En matematikundervisning der udfordrer alle elever! Ugekursus: CFU i Hjørring fra den 15. til den 19. november 2010 Fokus mandag: Fælles Mål 2009 hedegaard.carsten@gmail.com 1
Præsentation Carsten Hedegaard, Esbjerg Gift og har tre børn Folkeskolelærer i 29 år orlov lige nu. Ansat på VUC i Esbjerg i en kombinationsstilling. To linjefagshold i matematik på Esbjerg Seminarium Lærebogsforfatter i en forfattergruppe i 8 år. Matematikkonsulent ved CFU i10 år. Beskikket censor Arbejdsgruppe under Navimat. Mit omrejsende cirkus, hvor jeg efteruddanner lærere. 2
Ugens forløb Mandag Fælles Mål 2009 Tirsdag Matematikkompetencer Onsdag Undersøgende matematik Torsdag Projektarbejde Fredag Evaluering 3
Ugens forløb - fokuspunkter Oplæg diskussioner og debat Læringsteoretiske overvejelser Ny forskning på området Vores praktiske hverdag Problemstillinger: - didaktiske - metodiske Praktiske aktiviteter Spil 4
Jeg vil så gerne! 1) Arbejde undersøgende og eksperimenterende. 2) Ramme elevernes skemaer. 3) Arbejde bevidst med arbejdshukommelsen. 4) Have fokus på læring i sociale sammenhænge. 5) Arbejde med de matematiske kompetencer 6) Arbejde bevidst med sproget. 5
Fælles Mål 2009 - en af mine værktøjer. Matematiske kompetencer Hvorfor? Undervisning Matematiske arbejdsmåder Hvordan? Matematiske emner Matematik i anvendelse Hvad? 6
Læringens fundamentale processer Frit efter Knud Illeris Tilegnelsesprocesser: 1) Indhold (faglig) der skal læres Viden, forståelse og færdigheder. Kognitive processer samt tro på, at eleverne konstruerer deres egen viden. 2) Drivkraft-dimensionen motivation, følelser og vilje. 3) Samspilsdimension læring skal ses i en social sammenhæng. 7
Faglige niveauer i matematik Trin 2 Trin 3 Konkret matematik Trin 4 Teoretisk matematik Vurderinger Fortolkninger Trin 5 Matematiske modeller Generaliserende Ræsonnementer Perspektivering Trin 1 Beskrivende Systematiserende Refererende 8
Figurer på transparent - praktiske overvejelser: Det konkrete materiale består af to stykker farvede transparentfilm på hver 5 X 10 cm. Sådan et sæt skal eleverne to og to arbejde med. Når de to transparentfilm lægges oven på hinanden dannes der en mørk geometrisk figur. Brug hvidt papir som baggrund evt. 1 X 1 cm kvadreret papir. 9
Elevarbejde: 10
Figurer med transparent - et konkret undervisningsforløb Forløbet lægger op til, at eleverne: konstruerer samt tegner geometriske figurer genkender og navngiver geometriske figurer forstår begreberne omkreds og areal arbejder med et konkrete materialer sætter ord på deres faglige arbejde træner elementer i projektarbejde Kompetencer der især udfordres: 1. Modelleringskompetencen. 2. Kommunikationskompetencen. 3. Problemløsningskompetencen. Andre kvaliteter ved forløbet: a) Giver variation og afveksling i timerne. b) Giver gode muligheder for faglig progression. c) Lægger op til samarbejde og refleksion. 11
Matematik er blevet et kommunikations fag Metakognition: Nu forlanger vi, at eleverne skal tænke på hvad de tænkte, da de forsøgte at løse en opgave, og så efterfølgende sætte ord på disse tanker og overvejelser. Det er store og anderledes krav til en matematikundervisning. Kan vi leve op til det? 12
Hvad køber damen? En nydelig dame kommer ind i en isenkræmmerbutik for at handle. Ekspedienten er meget venlige. Han siger og viser som eksempel, at 7 koster 129 kr. 23 koster 149 kr. 156 koster 169 kr. Hvad er den nydelige dame ved at købe? 13
Find de 4 tal 1 1 2 1 2 3 5 6 1 2 3 1 4 4 5 6 4 2 3 3 8 7 5 3 2 2 1 7 6 4 1 5 4 3 2 1 14
Se kritisk og konstruktiv på vores undervisningspraksis! Brousseau: Den didaktiske kontrakt Den didaktiske kontrakt består af de gensidige forventninger om, at eleven forventes at lære, og at læreren forventes at undervise, dvs. muliggøre læring. 15
