RÆSONNEMENT 1BEVIS F I N N H. K R I S T I A N S E & N 4 2 5 RENTES REGNING MED REGNEARK KUGLE LANDMÅLING SIMULA G Y L D E N D A L 3 MÅLSCORE I HÅN
Faglige mål: Anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Opsøge information og formidle viden om matematikanvendelser inden for dagligliv og samfundsliv. 4 RENTESREGNING MED REGNEARK Finn H. Kristiansen Forudsatte begreber: Faglige mål: Rente, procent, den simple renteformel. - Anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. - Opsøge information og formidle viden om matematikanvendelser inden for dagligliv Inddragelse og samfundsliv. af supplerende stof: Forudsatte begreber: Emner, der perspektiverer arbejdet med procent- og rentesregning og andre økonomiske - Rente, procent, den simple renteformel. sammenhænge. Inddragelse af supplerende stof: - Emner, der perspektiverer arbejdet med procent- og rentesregning og andre økonomiske sammenhænge. OPGAVER MED FÆRDIGE REGNEARK Herunder finder I udskrifter af fire regneark: Lønregnskab, Tysklandstur, Skat og Kommunevalg, som I selv OPGAVER skal indtaste MEDi FÆRDIGE Excel. REGNEARK Herunder finder I udskrifter af fire regneark: Lønregnskab, Tysklandstur, Skat og Kommunevalg, som I selv skal indtaste i Excel. Prøv først at overveje, hvilke af tallene, I ser i udskrifterne, der er konstanter (altså faste tal) og hvilke, der er Prøv fremkommet først at overveje, ved beregning hvilke af af tallene, en formel. I ser Dernæst i udskrifterne, skal I skal der selv er indtaste konstanter tekster, (altså talkonstanter og de relevante faste tal) og hvilke, der er fremkommet ved beregning af en formel. Dernæst skal I skal selv formler indtaste i et regneark. tekster, talkonstanter Når I har indtastet og deregnearkene, relevante formler skal I eksperimentere i et regneark. med Nårdem I ved at ændre på talkonstanterne regnearkene, og dermed se, skal at formelberegningerne I eksperimentere med ændrer demresultaterne. ved ændrefx på kan I i det første regneark ændre på har indtastet talkonstanterne og dermed se, at formelberegningerne ændrer resultaterne. Fx kan I i det første timelønnen, regneark og ændre I kan ændre på timelønnen, på dagenes og timetal. I kan ændre på dagenes timetal. LØNREGNSKAB Peter Hansen Timeløn: 96,50 Søvej 34 7400 Vejle Uge: 41 Antal timer Løn pr. dag Mandag 7,50 723,75 Tirsdag 4,50 434,25 Onsdag 6,50 627,25 Torsdag 2,00 193,00 Fredag 6,00 579,00 -------------------------------------------- i alt 26,50 2557,25 Finn H. Kristiansen 1 Rente 2
TYSKLANDSTUR TYSKLANDSTUR Kursen på euro: 740 Kursen Antal på euro: Pr. stk. 740 i euro I alt i euro I alt i kr. Carlsberg pilsner Antal 30 Pr. stk. 0,35 i euro I alt i euro10,50 I alt i kr. 77,70 St. Michael, hvidvin 3 2,75 8,25 61,05 Carlsberg Lambrusco pilsner 30 3 0,35 2,95 10,50 8,85 77,70 65,49 St. Sodavand Michael, hvidvin 3 30 2,75 0,25 8,25 7,50 61,05 55,50 Lambrusco Pålægschokolade 3 2 2,95 1,65 8,85 3,30 65,49 24,42 Sodavand Shampoo 30 3 0,25 1,50 7,50 4,50 55,50 33,30 Pålægschokolade 2 1,65 ------------------------------ 3,30 24,42 Shampoo 3 1,50 4,50 33,30 i alt ------------------------------ 42,90 317,46 SKAT SKAT Hanne Jensen Fradrag: 4100 Solparken 17a Trækpct.: 51 Hanne 8600 Jensen Silkeborg Fradrag: AM-bidrag i pct.: 4100 8 Solparken 17a Trækpct.: 51 8600 Silkeborg AM-bidrag i pct.: MÅNEDSLØN FOR MAJ 8 MÅNEDSLØN Bruttoløn: FOR MAJ 18552,00 AM-bidrag: 1484,16 Bruttoløn: 18552,00 -------------- AM-bidrag: 1484,16 Løn efter AM-bidrag: 17067,84 -------------- Fradrag: 4100,00 Løn efter AM-bidrag: 17067,84 -------------- Fradrag: 4100,00 Til beskatning: 12967,84 -------------- Skat: 6613,60 Til beskatning: 12967,84 Udbetalt: 10454,24 Skat: 6613,60 ======= Udbetalt: 10454,24 ======= i alt 42,90 317,46 En købmand har to partier kaffe: 35 kg A-kaffe til 52,50 kr. pr. kg, og 56 kg B-kaffe til 41,75 kr. pr. kg. Han blander nu al kaffen fra de to partier sammen. Opstil et regneark, hvor disse fire tal indtastes med passende tekster til. Lav en formel, hvor kiloprisen på blandingen beregnes. Købmanden ønsker nu at lave en blanding af de to partier kaffe. Han bruger de 35 kg. af A-kaffen. Rente 3 Hvor meget B-kaffe skal han tilsætte, så kiloprisen på blandingen bliver 48 kr.? Eksperimenter med mængden af B-kaffe indtil blandingen koster 48 kr. pr kg.
