Der skal billeder på matematikken

PULSnr. 124718 Der skal billeder på matematikken Et udviklingsarbejde Michael Wahl Andersen Lone Kathrine Petersen

Indholdsfortegnelse Forord... 3 Indledning... 4 Baggrund for udviklingsarbejdet... 4 Udviklingsarbejdets placering... 5 Teoretisk forståelsesramme... 6 Sprog... 6 Arbejdshukommelsen... 6 Dual kodning... 7 Projektets metodiske tilgang... 9 Etableringsfasen... 9 Undervisningsforløb... 10 Elementerne i forløbet... 10 ALP-test... 10 Vi anmelder vores matematikbog... 11 Relationer mellem repræsentationer... 12 Relationer og relationskort... 14 Division og repræsentationskort... 15 At læse i matematikbogen... 20 Fabrikation af en side til en matematikbog... 23 Evaluering af forløbet... 27 Konklusion... 37 Perspektivering... 37 Litteratur... 39 Denne rapport er udarbejdet af lektor, cand. pæd. psyk. Michael Wahl Andersen mwa@ucc.dk Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 2

Forord Dette udviklingsarbejde er kommet i stand med tilskud fra Undervisningsministeriet, Afdelingen for grundskole og folkeoplysning. Udviklingsarbejdet er foregået dels på Engskolen i Herlev, dels på Strandgårdsskolen i Ishøj. Det er resultaterne af arbejdet på Strandgårdsskolen, der formidles i denne rapport. En tak til lærere og elever fra Engskolen for deres bidrag til dette udviklingsarbejde. En særlig tak til lærer Niels Olesen og eleverne fra Strandgårdsskolen for deres bidrag til dette udviklingsarbejde. Boganmeldelse fra to elever i 8. klasse Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 3

Indledning Baggrund for udviklingsarbejdet Tosprogede elever klarer sig i gennemsnit ringere i folkeskolen end etnisk danske elever. Ifølge OECD s PISA-undersøgelse fra 2003 og den særlige københavner-pisa, der undersøger københavnske skoler særskilt, er der en betydelig sammenhæng mellem elevernes testresultater og deres etniske baggrund. En mere dybdegående analyse af testresultaterne peger på, at socioøkonomiske forskelle kun kan forklare omkring 50 % af forskellen på tosprogedes og etnisk danske elevers præstationer. Den resterende forskel indikerer, at tosprogede elever generelt har sværere betingelser i undervisningen, fx sproglige og kulturelle, end etnisk danske elever. Rönnberg og Rönnberg (2001) problematiserer opdelingen af matematiklæring og sproglæring. De argumenterer for, at undervisningen i matematik stiller store krav til elevernes sprogbeherskelse. Da sproget har en væsentlig indflydelse på udvikling af elevernes tænkning også i matematik er det en indlysende fordel, at eleverne får mulighed for at anvende det sprog, de behersker i matematik. Savignon (1997) argumenterer for, at begrebsdannelsen udvikles ved, at man kobler ny viden til allerede eksisterende viden. De kognitive strukturer, der opbygges, relaterer sig med andre ord til de lingvistiske input eleven modtager og med elevens allerede eksisterende viden på første og andet sproget. For at kunne tilrettelægge et undervisningstilbud, der inddrager ovenstående problemstillinger, kan lærerne fx tilrettelægge undervisningen i matematik således, at den sproglige dimension styrkes, tilgodeser alle elever, og i særlig grad være opmærksom på at tosprogede elever får mulighed for at deltage aktivt i undervisningen, eller give læreren redskaber til at afgøre, hvilke forhold der påvirker kvaliteten af elevernes tilegnelse af viden og kunnen i matematik. Faldgruppen i denne sammenhæng er, at læreren forsøger at undgå den sproglige dimension for at tilgodese de tosprogede elever; ved kun at stille opgaver uden tekst. Udgangspunktet for dette udviklingsarbejde er at prøve at koble verbalt og nonverbalt sprog til faglig læsning matematik. Nanci Bell and Kimberly Tuley (2003) argumenterer for, at evnen til at skabe mentale billeder (nonverbalt sprog) for matematiske begreber er direkte koblet til succes i matematisk tænkning og informationsbearbejdning. Men fordi nogle børn, ikke har de forudsætninger, der skal for at skabe mentale billeder, bliver de ofte misforstået i retning af ikke at forsøge, være glemsomme og ukoncentrerede eller ligefrem at have dyskalkuli. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 4

