Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Htx Matematik A Frits Edslev 3Y Oversigt over gennemførte undervisningsforløb (inkl.mat.b) Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Titel 6 Titel 7 Titel 8 Titel 9 Titel 10 Titel 11 Introduktion til matematik algebra, ligninger og uligheder Geometri og grundlæggende trigonometri Analytisk Plangeometri Vektorer i planen Rumgeometri samt analytisk rumgeometri Funktioner Differentialregning Integralregning Vektorfunktioner Differentialligninger Valgemne: Krumning Side 1 af 12
Titel 1 Introduktion til matematik algebra, ligninger og uligheder Brøkregning (addere, subtrahere, gange, dividere og forkorte brøker; herunder regler for at sætte uden for parentes), kvadratet på en toledet størrelse, to tals sum gange de samme to tals differens, første- og andengradsligninger og - uligheder med én ubekendt, rodtegn og potens, mængdelære. Jensen og Marthinus: HTX mat B1, s.7-88 15.8-1.11 2011 svarende til 40 timers undervisning Opnå grundlæggende fortrolighed med elementær talbehandling, simpel ligningsløsning og uligheder Klasseundervisning, opgaveløsning i timerne og som hjemmeopgaver Side 2 af 12
Titel 2 Geometri og grundlæggende trigonometri Konstruktion og elementære beregninger på trekanter incl. midtnormaler, medianer og vinkelhalveringslinier - firkanter og cirklen incl. korder og tangenter. Særlig fokus på ligedannede og retvinklede trekanter herunder bevis for Pythagoras læresætning. Definition af sinus, cosinus og tangens ud fra enhedscirklen. Vinkel- og sideberegninger i først den retvinklede og dernæst den vilkårlige trekant. Sinus- og cosinusrelationerne. Projektopgave: Vandrør Bohnstedt et al: HTX mat B1, s.89-164 1.11 2011-15.1 2012 svarende til 40 timers undervisning Lære korrekt matematisk notation og dokumentation i skriftlige arbejder. Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen. Side 3 af 12
Titel 3 Analytisk plangeometri Koordinatsystemet; liniens ligning, cirklens ligning, afstand mellem to punkter og mellem punkt og linie, skæring mellem to linier (to ligninger med to ubekendte) og mellem linie og cirkel, ortogonale linier samt midtpunkt af liniestykke. Projektopgave: Gang- og cykelbro Bohnstedt et al: HTX mat B1, s.165-212 15.1-1.4 2012 svarende til 50 timers undervisning Lære hvordan en projektopgave opbygges i matematik. Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen, projektarbejde. Side 4 af 12
Titel 4 Vektorer i planen Definition af vektorbegrebet ( mængde af pile med samme retning og længde ). Addition og subtraktion af vektorer samt multiplikation af vektor med et tal. Opløsning af vektor i komposanter. Beregning af vektorers længde. Definition af stedvektor, enhedsvektor, nulvektor, retningsvektor, normalvektor og tværvektor. Prikpodukt (skalarprodukt) af vektorer. Beregning af vinkel mellem to vektorer. Beregning af projektion af vektor på vektor. Beregning af areal af trekant ved determinantformlen for vektorer. Projektopgave: Skattejagt Bohnstedt et al: HTX mat B1, s.213-255 1.5-1.9 2012 svarende til 40 timers undervisning Kunne foretage bevisførelser for simple matematiske sætninger Klasseundervisning, opgaveløsning i timerne og som hjemmeopgaver samt projektarbejde. Side 5 af 12
Titel 5 Rumgeometri og analytisk rumgeometri Beregning af overfladeareal og volumen af prismer, cylindre, kegler, keglestubbe, pyramider, pyramidestubbe, kugler, kugleudsnit og kugleafsnit. Koordinater for vektorer i rummet. Stedvektor, enhedsvektorer, nulvektor, retningsvektor, normalvektor. Skalarprodukt og vektorprodukt. Vinkel mellem vektorer. Liniers parameterfremstilling. Planers ligning. Skæring mellem planer og mellem linie og plan. Afstand mellem punkt og plan, mellem punkt og linie og mellem to linier. Vinkel mellem planer. Projektopgave: Cheopspyramiden Bohnstedt et al: HTX mat B1, s.255-318 samt mat.a s.8-79 1.4-1.5 2012 samt 1.1-15.2 2014 svarende til 60 timers undervisning Lære at forestille sig rumlige figurer ud fra en todimensionel afbildning samt benytte de korrekte formler til beregning af volumen og overfladeareal, samt at udføre tilsvarende beregninger i det tredimensionelle koordinatsystem. Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen samt projektarbejde. Side 6 af 12
