penge, rente og valuta

brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta D ISBN: 978-87-92488-14-5 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med COPY-dan. og forlaget Læs mere på: www.bernitt-matematik.dk

Forord Hæftet er et af ni, der er udarbejdet til undervisning på VUC på niveauerne F+E+D og dette indeholder et bud på supplerende stof vedrørende lån, opsparing, værdipapirer og valuta. Hæftet kan anvendes i forbindelse med arbejde med dagligdags problemer. Dette er en beta-udgave, der er udarbejdet med baggrund i den vejledningen om undervisning på VUC, der udkom i 2009. I forhold til de faglige krav, der viser sig at blive stillet ved de fremtidige skriftlige prøver efter trin D kan der være fag-indhold, der mangler og der kan være fag-indhold, der senere viser sig ikke er være relevant. bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle følger af at anvende hæftet. Siderne er opbygget således, at først vises med eksempler og derefter er der opgaver man skal løse. Man behøver ikke løse alle opgaverne. Hvis man har forstået eksemplerne og man kan se at man uden problemer kan løse opgaverne, kan de springes over. Hæftet indeholder links til udvalgte sider, facitliste m.v. Link vises med denne skrift: Link Fra side 26 er en facitliste. Klik på opgaveteksten for at komme til facit. Klik derefter på facittet for at komme til opgaverne. Skriv til: mail@bernitt-matematik.dk hvis du har forslag, spørgsmål eller kommentarer.

Simpel rente Eksempel 1: Du har 50.000 kr. på en bankkonto fra den 15/7 til den 31/10. Banken giver 3% p. a. i rente med helårlig rentetilskrivning. Du vil regne renten ud. Rente: 50.000 A 3% : 365 A 108 = 443,84 kr. Har man penge stående på en konto i en del af en renteperiode får man kun en del af renten. Man finder renten ved at bruge følgende formel: Rente: R Indestående kapital: K Rentesats: r Renteperiodens (terminens) længde i dage: T Antal dage kapitalen indestår: n R = K A r : T A n NB: Hvis lommeregneren ikke har en procenttast skal man omsætte procenttallet til decimaltal ved at dele med 100. 1 Du har haft 8.500 kr. stående i banken i 25 dage. Banken giver 4% p. a. i rente med helårlig rentetilskrivning. Hvor meget vil du få i rente? 2 Du har indsat 12.000 kr. på en konto den 4/5. Banken giver 3,5% p. a. med rentetilskrivning den 31/12. Hvor meget vil du få i rente? Hvad vil der stå på kontoen efter rentetilskrivningen? 3 Du har 45.000 kr. stående fra den 1. juli til den 15. august. Banken giver 3,5% p. a. i rente. Hvad vil du få i rente på rentetilskrivningsdagen? 4

Eksempel 2: Du sparer op ved at indbetale 500 kr. hver måned. Renten er 2% p. a. med helårlig rentetilskrivning. Du vil regne ud, hvor meget du har stående på kontoen efter rentetilskrivningen. Brug tabellen på side 29. Her ser du at 1 kr. indbetalt 12 gange vil blive til 12,1300 kr. med en rente på 2%. Din opsparing: 12,1300 A 500 = 606,50 kr. Den første indbetaling står på kontoen et helt år, den anden kun i 11 måneder, den tredje kun i 10 osv. At regne den samlede rente ud består på den måde af 12 regnestykker. I stedet for kan man bruge tabellen, der på side 29. 1 Du indbetaler hver måned 150 kr. på en konto, der giver 4% p. a. med helårlig rentetilskrivning. Hvad vil der stå på kontoen efter et år? Hvad har du fået i rente? 2 Du indbetaler hver måned 350 kr. på en konto. Banken beregner rente på kontoen hvert kvartal med 1,5%. Hvad vil der stå på kontoen efter et kvartal? 3 Du afdrager på et lån ved at indbetale 550 kr. hver måned. Banken beregner rente hvert kvartal med 3,5% Hvilken værdi har dine indbetalinger, når der beregnes rente rente første gang? 4 Igennem et år har du indbetalt 1.000 kr. om måneden på en konto, der giver 6% p. a. i rente. Hvad vil du få i rente? 5

Sammensat rente Eksempel 1: Du betaler 5.000 kr. på en konto på dit barns fødedag. Du regner med, at banken giver 4% p. a. i rente. Du vil regne ud, hvad der står på kontoen 18 år efter. Indestående: 5.000 A (1 + 4%) 18 = 5.000 A 1,04 18 = 5.000 A 2,025817 = 10.129,08 kr. Har man pengene stående i flere terminer efter hinanden, får man også rente af renterne fra tidligere terminer. Man kalder dette for sammensat rente. Indestående kan beregnes ved hjælp af denne formel: K n : Kapital efter n terminer K o : Kapital ved start Rentesats pr. termin: r Antal terminer: n K n = K o (1 + r) n I tabellen, der starter på side 30, kan man se størrelsen på (1 + r) n. Man kan også bruge x y tasten på lommeregneren. 1 Du vil lade 4.000 kr. stå urørt på en konto i 10 år. Banken giver 4% p. a. i rente. Brug tabellen til at finde hvad der er på kontoen? 2 Du har 5.000 kr. stående på en konto, der giver rente hvert kvartal med 2%. Pengene står i 5 år. Brug lommeregner til at finde hvad der er på kontoen. 6 3 Du har haft 2.500 kr. stående på en konto i 4 år. Kontoen giver 4% p. a. i rente. Hvad vil du i alt få i rente?