OPGAVER En købmand har to partier kaffe: 35 kg A-kaffe til 52,50 kr. pr. kg, og 56 kg B-kaffe til 41,75 kr. pr. kg. Han blander nu al kaffen fra de to partier sammen. Opgave 1 Opstil et regneark, hvor disse fire tal indtastes med passende tekster til. Lav en formel, hvor kiloprisen på blandingen beregnes. Købmanden ønsker nu at lave en blanding af de to partier kaffe. Han bruger de 35 kg af A-kaffen. Eksperimenter med mængden af B-kaffe indtil blandingen koster 48 kr. pr. kg. Fyringsolie koster 5,65 kr. pr. l før moms. Når man køber over 1000 l får man 10% rabat på antallet af liter ud over de 1000. Opgave 2 Lav et regneark, som præsenterer en regning ved køb af fyringsolie. Af regningen skal bl.a. fremgå, hvor meget rabat man har fået, samt momsbeløbet. Lav en pæn opstilling. (Excel-funktionen HVIS skal anvendes) Lav et regneark med 10 tilfældige navne. For hvert navn indtastes vedkommendes alder og højde. Regnearket skal beregne gennemsnit, størsteværdi og mindsteværdi for både alder og højde. (Excel-funktionerne MAKS og MIN skal anvendes). Opgave 3 Et biologihold med 17 elever fra Randers skal på studietur til Læsø. De skal med tog fra Randers til Frederikshavn og retur efter opholdet. De sejler med færge fra Frederikshavn til Læsø og retur. De har to overnatninger på et vandrerhjem på øen. Opgave 4 De køber ungdomsbilletter med DSB frem og tilbage til Frederikshavn. Enkeltbilletterne koster 64 kr. Til færgen er de nødt til at købe voksenbilletter, som koster 120 kr. for en returbillet. På øen cykler de rundt. De har fået et tilbud på cykelleje i Vesterø Havn. To dages leje koster 60 kr. pr. cykel. Læsø Vandrerhjem har følgende priser pr. nat for leje af værelser med fælles bad og toilet: 1 værelses 380 kr. 2 værelses 380 kr. 3 værelses 380 kr. Rente 4
4 værelses 500 kr. 5 værelses 500 kr. Fællesrum 120 kr. De har brug for fællesrummet. De regner med at få en rabat på 20% på leje af værelser og fællesrum, da de kommer uden for sæsonen. De spiser morgenmad to gange på vandrerhjemmet og har fået en aftale med et cafeteria om at spise aftensmad der, ligeledes to gange. Maden kommer til at koste hver elev 190 kr. for hele opholdet. På turene ud i terrænet smører de madpakker. De regner med at kunne gøre det for 650 kr. i alt for hele holdet. På en af turene allierer de sig med en naturvejleder. Han koster 500 kr. for to timer. Anden aften på øen skal de på besøg på Læsø Saltsyderi, hvor de får et lille foredrag om saltets historie på Læsø, og får lov til at syde salt. Det koster klassen 900 kr. Endelig vil de have en reservebeløb på 1000 kr. til uforudsete udgifter. De vil søge en særlig fond om et tilskud på 2000 kr. til turen. Det regner de med at få. Endelig betaler skolen et tilskud på 400 kr. pr. elev, resten betaler de selv. Opstil budgettet for turen i et regneark, så man kan se udgiften for hver enkelt elev. Hvad kommer det til at betyde, hvis fonden alligevel ikke betaler noget tilskud? en elev forlader holdet inden turen? Overvej, i hvilket elevinterval dit regneark regner korrekt (det har noget med værelserne på vandrerhjemmet at gøre). Forfin dit regneark så meget, at det også regner korrekt, hvis elevtallet er udenfor det interval, I fandt frem til i forrige spørgsmål. OPSPARING OG LÅN I kender allerede formlen K = K 0 i (1 + r) n. Den anvender man fx, når et beløb indsættes på en konto og der tilskrives