Resonans 'modes' på en streng

Transkript

1 Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3. Forsøgsopstilling 4. Udførelse 4.1 Overtoner 4.2 Ændring af længde 4.3 Ændring af tension 4.4 Ændring af vægtfylde 5. Fejlkilder 6. Konklusion Bemærk! Vi har ikke angivet usikkerheder overfor Gnuplot, hvilket betyder, at de angivne værdier for ß 2 fra Gnuplot skal tages med et gran salt. red 1. Formål 2. Teori Formålet med øvelsen er at undersøge de fysiske egenskaber ved en elektrisk guitar. Eller mere præcist: hvad der fysisk sker, når en guitarist knipser på en streng. Vi vil undersøge resonans, samt hvordan randbetingelser for et system med bølger, der bevæger sig, kan føre til resonans i form af stående bølger. En guitar har strenge, der er spændt op. Vi vil kigge på sådan en stram streng af metal. Der er knudepunkter for enderne af strengen. Når man slår strengen an, vil der ske det, at bølger sendes mod hver ende af strengen. Når bølgerne når enderne, bliver de reflekteret, bevæger sig mod den anden ende, reflekteres igen og så fremdeles. I teorien bliver resultatet, at der opstår stående bølger på strengen. Hastigheden af en bølge er givet af længden af strengen og den fundamentale frekvens gennem sammenhængen: v = Õ Á Her er bølgelængden, Õ, for den fundamentale frekvens det dobbelte af længden af strengen. Fundamentalfrekvensen kaldes grundtonen. Overtoner opnås ved et helt antal gange den fundamentale frekvens. Hastigheden bestemmes direkte af tension, T, af strengen samt den lineære massefylde, Ö, gennem sammenhængen: v = s T Ö, hvor T måles i Newton, N Ø kg Á m Á s À2, og Ö måles i kg Á m À1.

2 Det er vores mål at verificere denne formel. 3. Forsøgsopstilling Vi brugte et såkaldt Sonometer. Det består af en streng spændt ud mellem to broer vha. et lod. Længden af den svingende del af strengen kunne varieres ved at ændre afstanden mellem de to broer. Vi anslog både strengen med fingrene og med en driver, som vi kunne indstille til en bestemt frekvens. Vi forbandt inputsignalet til kanal A på PicoScope og brugte en detektor til at måle på strengen. Detektoren var forbundet til kanal B på PicoScope. Teori for driver og detektor er beskrevet uddybende på side 2-3 i vejledningen, så det vil vi ikke komme nærmere ind på. Det samme kan vi sige om de nærmere detaljer omkring udstyret/forsøgsopstillingen (beskrevet på side 2 i vejledningen). Vi havde et udvalg af strenge med forskellig tykkelse til rådighed, og vi brugte den tykkeste (og tungeste) streng først samt et lod med massen 1 kg. Vi sørgede for, at ophænget til loddet var vandret, og vi placerede loddet i yderste position, så vi opnåede den største snorspænding på strengen (også kaldet tension). Ved hver inputfrekvens forsøgte vi at forudsige, hvor vi bedst ville kunne anslå strengen, og placerede derfor driveren her. Det er det sted, hvor udsvinget er størst af strengen. Detektoren placerede vi så min. 10 cm fra driveren, og igen gerne ved et sted, hvor der er stor udsving af strengen, altså imellem de såkaldte knudepunkter. Dvs. ved en bug, som så var midt på strengen for lige antal knudepunkter og ikke i midten for ulige antal knudepunkter. Afstanden på 10 cm skyldes, at driveren dermed ikke så nemt kan påvirke detektoren, da der ellers kan opstå interferens. 4. Udførelse Inden vi skulle måle hver resonansfrekvens, slog vi først strengen an med fingeren og målte dens frekvens med PicoScope. Dermed vidste vi, hvilken inputfrekvens vi ca. skulle vælge. Vi ønsker at eftervise, at hastigheden af bølgeudbredelsen afhænger af tension og den lineære massefylde, som beskrevet i teorien. 4.1 Overtoner Først udførte vi en serie målinger, hvor vi kun ændrede på inputfrekvensen, og dermed fandt forskellige overtoner. Det lykkedes os een gang at måle en overtone uden at ændre på frekvensen. Dette gjorde vi ved hurtigt at skrue op og ned for amplituden, og dermed påvirke strengen til at svinge betydeligt med første overtone. Dette er datasæt 1o. Flg. tabel viser vores måledata: Datasæt L [mm] Position Driver [mm] Detektor [mm] (2Ù)! in[hz] (2Ù)! out[hz] o , ,5 312, Position angiver, hvor vægten var placeret på vægtstangen. 5 angiver den yderste position, hvor trækket i strengen (tension) er størst. Driver angiver position af driveren i mm fra den ene ende. 250 mm er altså lige i midten, da længden er 500 mm. Detektor angiver position af detektoren i mm fra den ene ende. (2Ù)! angiver frekvensen, driveren leverer. in

