2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a = 2,0 mm, den yderste har radius r b = 5,0 mm, den fælles længde er L = 15 cm og mellemrummet mellem skallerne er fyldt ud med et dielektrikum med dielektricitetskonstant K = 3,1. Den anden kapacitor er konstrueret af to tynde parallelle metalplader anbragt over for hinanden i en indbyrdes afstand på d = 3,0 mm. Pladerne er kvadratiske med sidelængde a = 20 cm og mellemrummet mellem dem er fyldt ud med et dielektrikum med dielektricitetskonstant K = 4,7. Der ses for begge kapacitorer bort fra randfelter. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2. I anden del af opgaven ses på en tredje kapacitor med kapacitans C 3 = 3,0 nf = 3,0 10 9 F. Denne kapacitor er oprindeligt opladet med en ladning Q = 50 µc = 5,0 10 5 C. Kapacitoren aflades gennem en modstand R = 50 kω = 5,0 10 4 Ω. (b) Hvor lang tid går der fra afladningens start til kapacitorens ladning er faldet til 1% af den oprindelige ladning? Hvor meget energi afsættes ialt i modstanden ved den fulde afladning (dvs. fra afladningens start til strømmen er døet helt ud)?
3 Opgave 2 Betragt et elektrostatisk arrangement bestående af en cylinder omgivet af en cylinderskal. Figuren ovenfor viser et tværsnit. Cylinder og cylinderskal er koaksiale, dvs. de har fælles symmetriakse. Afstanden til denne akse betegnes som sædvanligt r. Cylinderen, der er lavet af et isolerende materiale, har radius a og bærer ladningsmængden λ > 0 pr. længdeenhed langs aksen. Denne ladning er jævnt fordelt i cylinderens indre (r < a). Cylinderskallen er en perfekt elektrisk leder; den har indre radius b, ydre radius c, a < b < c, og den bærer ladningen 2λ pr. længdeenhed. Dielektricitetskonstanten K er overalt lig 1. (a) Angiv det elektriske felts værdi i området b < r < c. Benyt denne værdi til at bestemme hvordan cylinderskallens ladning er fordelt. Bestem de ladningstætheder, der hører til ladningsfordelingen i cylinderskallen. (b) Bestem størrelse og retning af det elektriske felt i hvert af områderne 0 < r < a, a < r < b og r > c.
4 Opgave 3 Betragt en kuglesymmetrisk ladningsfordeling med radius a og samlet ladning Q; ladningen er positiv, Q > 0. I afstanden r fra fordelingens centrum har ladningstætheden værdien ρ(r) = 3Q 2πa 6 r3, r < a. Ladningsfordelingen giver anledning til et elektrisk felt, der er rettet radiært ud fra fordelingens centrum, og som i afstanden r fra dette centrum har styrken E = A 1 r 4 for r < a og E = A 2 1 r 2 for r > a, hvor A 1 og A 2 er konstanter (ikke dimensionsløse). Dielektricitetskonstanten K er overalt lig med 1. (a) Eftervis udtrykkene for E ud fra oplysningerne om ladningsfordelingen, og bestem de to konstanter A 1 og A 2. Konstanterne udtrykkes ved Q, a og ɛ 0. (b) Bestem det elektriske potential V (r) overalt i rummet idet potentialet sættes til nul i det uendeligt fjerne. Redegør for potentialets opførsel i r = a og skitsér V (r) for alle r > 0.
5 Opgave 4 Betragt to parallelle uendeligt lange lige strømførende metaltråde med forsvindende tværsnit. Der indlægges et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med z-aksen parallel med de to ledere. Metaltrådene bærer den konstante strøm I, der løber i z-aksens positive retning; I > 0. Leder 1 går gennem punktet (x, y, z) = (a, 0, 0), Leder 2 går gennem punktet (x, y, z) = ( a, 0, 0). Konstanten a er en længde; a > 0. (a) Bestem det magnetfelt (størrelse og retning), som de to strømførende ledere giver anledning til i følgende to punkter: A: (x, y, z) = ( 1 a, 0, 0), 2 B: (x, y, z) = (0, 2a, 11a). Opgave 5 En uendelig lang cylindersymmetrisk strømfordeling med strømtæthed J parallel med cylinderaksen giver anledning til et magnetfelt, der i afstanden r 1 = 1,0 mm fra cylinderaksen har styrken 0,0025 T, mens styrken i afstanden r 2 = 3,0 mm fra cylinderaksen er 0,0014 T. For r < r 1 er strømtætheden uafhængig af afstanden r til cylinderaksen. (a) Bestem den samlede strøm I, der løber i området r < r 2, samt strømtætheden J for r < r 1.
6 Opgave 6 En lille stiv cirkulær strømkreds med radius a er placeret ud for enden af en meget lang cylinderformet solenoide. Solenoiden har n vindinger pr. længdeenhed, radius R og der løber den konstante strøm I > 0 gennem hver af dens vindinger. Der er indlagt en z-akse langs solenoidens symmetriakse, og den er orienteret således, at strømmen i solenoiden danner en højreskrue om z-aksen. Aksens nulpunkt er anbragt ved solenoidens ende. Den cirkulære strømkreds har sit centrum på z-aksen, i afstanden z fra solenoidens ende, og den er anbragt i en plan vinkelret på z-aksen. Strømkredsen bevæger sig ud langs z-aksen med den konstante hastighed v > 0 således at afstanden fra dens centrum til solenoidens ende til tiden t har værdien z = vt. Positiv omløbsretning i den lille kreds vælges at svare til en højreskrue om z- aksen. (a) Argumentér med udgangspunkt i Lenz lov for retningen af den strøm, som induceres i den lille strømkreds på grund af dens bevægelse. Solenoiden giver anledning til en magnetisk flux gennem den cirkulære strømkreds på Φ B = πa 2 µ 0 ni 1 ( ) z 1. 2 z2 + R 2 (b) Bestem den elektromotoriske kraft, der induceres i den cirkulære strømkreds som følge af dens bevægelse. Der ses bort fra selvinduktion. Passer fortegnet med svaret i spg. (a)? Der vil virke en kraft på den lille cirkulære kreds, når der løber en strøm i den. (c) Argumentér for retningen af denne kraft.