Den didaktiske kontrakt: Brousseau Læreren kan forsøge at opfylde sin del af kontrakten ved at introducere et indhold, formulere et oplæg m.m. Eleven forventes at fortolke den samlede situation, så hun påtager sig rollen som den, der overtager en viden, som læreren stiller til rådighed. 16
De kan så lidt matematik Ca. 6 af disse giver bestå karakter 17
De kan så lidt matematik Afgangsklasse: 9. klasse, 2007 I alt Til og med bestå Matematiske færdigheder 59.435 13,6% Matematik problemløsning 59.352 19,3% 18
De kan så lidt matematik Folkeskolens afgangsprøve 2009 færdighedsregning: 29. 2x = 8 x = 90 % 30. 5x 12 = 2x + 6 x = 45 % 31. x + 4 = 8 x = 34 % 19
De kan så lidt matematik Færdighedsregning 2007: 25 % af et beløb er 150 kr. 43. Beløbet er kr. 50 % Færdighedsregning 2008: 25 % af et beløb er 125 kr. 48. Hele beløbet er kr. 75 % 20
Jern Henrik Bare rolig Søren vi er måske faret vild, men vi skyder en god fart!! 21
Fælles Mål 2009- lidt historik 1958 Forståelse skal gå forud for færdighed. 1976 Det må anses for et mål, at den enkelte elev kommer til at indtage en eksperimenterende holdning ved indlevelse i matematiske områder, der er nye for ham. 1995 Eleverne opbygger matematisk viden og kunnen ud fra egne forudsætninger. Selvstændigt og i fællesskab skal eleverne erfare at matematik er både et redskab til problemløsning og et kreativt fag. 2001 Klare mål» 2002 KOM-rapporten 2003 Fælles Mål» Globaliseringsrapporten 2006» Fremtidens matematikundervisning 2007 Fælles Mål 2009 22
Fælles Mål 2009 - kommissorium Mindre, nødvendige ændringer Ekspertgruppens anbefalinger Nyt formål for faget Fastsætte de mest relevante mål, men ikke nødvendigvis mere testbare. Samme systematik dog uden beskrivelser. 23
Fælles Mål 2009 - struktur: 4 CKF er Slutmål og trinmål Læseplan og undervisningsvejledning Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at. 24
Formål for matematik stk. 1 Fælles mål Stk. 1 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Analyse og argumentation skal indgå i arbejdet med emner og problemstillinger. Fælles mål 2009 Stk. 1 Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. 25
Formål for matematik stk. 2 Fælles mål Stk. 2. Undervisningen tilrettelægges, så eleverne opbygger matematisk viden og kunnen ud fra egne forudsætninger. Selvstændigt og i fællesskab skal eleverne erfare, at matematik både er et redskab til problemløsning og et kreativt fag. Undervisningen skal give eleverne mulighed for indlevelse og fremme deres fantasi og nysgerrighed. Fælles mål 2009 Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. 26
Formål for matematik stk. 3 Fælles mål Stk. 3. Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng. Med henblik på at kunne tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab, skal eleverne kunne forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse. Fælles mål 2009 Stk. 3 Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab 27
Matematik Fælles Mål Fælles mål: * Tal og algebra * Geometri * Matematik i anvendelse * Kommunikation og problemløsning Fælles Mål 2009: * Matematiske kompetencer * Matematiske emner * Matematik i anvendelse * Matematiske arbejdsmetoder 28
Ændringer Kompetencer er selvstændigt CKF med trinmål. Arbejdsmåder er selvstændigt CKF med trinmål. Statistik og sandsynlighed er et selvstændigt område. Beskrivelser indgår i læseplanen. Læseplan fyldigere. Deltage i udvikling af beregningsmetoder. Faglig læsning. Perspektivtegning er nedtonet. Enkel trigonometri er tilføjet. 29
Andre signaler i Fælles Mål 2009 Konstruktivistisk læringsopfattelse. Kompetencetænkningen. Kommunikation og problemløsning. Forslag til arbejdsmåder. 30
Planlægning og evalueringsmodel. Hvad skal der undervises i? Hvorfor skal der undervises i det? Hvordan skal der undervises? Matematiske kompetencer Hvorfor? Undervisning M ar Matematiske emner Matematik i anvendelse Hvad? 31