I udviklingsarbejdet har der derfor været fokus på det verbale og det nonverbale sprogs muligheder i forbindelse med læring i matematik. Det teoretiske grundlag bygger på teorien om dual kodning. Matematik er her forstået som en kognitiv aktivitet, der fordrer det Paivio (2006) kalder for dual kodning (dual coding). Ifølge denne forståelse består tænkning af et verbalt og et nonverbalt afkodningssystem. Damasio (2001) argumenterer for, at vi altid tænker i billeder. De fleste af de ord, vi anvender i vores indre tale, eksisterer som billeder i vores bevidsthed. Hvis de ikke blev til om end aldrig så flygtige billeder, ville det ikke være noget, man kunne vide. Paivio skriver, at den mentale billeddannelse er fundamental for tænkning omkring tal. Fx bliver ordet (det verbale system) "kvart" meningsløst, hvis det ikke knyttes til det referentielle billede (det nonverbale system)"¼". Udviklingsarbejdets placering Udviklingsarbejdet er foregået på strandgårdsskolen i Ishøj. Skolen er en heldagsskole, der har elever i almen-klasser fra bh. -9. klassetrin i 2 spor. Derudover er der gruppeordninger fra 1. til 10. klassetrin. Skolens obligatoriske undervisning er fra 8.10 til 15.35 for 0. til 6. årgang. 7.-9. årgang har normalt skema og tilbydes lektiecafé på skolens læringscenter fra kl. 14.05 til 15.35 mandag til torsdag. Før og efter undervisningen er der en skolefritidsordning for indmeldte elever fra 6.00 til 8 og fra 15.35 til 17. Den praktiske udførsel af udviklingsarbejdet er foregået på 8. årgang i juni/juli måned 2010. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 5

Teoretisk forståelsesramme Udviklingsarbejdets teoretiske baggrund bygger på såvel klassisk teori om sprog (Vygotsky, 1971) såvel som nyere teori om arbejdshukommelsens opbygning og funktion, der blev beskrevet først gang af Baddely i 1972 (Baddely, 1974), samt teori om dual kodning, der handler om, hvordan mennesker koder information, hvilket er beskrevet af Paivio (2006). Sprog I leg og i andre aktiviteter benytter børn sig af bevægelser og gestik som udtryksformer. Vygotsky ser dette sprog på linje med det verbale sprog, når det gælder begrebsdannelse. Han hævder, at børns billedskabende aktiviteter er en videreførelse af gestikulationer, - stivnede gestikulationer (citeret efter Høines, 1998s. 114). Høines argumenterer videre for, at mange af de udviklingsmønstre, der findes i børns verbale sprog, er at finde i deres billeder. Børn udvikler sig gennem illustrationer forstået som sproglig aktivitet. Børns billedskabende aktiviteter udvikler sig og bliver mere og mere kommunikative. Billederne afslører et budskab, og det er vigtigt, at både modtager og afsender opfatter/tolker dette budskab. Konkrete billeder bliver på den måde et middel til at fastholde tænkning og et middel til at kommunikere et meningshold, der kan forstås som mentale billeder (Høines ibid.). Arbejdshukommelsen Arbejdshukommelsen er den aktive proces, der opstår, når vi tænker os om, når vi overvejer, repeterer, fordyber os, stiller spørgsmål og i det hele taget tager vort kognitive arsenal i brug. En vigtig pointe i denne definition er, at arbejdshukommelsen er dynamisk og opstår i situationen. Arbejdshukommelsen er relateret til den situation abstrakt som konkret der arbejdes med i et givent øjeblik. Arbejdshukommelse eller den arbejdende hukommelse" betegner evnen til aktivt at fastholde de oplysninger, der er nødvendige for at udføre komplekse opgaver som fx ræsonnement, forståelse og læring. Arbejdshukommelsen fungerer som et mentalt arbejdsrum, som man kan anvende i forbindelse med komplekse kognitive operationer. Ifølge Gathercole og Alloway (2009) er hovedregning fx et godt eksempel på en aktivitet, der kræver arbejdshukommelse. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 6

