det er det første jeg tænker, hvis de andre har fået et andet svar. Hvad har du gjort, Hvad har jeg gjort. Det er sådan man kommunikerer. Er I gode til det? Til at forklare, hvad I har gjort? Ja, det er vi faktisk gode til. Der er ikke en konkurrence. Vi tænker mere, at vi skal hjælpe hinanden. Hvad skal der til for at lave en god besvarelse i matematik? 124

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Den skal være rigtig, og den skal skrives op på en god måde. Hvis der skal være kommentarer skal det også være på en ordentlig måde. Jeg plejer at skrive trin for trin og gøre det meget præcist og kommentere hvad jeg gør [ca. sådan siger hun]. Er det vigtigt at forklare, hvad man gør? Forklare det for sig selv eller forklare det for andre? Ja, det tror jeg, for det er jo ikke sikkert de forstår det. Men man kan godt lave en opgave rigtigt uden at forstå, hvad man laver. Har du prøvet det? Nej, jeg laver den forkert, hvis jeg ikke forstår den. Men for eksempel i differentialregning. Der har jeg differentieret, men så kan jeg ikke komme videre fordi jeg ikke ved, hvad jeg skal bagefter. Forløbet om integralregningen. Hvad lavede vi? Vi lærte at integrere, dvs. gå fra en funktion de trin man skal igennem. [Sonja går i gang med at forklare noget med differentialregning]. Noget med areal, har vi også, hvor der er nogle punkter, tangenthældning [hun taler lidt i stikordsform]. Tangenthældning, hører det under integralregning eller hører det under noget andet? Nej det er differentialregning. Kan du komme i tanke om mere i forbindelse med integralregning? Jeg kan altså ikke huske noget om integralregning, fordi det har været det sværeste emne. Hvorfor tror du, vi skal lære matematik? Alle skal have matematik på C-niveau (mindst). Hvorfor giver det mening? Der er eksempler på opgaver, f.eks. noget med renter som man kan bruge i sin hverdag. Hvis man skal købe et hus, for eksempel. Hvis man skal fremlægge noget, så kan man bruge koordinatsystemet hvor man tegner nogle grafer ind. Hvad med beviser? Det ved jeg ikke. Det er bare noget, man skal igennem, tænker jeg. Noget, der hører med. Så skal man bare kunne det. 125

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Bilag 4 - Interview med elev M Forestillinger om matematikundervisningen Hvad er matematik? Når jeg hører ordet matematik: En masse tal, beviser, regnestykker. Kan bedst lide geometri eller differentialregning og hvorfor? Begge emner er kompliceret. Differentialregning har været spændende, men jeg kan bedst lide geometri, Det er ligesom et puslespil, hvor man skal kunne en masse formler - hvad kender man, hvad kender man ikke. Kan du bedst lide geometri eller integralregning og hvorfor? Helt klart geometri. Integralregning har været lidt svært. Kan du bedst lide differentialregning eller integralregning og hvorfor? Differentialregning. De overlapper hinanden, integralregning er jo det om vendte af differentialregning, men det har været svært at huske hvordan man integrerer. Hvordan oplevede du overgangen fra matematik C til matematik B? Matematik B er svært i forhold til matematik C. Men her til terminsprøven fik jeg vet mig meget, set videoer, så jeg føler mig mere tryg nu efter jeg har fået øvet lidt. Jeg synes, der er en stor forskel. Der er mere, man skal huske i hovedet [til prøven uden hjælpemidler]. Der er flere beviser på matematik B, som også er svære. Hvad synes du om matematikbogen? Er der forskel på bogen fra sidste år og i år? Hvis ja, hvilken? Jeg synes at den beskriver tingene på en mere svær måde, jeg bruger den ikke så meget. Jeg bruger også mine egne noter (både gamle noter fra Ama, Lones noter fra timerne og noter jeg selv skriver). Jeg brugte bogen meget sidste år. Bogen i år beskriver beviserne det på en svær. Jeg bruger mere internettet til at forstå det.[sidste år] jeg brugte mest bogen til skriftlig matematik, slog op på emnet og gik ind og kiggede på eksemplerne og hvordan de regnede det ud. Det kan jeg ikke i år - det er mere kompliceret. De forklarer det på en svær måde (bogen i år). Det er svært at forstå. [senere i interviewet]. Hver gang vi har fået et bevis for, hvor vi skulle læse det hjemme, har jeg åbnet bogen, prøvet at læse det og så lukket bogen igen fordi jeg ikke kunne forstå det og fordi jeg ved, at jeg bedre kan forstå det, når Lone forklarer det i klassen. Kan du lide at lave beviser? 126

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Sidste år elskede jeg beviser, men i år er det lidt sværere. Når jeg ikke forstår noget, så kan jeg ikke lide det. Jeg kan godt lide at komme frem til hvordan formler kommer frem. Hvordan de er opfundet eller hvad man nu skal kalde det. Jeg synes, det er meget sjovt. Giv eksempler på beviset, du lavede sidste år. Pythagoras, sinus, vinkelsummen, enhedscirklen. Hvad kan man bruge sådan nogle beviser til? Jeg ved ikke rigtig, hvad man kan bruge dem til det skriftlige, men til den mundtlige er de jo vigtige. Der trækker det meget op. Måske kan de også være en hjælp til det skriftlige, ligesom da vi lavede beviset for arealsætningen. Det hjalp til at jeg bedre kunne forstå hele emnet. Giv eksempler på beviser, du har lavet i år. Faktorisering, toppunktsformlen, tangentligningen - er ikke sikker. Arealsætningen. [Differentialregning]: Det tror jeg, jeg kan bare ikke huske hvad de hedder. Kan du lide at arbejde i grupper? Ja, der er flere, der kan hjælpe. Det er godt at høre det på en anden måde. Lone forklarer det på en måde og andre på en anden. Det synes jeg er godt. Det kan være en fordel. Hvordan bruger I hinanden i gruppen? Vi forklarer det for hinanden. En øvelse til en mundtlig prøve. Forestillinger om dem selv Tager du initiativ i gruppearbejdet? Ja. Der har måske været nogle gange, hvor jeg ikke har Hvis jeg ikke forstår noget rigtigt, så holder jeg mig lidt tilbage, lytter og ser, hvad de andre laver. Men ellers synes jeg, at jeg gør. Stoler du på dig selv, når du laver opgaver i matematik? Ikke i alle emner: Geometri, andengradspolynomier og funktioner, der stoler jeg på mig selv. Differentialregning og integralregning (mest integralregning) er jeg mere usikker på. Arbejder du koncentreret i undervisningen? Hvornår, hvornår ikke? Ja. Hvis det er en lang dag f.eks. i 4. modul. Om mandagen er jeg aktiv. Jeg plejer at sove tidligt søndag. Hvad skal du bruge matematik B til? 127

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Vil gerne farmaceut, men det kræver kemi B og fysik B og mat A. Så jeg vælger matematik B - så har jeg det hvis jeg får brug for det. De fleste uddannelser kræver matematik på et højere niveau. Hvilken karakter vil du gerne opnå til sommer? Mindst 10 i skriftlig og 10 i mundtlig. Hvad vil du gøre, for at opnå den karakter? Lave de spørgsmål jeg har fået af Lone, se alle emner igennem - især dem, jeg har haft svært ved. Skrive færdig på mine noter (jeg er gået i gang til den skriftlige). Indenfor hvert emne skriver jeg alle de formler man har brug for indenfor emnet og så laver jeg eksempler. Jeg kan godt lide selv at lave noter fordi det også er en hjælp til mig. Så jeg vil repetere alt det, vi har haft. Forestillinger om det sociale (De sociale normer) Hvad kendetegner en god matematikelev? Når man kan beviser. Hvad skal der til for at blive god til beviser? Når matematik er på et højere niveau, så er det første jeg tænker på beviser. Men måske kun beviser, men når man kan emnerne, så er man også en god elev. Først og fremmest skal man tage initiativ og øve sig på beviserne, man skal være god til at forstå dem Hvordan kan din lærer hjælpe dig til at forstå matematik? Flere opgaver også så man kan lave dem i fritiden. Afleveringerne er også en stor hjælp.. Læreren kan også forklare det en gang til. Jeg kan også søge på nettet og høre andre forklare det - for eksempel i forbindelse med beviser (Youtube og fri viden). Hvilken undervisningsform kan du bedst lide? (Gruppearbejde, individuelt arbejde, tavleundervisning, andet) Individuelt arbejde, men også at læreren forklarer på tavlen inden vi går i gang. Gruppearbejde er også godt nogen gange [her i prioriteret rækkefølge]. (De socio-matematiske normer) Tror du, de andre betragter dig som en autoritet? Ja. De har set, at jeg godt kan. Men jeg siger selv til dem, at de ikke skal stole på mig nu hvor det er matematik på B, for det er blevet sværere og jeg stoler heller ikke altid på mig selv. 128

Ræsonnement og bevisførelse DEL 2 Hvad skal der til for at lave en god besvarelse i matematik? Man skal forstå opgaven. Den måde jeg laver det på, der skriver jeg hvilke informationer har jeg og hvilke formler skal jeg bruge, så skriver jeg formlerne op, regner selve opgaven ud og så laver jeg en konklusion til sidst. Forløbet om integralregningen. Hvad lavede vi? Regneregler, arealsætningen, ubestemt og bestemt integral. Har det betydet noget at skifte fra din stamklasse til et blandet hold? Nej, ikke rigtig. De fleste er fra min klasse og parallelklassen har vi idræt med. Det er ikke alle jeg sådan havde et forhold til, men det har ikke haft den store betydning. Kunne vi ikke droppe beviserne? Nej, Vi får forklaret hvor formlerne kommer fra. Vi får jo brug for sætninger. 129

Modellering DEL 3 Matematikvejlederuddannelsen på RUC november 2015 Delprojekt 3 - Modellering Styrkelse af modelleringskompetencen Ama El-Nazzal Lone Stilling Karlsen Mette Juhl Christensen Vejledere: Uffe Jankvist og Mogens Niss 1

Modellering DEL 3 Indhold 1. Indledning... 5 1.1 Problemformulering... 5 2. Videnskabeligt afsæt... 6 2.1 Modellering - hvordan og hvorfor?... 9 3. Identifikation... 12 3.1 Detektionstest... 12 3.2 Kvantitativ analyse... 12 4. Diagnosticering... 14 4.1 Diagnosticeringsinterviews... 15 4.1.1 Spørgsmål 7 fra detektionstesten... 15 4.1.2 Spørgsmål 8 fra detektionstesten:... 18 4.1.3 Spørgsmål 12 fra detektionstesten.... 19 4.2 Konklusion - Diagnosticering... 20 5. Interventionen... 21 5.1 Intervention 1 - Lakridsrullen - Didaktiske overvejelser... 23 5.1.1 Resultatet af intervention 1 - lakridsrullen... 24 5.2 Intervention 1 - En kasses rumfang - Didaktiske overvejelser... 26 5.2.1 Resultatet af intervention 1 - En kasses rumfang... 27 5.3 Kort sammenfatning af intervention 1... 29 5.4 Intervention 2 - Didaktiske overvejelser... 29 5.5 Intervention 2 - Optakt... 31 5.5.1 Resultatet af intervention 2 - modelleringscyklussen... 33 5.5.2 Resultatet af intervention 2 puslespillet... 34 5.5.3 Resultatet af intervention 2 bygningsopgaven... 35 5.6 Kort sammenfatning af intervention 2... 38 5.7 Intervention 3 - I klassen... 39 2

Modellering DEL 3 5.7.1 Resultatet af intervention 3 - AGHF (mat B - hf)... 39 5.7.2 Resultatet af intervention 3 - HTG (Mat B - stx)... 41 5.7.3 Resultatet af intervention 3 - HTG (mat C - hf)... 42 5.8 Konklusion - Intervention 3... 43 6. Testen... 44 6.1 Resultat af sluttesten - Brusebad... 47 6.2 Resultatet af sluttest - Tryk og rumfang for en gas... 49 7. Samlet konklusion... 53 8. Litteraturliste... 55 9. Kommenteret litteraturgennemgang... 57 Vygotsky (1978)... 57 Freudenthal (1991)... 58 Pirie & Kieren (1994)... 60 Kilpatrick (1995)... 63 Lester (2005)... 69 Ferri (2006)... 75 Galbraith & Stillman (2006)... 78 Katja Maass (2006)... 82 Niss, Blum og Galbraith (2007)... 88 Gravemeijer (2007)... 92 Højgaard (2010)... 93 Niss (2010)... 95 Niss (2012)... 98 Weigand (2014)... 100 Jankvist & Misfeldt (2015)... 103 3

Modellering DEL 3 10. BILAG... 109 10.1 Bilag 1 - Oversigt over detektionstestens pointtildeling... 109 10.2 Bilag 2 - Klasserne opnåede point i de enkelte opgaver... 111 10.3 Bilag 3 - Puslespillet... 112 10.4 Bilag 4 - Modelleringscyklus... 113 10.5 Bilag 5 - Svar på modelleringsopgaven... 115 10.6 Bilag 6 - Stens optimeringsopgaver... 116 10.7 Bilag 7 - Gruppernes besvarelser af bygningsopgaven... 117 10.7.1 Albertlund - 2hf... 117 10.7.2 Høje Taastrup 1hf... 118 10.7.3 Høje Taastrup 2g... 119 10.8 Bilag 8 - Sluttest... 120 4

Modellering DEL 3 1. Indledning Dette delprojekt handler om modellering som er temaet for tredje semester på matematikvejlederuddannelsen på RUC. KOM-rapporten formulerer otte matematiske overlappende kompetencer som erstatning for tidligere pensumbeskrivelse. At besidde en modelleringskompetence handler om både at kunne analysere foreliggende modeller (modelanalyse) ved at afmatematisere og vurdere deres holdbarhed og at kunne udføre aktiv modelbygning ved at anvende matematik til løsning af problemer uden for det matematiske domæne. I vores daglige arbejde er det den førstnævnte aktivitet vi beskæftiger os med på alle niveauer og som vi finder eksempler på i de skriftlige eksamensopgaver. Selve modelbygningen er en kompleks størrelse der ikke bliver testet til den skriftlige eksamen og som måske derfor ikke prioriteres lige så højt i den daglige undervisning, som KOM-rapporten og bekendtgørelsen lægger op til. Vi vil i denne opgave beskæftige os med modelleringskompetencen ved at præsentere modelleringscyklussen og bevæggrundene for at undervise i modellering i gymnasiet. Dernæst vil vi udføre og beskrive resultaterne af en detektionstest og i den forbindelse argumentere for udvælgelsen af tre elever vi vil arbejde videre med i projektet. Vi bruger også detektionstestens resultater til at udvælge de opgaver vi stiller i diagnosticeringen, så vi kan blive klogere på hvilke snublesten der gør at eleverne har problemer med netop de opgaver. Diagnosticeringen hjælper os til at forstå hvilke faser i modelleringscyklussen, der volder problemer. Herefter vil vi tilrettelægge et interventionsforløb med fokus på åbne opgaver, som kan bringe hele modelleringscyklussen i spil. Vores arbejde er styret af følgende problemformulering: 1.1 Problemformulering 1. Hvilket indblik giver Detektionstest 3 i elevernes vanskeligheder med at modellere? 2. Hvad viser diagnosticeringen om hvilke faser i modelleringscyklussen, der volder størst problemer? 3. På hvilken måde kan disse modelleringsvanskeligheder afhjælpes gennem et interventionsforløb, hvor vi underviser i hele modelleringscyklussen gennem arbejdet med 5

Modellering DEL 3 åbne opgaver (udvalgt med fokus på registerskiftene mellem det sproglige og visuelle register). Forløbet afsluttes med en sluttest hvor vi vil teste om interventionen har forbedret elevernes evne til at modellere. 2. Videnskabeligt afsæt For at kunne bygge en matematisk model er man i litteraturen stort set enige om (selvom der anvendes forskellige begrebsapparater) en modelleringscyklus, som man skal igennem. Herunder ses to illustrationer af modelleringscyklussen fra Morten Blomhøj og Tomas Højgaard Jensen (Blomhøj & Jensen, 2003) og Mogens Niss (Niss, 2010) hvor kernen er den samme. Modelleringscyklussen kan både anvendes til modelbygning og til modelanalyse. Figuren til venstre er modelleringscyklussen efter Blomhøj & Jensen og den til højre er efter Niss. Modelleringskompetencen bliver præsenteret som en proces med fem underkompetencer (pilene) hvor hver pil illustrerer en krævende proces, og for at komme igennem cyklussen kræver det modelleringskompetencen (KOM, 2002). Niss kategoriserer de fem processer i det ekstra-matematiske domæne (D), det matematiske domæne (M) og afbildningen mellem de to verdener (f). 6

Modellering DEL 3 Opgavens formulering (det ekstra-matematiske domæne(d)) Præmatematisering - identificere det væsentlige med henblik på en idealisering (D) Matematisering - afbildning til det matematiske domæne(f) Matematisk analyse - problemløsning (M) Afmatematisering - fortolkning og konklusioner tilbage i virkelighedens domæne (M-D) Validering en evaluering af modellen (D) Vi har i den nedenstående uddybelse af modelleringscyklussens trin sammenskrevet flere dele af litteraturen, herunder Blomhøj & Jensen (2003) og Niss (2010). 1. Formulering af en opgave (det ekstra-matematiske domæne(d)) Udgangspunktet for modellering er et spørgsmål (et problem) fra den virkelige verden som man ønsker at finde svar på. 2. Præmatematisering - identificere det væsentlige med henblik på en idealisering (D) Her befinder modelløren sig stadig i det ekstra matematiske domæne hvor det er vigtigt at vælge det væsentlige i forhold til spørgsmålet og se bort fra en masse andre ting. Der foregår med andre ord et bevidst informationstab. Kendetegnende for denne fase er at specificere og systematisere i forhold til det formulerede spørgsmål. Man er nødt til at gøre nogle antagelser og skære til for at ende med en idealiseret situation. Da præmatematiseringen er forberedelsen til det centrale i modelleringscyklussen - matematiseringen - er det vigtigt at skære til for at lette arbejdet i den næste fase. For at kunne strukturere den virkelig verden er det en forudsætning at eleven har en forhåndsidé om, hvilket matematisk domæne der skal anvendes i en given situation (iværksat foregribelse, jf. Niss, 2010). 3. Matematisering- afbildning til det matematiske domæne(f) Processen her er at kunne oversætte et spørgsmål fra den virkelige verden og ind i den matematiske verden hvilket er ret komplekst. Det er en forudsætning at kunne mestre iværksat 7

Modellering DEL 3 foregribelse, når man skal igennem den vanskelige matematiseringsfase. Her handler det i høj grad om at være bevidst om hvordan man vil benytte den matematiske repræsentation til at besvare det stillede spørgsmål. Det handler i bund og grund om at tænke frem i modelleringscyklussen og overveje hvordan kommer jeg videre? så det giver mening i forhold til spørgsmålet i såvel det ekstra-matematisk domæne (den virkelige verden) som i det oversatte spørgsmål. Iværksat foregribelse kræver (Niss, 2002, s. 57, vores oversættelse): matematisk viden som er relevant til situationen at kunne sætte den matematiske viden i relation til det stillede spørgsmål anvendelsesorienterede forestillinger om matematik (beliefs) matematisk selvtillid og udholdenhed 4. Matematisk analyse - problemløsning (M) I denne fase skal modelløren anvende matematiske teknikker og metoder for at løse spørgsmålet i det matematiske domæne. Det drejer sig om det matematisk oversatte spørgsmål. 5. Afmatematisering - fortolkning og konklusioner tilbage i virkelighedens domæne (M-D) Her skal man tilbage til det ekstra matematiske domæne og svare på spørgsmålet, som blev stillet i den virkelige verden fra begyndelsen. Med andre ord skal man kunne svare på Hvad betyder det matematiske svar, jeg er kommet frem til? 6. Validering en evaluering af modellen (D) Nu skal man evaluere modellen enten ved at konfrontere resultatet fra (4) med den virkelige verden (passer facit?) eller ved at diskutere modellens egenskaber og rækkevidde i forhold til den oprindelige problemstilling. Det er vigtigt at eleven kan navigere mellem den matematiske og den ekstra-matematiske verden, hvor problemet er opstået. 8

Modellering DEL 3 Figuren er fra Niss, Blum & Galbraith (2007) oversat af os. Modelleringscyklussen kan både bruges til at analysere matematiske modeller og selve modelleringsprocessen, men den kan også bruges til at definere hvad modelleringskompetencen er. Med matematiske modellering menes ikke bare et gennemløb af cyklussen, men flere gennemløb initieret af de forbedringer af modellen man ønsker gennemført på baggrund af den validering, man kommer frem til. I artiklen Communication: The Essential Difference Between Mathematical Modeling and Problem Solving (Højgaard, 2010) nævnes et eksempel på en opgave som inviterer til at arbejde med alle elementerne i den matematiske modelleringscyklus er: Hvilken sammenhæng er der mellem den indkomst man har og den skat man betaler? Opgaven er åben på den måde at eleverne kommer på glatis og skal træffe nogle valg. Modelleringsopgaver kræver noget andet og mere end de klassiske problemløsningsopgaver fordi de indeholder elementer uden for det matematiske univers. 2.1 Modellering - hvordan og hvorfor? Der er to tilgange til det at undervise i modelleringskompetence - en holistisk og en atomistisk. En holistisk tilgang inddrager hele modelleringscyklussen. Fordelen er at eleverne selv skal strukturere et kompleks domæne og det kan være meget motiverende for arbejdet med matematik. En atomistisk tilgang fokuserer på enkelte faser i modelleringscyklussen. Blomhøj & Jensen (2003) argumenterer for at man som underviser med fordel også kan fokusere på delprocesserne matematisering og problemløsning, hvis man skal lære eleverne at modellere, 9

Modellering DEL 3 fordi det at matematisere er en krævende (og frustrerende) proces (Blomhøj & Jensen, 2003, s. 129). Men der skal ifølge forfatterne helst være en balance mellem den holistiske og den atomistiske tilgang til arbejdet med den matematiske modelleringskompetence. I Modelling and Applications in Mathematical Education (Niss, Blum og Galbraith, 2007) fokuseres på hvorfor det overhovedet er interessant at gøre modellering til en del af læreplanen. Der findes to ståsteder i forhold til det at modellere: 1. Man modellerer for at lære matematik (modellering understøtter indlæringen af de matematiske emner) a) Man viser eleverne at matematik rent faktisk bliver brugt i virkelighedens verden (den ekstra-matematiske domæne) b) Man hjælper med at skabe forståelse for matematisk aktivitet c) Man kan derfor ændre elevernes beliefs og motivere dem til at engagere sig i faget. 2. Man lærer matematik for at modellere (matematikken anvendes til at udvikle matematiske modeller). a) Man fokuserer på at matematik holder, også uden for matematikken selv b) Anvendelsen af matematik i virkelighedens verden går altid via matematiske modeller og modellering. Med gymnasielærerbriller på kan man sige at vi på C-niveau primært underviser i matematik for modelleringens skyld (pkt. 2). Det skal forstås på den måde at eleverne skal have opbygget et kendskab til forskellige matematiske sammenhænge, så de bliver i stand til at kunne anvende matematikken til at løse opgaver fra virkelighedens verden. I forbindelse med vores intervention viser det sig også at det at modellere kan fremme matematisk aktivitet og dermed den matematiske læring, altså modellering for matematikkens skyld. 10

Modellering DEL 3 I undervisningsverdenen har der ifølge Niss, Blum og Galbraith (2007) været en tendens til at tænke at hvis vi underviser eleverne tilstrækkeligt teoretisk matematisk, så vil den enkelte elev blive i stand til at anvende matematikken i verden udenfor uden at blive undervist specifikt i det. Men det kræver meget mere at kunne anvende matematikken i den virkelige verden. Der sker ikke en automatisk overførsel af kompetencer fra teoretisk matematik til praktisk anvendt matematik. Så hvis det skal være et mål at matematikundervisningen skal kunne anvendes i den ekstramatematiske verden, må undervisningen i matematik aktivt dyrke og styrke eleverne modelleringskompetencer. Elevernes (og lærernes) beliefs kommer i spil når det drejer sig om at skulle være kritiske eller kreative i matematik. Hvis der skal skabes et andet billede af hvad matematik er (ud over at løse konkret stillede opgaver), kræver det at vi underviser på en anden måde end vi er vant til. Matematisk modellering kan være en kompliceret proces, og jo mere åben en problemstilling er des vanskeligere er det at komme med en holdbar løsning. Det gælder om at finde passende problemstillinger som indfanger elementerne i modelleringscyklussen for at træne modelleringskompetencen i sin helhed. Dualiteten mellem at lære matematik for modelleringens skyld og modellering for matematikkens skyld kan ses som pendulsvingninger mellem den rene matematik og den anvendte matematik (Niss, Blum og Galbraith, 2007, s. 26). Modellering skal læres og ikke kun praktiseres, og det har vi ladet os inspirere af til vores interventionsdesign. 11

Modellering DEL 3 3. Identifikation For at kunne identificere hvilke elever, der har svært ved at modellere, stiller vi en detektionstest. 3.1 Detektionstest Detektionstesten 13 spørgsmål fra professoren blev afviklet i tre klasser: Lones 2.g stx-klasse (mat A) fra Høje-Taastrup Gymnasium bidrager med 18 besvarelser, Mettes 2. hf valghold (mat B) fra Albertslund med 9 besvarelser og Amas 1. hf hold (mat C) fra Høje-Taastrup Gymnasium med 21 besvarelser. 3.2 Kvantitativ analyse Vi har tildelt opgaverne i detektionstesten henholdsvis 0,1 og 2 point. De får 2 point hvis de svarer fyldestgørende på spørgsmålet, 1 point hvis de svarer delvist rigtigt eller svaret indeholder rigtige elementer og 0 point hvis de ikke svarer eller hvis de svarer forkert. Det samlede overblik over besvarelsen kan ses i bilag 1. AGHF 2hf I Albertslund skiller elev 1 og elev 4 skiller sig ud med et samlet pointtal på henholdsvis 5 og 6. Elev 1 fik til eksamen sidste år 7 i skriftlig matematik og 10 i mundtlig matematik. Elev 4 fik 00 både skriftligt og mundtligt. Elev 1 (vi kalder hende Karen) er en meget flittig pige, hun kommer velforberedt og arbejder godt i timerne. Det kunne være interessant at arbejde videre med hende 12

Modellering DEL 3 og hun vil rigtig gerne deltage. Af de elever der har fået færrest point i 2.g-klassen fra Høje Taastrup, vælger vi elev 1 (vi kalder hende Cilla). Cilla er en 7-10 elev der arbejder godt og generelt har en god forståelse for matematik, men hun kommer til kort over for denne type af opgaver. Vi udvælger 1. hf-eleven ud fra det kriterium at det skal være en stabil og fagligt dygtig elev, men som stadig har problemer med testen. I Amas klasse vælger vi derfor den elev der har fået flest point, nemlig elev 12 (vi kalder hende Iben). 13