Titel 6 Funktioner. Dette emne er gennemgået sideløbende med titel 7, således at der for hver ny funktionstype samtidig er inddraget læring om denne funktionstypes differentiabilitet. De tre projektopgaver dækker således både titel 6 og 7. Funktionsbegrebet forklaret ud fra dagligdags sammenhænge. Afhængig og uafhængig variabel. Funktioner givet ved graf, tabel og forskrift. Injektivitet og surjektivitet. Kontinuitet. Monotoniforhold. Invers funktion og sammensat funktion (f+g(x), f-g(x), f g(x), f/g(x) samt fog(x)). Funktionsundersøgelser, herunder undersøgelse for asymptoter og vendetangenter. Nærmere undersøgelse af følgende funktionstyper: - 5a): Potensfunktioner; herunder især 1. og 2.grads potensfunktioner (lineære funktioner og parabler). - 5b): Trigonometriske funktioner; sinus, cosinus og tangens. Svingningsfunktioner; definition og beregning af svingningstid, frekvens, bølgelængde og amplitude. Trigonometriske grundligninger og uligheder (f.eks. sinx = 0.8), samt elementære redskaber til løsning af mere komplicerede trigonometriske ligninger og uligheder; herunder brug af grundrelationen (sin 2 x + cos 2 x = 1) samt formler for sin2x, cos2x, tg2x. - 5c): Eksponentialfunktioner og eksponentielle udviklinger. Herunder definition og bestemmelse af grundtal, begyndelsesværdi, vækstrate og fordoblings-/halveringskonstant for eksponentielle udviklinger. - 5d): Logaritmefunktioner. Herunder definiton af grundtal for logaritmer med særlig vægt på 10-tals-logaritmen og den naturlige logaritmefunktion. Regneregler for logaritmer Projektopgaver: Rutschebanen Bakterierne angriber Symaskinen Kælkebakken Kælkebakken 2 Bohnstedt et al: HTX mat B2, s.7-113 1.9-15.12 2012 samt 1.8-15.10 2013 svarende til 100 timers undervisning Erhverve en dybtgående forståelse af funktionsbegrebet Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen, projektarbejde. Side 7 af 12
Titel 7 Differentialregning Definition af differentialkvotient som tangenthældning. Beregning af differentialkvotienter ved grænseværdiberegning på sekanthældninger (tre-trins reglen). Krav til differentiabilitet. Regneregler for differentiering af potensfunktioner ( ned med den og én fra den ) udledt matematisk ved grænseværdiberegning på sekanter - samt trigonometriske funktioner godtgjort grafisk for sinus og cosinus samt matematisk udledt for tangens. Regneregler for differentiering af sammensatte funktioner samt sum, differens, produkt og kvotient af to funktioner. Implicit differentiation. Projektarbejder: Se titel 6 Bohnstedt et al: HTX mat B2, s.165-242 samt mat.a a.152-178 1.10-1.12 2012 samt 1.8-15.10 2013 svarende til 100 timers undervisning Lære at anvende differentialregning til bestemmelse af tangenthældninger og ved optimeringsprocesser. Lære logisk ræsonement samt bevisførelse Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen, projektarbejder. Side 8 af 12
Titel 8 Integralregning. Integralregning som metode til arealberegning. Definition af stamfunktion som grænseværdien for summation af rektangelarealer. Bestemmelse af stamfunktioner til potensfunktioner ( én til den og helt ned med den ) og trigonometriske funktioner. Ubestemt og bestemt integrale samt brug heraf til arealberegning. Integration af eksponential- og logaritmefunktioner. Integration af produkter og sammensatte funktioner ved partiel integration og substitution. Volumenbestemmelse af omdrejningslegemer om x- og y-aksen. Projektopgaver: Kælkebakken 1 og 2 Vandtårnet Bohnstedt et al: HTX mat B2, s.241-190 samt mat.a s.179-214 1.1-1.5 + 1.1-1.12 2013 svarende til 50 timers undervisning Opnå kendskab til brug af integralregning til beregning af arealet under en graf samt volumen af omdrejningslegemer. Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen, projektarbejde. Side 9 af 12
Titel 9 Vektorfunktioner Definition af vektorfunktioner samt parameterfremstilling af grafer. Kurveundersøgelser: Definitionsmængde, skæring med akserne, betydning af fortegn for koordinatfunktionerne (monotoniforhold), vandrette og lodrette tangenter (y (t) = 0, x (t) = 0), hastighedsvektor (tangentvektor), fart og accelerationsvektor, tegning af banekurver manuelt og med IT-hjælpemidler Projektopgave: Redningslinen Bohnstedt et al: HTX mat.a s.80-151 1.3-15.4 2014 svarende til 30 timers undervisning Forstå fordelene ved at beskrive grafer ved vektorfunktioner den tidsmæssige dimension, samt muligheden for at afbilde mere indviklede grafer. Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen, projektarbejde. Side 10 af 12
Titel 10 Differentialligninger Forståelse af og optimeringsberegninger på funktioner af flere variable. Projektopgave: Afterkælkebaren Bohnstedt et al: HTX mat.a s.310-348 15.10-15.12.2013 svarende til 10 timers undervisning Forstå hvad der forstås ved en differentialligning og kunne løse forskellige typer af sådanne ligninger Klasseundervisning, elever regner opgaver i grupper og ved tavlen samt arbejde med projektopgaven. Side 11 af 12
Titel 11 Krumning Forståelse og anvendelse af formler til beregning af krumning for både reelle funktioner og vektorfunktioner Projektopgave: Krumning (Mat.A eksamenssættet fra maj 2008 + teoriafsnit). Forberedelsesmaterialet til mat.a eksamen, HTX, maj 2008 15.4-15.5.2014 svarende til 10 timers undervisning Kunne anvende formler til beregning af krumning af reelle funktioner og vektorfunktioners grafer. Redegøre for hvorledes disse formler er udledt I grupper gennemlæser og regner eleverne selvstændigt eksamensforberedelsesmaterialet til mat.a eksamen i 2008. Generalprøve på eksamensformen i mat.a. Side 12 af 12