Eksempel 2: Du vil finde ud af, hvor meget du skal indsætte på en konto, der giver 5% p. a. i rente, for at du 10 år senere kan hæve 10.000 kr. Hver indsat 1 kr. bliver til: (1 + 5%) 10 = 1,628895 kr. Der skal indsættes: 10.000 : 1,628895 = 6.139,13 kr. Med lommeregner eller tabel kan man finde, hvad 1 kr. bliver til, når man kender rentesats og antal terminer. Ved at dividere slutkapitalen med dette tal kan man finde, hvad startkapitalen skal være. 1 Du vil indsætte så meget på en konto, at du om 5 år kan hæve 5.000 kr. Banken giver 5% p. a. på denne type konto. Hvor meget skal du indsætte? Hvor meget vil du få i rente igennem de 5 år? 2 Du vil give et barn en penge-gave ved dets fødsel. Når barnet er 18 år, vil du have, at gaven har en værdi på 18.000 kr. Banken giver nu 6% i rente på denne type konto. Hvor meget skal du give? 3 Du har modtaget 12.000 kr. i overarbejdsbetaling og sætter dem ind på en konto, der giver 4% i rente. Du regner med at hæve dem om 4 år. Hvor meget vil du kunne hæve? 4 Du kender en pensionist, der har gemt 100.000 kr. under gulvtæppet, og dér har de ligget i 10 år. I banken kunne man få 7% p. a. i rente. Hvad kunne der være tjent i renter? 7

Eksempel 3: Du vil finde ud af til hvilken årlig rente-procent, du skal anbringe 5.000 kr. for at de på 10 år kan blive til 12.000 kr. Hver 1 kr. skal vokse til: 12.000 : 5.000 = 2,40 kr. I tabellen der starter på side 30 læses svaret: = ca. 9% Ved at lave opgaven om til at handle om at sætte 1 kr. i banken kan man bruge tabellen. I eksemplet kender man antallet af terminer. Man finder dette tal til venstre for tabellen og går vandret ind i tabellen, indtil man finder det tal, der ligger tættest på ens eget tal. 1 Du har 5.000 kr., som du vil have forrentet gennem 5 år. Du skal gerne kunne hæve mindst 6.000 kr. efter de 5 år. Hvilken rentesats skal du mindst have? 2 Du vil undersøge, om det kan lade sig gøre at få sin formue fordoblet på 20 år, hvis renten er 3% pr. år. Kan det lade sig gøre? Hvad skal procenten være, for at det kan lade sig gøre? 3 En bekendt tilbyder dig at låne 5.000 kr. i 3 år. Han tilbyder, at du kan betale lånet tilbage med 6.000 kr. efter de tre år. Hvilken rentesats svarer dette til? 4 Din pensionskasse reklamerer med, at din indbetaling forrentes med minimum 4% p. a. Du har for 20 år siden indbetalt 6.500 kr. Nu får du udbetalt 19.535 kr. Hvad har forrentningen været? 8

Eksempel 4: Du vil finde ud af, hvor længe 5.000 kr. skal stå i banken for at blive til 8.000 kr. med en rentesats på 4% p. a. med helårlig rentetilskrivning. Hver 1 kr. skal vokse til: 8.000 : 5.000 = 1,60 kr. I tabellen der starter på side 30 læses svaret: = 12 år Her ved man, hvad 1 kr. skal vokse til, og hvad procenten er. Ved at finde procenten i rækken over tabellen og gå ned, til man kommer så tæt som muligt på tallet, kan man finde antallet af terminer. 1 Du har 10.000 kr. i overskud, som du overvejer at sætte i banken. Du ved, at du om nogle år skal købe en ny bil, og at udbetalingen til dette er minimum 25.000 kr. Banken tilbyder dig 6% i rente.. Hvor længe vil der gå før du har 25.000 kr? 2 Du har en stor gæld, som du ikke har været i stand til at afdrage på. Gælden var oprindeligt på 400.000 kr. og den forrentes med 10% p. a. Du ved, at du kan få gældssanering, når gælden kommer op på 1 million kr. (Gældssanering er en aftale, man laver med den man skylder penge om, at gælden nedsættes mod, at man begynder at afdrage på den). Hvornår kan du få gældssanering? 3 Du har 45.000 kr. i overskud fra salg af din bil. Du vil sætte pengene i banken og først hæve dem, når der står 60.000 kr. på kontoen. Banken giver 5% i rente pr. år. Hvor mange år vil der gå, før du kan hæve 60.000 kr.? 9

Rentesatser Eksempel 1: En forretning tilbyder dig at låne penge til en nominel rente på 18% p. a. og med månedlig rentetilskrivning med 1,5% pr. måned. Du vil udregne den årlige effektive rente. 1 kr. vil på et år vokse til: 1 A (1 + 1,5%) 12 = 1,196 Heraf renter: 1,196-1 = 0,196 Renter i %: 0,196 A 100% = 19,6% Den nominelle rente er den rentesats, man får oplyst. Tilskrives der renter hyppigere end én gang om året - fx hver måned - er den reelle rentesats dog større, fordi der skal betales renter af de tidligere renter. Den reelle rentesats kaldes for den årlige effektive rente. Man udregner den ved at lade 1 kr. blive forrentet i et år med den rentesats man kender. Derefter finder man renten og til sidst hvor mange procent denne udgør af 1 kr. 1 Dit elselskab skriver, at de kræver 2% pr. måned, hvis du ikke betaler elregningen til tiden. Hvad er den effektive rente pr. år? 2 Du har lån i din ejerlejlighed. Lånet er angivet til at have en nominel rente på 8% p. a. Du ved, at der tilskrives renter hvert kvartal med 2% hver gang. Hvad er den effektive rente pr. år? 3 Banken tilbyder dig et lån med 14% p. a. i nominel rente. Der tilskrives renter hvert kvartal. 10 Hvor mange procent tilskrives hvert kvartal? Hvad er den effektive rente?

Eksempel 2: Du får et tilbud om at låne 30.000 kr., som skal betales tilbage over 5 år med 750 kr. hver måned. Du vil finde de gennemsnitlige kreditomkostningerne i procent pr. år. Betaling i alt: 750 A 12 A 5 = 45.000 kr. Kreditomkostninger: 45.000-30.000 = 15.000 kr. I procent af lånet: 15.000 : 30.000 A 100% = 50% Pr. år: 50% : 5 = 10% Når man låner penge, betaler man ofte forskellige gebyrer for oprettelse af lånet, kontoudskrifter m. v. Når man skal sammenligne to lån, er det altså ikke nok at se på rentesatsen. Et godt mål for hvad lånet kommer til at koste er de gennemsnitlige kreditomkostninger i procent pr. år. Kreditomkostninger beregner man ved at trække lånets størrelse fra det, man i alt kommer til at betale. De gennemsnitlige kreditomkostninger i % pr. år finder man ved at udregne, hvor mange procent kreditomkostningerne udgør af lånets størrelse og derefter dele med antallet af år. 1 Du har fået tilbudt at låne 15.000 kr., som du skal betale tilbage med 450 kr. pr. måned i 5 år. Hvor meget kommer du til at betale i alt? Hvad er de samlede kreditomkostninger? Hvad er de gennemsnitlige kreditomkostninger i procent pr. år? 2 Du har lånt 20.000 kr. i banken. Du skal betale 750 kr. pr. måned i 4 år. Hvad er de gennemsnitlige årlige kreditomkostninger i procent pr. år 11