Situation: Læreren siger: 43 + 67 1. De to tal skal findes frem fra langtidshukommelsen og lagres i arbejdshukommelsen 2. For at kunne udføre additionen er man nødt til at hente additionsreglerne i langtidshukommelsen 3. Man skal nu anvende reglerne for addition af tocifrede tal med tierovergang. 4. Delresultaterne skal holde i arbejdshukommelsen, mens man regner videre 5. Til slut lægges delresultaterne sammen for at få det endelige resultat. 6. Resultatet siges eller skrives Denne proces stiller store krav til arbejdshukommelsen. Arbejdshukommelsen er en forudsætning for at foretage denne form for kompleks mental aktivitet uden at have hjælpemidler. Arbejdshukommelsen gør eleverne i stand til at planlægge og kontrollere deres aktiviteter. Eleverne kan altså fastholde og bruge en information - ud over den konkrete situation - hvor den er givet eller oplevet, samt relatere informationen til tidligere opnået viden og erfaringer. Arbejdshukommelsen er med andre ord en forudsætning for abstrakt tænkning og derfor essentiel for læring i matematik. Dual kodning Hjernen koder information via den fonologiske sløjfe og det visuospatiale tegnebræt. Matematik er med andre ord en kognitiv aktivitet, der fordrer det Paivio (2006) kalder for dual kodning (dual coding). Ifølge denne forståelse består tænkning af et verbalt og et nonverbalt afkodningssystem. Damasio (2001) argumenterer for, at vi altid tænker i billeder. De fleste af de ord, vi anvender i vores indre tale, eksisterer som billeder i vores bevidsthed. Hvis de ikke blev til om end aldrig så flygtige billeder, ville det ikke være noget, man kunne vide. Paivio skriver, at den mentale billeddannelse er fundamental for tænkning om tal. Relationen mellem indre og ydre repræsentationer ved dual kodning Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 7

Model af teorien om dual kodning, Andersen (2009) efter Paivio(2006) Som det ses af ovenstående figur, består dual kodning altså af to systemer; et verbalt sprogsystem og et nonverbalt billedsystem. Dette er grundlaget for abstrakt tænkning. Tænkningen kan komme til udtryk gennem verbalt sprog og gennem nonverbal illustration. De dobbelte pile antyder muligheden af, at man ud fra elevernes responser kan danne en forståelse af deres tænkning. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 8

Projektets metodiske tilgang I denne interventionsbaserede undersøgelse inddrages aktiviteter i 8. klasse både som udtryk for undervisningens indhold og for elevernes læring i relation til begrebsudvikling og strategiudvikling. Etableringsfasen Der er tale om et interventionsbaseret udviklingsarbejde med på forhånd fastlagte interventioner. Interventioner ALP test Vi anmelder vores matematikbog Relationer mellem repræsentationer Relationer og relationskort Division og repræsentationskort At læse i matematikbogen Fabrikation af en side til en matematikbog Lærernes målformulering: Formålet med udviklingsarbejdet i 8. klasse er delt op i to faser: Del 1 Vi vurderer, at tosprogede elever i højere grad end etnisk danske elever, har svært ved at skabe relationer mellem de repræsentationsformer, der forekommer i matematikken, ligesom de har vanskeligt ved at danne mentale billeder. Da det ligeledes vurderes, at disse elementer er af afgørende betydning for tilegnelsen af matematiske kompetencer, er formålet med projektets første del at afprøve og udvikle strategier, der i højere grad end nu giver de tosprogede elever mulighed for at tilegne sig matematiske kompetencer. Del 2 Den anden fase af projektet handler om at give eleverne mulighed for at tilegne sig strategier til læsning af tekster i matematik, hvor første del af projektet er tænkt som en understøttelse af dette arbejde. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 9