Modellering DEL 3 De tre piger har alle givet udtryk for at de har meget svært ved opgaver med megen tekst, hvilket lugter af manglende iværksat foregribelse. Derfor synes vi de tre piger er spændende at arbejde med i diagnosticeringen. 4. Diagnosticering Vi vil nu undersøge hvilke opgaver eleverne havde svært ved og hvilke dele af modelleringscyklussen opgaverne berører. Diagrammer der viser klassernes opnåede pointtal inden for de enkelte opgaver kan ses i bilag 2. Heraf ses at 1.hf holdet klarede sig meget dårligt og vi valgte derfor at lade 2g og 2hf ernes problemer være styrende for de opgaver, vi vælger. Nedenunder er klassernes samlede antal opnåede point vist i et diagram. De opgaver, eleverne klarer sig dårligst i, er opgave 7, 8, 11 og 12. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Samlet antal opnåede point 77 66 53 51 45 47 41 29 30 19 17 12 7 Opg.1 Opg.2 Opg.3 Opg.4 Opg. 5 Opg.6 Opg.7 Opg.8 Opg.9 Opg.10 Opg.11 Opg.12 Opg.13 Samlet 1. hf erne klarede generelt testen ret skidt, så vi zoomer nu ind på de opgaver der volder de største problemer for 2.g klassen og 2.hf klassen 1. 1 Se bilag 2 14

Modellering DEL 3 OPG Stikord Del af modelleringscyklus 2 Et problem for: 1 Hans og Grete Præmatematisering HTG 6 Oliefelt Matematisering, problemløsning AGHF 7 Gennemsnitsfart på bakken Matematisering HTG, AGHF 8 Pizza-opgaven Model HTG, AGHF 9 Avis-annoncerne Validering, matematisering AGHF 11 Terning-opgaven Matematisering, problemløsning AGHF 12 Hjertefrekvens-tekstopgaven Problemløsning, afmatematisering HTG, AGHF Alt i alt er der problemer i det meste af modelleringscyklussen. Der er tre opgaver som begge klasser har haft svært ved nemlig opgave 7, opgave 8 og opgave 12. De opgaver vil vi arbejde videre med i diagnosticeringen. Eftersom 2.g klassen ikke havde så store problemer med opgave 11, tager vi ikke den med. 4.1 Diagnosticeringsinterviews De tre elever blev interviewet individuelt. Cilla og Karen bliver filmet, men Iben fravælger det, da hun siger at hun er så dårlig og vil føle sig udstillet. Her tages notater i stedet for. Fremover skrives de tre pigers navne med fed. Andre deltagende elever (og lærere) skrives ikke med fed. 4.1.1 Spørgsmål 7 fra detektionstesten Opgaven lyder: På en ret stejl bakke i Athen findes en vej op, der er ca. 4 km lang. Rikke, som er i god form, kan bestige bakken med en gennemsnitsfart på 3 km i timen, og gå ned igen med den dobbelte fart. Hvad er Rikkes gennemsnitsfart for den samlede tur? Begrund dit svar. Opgavens kerne er matematisering (ifølge Mogens Niss kommentarer til detektionstesten), derudover er det en forudsætning for præmatematiseringen - og i det hele taget for at forstå hvad 2 Inddelingen bygger på Mogens Niss kommentarer til detektionstesten 15

Modellering DEL 3 der spørges om at eleven forstår begrebet gennemsnitsfart. Hele cyklussen er ikke i spil i denne opgave som har fokus på matematisering og problemløsning (en atomistisk tilgang). Karen viser forståelse for at turen oppe ad bakken tager mere end en time, og hun markerer på en skitse hvor langt op ad bakken hun kommer på en time 3. Hun er også med på at hun nu har en km tilbage. Men da hun bliver spurgt om hvor lang tid det tager at gå det sidste stykke, siger hun et kvarter. Som forklaring tegner hun en cirkel som hun deler i 4 dele. Hun forklarer sig sådan: Karen En time kan inddeles i 4 kvartaler. Hun kan nå tre af dem på en time kilometermæssigt. Så vil den sidste km være her [Karen skraverer den ene fjerdedel af cirklen]. Det tager hende et kvarter at gå hver km. Og der er 4 km. ialt. Mette Du siger, at det tager et kvarter at gå hver km. Hvor mange km. havde hun gået, da hun nået til det sted, du markerede på skitsen? Karen Det var tre km. Mette Og hvor lang tid tog det? Karen Det tog hende en time. Så kan det jo ikke passe 4. Det bliver her tydeligt, at Karen roder rundt i begreberne tid og afstand. Cilla på HTG har også problemer. Cilla starter med at gøre sig nogle overvejelser over teksten og kommer frem til at der er 8 km i alt og at hun på vej ned vil gå med 6 km i timen. Derefter går hun i stå og kan ikke finde ud af om hun skal dividere 4 med 3 eller 3 med 4. Her griber læreren (Lone) ind. Cilla ender med at regne brøken 4 3 ud, men hun har ingen fornemmelse for hvad hun regner ud med dette tal og hvorfor hun regner det ud, derfor kan hun ikke komme videre på egen hånd. Lone Cilla Hvis du nu bliver spurgt om hvor lang tid du skal bruge på at komme op ad bakken? Det er over en time, nåh, det er det, jeg har regnet ud (siger hun ikke helt overbevist) 3 Billedet er taget som et screenshot af videooptagelsen, og det var ret utydeligt, så billedet er efterbehandlet efterfølgende for forståelsens skyld 4 Empirisk abstraktion (Mitchelmore & White, 2004) 16

Modellering DEL 3 Læreren (Ama) forsøger at få hende til at skrive ned med enheder, så Cilla kan se det er en tid hun kommer ud med. Hun ender selv med at turen i alt varer 2 timer og det er for 8 km. Men det er pr. time indskyder læreren og Cilla kommer så frem til at facit er 4 km pr. time. Iben laver den klassiske fejl med at addere gennemsnitshastighederne og dividere med 2. Læreren (Ama) beder hende om at skitsere det hun læser. Iben tegner en bakke og når frem til at der i alt er 8 km. Hun går i stå og kan ikke komme videre, da læreren (Ama) spørger om hvad der gør at hun ikke kan komme videre, svarer Iben at hun bliver forvirret over begrebet gennemsnitsfart og ikke kan forstå hvorfor man ikke kan lægge sammen og dividere med 2. Karen når heller ikke frem til en konklusion på opgaven da også hun mangler en fuld forståelse for begrebet gennemsnitsfart. Den manglende begrebsforståelse blokerer for deres videre arbejde. Pigerne taber tråden og mangler egentlig at spørge sig selv Hvad bliver jeg spurgt om i opgaven? og På hvilke måder kan jeg udnytte informationerne i opgaven?. Disse spørgsmål vil ifølge Schoenfeld (1991) træne elevernes metakognition og dermed også iværksat foregribelse (Niss, 2010). Iben hjælpes i gang med at regne og da hun kommer frem til at turen tager 2 timer, skal hun igen mindes om hvad spørgsmålet var. Iben Skal jeg så dividere? Ama Hvad skal du dividere? Iben 2 med 8 Ama Hvad bliver enheden? Iben Nååh ja, det er km/t, så det må være omvendt. Alle tre piger har altså store problemer med denne opgave. De har problemer med præmatematiseringen fordi de ikke har styr på begrebet gennemsnitsfart. Det er helt tydeligt at de har en mangelfuld iværksat foregribelse. Matematiseringen driller, og problemløsningen bliver vanskelig. 17

Modellering DEL 3 4.1.2 Spørgsmål 8 fra detektionstesten: Opgaven lyder: Et pizzeria serverer to runde frokostpizzaer af samme slags og tykkelse, men i forskellig størrelse. Den mindste har en diameter på 30 cm og koster 30 kr. Den største har en diameter på 40 cm og koster 40 kr. Hvilken pizza giver mest for pengene? Vis, hvordan du kom frem til dit resultat. Ifølge Mogens Niss kommentarer til detektionstesten, er hele modelleringscyklussen i spil i denne opgave (holistisk tilgang). Alle tre piger har problemer med matematiseringen. Cilla identificerer diameteren som en nøglevariabel og Karen kan ikke afkode at det er arealer, der er centrale. Iben har også svært ved at komme i gang: Iben Ama Iben Ama Er det bare at dividere tallene (peger på 30 kr. og 30 cm)? Hvis det er en slikstang, så handler det om længden og så kan man få prisen pr. cm. Her har du en diameter. Hvis du ændrer på diameteren hvad ændres så? Arealet nåh så skal jeg finde arealet? Ja Herefter løser opgaven hun opgaven på egen hånd. Så snart Cilla kommer frem til det er arealerne der skal i spil, kan hun fortsætte på egen hånd. Karen skal hjælpes igennem hele problemløsningsdelen. 18

Modellering DEL 3 4.1.3 Spørgsmål 12 fra detektionstesten. Opgaven ser sådan ud: I denne opgave er der fokus på matematisk problemløsning (atomistisk tilgang) og til dels afmatematisering (ifølge Mogens Niss kommentarer til detektionstesten). Selvom der ikke direkte er præmatematisering, matematisering eller validering på færde i denne opgave, så var det interessant at observere hvorfor de udvalgte elever ikke løste opgaven. Cilla kan dog med det samme se at der er tale om lineære funktioner, men ved ikke hvad hun bliver bedt om. Lone Cilla Hvordan finder du af om den ene er større end den anden? Man kan tegne en graf Her kommer hun så i gang med problemløsningen. Problemet her er altså i høj grad at kunne læse og afkode teksten og finde matematikken bag ordene. Karen har også store problemer med teksten. I detektionstesten forsøgte Karen ikke engang at løse opgaven, men hun skrev som svar at der er for meget tekst. Der er tydeligt at den didaktiske kontrakt ikke er forhandlet på plads. Til interviewet får hun at vide fra start at det er funktioner, hun skal tænke på. Hun læser højt og begynder selv at genkende variablene. Hun kalder alderen for x men har problemer med at genkende y. Derefter skal hun støttes gennem problemløsningsdelen. 19

Modellering DEL 3 Iben kan slet ikke komme i gang med opgaven og læreren (Ama) må henvise til lineære funktioner, som er det aktuelle emne i klassen. Herefter skrives de to forskrifter ned på egen hånd, og Iben kan efterfølgende ikke komme videre 5. Ama Iben Når der spørges om fra hvilken alder, hvilken størrelse skal du så bestemme? x, men jeg ved ikke hvordan. Iben får hjælp til at sætte de to ligninger lig hinanden og løser til sin egen store overraskelse ligningen helt uden hjælp. I den efterfølgende samtale gav Iben udtryk for at det er alt for forvirrende, at der står alt for meget tekst og hvis de bare havde skrevet lineære funktioner, så ved man hvor man skulle hen. Som for de andre to piger er problemet for Iben i denne opgave i høj grad oversættelsen fra tekst til matematiske udtryk. 4.2 Konklusion - Diagnosticering Ud fra elevinterviewene med de tre opgaver viser det sig at eleverne har rigtig svært ved at matematisere. Det viser også at matematiseringsfasen bliver forplumret af, at de har svært ved at læse teksten og oversætte den til et matematisk sprog. Det er ifølge Duval (2002) registerskiftet mellem det multifunktionelle til det monofunktionelle sproglige der kommer i spil. Det er vanskeligt for dem at bevæge sig fra det ekstra-matematiske domæne til det matematiske domæne. Herudover er det ret tydeligt at de ikke mestrer iværksat foregribelse, hvilket ifølge Niss 2010 er en forudsætning for at kunne komme videre i modelleringscyklussen. 5 I klassen er vi endnu ikke kommet til at løse to ligninger med to ubekendte eller skæringspunktet mellem to linjer. 20

Modellering DEL 3 5. Interventionen Vores diagnosticering viste at eleverne har vanskeligt ved at koble det ekstra-matematiske domæne til det matematiske domæne. I vores intervention forsøger vi at gøre eleverne bedre til at matematisere den verden de sidder med og til selv at tage ansvar for hvordan de skal løse en given problemstilling fra virkelighedens verden. Vores interventionsplan ser sådan ud: Intervention 1 Intervention 2 Intervention 3 Sluttesten Vi stiller en åben opgave (lakridsopgave), hvor hele cyklussen er i spil. Derefter stilles endnu en opgave (kassen) med fokus på matematisering. Kun de to piger fra Høje Taastrup deltager. Vi underviser alle tre klasser i modelleringscyklussen. Eleverne analyserer en model-besvarelse og arbejder derefter selv med endnu en åben opgave. Hele cyklussen er i spil. Vi gentager lakridsopgaven i klasserne - Hvordan gribes opgaven an efter undervisningen i modelleringscyklussen? Vi stiller endnu en åben opgave - denne gang inden for et andet matematisk domæne (end geometri). Giver arbejdet med hele modelleringscyklussen bonus? I første intervention (og tredje) ønsker vi at styrke registerskiftet mellem det visuelle og det sproglige register i håb om at de bliver bedre til at praktisere iværksat foregribelse og dermed får lettere ved matematiseringen. Vi stiller i første omgang en åben opgave for at træne modelleringscyklussen i alle dens faser. Efterfølgende stiller vi en sprogligt formuleret opgave for at fokusere på den svære matematiseringsproces - herunder iværksat foregribelse. Diagnosticeringen viste jo netop at oversættelsen fra sprog til matematik skal trænes. Peter Galbraith and Gloria Stillman identificerer i artiklen A framework for identifying student blockages during transitions in the modelling process (Galbraith & Stillman, 2006) fem punkter i modelleringsprocessen som volder vanskeligheder for elever. De konstaterer at følgende 2 punkter skaber særligt store vanskeligheder: 21

Modellering DEL 3 1. Rodet situation fra den virkelige verden formuleret problem fra den virkelige verden 2. Formuleret problem fra den virkelige verden matematisk model Det er de første trin i modelleringscyklussen og præcis nogle af de områder der skabte vanskeligheder for vores elever. Eleverne havde problemer med at skabe et billede af visualisere- den virkelighed som teksten i opgaverne prøvede at beskrive. En stor snublesten viste sig at være når opgaven indeholdt megen tekst, så gik de i stå. De kunne så at sige ikke se matematikken bag ordene. Dette svarer til Gallbraiths og Stillmans punkt 1 jævnfør ovenstående. Derfor har vi valgt opgaver hvor det er muligt at give eleverne virkeligheden, der skal modelleres, i hånden. Der er meget lidt tekst i opgaverne så eleverne ikke skal sortere og systematisere en større mængde af informationer. Vi har altså fokus på punkt 1 og punkt 2. Eleverne har et rodet problem i hånden der skal afgrænses og struktureres, hvorefter det skal oversættes til en matematisk model. Karen fra Albertslund sprang fra umiddelbart inden vores første intervention. Hun følte sig presset og stresset og ønskede ikke at deltage i interventionen, som skulle foregå på Høje Taastrup Gymnasium. Vi gennemførte derfor interventionen med de to HTG-elever. Intervention bliver afholdt med pigerne samlet så de kan arbejde og udvikle ideer i et lille arbejdsfællesskab. Som tidligere nævnt er Cilla mat A-elev (i 2.g) og Iben er mat C. Ud over Mette, Ama og Lone var Uffe og Mogens også til stede ved den første intervention. 22

Modellering DEL 3 5.1 Intervention 1 - Lakridsrullen6 - Didaktiske overvejelser Find længden af en Haribo Roletta uden at måle længden med en lineal. Skitse af en Haribo Roletta (ikke samme mål som de rigtige lakridser) Eleverne får udleveret en lakridsspiral, lineal og pergamentpapir. Opgaven har ikke megen tekst og ikke mange forskellige parametre der skal tages hensyn til. Der er fokus på at oversætte fra virkeligheden til matematikken og på at idealisere. En idealisering er at det drejer sig om koncentriske cirkler. Matematisk set kan der laves en enkel model ved hjælp af viden om cirklens geometri, her sammenhængen mellem radius og omkreds. Der behøves ikke avanceret matematik, de kan nøjes med at anvende noget de allerede er (bør være) fortrolige med. Eleverne sidder med den virkelighed de skal modellere i hånden, på denne vis bliver det meget konkret, og vi håber dette kan hjælpe dem i processen. Validering af modellen kan gøres meget enkel. Spirallen rulles ud og længden af lakridssnøren måles op, eleven kontrollerer om målet stemmer (nogenlunde) overens med det tal modellen giver. Opgaven er åben: Åbne opgaver i matematikundervisningen er opgaver, hvor der er flere mulige svar, dvs. opgaver, hvor der er valg der skal træffes, fordi der er noget, der ikke er afgjort endnu (Pind, 2015). Eleverne bliver i første omgang nødt til selv at finde vej. For at løse opgaven må de træffe nogle valg. Det er disse valg der lukker opgaven til så der er en/færre muligheder. Valget 6 Opgaven er taget fra bogen Åben og undersøgende matematik af Pernille Pind, Forlaget Ping og Bjerre, 2015 23

Modellering DEL 3 af en åben opgave er bevidst for at få eleverne lidt på glatis så modelleringen kan blive interessant (Højgaard, 2010) og for at få så mange som muligt af cyklussens elementer med. 5.1.1 Resultatet af intervention 1 - lakridsrullen Pigerne er lidt nervøse i starten. De vil gerne være sikre på hvad de må og spørger, om de bruge lineal. Den didaktisk kontrakt er på tale her og kommer senere til udtryk igen hvor en af pigerne spørger om de må bruge lommeregner. Iben Det er som om den kører i ring Idealiseringen er i gang og pigerne forsøger at skabe en sammenhæng. Det vil sige, de er i gang med præmatematiseringen idet de idealiserer lakridsen til at bestå af cirkler. Men præmatematiseringen er implicit, pigerne udtrykker ikke at de idealiserer, måske er de ikke engang bevidste om det. De kan ikke komme videre og får lov til at rulle lakridsen op men må ikke måle på den. Iben Cilla Se, det går bare rundt hele tiden (siges mens hun ruller den ud). Det er noget med en cirkel.. Så kan man vel finde cirklens areal og omkreds. Cilla skriver formlerne ned. Efter idealiseringen begynder de at skabe en sammenhæng. Cilla tilnærmer lakridsen til at bestå af cirkler og inddrager omkreds og areal. Herefter måler de på tegningen med lineal, men Cilla bliver i tvivl om hvordan der skal måles. Iben foreslår at de finder arealet og dividerer med antal cirkler, men hun virker usikker. Pigerne har afbildet det ekstra matematiske domæne til et matematisk domæne, de er i gang med at matematisere. Selve valget af relevante relationer i det matematiske domæne er en vanskelig opgave for dem, den kræver en vis indsigt i hvordan man udnytter en matematisk repræsentation. Dette viser tydeligt deres manglende evne til iværksat foregribelse. Cilla Vil det være rigtigt hvis man måler diameteren af den yderste og så tog man den næste osv. De har fanget ideen med at finde omkredsen af hver cirkel og lægge dem sammen. Undervejs diskuterer pigerne igen hvordan de måler diameteren. De bliver forvirrede af den inderste cirkel 24

Modellering DEL 3 der hvor den går ind i midten. For en stund er de rykket tilbage i præmatematiseringen og er optaget af hvordan det inderste af lakridsen idealiseres. De bliver opfordret til at tegne cirklerne ind på tegningen. Pigerne tager den inderste cirkel med og ved der mangler det stykke i midten. De får lov til at bruge lineal til det sidste stykke, som i virkeligheden er diameteren på den inderste cirkel. Pigerne får ved hjælp af cirkelmodellen beregnet et mål for længden af papir-lakridsen. Afmatematiseringen består i at pigerne kommer frem til hvad deres resultat betyder i forhold til spørgsmålet i den virkelige verden. Derefter vender de tilbage til problemløsningen for at regne ud hvor lang virkelighedens lakrids er, og derefter afmatematiserer de igen: Mette Cilla Iben Lone Iben Er det så længden af lakridsrouletten I har fundet? Nej det er den på tegningen, så er den jo dobbelt så stor Nej den er mere end dobbelt så stor Hvordan vil I så finde længden af rouletten? Kunne man dividere ned til den størrelse den er mindre? De har altså en ide om hvordan de skal gribe det an. Cilla foreslår at de kan dividere diameteren af lakridsen på tegningen med diameteren af den virkelige og sammen når de til forholdet 2,8. De bliver opfordret til at måle på den oprullede lakrids og finder at forholdet mellem de 2 længder er 3,2. Mette Hvorfor tror I det ikke helt passer? Pigerne nævner fornuftige årsager såsom at lakridsen kan trækkes ud fordi den er lavet af gummi og at cirklerne ikke er helt præcise. Valideringsfasen er ikke vanskelig for pigerne da de sidder med noget håndgribeligt, men de var ikke gået ind i fasen hvis ikke de var blevet bedt om det. Det kunne tyde på at de ikke har indset eller ikke betragter det som en vigtig del af opgaven. Som tidligere nævnt bryder denne type opgaver med den didaktiske kontrakt. Flere gange når eleverne er i tvivl, tager de ikke et initiativ men afventer instruks fra en lærer. 25

Modellering DEL 3 5.2 Intervention 1 - En kasses rumfang - Didaktiske overvejelser Den anden opgave handler om at opstille en formel for rumfanget af en foldet kasse. Opgaven lyder: I et stykke A4-papir klippes fire kvadratiske hjørner af, så papiret kan foldes til en kasse. Opstil en formel for kassen rumfang. Eleverne kan prøve at løse opgaven ved hjælp af papir og blyant eller i første omgang konkret klippe og folde en fysisk kasse af A4 papir. Det sidste kan være en hjælp til at konkretisere. Også her er den matematik der er brug for relativ enkel. Der er meget lidt tekst. Opgaven bliver i første omgang stillet uden tilhørende figurer. De skal selv igangsætte det nødvendige registerskift for at visualisere hvad opgaven går ud på. Oplysninger skal oversættes til virkeligheden, og det kan gøres ved at klippe og folde eller ved at tegne. Problemet skal identificeres. Vi træner altså skiftet fra det multifunktionelle sproglige register til det multifunktionelle visuelle register og derfra tilbage til det monofunktionelle sproglige register. Vi ønsker dermed at styrke matematiseringsprocessen. Det er en typisk eksamensopgave hvor fokus er skubbet til matematiseringen. 26

Modellering DEL 3 Hvis eleverne ikke kan gennemskue hvordan de skal gribe opgaven an (skiftet til det visuelle register), vil vi give dem en tegning af situationen: På bordet ligger papir, blyanter, lineal, tape og en saks. Der bliver ikke sagt noget om at det skal bruges. 5.2.1 Resultatet af intervention 1 - En kasses rumfang Pigernes første reaktion er at der står for meget tekst, til trods for der kun er to sætninger. Der står ingen matematiske formler i opgave, så det de oplever som megen tekst er (måske)at i forhold til matematisk symbolsprog fylder almindelig tekst i denne opgave meget. De læser opgaven omhyggeligt. Iben siger at der i forvejen er en formel for kassens rumfang, og hun forstår ikke meningen med opgaven. Hun er stadig i det ekstra matematiske domæne hvor hun forsøger at forstå det problem, opgaven lancerer. Før hun har den forståelse, sidder hun fast. Cilla spørger om der skal klippes og om det er derfor vi har lagt saksen på bordet. Den didaktiske kontrakt er igen på færde. Iben læser højt fire kvadratiske hjørner, tager et stykke A4 papir og siger at det ikke bliver kvadratisk men rektangulært. Ama Prøv at læse igen, hvad er det der skal være kvadratisk? Pigerne diskuterer hvor meget der skal klippes af. Cilla spørger om kassen også skal være kvadratisk og Iben vil have bekræftet det er hjørnerne der skal være kvadratiske og kommer ind på at hjørnerne i virkeligheden kan være små. Cilla Lone Men de skal være lige store alle fire? Ja Pigerne er altså i fuld gang med at skære til og specificere. De starter med et hjørne på 10 gange 10. Da de markerer på den korte side af A4-arket, opdager de at det ikke kan lade sig gøre. For begge piger er det en hurdle at forstå problemet til bunds. At der i forvejen findes en formel for rumfanget af en kasse bringer forvirring, hvorfor lave en formel, når der findes en i forvejen?. Det ses her hvor vigtigt det at bruge tid på selve forståelsen af problemet, præmatematiseringen 27

Modellering DEL 3 og genkendelsen af variable som har en nøgleposition i problemet for at kunne matematisere. Den manglende iværksatte foregribelse står klart i vejen for at komme videre til matematiseringen. Mette Iben Kan I forestille jer hvordan kassen vil se ud? Kan I opstille en formel for rumfanget? Det er du god til Cilla. Her er Ibens beliefs om Cillas og egne evner til matematik på spil, flere gange har hun udtrykt at Cilla er bedre og derfor bør kunne svaret. Cilla skriver V = l b h Pigerne hjælpes altså ind i matematiseringsfasen og med at vælge et matematisk domæne som de skal arbejde med. Mette Iben Hvad tænker I på når der står opstil en formel? At det er noget med en ligning Iben er stadig noget forvirret over at man skal opstille en formel og peger på den, som Cilla har skrevet, og siger den vel også gælder for deres kasse. Pigerne kan stadig ikke helt se meningen med at opstille en formel, og Iben mener man i virkeligheden bare kan måle siderne og sætte ind. De bliver bedt om at gøre det og ender med at skrive 19,6 10,9 5 = 1068,2 Lone Hvis man nu ikke klipper et 5 gange 5 hjørne ud men et x gange x, hvordan vil regnestykket så se ud? Nu oplever vi to automat-reaktioner fra pigerne. Iben nævner det kunne have noget at gøre med ax + b = y, men hun korrigerer sig selv med det samme: Nej, det kan jo ikke gælde her. Senere da pigerne er nået frem til at højde, længde og bredde kan udtrykkes ved hjælp af x, beder Lone dem om at indsætte deres udtryk i den generelle rumfangsformel. Cilla Så vil du have at vi skal isolere x bagefter? Vi ser her to eksempler på at pigerne griber efter kendte formler og rutiner fra undervisningen uden at reflektere over, hvad de skal bruge det til. Dette er igen et tegn på den manglende iværksatte foregribelse. Pigerne bliver guidet til hvordan de skal arbejde i denne opgave, og det 28