Opsparings formlen Eksempel 1: Du vil spare op ved at indbetale 2.000 kr. hvert år på rentetilskrivningsdagen. Banken giver 3,5% p. a. i rente. Du vil udregne den samlede opsparing efter 10 år. (1 + 3,5%) 10-1 Opsparing: 2.000 A = 23.462,79 kr. 3,5% Opsparings formlen kan bruges til at regne ud, hvad den samlede opsparing bliver, når man indbetaler det samme beløb en række gange efter hinanden på rentetilskrivningsdagen. Formlen ser således ud: Samlet opsparing: K Ydelse pr. termin: y Rente pr. termin: r Antal terminer: n (1 + r) n - 1 K = y A r Hvis man bruger lommeregner, skal man starte med at udregne regneudtrykket over brøkstregen, dernæst dele med rentesatsen og til sidst gange med ydelsen. Tabellen, der starter på side 32, kan også bruges. I den kan man se, hvad en ydelse på 1 kr. giver, når man kender rentesatsen og antallet af terminer. 1 Du har lavet en aftale med din bank om at betale 4.000 kr. hvert år på rentetilskrivningsdagen. Banken giver 6% i rente, og du betaler i 5 år. Brug tabellen til at finde din samlede opsparing. 2 Du har igennem 6 år hvert år indsat 2.000 kr. på en boligopsparingskonto. Indbetalingerne er sket på rentetilskrivningsdagen, og banken giver 5% i rente. Brug lommeregner til at finde din samlede opsparing. 12

Eksempel 2: Du vil prøve at spare 50.000 kr. sammen ved at indbetale et fast årligt beløb igennem 10 år. Banken tilbyder dig 6% p. a. i rente. Du vil regne ud, hvad du skal indbetale pr. år. (1 + 6%) 10-1 Hver indsat 1 kr. giver: 6% = 13,180795 kr. Der skal indsættes: 50.000 : 13,180795 = 3.793,40 kr. Hvis man ved, hvor meget der skal spares op, hvor mange gange der skal indbetales og kender rentesatsen, kan man finde ydelsen sådan: Først finder man, hvor stor en opsparing det giver at indbetale 1 kr. hver termin. Brug opsparingsformlen og lommeregner eller brug tabellen, der starter på side 32. Derefter deles den samlede opsparing med dette tal. 1 Du vil lave en boligopsparing ved at indbetale et fast årligt beløb på rentetilskrivningsdagen. Du vil spare op igennem 5 år, og banken giver 6% i rente. Når de 5 år er gået, skal der være opsparet 25.000 kr. Hvad skal din årlige ydelse være? 2 Du vil give et barn den fødselsgave, at du hvert år, indtil barnet bliver 18, vil indbetale 1.000 kr. ved nytår. Banken tilskriver rente ved nytår med 5%. Hvor meget vil barnet kunne hæve? Hvor meget har banken i alt givet i renter? 3 Du vil gerne spare 50.000 kr. op over 8 år. Du har råd til at betale 5.000 kr. om året og banken vil give dig 4% i rente. Kan det lade sig gøre? 13

Eksempel 3: Du vil opspare 25.000 kr. ved at indbetale 3.000 kr. hvert år på en spærret konto. Banken giver 6% p. a. i rente med helårlig rentetilskrivning. Du vil finde ud af, hvor mange år der vil gå. Hver 1 kr. skal blive til: 25.000 : 3.000 = 8,33 kr. I tabellen, der starter på side 32, læses svaret:= 7 år Hvis man ved, hvor meget der skal spares op, hvor stor ydelsen er og kender rentesatsen, kan man finde det antal terminer, der vil gå sådan: Først regner man ud, hvad en årlig ydelse på 1 kr. skal give i samlet opsparing. Derefter finder man rentesatsen i tabellen, der starter på side 32, og går lodret ned, indtil man kommer så tæt på dette tal som muligt. Vandret ud for dette tal kan man finde antallet af indbetalinger. 1 Du vil indsætte 2.500 kr. hvert år, indtil du har opsparet 25.000 kr.. Banken giver 4% i rente. Hvor lang tid vil det tage? 2 Du har en drøm om at kunne købe en båd, der koster 55.000 kr. kontant. Du har råd til at indbetale 5.000 kr. om året. Banken giver 6% i rente pr. år. Hvornår kan du få din drøm opfyldt? 3 Du betaler 2.000 kr. hvert år på en opsparingskonto, der giver 3% i rente pr år. Hvornår har du en samlet opsparing på 15.000 kr.? 14

Eksempel 4: Du laver en aftale om opsparing med en bank. Du betaler 350 kr. hver måned. Banken giver 5% p. a. i rente med helårlig rentetilskrivning. Du vil regne ud, hvad der står på kontoen efter 5 år. Indbetalingernes værdi ved rentetilskrivningen: Tabellen fra side 29: 350 A 12,3250 = 4.313,75 kr. (1 + 5%) 5-1 5% Opsparing: 4313,75 A = 23.836,19 kr. Når man betaler hyppigere end banken tilskriver renter, skal man først finde indbetalingernes værdi (som i eksemplet på side 5). Brug tabellen på side 29. Dette tal er den årlige ydelse. Hvis man bruger lommeregner, er det dette tal, der skal indsættes i opsparings formlen. Bruger man tabel, skal man gange tabellens tal med dette tal. 1 Du betaler 200 kr. om måneden gennem 5 år på en opsparingskonto, der giver 4% p. a. med helårlig rentetilskrivning. Du laver den første indbetaling på rentetilskrivningsdagen. Hvilken værdi har et års indbetalinger på rentetilskrivningsdagen? Hvor meget har du i alt sparet op efter de 5 år? 2 Du betaler 100 kr. om måneden på en børneopsparingskonto, der giver 5% p. a. i rente. Banken beregner rente den 31/12, og du startede med at indbetale den 31/12 det år, barnet blev født. Hvor meget kan barnet hæve den 31/12, det år det fylder 18? Hvor meget har banken givet i renter gennem de 18 år? 15

