Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave
Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx C-niveau af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Matema10k. Matematik for stx C-niveau 2. udgave 2. udgave, 1. oplag, 2013 Frydenlund og forfatterne ISBN 978-87-7118-167-8 Redaktion: Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf. 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk/gymportalen.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice
5 Indhold Indhold Introduktion... 11 Omdennebog... 11 Forudsætninger........... 12 Hvordan kommer du videre?... 12 Bogens struktur........... 13 Hvordan kommer man til at kunne matematik?.... 15 Del 1: Ligninger og tal 19 Mål med kapitlet.......... 19 Hvad er en ligning?......... 19 Nullet en epokegørende opdagelse... 20 Regler ved løsning af ligninger.. 20 Hvad må jeg gøre?.......... 21 Afrunding af tal........... 23 De skjulte tegn............ 24 Regningsarter............ 25 Parenteser... 26 Regningsarternes hierarki..... 28 Eksempel på anvendelse af ligning 29 Lighedstegnet............ 30 Talmængder... 31 Matematikken: En bygning uden stillads?............ 33 Flere eksempler på løsning af ligninger........... 34 5 Hvor mange løsninger har en ligning?... 36 Hvorfor gælder ligningsreglerne?. 37 Oversigt over indhold i del 1.... 38 Hvad skal jeg kunne?........ 39 Er matematikken nyttig?...... 40 Algebra... 41 Resultater til øvelserne....... 49 Del 2: Procent og rente 51 Mål med kapitlet.......... 51 Hvorfor regne med procent?... 51 Regning med procent........ 52 Procentdel ud af........... 52 Procentaf... 53 Et redskab: fremskrivningsfaktoren 53 At udregne procentændringer ved hjælp af fremskrivningsfaktor.......... 55 Endnu mere om fremskrivningsfaktoren... 57 Procentændring fra kort til lang periode og omvendt........ 59 Gennemsnitlig procentvis ændring forskellige procenter... 63 Indekstal... 65 Renters rente............ 68
6 Kapitalfremskrivning........ 69 Beregninger med kapitalfremskrivning... 70 Hvad er logaritmer?......... 73 At udregne n i formlen for kapitalfremskrivning.... 73 Mere avancerede økonomiske beregninger videre arbejde 75 Mere om F = 1 + r... 76 Oversigt over indhold i del 2.... 77 Øvelser til procent og rente.... 78 Resultater til øvelserne....... 81 Del 3: Geometri 83 Mål med kapitlet.......... 83 Geometri historisk betragtet... 83 Vinkler... 83 Trekanter... 84 Den vilkårlige trekant........ 84 Den ligesidede trekant....... 84 Den ligebenede trekant...... 85 Ensvinklede trekanter....... 85 Areal af trekanter.......... 87 Den retvinklede trekant...... 88 Pythagoras sætning om retvinklede trekanter. 89 Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter... 91 Når man skal udregne en sidelængde ved hjælp af cos, sin eller tan......... 93 Når man skal udregne en vinkel. 95 Beregninger i ligebenede trekanter 97 Hvad nu hvis trekanten ikke er retvinklet?.......... 98 Hvornår skal man anvende cosinusrelation?....... 99 Hvornår skal man anvende sinusrelation?........ 99 Trekanters areal........... 100 Fem eksempler med beregninger i vilkårlige trekanter..... 101 Geometriske beviser........ 105 Bevis: vinkelsum i trekanter.... 106 Bevis: Pythagoras sætning..... 107 Definition af cosinus og sinus... 110 Bevis: formlerne med cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter.... 112 Bevis: sinusrelationen....... 113 Oversigt over indhold i del 3.... 117 Hvad skal jeg kunne?........ 120 Er universet matematisk?..... 120 Øvelser til geometri......... 121 Resultater til øvelserne....... 125 Del 4: Funktioner 127 Hvad er en variabel?........... 129 Mål med kapitlet.......... 129 Forskellige variable......... 129 Funktioner: sammenhænge mellem variable........... 133 Mål med kapitlet.......... 133 Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable?...... 133 På vej mod modeller for sammenhænge....... 135 Ligefrem proportionalitet..... 137 Omvendt proportionalitet..... 138 At afgøre om sammenhænge er ligefrem eller omvendt proportionale........ 139
Indhold 7 Fra regneforskrift til graf...... 140 Tegning af graf............ 141 Hvad skal jeg kunne?........ 143 Øvelser til funktioner........ 145 Resultater til øvelserne....... 147 Lineære funktioner............ 151 Mål med kapitlet.......... 151 Kendetegn ved lineære funktioner 151 Eksempler på grafer for lineære funktioner.......... 152 Mere om hældningskoefficienten 155 Lineære modeller.......... 156 Prognose... 158 Fortolkning af konstanterne a og b 158 Hvad er regression i matematik?. 159 Eksempel på lineær model.... 159 Voksende og aftagende lineære funktioner.......... 160 Ændringer over flere x-enheder.. 161 Skæring mellem graferne for to lineære funktioner..... 161 Bevis: formlen for hældningskoefficienten......... 163 Bevis: regneforskrift for lineære funktioner.......... 164 Bevis: formlen for udregning af a. 165 Oversigt over indholdet i kapitlet. 167 Hvad skal jeg kunne?........ 167 Matematikkens Mount Everest er. 168 Øvelser til lineære funktioner... 168 Resultater til øvelserne....... 170 Eksponentielle funktioner........ 173 Mål med kapitlet.......... 173 Kendetegn ved eksponentielle funktioner.......... 