3 in (2Ù)! out angiver frekvensen, detektoren måler. Flg. skærmdump viser signalerne for datasæt 1, som de så ud i PicoScope: Flg. er for datasæt 1o. Det bemærkes, at der er dobbelt så mange røde output bølger pr. blå input bølge i forhold til datasæt 1. Dette er overtonen, vi frempovokerede ved at skrue hurtigt op og ned for input signalet. De næste 3 skærmdumps er for de 3 sidste datasæt for denne del af øvelsen. De er alle overtoner, som fremkom, når vi ændrede frekvensen af inputsignalet:

4 Vi konstruerede et program, der kunne finde de steder i dataene, hvor kurverne passerer nul. Ved at tage gennemsnittet af tiden mellem sådan to passager af nul og gange resultatet med 2, fandt vi de tilhørende perioder, der er et udtryk for bølgelængden. Flg. tabel viser de beregnede perioder hørende til datasæt 1-4: Datasæt Periode input [ms] Periode output [ms] Det bemærkes, at der er en faktor 2 til forskel mellem perioderne, sådan at inputperioden er dobbelt så lang som outputperioden. Det skyldes, at hver gang der er spænding på inputtet, tiltrækkes strengen af det opbyggede magnetfelt i driveren, og det uanset om strømmen løber den ene eller anden vej, hvilket skaber hhv. en magnetisk nord- eller sydpol. Efter strengen sådan har været tiltrukket, svingen den først væk fra driveren og derefter tilbage. Først her er der max spænding over driveren, nu med modsat fortegn, og der skabes et magnetfelt og tiltrækning af strengen. Strengen når altså at svinge en hel bølgelængde, hvor inputsignalet kun svinger en halv. Derfor en faktor 2. Flg. graf viser perioderne for input og output plottet mod hinanden:

5 gnuplot angav flg. præcision for fittet: Det ses, at der er en lineær sammenhæng, hvilket man kan forvente, sådan som disse 4 datasæt blev dannet. Hastigheden af bølgerne findes efter flg. formel: Bølgelængden for grundtonen er det dobbelte af strengens længde, dvs. 1 m. For 1. overtone er det strengens længde, fordi der nu er en knude midt på strengen. For 2. overtone er bølgelængden 2=3 af strengens længde og for 3. overtone 1=2 af strengens længde. Frekvensen findes ved at tage den reciprokke værdi af perioden. Flg. tabel viser disse beregnede hastigheder for datasæt 1-4: Datasæt Hastighed [m=s] Hvilket giver en hastighed på 162 m=s med under 1% afvigelse. 4.2 Ændring af længde Vi ændrede længden af strengen ved at flytte på broerne og kunne dermed påvirke bølgelængden af grundtonen og følgelig overtonerne. Bølgelængden af grundtonen er det dobbelte af længden af strengen, og den står derfor og svinger i grundtonen med bugen i midten og et knudepunkt ved hver ende af strengen. Ved hver længde fandt vi grundtonen. WSSR=ndf : 0: v = Õ Á Datasæt L [mm] Position Driver [mm] Detektor [mm] (2Ù)! in[hz] (2Ù)! out[hz]

6 , Flg. fire skærmdumps viser signalerne i PicoScope for datasæt 8, 5, 6 og 7. Datasæt 1 er det samme som i første del af øvelsen:

7 Flg. tabel viser de beregnede perioder: Datasæt Periode input [ms] Periode output [ms] Flg. graf viser output perioden som funktion af længden af strengen: gnuplot angav flg. præcision for fittet: Igen er der en lineær sammenhæng. 4.3 Ændring af tension WSSR=ndf : 0: Her foretog vi en måleserie med samme streng og 5 forskellige tensioner, som vi opnåede ved at flytte loddet på armen. Dvs. længden af strengen og dens lineære massefylde holdes konstant. Vi knipsede på strengen med en finger, så der er ingen inputfrekvens.