Serielån Eksempel 1: Du har optaget et serielån med en oprindelig hovedstol på 100.000 kr. Lånet forrentes med 8% p. a. med kvartårlig rentetilskrivning, og løbetiden er 10 år (40 terminer). Du vil regne ud, hvad ydelsen bliver den 1. og 2. termin. Hovedstol: = 100.000,00 kr. Renter 1. termin: 100.000 A 8% : 4 = 2.000,00 kr. Afdrag 1. termin: 100.000 : 40 = 2.500,00 kr. Ydelse 1. termin: 2.000 + 2.500 = 4.500,00 kr. Ny restgæld: 100.000-2.500 = 97.500,00 kr. Afdrag 2. termin: 100.000 : 40 = 2.500,00 kr. Rente 2. termin: 97.500 A 8% : 4 = 1.950,00 kr. Ydelse 2. termin: 1.950 + 2.500 = 4.450,00 kr. Ved lån er der fem begreber, man skal kende: Løbetid: Det antal år lånet skal afdrages over. Hovedstol: Det oprindelige lånebeløb. Renter: De renter, der skal betales af hovedstolen. Afdrag: Det man betaler for at gøre lånet mindre. Ydelse: Det man betaler i alt: renter og afdrag. Ved den type lån, der hedder serielån, betales et fast afdrag hver termin samt de renter, der skal betales af den hovedstol, der har været i terminen. Da renterne bliver mindre efterhånden som gælden bliver mindre og mindre, vil ydelsen falde. 1 Du har optaget et serielån med en hovedstol på 200.000 kr. Renten er 8% p. a. med kvartårlig rentetilskrivning og kvartårlig ydelse. Lånet har en løbetid på 20 år. Hvad vil ydelsen være den første termin? 16

Eksempel 2: Du vil regne ud, hvad din ydelse efter skat (nettoydelsen) er den 1. termin på lånet fra eksempel 1. Din skatteprocent er 48. Skattebesparelse: 2.000 A 48% = 960,00 kr. Nettoydelse: 4.500-960 = 3.540,00 kr. Renteudgifter trækkes fra ens indkomst, inden der beregnes skat. Man får dermed en skatte-besparelse, når man har renteudgifter. Man finder skattebesparelsen ved at gange renteudgifterne med ens skatteprocent. Når man trækker skattebesparelsen fra ydelsen, får man det, man kalder nettoydelsen: det lånet koster én netto. 1 Du har optaget et serielån på 50.000 kr. Renten er 9% med kvartårlig rentetilskrivning og kvartårlige ydelser. Løbetiden er fastsat til 10 år og din skatteprocent er 48. Find renter, afdrag, ydelse, skattebesparelse og nettoydelse den 1. termin. Gør det samme for den 2. termin. Hvad sker der med nettoydelsen fra 1. til 2. termin? 2 Det samme lån som i opgave 2: Hovedstol 50.000 kr., nominel rente 9% p. a. med kvartårlige terminer. Løbetid: 10 år. Hvor stor vil restgælden være i den sidste termin? Hvad vil renterne og ydelsen være den sidste termin? Hvad vil nettoydelsen være den sidste termin? 3 Du overvejer at låne 100.000 kr. Lånet er et serielån med nominel rente på 7%, kvartårlige terminer og 30 års løbetid. Din skatteprocent er 48. Find nettoydelsen den første termin. Find nettoydelsen den sidste termin. 17

Annuitetslån Eksempel 1: Du vil optage et annuitetslån med en hovedstol på 60.000 kr. Lånet forrentes med 8% p.a. med kvartårlige terminer, og løbetiden er 10 år. Du vil beregne ydelsen. 2% Ydelse: 60.000 A = 2.193,34 kr. 1 - (1 + 2%) -40 Annuitetslån er lån, hvor ydelsen (annuiteterne) har den samme størrelse gennem hele løbetiden. Det kan lade sig gøre, ved at man i starten, hvor renterne er store, betaler små afdrag for efterhånden at sætte afdragene op. Ydelsen på et annuitetslån kan beregnes med formlen: Ydelse pr. termin: Y Hovedstol: H Rentesats pr. termin: r Antal terminer: n r% Y = H A 1 - (1 + r%) -n Hvis man bruger lommeregner, skal man starte med at udregne regneudtrykket under brøkstregen, dernæst dele rentesatsen med dette tal og til sidst gange med hovedstolen. Tabellen, der starter på side 34, kan også bruges. I den kan man se, hvad ydelsen er på en hovedstol på 1 kr., når man kender rentesatsen og antallet af terminer. 1 Du vil optage et annuitetslån på 400.000 kr. Renten er 8% p. a. med kvartårlige terminer og en løbetid på 30 år. Find ydelsen ved at bruge tabellen fra side 34. 2 Du vil optage et annuitetslån på 650.000 kr. Renten er 7% p. a. med kvartårlige terminer og en løbetid på 20 år. 18 Find ydelsen ved at bruge annuitetsformlen og din lommeregner.

Eksempel 2: Du vil optage et annuitetslån. Du ved, at du har råd til at betale 2.000 kr. i ydelse hvert kvartal. Lånet er på 8% p. a. med kvartårlig rentetilskrivning og skal betales tilbage over 10 år. Du vil finde ud af, hvor meget du kan låne. 2% Ydelse for lån på 1 kr.: = 0,036556 kr. 1 - (1 + 2%) -40 Lån: 2.000 : 0,036556 = 54.710,96 kr. Kender man ydelsen, rentesatsen og løbetiden, kan man udregne hovedstolen sådan: Først udregner man med lommeregner eller tabel, hvor stor en ydelse, der skal til for at låne 1 kr. Den fulde ydelse divideres derefter med dette tal. 1 Du vil optage et annuitetslån til at forny dit køkken. Du ved, at du har råd til en ydelse på 2.500 pr. kvartal. Du kan få et annuitetslån på 8% p. a. med løbetid på 10 år og med kvartårlige terminer. Hvor meget kan du låne? 2 Du ved, at du kan låne penge i en forretning til en rente på 1,5% pr. måned, med ydelser hver måned og en løbetid på 5 år. Du regner med at have råd til at betale 250 kr. pr. måned. Hvor meget kan du låne? 3 Du har brug for at låne 50.000 kr. og har 3.000 kr. til rådighed hvert kvartal til at betale ydelse med. Banken oplyser, at lån af denne type er annuitetslån med kvartårlige ydelser, rentesats 12% p. a. og løbetid på 5 år. Har du råd til at låne 50.000 kr. på disse vilkår? Hvor meget ville du kunne låne for en ydelse på 3.000 kr.? 19

