. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser bruges til Beskrive sammenhængen mellem to variable. Eks: Kvantificere sammenhængen mellem alder og blodtryk. Prædiktere værdien af en variabel hvis værdien af én eller flere andre variable er kendt (referencemodel). Eks: Forudsige blodtrykket for en 5 årig person. Forudsige FEV for en årig mand. Korrektion for potentielle confoundere. Eks: Hvad er alderseffekten på blodtrykket korrigeret for? Den lineære regressionsanalyse kan anvendes når responsen er kontinuert. Eksempel : Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Data: Systolisk blodtryk-målinger og andre baggrundsvariable for 8 personer. Obs. no. i 8 Syst. Blodtryk y i 55 5 x i 5 55 8 Frekvens..5.5.5 Prædiktionsinterval y = 9.9, sd Total = 5.5 ( n = 8) Hvis vi antager blodtryk er normalfordelt fås PI: 9.9 ±.95.5 =(99.;.) Fortolkning: Personernes systoliske blodtryk er mellem 99. og.. Bemærk: Vores bedste bud på en persons systoliske blodtryk er altså intervallet (99.;.). Der er dog relativt stor variation i det systoliske blodtryk! Vil vores bud på personens systoliske blodtryk afhænge af persones alder? Ja, yngre personer har et lavere blodtryk end ældre personer! Vi kan lave et mere præcist prædiktionsinterval, hvis vi bruger oplysningen om personens alder. 5 Én løsning er, at inddele i aldersgrupper og beregne prædiktionsintervaller indenfor hver aldersgrupper. En anden løsning er en regressionsanalyse, hvor personens præcise alder inddrages. En regressionsmodel er en model for sammenhængen mellem blodtryk og alder. Der ser ud til at være en lineær sammenhæng mellem blodtryk og alder.
. september 5 y = α + β x + E i i i Den forventede y-værdi (Formlen for en ret linie!) Simpel lineær regression En simpel lineær afhængighed mellem y i og x i : Beskriver afvigelsen fra linien. Variablen E i beskriver den tilfældige/uforklarede variation omkring linien, og antages at have middelværdi og spredning σ Res (Res=Residual). En simpel lineær regressionsmodel har tre parametre: α = afskæringen med y-aksen (intercept) β = hældningen (regressionskoefficient) σ Res = et mål for variationen omkring linien. 7 Terminologi: y = responsvariabel = afhængige variabel = Systolisk blodtryk x = forklarende variabel = uafhængig variabel = Fortolkning af parametrene: β er forskellen i middel systolisk blodtryk mellem to personer med en aldersforskel på år. (Fortolkningen er ikke den forventede stigning i det systoliske blodtryk når man bliver et år ældre!) α har i denne situation ingen fornuftig fortolkning. (Middel blodtrykket for en år gammel person?) σ Res et mål for variationen omkring linien. 8 Estimation af α, β og σ Res : r = y ( ˆ α ˆ β x ) i i i Residual = afvigelsen af observationen fra linien. Regressionslinien bestemmes ved mindste kvadrates metode, der minimerer (kvadratet på) afstandene fra observationerne til linien. σ Res estimeres ved standard deviationen af residualerne. 9 Estimation af α, β og σ Res og se er m.v. er kompliceret, men kan laves af de fleste statistikprogrampakker. Resultat: Intercept Estimat.5 se.99 (.7;8.75) Regression.5. (.;.99) sd Res. Regressionsanalysen beskriver sammenhængen mellem middel (systolisk) Blodtryk og som CI middel Blodtryk =.5 +.5 Eksempel : Middelblodtrykket for 5 årige personer er.5+.55 = 5.. CI kan vi ikke udregne på basis af ovenstående tal! () (/år) () Eksempel : Den estimerede forskel i middelblodtryk for årige personer og 5 årige personer er Estimeret forskel = ( ˆ α + ˆ β 5) - ( ˆ α + ˆ β ) = ˆ β (5 ) =.5 =. 