Undervisningsforløb Startdato 3. juni Slutdato 23.juni Tidsforbrug: 20 lektioner, svarende til 5 ugers matematikundervisning. Elementerne i forløbet ALP-test Denne test, der er udviklet af Gudrun Malmer, fungerede som præ-test og post-test for udviklingsarbejdet. Tove Tobisen beskriver ALP-testen som en screeningstest, der afdækker færdigheder i afkodning, læseforståelse, matematiske grundbegreber og matematisk-logisk tænkning. Den er udviklet af Gudrun Malmer, der har været lektor på Lärarhögskolan i Malmö. Hun har mange års erfaringer med undervisning af elever med matematikvanskeligheder, og hun har skrevet en række bøger og artikler om emnet (se litteraturlisten). Testen består af 8 opgavesæt med hver 10 opgaver af stigende sværhedsgrad. ALP 1-5 kan bruges fra de første klassetrin til 7. klasse. ALP 6-8 kan anvendes fra 6.-8. klasse og til voksne. Testen er ikke standardiseret, og lærerne opfordres til at vurdere opgaverne ud fra elevernes aktuelle færdigheder. Til opgaverne stilles spørgsmål på tre niveauer. A. Afkodning af ord B. Fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer. C. Logiske slutninger og sammensatte regneoperationer. Opdelingen i simple og sammensatte regneoperationer kan defineres ved, at den simple regneoperation, B- opgaverne, involverer forholdet mellem to talstørrelser, mens komplekse regneoperationer, C-opgaverne, vil kræve udregninger i flere trin. De logiske slutninger afgør, hvor elegant eller kreativt man klarer en kompleks udregning. Gudrun Malmer anbefaler, at eleven har mulighed for at tegne eller skitsere problemstillingen og eventuelt lave udregninger, som en hjælp til at løse opgaverne. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 10

Vi anmelder vores matematikbog En boganmeldelse forstås i denne sammenhæng som en analyse af matematikbogen, hvor eleverne har skullet forholde sig til bogens form og indhold, så de blev klogere på og mere bevidste om, hvordan deres bog er bygget op. Den overordnede hensigt er, at eleverne bliver opmærksomme på, hvad der er nemt, og hvad der er svært ved deres matematikbog. Boganmeldelse fra en elev i 8. klasse Lærerrefleksioner: Vi startede med en mundtlig introduktion. De har arbejdet med bogen før, men de gav op. Det var derfor relativt nemt at klargøre målet for eleverne at de skulle blive bedre til at læse i deres matematikbog Eleverne startede med at lave en boganmeldelse af deres matematikbog. Hensigten med dette var, at eleverne skulle forholde sig bevidst til indholdet og bogens genre. Uddrag af anmeldelserne følger herunder. Matematikbogen er meget stor, hvor der på forsiden er nogle forskellige billeder og navnet på bogen. På bagsiden står der hvor bogen er trykt og diverse ting. Selve bogen består af en masse tekst og illustrationer, der indeholder forskellige opgaver. Bogen indeholder mange forskellige emner og hver emne står øverst på siderne. Bogen kan være svær at forstå, da der er en masse svære tekster til opgaverne. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 11

