04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 1 Simulering af dynamiske systemer - er ikke længere forbeholdt eksperter Søren Gundtoft er ansat som lektor ved Ingeniørhøjskolen i Århus men er for tiden udlejet til Energidivisionen, Teknologisk Institut, hvor han arbejder med dynamiske simulering inden for køle- og procesteknik. Introduktion Med de nye simuleringspakker er det i dag muligt at udvide den traditionelle konstruktionsopgave til også at omfatte en optimering af konstruktionens dynamiske egenskaber. Nærværende artikel beskriver den aktuelle udvikling - specielt vedrørende den tilgængelige software. Software I de senere år har navnlig to generelle programpakker trængt sig frem i Danmark. Det ene er Matlab/Simulink (http://www.mathworks.com ), det andet Vissim (http://www.vissol.com). Begge programmers fremmarch skal blandt andet ses i lyset af, at de anvendes i undervisningen på ingeniørhøjskolerne. Typisk for programmerne er, at de meget lette at lære og anvende. Hvor man tidligere skulle sidde og nørkle med ligninger i et DOS-lignende programmeringssprog som Pascal, C eller Fortran, kan programmeringen nu foretages via en grafisk brugerflade med de mange fordele det indebærer. Hvis man ønsker det, kan man naturligvis godt skifte tilbage programmering i det bagvedliggende sprog, som for Vissims vedkommende er C og for Matlabs vedkommende et Pascal-lignende sprog (eller C eller fortran), evt. kombinere den grafiske med den programmeringstekniske løsning. Typisk vil man udvikle/programmere modellerne i den grafiske brugerflade og derefter oversætte og lagre elementerne som C-kode eller DLLfiler for hurtigere eksekvering. En anden meget væsentlig fordel ved de nye programmer er, at de - til en vis grad - er idiotsikrede. Eksempel: Hvis man indbygger diskontinuiteter i modellen, f.eks. en termostat som skifter momentant mellem 0 og 1, finder programmerne selv ud af, hvordan denne opgave bedst takles numerisk. Selv vanskelige diskontinuiteter, behandlingen af stive systemer og lignende kan programmerne selv løse langt hen ad vejen. Som bruger behøver man altså ikke længere være tal-ekspert, men kan koncentrere sig om modelleringsopgaven og anvendelsen. Der findes mange andre programmer af generel karakter end de nævnte, men de er ikke blevet så udbredte i Danmark. En god oversigt med tilhørende sammenlignende tests kan findes på http://iatms13.iatm.tuwien.ac.at/sne/.
04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer Uddannelse For mange ingeniører vil uddannelse her være lig med efteruddannelse. Da feltet af potentielle kursister Danmark er forholdsvist begrænset er det nødvendigt at gå til udlandet. Her kommer internettet til hjælp, men der findes efterhånden også gode lærebøger på engelsk om emnet. For sidstnævnte kan peges på /1/, der giver en rigtig god oversigt over modellering af dynamiske systemer - elektriske, mekaniske, fluidmekaniske, termiske samt kombinationer heraf - samt en overskuelig introduktion til dynamisk simulering (integrationsmetoder). En anden god bog, der især omhandler den reguleringstekniske side af sagen kan anbefales, jf. //. På internettet findes mange forskellige tilbud. University of Michigan (www.engin.umich.edu) har eksempelvis en godt kursus (tutorial), ganske vidst inden for Matlab (se ovenfor), men kurset kan opfattes som generelt. I Danmark har vi et tilsvarende kursus kørende i et samarbejde mellem stærkstrømsteknisk retning ved Ingeniørhøjskolen Odense Teknikum og maskinteknisk retning, Ingeniørhøjskolen i Århus, ligeledes vedr. Matlab, frit tilgængeligt og så på dansk! - se http://130.5.159.3/msrd. Hvis man er interesseret i de mere forskningsprægede aktiviteter eller den teoretiske baggrund kan passende henvises til et kursus, som er afholdt flere (17!) gange på det tekniske universitet i Zürich. Se mere herom på http://www.lkt.mavt.ethz.ch/courses/. Kontakt evt. Dr. H. J. Halin på Halin@iet.mavt.etzhz.ch. I Europa findes desuden flere organisationer, som arbejder med dynamisk simulering. Se blandt andet oversigten på: http://ws3.atv.tuwien.ac.at/eurosim/home_eurosim.html. Real Time Simulering Dette begreb dækker over en speciel for form simulering, hvor man sammenkobler en dynamisk matematisk model med en del af den fysiske verden, f.eks. en prototype. En typisk anvendelse er følgende: Man arbejder med udvikling af et apparat, hvori der indgår en regulator. Det kan f.eks. være et køleskab, som består af følgende 3 objekter: Et skab/kabinet, et køleanlæg og en regulator (=termostat). Real-tids-simuleringen kan nu tænkes at foregå på to måder: 1: Det virkelige kabinet/køleanlæg afprøves med en model af regulatoren: Situationen er her, at man har et givet apparat, hvortil der ønskes udviklet en passende regulator. I stedet for at anvende/afprøve virkelige regulatorer simuleres de nu med den dynamiske model, og når man har fundet en passende løsning (læs: prisbillig og enkel) til opgaven kan den bestilles/indkøbes. : Den virkelige regulator afprøves op mod en model af det regulerede system: Der udvikles en dynamisk matematisk model af kabinet og køleanlæg og regulatoren (i den fysiske udgave) afprøves op mod denne model. Man kan sige, at regulatoren ikke ved, at det bare er en matematisk model, den arbejder sammen med! Med denne opstilling kan man nu teste, om regulatoren kan klare alle mulige belastningssituationer. Fordelen er helt indlysende, at det er meget hurtigere at arbejde med og billigere, idet hele øvelsen kan gennemføres på skrivebordet!
