Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
|
|
- Elias Dalgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer indenfor matematisk analyse. Vi vil her se på Laplace transformen som et vigtigt værktøj til at løse en klasse af problemer kaldet begyndelsesværdiproblemer. Anvendelsen af Laplace transformen kan illustreres med følgende figur taget fra Initial-Value Problems ODE's or PDE's Algebra Problems Difficult Very Easy Solutions of Initial-Value Problems Solutions of Algebra Problems Et begyndelsesværdiproblem er en ligning som indeholder en ukendt funktion og nogle af dens afledede. Man kender nogle startværdier dvs begyndelsesværdier for funktionen. Den ukendte funktion skal så bestemmes. Sådanne problemer dukker op i alle mulige sammenhænge. Laplace transformationen kan håndtere avancerede ting som partielle differentialligninger, hvor det er en funktion af flere variable vi leder efter, og systemer af koblede differentialligninger, hvor det er flere ukendte funktioner vi leder efter på en gang. Vi vil imidlertid som eksempel se på: Problem: Bestem funktionen f (t) som opfylder følgende ligning f (t) + k f (t) = g(t), hvor tallet k og funktionen g(t) er givet sammen med begyndelsesværdien f () for den ukendte funktion f (t). Man kan sagtens løse sådanne problemer uden Laplace transformen, men vi bruger det som eksempel. Vi vil desuden nøjes med at se på situationen hvor den kendte funktion g(t) består af summer og produkter af eksponentialfunktioner og polynomier. Laplace transformen laver begyndelsesværdiproblemet om til et simpelt algebraisk problem. Det kan let løses. Ved at invers Laplace transformere løsningen af det algebraiske problem finder man så funktionen f (t).!!
2 . Laplace transform af funktioner Definition: Laplace transformen af en funktion f (t) er defineret ved L( f (t)) = F(s) = f (t) e st dt hvis integralet eksisterer. Et sådant integral på et ubegrænset interval kaldes et uegentligt integral og betyder blot, at man integrerer op til et tal og bagefter lader gå mod uendeligt og ser om grænseværdien eksisterer f (t) e st dt = lim f (t) e st dt. Man bruger notationen F(s), men det må naturligvis ikke forveksles med den sædvanlige stamfunktion til f (t). Det er noget helt andet. Bemærk: - Udgangspunktet er en funktion f (t) der beskriver en udvikling som funktion af tiden. Begyndelsesværdien er f () og f (t) er værdien til tidspunktet t. - Der stilles ikke store krav til f (t) for at Laplace transformen er defineret. Det er nok, at f (t) er stykkevist kontinuert og ikke vokser hurtigere end alle eksponentialfunktioner. Det sidste kan formuleres ved at der skal findes tre konstanter T, M og a så der for t > T gælder at f (t) M e at. Man siger så, at f (t) er af eksponentiel type. Sætning : Laplace transformen af funktionen f (t) = t er F(s) = s 2, s >. Vi sætter ind i definitionen og bruger delvis integration: t e st dt = e st s t e st dt = e s s s + s e st dt = e s + s s e st s = e s e s + s s 2 s 2 år vi så lader vil både e s og e s gå mod nul blot tallet s er positivt. Dvs Laplace transformen af f (t) = t er defineret for positive s og er givet ved F(s) = s 2. Situationen er typisk for Laplace transformen. For en stykkevist kontinuert funktion f (t) af eksponentiel type vil Laplace transformen være defineret for s s for et eller andet fast tal s. 2