Denne her matematikbog har et indhold. Der er store tegninger på hver opgave det er en grundbog. Jeg synes bogen er svær fordi ordene er svære. Teksten er meget svær og der er meget mere tekst end illustrationer --- der er næsten ikke nogen regnestykker. Det er en stor bog når man tænker på hvor meget vi har arbejdet med før. I selve bogen er der meget tekst, der er mange opgaver i den, bogen er svær at læse, ordene er sat op på en anden måde Der er meget tekst, der står meget. De giver mange eksempler på alle opgaverne. Bogen virker meget stor og tung. Sproget er lidt uforståeligt i forhold til vores sprog dansk. Der er mange svære ord synes jeg, som jeg ikke kan forstå, Der er mange opgaver. Der er nogle gode billeder. Sproget kunne være lidt mere forståeligt. Der er meget tekst i bogen og derfor kan den være svær for nogle. Der er mange sider i bogen, men den har mange billeder. Den passer ellers fint til en ottende klasses elev. Bogen virker stor, og derfor ser det ud til at det er en svær bog. Sproget er svært men forståeligt. Billederne gør opgaverne nemmere at forstå. Jeg synes den er god at bruge. Der er orden i bogen, men nogen gange kan det godt være forvirrende. Jeg synes den er svær for mig og den er også stor, så man ikke forstår meget. Den har mange ord som jeg ikke kender. Den er stor, og den er lidt svært. Der er også tekster, det er godt. Men jeg synes bogen er rigtig god fordi der er mange regninger. Relationer mellem repræsentationer For at kunne tilegne sig kompetence i matematik, skal eleverne have mulighed for at opbygge relationer mellem forskellige repræsentationsformer (Eriksen, 2000). Eriksen argumenterer for, at det ikke er repræsentationsformerne i sig selv, der er i fokus, men snarere relationerne mellem forskellige repræsentationsformer, der gør det muligt for eleverne at danne robuste begreber i matematik. Det er med andre ord fx ikke nok kun at arbejde med konkrete materialer. Det konkret udgangspunkt kan være fint, men det er vigtigt at være opmærksom på, at konkrete materialer har sin tid. Arbejdet med de forskellige matematiske repræsentationsformer skal resultere i en styrkelse af de mentale billeder, hvis det skal blive muligt at tænke matematik. Emanuelsons model (1995) kan læses sådan, at det er variationen i repræsentationsformerne, der internaliseres og muliggør dannelsen af mentale billeder, der lagres som begreber. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 12

Transformationer mellem forskellige repræsentationsformer. Bearbejdning efter Emanuelsson (1995) Matematiklæring er en proces, hvor målet er indsigt i symbolske strukturer og relationer. Denne indsigt skabes dog ikke ved blot og bar træning af matematiske symboler. Man skal kunne sætte ord på matematik, knytte matematikken til hverdagssituation, knytte matematikken til konkrete repræsentationer samt generalisere matematikken gennem skriftlige symboler. Disse forskellige forestillinger om matematik, gør det muligt at skabe konkrete og mentale billeder på matematikken, der i sidste ende muliggør matematisk tænkning. Hvordan de forskellige repræsentationer kommer i spil, beror på elevernes forudsætninger, begrebernes beskaffenhed og konteksten. Nyere forskning (Sterner og Lundberg, 2002) understreger vigtigheden af, at eleverne får mulighed for at tilegne sig forskellige repræsentationer som led i deres matematiklæring. Repræsentationerne fungerer som medierende led fra det konkrete arbejde med matematik til dannelsen af abstrakte matematiske begreber. Det er gennem tilknytningen af forskellige repræsentationer til de matematiske begreber, at det for eksempel bliver muligt at håndtere problemer i matematik. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 13