04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 3 Den ultimative anvendelse af real-tids-simulering foregår i de såkaldte simulatorer: Velkendt er flysimulatorer og en af de vanskeligste opgaver er her helicoptersimulatorer, og med vanskelig hentydes til det store krav til regnetid, idet man nødvendigvis må kunne nå at foretage beregningerne mellem to real time opdaterings-tids-intervaller. Eksempel 1 Den ikke-grafiske metode i Matlab: Et system tænkes at kunne beskrives ved en -ordens ulineær differentialligningen (van der Pol s ligning) d x dx = K ( 1 x ) x dτ dτ Med K=1000 er der tale om et såkaldt stift system, dvs. med stor forskel i tidskonstanterne. For at løse dette numerisk i Matlab foretages følgende substitution: Vi sætter x 1 = x, dvs. dx 1 /dτ = dx/dτ. Desuden sættes x = dx/dτ, dvs. dx /dτ, = d x/dτ, og dx 1 /dτ = x. Ligningen (1) kan nu omskrives til følgende to koblede 1-ordens differentialligninger opstillet på tilstandsform (engelsk.: state-space). dx / dτ = x dx 1 / dτ = K(1 x 1 ) x x 1 I Matlab løses dette ligningssystem i tidsintervallet 0 til 3000 s med begyndelsesværdierne x 1 = og x =0 vha. følgende m-filer: vdp_exe.m %Hovedprogram [t,x] = ode15s('vdp1000',[0 3000], [ 0]); plot(t,x(:,1),'-o'); vdp1000.m %Hjælpefunktion function dx=vdp1000(t,x); dx=zeros(,1); dx(1)=x(); dx()=1000*(1-x(1)^)*x()-x(1); Og man får følgende løsning, x(t) mellem 0 og 3000 s, jf. figur 1
04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 4 Figur 1: Løsning x(t) i intervallet 0 til 3000 s til van der Pol s ligning Ligningsløseren er her ode15s, som benytter variabel tids-step, og som er særlig velegnet til løsning af de såkaldte stive systemer. Den grafiske metode i Matlab/Simulink: Programmeringen i Simulink ser nu sådan ud, figur :
04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 5 Figur : Simulink-model af van der Pol s ligning Som man ser, er modellen opbygget af blokke, som er bundet sammen af tråde. De to integrationsblokke er mærket 1/s, Klikkes på run-tasten (pilen i menu-linien) og på Scope t fås samme resultat som vist ovenfor. De forskellige parametre: Valg af ligningsløser, tidsinterval etc. sættes også før start. Eksempel Programmeringen i det grafiske Simulink gør det muligt at lave meget brugervenlige programmer. Figur 3 viser en dynamisk model af et hus med et radiatorvarmeanlæg. Figur 3: Hus med varmeanlæg programmeret i simulink De enkelte blokke, Radiatorventil, Radiator, Pumpe etc. dækker her over dynamiske modeller for de aktuelle delmodeller. Parameterinstalling f.eks. af Radiatorventil ens data kan fortages ved at klikke på modellen og så indtaste de nødvendige parametre.
04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 6 Kommunikation med andre programmer Via de såkaldte DLL-filer er det muligt at tilknytte andre programmer til simuleringsprogrammerne. Et eksempel er stofdata (termodynamiske og termofysiske data for en række stoffer), som typisk er programmeret i Fortran, C eller Pascal. Anvendelser hos Teknologisk Institut Sektionen for Køle- og Varmepumpeteknik har i de senere år etableret en omfattende database over beregningsmodeller inden for det køle- og procestekniske område. Modellerne er udviklet i forbindelse med gennemførelse af kundeopgaver og udviklingsprojekter i samarbejde med dansk køleindustri med økonomisk støtte fra Energi- og Miljøstyrelse. I de senere år har interessen for dynamisk simulering været i kraftig vækst, dels motiveret af de nye lettilgængelige beregningsmuligheder, men også på baggrund af ønsket om fortsatte energibesparelser og procesforbedringer. Udviklingen er yderligere motiveret af, at der kommer flere og flere produkter på markedet, som kan reguleres modulerende frem for tidligere tiders ON/OFF-regulering, herunder fremkomsten af stadigt billigere frekvensomformere. De nye Danfoss-kompressorer med variabelt omdrejningstal, type TLV, og Grundfos-pumperne, type UPE, er gode eksempler på dette. Uddannelsestilbud Ingeniørhøjskolerne i Århus og Odense tilbyder, som nævnt ovenfor, i et kursus Modellering, Simulering og Regulering af Dynamisk Systemer baseret på Matlab/Simulink. Kurset udbydes på de to ingeniørhøjskoler i fællesskab, men kan også gennemføres som fjernundervisning via internettet under ordningen for Åben uddannelse. Yderligere information kan fås ved at følge de to ingeniørhøjskolers hjemmesiders løbende tilbud under Åben Uddannelse: www.iot.dk eller www.iha.dk eller ved kontakt til forfatteren på sgt@m.iha.dk. Litteratur /1/ R.L. Woods & K.L. Lawrence, Modeling and Simulation of Dynamic Systems, Prentice Hall 1997, ISBN 0-13-861188-. // F. Haugen, Reglering af dynamiske systemer. Bind 1. Forlaget Tapir.