3 Ved samme metode som i sætning kan man ved gentagen brug af delvis integration vise: Sætning 2: Laplace transformen af f (t) = t er F(s) =! s + u et par opgaver, som skal løses ved at bruge definitionen af Laplace transformen: Opgave : Vis at Laplace transformen af f (t) = er F(s) =. s Opgave 2: Vis at Laplace transformen af funktionen f (t) = e at er F(s) = s a, s > a. Sammenhængen mellem resultaterne i opgave og 2 er ikke tilfældig. Tværtimod har vi: Sætning 3 Hvis Laplace transformen af f (t) er F(s), så vil Laplace transformen af e at f (t) være F(s a). Vi sætter blot ind i definitionen: e at f (t) e st dt = f (t) e (s a)t dt Vi får med en potensregneregel straks samme integral som definerer F(s) blot med tallet s a i stedet for s. Dvs = F(s a) Vi kan samle resultaterne om Laplace transformer af elementære funktioner i følgende tabel: f (t) t t 2 t e at e at t F(s) 2!! s s 2 s 3 s + s a (s a) + Bemærk at den sidste formel er sætning 3 anvendt på resultatet i sætning 2. Den indeholder alle de andre: år a = fås formlerne med t og når = fås formlen med e at. Vi får ikke brug for andre Laplace transformer i disse noter. 3
4 Linearitet: Man kalder en transformation som Laplace transformen for lineær, hvis den opfylder følgende to egenskaber: ) L( f (t) + g(t)) = L( f (t)) + L(g(t)) 2) L(k f (t)) = k L( f (t)). Sætning 4 Laplace transformen er lineær. Vi skal kontrollere, at den opfylder de to betingelser: L( f (t) + g(t)) = lim ( f (t) + g(t)) e st dt = lim ( f (t) e st dt + g(t) e st dt) = lim f (t) e st dt + lim g(t) e st dt = L( f (t)) + L(g(t)) og L(k f (t)) = lim k f (t) e st dt = lim (k f (t) e st dt) = k lim ( f (t) e st dt) = k L( f (t)) Bemærk, at vi i begge tilfælde sætter ind i definitionen og bruger en regneregel for bestemte integraler og derefter en regneregel for grænseværdier. Eksempel : Vi kan bruge lineariteten og tabellen på side 3 til at finde Laplace transformen af produkter og summer af polynomier og eksponentialfunktioner: f (t) = (7t + 5)e 2t 3e 4t + t 2 L((7t + 5)e 2t 3e 4t + t 2 ) = L(7te 2t + 5e 2t 3e 4t + t 2 ) = L(7te 2t + 5e 2t + ( 3)e 4t + t 2 ) = L(7te 2t ) + L(5e 2t + ( 3)e 4t + t 2 ) = L(7te 2t ) + L(5e 2t ) + L(( 3)e 4t + t 2 ) = L(7te 2t ) + L(5e 2t ) + L(( 3)e 4t ) + L(t 2 ) Vi har nu brugt den første linearitetsbetingelse til at dele op ved hvert led. år der er mere end to led skal vi blot bruge regnereglen flere gange. = 7 L(te 2t ) + 5 L(e 2t ) + ( 3) L(e 4t ) + L(t 2 ) Her brugte vi den anden linearitetsbetingelse til at flytte konstanterne udenfor. Til sidst slår vi blot Laplace transformerne op i tabellen: = 7 (s 2) s 2 + ( 3) s s 3 For at alle delene i udtrykket skal være defineret skal vi begrænse definitionsmængden til s > 4. F(s) = 7 (s 2) s 2 + ( 3) s s, s > 4. 3 Opgave 3: Find Laplace transformen af funktionerne f (t) = (3t + 5)(4e 3t + 2t) f 2 (t) = 3e 5t t 2 e 7t
5 2. Laplace transform af afledede Vi ønsker at se på sammenhængen mellem afledede og Laplace transformen. Antag, at vi har følgende udgangspunkt: f (t) er differentiabel og af eksponentiel type f () er begyndelsesværdien for f(t) hvor t er tiden F(s) er Laplace transformen af f (t) Der gælder så følgende sætning: Sætning 5: Laplace transformen af den afledede er givet ved L( f (t)) = s F(s) f (). Vi indsætter i definitionen og laver delvis integration: L( f (t)) = lim f (t) e st dt = lim( f (t) e st [ ] f (t) ( s)e st = lim( f ( ) e s f () + s f (t) e st dt) Bemærk nu, at da f(t) er af eksponentiel type findes der tre konstanter T, M og a så der for t > T gælder at f (t) M e at Hvis er større end dette tal T har vi derfor vurderingen f ( ) e s = f ( ) e s M e a e s = M e (a s) som viser, at for s større end dette tal a, vil udtrykket være mindre end en aftagende eksponentiel funktion, så lim f ( ) e s =. For s > a kan vi derfor fortsætte udregningen: L( f (t)) = lim( f ( ) e s f () + s = f () + s lim = s F(s) f (). f (t) e st dt) f (t) e st dt = f () + s F(s) dt) Eksempel 2 Betragt funktionen f (t) = t Vi udregner L( f (t)) dels direkte og dels ved hjælp af sætning 5. Direkte: L( f (t)) = L(2t) = 2 L(t) = 2 s = 2 2 s 2 Med sætning 5: L( f (t)) = s L( f (t)) f () = s (L(t 2 ) + 7 L()) f () = s ( 2 s s ) (2 + 7) = 2 s = 2 s 2 5