Sproget det indre som det ydre er væsentlige elementer i trianguleringen af erfaringer, repræsentationer og begreber ved tilegnelsen af funktionelle matematiske kompetencer. Relationer og relationskort Eleverne blev i første omgang introduceret til hverdagsbegrebet relation, forstået som at relation er en bestemmelse af noget i forhold til noget andet. Lærerne havde udarbejdet en række kort med billeder og symboler, som eleverne skulle parre. Der var tale om relationer fra hverdagen samt fra fysik og matematik, som eleverne kendte til i forvejen. Relationskortene så således ud. Eleverne parrede kortene og begrundede deres indbyrdes relationer. Lærerrefleksioner: Ordet relation blev præsenteret. Herefter arbejdede eleverne i makkerpar om sætninger der indeholdt relationer. Det kunne for eksempel være at et bord og en stol står i relation til hinanden. Drenge og piger kan stå i relation til hinanden hvilket forårsagede en del fnisen rundt om i hjørnerne men ellers en god snak. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 14

Herefter blev relationsbrikkerne præsenteret. Eleverne fik at vide, at tekst tegning, billeder, formler parvist stod i relation til hinanden. Dette gav anledning til gode overvejelse. Fx var eleverne hurtige med relationen mellem fodbold og Sydafrika. En overvejelse om at en fodbold og rumgeometri også er en relation blev diskuteret og ja en nye fodbold er jo faktisk en kugle. Mange elever fik gode oplevelser ved selv, eller i samarbejde med en makker, at opdage, at et vinkeljern er et eksempel på en geometrisk figur, at en refleks også er det.. Division og repræsentationskort Division som begreb Eleverne i skolen møder begrebet division med udgangspunkt i at dele lige i konkrete situationer. Der findes to tilgange til begrebet division i forbindelse med løsningen af praktiske problemstillinger, der indeholder division. Man kalder disse kategorier for henholdsvis målings- og delingsdivision. Ved delingsdivision ved man, hvor mange delmængder der er man kender divisor. Vi har 36 boller, som Kristian og Laila skal dele mellem sig. Hvor mange boller får hver? Ved målingsdivision angiver divisor, hvor meget der skal være i hver delmængde. Det, man søger svar på, er, hvor mange delmængder bliver der. Hvor langt rækker det til? Vi har 36 boller. Der skal to boller i hver pose. Hvor mange poser skal der til? Relationen mellem multiplikation og division kan illustreres på følgende måde: 36 : 2 som delingsdivision kan opgaven løses som 2. x = 36 (2 gange har jeg 18 boller.) 36 : 2 som målingsdivision kan opgaven opfattes som x. 2 = 36 (18 gange har jeg 2 boller) Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 15

Målings- og delingsdivision Som det fremgår af figuren ovenover, bliver forskellen mellem målings- og delingsdivision først for alvor tydelig, når den underbygges af illustrationen. At forstå regnearterne er en proces. I undervisningen er det centralt, at eleverne udvikler deres evner til at genkende forskellige situationer og repræsentationsformer. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 16

Lærerrefleksioner: Dette var svært, men eleverne gik til opgaven. Eleverne laver tegninger af de to opgavetyper. Det gik godt med at lave de to typer af divisionshistorier. Men det er meget svært, og jeg oplevede, at jeg selv kom i vildrede i nogle situationer. Herunder følger to eleveksempler. Elevernes egne repræsentationskort for division Hensigten med undervisningssekvensen var, at eleverne tilegnede sig kompetencer i division som henholdsvis delings- og målingsdivision. relationerne mellem de forskellige repræsentationsformer. relationen mellem sprog, billeder og symboler. anvendelsen af delings og målingsdivision til at løse problemer i konkrete situationer. relationen mellem delings- og målingsdivision - at divisors rolle er forskellig. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 17