Modellering DEL 3 lykkedes dem at opstille formlen. Modellen bliver på grund af tiden hverken afmatematiseret eller valideret. 5.3 Kort sammenfatning af intervention 1 I opgaven med lakridsrouletten gik det relativt nemt med at vælge et korrekt matematisk domæne, men de havde svært ved at vælge matematiske objekter der var relevante for problemløsningen. Det er igen manglende mestring af iværksat foregribelse der er en af snublestenene. I opgaven med kassen var det i nogen grad det at kunne forstå en matematisk tekst, der stod i vejen. Hvad er det egentlig vi skal i denne opgave? Begge gav udtryk for at der stod for meget tekst, hvilket kan blokere for hele modelleringscyklussen. Eleverne blev længe i det ekstra- matematiske domæne da de havde svært ved at visualisere og forstå det problem, opgaven stillede. Eleverne skulle ledes ind i og gennem matematiseringsfasen. Vi vil nu undervise eleverne i modelleringscyklussens faser for at se om kendskabet til hele processen kan hjælpe dem til at ændre deres indstilling til, hvordan de kan gribe åbne opgaver an og dermed forhåbentlig blive bedre til at modellere. 5.4 Intervention 2 - Didaktiske overvejelser Vores interventionsdesign for resten af interventionsforløbet er inspireret af erfaringerne fra RUC beskrevet i artiklen Developing mathematical modelling competence: conceptual clarification and educational planning (Blomhøj & Jensen, 2003) og af overvejelserne omkring modellering og anvendt matematik af Niss, Blum og Galbraith (2007). Der findes, som nævnt tidligere, to tilgange til det at arbejde med matematisk modellering - en holistisk og en atomistisk. Den holistiske tilgang indebærer at hele modelleringscyklussen er i spil. I den atomistiske tilgang er dele af modelleringscyklussen (f.eks. matematisering og problemløsning) i centrum. Erfaringerne fra introduktionskurset i modellering på RUC viser at begge tilgange bør være i spil. Introduktionskurset er bygget op så de studerende får træning i at matematisere og i at analysere matematiske modeller, og der undervises sideløbende i problemløsning. Der undervises og tales løbende om hele processen. En vigtig pointe i artiklen,( Niss, Blum og Galbraith (2007)), er at 29

Modellering DEL 3 modellering skal læres og ikke kun praktiseres. I vores intervention vil vi forsøge at styrke elevernes modelleringskompetence dels ved at undervise dem i modelleringscyklussen, bede dem om at analysere en løsning af en matematisk modelleringsopgave samt udsætte eleverne for selv at skulle modellere. Problemstillingen i interventionen og i sluttesten er valgt så eleverne har mulighed for at udøve iværksat foregribelse (Niss, 2010). De ikke har brug for ny matematisk viden, men de kan anvende matematik som de i forvejen kender. På den måde baner vi vejen for den vanskelige matematiserings- og problemløsningsfase. Vi er meget bevidste om at vores interventionsforløb er for kort til, at eleverne bliver dygtige til at modellere, men det har ikke været praktisk muligt at gennemføre et længere forløb. Formålet med intervention 2 er primært at undervise eleverne i modelleringscyklussen i sin helhed (holistisk tilgang). Modelleringscyklussen gennemgås, og eleverne skal herefter løse et slags puslespil hvor en lettere revideret besvarelse (Niss, Kommentarer til detektionstest, 2015) af opgave 8 (pizza-opgaven) fra detektionstesten 7 præsenteres i en blandet rækkefølge 8. Elevernes opgave er at finde sammenhæng i besvarelsen og henvise til den del af modelleringscyklussen som besvarelsen refererer til. Herefter udleveres opgave 5 fra detektionstesten, hvor eleverne skal finde højden af en bygning. Eleverne blev bedt om at sende deres besvarelser elektronisk. Intervention 2 blev afholdt i alle tre klasser (1. hf, 2. hf og 2.g) og modulet er opbygget på denne måde: 1. Vi gennemgår modelleringscyklussen teoretisk og forklarer dem, hvad de enkelte overskrifter betyder 9. 2. Vi udleverer derefter dokumentet Modelleringscyklus til dem og Puslespilsmodellering 10. 7 Opg. 8: Et pizzeria serverer to runde frokostpizzaer af samme slags og tykkelse, men i forskellig størrelse. Den mindste har en diameter på 30 cm og koster 30 kr. Den største har en diameter på 40 cm og koster 40 kr. Hvilken pizza giver mest for pengene? Vis, hvordan du kom frem til dit resultat. 8 Se bilag 3 9 Se bilag 4 10 Se bilag 3+4 30

Modellering DEL 3 De skal nu sætte et nummer på de forskellige kasser ud fra modelleringscyklussen. 3. Til sidst udleveres dokumentet Svar på modelleringsopgaven-elever 11. 4. Eleverne gentager nu legen med opgave 5 fra detektionstesten. 5. Der samles evt. op på klassen. Inden vi beskriver hvordan interventionen forløb i de enkelte klasser, kommer der en beskrivelse af forløbet op til interventionen i Albertslund hvor begreber som didaktisk kontrakt og beliefs fyldte en del. 5.5 Intervention 2 - Optakt I ugerne op til interventionen boksede Mette en del med eleverne på det sammensatte B-niveau hold i Albertslund i forhold til at få etableret en ny didaktisk kontrakt. De velkendte elever fra 1. hf var vrede over at skulle lære nyt stof, irriterede over at skulle introduceres til Ti Nspire (som vores elever først får licens til på B-niveau) og de var i det hele taget ikke særligt indstillede på at skulle levere en indsats i timerne. De ikke-velkendte elever (den anden del af holdet) meldte ud at de ikke kunne noget matematik. De virkede decideret opgivende. I håbet om at forberede holdet på den kommende intervention fik de stillet en afleveringsopgave med 3 optimeringsopgaver 12 i forlængelse af et forløb om andengradspolynomiet og introduktion til CAS (opgavetyper de ikke tidligere har arbejdet med). Opgaverne blev stillet umiddelbart inden efterårsferien. Reaktionerne var ret voldsomme. Jeg fik følgende besked fra en elev i ferien: Hej Mette :( Jeg ved ikke om jeg skal fortsætte med mat B, fordi hver gang vi får udleveret en opgave, så kigger jeg på den og jeg ved ikke hvor jeg skal starte. Jeg har ingen ide om hvordan jeg skal gribe opgaven an. Jeg føler virkelig at jeg er dum og har det ikke som om jeg er god nok til B- niveau. Opgave aflevering den her gang forstår jeg heller ikke. Jeg kigger og tænker og prøver virkelig at finde på bare én ting jeg måske kunne gøre - men det er bare sort :( 11 Se bilag 5 12 Se bilag 6. Opgaverne er fra det materiale Sten Bregnhoved (vores medmatematikvejlederstuderende) anvender i forbindelse med undervisningen i matematisk modellering. 31

Modellering DEL 3 En anden elev skrev Hejsa Mette c: Jeg sidder fast ved opgave 2. Jeg tror jeg har en ide om hvad jeg skal, men jeg har brug for et spark. Skal jeg bruge en kvadratsætning i den opgave? Hvis ja, hvordan skal den så bruges. Her ses tydelige eksempler på, hvorfor vores elever giver op (Jeg føler virkelig at jeg er dum og har det ikke som om jeg er god nok til B-niveau). De mister selvtilliden, de stoler ikke på sig selv, og de føler ikke, de har redskaberne til at komme videre. Flere gange formulere eleverne Jeg tror jeg har en ide om hvad jeg skal, men jeg har brug for et spark. Ovenstående viser igen manglende mestring af iværksat foregribelse. Efter ferien snakkede vi om deres frustrationer, og de forsøgte at formulere hvad det er der gør det så svært for dem. De svarede entydigt at de har svært ved at læse teksten og forstå, hvad de skal gøre med den. Det er matematiseringen der er vanskelig (også selvom de er hjulpet på vej i opgaveformuleringen) og til dels problemløsningen, der volder problemer. Men det er i lige så høj grad selve arbejdsgangen. Hvad skal jeg gøre, når jeg sidder fast? Hvordan kommer jeg videre? De er ikke trænede i at finde vej uden kompas, og det er jo netop kernen i modelleringskompetencen hvor man står med en åben opgave som kan angribes på flere måder (Blomhøj & Jensen, 2003, s. 127). Mette gennemgik efter ferien opgaverne fuldstændig slavisk. Læste teksten ord for ord sammen med eleverne. Stoppede hele tiden op og skrev og tegnede og tastede. Formålet var at demonstrere en arbejdsgang, og elevernes opgave var så efterfølgende at forklare udførligt hvad vi havde gjort og aflevere det. Optakten til selve interventionen i Albertslund med at gennemgå tre optimeringsopgaver fungerede derfor som en træning af matematisk problemløsning (atomistisk tilgang). Men forløbet skulle i endnu højere grad gøre eleverne opmærksomme på behovet for at ændre den didaktiske kontrakt, så de kunne gå ind i interventionen med en motivation for at lære noget. 32

Modellering DEL 3 Som nævnt tidligere sprang Karen fra umiddelbart inden første intervention, men vi holder alligevel fast i hende ved fortsat at observere hendes udvikling gennem klasserumsinterventionerne på Mettes 2hf-hold. Lones 2g. klasse er en ret dygtig klasse med matematik på A-niveau i studieretningen. Der var 28 elever til stede til interventionen, og Lone var alene med klassen, men hun forsøgte ligeledes at fokusere på gruppen med Cilla. Amas 1. hf-hold er endnu ikke kommet så langt med kernestoffet. Klassen har arbejdet med indledende matematik og ligninger, og klassen er på nuværende tidspunkt i gang med emnet lineære funktioner. Klassen er få gange stødt på formuleringen opstil en model, som beskriver den lineære funktion. Ordet model er ret nyt og mange gav udtryk for at de ikke vidste hvad de skulle. Andre forbandt ordet model med en figur eller en graf og var derfor gået i stå i opgaven. Det var derfor vigtigt at begrebsbillederne kom på plads (Tall & Winner, 1981) og der blev løst flere opgaver med en formulering som ovennævnte. Med udgangspunktet i disse opgaver blev klassen introduceret til modelleringscyklussen. I vores beskrivelse af resultatet af intervention 2 har vi valgt at fokusere på de enkelte opgaver frem for det enkelte gymnasium. Under hver delopgave inddrager vi derfor oplevelser og erfaringer både fra Høje Taastrup og Albertslund. 5.5.1 Resultatet af intervention 2 - modelleringscyklussen Flere elever på Amas 1. hf-hold fra Høje Taastrup gav udtryk for at de ikke forstod meningen med cyklussen. I den fælles diskussion blev der lagt stor vægt på forskellen mellem de to verdener (jv. Mogens Niss). 33

Modellering DEL 3 Herudover pointeres at det er en stor hjælp at tænke på modelleringscyklussens trin når de løser opgaver og at de altid skal skrive en konklusion på de opgaver de løser, hvilket svarer til afmatematisering. Lones 2.g klasse fra Høje Taastrup blev allerførst spurgt om hvad der var så anderledes ved opgaverne fra 13 spørgsmål fra Professoren. Det gennemgående svar var, i sit indhold, identisk med hvad Cilla tidligere havde givet udtryk for nemlig at opgaverne var fulde af tekst og meget lidt matematik. Under gennemgangen af modelleringscyklussen konkretiserede klassen og Lone de forskellige faser i cyklussen ved at arbejde mundtligt med spørgsmålet Hvilken bank kan det bedst betale sig at bruge?. Klassen er inde på at de opgaver, de traditionelt får, befinder sig indenfor matematisering (punkt 3) og matematisk problemløsning (punkt 4). De støder på opgaver der indeholder afmatematisering i form af ordlyden Gør rede for betydningen af a og b, hvilket er et problem for flere. Mettes 2.hf ere fra Albertslund havde umiddelbart ingen kommentarer til modelleringscyklussen. 5.5.2 Resultatet af intervention 2 puslespillet Puslespilsopgaven volder ikke de store problemer. I 1.hf-klassen fra Høje Taastrup kan Iben med det samme genkende pizzaopgaven og bliver nærmest opmuntret selvom hun i begyndelsen ikke rigtigt forstår meningen med cyklussen. Ibens gruppe bliver i tvivl om hvad forskellen mellem matematisering og problemløsning er, og Ama forklarer og henviser til det vedhæftede ark med ordforklaringen. Herefter var de meget hurtigt færdige med kategoriseringen. En pige fra Ibens gruppe (lidt svagere end Iben) bliver overbevist om at det er nemt og siger med et smil på læben Nååh, det er da nemt det her. I 2g og 2hf-klasserne er der generelt stor enighed om hvilke brikker der hører til hvilke trin. Cilla og hendes makker fra Høje Taastrup er nået frem til samme rækkefølge som løsningen. Lone beder om argumenter for sammenkoblingen mellem en brik og et trin i cyklussen. De argumenterer ud fra ordlyden i besvarelsen: 34

Modellering DEL 3 Der står at Arealet af en cirkel er.og der står noget med radius og π derfor må det være matematisering. Der står jeg henter hjælp hos lommeregneren og han regner tallet ud så det er problemløsningen [ ] Når der står Det vil sige den lille pizza koster altså og den store. Altså er den lille pizza dyrere pr areal (volumen) end den store så er det en konklusion og det handler om hvad der er billigst så det er svar på spørgsmålet og det må være afmatematisering (punkt 5). Der er godt styr på brikkernes kobling til matematisering, problemløsning og afmatematisering. De to eneste punkter der giver anledning til lidt forvirring er præmatematisering og validering. Det er det samme billede i Albertslund hvor de diskuterer forskellen mellem validering og præmatematisering. Karen Emma Karen Emma Karen Emma Her går personen faktisk mere ind i opgaven, fordi der antages at rund betyder cirkulær, dvs. faktisk at den her er 2 eren (præmatematiseringen). Nåh, men så er den anden valideringen, for der står Jeg kunne så undersøge 3 eren må være der, hvor udregningen begynder. Og så regner hun den ud ved hjælp af lommeregneren. Og så får hun jo svaret. Ja I valideringen indgår ordene Jeg kunne antage, så isoleret set giver det derfor mening at eleverne forveksler det med præmatematiseringen. Eleverne anvender ordgenkendelses-strategi til at retfærdiggøre hvor den enkelte brik passer ind i modelleringscyklussen. 5.5.3 Resultatet af intervention 2 bygningsopgaven I bygnings-opgaven har 1hf erne fra Høje Taastrup svært ved at komme i gang. Iben bliver med det samme forvirret over opgaven og giver udtryk for at teksten er forvirrende. Iben Ama Elev Ama Hvad er det vi skal? Prøv at læse teksten. Hvad bliver I bedt om? Men hvordan? Der står ikke hvad vi må bruge? Må vi bruge lineal? Se dit spørgsmål er ret vigtigt. Du er allerede i præmatematisering og vil gerne gøre dig nogle antagelser. I skal i gruppen diskutere og blive enige om hvordan I vil finde højden af bygningen. 35

Modellering DEL 3 Den didaktiske kontrakt er i spil (Må vi bruge lineal? Hvad skal vi?). Ama afbryder gruppearbejdet og slår fast at de nu skal forsøge at følge modelleringscyklussen. Karen s gruppe fra Albertslund går stille og roligt i gang. De læser om præ-matematisering på det udleverede stykke papir: Emma Karen Emma (læser) Vi præciserer det spørgsmål, vi ønsker at få svar på. Vi foretager en idealisering. Det er der, hvor man virkelig går ind i opgaven, piller den i stykker kan man kalde det. Hvor høj er den forreste bygning, så får vi allerede at vide, at det er den blå af dem. Vi ved ikke noget, vel? Vi antager at den går vinkelret med et eller andet ude på gaden. Så kan vi bruge noget med en trekant, kan vi ikke? Her griber Emma efter noget bekendt, og hun tænker trigonometri og håber at kunne bruge det til et eller andet. Emma Karen Kan vi ikke tage noget med et menneske. En kvinde. Etage-mæssigt. Den er jo ca. 5 etager høj. Men er er også noget med at billedet er taget på den der måde fra folkeskolen med fugleperspektivering. Eller i hvert fald perspektivering. Her er Karen på sporet af en idealisering om end hun formulerer sig en smule upræcist. I 2g-klassen fra Høje Taastrup tager Cilla føringen i sin gruppe som starter med at diskutere hvilke personer, de skal anvende til at sammenligne og hvorfor huset er højere i den ene ende end i den anden ende. De kaster sig altså direkte ind i præmatematiseringsfasen hvor de nærmer sig en idealiseret situation. Lone Gruppen Lone Cilla Er det højere? Er huset i virkeligheden højere i den ene ende? Næææ Hvordan er det taget? Skråt nedefra, det er bedst at bruge den mand der står tættest på. Ham i den røde for eksempel. Gruppen diskuterer nu hvor høj en mand i gennemsnit er, og de er dermed på vej over i det matematiske domæne. En af eleverne foreslår 1,60 m (hendes egen højde). Cilla (og Lone) 36

Modellering DEL 3 protesterer, til sidst får gruppen et par af fyrene til at rejse sig op, enes om hvem af dem der har en gennemsnitshøjde og får højden oplyst. Alle grupper måler højde på et af menneskene og huset på billedet og finder forholdet mellem personen og husets højde på billedet. I Albertslund går denne del lidt mere trægt. Eleverne har i den grad brug for vejledning for at komme i gang. Karen Mette Karen Mette Vi sidder fast, Mette, for alle de tanker vi kommer med er ikke matematiske nok. Måske er det fordi I stadig er i del 2 [præmatematisering] Men så kigger vi lidt på at der er 5 etager. Så tænker vi på horisontale linjer. Men det er ikke matematisk nok. Men det ved jeg ikke, om de ikke er. Det er der ikke nogen regler om. Her er den didaktiske kontrakt og de sociomatiske normer i den grad på spil igen. De har en forestilling om hvad der er matematisk nok, og de overvejelser de sidder med opfylder ikke de kriterier, og derfor går de i stå. Læreren forsøger at sætte gang i elevernes iværksatte foregribelse. Mette Emma Mette Emma Mette Emma, du snakkede på et tidspunkt om målestoksforhold. Kan du ikke prøve at uddybe det? Er der noget på det billede, som I kender højden af? Damen, måske. Busstoppestedet. Ja, ok. Hvor mange mennesker er der på billedet? Tre. Og så ligger der en ned eller sådan noget. Hvis I skulle bruge de mennesker til noget. Er der nogen af dem der er mere anvendelige end andre? Emma peger på personen i hvidt til venstre. Mette Og hvis du skal bruge den person, hvor vil du så måle bygningen henne? Karen griber ind og peger på figuren. Mette Emma Mette Og er det et fornuftigt sted at måle bygningen? Nej der er det ikke, for hun står længere væk fra bygningen, der ligesom er vendt. Så er det bedre at bruge dem, der står på samme side som bygningen (peger på de to personer på billedet).men så bliver vi jo nødt til at antage at de for eksempel er 1,80 høj. Ja. Prøv at køre den vej. 37

Modellering DEL 3 Gruppen har problemer med at tilskære opgaven, så de bliver i stand til at vælge det matematiske domæne. De kredser om geometri, inden de bliver ledt på rette spor. Det er altså i høj grad præmatematiseringsfasen og matematiseringen, der her er den store udforing. De går nu i gang med at skrive det ned og forholde det til punkterne i modelleringscyklussen. 2g-klassen fra Høje Taastrup har problemer med valideringen. Hvad skulle man under dette punkt? Resultatet var jo lidt upræcist fordi de ikke kendte mandens nøjagtige højde. Og de kunne ikke måle på huset. Klassen vejledes til at finde et mål for etagehøjde og antal etager. I en af grupperne kom de selv frem til at gange en gennemsnitlig etagehøjde med antal etager (5) og se om deres resultat var rimeligt. En anden gruppe nåede frem til at huset var ca. 10 m højt og syntes det var fuldt ud rimeligt. Lone bad dem regne baglæns: Hvor mange meter er der så til hver etage? Resultatet, 2 meter, studsede de ikke over før Lone fortalte at hun var 1,70 m og det ville svare til at der var 30 cm mellem hendes isse og loftet. Så kunne de godt se der var noget galt. I valideringen kommenterede gruppen dette, men den gennemløb ikke modelleringscyklussen en gang til selvom den blev bedt om det. I første hf-klassen fra Høje Taastrup er grupperne også generelt i tvivl om valideringen, og en elev mener at man skal til København for at måle højden af bygningen. Klassernes besvarelser ses i bilag 7. 5.6 Kort sammenfatning af intervention 2 Som udgangspunkt leverer grupperne besvarelser, der passer fint ind i modelleringscyklussen faser. Undervejs viste det sig at præmatematiseringen, matematiseringen og valideringen gav dem problemer. Karen fra Albertslund fangede sådan set hurtigt hvad opgaven gik ud på. Hun brugte god tid på at læse opgaven, og hun var styrende i processen. Den usikkerhed hun udviste, i forbindelse med diagnosticeringen, er væk i denne forbindelse hvor der findes en rigtig eller en forkert løsning. Det er en forholdsvis enkelt opgave, et puslespil med 6 brikker. Karen sad med modelleringscyklussen ved siden af sig, og hun kunne umiddelbart godt forstå, inden for hvilke faser besvarelsens dele skulle være. Cilla fra Høje Taastrup tog føringen under arbejdet med jævne mellemrum, så hun har 38

Modellering DEL 3 i hvert fald fået mere tillid til at hun har noget at byde på i denne opgave type. Blandt 1.hf erne var der en del usikkerhed. En elev sagde: Jeg kan slet ikke når det handler om opgaver, hvor man selv skal finde på noget [hun mener her at gøre sig nogle antagelser], så går jeg helt i stå. Jeg vil hellere løse opgaver hvor der er nogle oplysninger om opgaven og så kan jeg løse den, og det er jeg rigtig god til. Det er meget klart at hendes forestilling om matematik bør ændres (jv. de Corte, Op t Eynde & Verschaffel, 2002). Matematik handler efter hendes mening om at løse opgaver og ikke at man, i visse situationer, bliver nødt til at idealisere en problemstilling for overhovedet at kunne matematisere problemet og komme frem til en løsning. Vi skal altså træne dem i hele modelleringscyklussen så det giver mening for dem, hvad vi laver. De skal derfor i gang med at modellere på egen hånd. 5.7 Intervention 3 - I klassen I denne intervention vil vi gentage lakrids-opgaven i klassen. Vores formål er at undersøge, om undervisningen i modelleringscyklussen gør at eleverne kommer igennem opgaven. Karen fra Albertslund møder lakridsopgaven for første gang i dette modul, eftersom hun ikke deltog i intervention 1. 5.7.1 Resultatet af intervention 3 - AGHF (mat B - hf) Læreren (Mette) oplevede denne del af interventionen som vellykket i forhold til at få eleverne til at arbejde. Det summede af liv og aktivitet. Den eneste gruppe der ikke kunne komme i gang, var en gruppe bestående af elever, der ikke var til stede i det sidste modul hvor modelleringscyklussen blev gennemgået. Her forsøgte vi at forhandle os frem til en ny didaktisk kontrakt, hvor eleverne indvilligede i at de selvstændigt skulle arbejde med stoffet og kaste sig ud på dybt vand uden sikkerhedsline. Ret hurtigt kommer grupperne i gang med at tænke på omkredsen af en cirkel. Men der er stadig usikkerhed at spore rundt omkring. Gruppen med Karen tegner på lakridsrullen på papiret. 39

Modellering DEL 3 Maja Mette Emma Mette Maja Mette Emma Så du har ikke tænkt dig at sige, om det er rigtigt eller forkert? Nej, I skal bare se at komme i gang. Oh, my god. Men prøv at høre, I kan jo selv tjekke om det er rigtigt, når I er færdige. Men så når vi er færdige, og hvis det viser sig at det er forkert, så skal vi jo starte helt forfra Ja, men det er jo en pointe, at I bliver nødt til at vurdere om I kunne have gjort det anderledes og bedre, hvis det nu viser sig at være helt hen i vejret. I er nødt til bare at give det et skud. Ok, lad os starte med at finde diameteren af den her. Mon ikke vi kan bruge det til at finde omkredsen af den yderste cirkel? Her bliver Mette nødt til at gå over til den anden gruppe. Tilbage igen efter lidt tid. Mariam Mette Maja Mette Mariam Men du kender godt svaret, gør du ikke? Jeg kender ikke jeres svar. Så der kan være forskellige måder at regne det på? Selvfølgelig er der det Ui Det er tydeligt at den didaktiske kontrakt stadig er under forhandling. Eleverne mangler selvtillid og udholdenhed som er en af forudsætningerne for at kunne matematisere (Niss, 2010). De søger lærerens bekræftelse, og de er utrygge ved opgavens åbne karakter. De begynder nu at tælle cirkler på papiret. De snakker frem og tilbage omkring det at der mangler noget i midten af lakridsen, og at den yderste ring ikke er en hel ring, måske kan være modvægten til det de mangler. Maja [Forklarer] Vi har målt diameteren på den yderste cirkel. Det at der mangler lidt yderst går op med at vi får lidt mere inde i midten til sidst. Vi har 6 cirkler i alt. De er i gang med at tilpasse virkeligheden så de kan overskue problemet matematisk. De bevæger sig frem og tilbage mellem præmatematisering og matematisering. De lægger lidt til og trækker lidt fra for at få problemet til at blive overskueligt. Vi ser her samme træk som i intervention 1, hvor de, efter at have valgt det matematiske domæne, går tilbage for at idealisere yderligere. Senere validerer de ved at måle den oprullede lakrids og sammenligne med det facit de opnåede ved hjælp af modelleringen. De to længder er relativt tæt på hinanden. Gruppen arbejder lidt 40

Modellering DEL 3 videre. En siger: Eventuelt kunne vi måle omkredsen af halvcirklerne i stedet for, så det blev mere tydeligt, hvilken halvcirkel der bliver regnet på? De forsøger altså at optimere deres model, uden dog at gennemløbe modelleringscyklussen forfra. 5.7.2 Resultatet af intervention 3 - HTG (Mat B - stx) Klassen er igen inddelt i 7 arbejdsgrupper, til stede er klassens lærer Lone. Der er ikke videooptaget. I hele taget blev det en noget anderledes time og mere kaotisk time end det plejer. Klassen synes det var en sjov opgave og går i begyndelsen af modulet til opgaven med stor motivation og aktivitet. Flere af de elever, som har svært ved faget og ikke deltager særligt meget i timerne, er aktive og engagerede i at løse opgaven. De bliver bedt om at skrive deres arbejde ned og prøve at inddele det i de forskellige faser under modelleringscyklussen. De fleste approksimerer lakrids spiralen til at være sammensat af cirkler. Flere af grupperne skal holdes fast på at dette er en idealisering og på at formulere hvor de har skåret virkeligheden til. Ellers går det fint med at placere trin i løsningen under de forskellige faser der hører til modelleringscyklussen. En gruppe måler på selve lakridsen, de andre anvender billedet på opgavearket. Da de havde et mål for længden af lakridsen på billedet afmatematiserede de resultatet ved at findeforholdet mellem diameteren på den rigtige lakrids og den på billede. Derefter anvendte de forholdet til at bestemme længden af den rigtige lakrids. En enkelt gruppe sprang dette over og fik en lakridslængde på ca. 160 cm (ingen validering). En gruppe går en helt anden vej. De ruller lakridsspiralen ud og sammenligninger den med bredden af et A4 ark. De finder der går 2½ A4 bredde på en lakrids. Ikke alle grupper får skrevet deres arbejde ned, blandt de som gør det er valideringen det punkt der springes over, hvis noget springes over. De som validerer ruller i sidste ende lakridsen ud og måler efter. Ingen af grupperne 41