6 3. Den inverse Laplace transform Definition: Hvis Laplace transformen af f (t) er F(s) siger vi, at den inverse Laplace transform af F(s) er f (t) og skriver L (F(s)) = f (t). Sætning 6: Den inverse Laplace transform er lineær. Vi skal igen kontrollere, at de to linearitetsbetingelser er opfyldt: L (F(s) + G(s)) = L (L( f (t)) + L(g(t))) = L (L( f (t) + g(t))) = f (t) + g(t) = L (F(s)) + L (G(s)) og L (k F(s)) = L (k L( f (t)) = L (L(k f (t))) = k f (t) = k L (F(s)) Bemærk, at vi i begge tilfælde først bruger, at Laplace transformen er lineær, og derefter bruger, at L (L( f (t))) = f (t). Eksempel 3 Vi benytter samme funktioner som i eksempel men ønsker at finde f(t) som den inverse Laplace transform af F(s): F(s) = 7 (s 2) s 2 + ( 3) s s, s > 4. 3 Vi får så: f (t) = L (F(s)) = L (7 (s 2) s 2 + ( 3) s s ) 3 = 7 L ( (s 2) ) L ( s 2 ) + ( 3) L ( s 4 ) + L ( 2 s ) 3 = 7 te 2t + 5 e 2t 3 e 4t + t 2 år F(s) er udtrykt som en sådan sum af kendte Laplace transformer fra tabellen, kan vi altså let finde f(t) ved at bruge lineariteten af den inverse Laplace transform. Opgave 4: Find den inverse Laplace transform af funktionerne F (s) = 3 s s 8 2 (s ) 3 F 2 (s) = 2s4 + 6s 24 s 4 (s 4) = 2 s s 4 6
7 4. Begyndelsesværdiproblemer Vi ønsker nu at kunne løse begyndelsesværdiproblemer på formen Problem: Bestem funktionen f (t) som opfylder følgende ligning f (t) + k f (t) = g(t), hvor tallet k og funktionen g(t) er givet sammen med begyndelsesværdien f () for den ukendte funktion f (t). Metoden vi vil bruge er som illustreret på side følgende: - Vi Laplace transformerer ligningen så vi får en algebraisk ligning der indeholder F(s) i stedet for f(t). - F(s) kan meget let isoleres i ligningen. - Vi finder så løsningen f(t) ved at invers Laplace transformere F(s). Lad os illustrere metoden med et konkret eksempel: Eksempel 4: Vi ønsker at løse begyndelsesværdiproblemet f '(t) 2 f (t) = 3 6t f () = Vi Laplace transformerer ligningen L( f '(t) 2 f (t)) = L(3 6t) L( f '(t)) 2L( f (t)) = 3L() 6L(t) (sf(s) ) 2F(s) = 3 s 6 s 2 Vi har nu en algebraisk ligning som kun indeholder F(s) og ikke f(t). Vi isolerer så bare F(s) (sf(s) ) 2F(s) = 3 s 6 s 2 (s 2)F(s) = 3 s 6 s 2 + = s2 + 3s 6 s 2 F(s) = s2 + 3s 6 s 2 (s 2) Bemærk at højresiden blev sat på fælles brøkstreg med fællesnævneren som i dette tilfælde var s 2. Vi mangler nu blot at bestemme f (t) = L (F(s)) = L ( s2 + 3s 6) s 2 (s 2) ) For at gøre det mangler vi at omskrive udtrykket for F(s) til en sum af kendte udtryk fra tabellen side 3. Det gør man ved at lave en såkaldt partialbrøksdekomposition af polynomiumsbrøken F(s) : 7
8 F(s) = s2 + 3s 6 s 2 (s 2) = A s 2 + B s + C s 2 Bemærk at nævnerpolynomiet skal være faktoriseret, og at man har brug for alle led op til den potens en faktor optræder med. Dekompositionen har lige så mange ukendte konstanter som graden af nævnerpolynomiet. Vi tænker på F(s) som en sum af nogle simplere brøker, der blot er sat på fælles brøkstreg. ævneren i F(s) er så fællesnævneren og fortæller os derfor hvordan disse simplere brøker kan se ud. Vi skal nu bestemme konstanterne A,B og C så lighedstegnet gælder: Vi ganger med nævnerpolynomiet på begge sider af lighedstegnet s 2 + 3s 6 = As 2 + Bs(s 2) + C(s 2) ganger højresiden ud s 2 + 3s 6 = (A + B)s 2 + (C 2B)s + ( 2C) og kan så bestemme konstanterne ved at løse ligningssystemet bestående af de 3 ligninger med 3 