at behandle begge typer division som omvendt multiplikation det er den samme talmæssige operation. at læse tekstopgaver og danne mentale billeder på det læste. Et sæt kort består af ti individuelle kort: En fortælling med tal Et skriftligt svar Et resultat En billede repræsentation Et abstrakt billede Tallinjehop Fortløben subtraktion Multiplikation (omvendt division) Et brøktal En divisionsopstilling I undervisningssekvensen arbejdede eleverne med repræsentationskort for målings- og delingsdivision. De vedhæftede kort til repræsentationskortene blev lagt i hver deres bunke. Eleverne fik hver en plads på væggen, der var delt i to søjler. En søjle for delingsdivision og en søjle til målingsdivision. Eleverne skulle så tage et kort fra hver bunke og diskutere om kortet skulle placeres som henholdsvis målings- og delingsdivision. Relationerne mellem de forskellige repræsentationer blev diskuteret, samtidig med at leverne overvejede og grupperede de forskellige korts indhold. Repræsentationer var: Det konkrete billede, det abstrakte billede, tallinjehoppet, brøktallet, fortløben subtraktion, multiplikationsstykket, divisionsstykket. Ikke-repræsentationer var: Fortællinger med tal, resultatet, det skriftlige svar. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 18

De10 repræsentationskort for henholdsvis målingsdivision og delingsdivision Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 19

Lærerrefleksioner Vi valgte de to fortællinger, der ses ovenfor. Vi valgte at samle hele årgangen. Forberedelserne var tidskrævende. Opgaverne skulle kopieres og klippes ud. Der skulle være et sæt til hvert makkerpar. Kortene skulle lægges i bunker og eleverne skulle så passe de 20 repræsentationer i en delebunke og en målebunke Vi var klar over, at det skulle forberedes grundigt. Der skulle være nok tyggegummi og rigeligt med vægplads. Der skulle også være borde nok til at lægge de forskellige stabler kort på. Eleverne arbejdede i makkerpar, og til sidst havde vi en fælles fremlæggelse. Sammenfattende gik det rigtig godt. Der blev talt og diskuteret meget under forløbet. Niels og 8. klasse i samtale om repræsentationskortene. Eleverne repræsentationskort sat op på tavlen. At læse i matematikbogen Styrkenotat Styrkenotat er en strategi, som kan gøre det lettere for eleverne at skelne mellem hoved idéer og detaljer, når de skal afkode og forstå informationerne i deres matematikbog. Styrkenotat kan anvendes i forlængelse af samtale og tankekort, men den kan også anvendes som en selvstændig strategi. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 20

Et styrkenotat struktureres efter de forskellige tekstelementers betydning eller styrke. Styrke 1 vurderes som tekstens meningsbærende element. De efterfølgende styrkemarkeringer er udtryk for de andre tekstelementers vigtighed, hvor styrke 3 er underordnet styrke 2 og så fremdeles. Det er vigtigt med lærerstyret vejledning, når man arbejder med styrkenotat som læringsstrategi. Når det arbejdes med faglig læsning i matematik og eleverne skal lave styrkenotat, kan det være en fordel at indlede med en samtale, der kan resultere i et styrkenotat. Man kan eventuelt fremstille et tankekort som udgangspunkt for styrkenotatet. Både tankekort og styrkenotat er en måde at visualisere overordnede og underordnede niveauer. Herunder følger et eksempel på et styrkenotat: Et eksempel på et styrkenotat fra arbejdet i 8. klasse Styrkenotat kan anvendes ved: introduktion til nyt tema eller afsnit som fortsættelse af en samtale eller et tankekort opsummering av et tema repetition Styrkenotatet har fokus på: begrebslæring underordnede og overordnede niveauer at støtte eleverne til selv at strukturere en tekst Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 21