Eksempel 3: Du vil optage et annuitetslån med en hovedstol på 400.000 kr. Rentesatsen er 8% p. a. med kvartårlig tilskrivning og afdragstiden er 20 år. Du vil udregne din netto-ydelse den 1. termin (ydelse efter skattebesparelse). Din skatteprocent er 48. Ydelse: 2% 400.000 A 1 - (1 + 2%) -80 = 10.064,28 kr. Renter 1. termin: 400.000 A 0,02 = 8.000,00 kr. Skattebesparelse: 8.000 A 0,48 = 3.840,00 kr. Nettoydelse: 10.064,28-3.840,00 = 6.224,28 kr. På samme måde som forklaret ved serielån (se forklaringen side 16) er der en skattebesparelse ved at have renteudgifter. Beregning af nettoydelsen finder sted på samme måde som ved serielån. Ved annuitetslån er ydelsen den faste gennem hele løbetiden, men fordi renterne falder vil nettoydelsen stige. 1 Du har planer om at købe en båd. Købet skal finansieres med et annuitetslån: Hovedstol 220.000 kr., 10% p. a., kvartårlige terminer og løbetid på 10 år. Hvad bliver ydelsen? Hvor meget af denne er renter den 1. termin? Hvad sparer du i skat den 1. termin (skatteprocent: 48)? Hvad bliver din nettoydelse 1. termin? 2 Du har planer om at købe et hus, hvor der er følgende lån: Nykredit: 550.000, 8%, kvartårlig, 30 år. Pantebrev: 120.000, 9%, kvartårlig, 10 år. 20 Hvad bliver den samlede ydelse? Hvor meget af dette er renter den 1. termin? Hvad sparer du i skat den 1. termin (skatteprocent: 48)? Hvad bliver din nettoydelse 1. termin? Hvor stor tror du, din nettoydelse bliver den sidste termin?

Eksempel 4: Du vil optage et annuitetslån på 20.000 kr. i en bank. Lånet forrentes med 12% med kvartårlig tilskrivning. Banken vil have månedlige indbetalinger, og lånet skal afdrages over 5 år.. Du vil finde ydelsen pr. måned. 3% Pr. kvartal: 20.000 A = 1.344,31 kr. 1 - (1 + 3%) -20 Indbetaling pr. måned, der har denne værdi: (Tabellen side 29): 1.344,31 : 3,0600 = 439,32 kr. Du vælger at indbetale 440 kr. hver måned. Når man låner penge i en bank, skal man ofte betale ydelser hver måned, selvom banken kun tilskriver rente hvert kvartal. Man kan regne den månedlige ydelse ud sådan: Først beregnes ydelsen pr. kvartal. Derefter finder man i tabellen på side 29, hvor stor en værdi det har at indbetale 1 kr. i 3 måneder, når renten er 3% pr. kvartal. Til sidst dividerer man ydelsen pr. kvartal med dette tal. 1 Du vil regne ud hvad det vil koste dig pr. måned at låne 45.000 kr. på følgende vilkår: 12% p. a. med kvartårlige terminer og løbetid på 4 år. Hvad skal den kvartårlige ydelse være? Hvad skal der indbetales hver måned? 2 En ven tilbyder dig at låne 20.000 kr. Du skal give ham 10% p.a. i rente med helårlig rentetilskrivning og løbetiden skal være 4 år. Du skal betale på lånet hver måned. Hvad skal den årlige ydelse være? Hvad skal du betale hver måned? 21

Handel med værdipapirer Eksempel: Du vil den 1. august 1997 købe obligationer. Det drejer sig om 5 stk. 8%, 2.000 kr. obligationer med udløb år 2017. Købskursen er oplyst til at være 95,5. Banken laver følgende oversigt til dig. Kursværdi: 5 A 2.000 A 95,5% = 9.550,00 kr. Kurtage: = 150,00 kr. Renteudligning for 1/8-31/12 153 dage: 10.000 A 8% : 365 A 153 = 335,34 kr. I alt at betale: = 10.035,34 kr. Årlig rente: 10.000 A 8% = 800,00 kr. Effektiv rente: 800 : 9.550 A 100% = 8,4% Kursgevinst ved opsigelse af lån: 10.000-9.550 = 450,00 kr. Kursen på obligationer og andre værdipapirer angiver hvor mange procent af papirets pålydende værdi, man skal betale. Kursværdien er prisen for værdipapirene, og den findes ved at gange pålydende med kursen i procent. Kurtage er bankens pris for at lave handelen. Køber man obligationen på en anden dag end terminsdagen, skal man betale den tidligere ejer de renter, han er berettiget til for den periode, han har ejet dem. Renten beregnes som simpel rente (se forklaringen side 4). Terminsdagene for de fleste obligationer er: 11/3, 11/6, 11/9 og 11/12. Den årlige rente beregnes af den pålydende værdi. Den effektive rente beregnes ved at dele den årlige rente med kursværdien og omsætte resultatet til procent. Senest ved obligationernes udløb vil lånet blive opsagt, og man får udbetalt den pålydende værdi. Har man betalt mindre end pålydende, vil man dermed få en gevinst, der kaldes for kursgevinsten. 22

1 Du overvejer at bruge din opsparing til at købe obligationer. Du har 25.000 kr. til rådighed. I avisen kan du læse, at du kan købe følgende: Stk. størrelse Udløb Nominel rente Kurs 1.000 2017 8% 97,5 Du ved, at obligationerne har kvartårlig rentetilskrivning, og du vil handle på en terminsdag for at undgå renteudligning. Banken oplyser, at den tager 200 kr. i kurtage. Hvad skal du betale for at købe én obligation? Hvor mange obligationer kan du købe, og hvad vil det koste? Hvad vil din årlige rente blive? Hvad vil den effektive rente blive? Hvad vil kursgevinsten være, når obligationerne indfries? 2 Du køber 5 stk., 1.000 kr., 8% obligationer til kurs 95,6. Købet finder sted den 15/8. Hvad er kursværdien for obligationerne? Hvor mange rente dage skal du have rente for? Hvad skal du betale i renteudligning? 3 Du har købt 10 stk. 1.000 kr. obligationer til kurs 89,4. Du ser i avisen, at kursen er steget til 93,5 og overvejer, om du skal sælge dem på næste terminsdag. Du ved, at banken tager 200 kr. i kurtage både da du købte og når du vil sælge dine obligationer. Hvad har du betalt for at købe obligationerne? Hvad vil du få, hvis du sælger på næste terminsdag? 4 Du ejer 50 stk. 1.000 kr., 6% p.a. obligationer, som du er nødt til at sælge den 12/5. Banken skal have 500 kr. i kurtage, og kursen vil være 90,5. Hvad får du i renteudligning? Hvad får du i alt ud af at sælge obligationerne? 23