ubekendte man får ved at sammenligne koefficienterne: 2C = 6 C = 3 C 2B = 3 3 2B = 3 B = A + B = A + = A = Det er naturligvis ikke altid det går så let med at løse ligningerne som her, men man kan f.eks. altid bruge substitutionsmetoden: Hvis man isolerer en af konstanterne i en af ligningerne og indsætter udtrykket i de øvrige ligninger, så er problemet reduceret til 2 ligninger med 2 ubekendte osv. Vi har altså f (t) = L (F(s)) = L ( s2 + 3s 6) s 2 (s 2) ) = L ( s s ) 2 = L ( s 2 ) + 3 L ( s ) = 2 e2t + 3t Opgave 5: Løs begyndelsesværdiproblemet f (t) 5 f (t) = t +7 f () = 2 med Laplace transformen. Opgave 6: Løs begyndelsesværdiproblemet f (t) 4 f (t) = e 4t 2t 5 f () = 2 med Laplace transformen. 8
9 Opgave 7: Forbered en fremlæggelse af følgende eksempel på et mundtligt eksamensspørgsmål: Laplace transformen Definer Laplace transformen og redegør for nogle af dens egenskaber. Giv herunder et bevis for formlen for Laplace transformen af funktionen f (t) = t og kom ind på anvendelsen af Laplace transformen i forbindelse med begyndelsesværdiproblemer. Opgave 8: Løs følgende temaopgave om afkøling af kaffe i en kop: Temaopgave: Modellering af afkøling i en kop år en ting er varmere end omgivelserne vil den gradvist blive afkølet. Temperaturfaldet målt i grader pr. minut er stort, hvis der er en stor temperaturforskel til omgivelserne, og bliver mindre og mindre jo tættere man kommer på omgivelsernes temperatur. Vi antager, at der gælder følgende: ewtons afkølingslov: Hastigheden hvormed et objekt afkøles er proportional med temperaturforskellen til omgivelserne. Vi ønsker at modellere afkølingen af kaffe i en kop. Det er klart, at hastigheden af afkølingen, og dermed proportionalitetsfaktoren, må afhænge af, hvor godt varmeisoleret koppen er. Opgave: Det oplyses, at temperaturen af kaffen i en kop til at begynde med er 92 grader. Kaffen står i et lokale, hvor temperaturen er 2 grader. Efter 5 minutter er temperaturen faldet til 85 grader. Opstil en model for afkølingen med ewtons afkølingslov og løs det derved fremkomne begyndelsesværdiproblem med Laplace transformen. Bestem derefter temperaturen af kaffen 25 minutter efter den var 92 grader, og bestem desuden hvor lang tid der går fra den var 92 grader til dens temperatur er faldet til 5 grader. Illustrer afkølingen grafisk, så man kan følge, hvordan temperaturen af kaffen gradvist nærmer sig stuetemperaturen på 2 grader.! 9!
Førsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereLaplace transformationen
MODUL 6 Laplace transformationen Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN 24. juni 214 2 Indhold 1 Laplace transformationen 5 1.1 En lineær transformation.............................. 7 1.2
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereStudieretningsopgave Temperatur af en væske
Studieretningsopgave af en væske Studieretning: Matematik A, Fysik B, Kemi B Fagkombination: Fysik og Matematik Opgaveformulering: Redegør kort for forsøget om opvarmning og afkøling af en væske. Præsenter
Læs mereLogaritmiske Transformationer
Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.
Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs merematx.dk Mikroøkonomi
matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereSRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO
SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2018 Institution Frederiksberg HF-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik B Kasper
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - Juni 2019 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,
Læs mereEksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Læs mere