Eksempel på et styrkenotat Kolonnenotat Kolonnenotatet kan bruges i rigtig mange læsesituationer. Det er en metode, som eleverne meget hurtigt tager til sig, den giver god overskuelighed, den er enkelt og den er ligetil at lave. I eksemplet herunder er der taget udgangspunkt en side fra en matematikbog. Kolonnenotatet er altså et redskab, der skal hjælpe eleverne med at få styr på de faglige elementer i teksten. Kolonnenotatet kan varieres efter behov, som for eksempel med flere kolonner eller lignende. Kolonnenotat, Job 83, side 155 156 Teksttyper i jobbet: Overskrift, underoverskrift, brødtekst, opgavetekst, faktaboks, Illustration, diagram, skema Overskrift Job 83 Underoverskrift Opgaver Brødtekst Diagram Faktaboks Illustration Skema Beskrivelse af funktioner Tre opgaver 1, 2, 3 Brødtekst Diagram Silvan Ligefrem proportionalitet Tre opgaver 4, 5, 6 Brødtekst Faktaboks definition Skema Eksempel på anvendelse af et kolonnenotat i matematik Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 22

Lærerrefleksioner Vi valgte at skrive ordet Funktion op på tavlen og talte om, hvad funktion kunne betyde i det virkelige liv. Ellers var opgaven: Makkerpar- bladre afsnittet igennem. Skriv nogle stikord eller sætninger ned, som har med funktioner at gøre. Det handlede fx om Sammenhæng, koordinatsystem, ligninger. Det er når 4 æbler koster dobbelt så meget som to æbler. Herefter præsenterede vi styrkenotatet, hvor vi i fællesskab modellerede et afsnit. Eleverne skulle så selv lave et styrkenotat over et andet afsnit (det vi arbejdede med). Vi opdagede, at der er to modeller for styrkenotatet, så vi (lærerne) valgte det ene. Inden vi gik i gang med at lave styrkenotatet, gav vi eleverne en startopgave: Skriv alle de forskellige teksttyper ned, I kan finde i afsnittet. Arbejdet med at lave styrkenotatet tog et modul. Måden vi arbejdede på var: Læs opgaven, udfyld styrkenotatet. Hvilke tekstelementer har du til rådighed? Hvilke skal du bruge her? (tekstboksen gav ingen mening og diagrammet handlede om noget helt andet). Eleverne gik derefter i gang med opgaven. Styrke 1, 2 og 3 var givet - eleverne valgte selv, hvilken styrke de ville give brødtekst, faktaboks og diagrammet. Eleverne brugte også Kolonnenotatet. Fabrikation af en side til en matematikbog Til sidst i forløbet kan man lade eleverne arbejde med selv at formulere et afsnit, der ligner afsnittene fra deres matematikbog. Når eleverne selv formulerer sig, bliver det tydeligt, hvilke kompetencer de mestrer. Hæng de forskellige afsnit op i klassen, lad eleverne løse hinandens opgaver og evt. kommentere dem. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 23

Opgaven til 8. klasse var formuleret på følgende måde: Målet: I skal lave en side til jeres matematikbog Den skal være opbygget på samme måde, som den matematikbog I har arbejdet med. Kravene er: Siden skal indeholde mindst 3 opgaver Den skal indeholde en overskrift og en underoverskrift Herudover skal den indeholde mindst to andre elementer Elementerne skal stå i relation til hinanden Sådan kommer I i gang: 1. Find et emne 2. Lav et storyboard Lærerrefleksioner: Eleverne byggede selv en side til en matematikbog ud fra den systematik, som er i deres matematikbog. Opgaverne blev skrevet ind i Power Point. Opgaverne blev sat op i klassen. De enkelte afsnit blev præsenteret og diskuteret. Herunder følger eksempler på sider. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 24

Dette er tre eksempler på elevernes egne matematikopgaver Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 25

Lærerkonklusioner 1. Arbejdet med relationer og repræsentationsformer skal ind som en central dimension i arbejdet med matematik for at styrke elevernes evne til mental billeddannelse og dermed begrebsdannelse. 2. Det sproglige arbejde skal styrkes, bl.a. som en forudsætning for at kunne læse de faglige tekster. Jeg vurderer, at dette udviklingsforløb gav svaret på, hvornår eleverne for alvor rykker. Det gør de, når deres sprog kommer i spil. Der skal billeder på matematikken, PULSnr. 124718 Side 26