Handel med valuta Eksempel 1: Du vil veksle nogle Euro til kr. Bankens købskurs på Euro er 742,41 og du har 500 Euro. Du vil regne ud hvad du vil få Pris: 500 A742,32% = 3.712,05 kr. Eksempel 2: Du vil veksle 3.000 kr til Euro. Bankens salgskurs på Euro er 742,41. Du vil regne ud hvor mange D-mark du kan få. Pris: 3.000 : 72,41% = 4.040,89 Euro. Eksempel 3: På et prisskilt står: DKK: 135,00 : 17,00 Du vil regne ud hvilken kurs dette svarer til. Kurs: 135,00 : 17 = 794,12 Kursen på valuta angiver ligesom kursen på værdipapirer hvor mange procent, man skal betale af valutaens pålydende værdi. Eksempel 1: Man finder prisen for fremmed valuta ved at gange med kursen. Eksempel 2: Man finder den mængde fremmed valuta, man kan købe ved at dele med kursen. Eksempel 3: Man finder kursen ved at dele prisen i danske kr. med mængden af fremmed valuta og lave resultatet af dette om til procent. 24

1 Du vil veksle 150 Euro til danske kr.. Bankens købskurs på Euro er 740,40 og den tager 20 kr. i vekselgebyr. Hvor mange kr. vil du få? 2 Du vil købe 2.500 US$. Bankens salgskurs på US$ er 657,8, og banken tager 20 kr. i vekselgebyr. Hvor meget skal du betale? 3 Du skal på biltur gennem Sverige til Norge, hvor du skal bo. Du vil veksle, så du får for 2.000 kr. Sv-kr og for 10.000 kr. N-kr. Bankens salgskurs på Sv-kr 82,5 og på N-kr. 96,5. Hvor mange Sv-kr. og hvor mange N-kr. kan du få? 4 Du har taget danske penge med på en rejse til England. Du veksler 500 kr. i en engelsk bank og får 45,5 for det. Banken har taget 1 i vekselgebyr. Hvilken kurs har banken givet dig? 5 Du skal på rejse til Norge og har hjemme vekslet et beløb til norske kr. Vekselkursen var 96,5. Du har også et beløb med i danske kr. På færgen kan du betale både med norske og danske kr. Fx. angives en flaske whisky at koste 120 Dkr og 125 Nkr. Vil du betale i danske eller norske kr? 25

Facit Tallene i denne facitliste er alle afrundet til to decimaler, så man kan se, om man får nøjagtigt det samme facit som jeg. I praksis, vil det dog ofte være naturligt at afrunde anderledes. Side 4 1. 23,29 kr. 2. 276,16 kr. 12.277,32 kr. 3. 194,18 kr. Side 5 1. 1.839,00 kr. 39,00 kr. 2. 1.060,50 kr. 3. 1.688,50 kr. 4. 390,00 kr. Side 6 1. 5.920,98 kr. 2. 5.520,40 kr. 3. 424,65 kr. Side 7 1. 3.917,63 kr. 1.082,37 kr. 2. 6.306,19 kr. 3. 14.038,30 kr. 4. 96.715,14 kr. Side 8 1. 4,0% 2. Nej. Nærmere 4%. 3. Lidt over 6% 4. Nærmere 6% Side 9 1. 16 år. 2. 10 år efter. 3. 6 år. Side 10 1. 26,8% 2. 8,2% 3. 3,5% 14,8% Side 11 1. 27.000 kr. 12.000 kr. 16% 2. 20% Side 12 1. 22.548,37 kr. 2. 13.603,83 kr. Side 13 1. 4.434,91 kr. 2. 28.132,38 kr. 10.132,38 kr. 3. Nej. Side 14 1. 9 år. 2. 9 år. 3. 7 år. 26

Side 15 1. 2.452,00 kr. 13.280,82 kr. 2. 34.673,16 kr. 13.073,16 kr. Side 16 1. 6.500 kr. Side 17 1. 1.125,00 kr, 1.250,00 kr, 540,00 kr og 1.835,00 kr. 1.096,88 kr, 1.250,00 kr, 526,50 kr og 1.820,38 kr. Den falder. 2. 1250 kr. 28,13 kr. og 1.278,13 kr. 1.264,63 kr. 3. 1.743,33 kr. 840,92 kr. Side 18 1. 8.819,20 kr. 2. 15.158,61 kr. Side 19 1. 68.388,70 kr. 2. 9.845,07 kr. 3. Nej. 44.632,42 kr. Side 20 1. 8.763,97 kr. 5.500,00 kr. 2.640,00 kr. 6.123,97 kr. 2. 16.707,74 kr. 13.700,00 kr. 6.576,00 kr. 10.131,74 kr. Næsten det samme som selve ydelsen. Side 21 1. 3.582,49 kr. 1.170,75 kr. 2. 6.309,42 kr. 498,77 kr. Side 23 1. 975 kr. (uden kurtage). 25 stk og 24.375 kr. 2.060,80 kr. 8,5% 625 kr. 2. 4.780 kr. 77 dage 38,36 kr. 3. 8.940,00 kr. 8.950 kr. 4. 509,59 kr. 45.259,59 kr. Side 25 1. 1.090,60 kr. 2. 16.465 kr. 3. 2.424,24 Sv-kr. og 10.362,69 N-kr. 4. 1075,27. 5. Danske kr. 27

Oversigt over tabeller Indbetalingernes værdi 29 Sammensat rente 30 Opsparingsformlen 32 Annuiteter 34 28