Modellering DEL 3 kommer frem til en formel, og der er ikke større interesse for denne del. Interessen er borte, de føler intet behov for at generalisere og forfine deres model. 5.7.3 Resultatet af intervention 3 - HTG (mat C - hf) Timen indledes med en repetition af modelleringscyklussen, hvorefter klassens 23 elever bliver delt op i 6 grupper. Hver gruppe fik en lakrids i hånden og en lineal. Hver gruppe skal aflevere besvarelsen med relation til trinene i modelleringscyklussen (didaktisk kontrakt). Flere elever kunne ikke se meningen, de tog det som en sjov leg og ikke som en matematisk udfordring. Disse elever var heldigvis i samme gruppe, og de kom ikke helt igennem opgaven. Ama tog notater rundt omkring og forsøgte at fokusere på Ibens gruppe. Nedenstående transskriptioner er ikke kun fra en gruppe, men fra forskellige grupper. Ama Iben Og du har været i gennem det, det gør vel ikke noget? Jeg kan sikkert ikke huske det. I det øjeblik Iben sidder med opgaven så er hun faktisk med, og hun bliver den førende i gruppen. Ama går til en anden gruppe og da hun vender tilbage til Ibens gruppe, sidder Iben og hjælper en anden fra gruppen med en afleveringsopgave! De kom ikke længere end til at lægge omkredsen af cirklerne sammen. Iben tog det slet ikke som en udfordring og det virkede lidt demotiverende at hun skulle lave det samme igen. Ama forsøgte at udfordre ved at stille spørgsmålet: Ama Tænk hvis denne lakrids fortsætter og at der var 1000 cirkler, kunne man så ikke finde en generel formel, der vil gælde? En del elever foreslår at finde arealet uden dog at have et argument for hvorfor. Ama tilbringer en del tid med en gruppe af elever som har fokus på arealet. Et medlem af gruppen sidder med formelsamlingen: Ama Elev Ama Elev Hvad vil du med arealet? Jeg ved det ikke. Jeg tænkte bare det lignede en cirkel. Hvad bliver du spurgt om i opgaven? Vi skal finde længden 42

Modellering DEL 3 Ama Finder du længden når du finder et areal? Elev Ej Ama. Jeg forstår det ikke. Ama Hvis du finder et areal af en firkant, lad os sige at den er 4 cm lang og 5 cm høj. Hvad får du så? Elev 20 Ama Hvad for nogle 20? Hvad er enheden? Elev kvadratcentimeter Ama I opgaven skal du finde en længde Elev ja Ama Hvad kommer det ud i? Elev centimeter Elev Hvad skal jeg så bruge hvis jeg ikke må bruge areal? En anden elev fra gruppen: Omkreds fordi det er, hvor meget man skal hele vejen rundt. Der bliver givet high five og eleven fra dialogen siger: Jeg ved ikke hvad der er galt med mig i dag. I går var jeg klog, og i dag er du klogere end mig. Pigens forestilling om sig selv og klassekammeraten er på spil her (beliefs). Eleven har et problem med at matematisere. Hun kan fornemme det er noget med en cirkel, og hun nævner en diameter og formlen for arealet. Diameteren er en relevant størrelse, men arealet er ikke. Hun har altså problemer med at identificere hvilken afhængig variabel der er relevant. En tredje gruppe er godt på vej og har fat i at tykkelsen af lakridsen har betydning. De når først frem til dette da besvarelsen skal afleveres. Ingen når frem til en generaliseret formel. 5.8 Konklusion - Intervention 3 Hele interventionsforløbet er et brud med den didaktiske kontrakt da eleverne møder nogle anderledes type opgaver, end de er vant til. Opgavetyper der også kræver at de optræder med 43

Modellering DEL 3 større selvstændighed og udholdenhed. Det resulterede i frustration og en del forvirring omkring hvordan opgaven skulle gribes an. Det hjalp en del at henvise konsekvent til modelleringscyklussens seks trin som et redskab til at komme i gang. Det var en stor mundfuld at være alene om en sådan klasserumsintervention. Mange elever søgte bekræftigelse for hvert skridt de tog (usikkerhed på grund af brud med didaktisk kontrakt). Der er ikke en af grupperne der selvom de tilskyndes til det- kører modelleringscyklussen igennem igen. Selv 2 g. klassen på HTG som relativt hurtigt kom igennem opgaven var ikke motiveret for dette. Dette kan pege på forestillinger som at matematiske problemer og opgaver har et facit, og dermed er man færdig. Nogle elever følte sig ikke en udfordret ved denne type opgave og kunne ikke se meningen. Katja Maass inddeler i artiklen What are modelling competencies (Maass, 2006) eleverne i nogle fire forskellige elevtyper: Den realitets-fjerne, den matematik-fjerne, den reflekterende og den uinteresserede (Maass, 2006, s. 138). Desværre hører en del af vores elever til den uinteresserede type, hvor matematik i det hele taget ikke interesserer dem. En anden del hører til den realitet-fjerne type, hvor eleverne ikke kan se en sammenhæng i matematikken i forhold til den virkelige verden hvilket virker demotiverende i forhold til modelleringsprocessen. 6. Testen En vigtig del af projektet er at teste om vores intervention har haft en effekt. Vi stiller de tre piger to opgaver. Den ene opgave er en tekstopgave som minder om en opgave, de kender. Opgaven gennemløber ikke hele modelleringscyklussen (atomistisk tilgang). Den anden opgave er en åben opgave hvor hele modelleringscyklussen er i spil (holistisk tilgang). Iben og Cilla (fra HTG) er sammen om testen, og det er meningen de skal løse opgaverne i fællesskab. Forløbet blev filmet, Ama og Lone var begge med under testen med Iben og Cilla. Mette udførte testen med Karen (plus 3 andre fra hendes gruppe) på AGHF, hvor der også blev filmet. 44

Modellering DEL 3 Brusebadsopgaven er sammenlignelig med én eleverne har set før, nemlig turen op og ned ad en bakke i Athen 13. Opgaven kører ikke igennem hele modelleringscyklussen men har fokus på matematisering (punkt 3), matematisk analyse, problemløsningen (punkt 4) og afmatematiseringen (punkt 5). Her tester vi om pigerne kan overskue teksten og de enheder de forskellige størrelser har. 13 Opgave 7 fra detektionstesten, som vi også stillede i diagnosticeringsinterviewene 45

Modellering DEL 3 I den næste opgave tester vi om eleverne kan opstille en model ud fra den matematik de allerede har været igennem. Opgaven er to-delt og eleverne får muligheden for at komme igennem hele modelleringscyklussen. Opgaven er konkret på den måde at de får stukket en engangssprøjte i hænderne og kan forsøge sig frem. I del 1 skal de opskrive en model ud fra en antagelse om at trykket stiger når rumfang falder. Man er altså i denne fase stadig i den virkelige verden (præmatematisering), og efter antagelsen bør man bevæge sig ind i matematikkens verden med matematisering, hvor man kan komme frem til en matematisk sammenhæng mellem tryk og rumfang og indføre variable. Denne del indeholder ingen matematisk analyse eller afmatematisering, men eleverne kan træde ud af 46

Modellering DEL 3 matematikverdenen til den virkelige verden hvor man kan foretage en validering. De evaluerer deres antagelse ved at trykke på stemplet. I del 2 får eleverne nogle måledata med sammenhørende værdier af tryk og rumfang. De skal nu teste om modellen, de er kommet frem til i del 1, passer med måledataene. Eleverne skal altså igennem den matematiske analyse, afmatematiseringen og valideringen. 6.1 Resultat af sluttesten - Brusebad I Høje Taastrup indser Iben at opgaven er af samme type som opgaven med bakken (fra detektionen og diagnosticeringen) og spørger om hun må skrive ned. Hun har stadigvæk har brug for at få bekræftet den didaktiske kontrakt. Pigerne er på rette spor og kommer hurtigt frem til at vandet løber i 9 minutter. De har en fornemmelse af at noget skal lægges sammen, men de ved ikke hvad. Lone Hvad bliver I spurgt om? Iben læser højt op og siger at man skal finde frem til, hvor meget vand der løber igennem pr. minut. Dette bliver bestyrket af Lone hvorefter opgaven løses helt selvstændigt. 47

Modellering DEL 3 Ligeså snart pigerne har forstået opgaven, går de faktisk i matematiserings - og problemløsningsfaserne. I forhold til bakkeopgaven, så er der meget mere styr på enhederne, og de skriver dem selv uden henvisning eller hjælp fra lærerne. Begge piger har forstået teksten og kommer meget hurtigere igennem. I Albertslund blev testen stillet til en gruppe på 4 elever, hvor Karen er en af dem. Gruppen er valgt fordi det var Karens gruppe, i forbindelse med interventionen med lakridsopgaven. Karen bliver ikke så presset af at skulle stille op når der er andre med, så derfor gjorde vi det på den måde. Her har gruppen svært ved at forstå opgaven og begrebet gennemsnit er ikke indlysende. Emma siger det er da let og begynder at skrive. Gennemsnittet finder hun ved at sige 7+10 9 = 1,89 14. Hun automatiserer uden rigtigt at reflektere over opgaveteksten og hvad tallene i teksten repræsenterer. Ingen i gruppen kommenterer på Emmas beregning. Karen kommenterer derefter på at enheden må være liter vand pr. minut. De er enige om ikke at medregne det minut hvor der ikke kommer vand ud af bruseren. De begynder altså her at skære til for at nærme sig en idealiseret situation. 14 Automatisering, man finder jo gennemsnittet ved at lægge sammen og dividere med antallet. 48

Modellering DEL 3 Mette Hvor meget vand kommer der ud i alt? Emma 17 Maja Nej, for det er jo 7 liter pr. minut. Emma Nåh. De kommer så selv frem til at der kommer 78 liter ud, og de får gennemsnittet til 8,67 liter pr. minut. Gruppen har svært ved at forstå meningen med opgaven hvilket gør at matematiseringen bliver svær. Derudover er der ingen problemer med problemløsning som de jo selvstændigt kommer igennem. Iben, Cilla og Karens gruppe afmatematiserer helt uden problemer, de går tilbage til den virkelige verden og forstår meningen med de 8,67 L pr. min. 6.2 Resultatet af sluttest - Tryk og rumfang for en gas Del 1 I Høje Taastrup kommer pigerne hurtigt i gang med at tale sammen om opgaven. Iben Lone Iben Cilla Cilla Iben Så når vi trykker den der ind, så bliver rumfanget inde i røret vel mindre, så stiger trykket jo, fordi der er mindre plads. Vi skal nok lave en formel, hvor vi kan se at det ændrer sig. På hvilken måde? Altså se om trykket stiger når rumfanget bliver mindre. Men hvordan skal vi kunne lave en formel, når vi ikke har nogle tal? Skal vi bare kalde det nogle bogstaver? Vi kan kalde rumfanget for V Skal vi så lave en lineær ligning? Kan man ikke gøre det, for jo mere man trykker jo mere stiger trykket, så er det sådan jævnt. Det er tydeligt at pigerne er i gang med at nærme sig en idealiseret situation, og de forstår opgaven i det ekstra matematiske domæne. De bevæger sig ind i det matematiske domæne ved at vælge variable og tildele dem bogstaver. Selvom valget af den lineære funktion ikke er korrekt, så fornemmes en forbedring af iværksat foregribelse hos pigerne i forhold til tidligere. 49

Modellering DEL 3 Pigerne gennemgår en validering af deres lineære model og forkaster den, da de opdager at den ikke giver mening i forhold til deres antagelse. Efterfølgende blev de spurgt om i hvilken fase de befandt sig, og de pegede rigtigt på modelleringscyklussen hvilket igen viser øget bevidsthed omkring modelleringens faser. Den efterfølgende beskrivelse af Ibens og Cillas gennemgang kan ses i bilag 9.8. I Albertslund diskuterer gruppen hvordan rumfang og tryk afhænger af hinanden, og Emma sammenligner med det at svømme nedad i et svømmebassin. De er i gruppen i gang med at forstå opgavens formulering i det ekstra matematiske domæne. Derefter tager en fra gruppen initiativet og siger at der nu skal opstilles en model. Igen viser dette at de har accepteret den nye didaktiske kontrakt. Mariam Maja Karen Men hvordan kan vi det, når vi ikke har noget? Jeg tror ikke, vi skal gøre det med tal. Jeg tror vi skal gøre det med bogstaver. Jeg prøver lige at indstille sprøjten ligesom på billedet - så har vi et tal at gå ud fra. Matematiseringen volder dem store problemer, selvom Maja fastholder at de skal bruge bogstaver. Mette leder dem lidt på vej: Mette Emma Maja Hvad kunne I bruge for bogstaver, hvis I skulle bruge bogstaver? x og f og a og b Vi kunne bruge R for rumfanget og T for trykket [.] Jo mere tryk, des mindre rumfang. Men selve rumfanget er jo det samme. Men hvis man læser opgaven, så mener de jo at det ændrer sig. Gruppen bruger lang tid på at idealisere og komme frem til sammenhængen mellem tryk og rumfang, og de ender med: 50

Modellering DEL 3 Del 2 Pigerne fra Høje Taastrup går direkte til opgaven og arbejder sig igennem opgaven uden hjælp. Cilla isolerer k og prøver med de forskellige datasæt. Pigerne kan ikke rigtigt konkludere noget, og da Ama spørger Iben om det vi har lavet i klassen så er hun på igen. Hun forstår at det handler om omvendt proportionalitet. De tjekker tallene i tabellen og kan konkludere at trykket bliver mindre når rumfanget bliver større. Iben bliver dog en smule forvirret over at det ikke helt er det samme, fordi de eksempler de har haft om i klassen er mere præcise. Cilla er dog mindre forvirret. Herefter bliver pigerne spurgt om modelleringscyklussen. Cilla har ordet og forklarer at når de bygger deres model: T = k er de i matematiseringsfasen og når de så får nogle værdier som de V regner på, er de i problemløsningsfasen og hun fortsætter: 51

Modellering DEL 3 Cilla Så ser vi om det passer med vores model fra før, så er vi her (peger på afmatematiseringen) og til sidst tjekker vi om det passer med den virkelige verden. En efterfølgende diskussion med pigerne viser også at de synes at det skaber et overblik, når man nu kender til de 6 trin i modelleringscyklussen. Cilla er dog overbevist om at det ikke er i alle opgaver at man har behov for alle de 6 trin, hvilket er korrekt. I Albertslund starter Maja med at sige noget: Maja Når rumfanget falder med 5, så stiger trykket med 8 og så med 9 og så med 12 Mariam Trykket er ikke lineært! Karen Men så må den stige med en procentvis ændring. Så er det en potens eller en eksponentiel. Her griber Karen på hylden af allerede velkendte sammenhænge fra undervisningen. Maja overbeviser de andre om at det er potensvækst. De taster tallene ind på TI Nspire, laver potensregression og kommer frem til at sammenhængen er y = 1993 x 0,993. 52

Modellering DEL 3 7. Samlet konklusion Vi har i dette projekt ønsket primært at fokusere på modelleringscyklussen i sin helhed. Vores detektionstest viste (som forventet) at flere af vores elever har svært ved opgaver, som ikke kun handler om at finde et rigtigt svar. Testen fangede netop elever der er pligtopfyldende og normalt følger godt med i timerne, men som klarede testen rigtig skidt. Opgaverne med meget tekst voldte også eleverne store problemer og blev i mange tilfælde ikke besvaret. Gennem vores diagnosticerings-interviews blev det klart for os at eleverne havde svært ved at læse teksten i en opgave. Dermed fik de problemer ved den iværksatte foregribelse som er en forudsætning for at kunne komme videre i matematiseringsfasen. At teksten volder problemer tyder på at eleverne ikke kan udføre registerskift mellem dels det sproglige og det visuelle register, og også har problemer med at skifte mellem det multifunktionelle og det monofunktionelle sproglige register. I vores intervention fokuserede vi dels på åbne opgaver, som inddrog hele modelleringscyklussen, men også på oversættelsen fra virkelighedens verden til matematikkens verden. En oversættelse som kræver conversion mellem flere registre. Den åbne opgave med lakrids rouletten i intervention 1 og 3 skulle styrke repræsentationsskiftet fra det visuelle til det sproglige register samt træne overgangen fra det ekstra-matematiske til det matematiske univers. Opgavens åbne karakter inviterer til at hele modelleringscyklussen gennemløbes. I intervention 2 underviste vi klasserne i modelleringscyklussens faser for at bevidstgøre dem om forskellen på modelleringsopgaver og traditionelle matematikopgaver. De arbejdede med en analyse af en besvarelse og med selv at løse en opgave i modellering samtidig med at de skulle forholde sig til cyklussens faser. Målet var at træne elevernes iværksatte foregribelse. I intervention 3 stillede vi lakridsopgaven til klasserne for at se om undervisningen i modelleringscyklussen gjorde en forskel i elevernes tilgang til at arbejde i matematik. Til sidst testede vi om vores udvalgte elever var blevet bedre til at modellere. Det gjorde vi med en opgave der var sammenlignelig med en de havde set før samt endnu en åben opgave, denne gang inden for et andet matematisk domæne (end geometri). 53

Modellering DEL 3 Vi oplevede at undervisningen i modelleringscyklussen faser og modelleringsopgaverne krævede en ændring af den didaktiske kontrakt. Eleverne gik til opgaverne med god motivation. Under testen diskuterede eleverne seriøst, de tog ansvar for og prøvede at skabe mening og sammenhæng i den opgave de blev stillet. Det var en positiv oplevelse at se og høre dem tale om matematik på den måde. Vi synes, de er blevet bedre til iværksat foregribelse i den forstand at de har fået skubbet til deres anvendelsesorienterede forestillinger om matematik og styrket deres matematiske selvtillid, selvstændighed og udholdenhed (Niss, 2010). Den didaktiske kontrakt skal rykkes hvis man skal arbejde med modellering. Gennem forløbet er kontrakten genforhandlet, men den skal fortsat genforhandles hvis eleverne skal blive bedre til at modellere. De har prøvet at modellere, men de mestrer det ikke. Der var ingen af dem der synes det gav mening at forbedre deres model og gennemløbe cyklussen mere end en gang, hvilket er en væsentlig del af modelleringskompetencen. 54

Modellering DEL 3 8. Litteraturliste Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2003). Developing mathematical modelling competence: conceptual clarification and educational planning. Teaching Mathematics and its appilications 22(3), s. 123-139. Cole, M., & Gauvain, M. (1997). Interactions Between Learning and Development. I L. S. Vygotsky, Readings on Development of Children (s. 29-36). New York: W.H. Freeman and Company. Ferri, R. B. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. ZDM, vol. 38 (2), s. 86-95. Freudenthal, H. (2002). Chapter 1: Mathematics phenomenologically. I H. Freudenthal, Revisiting Mathematical Education (s. 1-44). Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers. Galbraith, P., & Stillman, G. (2006). A Framework for Identifying Student Blockages during Transitions in the Modelling Process. ZDM, 38(2), s. 143-162. Gravemeijer, K. (2007). Emergent modelling as a precursor to mathematical modelling. I W. Blum, P. Galbraith, H.-W. Henn, & M. Niss, Modelling and Applications in Mathematical Education (s. 137-144). New York, N.Y.: Springer Science + Business Media, LLC. Højgaard, T. (2010). Chapter 22: Communication: The Essential Difference Between Mathematical Modeling an Problem Solving. I R. e. Lesh, Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies (s. 255-264). New York, N.Y: Springer Science + Business Media, LLC. Jankvist, U. T., & Misfeldt, M. (Marts 2015). CAS-induced difficulties in larning mathematics. For the Learning of Mathematics, 35 (1), s. 15-20. Kilpatrick, J. (1995). Staking Claims. Nordic Studies in Mathematics Education, Vol. 3( 4), s. 21-42. Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003). Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Lester, F. K. (2005). On the theoretical, conceptual, and pilosophical foundations for researh in mathematics education. ZDM, vol. 37 (6), s. 457-467. Maass, K. (2006). What are modelling competencies? ZDM, vol. 38 (2), s. 113-142. 55

Modellering DEL 3 Niss, M. (2010). Chapter 4: Modeling a crucial Aspect of Students' Mathematical Modeling. I R. e. Lesh, Modeling a crucial Aspect of Students' Mathematical Modeling (s. 43-59). New York, N.Y: Springer Science+business Media B.V. Niss, M. (December 2012). Models and Modelling in Mathematics Education. EMS, s. 49-54. Niss, M. (2015). Kommentarer til detektionstest. Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. (2007). Introduction. I M. Niss, W. Blum, P. Galbraith, & H.- W. Henn, Modelling and Applications in Mathematics Education (s. 3-32). New York, N.Y.: Springer Science + Business Media, LLC. Pind, P. (2015). Åben og undersøgende matematik. Skødstrup: Forlaget Ping og Bjerrre. Pipie, S., & Kieren, T. (1994). Growth in matematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it? Educational Studies in Mathematics (26), s. 165-190. Weigand, H.-G. (2014). Looking back and ahead - didactical implications for the use of digital technologies in the next decade. Teaching Matematics and Its Applications (33), s. 3-15. 56

Modellering DEL 3 9. Kommenteret litteraturgennemgang Vygotsky (1978) Lev S. Vygotskys artikel Interaction Between learning and Development (1978) handler om samspillet mellem læring og udvikling af børn i skolealderen. Vygotsky beskriver tre videnskabelige ståsteder: 1. Børns udvikling er uafhængig af læring. I tidligere eksperimentelle undersøgelser har man antaget at udvikling inden for f.eks. forståelse og logik sker uden indflydelse fra skolen. Piaget har i sine studier interesseret sig for børns rene form for viden og andre f.eks. Binet antager at udvikling altid kommer før læring, og at børnene skal været nået til et vist mentalt udviklingsstadie før læring kan finde sted. Modenhed bliver således en forudsætning for læring, men aldrig et resultat af læring. 2. Læring er udvikling (i modsætning til ovenstående). Læring og udvikling sker simultant. 3. En kombination af de to forrige ståsteder. Modenhed er et resultat af nervesystemets udvikling og muliggør dermed læringsprocesser. Læring stimulerer samtidig modenhedsprocessen. Vygotsky beskriver studier (Woodworth og Thorndike), der viser at læring inden for et område har meget lidt indflydelse på den overordnede udvikling (ingen automatisk overførsel) hvilket står i kontrast til andre teoretikeres overbevisning om, at træning af en specifik evne udvikler ens samlede evner (overførsel er mulig). Vygotskys mener ikke at hjernen er et kompleks netværk af generelle evner (opmærksomhed, hukommelse osv.), men derimod et samling af forholdsvis uafhængige specifikke evner, der udvikles uafhængigt af hinanden. Læring kan ikke forenkles til evnen til at tænke. Læring kræver tilegnelse af mange forskellige evner (evnen til at tænke over mange forskellige ting). Læring ændrer ikke ens samlede koncentrationsevne, men læring kan udvikle koncentrationsevne inden for de områder, der undervises i. 57

Modellering DEL 3 Vygotsky præsenterer nu tilgang til forholdet mellem læring og udvikling - zonen for nærmeste udvikling, der handler om læring i skolen. Børn der starter i skole kommer med en historie - en erfaring. Der er forskel på den læring der finder sted inden skolestart og den læring der finder sted efter skolestart, men der er stadig tale om, at der finder læring sted. Vygotsky definerer to udviklingsniveauer: 1. Det aktuelle udviklingsniveau (barnets nuværende mentale udviklingsstadie) 2. Zonen for nærmeste udvikling (afstanden mellem det aktuelle udviklingsniveau og det potentielle udviklingsniveau) Det aktuelle udviklingsniveau er der, hvor barnet selvstædigt kan løse opgaver og det potentielle udviklingsniveau er der, hvor barnet med lærerens vejledning kan ledes hen. Læreren prikker til endnu ikke helt modnede funktioner og dermed vækkes barnets udviklingspotentiale. What a child can do with assistance today she will be able to do by herself tomorrow (Vygotsky, 1978, s. 33) Læring er ikke udvikling (jf. de tidligere beskrevne videnskabelige ståsteder), men læring organiseret på den rigtige made kan resultere i mental udvikling. Freudenthal (1991) Inden for videnskaben og især indenfor matematikken er der et behov for at blive sikker på det, man undersøger. Det kræver en særlig mental aktivitet. De fleste af os har lært matematik som regler og algoritmer som man enten kan mestre eller ikke mestre. Lærere har ifølge Freudenthal en tendens til at undervise sådan som de selv er blevet undervist på trods af at det nok ikke er den måde de selv har forstået matematikken på (s. 3). I de tidlige år tager indlæring af matematik sit udgangspunkt i den sunde fornuft. Et eksempel på det er de hele tal, som indlæres i sammenhæng med en aktivitet (at tælle) og i forbindelse med et sprog (talord). Men vores sunde fornuft afhænger af den sammenhæng eller det netværk, vi er en del af (s.7) og hvis man i en indlæringssituation skal tage udgangspunkt sund fornuft, kræver det eleven individuelt bidrager til at fortsat at udvikle sin sunde fornuft så nye og mere 58

Modellering DEL 3 avancerede algoritmer kan indgå i den familie. Men algoritmerne i sig selv giver ingen mening, hvis man ikke forstår hvordan og hvorfor de skal bruges. Undervisningen i matematik bør ifølge Freudenthal være et samspil mellem form og indhold. At nå til nye stadier af sund fornuft i matematik kræver hårdt arbejde, for hvor almindelig sund fornuft tager ting for givet, kræver matematisk sund fornuft at man aktivt søger forklaringer (s. 14). Matematik bør derfor ses som en aktivitet fremfor at være noget, der står skrevet i bogen eller i hukommelsen. Mange mennesker anvender matematik i deres dagligdag uden at være bevidste om det og derfor bør matematisk aktivitet finde sted samspillet mellem form og indhold. Begrebsdannelse i matematik er et resultat af forskellige kognitive processer (s. 18), ligesom eksemplet med de hele tal, der genereres via en proces frem for en definition og derfor hurtigere skifter status fra et matematisk begreb til sund fornuft. Matematiske realiteter (f.eks. geometriske fænomener og aritmetiske sammenhænge) danner common sense i matematik. Det reelle eller det virkelige forstås her som noget, der ureflekteret giver mening for den involverede. Freudenthal gennemgår nu forskellige matematiske strukturer. Matematiske systemer viser en hierarkisk struktur from poor to rich (s. 28) hvilket ifølge Freudenthal afspejler sig i den didaktiske tilgang til faget. Freudenthal argumenter imod denne tendens fordi de matematiske strukturer oprindeligt er skabt i en fyldig kontekst, og derfor giver det mening at gå fra det generelle til det specielle - from rich to poor (s. 29). Det betyder også, at det kan give mening at betragte ikke-matematiske områder med henblik på at genkende mønstre og strukturer for derefter at kunne overføre det til det matematiske univers. Det er muligt at finde ret stærke specielle strukturer i det generelle (rich), men hvis man starter med det specielle (poor) når man måske aldrig til en forståelse på det generelle niveau, hvilket i virkeligheden er målet (s. 29). Matematisering beskrives af Freudenthal som tre delprocesser: 1. Axiomatisering (reorganisering af det område man gerne vil undersøge matematisk) 2. Formalisering (tilpasning, indføring af symboler, transformation) 3. Skematisering (en skematiseret virkelighed) 59