95 se( ˆ β ) = se( ˆ β ) =. =.55 CI(Forskel) :.95 ±.9.55 = (9.9; 9. 9) Middelforskellen mellem to personer med en aldersforskel på år er mellem 9.9 og 9.9. Generelt: Den estimerede forskel i middelblodtryk mellem personer med en aldersforskel på år er Estimeret fo rskel = ˆ β, se( ˆ β ) = se( ˆ) β Eksempel : Hvad er vores bedste bud på en 5 årig persons systoliske blodtryk? PI( x) = ( ˆ α + ˆ β x) ±.9sd Prædiktionsinterval= regressionslinie ±.9 sd Res Der er I bogen angivet en lidt anden formel der tager hensyn til usikkerheden på linien (side 9) Res
. september 5 Prædiktionsinterval (PI) for de 5 årige personer bliver således Middelblodtryk: ˆ α + ˆ β 5 = 5. sd Res =. PI(5 årige): 5. ±.9. = (.; 59.8) Det generelle prædiktionsinterval (uden hensyntagen til alder) var PI: (99.;.). PI PI(5 årig) Andel forklaret variation Prædiktionsintervallet fra regressionsanalysen er smallere end det generelle prædiktionsinterval (sd Res er mindre end sd Total ). Vi har forklaret noget af variationen i Blodtryk ved variationen i. Men hvor meget? Den relative reduktion i variationen er ( ) R = 5.5. 5.5 =. = % Vi har således forklaret % af variationen i blodtryk ved variationen i alderen. R = andel forklaret variation af den totale variation (coefficient of determination). Antagelser bag den simple lineære regressionsanalyse Den statistiske model bygger på følgende antagelser: Uafhængige par af observationer (x,y ),...,(x n,y n ). Lineær sammenhæng mellem x i og y i : y i = α + β x i + E i Variationen omkring linien, E i, er normalfordelt med middelværdi og spredning σ Res. Modelkontrol: lineær sammenhæng Variationen omkring linien afhænger ikke af den forklarende variabel x i 5 Det ser ud til, at den lineære sammenhæng er en rimelig beskrivelse! Modelkontrol: konstant variation Modelkontrol: normalfordeling Residualer - - Frekvens.... - - Residualer Residualerne kan antages at være normalfordelt! Residualerne viser symmetri omkring og konstant variation uafhængig af. 7 Antagelserne bag den lineære regressionsanalyse synes at være opfyldt! 8
. september 5 Eksempel på en ikke-lineær sammenhæng Nyrefunktion 8 Glumerular filtrationsrate (GFR) 5 5 Residualer - - - 8 (Creatinin) Cr 8 9 Residualer efter lineær regression: - mangel på symmetri / systematisk afvigelser fra. - ikke konstant variation. Cr Ln-transformation af nyrefunktion: Hypoteser omkring β ln(gfr) 5 Foregår som sædvanlig! Hvis vi f.eks. ønsker at teste Hypotese: β = (ingen sammenhæng mellem Blodtryk og ) ˆ β.5 z = = = 5.9, p <. se( ˆ) β. - -. -.5..5..5..5 ln(cr) Her er antagelserne bag regressionsanlysen opfyldt. Multipel lineær regression Effektmodifikator? Effekten af alder er beskrevet ved hældningen (fra tidligere) ˆ β =.5 /år ( CI:..9 9) Blodtryk Hældningen beskriver middelforskellen i systolisk blodtryk mellem to personer med en aldersforskel på år. Blodtrykket afhænger også af. Afhænger alderseffekten af personens? Mao. er en effektmodifikator for alderseffekten? Confounder? Hvis ikke er en effektmodifikator for alderseffekten: Er en confounder for alderseffekten? Blodtryk