renter over et antal terminer. Undervejs indsættes ikke yderligere penge på kontoen, og der trækkes heller ikke penge ud. Denne formel kalder vi den simple renteformel. Når man laver en opsparing, så indsætter man hver termin (fx hver måned eller hvert år) et beløb på en konto. Saldoen på kontoen vokser ikke kun ved, at der indsættes penge på den, men også ved at banken tilskriver renter hver termin. Følgende eksempel viser, hvordan beløbet vokser, når rentesatsen er 12%, og det indsatte beløb hele tiden er det samme, nemlig 5000 kr.: Rente 5
A A A A 1 = A 112, + 5000 = 10 600 2 1 3 4 = 5000 = A2 =... 112, + 5000 = 16 872 Læg mærke til, at der hver termin sker to ting: Der tilskrives renter til det beløb, som allerede står på kontoen, og der indsættes yderligere 5000 kr. Denne opsparingsform kaldes en annuitetsopsparing. Når man låner penge i en bank eller en kreditforening, findes flere forskellige låneformer. En klassisk låneform kaldes et annuitetslån. Et annuitetslån afvikles ved at tilbagebetale med lige store beløb hver termin. Dette beløb kaldes ydelsen og består både af de renter, som er tilskrevet restgælden siden sidste termin, og af et afdrag på lånet. Følgende eksempel viser, hvordan et annuitetslån afvikles. Det lånte beløb er 5000 kr., rentesatsen er 1% pr. termin (fx 1% pr. måned) og ydelsen er 200 kr. pr. termin. Termin nr. Restgæld (kr.) Rente (kr.) Afdrag (kr.) Ny restgæld (kr. ) 1 5000,00 50,00 150,00 4850,00 2 4850,00 48,50 151,50 4698,50 3 4698,50 46,99 153,01 4545,49 4 4545,49......... Læg mærke til, at for hver ny termin bliver rentebeløbet mindre, mens afdraget vokser. Kontrollér, at Rente + Afdrag = 200 kr. for hver af de tre viste terminer. De 200 kr., som indbetales hver termin, går altså dels til at betale de renter, som er løbet på siden sidste termin, og dels til at nedbringe restgælden. Når restgælden er 0 kr. er lånet tilbagebetalt. Ydelsen var her 200 kr. Hvis ydelsen kun havde været fx 40 kr., havde der været et problem, da der efter første termin løb 50 kr. på i renter, så ville 40 kr. ikke engang dække renterne. Dermed ville restgælden være vokset til 5010 kr. Resultatet ville derfor være, at gælden vokser og vokser i stedet for at falde. n Ligesom med renteformlen K = K 0 i (1 + r) findes der formler, som kan bruges i forbindelse med både annuitetsopsparing og annuitetslån. Men her skal I i stedet eksperimentere med et regneark, som kan lave beregninger i alle de tre nævnte situationer. Rente 6
Eksperimenter med regnearket, Rente Regnearket nedenfor skal opstilles, før I kan løse opgaverne. Med de viste tal for Startbeløb, Indbetaling og Rentefod beregner det, hvordan en annuitetsopsparing forløber termin for termin, når der hver termin indsættes 1000 kr. på kontoen og rentesatsen er 2% pr. termin. Men regnearket kan også bruges til den simple renteformel og til annuitetslån. I første omgang behøver I ikke lave den grafiske illustration på jeres udgave af regnearket. Sørg for, at der kan beregnes indestående for op til 50 indbetalinger. "Rente" kan også hentes her: rente.xls OPGAVER Brug Rente til at eksperimentere jer frem til svarene i de følgende opgaver (Simpel renteformel) Startbeløb 5000 kr. Rente 5% p.a. Hvad står på kontoen efter 15 år? Opgave 5 Rente 7