Indbetalingernes værdi I tabellen kan aflæses den samlede værdi efter rentetilskrivning, hvis man indsætter 1 kr. pr måned. Har kontoen fx kvartårlig rentetilskrivning med 2% pr. gang kan man i tabellen se at de tre 1-kroner man har indbetalt har værdien: 3,0400 kr. 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 1 1,0050 1,0100 1,0150 1,0200 1,0250 1,0300 2 2,0075 2,0150 2,0225 2,0300 2,0375 2,0450 3 3,0100 3,0200 3,0300 3,0400 3,0500 3,0600 4 4,0125 4,0250 4,0375 4,0500 4,0625 4,0750 5 5,0150 5,0300 5,0450 5,0600 5,0750 5,0900 6 6,0175 6,0350 6,0525 6,0700 6,0875 6,1050 7 7,0200 7,0400 7,0600 7,0800 7,1000 7,1200 8 8,0225 8,0450 8,0675 8,0900 8,1125 8,1350 9 9,0250 9,0500 9,0750 9,1000 9,1250 9,1500 10 10,0275 10,0550 10,0825 10,1100 10,1375 10,1650 11 11,0300 11,0600 11,0900 11,1200 11,1500 11,1800 12 12,0325 12,0650 12,0975 12,1300 12,1625 12,1950 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 6,0% 10,0% 1 1,0350 1,0400 1,0450 1,0500 1,0600 1,1000 2 2,0525 2,0600 2,0675 2,0750 2,0900 2,1500 3 3,0700 3,0800 3,0900 3,1000 3,1200 3,2000 4 4,0875 4,1000 4,1125 4,1250 4,1500 4,2500 5 5,1050 5,1200 5,1350 5,1500 5,1800 5,3000 6 6,1225 6,1400 6,1575 6,1750 6,2100 6,3500 7 7,1400 7,1600 7,1800 7,2000 7,2400 7,4000 8 8,1575 8,1800 8,2025 8,2250 8,2700 8,4500 9 9,1750 9,2000 9,2250 9,2500 9,3000 9,5000 10 10,1925 10,2200 10,2475 10,2750 10,3300 10,5500 11 11,2100 11,2400 11,2700 11,3000 11,3600 11,6000 12 12,2275 12,2600 12,2925 12,3250 12,3900 12,6500 29

Sammensat rente I tabellen kan man aflæse, hvad 1. kr. bliver forrentet til, hvis den står på en konto et vist antal terminer efter hinanden til en fast rentesats. Fx kan man se, at 1 kr., der står i 5 terminer til 2% pr. termin, bliver til: 1,104081 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 3,0% 4,0% 1 1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,030000 1,040000 2 1,010025 1,020100 1,030225 1,040400 1,060900 1,081600 3 1,015075 1,030301 1,045678 1,061208 1,092727 1,124864 4 1,020151 1,040604 1,061364 1,082432 1,125509 1,169859 5 1,025251 1,051010 1,077284 1,104081 1,159274 1,216653 6 1,030378 1,061520 1,093443 1,126162 1,194052 1,265319 7 1,035529 1,072135 1,109845 1,148686 1,229874 1,315932 8 1,040707 1,082857 1,126493 1,171659 1,266770 1,368569 9 1,045911 1,093685 1,143390 1,195093 1,304773 1,423312 10 1,051140 1,104622 1,160541 1,218994 1,343916 1,480244 11 1,056396 1,115668 1,177949 1,243374 1,384234 1,539454 12 1,061678 1,126825 1,195618 1,268242 1,425761 1,601032 13 1,066986 1,138093 1,213552 1,293607 1,468534 1,665074 14 1,072321 1,149474 1,231756 1,319479 1,512590 1,731676 15 1,077683 1,160969 1,250232 1,345868 1,557967 1,800944 16 1,083071 1,172579 1,268986 1,372786 1,604706 1,872981 17 1,088487 1,184304 1,288020 1,400241 1,652848 1,947901 18 1,093929 1,196147 1,307341 1,428246 1,702433 2,025817 19 1,099399 1,208109 1,326951 1,456811 1,753506 2,106849 20 1,104896 1,220190 1,346855 1,485947 1,806111 2,191123 30 1,161400 1,347849 1,563080 1,811362 2,427262 3,243398 40 1,220794 1,488864 1,814018 2,208040 3,262038 4,801021 50 1,283226 1,644632 2,105242 2,691588 4,383906 7,106683 30

5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0% 1 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 2 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 3 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 4 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100 5 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510 6 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 7 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 8 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589 9 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948 10 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742 11 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,853117 12 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428 13 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271 14 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498 15 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248 16 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973 17 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 18 2,406619 2,854339 3,379932 3,996020 4,717120 5,559917 19 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909 20 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,604411 6,727500 30 4,321942 5,743491 7,612255 10,062657 13,267678 17,449402 40 7,039989 10,285718 14,974458 21,724522 31,409420 45,259256 50 11,467400 18,420154 29,457025 46,901613 74,357520 117,390853 31

Opsparings formlen I tabellen kan man aflæse den samlede opsparing ved at indbetale 1 kr. på hver termins dag en række terminer efter hinanden med uændret rentesats. Fx kan man se, at 1 kr. indbetalt 5 terminer efter hinanden til en rentesats på 3% giver en opsparing på 5,309136 kr. 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 2 2,005000 2,010000 2,015000 2,020000 2,025000 2,030000 3 3,015025 3,030100 3,045225 3,060400 3,075625 3,090900 4 4,030100 4,060401 4,090903 4,121608 4,152516 4,183627 5 5,050251 5,101005 5,152267 5,204040 5,256329 5,309136 6 6,075502 6,152015 6,229551 6,308121 6,387737 6,468410 7 7,105879 7,213535 7,322994 7,434283 7,547430 7,662462 8 8,141409 8,285671 8,432839 8,582969 8,736116 8,892336 9 9,182116 9,368527 9,559332 9,754628 9,954519 10,159106 10 10,228026 10,462213 10,702722 10,949721 11,203382 11,463879 11 11,279167 11,566835 11,863262 12,168715 12,483466 12,807796 12 12,335562 12,682503 13,041211 13,412090 13,795553 14,192030 13 13,397240 13,809328 14,236830 14,680332 15,140442 15,617790 14 14,464226 14,947421 15,450382 15,973938 16,518953 17,086324 15 15,536548 16,096896 16,682138 17,293417 17,931927 18,598914 16 16,614230 17,257864 17,932370 18,639285 19,380225 20,156881 17 17,697301 18,430443 19,201355 20,012071 20,864730 21,761588 18 18,785788 19,614748 20,489376 21,412312 22,386349 23,414435 19 19,879717 20,810895 21,796716 22,840559 23,946007 25,116868 20 20,979115 22,019004 23,123667 24,297370 25,544658 26,870374 30 32,280017 34,784892 37,538681 40,568079 43,902703 47,575416 40 44,158847 48,886373 54,267894 60,401983 67,402554 75,401260 50 56,645163 64,463182 73,682828 84,579401 97,484349 112,796867 32