Multiplikation Matematiske kompetencer Problembehandling Repræsentation Kommunikation Undervisningsforløb i 3. - 6. klasse Matematiske arbejdsmåder Undersøge, systematisere, begrunde Arbejde individuelt og sammen med andre Forberede og gennemføre præsentationer Matematiske emner Matematik i anvendelse Deltage i udviklingen af metoder til multiplikation 32
Multiplikation - 3. kl. udgangspunktet erfaringer hjemmefra og fra skolen gentagende addition spring på en tallinje arealet af et rektangel forskellige hverdagssituationer opdigtede regnehistorier 33
Repræsentationskompetencen 34
Kompetencer: Fra Kom. rapport og Fælles Mål 2009 35
Forslag til konkret undervisningsforløb: Overflade af stænger Lav en stang af 5 centicubes. Hvad er overfladen? Hvad er overfladen af en stang lavet af 10 centicubes? Hvad er overfladen af en stang lavet af n centicubes? 36
Overflade af stænger Mål: Emner (Hvad) - kompetencer (Hvorfor) arbejdsmåder (Hvordan) Der er et problem, der skal løses. Geometrisk: Overfladen af en stang. At arbejde undersøgende, systematiserende og ræsonnerende. At finde reglen for generalisere. At bruge symboler. 37
Repræsentationskompetence Begynd med 6 og læg 4 til hver gang. Centicubes 1 2 3 4 5 6 Overflade 6 10 14 18 22 26 30 O = 4n + 2 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 38
Eksempler på kompetencefaglige mål kunne være: At få styr på, hvad overfladen af en rumlig figur er. At vide, hvad det vil sige at finde ud af, hvor stor overfladen er, altså arealbegrebet på en rumlig figur. At finde overfladen. At finde en regel for, hvordan man finder overfladen. At tænke videre til andre rumlige figurer: kasser, andre prismer, cylindere 39
Eksempler på mål for matematiske arbejdsmåder kunne være: At arbejde undersøgende med at udvikle metoder. At undersøge, systematisere og begrunde matematisk med mulighed for at inddrage konkrete materialer og andre repræsentationer. At samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger. At arbejde problemløsende i en proces, hvor andres forskellige forudsætninger og idéer inddrages. 40
Klaus Fink: Muligheder i Fælles Mål 2009? Der skal ikke arbejdes mod at gøre målene mere testbare, men mod at fastsætte de mest relevante mål. Kompetencer og arbejdsmåder lader sig ikke teste gennem simple færdighedsprægede tests Meldingen til læreren er altså i endnu højere grad: vær professionel og hold fast i og brug retten til at evaluere selv, bruge en bred vifte af evalueringsmåder, udvikle en evalueringskultur. Brug www.evaluering.uvm.dk 41
Muligheder med Fælles Mål 2009? Klaus Fink: Det er jo os som matematiklærere, der skal være med til at definere, hvad faglighed er. Fælles Mål 2009 er et af udtrykkene for det. Her er kompetencer og arbejdsmåder blevet nye CKF er, og dermed er der sat fokus på kompetencefaglighed og procesfaglighed. Vi har altså i Fælles Mål 2009 fået et bredere faglighedsbegreb. 42
Strategispil 43
Den største forbrydelse man kan begå over for et barn er at fortælle det noget, det selv kunne Forbrydelse finde ud af!! Brousseau 44
Lærerens tænkebobler 45
46
Matematiske emner Matematik i anvendelse 47
Matematiske kompetencer Matematiske emner Matematik i anvendelse 48
Matematiske kompetencer Matematiske arbejdsmåder Matematiske emner Matematik i anvendelse 49
Matematiske kompetencer Matematiske arbejdsmåder Undervisning Matematiske emner Matematik i anvendelse 50
Matematiske kompetencer Problembehandling Ræsonnement Hjælpemiddel "Afstende, der ikke kan måles" Matematiske arbejdsmåder - undersøge, systematisere og ræsonnerere med henblik på at generalisere - arbejde individuelt og sammen med andre Matematiske emner Matematik i anvendelse - ligedannethed - Pythagoras' sætning - trigonometri 51
52
Pythagoras` læresætning 2 abc Trekant a b c a 2 b 2 c 2 1 2 3 4 5 53
RME Realistic Mathematics Education Freudenthal: Realistisk Matematikundervisning! R Udgangspunkt i en konkret virkelighed, kontekst-afhængig M Matematik, horisontal og vertikal matematisering. E Uddannelse empirisk, mekanisk, strukturalistisk og realistisk. 54