(Simpel renteformel) Startbeløb 12 000 kr. Efter 20 terminer står der på kontoen 26 200 Kr. Hvad var renten? Opgave 6 (Simpel renteformel) Startbeløb 750 kr. Rente 8,25%. Slutbeløbet skal være over 2500 Kr. Hvor mange terminer tager det? Opgave 7 (Simpel renteformel) Hvor mange procent bliver den årlige rente, hvis man låner penge til en månedlig rente på 1,14%? Opgave 8 (Opsparingsannuitet) Løbende indbetaling 8000 kr. Rente 12%. Hvad står der efter 20 indbetalinger? Opgave 9 (Opsparingsannuitet) Løbende indbetaling 200 kr. Indestående efter 9 terminer 2345 kr. Hvad var renten? Opgave 10 (Opsparingsannuitet) Rente 6%. Indestående efter 30 indbetalinger 21 780 kr. Hvor stor var den løbende indbetaling? Opgave 11 (Opsparingsannuitet) En person har 2000 kr. stående på en konto. Han begynder nu at indbetale 400 kr. hver måned i 12 terminer. Herefter står der 9500 kr. på kontoen. Hvad var renten? Opgave 12 (Gældsannuitet) Lånebeløb 22 100 kr. Rente 5%. Ydelse 1400 kr. (Husk, at ved lån skal startbeløbet angives som et negativt tal). Hvor lang tid tager det før lånet er betalt? Opgave 13 (Gældsannuitet) Lånebeløb 100 000 kr. Rente 0,5%. Lånet er betalt efter præcis 50 terminer. Hvor stor var ydelsen? Opgave 14 Rente 8
(Gældsannuitet) Rente 2,5%. Ydelse 1800 kr. Lånet er tilbagebetalt efter 36 terminer. Hvor stort var lånet? Opgave 15 (Gældsannuitet) Lånebeløb 250 000 kr. Ydelse 11 000 kr. Lånet er tilbagebetalt efter 40 terminer. Hvad var renten? Hvad betyder det beløb, som står ud for 50 terminer? Opgave 16 (Gældsannuitet) Lånebeløb 80 000 kr. Rente 12%. Ydelse 9000 kr. Er lånet tilbagebetalt efter 50 terminer? Hvad sker der? Opgave 17 Rente 9
Projekter Projekt F AFBETALINGSHANDEL Ved hjælp af regnearket, Rente skal I undersøge renten fra forskellige afbetalingshandler, hvor pengene er lånt fra henholdsvis butikker og banker. Start med at forklare, hvordan formlerne i regnearket Rente fungerer. Skaf jer forskelligt materiale, hvori varer tilbydes på afbetaling. I kan finde det i reklameaviser fra fx byggemarkeder, VVS-kæder og Radio og TV forhandlere. I kan også finde en del på internettet. Begrebet ÅOP står oplyst ved afbetalingshandler. Forklar begrebet ÅOP. (Brug evt. de links, som står lidt længere fremme) Til sammenligning kan I indhente oplysninger om, hvad det koster at låne penge til forbrug i pengeinstitutter. Det kan hos nogle banker også gøres via internettet. Ved de fleste handler betales en månedlig ydelse. Prøv at eksperimentere jer frem til den månedlige rente ved hjælp af regnearket, Rente (se opgave 16). Husk, at der ved mange afbetalingshandler betales gebyrer, fx oprettelsesgebyr eller administrationsgebyr. Disse gebyrer skal med i beregningerne og laves om til en renteudgift (tal med jeres lærer om, hvordan det kan gøres). Andre spørgsmål, I kan belyse: I har undervejs bestemt de månedlige renter i flere afbetalingshandler. Bestem de tilsvarende årlige renter. (se opgave 8). Prøv at vælge en bestemt handel, og eksperimenter med at afdrage gælden over færre eller flere måneder, end butikken tilbyder. Prøv i hvert tilfælde at illustrere grafisk, hvordan restgælden gradvist reduceres. Brug regnearkets grafiske muligheder hertil. Rente 10
På www.forbrug.dk, www.taenk.dk og andre steder kan I finde artikler, der er kritiske overfor de afbetalingshandler, som tilbydes af butikskæder. Prøv at redegør for, hvad kritikken er baseret på. Eksempel på en afbetalingshandel hentet på internettet: (Kilde: www.der.dk, december 2005) Rente 11