8 Datasæt L [mm] Position Driver [mm] Detektor [mm] (2Ù)! out[hz] Det forventes, at der er flg. sammenhæng mellem hastigheden af en bølge og tension: v = Da massefylden af strengen holdes konstant, skal det altså gælde: p v = k Á T, hvor k er en konstant. Samtidig er der flg. sammenhæng mellem hastigheden, bølgelængden og frekvensen:, hvor bølgelængden er det dobbelte af L, da det er grundtonen, vi arbejder med: Da bølgelængden holdes konstant, er der flg. sammenhæng mellem frekvensen og tension, når bølgelængden holdes konstant: s T Ö v = Õ Á Õ = 2 L = 1000 mm, p = k Á T k = p T, hvor k er en ny konstant. Hvis vi benytter den fundne hastighed fra første del af forsøget, nemlig v = 162 m=s, og vi har en bølgelængde på 1 m, så vil vi forvente flg. værdi for k for datasæt 9: Flg. tabel viser den beregnede værdi for k for hvert datasæt: Datasæt p k [Hz= pos ] (Vi har brugt positionen som værdi for T.) 162 m=s kteori = 2:4 Hz= 1 m Á p p Ù 7 pos 5 De fundne værdier for k ligger altså tæt på den teoretiske. Flg. plot viser k som funktion af positionen af vægten:

9 gnuplot angav flg. præcision for fittet: WSSR=ndf : 0:017 Gennemsnittet bliver: Man ser, der er ca. 1% afvigelse på resultatet. Det er et fint resultat, som viser, at hastigheden afhænger af tension som forudsagt i teorien. Dog ser det ud til, at der er en periodisk fejl, da værdien for k er jævnt stigende. Den skulle være konstant. 4.4 Ændring af vægtfylde p hki = 72:6 Hz= pos I denne del af forsøget ændredes den lineære vægtfylde, Ö, ved at skifte selve strengen. Følgende er et dataset for forsøget: Datasæt L [mm] Position Driver [mm] Detektor [mm] (2Ù)! out[hz] Tykkelse [mm] Tykkelse angiver tykkelsen af strengen (diameter). Det forventes, at der er flg. sammenhæng mellem diameteren og vægtfylden af en streng:, Ö = k 1 Á d 2 d Á k 2 = p Ö, hvor k 1; k 2 er konstanter. Det er fordi massefylden vokser med volumen, og volumen vokser med kvadratet på radius. Altså må der være flg. sammenhæng mellem frekvensen og massefylden, når tension holdes konstant: k

10 = k p Ö, som fører til flg. sammenhæng mellem frekvensen og tykkelsen (diameter): k = d, k = Á d, hvor k er en ny konstant. Hvis vi benytter den fundne hastighed fra første del af forsøget, nemlig v = 162 m=s, og vi har en bølgelængde på 1 m, så vil vi forvente flg. værdi for k for datasæt 9: Flg. tabel viser den beregnede værdi for k for hvert datasæt: Datasæt k [Hz Á mm] De fundne værdier for k ligger altså tæt på den teoretiske. Flg. plot viser k som funktion af diameter: 162 m=s k teori = Á 0 :55 mm Ù 8 9:1 Hz Á m m 1 m gnuplot angav flg. præcision for fittet: Gennemsnittet bliver: Man ser, der ca. er 2% afvigelse på resultatet. WSSR=ndf : 1:58123 hki = 89:7 Hz Á mm Det er et meget fint resultat, som pænt viser sammenhængen som forudsagt i teorien.

11 5. Fejlkilder Vi havde ikke altid driveren og detektoren min. 10 cm fra hinanden. Ved den mindste afstand mellem broerne var der simpelthen ikke plads. Dette kan være årsag til interferens. Vi antog, at vægten af loddet var som opgivet. Så der kan være tale om en systematisk fejl her, da vi ikke checkede dette. Desuden var der en usikkerhed forbundet med vores øjemål for at få ophænget til at være lige, så vi havde fuld belastning fra loddet. 6. Konklusion Vi har fået en god forståelse for stående bølger ved disse eksperimenter. Vores måledata var tilstrækkelig præcise til, at den teoretiske sammenhæng mellem bølgers hastighed i en streng, tension og lineær massefylde kunne verificeres. NicomDoc - 4-Jan niclasen@fys.ku.dk