RME Realistisk en vis grad af omverdenskarakter ex: Konkret virkelighed, som eleverne har erfaring med. En som om virkelighed. Et eventyr eller historie. 55
RME Det matematisk: Refleksive matematiseringsprocesser Horisontal og vertikal matematisering. Uformel præformel formel Finde, forstå og forklare. Generalisere Finde ligheder og forskelle. 56
Frimærker udvælg evt. et frimærke og find matematikken i den. 57
Find matematikken i frimærker 58
Frimærker Forløbet lægger op til, at eleverne arbejder konkret med et antal frimærker genkender og navngiver geometriske figurer arbejder med begrebet areal og omkreds arbejder med antalsbestemmelse laver en mundtlig fremlæggelse træner elementer i projektarbejde Kompetencer der især udfordres kommunikationskompetencen modelleringskompetencen 59
Pædagogiske og praktiske overvejelser Eleverne arbejder sammen i små grupper. Hver grupper får 40-50 frimærker. I løbet af 4-6 timer skal de finde matematikken i deres frimærker. Samt forberede en fremlæggelse for resten af klassen. Det de vælger at fremlægge skal være inden for matematikkens verden. 60
Hvorfor har vi frimærker? Arbejdsspørgsmål: Undersøg den historiske baggrund for frimærkernes oprindelse. Hvordan fungerer systemet med frimærker? Forsøg at følge en pakke eller et brevs vej fra afsender til modtager. Find priser for forsendelsesudgifter gennem årene. 61
Hvor meget husker vi? Bethel, Maine, USA Læringspyramide Foredrag 5 % Læsning af. 10 % Brug af audiovisuel udstyr 20 % Demonstration 30 % Diskussionsgrupper 50 % Arbejde i praksis 75 % Forklar andre det lærte 90 % 62
Hvilke summer kan jeg få af to på hinanden følgende tal? Af tre på hinanden følgende tal? Find regnestykker 1 2 3 1 + 2 4 5 2 + 3 6 1 + 2 + 3 7 3 + 4 8 9 4 + 5 2 + 3 + 4 10 1 + 2 + 3 + 4 11 5 + 6 12 3 + 4 + 5 13 6 + 7 14 2 + 3 + 4 + 5 15 7 + 8 4 + 5 + 6 16 17 8 + 9 18 5 + 6 + 7 3 + 4 + 5 + 6 19 9 + 10 20 21 10 + 11 6 + 7 + 8 22 4 + 5 + 6 + 7 23 11 + 12 24 7 + 8 + 9 25 12 + 13 26 5 + 6 + 7 + 8 27 13 + 14 8 + 9 + 10 28 29 14 + 15 63
Hjælplingespil Spil 64
Byg Klodshans - organisering af opgaven Gruppearbejde: 4-5 stk. På skift må højest en fra gruppen gå ud og kikke på Klodshans. Første fase: snak, kommunikation samt tegning er tilladt ikke bygge! Når en af grupperne melder, at de er klar til at bygge, får de andre grupper 2 min. Til at blive færdige. Anden fase: Der bygges samtidig i de forskellige grupper uden nogen form for mundtlig kommunikation. Klodshans 65
Byg Klodshans Forløbet lægger op til, at eleverne: konstruerer samt arbejder sammen om en konkret opgave. trænes i at give klare og præcise beskeder samt modtage informationer. træner hukommelsen. trænes i at skabe overblik. trænes i at arbejde under pres. Kompetencer der især udfordres: modelleringskompetencen. kommunikationskompetencen. hjælpemiddelkompetencen. Klodshans 66
Kurts kolonihavehus Kurts kolonihavehus er 24 m 2, hvordan kan den se ud? 67
Elevbesvarelse 68
Problemløsning Forestil dig, at du har 24 fliser på 1X1m. Du skal bruge dem alle sammen til at dække et rektangulært område med. Tæl/beregn omkreds af hvert rektangel. Er der nogen sammenhæng? Længde Bredde Areal Omkreds 1 24 24 50 2 12 24 28 3 8 24 22 4 6 24 20 6 4 24 20 8 3 24 22 12 2 24 28 24 1 24 50 69
Spørgsmål til overvejelse. Hvilke kompetencer er især i spil? Både sociale og faglige. Hvilke faglige områder kommer eleverne i berøring med? Se i Fælles Mål. Prøv at lave et andet oplæg og/eller et andet indhold til forløbet. En anden drejning, så der bliver fokus på andre faglige områder. Kan opgaven organiseres på en anden måde? Hvordan vil du som lærer støtte eleverne i denne opgave. Hvordan vil du/i evaluere dette undervisningsforløb? Klodshans 70
Fortegnsspil 71
Farvede hjørner 72