173 Mere om fremskrivningsfaktoren (a)... 175 Achilleus og skildpadden..... 176 Mere om hvordan den eksponentielle funktion fungerer...... 179 Anden måde at skrive forskriften. 180 Hvad er en logaritmisk akse?... 181 Idéen til logaritmerne....... 182 Grafer for eksponentielle funktioner... 183 Eksponentielle modeller...... 184 Er der flere slags uendeligheder?. 186 Udregninger af procentændringer 188 Det uendelige............ 189 Fordoblingskonstant........ 189 Halveringskonstant......... 192 Beregning af fremskrivningsfaktor ud fra fordoblingseller halveringskonstant.. 193 Eksponentielle ligninger...... 194 Yderligere beviser til eksponentielle funktioner. 195 Bevis: formlen for udregning af a. 195 Bevis: formlen for fordoblingskonstanten.......... 196 Bevis: formlen for halveringskonstanten.......... 199 Oversigt over indholdet i kapitlet. 200 Hvad skal jeg kunne?........ 201 Potensregning 1........... 201 Potensregning 2........... 203 Øvelser til eksponentielle funktioner... 204 Resultater til øvelserne....... 208 Potensfunktioner............. 211 Mål med kapitlet.......... 211 Kendetegn ved potensfunktioner. 211 Mere om potensvækst....... 213 Model for potenssammenhængen 213 Eksempel på potensmodel.... 215
8 Procent-procent udregning af procentændringer..... 215 Hvordan fungerer en potensfunktion?... 217 Voksende og aftagende potensfunktioner.......... 218 Yderligere beviser vedrørende potensfunktioner...... 219 Bevis: formlen for udregning af a. 219 Bevis: potens-potens-udregning. 220 Bevis: grafer for potensfunktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem...... 221 Oversigt over indholdet i kapitlet. 224 Øvelser til potensfunktioner.... 225 Resultater til øvelserne....... 228 Logaritmefunktionen........ 229 Del 5: Statistik og stikprøver 233 Mål med kapitlet.......... 233 Hvad er statistik?.......... 233 Statistiske redskaber........ 233 Konkret eksempel på statistik: befolkningstallet på Læsø. 234 At arbejde med statistik...... 244 Når man ikke grupperer data i intervaller.......... 245 Boksplot... 246 Hvordan bestemmer man kvartilsæt for ikke-grupperet data?... 248 At finde kvartilsæt i grupperet datamateriale........ 251 Stikprøver... 252 Oversigt over indhold........ 254 Hvad skal jeg kunne?........ 254 Øvelser til statistik og stikprøver. 255 Resultater til øvelserne....... 258 Del 6: Ubekendte og beviser 261 Ubekendte... 263 Matematikkens bogstaver..... 263 Historien om den ubekendte... 265 Historien om begrebet variabel.. 266 Sammenfattende om ubekendte, variable, parametre m.m.. 268 Oversigt over indhold........ 269 Hvad skal jeg kunne?........ 270 Beviser... 271 Kapitlet omhandler:........ 271 Logisk tænkning og beviser.... 271 Det første bevis........... 272 Hvorfor beviser?........... 273 Matematikkens begrænsning om logikkens magt og afmagt... 275 Fermats sætning: næsten 400 år om et bevis!......... 275 Et direkte bevis........... 276 Computerbeviser:firefarveproblemet.......... 277 Induktionsbeviser.......... 277 Indirekte beviser.......... 280 Hvad skal jeg kunne?........ 282 Opgaver 283 Opgaver i ligninger og tal..... 284 Vanskeligere opgaver........ 288 Opgaver i procent og rente.... 290 Vanskeligere opgaver........ 295 Opgaver i geometri......... 297 Vanskeligere opgaver........ 301 Opgaver i funktioner........ 303
Indhold 9 Vanskeligere opgaver........ 306 Opgaver i lineære funktioner... 307 Vanskeligere opgaver........ 309 Opgaver i eksponentielle funktioner.......... 311 Vanskeligere opgaver........ 313 Opgaver i potensfunktioner.... 315 Vanskeligere opgaver........ 315 Opgaver i statistik.......... 317 Vanskeligere opgaver........ 324 ligninger og tal....... 326 procent og rente...... 329 geometri........... 334 funktioner.......... 336 lineære funktioner..... 340 eksponentielle funktioner. 341 potensfunktioner...... 343 statistik............ 344 Stikordsregister.............. 348
10
11 Introduktion Målene med bogen er Målene med bogen er: At føre dig gennem stof fra C-niveau matematik At vise at matematikken kan anvendes At give eksempler på matematikkens fascinerende historie At pirre din nysgerrighed At vise at man kan gennemarbejde matematisk stof med flere forskellige ambitioner At illustrere at matematikken er spændende Om denne bog Denne bog er anden og opdaterede udgave af Matema10k for stx C-niveau. Vi har haft den fornøjelse at første udgave er blevet særdeles udbredt, og bogen har fået ros for at den kan læses og forstås af eleverne. Stoffet i matematik C-niveau er blevet justeret, vi er blevet opfordret til at placere hele statistikstoffet i bogen, og vi har ønsket at få flere træningsopgaver i bogen. Derfor har vi haft behov en gennemgående opdatering af bogen. I bogen gennemgår vi det man kalder kernepensum for C- niveau på stx i matematik. Det betyder at bogen ikke rummer alt hvad du vil støde på i undervisningen i matematik. Den tilhørende hjemmeside www.matema10k.dk indeholder en del af det supplerende stof eller giver idéer til hvad det supplerende stof kan være. Desuden findes bogen som e-bog på www.gymportalen.dk. Hvert kapitel i bogen er skrevet med samme opbygning, nemlig: Først formuleres målene med kapitlet. Dernæst gennemgås det matematiske stof.