Modellering DEL 3 Freudenthal anvender ikke ordet matematisk model, for som han siger, så er en model bare overgangen mellem en kompleks virkelighed og en idealiseret situation som man kan forholde sig til matematisk (s. 34). Der skelnes mellem horisontal og vertikal matematisering: Den horisontale leads from the world of life to the world of symbols (s. 41) og beskriver derfor netop overgangen mellem virkelighedens verden og matematikkens verden. Den vertikale er manipulationer enten inden for den virkelige eller den matematiske verden. Pirie & Kieren (1994) Growth in mathematical understanding: How can we charcterise it and how can we represent it?, Susann Pirie and Thomas Kieren, ESM 1994 I artiklen gennemgår Pirie og Kieren en model der skal illustrere vækst I matematisk forståelse. Modellen består af 8 niveauer (se illustration fig 1, 167). Indholdet i de forskellige lag konkretiseres ved at følge forståelsen af addition af brøker hos en 12 årig pige Theresa. Teresa er blevet introduceret til begrebet ækvivalens af brøker men har endnu ikke styr på addition af brøker. Teresas klasse har konstrueret brøker ved at folde. Derefter fik de udleveret et kit som indeholdt et standard ark som en enhed og rektangler der repræsenterede 1 2, 1 3, 1 4, 1 6, 1 8, 1 12 og 1 24. Klassen skulle løse opgaver som denne: Using your kit notice that one fourth, three eights, and two sixteenths together exactly cover three forths or that taken togehther one fourth, three eights and two sixteenths are equal in amount to three fourths. We can write 1 + 3 + 2 = 3. Use your kit to find as many quantities that 4 8 16 4 make exactly three fourths as you can. Draw diagrams of your findings. Write fractional number sentences like the one above. (p. 64) Det første niveau primitive learning antyder ikke at matematikken er på et primitivt niveau, men at det er udgangspunktet for den voksende forståelse. Under niveau 2 image making bliver den lærende bedt om at anvende sin viden på nye måder og skaber derved nye billeder. Teresa og hendes klassekammerater anvender deres viden om del, del af dele og helheden til at kombinerer 60

Modellering DEL 3 brøker på nye måder når de skal løse opgaven. Theresa når frem til at kunne addere brøker uden at anvende det kit som læreren har udleveret. Hun er således nået frem til at kunne anvende mentale billeder og begreber omkring addition af brøker uden at udføre den aktivitet (lægge brøker sammen ved hjælp af rektangler) der ledte til billedet. Niveauet kaldes image having, den studerende her Therasa har udviklet sin egen forståelse for for hvad det vil sige at addere brøker. Det fjerde lag property noticing er man i stand til at manipulere og kombinere relevante aspekter af ens billede og danner således nye egenskaber ved billedet. Teresa bliver stillet overfor et nyt spørgsmål : If you have an imaginary fraction kit; it has halves, fourths, fifths, tenhs an twentieths, what is 1 2 + 3 4 + 2 5 + 7 10? Hun svarer at tyvendedele vil passé alle. To gange ti giver tyve, fire gange fem giver tyve. Og kom med udtaleser som: Addition is easy. You can make up the right kind of fractions just by multiplying the denominators and the just get the right numerators by multiplying by the right amount. På det femte niveau formalising-generaliserer og abstraherer personen sin metode ud fra den billedafhængige viden der går forud. Personer der kan formalisere er i stand til at reflektere og koordinere mere formel matematisk aktivitet. Dette niveau kaldes observing. Den lærende befinder sig på det syvende niveau structering når vedkommende forsøger at betragte de formelle observationer som en teori. Personen er klar over hvordan en samling af teoremer hænger sammen og ved at dette kræver bevisførelse eller sandsynliggørelse. En person der har opnået en fuld, struktureret forståelse er måske i stand til at bryde væk fra de forudsætninger som bragte vedkommende til denne forståelse og stille nye spørgsmål. Pirie og Kieren betragter ikke den voksende forståelse som en proces der kun kører en vej, væksten sker ved bevægelse mellem de forskellige lag. En af styrkerne ved matematik er at man kan operere på et symbolsk niveau uden at referer til basis begreberne. Billedet af modellen indeholder en række ringe der illustrerer grænser mellem lagene. Udenfor disse grænser kan den studerende arbejde med begreber der ikke åbenlyst er knyttet til de tidligere former for forståelser om end de tidligere former er indlejret i dette niveau af forståelse. Hvis den studerende støder på et problem på et hvilket som helst niveau som vedkommende ikke umiddelbart kan løse er det nødvendigt at vende tilbage til nogle af aktiviteterne i de indre 61

Modellering DEL 3 niveauer. Det indre niveau bliver nu formet og får ny information via den forståelse og de interesser der kommer fra et ydre niveau. Denne mentale bevægelse kalder de to forfattere for folding back. Pirie og Kieren mener at ethvert niveau udover primitive knowing# er sammensat af komplementariteten acting og expressing, disse aspekter af den voksende forståelse er nødvendige før at komme til næste niveau og at den lærende går til og fra de to aspekter i sin læringsproces. De to aspekter tilegnes forskellige navne afhængigt af hvilket niveau der er tale om Forfatterne betragter forståelse som en proces og ikke som et bestemt sted. Ringene illustrerer forskellige tilstande af forståelse, fininddelingen ses af figuren.. Se nedenstående illustration. 62

Modellering DEL 3 En enkelt af fininddelingerne illustreres her med et eksempel fra artiklen, for de resterende henvises til selve artiklen. En klasse med en gruppe af 14 årige elever beskæftigede sig med andengradsligninger og funktioner. I den aktuelle lektion beskæftigede eleverne sig med grafisk repræsentation af funktionerne. Læreren gik ud fra at elevernes primitive knowing ville indbefatte at de kunne genkende polynomiske udtryk -i hvert fald 2.grads, kunne anvende dem til at lave en tabel og overføre punkterne til en grafisk repræsentation. Eleverne fik en række af andengradspolynomier, de skulle lave en tabel, overføre punkterne og tegne funktionen. Dette svarer til image making og indenfor denne er de i gang med image doing dvs acting. Ved image reviewing beskæftiger eleverne sig med om der er nogen særlig orden i det de beskæftiger sig med. For at undersøge elevernes forståelse tilføjede læreren et punkt de skulle plotte ind i den grafiske repræsentation og bad dem undersøge om det lå på grafen. Hvis eleverne betragtede det grafiske billede som en helhed - og ikke som en række punkter fra en tabel - ville de kunne observere at punktet ikke lå på grafen. Med andre ord kun personer som er i gang med image reviewing er i stand til at observere dette. En person der anvender image doing vil ikke indse at punktet ikke høre til grafen, men blot betragte det som endnu et punkt i rækken af punkter og eventuelt forbinde det med resten af punkterne. Modellen for væksten i forståelse viser at væksten er en ikke lineær bevægelse der involverer folding back for at huske og for at konstruere en ny forståelse. Kilpatrick (1995) Jeremy Kilpatrick - Staking Claims I denne artikel tages der fat på hvad matematisk videnskab er og hvordan matematik som uddannelse har udviklet sig gennem tiden beksrevet af Jeremy Kilpatrick (JK). I artiklen bliver der både diskuteret påstandene i den matematiske uddannelse og om påstandene i sig selv kan betragtes som videnskabelige. Der er mange kriterier for bedømmelsen af om forskning (undersøgelser) er videnskabelige og her i denne artikel vil der blive fokuseret på to af disse bedømmelseskriterier. 63

Modellering DEL 3 Der bliver først pointeret hvad JK forstår ved begreberne og også hvordan begreberne opfattes i forskellige lande. I denne artikel har man valgt begrebet matematisk uddannelse til beskrivelsen af den matematiske forskning. I andre lande anvendes matematikkens didaktik som bliver sat i modsætning til pædagogik. I Frankrig anvendes ordet pædagogik i forhold til metodik i undervisning som er bygget på noget eksperimentelt. I Amerika har begge begreber didakik og pædagogik en negativ klang, hvilket har ført til anvendelsen af begreberne undervisning og underviser. Dog er det ifølge Balacheff et al., 1993 ikke en erstatning for matematikkens didaktik, hvis identitet stadig er under udbygning. Undersøgelse af påstande Reviderede kriterier JK har tidligere sammen med Anna Sierpinska (Danmark) opstillet otte kriterier som her vil blive revideret. Relevans Gyldighed Objektivitet Originalitet Grundighed og præcision Reproducerbarheden Relativitet Udgangspunktet har været Hvad skal der til for at matematisk forskning bliver af høj kvalitet? Hertil skal nævnes at forskning i matematik ikke så meget mere ligner naturvidenskab og i stedet for er det mere som socialvidenskab. Man har indtil 1970 erne i Nordamerika fokuseret på hvordan elever og lærere reagerer og man analyserede så dette. Denne analyse blev foretaget som om man var fysik eller kemilærer. Senere er bl.a. fortolkning, etnografi og social kontruktivistik blevet mere populære inden for matematisk forskning, dog er der en del forskere der tror at der kun er en rigtig metode indenfor forskning og det er deres metode. JK mener at det er i orden at koncentrere sig på et bestemt område, men at det er uansvarligt ikke at åbne op for 64

Modellering DEL 3 flere muligheder, hvilket er med til at lade matematik blomstre og vokse. Salomon(1991) skelner mellem to komplementære tilgange - den analytiske tilgang og den systematiske tilgang. Førstnævnte hjælper på præcision hvor den anden hjælper på at skabe pålidelighed. Herunder kommer en forklaring til de otte kriterier, som JK har listet. Relevans Ifølge Freudenthal (1991) jo mere prætentiøs noget præsenteres jo mindre anvendeligt bliver det. Han mener at matematisk forskning mangler et kriterium for sandhed, men dette gør ikke forskningen irrelevant eller meningsløs. JK deler ikke samme mening. Han mener at en tilegnet tolkning af kriteriet vil synliggøre relevansen af at det er yderst svært at konstatere et isoleret studie. Kriteriet er bedst når det ses i sammenhæng med andre studier. Man kan ikke forvente at drage stærke implikationer (konklusioner) på noget praksis udført i et isoleret studie. Tværtimod giver matematik os ikke bare et resultat men en metode til at tænke og reflektere over arbejdet. Relevansen af undersøgelser er flettet sammen med anvendeligheden og kvaliteten. Relevant forskning er forbundet med høj kvalitet og kan bruges af andre. Gyldighed Hænger også sammen med anvendeligheden. Hvad er det vi vil konkludere ud fra vores undersøgelser? En undersøgelse vil ikke være gyldig, når det bygger på usande påstande og gyldigheden er derfor forbundet med konklusionerne og ikke selve undersøgelsen. Med udgangspunkt i Kvale(1993) mener JK at en forsker i matematik ikke alene kan gøre en påstand gyldig, men vedkommende kan begynde en dialog omkring det. Objektivitet JK mener at selvom det ikke er muligt at være helt objektiv, så kan man alligevel se det som noget værdifuldt arbejde- Andre forskere afviser tanken om at der kan være tale om objektivitet og mener at vi i dag alle subjektiviser og relativister. Al viden bliver indskrænket i forhold til vores bevidsthed og gyldigheden er relateret til hvem der har den viden. Hvorfor skal al forskning 65

Modellering DEL 3 indenfor matematik ses fra dette perspektiv? Er der kun en korrekt epistemologi? Hvis ja, hvordan kan man vide det? JK står fast ved at det er vigtigt at forklare objektivitet. Originalitet Reproducerbarheden betyder ikke at efterligne og JK har dog fuld respekt for det at gentage, da det er med til at lære en masse omkring det man undersøger. Det understreges hvor vigtigt det er at gentage det viste og at en passende tolkning af originalitet vil tillade gentagelse Grundighed og præcision Som objektivitet bør grundighed og præcision blive tolket relativt og ikke absolut. Grundighed hænger sammen med objektivitet fordi forskeren forsøger at forfine sine metoder/resultater. Præcision er vigtig i forhold til resultater. En forventning om at det kan misfortolkes af læseren bliver der gjort en større indsats og dermed grundighed og præcision. Forudsigelighed Man kan aldrig forudsige hvordan eleverne vil reagere når de modtager undervisning og hvad læreren vil komme med. Man kan dog anvende forudsigeligheden i andre studier hvor omstændighederne er de samme, så kan man forudsige udfaldet af et forsøg. Reproducerbarhed Et vigtigt punkt er at konklusioner skal kunne reproduceres. Viden skal publiceres skal deles og derfor er det vigtigt at alle kan reproducere resultaterne. Relativitet Relation kan ses i forhold til relevans. Matematik bliver anvendt både som en del og som et hjælpemiddel i forbindelse med et andet fag. Dette kaster lys over at matematik også er et fag der kan læres. Alternative kriterier 66

Modellering DEL 3 Under en konference i begyndelsen af 1994, var hovedfokus på hvad der skal til for at publicere en artikel. Der blev listet 10 standarder, som de fleste af de deltagende reviderede og endte med 7 kriterier: Værdi - Logisk sammenhæng - Kompetens - Oprigtighed - Etik - Troværdighed - uhåndgribelige kvaliteter. Selvom der findes adskillelige lister over kriterier, så er matematikforskere interesserede i enhver liste med kriterier, da ens mål er at kunne bedømme så realistisk som muligt og derfor er man åbne for forslag til kriterier. Påstande for området Her beskrives udviklingen af matematik som et fag først på universiteterne i 1800 tallet og så til gymnasielærer i nyere tid. Psykologi kom derefter på banen, hvor man begyndte at interessere sig for hvordan elever lærer. JK referer til Schubring (1983), som beskriver matematik indeholdende to vigtige aspekter - et professionelt og et videnskabeligt felt. Han mener at en profession kræver a) special viden - b) fælles træk - c)selvbestemmelse og autonomi og vigtigt af alle d) klienter. Det videnskabelige aspekt er bestemt af a) fællesskab - b) videnskabelige tekster (bøger) - c) ubesvarede spørgsmål - d) Forskningsmetoder - e) specifikke karrierevej til uddannelsen af kandidater. Han nævner desuden at de to aspekter hænger sammen og den ene afhænger af den anden. i 1960 erne begyndte man at ave fokus på at uddanne matematiklærere med fokus på metodelogi. Perioden indtil 1970 erne kendetegnes ved en blomstring af matematikken. JK kommer ind på hvor mange artikler der årligt publiceres og at USA er førende inden for dette. Matematikdidaktik i USA Her beskrives udviklingen i USA og hvordan det til at begynde med var mangel på matematiklærere og man derfor hentede gæstelærere rundt omkring. Hermed oprettedes flere organisationer som American Mathematical Society, Mathematical Association of America og 67

Modellering DEL 3 National Council of Teachers of Mathematics. Medlemmerne knyttede tætte bånd og flere var medlemmer I mere end en organisation. Samtidig med at organisationerne voksede, blev der fundet på flere måder hvorpå man som matematikkere kunne beholde det gode samarbejde. På denne måde er USA heldige i at bibeholde samarbejdet og udvikle en slags læreplan for uddannelsen af matematiklærere. Her nævnes matematik-uddannelsen på universitetet i Geogia, som er det ældste med matematik. Universitetet har i 1980 erne medvirket til udviklingen på andre skoler. Matematikdidaktik i Sverige I modsætning til USA, så er matematik-forskning ret forsinket i Sverige og i de nordiske lande i det hele taget. Der er i 1804 i Uppsala blevet undervist i matematik, men en plads i universitet fik matematik først i 1910. Der har heller ikke været det store gennebrud/opfindelser af svenske matematikere. Det kan så siges at der er mere interesse for matematik nu end der var før og flere universiteter udbyder matematik som en uddannelse. Forbedre indsatsen Selvom matematik som uddannelse voksede, så var der ikke konsensus om hvad det vil sige at være matematikunderviser. JK beskriver det som at matematikere taler forbi hinanden. JK kommer med et eksempel der belyser forskellen mellem matematik og matematikdidaktik. Her argumenteres for at matematik for en del mennesker er et område, hvor man kan tage kurser og vise ens kompetencer i forhold til en læreplan, hvorimod deltagelsen i matematikdidaktik (mathematics education) kræver bare lidt interesse. JK har ikke studeret hvordan den er udviklet i verden, men har rejst og undervist i mange lande, såsom Spanien, Italien, Colombia og harbrugt en del tid på universiteter i Europa, Mellemøsten, Australien og Sydamerika. Deraf har JK tre faste meninger om hvordan dette felt kan blive styrket. 1) Matematik undervisere bør knytte stærkere bånd til matematikere. Hvert fag på en skole har sin egen struktur, pædagogik og social kontekst og matematik bør ikke drukne i den 68

Modellering DEL 3 generelle undervisningsplan. Det er meget vigtigt at Matematikundervisere har tillid til at matematikere kender deres arbejder og at de ved hvordan man underviser. Respekt mellem matematikere, universitets lærere i matematik og matematiklærere er meget vigtige. 2) Et andet bånd der skal være stærkt er båndet mellem matematikforskere og praktiserende matematiklærere. En uddannelse er en profession, hvor bugten mellem forskning og praktik er bred og derfor har forskere et særligt ansvar for at sikre at deres arbejde forbindes til det praktiske. 3) Selvom matematikdidaktikere trives på de forskellige universiteter, så vil matematikdidaktik som et felt udvikles bedre, hvis deres arbejde tydeliggøres på fakulteterne. Matematik som et videnskabeligt felt passerbedre sammen med socialvidenskab end naturvidenskab. Matematik didaktik er både videnskab, forskning og praktik. I hvert land er den præget af landets historie. Lester (2005) On the theoretical, conceptual, and philosophical foundations for research in mathematics education - Frank Lester 2005 (MDF=matematik didaktisk forskning) Hvilken rolle spiller teorien I matematikdidaktikken? Hvilken indflydelse har ens egen filosofisk holdning på ens forskning? Og hvad skal formålet være med forskning indenfor matematikdidaktikken? Skabe en sammenhæng Vægten af den videnskabelige forskning i didaktik i USA bliver styret af politikere. Stor del af diskussionen går på at finde frem til hvad virker og dette har medført en forøget opmærksomhed på eksperimentelle metoder og kvantitative metoder, som i de sidste to årtier ikke har den samme fremtrædende rolle som før. Sidste 40 års forskning har ikke besvaret spørgsmålet om hvad der virker. I 60 erne og 70 erne blev følgende formuleret af Joe Scandura: At mange mennesker er kritiske over for kvaliteten i matematikdidaktikken. De læser statistikker og 69

Modellering DEL 3 tabeller og tænker og hvad så. Robert Davis formulerer samme år: I et samfund hvor landbrug, medicin, industri mm. er under udvikling, så kan man spørge sig, hvorfor det har været svært for didaktikken at følge med. Han mener også at matematikdidaktikken skal løsrives fra eksperimentelle studier. Ud fra de sociale og de kulturelle forhold, som vores forskning skal tage udgangspunkt i bør man benytte en anden tilgang end den der anvendes inden for medicin, fysik og landbrug. Herudover skal man nu til dage ikke få det til at se ud som om at forskning bare handler om få økonomisk støtte fra staten. Teoriens rolle Der har ikke været enighed om, om MDF har været teoretisk eller ikke-teoretisk præget. Men hvad vil det sige at MDF er teoribaseret? Lester kommer ind på hvad der menes med research framework (=forskningsramme) og definere det selv som et stillads rundt om en bygning som tillader at man kan reparere på det. Han skriver Forskningsramme er en basis struktur af ideer og virker som en base for et fænomen, som kan blive undersøgt Det at bruge en forskningsramme i sin forskning har fire fordele: 1. En ramme tilvejebringer en struktur til at få dannet og designe forsknings studier, herunder at få styr på bl.a. formuleringer af spørgsmål. 2. Data uden en ramme er meningsløse. 3. En god ramme gør os i stand til at hæve os over nogle ideer. 4. Behov for dybdeforståelse ikke bare for ar forstå. Type af rammer Margaret Eisenhart(1991) har defineret tre type rammer: den teoretisk, den praktiske og den begrebsbaseret. Hver især spiller en rolle i forhold MDF. I forhold til den teoretiske type, nævnes Piagets og Vygotskys teorier som beskriver børns udvikling. Afhængigt af hvilken teori man vil anvende til sin forskning, så følger man fortaleren for 70

Modellering DEL 3 teorien kan så justeres i forhold til de nye konklusioner man drager. Forskeren er altså bundet til at acceptere teoriens erfaringer og argumenter. Dette valg har den fordel at det giver en retningslinje/platform for forskere og andre studerende der vil anvende teorien sådan at man nemt kan kommunikere om cases, idet der anvendes samme begreber. Dog skal det nævnes at forskere fremsætter deres konklusioner som en bestemmelse (dom) og ikke som beviser som støtter deres påstande. mao. vil forskerne fitte deres konlusioner til teorien. Dette har noget at gøre med at hvis man ikke overholder teorien, anses man som om man har ignoreret vigtig information fra teorien. Herudover mener sociolog John Van Maanen(1988) at data skal frarejse for at tjene teorien. Mao. er det vigtigt at holde meninger væk. Herudover opleves at teoretikere ikke taler til praktikere og teorien opleves som meningsløs. Selv akademikere som anvender teorier for at støtte deres forskning ofte ikke forklare på sådan en måde at personer udefra kan følge med. Sociolog Norman Denzin (1978) var en af de første til at diskutere vigtigheden af teoretisk triangulering, hvor man samler svagheder og styrker ved de forskellige teorier og bruger disse i ens forskning. Dette er dog svært når man indkapsler sine konklusioner i forhold til en teori. I forhold til den praktiske ramme, så handler det om at finde ud af hvad der virker, men det afhænger jo i høj grad af den gruppe man undersøger og kan være svær at generalisere da der er forskellige omstændigheder og vilkår for eleverne. Så er der den begrebsmæssige ramme, som Eisenhart (1991) beskrev som en skelet-struktur af begrundelser snarere end en skelet-struktur af forklaringer Ligesom teoretisk ramme så er den begrebsmæssige ramme baseret på forrige undersøgelser, men her kombineres flere teorier for at komme frem til begrebet. Lester beskriver at rammen af begreber ikke er lavet af stål, som er baseret på teoretiske eller praktiske erfaringer. Det er derimod lavet af et stillads af træ, som kan formes afhængigt at argumenter i forhold til et forskningsområde. At retfærdiggøre forklaringerne er en meget vigtig del i sådan en forskningsramme, da mange forskere kommer med gode ideer eller forklaringer uden at der er argumenter for hvorfor de gøre det. Der gives herefter et 71

Modellering DEL 3 eksempel på en begrebsramme, som er blevet anvendt i forbindelse med modeller og modellering af bl.a. Dick Lesh. Det er ikke men t som en teori, men nogle tanker omkring problemer inden for matematiklæringen. Andre karakterisktiske træk ved modelleringsrammer er a) Den anvender repæsentative medier til at definere modeller som er blevet opstillet. b) Den kan løse problemer (eller drage konklusioner) som ligger udenfor teorierne i sig selv. c) Modellen er opført i forhold til en bestemt situation. d) modeller laves sådan at de kan modificeres og tilpasses. Lester pointere at udvikling er teorier er essentielt i forhold til Matematisk didaktisk forskning, men vi kan ikke altid kapsle alt i forhold til en enkelt teori. Det er bedst at fokusere indsatsen på små og mere fokuserede teorier og modeller, som vil være bedre til at støtte vores forskning. Igen bruges en metafor bricoleur - en handyman, som udvikler afhængigt af dagens udfordring. 2.3 Hvorfor Forskningsrammer er ignoreret eller misforstået Hvis man gerne vil have at begrebsrammer skal have en større rolle er der to punkter man skal være opmærksom på. Det første har noget at gøre med en udbredt misforståelse af brugen af teori og begreber i forhold til ens arbejde. Den anden er at nogle forskere, trods erkendelsen af vigtigheden af disse aspekter, ikke føler sig nok kvalificerede til at anvende. Hiebert, Kilpatrick og Lindquist (2001) er kommet frem til at uddannelsen i matematik didaktik er et kompliceret system i US og at man er nødt til at udvikle og forbedre den til gavn for ph.d. studerende. De er af den overbevisning at manglen på klare studiebeskrivelser (standardiserede) er skyld i den store udfordring, som de står overfor. Det er resulteret i at hvert universitet har sine egne krav til uddannelsen og på den måde kræves der forskellige ting af de kommende forskere. De studerende bliver ikke ordentligt klædt på til deres kommende arbejde som forskere og mange universiteter mangler at træne de studerende i korrekte forskningsmetoder sådan at de studerende får en forståelse for teoriens rolle. Lester beskriver af erfaringer som redaktør på Journal of Research in Mathematics Education, at der er store forskelle på hvordan forskere og nybegynder forskere udfører deres arbejde. Dette skyldes formentlig en manglende forskningsramme, som savnes på universiteterne. 72

Modellering DEL 3 3. Indflydelsen af ens egne filosofiske synspunkter på ens forskning. Her diskuteres rollen af filosofien inden for matematik didaktikken og hvordan det påvirker ens konklusioner. Churchman (1971) klassificere forskningspunkter i fem og har tildelt dem navne efter forfatterne: Forskningsområde Leibniziansk Lockeansk Kantiansk Hegeliansk Singeriansk Metode ræsonnement Observation Repræsentation Dialektik Etiske værdier & praktiske konsekvenser Denne inddeling er brugbar når man skal se på hvordan forskning er udført. Der er tre spørgsmål man bør stille: Er påstandene i vores forskning baseret på Indgreb, som afhænger af indsamlede beviser? Er påstandene baseret på overbevisende argumenter, som er mere garanteret end plausible påstande? Er vores konsekvenserne af vores påstande etisk og praktisk forsvarlige? Den opståede strid overfor reformen og den traditionelle matematik studieplan har vakt opmærksomhed hos bl.a. politikere og forældre, hvor man i høj grad tænker over de tre ovennævnte spørgsmål. De der er med reformen argumentere med at det er positivt at der er fokus på matematiske processer og de der er imod mener at det er bedst at uddannelsesplanen bygger på færdigheder og procedurer. Trods deres modargumenter så bygger deres synspunkter på retoriske metoder, hvilket er et eksempel på det Churchill kalder for Leibniziansk tilgang. Her anvendes deduktion fremfor empiriske data. I det lockeanske bygges argumenterne på empiriske data. Der er blevet lavet en undersøgelse, hvor man tester 9. klasses elever efter den nye læseplan og den traditionelle læseplan. Her vil de deltagende lærere skrive en rapport (med støtte fra forskere), hvor man vil gøre brug af de observationer, hvilket er magen til den lockeanske tilgang. Ulempen ved denne tilgang er, at den jo bygger på observationer og det er ikke nemt at blive enig 73