4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% 10,0% 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 2 2,040000 2,045000 2,050000 2,055000 2,060000 2,100000 3 3,121600 3,137025 3,152500 3,168025 3,183600 3,310000 4 4,246464 4,278191 4,310125 4,342266 4,374616 4,641000 5 5,416323 5,470710 5,525631 5,581091 5,637093 6,105100 6 6,632975 6,716892 6,801913 6,888051 6,975319 7,715610 7 7,898294 8,019152 8,142008 8,266894 8,393838 9,487171 8 9,214226 9,380014 9,549109 9,721573 9,897468 11,435888 9 10,582795 10,802114 11,026564 11,256260 11,491316 13,579477 10 12,006107 12,288209 12,577893 12,875354 13,180795 15,937425 11 13,486351 13,841179 14,206787 14,583498 14,971643 18,531167 12 15,025805 15,464032 15,917127 16,385591 16,869941 21,384284 13 16,626838 17,159913 17,712983 18,286798 18,882138 24,522712 14 18,291911 18,932109 19,598632 20,292572 21,015066 27,974983 15 20,023588 20,784054 21,578564 22,408664 23,275970 31,772482 16 21,824531 22,719337 23,657492 24,641140 25,672528 35,949730 17 23,697512 24,741707 25,840366 26,996403 28,212880 40,544703 18 25,645413 26,855084 28,132385 29,481205 30,905653 45,599173 19 27,671229 29,063562 30,539004 32,102671 33,759992 51,159090 20 29,778079 31,371423 33,065954 34,868318 36,785591 57,274999 30 56,084938 61,007070 66,438848 72,435478 79,058186 164,494023 40 95,025516 107,030323 120,799774 136,605614 154,761966 442,592556 50 152,667084 178,503028 209,347996 246,217476 290,335905 1163,908520 33

Annuiteter I tabellen kan det aflæses, hvor stor en ydelse man skal betale på en gæld på 1 kr. i et vist antal terminer til en fast rentesats. Fx kan man aflæse, at en gæld på 1 kr., der skal afdrages over 5 terminer, og hvor renten er 2%, giver en ydelse på: 0,212158 kr. 0,25% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 1 1,002500 1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,025000 2 0,501876 0,503753 0,507512 0,511278 0,515050 0,518827 3 0,335001 0,336672 0,340022 0,343383 0,346755 0,350137 4 0,251564 0,253133 0,256281 0,259445 0,262624 0,265818 5 0,201503 0,203010 0,206040 0,209089 0,212158 0,215247 6 0,168128 0,169595 0,172548 0,175525 0,178526 0,181550 7 0,144289 0,145729 0,148628 0,151556 0,154512 0,157495 8 0,126410 0,127829 0,130690 0,133584 0,136510 0,139467 9 0,112505 0,113907 0,116740 0,119610 0,122515 0,125457 10 0,101380 0,102771 0,105582 0,108434 0,111327 0,114259 11 0,092278 0,093659 0,096454 0,099294 0,102178 0,105106 12 0,084694 0,086066 0,088849 0,091680 0,094560 0,097487 13 0,078276 0,079642 0,082415 0,085240 0,088118 0,091048 14 0,072775 0,074136 0,076901 0,079723 0,082602 0,085537 15 0,068008 0,069364 0,072124 0,074944 0,077825 0,080766 16 0,063836 0,065189 0,067945 0,070765 0,073650 0,076599 17 0,060156 0,061506 0,064258 0,067080 0,069970 0,072928 18 0,056884 0,058232 0,060982 0,063806 0,066702 0,069670 19 0,053957 0,055303 0,058052 0,060878 0,063782 0,066761 20 0,051323 0,052666 0,055415 0,058246 0,061157 0,064147 30 0,034641 0,035979 0,038748 0,041639 0,044650 0,047778 40 0,026302 0,027646 0,030456 0,033427 0,036556 0,039836 50 0,021301 0,022654 0,025513 0,028572 0,031823 0,035258 80 0,013807 0,015197 0,018219 0,021548 0,025161 0,029026 120 0,009656 0,011102 0,014347 0,018019 0,022048 0,026362 34

3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 6,0% 1 1,030000 1,035000 1,040000 1,045000 1,050000 1,060000 2 0,522611 0,526400 0,530196 0,533998 0,537805 0,545437 3 0,353530 0,356934 0,360349 0,363773 0,367209 0,374110 4 0,269027 0,272251 0,275490 0,278744 0,282012 0,288591 5 0,218355 0,221481 0,224627 0,227792 0,230975 0,237396 6 0,184598 0,187668 0,190762 0,193878 0,197017 0,203363 7 0,160506 0,163544 0,166610 0,169701 0,172820 0,179135 8 0,142456 0,145477 0,148528 0,151610 0,154722 0,161036 9 0,128434 0,131446 0,134493 0,137574 0,140690 0,147022 10 0,117231 0,120241 0,123291 0,126379 0,129505 0,135868 11 0,108077 0,111092 0,114149 0,117248 0,120389 0,126793 12 0,100462 0,103484 0,106552 0,109666 0,112825 0,119277 13 0,094030 0,097062 0,100144 0,103275 0,106456 0,112960 14 0,088526 0,091571 0,094669 0,097820 0,101024 0,107585 15 0,083767 0,086825 0,089941 0,093114 0,096342 0,102963 16 0,079611 0,082685 0,085820 0,089015 0,092270 0,098952 17 0,075953 0,079043 0,082199 0,085418 0,088699 0,095445 18 0,072709 0,075817 0,078993 0,082237 0,085546 0,092357 19 0,069814 0,072940 0,076139 0,079407 0,082745 0,089621 20 0,067216 0,070361 0,073582 0,076876 0,080243 0,087185 30 0,051019 0,054371 0,057830 0,061392 0,065051 0,072649 40 0,043262 0,046827 0,050523 0,054343 0,058278 0,066462 50 0,038865 0,042634 0,046550 0,050602 0,054777 0,063444 60 0,036133 0,040089 0,044202 0,048454 0,052828 0,061876 120 0,030890 0,035573 0,040365 0,045230 0,050144 0,060055 35

ISBN: 978-87-92488-14-5