. september 5 Data: Samme data fra før, nu suppleret med oplysninger. En regressionsanalyse for hver gruppe: Obs. no. 8 Syst. blodtryk 55 5 er inddelt i grupper: 5 55 8. gruppe = hvis 5 = hvis 5 < = hvis <. 5. 7.9 gruppe 5 <5 5<< < Er effekten af alderen den samme i de grupper? Strata Er en effektmodifikator? <5 5- + Estimaterne er noget usikre! Hældning.5..85 CI (-.5;.5) (.7;.8) (-.;.7) Hypotese: Samme alderseffekt i de grupper ( er ikke en effektmodifikator) Hypotesen testes vha. en multipel regressionsanalyse, p=.. Vi accepterer dermed hypotesen om den samme alderseffekt i de -grupper. En multipel regressionsanalyse med samme alderseffekt (hældning) i de -grupper: Modelkontrol: Som i den simple lineære regressionsanslyse, dog her noget mere kompliceret. Vi kan antage, at er ikke en effektmodifikator. 7 8 <5 5<< < Resultat: Estimat se CI p Intercept 7.7.8 (5.5;9.9)..8. (.7;.). 5 5< -.. (-.;5.58).95 >.7.99 (8.8;.9). sd Res. Hvordan skal vi fortolke dette resultat? Et prædiktionsinterval kan udregnes som tidligere = 7.7+.8 -. 5- +.7 + PI(5 årige, 5< ):.57 ±.9. 5 < > 5- = ellers = = ( 9. ; 5. ) + ellers 9 middel Blodtryk Eksempel : beregning af det forventede blodtryk Betragt en person med følgende data: 5- = =5 år, =7 kg/m + = Middelblodtrykket udregnes til Middelblodtryk = 7.7+.8 -. +.7 = 7.7+.85 -. +.7 =.57 5- + 5
. september 5 Betragt to personer: Eksempel 5: effekten af Person : = år, = kg/m Persen : =5 år, = kg/m Forskellen i middelblodtrykket er Middelblodtryk Middelblodtryk 5- + = ( 7.7+.8 -. +.7 ) 5- + ( 7.7.8 -..7 ) ( ) =.8 =.8 =. 8 + + 5- = + = Betragt to personer: Eksempel : effekten af Person : = år, = kg/m Persen : = år, =7 kg/m Forskellen i middelblodtrykket er Middelblodtryk Middelblodtryk = ˆ β 5-5- =. CI(Forskel): (-.; 5.58) CI(Forskel): (.7;.) = ( 7; ) Betragt to nye personer: Person : = år, =7 kg/m Persen : = år, = kg/m Forskellen i middel blodtrykket er Middel blodtryk Middel blodtryk = ˆ β ˆ β + 5- =.7 (. ) = 7. CI(Forskel) kan vi ikke udregne på basis af denne analyse. Sikkerhedsintervallet kan findes ved at lave en ny regressionsanalyse med gruppe nr. som referencegruppe. Er en confounder for alderseffekten? Fra den simple lineære regressionsanalyse fik vi β ˆCrude =.5 CI( β ): (.,. 99) /år Crude Fra den multiple lineære regressionsanalyse hvor også -gruppe indgik i modellen fik vi β Hvis β ˆAdjusted Crude =.8 CI( β ): (.7,. ) /år β Adjusted Adjusted så er en confounder. Det tyder således på, at er en confounder for alderseffekten. Multipel lineær regression - generelt Responsen (y) er en kontinuert variabel, f.eks. - blodtryk. - FEV. Den multiple lineære regressionsmodel beskriver hvordan responsen y i afhænger af forklarende variable x i,,x im via modelformlen yi = α + β xi +... + βm xim + Ei Formlen for en lineær sammenhæng! Beskriver afvigelsen fra den lineære sammenhæng. Variablen E i beskriver den tilfældige/uforklarede variation, og antages at have middelværdi og spredning σ Res. 5 Resumé Gennemgang af en regressionsmodel: Multiple lineær regression den første af tre regressionsmodeller i kurset. Denne model er kendetegnet ved et kontinuert respons, der modeleres direkte. Regresiinsmodeller kan bruges til feks prediktion undersøgelser af effektmodifikation korrektion for (mulige) konfoundere