Modellering DEL 3 om hvad det er man har observeret, selvom det er i samme klasserum. Kantiansk forskningsmetode kommer på spil, hvor man bygger to teorier ud fra samme observationsdata. Rapportskiverne (lærerene) bør så vidt muligt inddrage så mange teorier som muligt og hvor de også reflektere over dataene. Man kan også vælge at teste forskellige teorier i klasserummet og dermed ende med to forskellige synspunkter på reformen er god nok eller ej, hvilket selvfølgelig afhænger af hvilken teori man vil følge. Det er dog vigtigt ikke at glemme, hvor teorierne overlapper og hvor de er i modsætning til hinanden. Dette åbner op det helegianske system, hvor modstridende og gensidige ulogiske teorier bliver udviklet. Helegiansk tilgang tager fat i en plausibel teori og stiller spørgsmålet om hvad så hvis det omvendte gjaldt. på s. 463 i artiklen beskriver Churchman forskellen på de tre tilgange: Lockeansk: Er fundamentelle data, som alle kan være enige om er relevant, hvorefter man opbygger teorier der understøtter disse data. Den kantianske viser den samme historie fra forskellige synsvinkler. Men den helegianske bruger de samme data og fortæller to historier, hvor den ene understøtter et og den anden understøtter noget andet. Den væsentligste led i Churchmans typologi er, at man kan spørge ind til undersøgelsens værdier, som systemet er udtrykt ved. Denne metode er relateret til det såkaldte Singerianske tilgang, hvordan man stiller spørgsmål til spørgsmålets forudsætninger. I en singeriansk forskning er der intet solidt fundament og alt er på prøve, hvor det bliver bedømt ud fra et etisk synspunkt. For at samfundet skal acceptere, må der altså ligge en taktik eller strategi. En vigtig konsekvens af denne singeriansk forskning er, at man ikke kan løsrive sig fra konsekvenserne af ens forskning og derfor når msn konkludere noget eller kommer frem til en model i ens forskning, så er den gældende og her kommer så svaret på det tredje spørgsmål listet tidligere omkring forsvarligheden af ens påstande. Konklusionen på undersøgelsen med 9. klasses elever har vist, at reformens læseplan har været effektiv for disse elever. Alligevel var en del forældre modstandere til denne reform og mente bl.a. at den ikke er på samme højt niveau som den traditionelle. Forældrene er blevet påvirket af 74

Modellering DEL 3 medierne. Dette har ført til en række spørgsmål omkring hvordan man på bedste vis kan implementere en reform - ikke kun i forhold til forældre, men også en del lærere er modstandere af en ny reform. Den Lockeanske, Kantianske og Hegelianske forskning påstår at kunne producere viden i forhold dem selv og singeriansk forskning kræves for at forsvarer konklusionerne i en forskning i forhold til samfundet. Den singerianske kan altså skabe en debat om hvad der skal vælges og derfor bør forskeren være i stand til at kunne forsvarer sig og sin viden. Som konklusion til dette afsnit er man altså kommet frem til at forskerens filosofisk synspunkt er af stor betydning og det skal nævnes at man i US at nybegyndere (forskere) skal følge et kursus i filosofi. 5. Målene for MDF og placeringen af forskningsrammer og filosofi. Her forklares de vigtigste konklusioner fra bogen Pasteur s Quadrant: Basic Science and Technological Innovation, Donald Stokes (1997). Stokes kommer ind på udviklingen af naturvidenskabelig forskning og hvordan der tidligere (efter 2. verdens krig) var et gab mellem forståelse og anvendelse og bruger Louis pastuer som eksempel på begge dele. Stokes opstiller et kvadrat med disse begreber, hvor han bl.a. kommer ind på Niels Bohrs og Thomas Edisons placering, Inspireret heraf opstiller Lester en anden model (fig. 2 s. 465). Lester slutter af med at hvis man fokusere på ens mål, så bliver det ikke svært at finde frem til en løsning til teori og filosofi ved at anvende teorier fra andre forskere. Ferri (2006) Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process - Rita Borromeo Ferri I denne artikel beskrives nogle processer i forbindelse med modellering hos eleverne. Kaiser (1995) gav et historisk overblik over forskellige diskussioner af modellering, men her vil Ferri kun beskrive de forskellige trin i modelleringen. 75

Modellering DEL 3 Der skelnes mellem Real situation (RS), situation model (SM)/mental repræsention af en model (MRS), real model (RM) og matematisk model (MM). Ferri beskriver fire modellerings cykler: Herefter beskrives cyklerne i forhold til hinanden: Forskeren vil altid fokusere på elevers kognitive proces i en modellerings situation og derfor er SM inkluderet i Gruppe 1. Blum/Leis ser SM som det vigtigste led i modelleringen og ser overførslen mellem den virkelige situation (RM) og SM som bevis for at man har forstået opgaven. Ferri 76

Modellering DEL 3 anvender MRS i stedet for, da det handler om den enkeltes mentale repræsentation i en modellerings opgave. I gruppe 2 er der fokus på situation model i forhold til real model: Det formuleres således: Når tekst problemer løses vil opbygningen af en situation model falde fint sammen med opbygningen af real model og Blum & Niss (1991) pointere at tekst problemer i forvejen repræsenterer en reel model. Så kommer spørgsmålet: Er en situation model virkelig opbygget før den reelle model er forstået? I gruppe 3 skelnes ikke mellem SM/MRS og RM og på den måde er SM ikke en fase i cyklen. Her er der forskellige forskere tilknyttet. Kaiser og Blum præsenterer en anden model: 77

Modellering DEL 3 I gruppe 4 er der ingen fase mellem RS og MM og der skelnes ikke mellem dem. Der tænkes desuden også i forskellige retninger. Polak præsentere en måde og andre har forskellige tilgange. Kaiser (2005) for eksempel har mindre fokus på det psykologiske syn på modellering, men interessere sig hellere i komplekse opgaver og hvordan de løses. Hun mener desuden at det er overførslen mellem en situation i det virkelige og til en matematisk model som er det væsentlige. Lesh et al. (2003) skelner ikke derimellem og det kan have noget at gøre med at de har fokus på den pædagogiske og psykologiske syn på modellering. Galbraith & Stillman (2006) A framework for identifying student blockages during transitions in the modelling process af Peter Galbraith and Gloria Stillman. Galbraiths og Stillmans sigte er at præsentere og illustrere en ramme der kan anvendes som hjælp til at identificere forhindringer elever støder på ved gennemløb af modelleringsprocessen. I den forbindelse har de arbejdet med 14-15 årige der var i gang med deres første modellering. En fortolkning af matematisk modellering er at modellerings primære rolle er at motivere, udvikle og illustrere relevansen af et matematisk indhold. For eksempel er emergent modelling en begrebsmæssig ramme og måde at arbejde på der fokuserer på dette område. Galbraith og Stillman anvender ikke matematisk modellering primært som et middel til at opnå indlæring af anden matematisk viden. De fokuserer på den betydning for modellerings processen tilstræber et produktivt matematisk resultat på et problem der har relevans i den virkelig verden. Selvom det kan være nødvendigt med modifikationer så er pointen at løsningen skaltage sammenhængen som er udenfor klasserummet seriøst. Tilgangen kan betegnes modellering som indhold fremfor modellering som motor. Modelleringsprocessen kan anskueliggøres på mange måde, Galbraith og Stillman anvender følgende kort: INDSÆT FIG ET S 144) Hele processen gennemløbes ved at følge de tykke pile med uret. De tynde pile der går mod uret illustrere at processen hverken er lineær eller ensrette. For eksempel vil overgangen mellem B og 78

Modellering DEL 3 C løbe begge veje eftersom det virkelige problem skal oversættes til et matematisk (B C) men det er også nødvendigt at knyttet processen tilbage til det oprindelige problem for at kunne foretage de nødvendige beslutninger (C, B A). Hvert af disse stadier i modelleringscyklussen involverer mental aktivitet hos de studerende. En mental aktivitet som Galbraith og Stillman karakteriser ved hjælp af følgende verber: A B: forstå, strukturere, simplificere, tyde kontekst B C: antage, formulere, matematisere C D: arbejde matematisk D E:tyde matematisk resultat E F: sammenligne, kritisere, validere F G: kommunikere, retfærdiggøre, rapportskrivning i det tilfælde modellen er tilfredsstillende ellers F til B nedenfor F B: gennemløbe processen igen hvis modellen er utilfredsstillende Formålet med Galbraiths og Stillmanns studie er at undersøge kritiske aspekter i processen. De har lagt sig fast på følgende punkter: 1. Rodet situation fra den virkelige verden formuleret problem fra den virkelige verden 2. Formuleret problem fra den virkelige verden matematisk model 3. Matematisk model matematisk løsning 4. Matematisk løsning løsningens betydning i den virkelige verden 5. Løsningens betydning i den virkelige verden (evaluering)revidere model eller acceptere løsning. 79

Modellering DEL 3 Galbraith og Stillmann undersøger hvorledes eleverne nærmer sig og handler i disse overgange ved gennemløb af modelleringscyklussen med det formål at finde ud af hvilke punkter der er særlige kritiske. Hvert af de 5 punkter fininddeles yderligere med op til 8 punkter for disse se indscannet figur INdSCAN FIGUR SIDE 147 Angående punkt 2 og 3 så for den anvendte teknologi betydning. Lommeregneren afgør indirekte hvordan modellen formuleres, om man får resultater ud af det afhænger af ens evne til at udføre de opreationer der hører til modellen. I de kantede parenteser står med stort specifikke henvisninger til områder hvor eleverne havde problemer med at løse følgende opgave INDSÆT FIG 2 fra 146-147 Forfatternes kommentarer til de 5 punkter: Rodet situation fra den virkelige verden formuleret problem fra den virkelige verden: Den første udfordring for eleverne er at identificere nogle elementer der vil udgøre basis elementer for modellen. For at forhindre at eleverne blokerer på dette stadie stillede læreren en geometrisk animation af opgaven til rådighed. I den er allerede antaget at bevægelserne sker i rette linjeret nøgleelement er afstand. Eleverne skulle desuden lave en skaleret plan af banen og tegne de første ruter. Alle mente at animationen havde hjulpet dem og flere at tillægsopgaven med den skalerede plan gjorde opgaven endnu klarere. Formuleret problem fra den virkelige verden matematisk model: Nøgle punkter i denne del af processen som kan give anledning til problemer for eleverne er : a. Beslutning om hvordan summen af længderne skal repræsenteres matematisk så en formel kan anvendes, b. Der skal laves antagelser til at støtte udviklingen af modellen, 80

Modellering DEL 3 c. Vælge at anvende teknologi til at udføre beregninger og de forskellige udfordringer der er ved den valgte teknologi. d. Vælge at anvende teknologi til at automatisere anvendelsen af afstandsformlen e. Vælge teknologi til at producere grafisk repræsentation af modellen f. Identificere den uafhængige og den afhængige variabel til brug for den algebraiske model g. Indse at den uafhængige variabel skal defineres entydigt. For eksempel kan x ikke både være afstanden fra stationen til hjørne S og afstanden fra stationen til hjørne B. h. Vælge at bruge teknologi til at verificere den algebraiske model Det sidste kræver en grafisk lommeregner og en del studerende, forstod ikke at anvende denne mulighed. Matematisk model matematisk løsning : Potentielle kilder til blokeringer er her manglende viden om matematiske procedurer, teknologisk viden om hvordan de automatiseres og viden om notations syntax både den matematiske og den teknologiske. For eksempel regnede en elev alle 18 beregninger igennem i hånden støttet af udregninger på lommeregneren. Hun undlod at anvende den grafiske lommeregner til at automatisere beregningerne, det kostede hende både tid og den ekstra erfaring med teknologien hun kunne have fået ved at lade den udføre de beregninger hun allerede selv mestrede. At formulere en algebraisk model med 2 variable kan også anledning til problemer. Verifikation af modellen kan også give forhindringer, da det kræver både matematisk og teknologisk viden. Matematisk løsning løsningens betydning i den virkelige verden: Den største hindring for eleverne er vanskeligheder ved at tyde den matematiske løsning og identificere den med modparten i den virkelige verden. Den studerende sidder med et matematisk resultat og skal tyde hvad resultatet fortæller vedkommende om den situation fra den virkelige verden som vedkommende skulle modellere. Løsningens betydning i den virkelige verden (evaluering)revidere model eller acceptere løsning 81

Modellering DEL 3 Her kan der opstå forhindringer når eleven skal tyde aspekter af opgaven og forene matematiske aspekter med aspekter fra den virkelige verden. I artiklen gennemgå resultater fra endnu en observationsklasse, dette gennemgås ikke her. Sluttelig opsummeres de samlede erfaringer fra de 2 klasser. Transition 1: For begge klasser var det i begyndelsen en hurdle at forstå problemet og konteksten. Video og computer animationer og repræsentationer var værdifulde til at tydeliggøre. Genkendelse af en nøgleenhed (maksimere/minimere en længde/en vinkel etc.) var afgørende for at kunne formulere et matematisk spørgsmål der kunne håndteres. Transition 2: Fra struktureret problem fra den virkelige verden til en matematisk problem giver notorisk vaskeligheder og er et af de mest udfordrende punkter i cyklussen. Punkterne 2.1 til 2.4 er matematiske og involverer at opstille ligninger for algebraiske modeller. Punkterne 2.5 til 2.9 er teknologibaserede og er kritiske med hensyn til fremskridt, når der skal behandles data fra den rodede verden. De studerende har brug for at kende til hvilke kapaciteter den teknologi de har til rådighed besidder. Transition 3 repræsenterer de aktiviteter der beskæftiger sig med at opnå resultater ved hjælp den matematiske model til nu. Punkt 3.1 3.2 afspejler den algebraiske kontekst af problemet. Angående punkt 3.3 til 3.7, såvel som det er nødvendigt at vide hvad ens lommeregner og computer kan så er det også nødvendigt at være i stand til at få lommeregnere og computeren til at udføre de nødvendige handlinger. Er man ikke i stand til at dette er det selvsagt en hindring for at komme videre og en klassekammarats eller lærerens hjælp er nødvendig. Katja Maass (2006) What are modelling competencies? Katja Maass, University of Education, Freiburg, 2006 Modellering og anvendelser af modellering betragtes som en vigtig del af undervisning I matematik. Formålet med artiklen er at supplere tidligere beskrivelse af modellerings kompetencer baseret på empiriske data. Dataene stammer fra en undersøgelse af effekten af 82

Modellering DEL 3 at integrere modelleringsopgaver i den daglige undervisning. Spørgsmålet er hvad vi ønsker eleverne skal lære og hvad vi egentlig mener med modelleringskompetencer. Artiklen beskæftiger sig med et forsøg der prøver at kaste lys over hvad der skal forstås ved modelleringskompetencer og de centrale spørgsmål i undersøgelsen er: 1. How do students mathematical beliefs change during courses of math classes which includes modelling exercises? 2. How far do such lessons enable students to carry out modeling process on their own? 3. What are modelling competencies? 4. Which kind of connections exist between mathematical beliefs and modeling competencies? Artiklen fokuserer på den del af undersøgelsen som fokuserer på spørgsmål 3 og 4. Der er en stærk forbindelse mellem modelleringsprocessen og modelleringskompetencerne og Katja Maass vender derfor først blikket mod forskellige opfattelser af modelleringsprocessen. Modelleringsopgaver er bare en af mange opgavetyper der relaterer virkeligheden. Andre er for eksempel sproglige opgaver som beskæftiger sig med at forankre matematiske opgaver i hverdagssprog eller opgaver der fokusere på at illustrere begreber konkret. Katja Maass refererer ganske kort flere forskellige syn på modelleringsprocessen fra den pædagogiske diskussion, men hun tilslutter sig selv Blum s syn (1985) som betragter hele processen som essentiel. Under modelleringen bevæger man sig mellem virkeligheden og matematikken. Processen begynder med et problem i virkeligheden. Problemet simplificeres, tilskæres og idealiseres og man har nu en virkelig model. Matematiseringen af den virkelige model giver en matematisk model. Ved at arbejde indenfor matematikken kan en matematisk løsning findes, den skal fortolkes og derefter valideres. Hvis det viser at løsningen eller den valgte model ikke er tilfredsstillende eller tilstrækkelig kan det være nødvendigt at køre hele cyklussen igennem en gang til. Der er forskellige syn på hvad der er et modelleringsproblem. Katja Maass har følgende syn på dette: 83

Modellering DEL 3 Modelling problems are authentic, complex and open problems which relate to reality. Problemsolving and divergent thinking is required in solving them.the content needs to be chosen appropriately according to the addressee. Hun diskuterer begrebet modelleringskompetencer, hvor motivation betragtes som nn essentiel del: Research has shown that knowledge alone is not sufficient for successful modelling. The student must also choose to use that knowledge, and to monitor the process being made (Tanner and Jones, 1995). Hun henviser til Niss og Blum & Kaiser, hvor Blum og Kaiser liste over 5 hovedkompetencer med en række delkompetencer får særligt fokus (for delkompetencer henvises til artiklen): Competencies to understand the real problem and to set up at model based on reality Competencies to set up at mathematical model from the real model Competencies to solve mathematical questions within this mathematical model Competencies to interpret mathematical results in a real situation Competencies to validate the solution Ifølge Katja Maaβ har Niss et tilsvarende syn på modellering men skelner eksplicit mellem aktiv modellering og det at beskæftige sig med færdige modeller for eksempel gennem analyser af deres grundlag og rækkevidde. Katja Maass giver da en (overordnet) definition på modelleringskompetencer som anvendes i hendes studie: Modelling competencies include skills and abilities to perform modelling processes appropriately and goal-oriented as well as the willingness to put these into action(p 117) Metacognition ses som at have en vigtig indflydelse på udviklingen af kompetencer og i hendes studie indebærer metacognigtion thinking about one s own thinking and controlling one s own thought processes. Katja Maaβ refererer andre, tidligere empiriske studier angående modellerings kompetencer: Matematiske færdigheder er nødvendige(ikeda 1997, Galbraith & Clathworthy 1990, Dunne 1998) Viden om modelleringsprocessen influerer positivt på udvikling af modellerigs kompetencer(galbraith & Clathworhty 1990, Tanner & Jones 1993) 84

Modellering DEL 3 Indholdet i det eksempel der skal modelleres har en stor betydning. Indholdet kan både motivere til at men også distrahere fra en løsning på problemet. For eksempel ved en stærk emotionel tilknytning hos de studerende (motiverende) eller ved at indeholde for megen information (distraherende) (Busse 2001, Galbraith and Stillmann 2001) Retning: Gode modellører er i stand til at arbejde på et operationelt niveau hvor ringe modellører holder sig indenfor konteksten og går frem trin - for - trin (Treilibs 1979) Det understøtter udvikling af modelleringskompetencer at de studerende både arbejder i grupper, diskuterer i grupper og arbejder individuelt (Galbraith & Clathworthy 1990, de Lange 1993, Ikeda & Stephens 2001, Tanner & Jones 1995) Det befordrer udviklingen af kompetencerne at man i undervisningen veksler mellem en holistisk tilgang (hele cyklussen) og en atomistisk tilgang (dele af cyklussen) De studerende har blandt andet vanskeligheder ved at forbinde den virkelige verden og den matematiske, at simplificere og strukturere virkeligheden samt med håndtering af den matematiske løsning (fx Kaiser- Messmer 1986, Hodges 1997, Haines & Crouch & Davies 2001) Det aktuelle forløb med modellering holdt i en tysk klasse (eleverne er omkring 13 år), forløbet strakte sig over en længere periode så det blev muligt at undersøge effekter af at inddrage modellering i den daglige undervisning. En række valg angående opgave typer, undervisningsmetode etc blev truffet på baggrund af erfaringer fra tidligere studier (se ovenfor): a) Arbejdet blev organiseret i faser af grupper arbejde, diskussioner i klasserummet og individuelt arbejde. b) Klassen blev undervist i modelleringscyklussen via et skema der illustrerer cyklussen c) Klassen fik en række åbne opgaver hvis problemer kom fra forskellige kontekster og adresserede forskelligt matematisk indhold. Eksempler på de åbne opgaver: Hvor stor er overfladen på en Porsche 911? Hvor mange mennesker er involveret i en 25 km lang bilkø? I hvilken grad kan byen XX få dækket behovet for varmt vand ved hjælp af solceller på taget? Man testede af elever der deltog i projektet på flere måder: Evaluering af matematisk kapacitet Modellerings test Skriftlige test i klassen, skriftlige hjemmeopgaver Begrebskort Interviews 85

Modellering DEL 3 De studerendes logbøger og spørgeskemaer Et grundlæggende resultat var at det er muligt for elever på dette trin i grundskolen at udvikle modelleringskompetencer. Stor set alle var i stand til at modellere problemer, ikke blot havde de udviklet delkompetencer, de var også i stand til selvstændigt at gennemløbe hele processen om end de selvfølgelig ikke altid gjorde det korrekt. Langt de fleste var i stand til at modellere simple problemer, en væsentlil del af eleverne klarede også komplekse problemer. Resultatet står i modsætning til den generelle holdning at modellering først kan læres af elever på gymnasieniveau. Elevernes fejl faldt typisk indenfor følgende: Den virkelige model var utilstrækkelig (fx for simplificeret, beskrev ikke den konkrete situation, forkerte antagelser) I den matematiske model (fx utilstrækkelig brug af symboler, forkerte algoritmer eller formler) Problemløsning indenfor den matematiske model (forkerte eller slet ingen beregninger) i fortolkning af resultat (fejlfortolkning eller manglende fortolkning) Validering(valideringen manglede eller overfladisk, eleven indså modellen var utilstrækkelig men rettede ikke på modellen) Nogle elever tabte orienteringen i deres proces (fx modstridende antagelser), andre stoppede problemløsningen før de var færdige (forvirret over beregninger eller ikke i stand til at gennemføre den valgte fremgangsmåde) og andre inddrog ikke alle relevante aspekter som var beskrevet i det virkelige problem. Nogle typer af opstod ofte samtidigt. Fejl i opsætningen af den virkelige model ledte ofte til fejl i valideringen. Problemer med matematiseringen, problemløsningen og fortolkningen af resultatet optrådte især hos elever med der lå middel eller under-middel i matematik. De fleste af eleverne havde opnået en større indsigt i og viden om hele modelleringsprocessen. Flere havde en dybere forståelse og var klar over at processen indebærer en vis grad af subjektivitet, fejl, udvikling og validering. En del misforståelser forekom dog også her: 86

Modellering DEL 3 Misforståelser angående opsætning af den virkelig model fx: simplificering er det samme som at gætte, det er tilladt at simplificere med det formål at lave beregninger så simple som muligt. Misforståelser angående opsætning af den matematiske model (matematisering) fx: nogle elever kunne ikke skelne mellem den virkelig model og den matematiske model, Misforståelser angående den matematiske løsning fx: Ofte blev kun et tal betragtet som en matematisk løsning hvorimod en graf eller et funktionsudtryk ikke blev anset for en løsning. Nogle elever troede at et tal altid repræsenterede et eksakt og entydigt facit uafhængigt af den måde det var bragt til veje på. Misforståelser angående fortolkning og validering fx: nogle elever mente valideringen altid ville være det samme, andre havde den opfattelse at valideringen betød en forringelse af modellen, andre igen kunne ikke skelne mellem fortolkning og validering. Nogle mente validering/evaluering af resultatet var identiske med at give en karakter. Generelle misforståelser som fx: a) det er umuligt at lave fejl, en hvilken som helst løsning er mulig, b) Eksperters processer må være bedre end deres egen proces, på trods af at de intet kendte til ekspertens proces, c) matematik kan ikke anvendes til at løse problemer fra den virkelige verden. Analysen af testene viste også at der var en forbindelse mellem kompetencer indenfor modellering og holdningen til modelleringes opgaver og opgaver der var uafhængige af en kontekst. I artiklen skitseres 4 idealiserede elevtyper: 1. Den virkelighedsfjerne modellør har en positiv indstilling overfor opgaver der er uafhængige af en kontekst, er afvisende overfor modelleringseksempler og problemer hentet fra den virkelige verden. Denne barriere resulterer i mangel på kompetencer til at løse virkelighedsnære opgaver, til at konstruere den virkelige model, validering og til dels fortolkning af resultater. 2. Den matematikfjerne modellør foretrækker konteksten i virkelighedsnære problemer, har en negativ indstilling overfor matematik og performer dårligt i timerne. De er entusiastiske overfor modelleringseksempler, de er i stand til at konstruerer den virkelige modul og til at validere deres løsning. Men de har problemer med at konstruere den matematiske model, med at finde en matematisk løsning og med at fortolke komplekse løsninger. 3. Den reflekterende modellør har en positiv indstilling til såvel modelleringsopgaver som matematik i sig selv, de viser en tilstrækkelig performance i faget. De klarer sig generelt godt i alle trin i modelleringsopgaverne. 87

Modellering DEL 3 4. Den uinteresserede modellør er hverken interesseret i modelleringsopgaver eller i matematikfaget i sig selv. Når de beskæftiger sig med modelleringsopgaver opstår der problemer i alle dele af processen. Reaktionsmønstrene viser at holdningen til at modellere har en stor indflydelse på udviklingen af modelleringskompetencer. Katja Maaβ konkluderer at modellerings kompetencer inkluderer evne og færdigheder til at foretage modelleringsprocesser tilfredsstillende og på en mål - orienteret måde men også villigheden til at praktiserer disse færdigheder og evner. Modelleringskompetencer ifølge Katja Maaβ: A) Delkompetencer til at udføre hvert enkelt skridt i processen B) Metacognitive modellerinskompetencer C) Kompetencer til at strukturere problemer fra den virkelige verden og til at arbejde med en fornemmelse af retningen mod en løsning D) Kompetencer til at argumentere i relation til modelleringsprocessen og til at formulere argumenterne skriftligt E) Kompetencer til at se de muligheder matematik tilbyder i forbindelse med løsning af virkelige problemer og at betragte disse muligheder som positive. Niss, Blum og Galbraith (2007) Fra Modelling and Applications in Mathematical Education (2007) Når vi inddrager matematik til at besvare spørgsmål fra virkelighedens verden anvender vi matematisk modellering. Vi bevæger os fra en ekstra-matematisk situation over i en matematisk situation og tilbage igen. Denne cyklus gentages og forbedres indtil vi kan svare tilfredsstilledende på den oprindelige problemstilling. Udtrykket matematisk modellering dækker over hele den proces. Det har været diskuteret om det at anvende matematik og modellere skal være en del af pensum eller ej. Og hvis det skal være en del af pensum kræver det at vi f.eks. forholder os til 88

Modellering DEL 3 hvorfor, hvornår, hvordan og hvem der skal undervise i det. Der findes to typer svar på hvorfor modellering skal være en del af pensum: 1. Man modellerer for at lære matematik (modellering understøtter indlæringen af de matematiske emner) a) Man viser eleverne, at matematik rent faktisk bliver brugt i virkelighedens verden (den ekstra-matematiske) b) Man hjælper med at skabe forståelse for matematisk aktivitet c) Man kan derfor ændre elevernes beliefs og motivere dem til at engagere sig i faget 2. Man lærer matematik for at modellere (matematikken anvendes til at udvikle matematiske modeller). a) Man fokuserer på at matematik holder - også udenfor matematikken selv b) Anvendelsen af matematik i virkelighedens verden går altid via matematiske modeller og modellering. I de små klasser undervises simultant efter begge principper: Eleverne lærer matematik for at blive i stand til at anvende matematik i virkelighedens verden (svar 2). På den anden side kan det være svært at motivere eleverne til at lære matematik hvis de ikke kan se anvendeligheden af det, de laver, og på den måde kan kendskabet til den ekstra-matematiske verden skabe forståelse og sammenhæng matematisk (svar 1). Her er dualiteten mellem de to svar ikke signifikant, men det bliver den i de større klasser. I undervisningsverdenen har der har været en tendens til at tænke, at hvis vi underviser eleverne tilstrækkeligt teoretisk matematisk, så vil den enkelte elev blive i stand til at anvende matematikken i verden udenfor uden at blive undervist specifikt i det. Men det kræver meget mere at kunne anvende matematikken i den virkelige, så der sker ikke en automatiske overførsel af kompetencer fra teoretisk matematik til praktisk anvendt matematik. Så hvis det skal være et mål at matematikundervisningen skal kunne anvendes i den ekstra-matematiske verden, må undervisningen i matematik aktivt dyrke og styrke eleverne modelleringskompetencer. 89

Modellering DEL 3 Det forholder sig på samme måde for lærerne, for man kan ikke automatisk facillitere undervisning i matematisk modellering, hvis man selv udelukkende har beskæftiget sig med teoretisk matematik i sit uddannelsesforløb. Der skal altså efteruddannelse til! Der skelnes mellem matematisk modellering (en proces) og modeller (som er del af den matematiske proces)(s. 10). Man skal sætte sig ind standardmodellerne, så man har en redskabskasse at dykke ned i når man skal til at lave sin egen model. Helt simple modeller kan bruges som byggesten til mere komplicerede modeller, hvilket er et argument for, at man kan arbejde med modellering på alle uddannelsesniveauer. Der skelnes mellem anvendt matematik og modellering. Modellering fokuserer på hvordan man går fra den virkelige verden til matematikkens verden (hvordan kan matematik hjælpe mig med det her problem?). Anvendt matematik vender den anden vej: Her fokuseres på hvordan den tillærte matematik kan bruges i virkelighedens verden. Matematisk modelleringskompetence drejer sig om at kunne identificere spørgsmål, variable osv. i en given situation fra virkelighedens verden, at kunne lave en oversætte til matematikkens verden, at kunne løse problemstillingen, at kunne fortolke og validere løsningen og at kunne forfine modellem om nødvendigt. Med andre ord handler modelleringskompetencen om at kunne udføre alle de processer der er forbundet med at konstruere og undersøge en matematik model (s. 13). Den virkelige verden konstitueres af to dimensioner: 1. Det domæne hvori matematisk anvendelse og modellering finder sted a) Forestillinger om anvendt matematik og modellering som en disciplin (definitionen af modelleringskompetencen) b) Klasserummet - forstået som der hvor læringen skal finde sted (i klassen, som individuel aktivitet, gruppearbejde, hjemmearbejde osv.) c) Systemet - dvs. alt der påvirker undervisning udefra (det politiske, det organisatoriske, det administrative, osv.) 90

Modellering DEL 3 2. De uddannelsesniveauer, hvor anvendt matematik og modellering skal læres. a) Primære b) Sekundære c) Tertiære d) Læreruddannelse Med det primære uddannelsesniveau refereres ikke til alder men til opnået viden og kompetencer. Lærerne er medspiller i domænet både i Klasserummet og under Systemet. Målet med modellering er, at eleverne skal blive i stand til at forholde sig til problemer, de ikke har mødt før. Så vi er interesserede i at finde ud af i hvor høj grad der kan ske en overførsel fra modelleringskompetencen til andre områder, og under hvilke forudsætninger sådan en overførsel eventuelt kan finde sted (s. 15). Løsningerne på problemer i forbindelse med modellering i undervisningssammenhænge kan søges og anskueliggøres ud fra følgende perspektiver: 1. Doing (det der rent faktisk finder eller burde finde sted i klasserummet) 2. Udvikling og design (pensum, opgaver, undervisningsmaterialer osv.) 3. Forskning 4. Politik Efter at have læst og arbejdet med modellering står det klart at det skal læres som en del af standardmatematikundervisning. Det er en vigtig kompetence som skal udvikles over tid gennem hele ens uddannelsesforløb. Vi oplever, at elevernes (og lærernes) attitude og beliefs kommer i spil, når det drejer sig om at skulle være kritiske eller kreative i matematik. Vi skal have skabt et andet billede af, hvad matematik er (ud over at løse konkret stillede opgaver). Men det kræver at vi underviser på en anden måde end vi er vant til. Matematisk modellering er en kompliceret proces, og jo mere åben problemstilling er des vanskeligere er det at komme op med en holdbar løsning. Det gælder altså om at finde passende problemstillinger som indfanger elementerne i modelleringscyklussen for at kunne træne modelleringskompetencen i sin helhed. 91

Modellering DEL 3 Dualiteten mellem at lære matematik for modelleringen skyld og at lære modellering for matematikken skyld kan ses som pendulsvingninger mellem den rene matematik og den anvendte matematik (s. 26), og det står klart, at eleverne ikke selv kan sætte pendulet i svingninger: Modellering skal læres og ikke kun praktiseres (s. 27). Indenfor forskningen i anvendelse og modellering har der gennem tiden været forskellige strømninger - forskellige faser: 1. Fortaler-fasen (1965 1975) (Freudenthal i spidsen med How to Teach Mathematics so as to be Useful (1968) og Why to teach Mathematics so as to be Useful) 2. Udviklingsfasen (1975 1990) (udvikling af pensum, design af eksperimentel undervisning, forskning i sammenhængen mellem undervisning i modellering og andre elementer af matematikundervisningen). 3. Modnings-fasen (1990 ) (empiriske studier, mere forskning, International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications etableres (ICTMA)). Gravemeijer (2007) Emergent modelling as a precursor to mathematical modellin af Koeno Gravemeijer, Feudenthal Institute, Holland Artiklen diskuterer forholdet mellem emergent modeling (modellering der så at sige vokser frem ved arbejdet med et problem) og matematisk modellering. Den første form har sine rødder i RME teorien og er artiklens hovedtema. Et synspunkt i artiklen er at matematisk modellering kræver en læringsproces forud for selve modelleringen eftersom den kræver en abstrakt matematisk viden at konstruere en matematisk model. Emergent- modellering er heuristisk designet og tilbyder en måde hvorpå der kan skabes en række modelleringsopgaver der kan befordre udviklingen af en abstrakt matematisk viden. Et problem ved matematisk modellering er at studerende har svært ved at anvende den abstrakte matematik de har lært på praktiske problemer. Den studerende skal oversætte det konkrete problem og oversætte det til et matematisk problem. De studerende har 92

Modellering DEL 3 svært ved at skabe forbindelserne mellem det konkrete, praktiske problem og deres abstrakte viden. Emergent modellering har også fokus på at modellere løsninger til et bestemt problem, men fremfor at anvende allerede kendte matematiske ideer er fokus på at udvikle (i hvert fald for eleven) nye ideer. Modellering bliver her en hel De studerende er bedre til at takle de praktiske problemer hvis der føler sig opmuntret og opfordret til at opfinde (igen i hvert fald for dem) nye metoder. I denne proces er aktiviteten primært at konstruere en matematik der kan løse det konkrete problem, det vil sige de udvikler nye matematiske ideer. Grundideen i emergent modellering er at de studerende begynder at modellere deres egen mere uformelle matematik. I processen der følger efter skal karakteren af modellen ændres for de studerende. Den model de har skabt iver mere uformelle aktiviteter skal gradvis udvikles til en mere formel. Modellen har altså rødder i de studerendes egen eksperimentelle viden og aktivitet. Modelleringsopgaven kan opbygges i sekvenser af opgaver så en længerevarende proces gennemløbes, hvor de studerende skaber abstraktioner ved hjælp af konstruktionen af deres egne modeller, hvilket er meningsfult for dem. På denne vis gør aktiviteten med modellering de studerende bekendte med en matematisk tilgang til hverdagssituationer. På den led tjener modelleringen to formål: både som instruktion og som hjælp for de studerende til at genopfinde matematik og forberede dem for anvendelser af matematik og abstrakt modellering. Højgaard (2010) Fra Communication: The Essential Difference Between Mathematical Modeling and Problem Solving (2010) Artiklen Communication: The Essential Difference Between Mathematical Modeling and Problem Solving (Højgaard, 2010) handler om forskellen mellem de to kompetencer og den måde opgaver formuleres på med henblik på at lære matematisk modellering og problemløsning. Ved at identificere denne forskel kan lærerne bedre understøtte elevernes kompetenceudvikling gennem formuleringen af de opgaver, der stilles. 93

Modellering DEL 3 KOM-rapporten formulerer otte matematiske kompetencer som erstatning for tidligere pensumbeskrivelse. Højgaard vil i denne artikel fokusere på modelleringskompetencen og problemløsningskompetencen som to kompetencer, der overlapper hinanden (som kompetenceblomsten viser), men så i kernen er forskellige. Matematisk modellering beskrives i seks trin: 1. Formulering af en opgave (fra virkelighedens domæne - det ekstra-matematiske domæne) 2. Identificere det væsentlige med henblik på en idealisering 3. Matematisering (oversættelsen til det matematiske univers - det matematiske domæne) 4. Problemløsning 5. Fortolkning og konklusioner tilbage i virkelighedens domæne (afmatematisering) 6. Validering Modelleringskompetencen handler om at kunne bruge matematik til at løse problemer udenfor det matematiske domæne og at kunne analysere allerede eksisterende modeller ved at afmatematisere dem og bedømme deres holdbarhed. Et eksempel på en opgave, som inviterer til at arbejde med alle elementerne i den matematiske modelleringscyklus er: Hvilken sammenhæng er der mellem den indkomst man har og den skat man betaler? Hvis modelleringen skal blive interessant skal opgaven være åben, så eleverne kommer på glat is og skal træffe nogle valg. Det vil sige, at modelleringskompetencen indeholder elementer som ligger uden for det matematiske univers, og derfor kræver modelleringskompetencen noget andet og mere end problemløsning (selvom problemløsning indgår). Opgaver kan stilles så de enten opererer med hele modelleringscyklussen eller med dele af den, som der vises et eksempel på (s. 260). Men opgaver, der kun kræver arbejde med enkelte delelementer af modelleringscyklussen styrker ikke elevernes modelleringskompetence. De styrker det Højgaard kalder matematiseringskompetencen. Højgaard har en hypotese om, at opgaver i matematisk modellering ofte bliver erstattet af opgaver i matematisering fordi sådanne opgaver er nemmere at orkestrere. Desuden giver Højgaard et eksempel fra en dansk studentereksamensopgave, som er et eksempel på den eneste 94

Modellering DEL 3 type opgave der minder om noget anvendelsesorienteret, men uden af have noget med modellering eller problemløsning at gøre fordi opgave er foldet ud (som vi kender dem): Opgaven bliver i det matematiske domæne. Højgaard opstiller forskellige eksempler på opgaver af kortere eller længere varighed, der styrker modelleringskompetencen eller matematiseringskompetencen. Niss (2010) Crucial Aspect of students Mathematical Modeling - Mogens Niss Der er fokus på matematisering og to spørgsmål bliver stillet: Hvordan skabes matematiseringen og hvad er udfordringen og forhindringen som eleverne støder på i forbindelse med modellering? Dette vil blive belyst ud fra tre eksempler: Eksempel 1: Et kegleformet glas To personer A og B diskuterer spørgsmålet: hvor meget væske skal man komme i glasset, sådan at rumfanget bliver det halve af glassets rumfang? Den ene (A) siger 2/3 af højden og den anden (B) siger at det ikke altid er korrekt, da det vil afhænge af den åbne vinkel af glasset. MN beskriver hele matematiseringsprocessen forbundet med denne opgave og nævner at man i virkeligheden 95

Modellering DEL 3 ikke kræver overvejelser over terminologien. Det eneste der kræves er formlen for volumen af en kegle. Denne opgave er en klassisk opgave, hvor præmatematsieringen er givet på forhånd. I det øjeblik spørgsmålet fra den virkelig verden er oversat til det matematiske domæne, så handler det om matematisering. Selve denne proces er ikke nem, idet den kræver at man aktivere forskellige matematematiske kompetencer. Udfordringen ligger i At udvælge de informationer som er relevante for opgaveløsningen. Udvælgelsen skal være baseret på elevens tillid til sin egen strategi. Eleven (problemløseren) skal igennem megen matematisk viden og regnetekniske færdigheder. Eksempel 2: Dag-timerne i København En tabel over dagtimerne og årets tolv måneder i 2006 er givet og spørgsmålet lyder: Hvad var længden af dagen den 4. juli 2006? Matematiseringen starter ved at eleven plotterne punkterne i et koordinatsystem, hvilket ikke bare kan gennemføres fejlfrit. Processen kræver jo at eleven har styr på enhederne og månederne bliver præsenteret ved tal osv. Denne grafiske fremstilling er ikke automatisk, men kræver en del overvejelser. Næste trin er at eleven bør vide at det er en sin-funktion ellers er der ikke mulighed for at løse opgaven. Forskellen i forhold til det første eksempel ligger i at der her ikke er givet de enkelte trin i matematiseringen, hvilket kræver et godt kendskab til funktioner for overhovedet at have muligheden for at løse opgaven. Udfordringen ligger i at opstille modellen, hvorefter de resterende trin i modelleringscyklussen kræver tekniske færdigheder. Eksempel 3: Stemning af et klaver Det siges ofte at det er umuligt med høj præcision at stemme et klaver. Er det korrekt? 96

Modellering DEL 3 For at kunne løse denne opgave er man nødt til at få en indførelse af en masse begreber og deres betydning fra musik og fysik. Dette gøres i et ekstra-matematisk domæne. Derefter kan man formulere spørgsmålet fra musik-domænet til det matematiske domæne. Forskellen fra de to første eksempler er jo at der her i det tredje eksempel er et ekstra-matematisk domæne, som man er nødt til at have styr på, hvor i de to foregående eksempler, der er præmaatematiseringen givet på forhånd. Denne opgave kræver også en del idealisering og tilskæring, for at det bliver muligt at løse problemstillingen. Essensen i disse tre opgaver er at formuleringen fra det ekstra-matematiske domæne bliver oversat (matematiseret). MN opstiller herefter en teoretisk model af matematiseringsprocessen: 1) En forudsætning for matematisering er at man får styr på det ekstra-matematiske domæne. Her vil man skulle idealisere og specificere situationen 2) I denne fase vil eleven skulle udpege relevant matematiske repræsentationer som har forbindelse til situationen/spørgsmålet. 3) Efter at eleven har valgt det matematiske domæne, skal han/ hun kunne anvende matematikken og komme med bud på mulige besvarelser af spørgsmålet. Dvs. eleven skal være i stand til at besidde 97

Modellering DEL 3 problemløsningsstrategier, sådan at eleven vil kunne forudse løsningen efter matematiseringsfasen. For at kunne strukturer den virkelig verden, er det en forudsætning at eleven har en forhåndsidé om hvilket matematisk domæne der skal anvendes i en given situation. Dertil kommer at eleven skal kunne oversætte et spørgsmål fra den virkelige verden og ind i den matematiske verden og omvendt. Et vigtigt begreb som er en forudsætning og kan bane vejen for den vanskelige matematiseringsfase er at kunne mestre iværksat foregribelse (Niss 2010, s. 55). Her handler det i høj grad om at være bevidst om hvordan man vil benytte den matematiske repræsentation til at besvare det stillede spørgsmål. Det handler i bund og grund om at tænke fremadrettet i modelleringscyklussen og overveje hvordan kommer jeg videre, så det giver mening i forhold til spørgsmålet i såvel det ekstra matematisk domæne (den virkelige verden) som i det oversatte spørgsmål. Iværksat foregribelse kræver: matematisk viden som er relevant til situationen at kunne sætte den matematiske viden i relation til det stillede spørgsmål anvendelses-orienteret (relevans-orienteret???) beliefs om matematik??? matematisk selvtillid og udholdenhed Så er spørgsmålet: Hvordan skal eleverne kunne forudse noget om anvendelsen af den matematiske viden til modellering før de har lært at modellere? Niss (2012) Models and Modelling in Mathematics Education, Mogens Niss, EMS 2012 Artiklen indledes med en kort introduktion til matematisk modellering. Betragter vi et område uden for matematikkens verden hvor vi ønsker at opnå en form forståelse af forskellige fænomener, relationer imellem forskellige elementer eller spørgsmål vedrørende dette område. Vi er da nødsaget til at udvælge hvilke objekter, relationer, fænomener og 98

Modellering DEL 3 spørgsmål vi vil betragte og det er os der afgør hvilke der er relevante og betydningsfulde til vores formål. Enhver af disse enheder skal nu repræsenteres af en matematisk enhed fra den matematiske sfære. Med andre ord har vi oversat enheder fra et ikke matematiske domæne til enheder i den matematiske sfære. Ved hjælp af matematiske metoder søger vi nu matematiske svar på spørgsmålene og problemer fra domænet udenfor det matematiske. De matematiske svar fortolkes og evalueres og oversættes som svar på de oprindelige spørgsmål i domænet udenfor det matematiske. Dette kaldes under et for modelleringscyklussen. Når en matematisk model konstrueres fra bunden til den opererer med aspekter fra domæner udenfor matematikkens verden er matematisk modellering i gang. Interesse i matematisk modellering er vokset siden 1960erne og den er baseret på to forskellige holdninger. Indholdet i den første som kan kaldes mathematics for applications, models and modelling - er at anvendelse af matematik i sammenhænge udenfor matematikkens domæne til formål udenfor matematikkens verden er en vigtig aktivitet og bestræbelse og derfor bør det være et vigtigt mål for og opgave for matematiske uddannelser at gøre studerende på forskellige niveauer i stand til at deltage i sådanne aktiviteter. Det andet synspunkt som kan tildeles sloganet applications, models and modelling for the learning of mathematics - er at det at koble matematik på sammenhænge udenfor matematikken med formål der også ligger udenfor matematikken kan skabe motivation hos nogle elever. Altså kan undervisning i og indlæring af matematik for dens egen skyld drage fordel af anvendelser, modellering og modeller. Fra 1990erne og frem er der lavet en stor mængde research for at undersøge en række spørgsmål angående undervisning i og indlæring af modeller og modellering. To observationer har vist sig at spille hovedrollerne. Hvor, for det første, viden og færdigheder indenfor den rene matematik er nødvendigt for at en person er i stand til at beskæftige sig med og lave modeller, så er en sådan viden og sådanne færdigheder langt fra tilstrækkelige. En grund er at alle beslutninger, antagelser og simplifikationer der skal tages involverer det område udenfor matematikkens sfære som der skal laves en model til. Dette antyder at modellering og hvorledes man beskæftiger sig med modeller skal læres og hvad vil det egentlig sige at lære om modeller og at modellere. Den anden hoved observation : Den gode 99

Modellering DEL 3 nyhed er at modeller og modellering virkelig kan læres og læres af studerende på forskellige trin. Det kræver fokuseret og omhyggeligt tilrettelagt undervisning og tilstrækkelig med tid. Weigand (2014) Looking back and ahead didactical implications for the use of digital technologis in the next decade af Hans-Georg Weigand, 2014 Artiklen beskæftiger sig med fordele og ulemper ved anvendelsen af digitale teknologier og CAS værktøjer I matematikundervisningen. Hans Georg Weigands betragtninger bygger på et forsøg kaldet M3 i de tyske gymnasier der løb i perioden 2003-2013, hvor anvendelsen af CAS blev undersøgt. Undersøgelsen ledte Hans - Georg Weigand frem til 10 teser. Weigan refererer flere visioner fra 1990 rne angående anvendelsen af CAS, vi vender for et kort stund blikket på nogle af visionerne: Technology is essential in teaching and learning mathematics; it influence the mathematics that is taught and enhances students learning (p.3) og Calculators and computers are reshaping the mathematical landscape. Students can learn more deeply with the appropriate and responsible use of technology ( p.3) 20 år efter udtrykker en del fagfolk at udviklingen ikke er gået helt som ventet, her i blandt Michele Artigue: The situation is not so brilliant and no one would claim that the expectations expressed at the time of the first study (20 years ago) have been fulfilled (p.4) M3 projektet begyndte I 2003 med anvendelse af symbolske lommeregnere (SC) I gymnasiet. Projektklasserne blev sammenlignet med klasser der ikke anvendte SC. Fra 2012 blev det i hele Tyskland tilladt at anvende SC lommeregnere til eksamen i slutningen af gymnasiet. M3 projektet gav nogle generelle resultater som bekræfter andre undersøgelser, nemlig at hvis man arbejder med SC tilbydes man en større variation af strategier indenfor problemløsning 100

Modellering DEL 3 studerende arbejder mere individuelt og med partnere succesfuldt arbejde med SC kræver en orkestrering af undervisningen Der er også helt unikke resultater fra projektet hvilket kom frem gennem interviews med lærere og studerende, via studerendes besvarelse af spørgeskemaer og fortolkningen af individuelle løsninger af test og eksamensopgaver. I de følgende refereres og uddybes de 10 teser som Weigand uddrog af undersøgelsen. 10 teser. Tilhængere af og eksperter indenfor feltet af digital teknologi (DT)har for ofte begrænset diskussionen om anvendelsen af DT til indercirklerne af DT eksperter: Thesis I: We the experts and supporters of the use of DT in classrooms - underestimated the difficulties of DT usage in technical sense and in relation to the contents and we have not been able to convince teachers, lecturers at university and parents of the benefit of DT in the classrooms (p.5) Problemer I forbindelse med form og indhold af eksamen. Eksamen influerer på den måde der undervises på i klasserummet. Eksamensopgaver sætter standarden for undervisningsmetoderne. Digital teknologi har store fordele hvis der arbejdes med åbne problemer, modellering af realistiske problemer og indlæring ved hjælp af opdagelse i klasserummet. Disse problemer er ikke særlig anvendelige til traditionelle eksamener, fordi de kræver lang tid og tålmodighed, sådan at forskellige løsningsstrategier kan undersøges. Hvis man beholder den traditionelle eksamensform kræver det en ny slags opgaver og en diskussion af forholdet mellem den viden, de vener og færdigheder der forventes af de studerende. Weigand referer her blandt andet til problemer der er opstået ved anvendelse af DT, fordi den studerende har haft end anden løsningsstrategi end forfatteren af opgaven. Thesis II: The construction of good and meaningful test and examination problems if we think about a traditional oral or written exam is even more challenging if DT are permitted. (p.6) 101

Modellering DEL 3 Angående dokumentation af løsninger. De studerende er usikre på hvor meget de skal skrive og dokumentere når de anvende DT. Her refererer Weigand i særdeleshed til traditionelle papir og blyant eksaminationer hvor eleverne har lov til at anvende DT. Her skal den studerende kombinere arbejdet med DT og hvad der står på skærmen med noter og beregninger på papiret. Thesis III: Criteria for the adequate documentation of solutions in written examinations have to be developed (p.9) Hovedårsagen til at arbejde med DT I undervisningen er målet om en bedre forståelse af matematik hos de studerende. Ved forståelse menes at man udvikler mentale strukturer og repræsentationer. Der er tilfælde hvor SC værktøjer løsninger det er svært for den studerende at fortolke løsningen, f. ex er nedenstående numeriske løsning på opgave 3 svær at gennemskue: indsæt opgave 3 og billede fra s.9 Dette leder Weigand frem til Thesis IV: In spite of the existence of interactive, dynamic and multiple digital representations, the main challenge is the development of mental representations (p.10) Løsninger vises ofte på skærmen i et format de studerende ikke er bekendt med. En grafisk repræsentation af det forrige problem ser således ud: (indsæt 8 a,b,c fra s 10 nederst) At zoome ind er en god strategi. Det kræver basis viden om sin(x) og 2 x at udvælge de interessante områder der skal zoomes ind på. Det kræver endnu større indsigt at løse sidste del af opgaven. Det uendelige antal løsninger kan ikke indses ved at betragte skærmen. Denne løsning skal komme fra en allerede tilegnet mental repræsentation af funktionerne. 30 % af de studerende kunne løse problem 3a, kun 5 % kunne løse det sidste problem i opgaven. Thesis V: Users (students) of DT need to have strategies to control, verify and revise solutions obtained with DT (p.10) Studerende har altså brug for strategier til at kontrollere løsninger der er opnået ved brug af DT. 102

Modellering DEL 3 Digitale værktøjer har en række faciliteter der gør det muligt at arbejde med statiske, dynamiske eller multiple repræsentationer. Dette skal samtidigt ses i relation til graden af og indholdet af forståelse. Hvorledes den studerende kan drage nytte af at anvende DT afhænger altså af forståelsesgrad og hvolket mode det digitale værktøj anvendes i. Weigand sammenfatter dette i: Thesis VI: The construction of a competence model for `tool competence` may be helpful for diagnostic reasons and for creating strategies for developing tool competences. ( p.11) Det er nødvendigt at de studerende lærer at kende til DTs begrænsninger og grænserne i forhold til et bestemt matematisk område.: Thesis VII: Working witk DT requires the knowledge of the limits and restrictions of DT concerning the mathematical contents ( p.13). Det er nødvendigt med længerevarende empiriske undersøgelser for kunne udvikle strategier for indlæring og undervisning i matematik og for DTs rolle i undervisning og indlæring: Thesis VIII: We need long- standing empirical investigations to develop strategies for learning and teaching in the mathematics curriculum (p.13) Et integreret, globalt begreb angående brug af nye teknologier i undervisningen må følge forskellige aspekter; interaktionen mellem forskellige digitale komponenter, anvendelse af materiale i klasserummet, samarbejdet mellem undervisere indenfor en skole og mellem skoler, skoler og universiteter etc. En forandring i undervisningen og læring leder ikke automatisk til en bedre indlæring og forståelse: Thesis IX: Connectivity and interconnectedness will be key words in the future. The acceptance of new technologies and their beneficial use require a global concept of teaching and learning (p.13) Weigand mener det er nødvendigt med visioner der er baseret på empiriske resultater og teoretiske betragtninger men også visioner baseret på nye og kreative ideer: Theis X: We need visions regarding the integration of DT into the (mathematics) classroom (p.14). Jankvist & Misfeldt (2015) CAS-inducerede vanskeligheder ved matematiklæringen - Uffe Jankvist og Morten Misfeldt 103

Modellering DEL 3 Forfatterne beskriver hvordan CAS er en hverdag for elever med matematik på højere niveau på Gymnasiet i Danmark. Ved at kigge på tidligere matematikdidaktiske, så har man på det seneste fokuseret på det positive ved CAS i forhold til undervisning og læring. For nogle få årtier var forventningen om CAS høj. Dog var det et velkendt en pragmatisk tilgang til CAS vil medføre at eleverne mister deres aritmetiske færdigheder (f.eks. Artigue, 2010). Men i hvilket omfang er der tale om forhindring, fejlforestilling eller læringsvanskelighed og på hvilke måder påvirkes begrebsdannelsen? Denne artikel tager afsæt i nogle observationer fra en gymnasielærer, som er kommet frem til at eleverne har vanskeligheder som man ikke kunne observere inden CAS blev en del af matematikundervisningen i gymnasiet. Et eksempel på en potentiel vanskelighed Her beskrives nogle vanskeligheder som er observeret i forbindelse med differentialligninger i 3.g. Opgaven går ud på at finde løsningen til differentialligningen: dn/dt = -16N + 32 med startbetingelsen N(10) = 1. Før gymnasiereformen ville man løse denne type opgave på to måder. Første metode er vha. separation de variable af N og t. Ellers kan man støtte sig op at sætningen som siger hvad løsningen er til en bestemt differentialligning. Den normale tilgang vil være at indtroducere til ovenstående for derefter at indføre CAS med kommandoen desolve. Så kan eleverne selv vælge hvilken metode de vil benytte sig af. En elev der anvendte CAS lavede fejlen med omskrive forkert, så eleven skrev: y =-16x+32, hvilket gav et helt forkert resultat. Elevens lærer konkluderede heraf at denne fejl ikke var opstået hvis man brugte papir og blyant i stedet for desolve. Læreren forklare det med at når man gøre det vha. papir og blyant vil eleverne opnå en grundforståelse og derfor vil de ikke bytte rundt på x og y og hvis hun gjorde vil hun have nemmere ved at finde sin fejl. Problemet(som ikke er et nyt problem) er at eleverne bruger bestemte CAS metoder til at løse opgaver uden at tænke på selve matematikken og derfor vil påvirke elevernes begrebsdannelse. 104

Modellering DEL 3 Læringsvanskeligheder og begrebsdannelse Læringsvanskeligheder indenfor matematik skyldes fejlforestillinger og misforståede procedurer. Disse vanskeligheder relateres til begreber og begrebsdannelse, beviser og ræsonnement, modeller og modellering. I ovenstående eksempel er der ikke tale om en oversættelsesfejl fra N til x. Forfatterne mener at det er en CAS-induceret læringsvanskelighed der er på spil her. Forfatterne knytter litteraturen til eksemplet med differentialligninger. Der tages fat på Sfards 3 faser: Initialisering, kondensering og reifikation. Initialisering er nået når elevens begrebsbillede af differentialligninger indeholder en metode hvor eleven er i stand til at udføre operationer på funktioner. Kondensering er på et højere niveau, hvor eleven er i stand til skifte mellem algebraiske repræsentationer og grafiske repræsentationer og derfor vil både kunne løse en opgave grafisk eller analytisk. Reifikation finder sted når begrebsbilledet separeres fra dens processen og ses som et objekt for sig selv. Herudover kobles artiklen til skemps matematikforståelse, hvor der skelnes mellem instrumentel og relationel forståelse. I forhold til CAS beskrives lever potential, som de muligheder CAS f.eks. spare tid, elevene fokuserer og udfører matematisk aktivitet. Black-boxing derimod er princippet, når eleverne er aktiverede og udfører operationer på CAS men dog uden en forståelse for matematikken. CAS er et redskab som er indført med et specifikt formål. Det kan have en pragmatisk anvendelse, hvor det er relateret noget eksternt i forhold til brugeren. En epistemologisk anvendelse er relateret til brugerens kognitive system og redskabet anvendes for at kabe sammenhæng og for at støtte op om læringen. Hvis det er ren pragmatisk anvendelse, vil det resultere i dårlig resultater. Problemer med CAS Hvis man tager eksemplet med pigens vanskeligheder med løsning af differentialligninger, så kan det tydeligt siges at det ikke er muligt for hende at opnå en relationel forståelse, men det er svært at sige om hun har opnået en instrumentel forståelse, da Skemp ikke definere de to begreber i forhold til CAS. Dog kan man referere til et CAS-instrumentel forståelse, som handler om 105

Modellering DEL 3 forståelsen for at følge en procedure uden at vide hvorfor og hvordan det hænger sammen med matematikken. Anvendelsen af papir og blyant kan også føre til en følge procedure metode, men afhængigt af lærerens erfaring er der en del metoder til at opnå instrumentel forståelse med CAS og disse kan være skyld i læringsvanskelighederne. Sfards beskrivelse i forhold til proces og objekt går hånd i hånd for at skabe begrebsbilleder hos eleverne. Men vil black-boxing fravige eleverne fra processen? Og hvad betyder det i forhold til reifikationen? Flere og flere abstrakte begrebsbilleder bygger på andre objekter som endnu ikke er reificeret. Matematikdidaktikken har gjort os i stand til at forudse potentielle problemer med CAS. Forfatterne erkender dog at CAS kan tilføje en del til differentialligninger og ikke mindst i forhold til f.eks. numeriske løsninger. I kondensationsfasen vil det hjælpe at kunne se flere løsningsforslag. På den anden side, hvis anvendelsen af CAS black-boxer den analytiske tilgang til løsningen, så vil differentialligninger aldrig blive initialiseret fordi eleverne aldrig bliver fortrolige med processerne, som giver anledning til begrebsdannelsen. Eleverne vil altså aldrig komme nærmere reifikation af begreber på lavere niveau. Følger man Sfard vil differentalligninger aldrig blive kondenseret eller reificeret. Selvfølgelig er det ikke kun den store anvendelse af CAS, der er skyld i det. Undervisning uden fokus på algoritmer og retfærdiggørelse af metoder er også skyld i det. Black-boxing fundamentelle begreber: Den afledte Her beskrives et andet eksempel, som viser fejl som skyldes den blinde anvendelse af CAS. Eksemplet handler om at bestemme monotoniforholdene for en funktion. Her er eleverne trænet i at finde maksimum og minimum vha. CAS, hvor man tegner grafen og aflæser maksimum og minimum. Selvom det lykkedes eleverne at regne rigtigt, så mangler eleverne at få indsigt i hvad den afledte funktion kan bruges til, især fordi man ikke behøver at tænke over det når man bruger CAS. Det er også meget nemmere for eleverne og derfor vil den afledte blive black-boxet når man skal bestemme monotoniforholdene. Iflg. Sfard vil reifikation ikke være mulig. At slører forskellen mellem solve og desolve 106

Modellering DEL 3 Selvom at CAS i nogle sammenhænge kan styrke begrebsdannelsen, især i forhold til afbildning af funktioner, så vil en pragmatisk tilgang (f.eks. løsning af ligninger eller differentialligninger) helt klart forringe mulighederne for reifikation. Set fra et procederet perspektiv er solve og desolve for det meste det samme, hvor det i begge tilfælde går ud på at bestemme noget ukendt. solve er en procederet og pragmatisk løsningsstrategi. Dog er eleverne i stand til at løse ligninger uden en relationelforståelse af begrebet variable. Det bliver fejlagtigt forstået således: Hvis en opgave indeholder noget med en løsning, så brug solve. Forskellen i forhold til differentialligninger er at man her skal angive hvilken funktion der er ukendte. Denne pragmatiske, men også effektiv, tilgang bliver formuleret således Hvis opgaven indeholder noget med en differentialligning, så anvend desolve, hvor f og y er de samme som i opgaveformuleringen. Havde det været på denne måde, så ville eleven i artiklen havde opdaget fejlen, men disse pragmatisk orienteret teknikker slører forskellen mellem løsning af og differentialligninger på CAS. Ligheden alene forklarer selvfølgelig ikke alene hvordan eleverne løser uden at overveje forskellen mellem ligninger og differentialligninger. Men uden at reificere objekter af funktioner og variable, har eleverne tendens til at sætte y erne på venstre side og x erne på højre side (som i en ligning) og derfor ikke ser en differentilligning som et udtryk for en funktion, men som om de skal finde x. Til sidst konkluderes at en manglende reifikation sammen med en pragmatisk tilgang tilsammen er skyld i CAS-relaterede læringsvanskeligheder. 107

Modellering DEL 3 108

Modellering DEL 3 10. BILAG 10.1 Bilag 1 - Oversigt over detektionstestens pointtildeling Opg.1 Opg.2 Opg.3 Opg.4 Opg. 5 Opg. 6 Opg.7 Opg.8 Opg.9 Opg.10 Opg.11 Opg.12 Opg.13 AGHF 2. hf HTG 2.g Præ Mat Mat, Mat, Valid, Mat, Løs, Mat Model Mat Model Val løs løs mat løs afmat Afmat 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 5 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0 0 0 15 2 2 2 1 2 0 1 0 0 0 0 2 2 14 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6 1 2 1 2 1 0 1 0 0 2 0 0 2 12 2 2 1 2 2 1 0 0 0 2 0 0 2 14 1 2 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 2 10 1 2 2 1 1 1 1 0 0 2 0 0 2 13 2 2 0 2 2 1 1 0 2 2 0 0 2 16 0 2 2 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 2 2 0 2 1 2 0 1 1 0 0 2 13 0 1 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 2 9 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 25 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 5 0 2 2 1 1 1 0 0 1 2 2 0 2 14 2 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 0 2 18 2 2 2 0 2 1 0 1 0 2 0 0 2 14 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 7 0 2 2 1 2 1 0 0 2 2 0 0 2 14 0 2 2 0 2 1 0 0 1 2 0 0 2 12 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 23 0 2 2 1 2 2 0 0 2 2 2 0 2 17 0 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 20 0 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 2 10 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 0 0 17 2 2 2 2 1 1 0 0 0 2 2 0 2 16 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 18 109

Modellering DEL 3 Opg.1 Opg.2 Opg.3 Opg.4 Opg. 5 Opg. 6 Opg.7 Opg.8 Opg.9 Opg.10 Opg.11 Opg.12 Opg.13 HTG 1. hf I alt Præ Mat Mat, Mat, Valid, Mat, Løs, Mat Model Mat Model Val Afmat løs løs mat løs afmat 11 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 5 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 4 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 7 0 2 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 5 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 2 1 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 2 9 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 2 8 1 2 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 2 12 2 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 11 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 5 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 53 66 45 41 47 29 12 19 30 51 17 7 77 110

Modellering DEL 3 10.2 Bilag 2 - Klasserne opnåede point i de enkelte opgaver Antal opnåede point AGHF 16 14 12 10 8 6 4 2 0 14 14 13 13 11 11 9 7 5 4 2 2 0 Opg.1 Opg.2 Opg.3 Opg.4 Opg. 5 Opg.6 Opg.7 Opg.8 Opg.9 Opg.10 Opg.11 Opg.12 Opg.13 35 30 25 20 15 10 5 0 Antal opnåede point HTG - 2.g 33 33 32 30 28 23 20 18 15 12 9 4 5 Opg.1 Opg.2 Opg.3 Opg.4 Opg. 5 Opg.6 Opg.7 Opg.8 Opg.9 Opg.10Opg.11Opg.12Opg.13 Antal opnåede point HTG - 1. HF 35 30 25 20 15 10 5 0 32 28 19 12 8 8 6 7 3 1 1 2 0 Opg.1 Opg.2 Opg.3 Opg.4 Opg. 5 Opg.6 Opg.7 Opg.8 Opg.9 Opg.10Opg.11Opg.12Opg.13 111

Modellering DEL 3 10.3 Bilag 3 - Puslespillet 112

Modellering DEL 3 10.4 Bilag 4 - Modelleringscyklus Modellerings-cyklussen Virkelighedens verden Matematikkens verden 1. Formulering af en opgave fra virkelighedens verden 2. Præ-matematisering identificere det væsentlige, foretage en idealisering 3. Matematisering oversættelsen til matematikkens verden 4. Matematisk analyse problemløsningen 5. Afmatematisering fortolkning og konklusion tilbage i virkelighedens verden 6. Validering en evaluering af modellen 113

Modellering DEL 3 Hvad betyder det? 1. Formulering af en opgave fra virkelighedens verden Hvilken bank kan det bedst betale sig at bruge? Hvor lang tid tager det at gå til Roskilde Domkirke? Hvor høj er bygningen? 2. Præ-matematisering identificere det væsentlige, foretage en idealisering Vi præciserer det spørgsmål, vi ønsker at finde svar på. Hvad ved vi? Hvad antager vi? Hvad er det væsentlige i forhold til det, vi gerne vil finde svar på? Hvad vil vi smide væk? Jo bedre vi skærer opgaven til, des nemmere bliver det at løse den. 3. Matematisering oversættelsen til matematikkens verden Vi indfører variable Vi oversætter vores sproglige spørgsmål til matematiske udtryk Vi bygger nu en matematisk model 4. Matematisk analyse problemløsningen Vi bliver i matematikkens verden Vi løser opgaven matematisk 5. Afmatematisering fortolkning og konklusion tilbage i virkelighedens verden Vi oversætter tilbage til den virkelige verden Hvad betyder de matematiske svar, vi er kommet frem til? Vi svarer på det spørgsmål, vi har stillet. 6. Validering en evaluering af modellen Passer vores facit til den virkelighed, vi kender? Svarer vi godt nok på det oprindelige spørgsmål fra virkelighedens verden? Hvilke usikkerheder er der i vores model? 114

Modellering DEL 3 10.5 Bilag 5 - Svar på modelleringsopgaven 1. Formulering af en opgave fra virkelighedens verden: Et pizzeria serverer to runde frokostpizzaer af samme slags og tykkelse, men i forskellig størrelse. Den mindste har en diameter på 30 cm og koster 30 kr. Den største har en diameter på 40 cm og koster 40 kr. Hvilken pizza giver mest for pengene? Vis, hvordan du kom frem til dit resultat. 2. Præ-matematisering: Signalordene samme slags og tykkelse peger på at pizzaerne er idealiseret og har helt samme form. Jeg forudsætter at runde betyder cirkulære, fordi der i opgaven står hvor stor diameteren er. Diameteren er en karakteristisk størrelse for en cirkel. Jeg antager at pizzaernes indhold er jævnt fordelt over fladen, således at der ikke er en dejring i yderkanten af pizzaerne hvor der ikke er fyld, hvilket komplicerer løsningen af opgaven. Jeg antager også at spørgsmålet giver mest for pengene skal fortolkes som mindste pris pr. pizzamængde eller ækvivalent som største pizzamængde pr. krone. Anderledes formuleret er det den mindste pris pr. rumfangsenhed der giver mest for pengene. Da de to pizzaer har samme tykkelse kan jeg nøjes med at kigge på arealet og beskrive den enkelte pizza ved hjælp af det 3. Matematisering: Arealet af en cirkel er A = π r 2. Den lille pizza har diameteren 30 cm og den store 40 cm. Dvs. den lille pizza har radius = 30 cm = 15 cm og arealet A 2 15 = π 15 2 cm 2. Den store pizza har radius r = 40 cm = 20 cm og arealet A 2 20 = π 20 2 cm 2. Jeg vil beregne hvor mange cm 2 jeg får pr. 30 krone. Priserne pr. arealenhed er henholdsvis for den lille pizza og 40 π 15 2 π 202 for den store, kr begge er i enheden cm 2. Spørgsmål er nu hvilket tal er størst? Er det 30 40 π 152 eller π 202 eller de lige store? 4. Matematisk problemløsning: Jeg henter hjælp hos lommeregneren: 30 π 15 2 0,042441 og 40 π 20 2 0,031831 5. Afmatematisering: Det vil sige den lige pizza koster altså 0,042441 kr kr cm2 og den store 0, 031831 cm2. Altså er den lille pizza dyrere pr. areal (volumen) end den store. Den store giver altså mest for pengene. 6. Validering: I virkeligheden går fyldet på en pizza ikke helt ud til kanten. Jeg kunne antage at fyldet kun når til fx 2 cm fra randen. Jeg kunne så undersøge hvilken pizza der giver mest for pengene. Prisen pr. arealenhed for den fyldte del af pizzaen er da et mål for hvor meget pizza jeg får for pengene. Det ville give en ny model der passer bedre til virkeligheden. 115

Modellering DEL 3 10.6 Bilag 6 - Stens optimeringsopgaver Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 116

Modellering DEL 3 10.7 Bilag 7 - Gruppernes besvarelser af bygningsopgaven 10.7.1 Albertlund - 2hf 1: Formulering: Se billedet ovenfor. Hvor høj er den forreste bygning cirka? Begrund dit svar. 2: Præ-matematisering: Vi kan se at den vinkel billedet er taget på er en form for perspektivering. I denne opgave kan vi også tage målestoksforhold med. Her tager vi den rødblusede person. Vi skal finde målestoksforholdet og for at finde det bruger vi personen. 3: Matematisering: Den rødblusede mand antager vi er 180 cm. 180 cm svarer til 1 cm, på billedet. Bygningen er 9 cm. 4: Matematisk problemløsning: Bygningens højde = 180cm 9 = 1620 cm = 16,20 m. 5: Afmatematisering: Det svar vi er kommet frem til, er at bygningen er ca. 16,20 meter høj. 6: Validering: Bygningen er altså 16,20 m. Det svarer godt til at den er 5 etager, fordi en etage er ca. 3,24 meter. Hvilket passer godt til den virkelige verden. 117

Modellering DEL 3 10.7.2 Høje Taastrup 1hf 118

Modellering DEL 3 10.7.3 Høje Taastrup 2g 119

Modellering DEL 3 10.8 Bilag 8 - Sluttest Del 1 Iben Lone Iben Cilla Cilla Iben Så når vi trykker den der ind, så bliver rumfanget inde i røret vel mindre, så stiger trykket jo, fordi der er mindre plads. Vi skal nok lave en formel, hvor vi kan se at det ændre sig. På hvilken måde? Altså se om trykket stiger når rumfanget bliver mindre. Men hvordan skal vi kunne lave en formel, når vi ikke har nogle tal? Skal vi bare kalde det nogle bogstaver? Vi kan kalde rumfanget for V Skal vi så lave en lineær ligning? Kan man ikke gøre det, for jo mere man trykker jo mere stiger trykket, så er det sådan jævnt. Det er tydeligt at pigerne er i gang med at nærme sig en idealiseret situation og forstå opgaven i det ekstra matematiske domæne. De bevæger sig ind i det matematiske domæne ved at tildele størrelserne bogstaver. Selvom valget af den lineære funktion ikke er korrekt, så fornemmes en forbedring af iværksat foregribelse hos pigerne i forhold til tidligere. Ama griber ind for at lede dem på det rigtige spor. Ama Kan I prøve at forklare hvad x og y står for? Der bliver skrevet T = av + b, hvor T står for tryk. Ama Cilla Skal vi lige tage et kig på b i jeres lineære model? Det er skæringen på y-aksen. Ama opfordrer til de tegner deres model ind. De bliver så spurgt om hvad det betyder, hvis b har en værdi og de viser forståelse for at det må være hvis der er et tryk i forvejen. Ama sprøjten Iben (0,0)). Hvad så hvis vi ikke starter med noget i Så er den jo 0 (tegner den rette linje gennem 120

Modellering DEL 3 Idet Ama spørger om hvad man kalder sammen denne sammenhæng, kommer Iben i tanke om at det er noget med proportionalitet eller omvendt proportionalitet. Pigerne bliver hjulpet gennem en idealisering, som er nødvendig for at de nærmere sig modellen. Pigerne bliver opfordret til at skrive deres antagelse ned: Grafen med den rette linje og det skrevne giver ikke mening for Cilla og hun begynder at skrive følgende: Pigerne kommer frem til at de nu skal finde en anden formel. Da de så bliver spurgt om modelleringscyklussen på et andet ark, så svarede de korrekt med at de nu har lavet validering af deres model, men at den så ikke passer og de derfor skal starte om med at finde en ny formel. Iben kommer frem til at det så må handle om omvendt proportionalitet, men husker ikke så meget. Her får de en matematikbog i hånden som hjælp og pigerne skriver derefter: I bogen er der en graf der viser sammenhængen ved omvendt proportionalitet og pigerne bliver ledt igennem valideringsprocessen. 121

Modellering DEL 3 DEL 1 - AGHF I den næste opgave udleveres der to plastiksprøjter og billedet med sprøjten og trykmåleren. Der går lidt tid, hvor gruppen sidder i tavshed. Det er Karen, der bryder tavsheden ved at sige højt, hvad hun tænker, når hun kigger på billedet: Karen Emma Den sorte kasse er trykmåleren, dvs. når sprøjten har suget så meget luft ind i rumfanget, så er der et vist tryk. Ja, og jo mindre rumfang, des større tryk vil der være. Selvom Karens formuleringen er lidt noget vrøvl, så er hun alligevel på sporet af at opgaven handler om at finde en sammenhæng mellem de to størrelser, og Emma får hurtigt rigtige billeder frem. Hun sammenligner det med at svømme nedad i et svømmebassin - jo længere ned, man kommer, des større tryk. Maja hiver som den første i sprøjten, og Emma sammenligner igen med svømmebassinet, mens hun demonstrerer med sprøjten, som er trukket helt ud til at starte med. Emma Hvis du forestiller dig, at du er her i overfladen (peger på stemplet). Når du så dykker ned, så bliver trykket større. Herefter følger en længere diskussion af, hvad rumfanget af sprøjten egentlig betyder? Maja mener ikke, at rumfanget forandres selvom man presser sprøjten i bund. De andre går umiddelbart med på den, men Karen konstaterer, at det, der kan være inden i, det ændrer sig og derfor må rumfanget ændre sig. Efter et øjebliks stilhed siger en af dem, at nu skal de opstille en model. Mariam Maja Karen Men hvordan kan vi det, når vi ikke har noget? Jeg tror ikke, vi skal gøre det med tal. Jeg tror vi skal gøre det med bogstaver. Jeg prøver lige at indstille sprøjten ligesom på billedet - så har vi et tal at gå ud fra. Matematiseringen volder dem store problemer, selvom Maja fastholder at de skal bruge bogstaver. Mette leder dem lidt på vej: Mette Emma Hvad kunne I bruge for bogstaver, hvis I skulle bruge bogstaver? x og f og a og b 122

Modellering DEL 3 Maja Vi kunne bruge R for rumfanget og T for trykket. [.] Jo mere tryk, des mindre rumfang. Men selve rumfanget er jo det samme. Men hvis man læser opgaven, så mener de jo at det ændrer sig. Maja kan ikke slippe idéen om, at hun mener rumfanget ikke forandrer sig og hun tænker sammenhængen som om rumfanget afhænger af trykket. Så det hun i virkeligheden siger er, at det er en konstant funktion? Men sker der noget interessant vedrørende bevisskemaer, for hun er samtidig overbevist om, at når det står formuleret på den måde, det gør, i opgaveformuleringen, så må det være rigtigt. Mariam kommer nu på banen med et billede, at en kasse med et låg. Jo længere ned, man trykker kassen låg, des mindre rumfang. Trykket bliver her opfattet som det tryk, man udefra lægger på kassen, og de tænker derfor fortsat på sammenhængen som et rumfang, der afhænger at et tryk. Emma formulerer det på skrift: Rumfanget bliver mindre, når trykket bliver større Karen Emma Karen Maja Det ene går op og det andet går ned. Men det må da være trykket, der afhænger af rumfanget. Vi bestemmer jo selv, hvor stort rumfang, vi kigger på. Men vi bestemmer ikke trykket. Vil rumfanget så ikke være ligesom en x-værdi? Hvis vi nu kigger på en lineær funktion, der kigger man jo på, hvor meget den ændre sig pr. x-enhed. Nu diskuterer de, hvordan man målet og trykket og i hvilken enhed. De kommer frem til, at sprøjten er i bevægelse, når trykket måles (dvs. de idealiserer situationen - de er i præmatematiseringsfasen). De taler nu videre om, at trykket er konstant (fordi de tænker på trykket som det ydre tryk på sprøjten). Emma sammenligner det med, når en læge giver en indsprøjtning, så trykker han sprøjten ind med en jævn kraft. Mette hjælper dem lidt på vej. Mette Emma Mette Karen Mette Karen Hvordan passer det med det, I skrev ned til at starte med? Hvis I nu siger, at trykket er konstant, men I har skrevet at trykket bliver større, når rumfanget bliver mindre x afhænger af y Hvad er den afhængige variabel og hvad er den uafhængige variabel? Den afhængige variabel er y og den uafhængige variabel er x. Ja, og hvad er det, I varierer på lige nu? Det er rumfanget, vi selv bestemmer, så det må være x. 123

Modellering DEL 3 Gruppen snakker stadig om, at trykket er konstant. Mette beder dem nu om at mærke med fingeren. Maja konstaterer, at trykket bliver større og større, jo mere hun trykker. Nu efterlyser Mette en sammenhæng, hvor det gælder, og eleverne bliver bedt om at tage deres bog. Det burde jo være en indarbejdet sociomatematisk norm at gøre det, men den didaktiske kontrakt er åbenbart stadig ikke forhandlet på plads på en måde, hvor eleverne selv tager teten. Mariam tager bogen, kigger på indholdsfortegnelsen, springer proportionalitetsafsnittet over, men zoomer ind på afsnittet om vækstmodeller. Maja tænker umiddelbart på potensvækst for det en den eneste, hvor der er to ting, der ændrer sig. Hun har fæstnet sig ved, at potensfunktionen udvikler sig procentvist både i forhold til x og y, men hvordan hun kommer til at tænke på det her er ikke helt klart (endnu). Gruppen bliver enige om, at det er en lineær, aftagende vækst. Ca Maja Hvis vi forestiller os et koordinatsystem, hvor vi har trykket og rumfanget, hvordan vil vores graf så gå? Hvis rumfanget falder med en og vi siger, at trykket stiger med en, så vil det jo bare blive en lineær. Efter lidt diskussioner om hvordan sammenhængen kan illustreres kommer de frem til følgende: De fastholder, at det er en lineær sammenhæng, hvor trykket falder, når rumfanget stiger. Når rumfanget er 0 er trykket størst, konstaterer Maja til sidst. 124